Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Transkript

1 Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras matematik ar flmas n n en Lisesi ö rencilerine sorulan sorular n geçen sa m zda a mlam flt k. u sa m zda bu sorular n an tlar n ve liselilere sorulan sorular a ml oruz. Liseleraras Yar flma Sorular ) ir sa 5, 7 ve 9 sa lar na böldü ümüzde s ras la 3, 5 ve 6 kalanlar n elde edioruz. u sa lar n en küçü ü kaçt r? ),, z s f rdan büük birer tamsa ve 3 z 97 oldu una göre, nin en büük de eri kaçt r? 3) (m) 0 denkleminin negatif iki farkl kökü olmas için m kaç olmal d r? 4) 3f() ƒ( ) ise ƒ(3) de eri 5) 7 3 ise 6( ) 4( ) 9( ) kaçt r? 6) a, b, c farkl pozitif tamsa lar. a b b c > 4 ve < 5 b c oldu una göre a b c toplam n n en küçük de- eri kaçt r? 7) outlar 60, 40, ve 30 cm olan dikdörtgenler prizmas fleklindeki bir depoa küp fleklindeki kutular erlefltirilior. una göre depoa en az kaç kutu erlefltirilebilir? 8) a 3/(4b) ve 3/(4a) b 6 oldu una göre b/a oran 9) 5 ile 3 parabollerinin kesim noktalar ndan geçen do runun denklemi 0) ab ve ba iki basamakl sa lard r. ab ba ab ba 3 ise a kaçt r? ) iflleminin 3 3 sonucu ) fla daki denklem sisteminin çözüm kümesinin boflküme olmamas için a kaç olmal d r? a (a ) 9 3) Yandaki flekildeki üçgende oldu una göre aç s kaç derecedir? 6 5 P 5) Yandaki flekilde, do rusu noktas nda merkezli çembere te ettir. 8 ve m() 60 o oldu una göre / oran 7 4) Yandaki flekildeki dikdörtgeninde P herhangi bir nokta olmak üzere, verilenlere göre 6) M { : /6 < 5 ve Z} kümesinin üç elemanl kaç altkümesi vard r? 7) ve ise ifadesinin de eri kaçt r? 8) 3 le çarp ld nda bir küp, 5 le çarp ld nda bir kare elde edilen en küçük do al sa kaçt r? n0 n 9) P ( ) 4 3 polinomunun derecesi en küçükken P( ) kaçt r? 4 4 0) 0 eflitsizli ini sa laan kaç 3 tamsa vard r? ) torbas nda 4 beaz ve 3 k rm z, torbas nda da 3 beaz ve k rm z top vard r. torbas ndan bir top çekilip rengine bak lmadan torbas na at l or. Sonra da torbas ndan bir top çekilior. Çekilen topun k rm z olma olas l 50 m m

2 Matematik ünas, 003 Güz ) ir torbada den 0 a kadar numaralanm fl on top vard r. Rastgele al nan iki topun numaralar n n toplam n n 5 den büük olma olas l 3) / 3/ 4/z ve 3 4z oldu- una göre, ve z sa lar n n aritmetik ortalamas 4) Yanda verilen flekilde kaçt r? ) Soldaki flekilde, 5 ve 6 do rular verilmifltir. dörtgeninin alan kaç birim karedir? 6) ( / / ) ifadesinin aç l m nda sabit sa kaçt r? 7) Gerçel sa larda her, için * 4 / olarak tan mlanan * iflleminde in tersi var m d r ve varsa kaçt r? 8) 7 / 3 3/ > 5 eflitsizli inin çözüm kümesi 9) 7 3 ve 4 do rular aras ndaki dar aç kaç derecedir? 30) lttaki flekilde m() 90 o,,, 0 ve birimdir. amu unun alan kaçt r? en Liseleri Yar flma Soru ve Yan tlar ) ise 4 / 4 ifadesinin de- eri Çözüm: / 3 ( / ) 9 4 / / 4 7. ), pozitif tam sa lar ve /5 /3 0 oldu una göre, in alabilece i en büük de er kaçt r? Çözüm: Verilen eflitlikten 5(30 )/6 elde edilir. in tamsa olabilmesi için nin 6 a bölünmesi gerekir. nin en küçük de eri 6 olur ve bölece 0 bulunur. 3) Z/5Z de, 3 ve ise, kaçt r? Çözüm: enklemin çözümünden 3 4 bulunur (Z/5Z te hesapl oruz), bu de er ikinci denklemde erine konuldu unda 4 ve 8 3 bulunur. 4) Rakamlar n n çarp m 8 olan kaç dört basamakl pozitif tamsa vard r? Çözüm: (,,,8) dörtlüsü için 4 farkl, (,,,4) dörtlüsü için farkl, (,,,) dörtlüsü için 4 farkl pozitif sa az labilir, toplam olarak az lacak farkl sa lar 0 tanedir. 5) n iki pozitif tam böleni olan en küçük pozitif tamsa 78 Çözüm: ki asal sa n n üstlülerinin çarp m al nd nda istenilen sa dir. akat üç asal sa ile düflünüldü ünde Çözüm: fla daki flekilden izleelim. m( α) m( β) 60 o oldu undan, m(α) m(β) 0 o. r ca, m() m() δ o 30 6) Yandaki flekilde aç s kaç derecedir? oldu undan, m() m(δ) 60 o. Öte andan m(α) m(β) m() m(δ) 360 o. α β 60 δ 30

