2.2 Bazıözel fonksiyonlar

Transkript

1 . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f() = m + n biçimindeki bir fonksiona lineer fonksion denir. n = 0 için f() = m orijinden geçen doğruları göstermektedir. m = 1 ve n = 0 için f() = fonksionuna birim fonksion denir. m = 0 olmasıdurumunda sabit fonksion ortaa çıkar. (Grafikleri ile ilgili bilgiler verilebilir) -) Kuvvet fonksionları: a bir sabit saıolmak üzere f() = a biçimindeki fonksionlara kuvvet fonksionlarıdenir. Kuvvet fonksionlarının bazı özel durumlarışu şekildedir. i) a = n, n bir pozitif tam saı. f() = n fonksionunun n = 1,, 3, 4, 5 için grafikleri çizilebilir. ii) a = 1 n, n bir pozitif tam saı. f() = 1 n = n fonksionuna kök fonksionu denir. (n =, 3 için garfikler çizilebilir) iii) a = 1 ve a = durumları için kuvvet fonksionunun grafikleri hakkında bilgi verilebilir. 3-) Polinomlar: n negatif olmaan bir tam saıve a 0, a 1, a n reel saılar olmak üzere P () = a n n + + a 1 + a 0 şeklindeki fonksionlara polinom adıverilir. Bütün polinomlar R üzerinde tanımlıdır. a 0, a 1, a n e polinomun kat saıları, a n 0 ise n e polinomun derecesi denir. (Bir kaç örnek verilebilir). Derecesi 1 olan polinom P () = m+n tipinde olacağından bir lineer fonksiondur. Derecesi olan polinom P () = a +b+c biçimindedir ve kuadratik fonksion (ikinci dereceden polinom) adınıtaşır. İkinci dereceden polinomların grafikleri parabol olur. (Grafikleri hakkında bilgi verilebilir) Derecesi 3 olan polinom P () = a 3 + b + c + d biçimindedir ve kübik fonksion adınıalır. 4-) Rasonel fonksionlar: P ve Q gibi iki fonksionun oranıolarak ifade edilebilen f() = P () Q() biçimindeki fonksionlara rasonel fonksion adıverilir. Tanım kümesi Q() 0 olan tüm reel saılarının kümesidir. (Bir kaç örnek verilebilir). 5-) Cebirsel fonksionlar: Polinomlardan cebirsel işlemlerle elde edilebilen (toplama, çıkarma, çarpma, bilme, kök alma) fonksionlara cebirsel fonksion denir. Örneğin f() = bir cebirsel fonksiondur. Rasonel fonksionlar cebirsel fonksionlardır. 6-) Transandant fonksionlar: Bunlar cebirsel olmaan fonksionlardır. Trigonometrik fonksionlar, ters trigonometrik fonksionlar, üstel ve logaritmik fonksionlar bu sınıftadır. Bu sınıftaki bazıözel fonksionlar hakkında detalı bilgileri ileride göreceğiz. 5

