Sayısal Analiz. Prof. Dr. Erhan Coşkun. Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Eylül, 2019

Sayısal Analiz Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü E-posta:erhan@ktu.edu.tr Eylül, 2019 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 1 / 41

Matematiksel Analiz Analitik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 2 / 41

Matematiksel Analiz Analitik Sayısal E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 2 / 41

Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 2 / 41

Matematiksel Analiz Analitik Sayısal Kalitatif Sembolik E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 2 / 41

Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 3 / 41

Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 3 / 41

Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 3 / 41

Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 3 / 41

Analitik Analiz x 2 3x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi? denklem sisteminin çözümü? 1 0 sin(x)dx integralinin sonucu? a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2 (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ) noktalarından geçen doğru denkleminin belirlenmesi? y = t y, t (a, b), y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 3 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? Grafiği, verilen (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Sayısal Analiz a 5 x 5 + a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 denkleminin çözümü? (Derecesi beş veya daha büyük genel bir polinomun kökleri için benzer formüller verilemez(niels Henrik Abel(1802-1829)Norveçli Matematikçi, Genellleştirme: Évariste Galois(1811-1832) Fransız Matematikçi). AX = b denklem sisteminin çözümü veya en genel olarak F (X ) = 0 nonlineer sisteminin çözümü? 1 0 sin(x 2 )dx integralinin sonucu? Grafiği, verilen (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) noktalarından geçen polinomun belirlenmesi? y = t y 2, t (a, b) y(a) = y 0 başlangıç değer probleminin çözümünün belirlenmesi? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 4 / 41

Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 5 / 41

Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 5 / 41

Kalitatif Analiz Çözümü elde etmeden, çözüm hakkında bilgi edinmek. Örneğin y = y(1 y) y(0) = y 0 problemini gözönüne alalım. y 0 > 1 için denklemin sağ tarafınegatif olup, y < 0 dır. Dolayısıyla çözüm eğrileri artan t değerleri için azalarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. 0 < y 0 < 1 için denklemin sağ tarafıpozitif, yani y > 0 olup, çözüm eğrileri artarak y = 1 asimtotuna yaklaşırlar. Öte yandan y 0 < 0 için denklemin sağ yanınegatif olacağıiçin çözüm eğrilerinin devamlıolarak azalmasıgerektiği, çözüm belirlenmeksizin anlaşılmaktadır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 5 / 41

Kalitatif Analiz Gerçekten de aşağıda Maxima nın plotdf fonksiyonu yardımıyla elde ettiğimiz çözüm eğrileri tahmin edilen davranışısergilemektedirler. y 2 1 0 1 2 0 0. 5 1 1. 5 x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 6 / 41

Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında Bilgisayar Cebir Sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 7 / 41

Sembolik analiz Sembolik analitiz, analitik yöntemlerin bilgisayar ortamında Bilgisayar Cebir Sistemi adıverilen yazılımlar yardımıyla geçekleştirilen analiz yöntemidir. Analitik çözümü kolayca elde edilebilen aşağıdaki başlangıç değer probleminin Maxima ortamında çözümünün nasıl elde edildiğini izleyelim: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 7 / 41

Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 8 / 41

Sembolik analiz y + y = x y(0) = 0, y (0) = 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 8 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci Uygun bir matematiksel dille ifade edilmiş bir problem, problemin çözümü için gerekli sayısal yöntem, söz konusu sayısal yöntem için geliştirilen algoritma, algoritmanın uygun bir programlama diline dönüştürülmüş programı(kodu), Programın örnek problemler üzerinde test edilmesi(uygulama) ve sonuç, yorum ve yöntemin kritiği(kısıtlamaları) ile mümkünse alternatif yöntem arayışlarınıiçeren aşamalardan oluşur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 9 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan fonksiyonun, söz konusu nokta komşuluğunda reel sıfır yerini(eğer mevcutsa) içeren [a, b] aralĭgınıbelirleme problemi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 10 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Problem:Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan fonksiyonun, söz konusu nokta komşuluğunda reel sıfır yerini(eğer mevcutsa) içeren [a, b] aralĭgınıbelirleme problemi Sayısal yöntem(sağ veya sol yönde tarama): x 0 noktasınıiçeren uygun bir [x_ min, x_ max] = [x 0 R, x 0 + R], R > 0 sabit, kümesine sıfıryeri tarama aralığı adıverelim. x = x 0 noktasından başlayarak önce sağa doğru, uygun bir h adım uzunluklu ile tanımlanan noktalarda, x, x + h, x + 2h,... f (x)f (x + h) <= 0 eşitsizliğini sağlayan ilk (x, x + h) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x, x + h] dır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 10 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x 0 noktasından başlayarak, ile tanımlanan noktalarda x, x h, x 2h,... f (x h)f (x) <= 0 yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x h, x) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x h, x] dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 11 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:sıfır yerini içeren aralĭgı belirleme problemi) Eğer belirtilen kriterleri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise, bu durumda x = x 0 noktasından başlayarak, ile tanımlanan noktalarda x, x h, x 2h,... f (x h)f (x) <= 0 yukarıdaki eşitsizliğin sağlandĭgıilk (x h, x) nokta çiftini belirleyelim. Bu durumda sıfır yerini içeren aralık X = [x h, x] dir. Eğer sol yönde tarama işleminde de belirtilen kriteri sağlayan nokta çifti bulunamaz ise bu durumda [x_ min, x_ max] tarama aralĭgında sıfıryerini içeren alt aralık belirlenememiş olur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 11 / 41

Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 12 / 41

Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 12 / 41

Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, yöntemin uygulanmasıiçin gerekli her bir adım ile E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 12 / 41

Örnek-I:Algoritma Algoritma sayısal yöntemin hangi adımlar takip edilerek, nasıl uygulanacağınıifade eder. Algoritma kullanıcıdan Girdi(input) adıverilen verilerin alınması, yöntemin uygulanmasıiçin gerekli her bir adım ile kullanıcıya iletilecek sonuçların(çıktı veya Output) açık ve net bir biçimde ifade edildiği komutlar kümesidir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 12 / 41

Örnek-I:Algoritma Girdi : f, x 0 Varsayılan parametreler: R = 10 varsayılan sıfır yeri tarama yarıçapı x_ min = x 0 R, x _ max = x 0 + R olmak üzere [x _ min, x _ max ] sıfır yeri tarama aralĭgı h = 0.1 (tarama adım uzunluğu), yani ardışık noktalar arasımesafe, x = x 0 ilk tahmini değer Sağ yönde tarama: x < x _ max olduğu sürece 1 eğer f (x)f (x + h) 0 ise X = [x, x + h] tanımla ve çık, 2 değilse x = x + h olarak tanımla ve 1 e git E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 13 / 41

Örnek-I:Algoritma Sol yönde tarama x = x 0, x > x_ min olduğu sürece 3 eğer f (x h)f (x) 0 ise X = [x h, x] tanımla ve çık, 4 değilse x = x h olarak tanımla ve 3 e git Sıfır yeri için tahmini aralık bulunamadıyaz, X = [] tanımla ve çık. Çıktı: X E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 14 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Program(Kod) function X=bul(f,x0) x = x0; R = 10; x_min = x0 R; x_max = x0 + R; h = 0.1; while x < x_ max if f (x) f (x + h) <= 0 X = [x, x + h]; return; else x = x + h; end end x = x0; while x > x_ min if f (x h) f (x) <= 0 X = [x h, x]; return; else x = x h; end end disp( sifir yerini iceren aralik bulunamadi ); X = []; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 15 / 41

Örnek-I:Test ve uygulama f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 16 / 41

Örnek-I:Test ve uygulama f (x) = exp(x) x 4 fonksiyonunun x 0 = 0 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgınıbelirleyiniz. >> f=@(x) exp(x)-x-4 >> X=bul(f,0) X= 1.7000 1.8000 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 16 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 17 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-i:test) f (x) = log(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 10 noktası komşuluğundaki sıfır yerini içeren ve h = 0.1 uzunluklu [a, b] aralĭgını belirleyiniz. >> f=@(x) log(x)-x+4 >> X=bul(f,10) X=5.7000 5.8000 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 17 / 41

Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 18 / 41

Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 18 / 41

Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 18 / 41

Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine aradeğer teoremi gereği, yöntem sadece sıfır noktası komşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( tek katlı sıfır yerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfır yerlerine sahip olan, yani sıfır yeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfır yerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 18 / 41