3 Matematik ünas, 003 Güz u üçünden m(δ) m(β) 90 ç kar. emek ki aç s n n gördü ü a n ölçüsü 90 dir, ani 45. G H 7) Yukar daki flekilde verilen karesinde G G H H oldu una göre tan(α) de eri Çözüm: β m(hg), m(g) olsun. Yukar daki flekilden takip edelim. α β oldu undan, tan tan tan( β ) β tanβtan / 9. 8) do rusunun denklemi 3 4 olarak verilmifltir. (0, ) noktas ndan e çizilen paralel, eksenini noktas nda kesior. amu unun alan kaç birim karedir? Çözüm: (4, 0), (8, 0), (0, 4) oldu undan, dik üçgen alanlar fark : 8 4/ 4 / 7 birim karedir. α Çözüm: 0, ve 6 eflitliklerinden lan() 96 ç kar. enzerlik oran 0/6 5/8 den lan() 75/ ç kar. emek ki amu un alan 96 75/ 7/ birim karedir. 0) fla daki flekilde bir aç s 5 olan dik üçgen için nin alan 8 cm ise kaçt r? Çözüm: çapl çemberden r h, 4h ç - kar ve 4h / 8, ani h 8 ve 3 bulunur. ) kare ve ise aç s kaç derecedir? 5 Çözüm:,, noktalar merkezli çember üzerinde olup çevre aç olur ve an a gören merkez aç 90 o dir. Yani 45 o. r h ( ) ) 5, ve 3 ise uzunlu u kaçt r? 4) fla daki flekilde m() 90 o,,, 0 ve birimdir. dörtgeninin alan kaç birim karedir? 5 5 Çözüm: üçgeni ikizkenar oldu undan 5 3 olacakt r. Yani olur. 3 79

4 Matematik ünas, 003 Güz 3) ir kübün kaç simetri düzlemi vard r? Çözüm: Köflegenleri birlefltiren ve kenarlar ortalaan düzlemler bulunursa 9 tane simetri düzlemi bulunur. 4) Pergel ve cetvelle (iflaretsiz) 36 derecelik aç - n n çizilebilece i, 0 derecelik aç n n çizilemeece- i bilindi ine göre 5 o, 9 o, 0 o, 8 o, 56 o derecelerinden kaç pergel ve cetvelle çizilebilir? Çözüm: Pergel cetvelle bir aç iki eflit parçaa bölmek mümkün oldu undan, 36 derecelik aç dan 8 ve 9 derecelik aç lar çizebiliriz. n düflüncele, 0 derecelik aç n n çizilemeiflinden di erlerinin çizilemeece i görülür. 5) Çözüm: ( 3 5 3) ( 3 ) ) ƒ() /() oldu una göre, ƒ( ) in ƒ() türünden de eri Çözüm: ƒ( ) ( )/ eflitli inde /() al nd nda, için, /( ) olacakt r. emek ki, ƒ( ). ƒ() oldu undan bulunur ƒ( ) ( ) ( ) ƒ ƒ? ) (mod 9) ve 0 < 9 ise, kaçt r? Çözüm: (mod 9) ve 5 5 (mod 9) ve 5 6 (mod 9) oldu undan, (5 6 ) (mod 9). 8) (ab) (cd) (ba) eflitli ini sa laan (ab), (ba), (cd) iki rakaml sa lar n toplam Çözüm: (cd) (ba) (ab) ((ba) (ab))((ba) (ab)) (9 (b a))( (b a)) eflitliklerinden, b a ve b a ç kar. emek ki b 6, a 5. ola s la (cd) 33 ve (ab) (ba) (cd) ) 3 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: 8/ 6 eflitli inde u al nd nda u 6u 8 0 elde edilir. unun iki çözümü vard r: u ve u 4. emek ki a e a da 4 e eflit. Yani a da, ani a da 4. 0) 5 3 sa s n sa s na bölünüorsa, n en çok kaç olabilir? Çözüm: 5 3 (5 6 )(5 6 ) (5 6 )(5 8 )(5 8 ) (5 6 )(5 8 )(5 4 )(5 4 ) (5 6 )(5 8 )(5 4 )(5 )(5 ) (5 6 )(5 8 )(5 4 )(5 )(5 )(5 ) eflitliklerinin solundaki çarpanlara teker teker bakal m. lk befl çarpan e bölünür ama 4 e bölünmez, sonuncusu sadece 4 e bölünür. emek ki 5 3, tam olarak nin 7nci gücüne bölünür. ) > 0 eflitsizli ini sa laan pozitif tamsa lar n toplam kaçt r? Çözüm: 0 > ( 6) 4( 6) ( 4)( 6) ( 4) ( 4) eflitsizli inden,,, 3 bulunur. emek ki toplam 3 6 d r. ) Z/Z de ƒ() 7 5 ve (g ƒ )() 3 ise g(7) kaçt r? Çözüm: Z/Z de hesapl oruz. ƒ() 7 5 oldu undan, 7 (ƒ() 5), ani, ƒ () 7 ( 5). ola s la, 3 g(ƒ ()) g(7 ( 5)). unu 54 e (ani e) ugularsak, g(7) g((7 (54 5)) ( ) 3( ) 0 buluruz. 3) {a, b, c, d, e} kümesi üzerinde tan ml olan birleflme özelli ine sahip * ifllemi afla daki tabloda verilmifltir. a * b * c oldu una göre 80