2 7-) Mutlak değer fonksionu: f bir fonksion olmak üzere f(), f() 0 f () = f() = f(), f() < 0 şeklinde tanımlanan f fonksionuna f nin mutlak değer fonksionu denir. (Mutlak değer fonksionunun garfiği hakkında bilgi verilebilir). 8-) Tam değer fonksionu: f() = şeklinde tanımlanan fonksiona tam değer fonksionu adıverilir. ([, ] aralığında f() =, g() =, h() = fonksionlarının grafikleri çizilebilir).3 Fonksionların dönüşümleri ve pratik grafik çizimleri Bir fonksionun grafiğine dönüşümler ugulaarak eni fonksionlar elde edebiliriz. Bu bize bir çok fonksionun grafiğini hızlı biçimde çizebilme eteneği sağlar. Şimdi c > 0 olsun. = f() + c nin grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği c kadar ukarı, = f() c nin grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği c kadar aşağı, = f( c) nin grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği c kadar sağa, = f( + c) nin grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği c kadar sola kadırılır. Yine = cf() in grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği düşe olarak c kadar gerilir. = f(c) in grafiğini çizebilmek için = f() in grafiği ata olarak c kadar gerilir. = f() in grafiğini çizebilmek için = f() in grafiğinin -eksenine göre ansımasıalınır. = f( ) in grafiğini çizebilmek için = f() in grafiğinin -eksenine göre ansımasıalınır. Örnek 18 = fonksionunun grafiğinden ararlanarak, =, =, =, =, = fonksionlarının grafiğini çiziniz. Örnek 19 = fonksionunun grafiğinden ararlanarak = fonksionunun grafiğini çiziniz. Örnek 0 = fonksionunun grafiğinden ararlanarak = ( 4), = + 3, = 3, = ( + 4) fonksionlarının grafiğini çiziniz. Örnek 1 = 1 +, = 3 +, = 1 3, = + 1 fonksionlarının grafiğini çiziniz. = f() in grafiği çizebilmek için önce = f() in grafiği çizilir Daha sonra -ekseninin altında kalan parçanın -eksenine göre simetriği alınır. = f( ) in grafiği çizebilmek için önce = f() in 0 için grafiği çizilir. Bu eğrinin -eksenine göre simetriği alınır. = f( ) in grafiği çizebilmek için ukarıdaki iki işlem gerçekleştirilir. 6

3 Örnek f() = 3 4, g() = 4, h() =, k() = fonksionlarının grafiğini çiziniz. Örnek 3 Aşağıdaki fonksionların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. 1. f() = (Tanım kümesi [, ) dur. Görüntü kümesinin ise [0, ) olduğu açıktır.). f() = (Tanım kümesi R dir. Görüntü kümesini bulmak için f() = ( ) + 1 azalım. Buradan görüntü kümesinin [1, ) olduğu görülmektedir. Diğer bir ol ise = ifadesinde reel iken reel saılarının kümesini bulmaktır. Buradan = 0 ise 1, = 4± 4 4 olup 1 olmalıdır.) 3. f() = 3 1 (Tanım kümesi R dir. Görüntü kümesini bulmak 3 1 = ifadesinde reel iken reel saılarının kümesini bulalım. Buradan = olup R dir. ) 4. f() = 3 +1 (Tanım kümesi ( 1, 3] dür. Görüntü kümesini bulmak 3 +1 = ifadesinde ( 1, 3] iken reel saılarının kümesini bulalım. Öncelikle nin negatif olamaacağıaçıktır. Diğer taraftan 3 = + ise = 3 +1 [0, ) dur.) 5. f() = olup R olur. Bölece verilen fonksionun görüntü kümesi (Tanım kümesi R\{1, } dir. Görüntü kümesini bulmak = ifadesinde R\{1, } iken reel saılarının kümesini bulalım. Buradan = ( 3 + ) ise (1 ) + (3 3) + 4 = 0 olup 1, = 3 3± +6 7 (1 ) bulunur. Buradan 1 ve olması gerektiği ve dolaısıla (, 7] (1, ) olduğu bulunur.) Uarı4 P () = a n n + + a 1 + a 0 tipinde n. dereceden polinomun grafiği için aşağıdaki bilgiler kullanılabilir. Böle bir polinomun grafiği uçlarda ( in büük ve küçük değerleri için) = a n n nin grafiğine benzerdir. Buna göre n nin çift olması halinde a n > 0 ise uçlardaki kollar ukarı, a n < 0 ise aşağı doğrudur. n nin tek olması halinde a n > 0 ise sağ taraftaki kol ukarı sol taraftaki kol aşağı, a n < 0 ise durum tam tersidir. Uçlardaki bu davranışı belirledikten sonra polinomun arada nasıl davrandĭgınıöğrenmek için polinomun sıfır erlerinden ararlanabiliriz. Bilindĭgi gibi bir 0 reel saısının n. dereceden bir polinomun sıfır eri (kök) olması için gerek ve eter şart ( 0 ) ın bu polinomun bir çarpanı olmasıdır. Yani P () = ( 0 )Q() olmasıdır. Eğer ( 0 ) m P nin bir çarpanıise 0 a katlıkök denir. m nin tek olmasıhalinde P nin grafiği -eksenini ( 0, 0) noktasında kesip geçer. Tek olan m nin derecesi arttıkça grafik kesim noktasında assılaşır. Eğer m nin derecesi çift ise grafik ( 0, 0) noktasında -eksenine teğettir. (Polinomun tek vea çift olup olmadĭgı bilgiside ihtiaç olduğunda kullanılabilir) 7