Örnek-I:Kısıtlamalar, alternatif arayışlar Süreksiz fonksiyonlar için süreksizlik noktalarınıiçeren aralık yukarıda tanımlanan yöntem ile yanlışlıkla sıfır yeri olarak yorumlanabilir. Örneğin f (x) = 1/x fonsiyonuna sıfır noktasınıiçeren bir aralıkta yöntem uygulandĭgıtaktirde bu tür bir yanlış sonuç oluşabilir. Yöntem sürekli fonksiyonlar için aradeğer teoremini esas aldĭgıiçin sadece sürekli fonksiyonlara uygulanabilir. Yine aradeğer teoremi gereği, yöntem sadece sıfır noktası komşuluğunda işaret değiştiren sıfır yerlerini( tek katlı sıfır yerlerini) belirlemek amacıyla kullanılabilir, fakat f (x) = x 2 gibi çift katlısıfır yerlerine sahip olan, yani sıfır yeri komşuluğunda işaret değiştirmeyen fonksiyonların sıfır yerlerinin belirlenmesinde kullanılamaz. Yöntem yukarıda bahsedilen durumlar için de uygulanabilecek şekilde geliştirilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 18 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yeri için uygun bir yaklaşımıbelirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 19 / 41

Sayısal Analiz süreci(örnek-ii) Problem(Sıfıryeri belirleme problemi):f fonksiyonu [a, b] aralĭgında tanımlıve aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren ( f (a)f (b) < 0 ) sürekli bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun [a, b] aralĭgındaki sıfır yeri için uygun bir yaklaşımıbelirleyiniz. Sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereği problemin çözümü mevcuttur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 19 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için b a > ɛ veya c = (a + b)/2 olmak üzere f (c) > ɛ olduğu sürece devam edilir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) Bu yöntem ile [a, b] aralĭgıile başlayarak, aralık her adımda iki eşit parçaya bölünür ve fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni [a, b] alt aralĭgıbelirlenir, aralık bölme işlemine fonksiyonun işaret değiştirdiği yeni aralık ile ve ɛ > 0 küçük sabiti için b a > ɛ veya c = (a + b)/2 olmak üzere f (c) > ɛ olduğu sürece devam edilir, elde edilen en son aralĭgın orta noktasısıfır yeri olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 20 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] ile ikiye bölme yöntemi alt aralıklarıve yaklaşımları: E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 21 / 41

Örnek-II:Sayısal yöntem(ikiye bölme yöntemi) f (x) = x 2 2, [a, b] = [0, 5] ile ikiye bölme yöntemi alt aralıklarıve yaklaşımları: 30 5 20 10 0 0 10 0 1 2 3 4 5 [0,5],c=2.5 5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 [0,2.5],c=1.25 2 1 0 0 1 5 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 [1.25,2.5],c=1.875 2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 [1.25,1.875],c=1.5625 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 21 / 41

Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 22 / 41

Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 22 / 41

Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 22 / 41

Örnek-II:Algoritma 1 Girdi: f, a, b, ɛ. 2 c = (a + b)/2 3 Eğer f (a)f (c) < 0 ise b = c, değilse a = c 4 f (c) > ɛ olduğu sürece a, c, b, f (c) değerlerini yaz ve (2) ye git değilse işlemi durdur. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 22 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Program(Kod) 1 function c=ikibol(f,a,b, epsilon) 2 c = (a + b)/2; fc = f (c); 3 fprintf (Format, a, c, b, fc); 4 while abs(fc) > epsilon 5 if f (a) fc < 0 6 b = c; 7 else 8 a = c; 9 end 10 c = (a + b)/2; fc = f (c); 11 fprintf (Format, a, c, b, fc); 12 end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 23 / 41

Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 24 / 41

Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. f = @(x) exp(x) (x + 2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 24 / 41

Örnek-II:Test ve uygulama f (x) = e x (x + 2) fonksiyonunun [0, 2] aralĭgındaki sıfır yerini ikiye bölme yöntemi yardımıyla belirleyelim. f fonksiyonunu komutu ile tanımlayalım. y 3 f = @(x) exp(x) (x + 2); 2 1 0 1 0.5 1.0 1.5 2.0 x E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 24 / 41

Örnek-II: Test ve uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) 0.000000 1.000000 2.000000-0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000-0.044783............ 1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 25 / 41

Örnek-II: Test ve uygulama Programıçalıştırarak, a, c, b, f (c) değerleri aşağıdaki gibi elde edilir: >>ikibol(f,0,2,1e-4) 0.000000 1.000000 2.000000-0.281718 1.000000 1.500000 2.000000 0.981689 1.000000 1.250000 1.500000 0.240343 1.000000 1.125000 1.250000-0.044783............ 1.146193 1.146193 1.146193 0.000000 ans=1.1462 Virgülden sonra onbeş basamağa kadar sıfır yeri için yaklaşım c = 1.146193220620583 dir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 25 / 41

Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfır yerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1), sıfır yerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızıhakkında ne söyleyebiliriz? E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 26 / 41

Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Yöntemin söz konusu aralıktaki sıfır yerini her zaman belirleyip ya da belirleyemeyeceği(teorem 1), sıfır yerini belirleyebilme hızı(orta noktalardan oluşan dizinin yakınsama hızıhakkında ne söyleyebiliriz? Teorem 1 f fonksiyonu [a, b] = [a 1, b 1 ] aralĭgının uç noktalarında işaret değiştiren sürekli bir fonksiyon ve r de fonksiyonun her n için f (a n )f (b n ) < 0 şartını sağlayan [a n, b n ] aralĭgındaki sıfıryeri ve {c n } n=1 ise c n = (a n + b n )/2 ile tanımlanan orta noktalar dizisi olsun. Bu taktirde dir. lim c n = r n E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 26 / 41

Örnek-II:Yakınsaklık Analizi E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 27 / 41

İspat: r sıfır yeri için n inci adımda r c n b n a n 2 olduğu açıktır. Öte yandan her bir alt aralĭgın uzunluğu önceki alt aralĭgın uzunluğunun yarısına eşit olduğundan r c n b n a n 2 = b n 1 a n 1 2 2 = = b 1 a 1 2 n elde ederiz. Yukarıdaki eşitsizlikten lim n r c n = 0 elde ederiz. Öte yandan r c n r c n r c n eşitsizliği ve Sıkıştırma Teoreminden[7] sonuç açıkça görülür. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 28 / 41

Örnek-II:Yakınsaklık Analizi Tanım 1 Bir r noktasına yakınsayan {c n } n=0 dizisi verilmiş olsun. Eğer her n N için r c n+1 α r c n β eşitsizliği sağlanacak biçimde α > 0, β 1 reel sayılarıve N > 0 tamsayısı mevcutsa {c n } n=1 dizisi β-ıncı basamaktan yakınsak bir dizidir denir. β = 1 olmasıdurumunda yakınsama için α (0, 1) olmalıdır ve bu durumda diziye lineer yakınsak dizi adıverilir. β = 2 olması durumda ise diziye kuadratik yakınsak dizi adıverilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 29 / 41

Örnek-II:Yakınsaklık Analizi İkiye bölme yöntemi için ve r c n+1 b n+1 a n+1 2 r c n b n a n 2 eşitsizliklerini karşılaştırarak r c n+1 = 1 2 r c n = 1 b n a n 2 2 elde ederiz. O halde yöntem lineer olarak yakınsaktır. r c n+1 / r c n = 1 2 sabiti ise ortalama yakınsaklık oranıolarak tanımlanır. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 30 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 31 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Genellikle Regula Falsi olarak bilinen yöntem, her adımda aralĭgıorta noktasından ikiye bölmek yerine, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarınıbirleştiren kirişin x eksenini kesim noktasıyardımıyla aralĭgıiki alt parçaya böler ve söz konusu kesim noktasınısıfır yeri için yaklaşımlar dizisinin bir elemanıolarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 31 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 32 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 32 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 32 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kirişle Bölme Yöntem Diğer bir değimle, (a, f (a)), (b, f (b)) noktalarından geçen birinci dereceden polinomun sıfır yeri, fonksiyon sıfır yeri için bir yaklaşım olarak kabul edilir. Kirişin ekseni kesim noktasınıbelirlemek için öncelikle kiriş denklemini gözönüne alalım: y = f (a) + f (b) f (a) (x a) b a Bu doğrunun x = c olarak adlandıracağımız x eksenini kesim noktası, y = 0 alarak (b a) c = a f (a) (1) f (b) f (a) elde ederiz. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir. (Daha etkin sonuçlandırma kriterleri düşünülebilir!). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 32 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 33 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 33 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş(secant) yöntemi) Sekant(secant(kiriş)) olarak bilinen yöntem, Kirişle bölme yöntemindeki sıfır yerini içeren aralıkla başlayarak, her adımda sıfıyerini içeren alt aralıkla devam etme kısıtlamalarınıkaldırarak, sıfır yeri komşuluğunda seçilen herhangi iki a ve b noktasıile başlayarak (1) ile belirlenen c noktasınıyeni yaklaşım olarak kabul eder. Bir sonraki adımda a noktası, önceki adımın b noktası, b noktasıise önceki adımın c noktasıolarak seçilmek suretiyle işleme devam edilir. f (c) > epsilon olduğu sürece işleme devam edilir. Kriteri sağlamayan, yani f (c) epsilon eşitsizliğini sağlayan ilk c değeri sıfır yeri olarak kabul edilebilir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 33 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 34 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 34 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 34 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 34 / 41