5 Matematik ünas, 003 Güz * a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a Çözüm: Halkan n alan 6π oldu u gibi, an zamanda (R r )π dir de. emek ki R r 6. Pisagor Teoremi nden nin ar s n n 4 oldu u anlafl l r. emek ki 8. R r Çözüm: Tablodan etkisiz eleman n d oldu u görülür. emek ki c e ve a b. Verilen eflitli in her iki taraf n da (soldan vea sa dan, farketmez, ifllemin de iflme özelli i var) b * b ile çarparsak, a * b * c b *b * c e * c e * e a bulunur. 4),, z pozitif tamsa lar ve z 8 oldu una göre, n n 00 ile 00 aras nda alabilece i en büük de eri kaçt r? Çözüm: Verilenlerden, 5( ) 8 3( ) 8 9z 8 ç kar. emek ki 8 sa s 5, 3 ve 9 un ortak kat d r. unun tersi de do rudur: er 8 sa s 5, 3 ve 9 un ortak kat sa, sorudaki eflitli i sa laan, ve z kolal kla bulunur. KK(3,5,9) 45 ten 45k 8 ç kar. stenilen aral kta en büük de er olur. 5) 800 a b 5 eflitli ini sa laan a ve b pozitif tam sa lar için a b nin alaca en küçük de- er kaçt r? Çözüm: a n n a da b nin alabilece i en küçük de eri bulmak eterli oldu undan, a n n alabilece i en küçük de er olmal d r ve b nin alabilece i en küçük de er olmal d r. ola s la a b nin alabilece i en küçük de er 3030 dur. 6) flmerkezli çemberlerin s n rlad ve alan 6π cm olan halka bölgede hareket eden bir çubu unun bou en fazla kaç cm olabilir? 7) < eflitsizli inin çözüm kümesi Çözüm: için, > ( ) ve çözüm ok. < için, > ( ), ani < 0. emek ki bu durumda çözüm kümesi [, 0). < için, > ( ) 3, ani <. emek ki bu durumda çözüm kümesi (, ). Sonuç olarak çözüm kümesi (, ) [, 0), ani (, 0). 8) denkleminin (gerçel a da karmafl k) kökleri a, b ve c oldu una göre a b c ifadesinin de eri Çözüm: Verilenlere göre ( a)( b)( c). Sa taraf açarak, a b c 3 ab ac bc abc 3/ buluruz. emek ki 9 (a b c) (a b c ) (ab ac bc) (a b c ) 4, ani a b c ) ƒ(3 ) 3 ve g() fonksionlar verilior. una göre (ƒ g)(3) kaçt r? Çözüm: (ƒ g)(3) ƒ (g(3)) ƒ () oldu- undan, ƒ () i bulmal z. ƒ() ƒ(3(/3 /3) ) 3(/3 /3) 4, demek ki ƒ () 4 ve ƒ () 7. 30) ve gerçel sa lar olmak üzere () /3 oldu una göre kaçt r? Çözüm: irinci eflitlikten / bulunur. unu ikinci eflitli e erlefltirdi imizde, / / /3 buluruz, ani 8 0. unun iki çözümü vard r:, 6. unlara / tekabül eder, ani 4, 0. Her iki durumda da 6 bulunur. 8