4 Örnek 5 Aşağıdaki fonksionların grafiğini çiziniz. 1. f() = 3 9 (Uçlarda = 3 ün grafiğine benzer, f nin sıfırları 0, 3 ve 3 dür. Bu noktalar için m = 1 olduğundan bu noktalarda grafik -eksenin kesip geçer. f nin tek fonksion olduğuna da dikkat ediniz) g() = (1 )(+1) (Uçlarda = 3 ün grafiğine benzer. f nin sıfırları 1 ve 1 dir. 1 çift katlıkökdür. ) h() = ( + 4)( ) 3 (Uçlarda = 4 ün grafiğine benzer. f nin sıfırları 4 ve dir. Bu noktalar tek katlı kök olduğundan eğri bu noktalarda -eksenin kesip geçer. Fakat 4 noktası için m = 1 ve noktası için m = 3 olduğundan 4 noktasındaki kesim daha diktir) Trigonometrik Fonksionlar Bu bölümde radan ölçüsünü ve temel trigonometrik fonksionlarıele alacağız. Bilindiği gibi açılar derece vea radan olarak ölçülür. 1 derece bir çemberin merkez açısının tamamının ölçüsünün 360 da biridir. Diğer taraftan birim çemberde bir merkez açıa karşılık gelen aın uzunluğuna o açının radan olarak ölçüsü denir. Yarı çapı 1 birim olan çemberin çevresi π birimdir. Merkez açının tamamının ölçüsü 360 olduğundan π radan= 360 derecedir. Buna göre derece cinsinden verilen tüm açılarıradan cinsinden azabiliriz. Örneğin 45 = π 4 radan, 60 = π 3 radan ve 10 = π 3 radandır. 8

5 Şimdi anımerkezli birim çember ile r arıçaplıçember çizelim. Daire dilimlerinin benzerliğinden E s D t C A B bulunur. t CA = s CB s = rt Örnek 6 Yarıçapı 6 birim olan bir çemberde bir merkez açıa karşılık gelen aın uzunluğu π birim ise merkez açının ölçüsü kaç radandır. bulunur. s = rt π = 6t t = π 3 Bir açının köşesi -düzleminde orijinde ise ve başlangıç ışını -ekseni üzerinde bulunuorsa bu açının standart konumda olduğu sölenir. -ekseninden saat önünün tersine ölçülen açılar pozitif ölçüde, saat önünde ölçülen açılar negatif ölçüdedir. Bitiş Işını Başlangıç Işını Bitiş Işını Başlangıç Işını Pozitif açı Negatif açı Açılar birden fazla dönüm aparakta elde edilebilir. t t = 3π 9

6 Şimdi merkezi orijinde ve arıçapı1 birim olan çember çizelim.yine bir kenarı OH olan ve ölçüsü θ olan açıı çizelim. Bu durumda çember üzerinde bir P noktasıelde edilir P noktasının apsisi cos θ, ordinatısin θ olarak tanımlanır. Bölece her bir θ açısına karşılık bir cos θ (kosinüs) ve sin θ (sinüs) bulunur. Şekildende anlaşılacağıüzere 1 sin θ 1 ve 1 cos θ 1 dir. Şimdi de merkezleri orijinde olan birim çember ile arıçapır olan bir çember çizelim. θ ölçülü standart bir açının çemberleri kestiği noktalar P ve Q olsun. sin θ = AP ve cos θ = OA dır. Üçgenlerin benzerliğinden bulunur. Benzer şekilde cos θ = OB r AP OP = BQ BQ sin θ = OQ r elde edilir. Buna göre bir dik üçgende B c a A b C sin θ = b c ve cos θ = a c olur. Sinüs ve Kosinüs ten başka en çok kullanılan diğer dört oran tanjant (tan), kotanjant (cot), sekant (sec) ve kosekant (csc) tır. Bunlar şu şekilde tanımlanır. tan θ = sin θ cos θ, cot θ = cos θ sin θ, sec θ = 1 cos θ, csc θ = 1 sin θ. 10