Örnek-II: Alternatif Arayışlar:Kiriş yöntemi geliştirebilir mi? Sıfır yeri komşuluğunda iki nokta yerine, x 0, x 1 ve x 2 gibi üç nokta alarak, Grafiği (x 0, f (x 0 )), (x 1, f (x 1 )), (x 2, f (x 2 )) noktalarından geçen ikinci dereceden polinomun x 3 ile göstereceğimiz sıfır yerini, f fonksiyonun sıfır yeri için bir yaklaşım kabul edelim. Bir sonraki adımda x 0 = x 1, x 1 = x 2, x 2 = x 3 edelim. alarak işleme devam f (x 3 ) > epsilon olduğu sürece işleme devam edelim. Kriteri sağlamayan ilk x 3 değerini sıfır yeri olarak kabul edelim. Yukarıda ana hatlarıyla bahsedilen yöntem Muller yöntemi olarak bilinir( [6]). E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 34 / 41

Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 35 / 41

Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan f fonksiyonunun sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgı Örnek II deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonun sıfır yerini belirleyebiliriz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 35 / 41

Örnek-III Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi Problem: Verilen bir x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan bir f fonksiyonunun, x 0 noktasıkomşuluğunda ve süreklilik aralĭgı içerisindeki sıfır yerini belirleyiniz. Yöntem(karma yöntem): Öncelikle verilen x 0 noktasıkomşuluğunda sürekli olan f fonksiyonunun sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I de geliştirdiğimiz yöntem ile belirledikten sonra, elde edilen aralĭgı Örnek II deki ikiye bölme yöntemine göndererek fonsiyonun sıfır yerini belirleyebiliriz. Algoritma Yönteme ait algoritma aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 35 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, 3 değilse Örnek II deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III Algoritma(Verilen bir nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 1 Girdi f(sürekli),x0 f nin sıfır yerini içeren [a, b] aralĭgınıörnek I deki yöntem ile belirle 2 31 eğer f (a) = 0 ise c = a, 2 değil ve eğer f (b) = 0 ise c = b dir, 3 değilse Örnek II deki yöntem ile c=ikibol(f,a,b) ile c yi bul Çıktı: c E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 36 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) 4 Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Program(Kod)(Verilen nokta komşuluğundaki sıfır yerini belirleme problemi) Yukarıdaki Algoritmaya ait program aşağıda verilmektedir. function c=fsifir(f,x0); X = bul(f, x0); if isempty(x ) c = []; return; else a = X (1); b = X (2); if f (a) == 0 c = a; elseif f (b) == 0 c = b; else c = ikibol(f, a, b); end end E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 37 / 41

Örnek-III: Test ve uygulama f (x) = ln(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 38 / 41

Örnek-III: Test ve uygulama f (x) = ln(x) x + 4 fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. >> f=@(x) log(x)-x+4 >> fsifir(f,4) ans = 5.7490 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 38 / 41

Örnek-III :Test ve uygulama Aynıişlem MATLAB/OCTAVE fzero fonksiyonu yardımıyla da gerçekleştirilebilir: >> fzero(f,4) ans = 5.7490 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 39 / 41

Örnek-III :Test ve uygulama f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 40 / 41

Örnek-III :Test ve uygulama f (x) = xsin(1/x) fonksiyonunun x 0 = 4 noktasıkomşuluğundaki sıfır yerini belirleyiniz. >> f=@(x) x*sin(1/x) >> fsifir(f,4) ans = 0.3183 E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 40 / 41

Kaynaklar Atkinson, K. An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, 1988. Coşkun, E., MATLAB/OCTAVE ile Sayısal Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E., Maxima ile Sembolik Hesaplama ve Kodlama(URL:erhancoskun.com.tr). Coşkun, E. Vektör Cebirsel Uygulamalarla Sayısal Analize Giriş(URL:erhancoskun.com.tr). Kincaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis, Brooks/Cole, 1991. Stoer, J., Bulirsh, R., Introduction to Numerical Analysis, Springer-Verlag, 1976. Zill, Dennis G., Wright, Warren S.(çeviri Ed. Cangül, İ. N.), Matematik Cilt 1, Nobel yayınevi, 2017. E. Coşkun (KTÜ) Bölüm 1 Eylül, 2019 41 / 41