7 sin π 6 sin π 3 sin π 4 = 1, cos π 3 6 =, tan π 6 = 1, cot π 3 6 = 3 3 =, cos π 3 = 1, tan π 3 = 3, cot π 3 = 1 3 = 1 = cos π 4, tan π 4 = 1 = cot π 4. Birim çember üzerinde bir noktanın apsis ve ordinatının işareti göz önüne alınarak trigonometrik oranların işareti bulunabilir. Bunların tanımlı olması için padanın sıfırdan farklı olması gerekir. Bazı özel açıların trigonometrik oranlarıaşağıdadır. Bunlar ugun üçgenler çizilerek hesaplanabilir. +,,, +,+,+,+,,+,+,+,, sin, cos, tan, cot Örnek 7 cos π 3 ve sin π 3 ifadelerini hesaplaınız. cos π 3 = 1, sin π 3 = 3. Her bir a uzunluğuna bir sin ve bir cos karşılık geldiğinden f() = sin ve g() = cos fonksionlarına ve bunlar ardımıla elde edilen tan, cot, sec ve csc fonksionlarına trigonometrik fonksionlar denir..4.1 Trigonometrik Özdeşlikler Birim çember üzerindedeki bir P (, ) noktası için + = 1 denkleminin sağlandığınıbilioruz. Buna göre OP ışınının -ekseni ile pozitif önde aptığı açıθ olmak üzere = cos θ ve = sin θ olduğundan cos θ + sin θ = 1 (1) denklemi bulunur. (, ) noktası(, ) noktasının -eksenine göre simetriği olduğundan cos( θ) = cos θ ve sin( θ) = sin θ () eşitlikleri de sağlanır. Buradan kosinüsün çift, sinüsün tek fonksion olduklarıve ine tanjantın ve kotanjantın da tek fonksion olduklarıanlaşılmaktadır. Arıca birim çember üzerindedeki bir P (, ) noktasının konumu dikkate alındığında sin( π θ) = cos θ ve cos(π θ) = sin θ (3) 11

8 olduklarıda görülmektedir. İki aın farkının kosinüsü: cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β (4) eşitliği ile hesaplanabilir. (Bu eşitliğin ispatıödev olarak bırakılabilir. Bölmün sonunda verilen ek sorular arasında ispatıapılacaktır). Diğer bütün trigonometrik özdeşlikler (1), (), (3) ve (4) bağıntılarından elde edilebilir. Örneğin (4) de β erine β azılarak bulunur. Yine olduğundan cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α β) = cos( π (α β)) = cos(( π α) + β) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β bulunur. Burada β erine β azılarak ta elde edilir. Arıca sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β tan(α + β) = = = = sin(α + β) cos(α + β) sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β sin α cos β cos α sin β cos α cos β + cos α cos β sin α sin β 1 cos α cos β tan α + tan β 1 tan α tan β dır. Yine tan α tan β tan(α β) = 1 + tan α tan β olduğunu da görmek koladır. Toplam formüllerinde α = β azılırsa cos α = cos α sin α = 1 sin α = cos α 1 sin α = sin α cos α tan α = tan α 1 tan α eşitlikleri elde edilir. Toplam ve fark formülleri taraf tarafa toplanır vea çıkarılır ve gerekli sadeleştirmeler apılırsa sin α sin β, sin α cos β ve cos α cos β çarpımlarıile ilgili bağıntılar elde edilebilir. 1

9 Örnek 8 cos( 3π α), sin( 3π α), cos( 3π + α), sin( 3π + α) ifadelerini toplam ve fark formüllerini kullanarak daha sade biçimde azabiliriz. Örnek 9 sin 7π 1 i sin( π 4 + π 11π 3 ) şeklinde azarak hesaplaabiliriz. Yine cos 1 i cos( π 4 + π 3 ) şeklinde azarak hesaplaabiliriz. Örnek 30 cos π 1 ve sin 5π 1 i hesaplaınız..4. Perodiklik ve Trigonometrik Fonksionların Grafikleri Tanım 31 f : A R bir fonksion olsun. Her A için +p tanım kümesine ait iken f( + p) = f() olacak şekilde pozitif bir p saısı varsa f e perodik fonksion, p e de f nin bir perodu denir. Bu eşitlĭgi sağlaan p saılarının en küçüğü varsa buna f nin esas perodu (kısaca perot olarak kullanılacaktır) denir. Esas perodu p olan bir f fonksionunun p birim uzunluğunda bir aralıkta grafiğinin çizilmesi halinde tüm grafiği çizilebilir. Bunun için grafiğin sağa ve sola p birim uzunluğunda kadırılmasıeterlidir. Örnek 3 f() = ve g() = fonksionları perodiktirler. Bunların esas perodu p = 1 dir. [0, 1] aralĭgında garfik çizilip ve öteleme apılarak tüm grafik elde edilebilir. Örnek 33 Sabit fonksion perodiktir fakat esas perodu oktur. Örnek 34 f() = sin ve g() = cos fonksionları perodiktir. esas perodu p = π dir. f( + p) = f() sin( + p) = sin sin cos p + cos sin p = sin sin p = 0 ve cos p = 1 p = nπ, n Z olur. O halde esas perot p = π olur. Bunların Örnek 35 h() = tan ve k() = cot fonksionlarıda perodiktir. Bunların esas perodu p = π dir. [0, π] aralığında e bazıözel değerler vererek f() = sin fonksionunun bu aralıkta grafiği çizilebilir. Öteleme ile grafiğin aşağıdaki gibi olduğu görülebilir

10 Benzer şekilde [0, π] aralığında g() = cos fonksionunun grafiği çizilip öteleme apılırsa grafiğin şeklinde olduğu görülebilir. h() = tan fonksionunun perodu π olduğundan ( π, π ) aralığında grafik çizmek eterlidir. Bu fonksionun grafiği 5 5 şeklindedir. k() = cot fonksionunun da perodu π olduğundan (0, π) aralığında grafik çizmek eterlidir. Bu fonksionun grafiği ise 5 5 Gerekli görülmesi halinde sec ve csc onksionlarının da grafikleri verilebilir. Bunlar sırasıile sec csc Örnek 36 Pratik grafik çizimleri kullanılarak aşağıdaki fonksionların grafiğini çiziniz. 14

11 1. = 3 sin. = 1 cos 3. = sin 4. = sin 4 5. = sin( π 4 ) 6. = 1 + sin Örnek 37 Aşağıdaki fonksionların perodik olup olmadĭgını araştırınız. 1. = sin. = sin Örnek 38 Aşağıdaki fonksionların tek vea çift olup olmadĭgını araştırınız 1. f() = + sin. g() = sin + cos 3. h() = sin +cos Örnek 39 Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz. 1. sin 3 = 3 sin 4 sin 3. cos 4 = 8 cos 4 8 cos tan = sin 1+cos 4. tan = cos tan Örnek 40 Aşağıdaki eşitsizliklerin doğruluğunu gösteriniz. 1. θ sin θ θ. θ 1 cos θ θ 1 P O H A

12 Şekildeki AOP açısı θ olsun. Buna göre P H + AH = P A sin θ + (1 cos θ) = P A θ olup sin θ θ ve (1 cos θ) θ eşitsizliklerinden istenenler görülür. 16