Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Sunday 12 th January, :17"

Koray Öztürk
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU Lütfen çözümlerinizi basamak basamak ve net bir şekilde yaziniz. n ( n + )n3/ serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz. SORU }{{} n tane toplamını bulunuz. SORU 3 pozitif terimli iraksak bir seri olsun. Bu durumda SORU 6 ( lim n n + n + + n ) n limitini hesaplayınız. SORU 7 Kenar uzunlukları 8 birim olan karenin kenarlarının ortoktalarını köṣe kabul eden ikinci bir kare çiziliyor.bu şekilde içiçe çizilen sonsuz sayıda karenin. alanlarının toplamını. çevrelerinin toplamını seri olarak ifade ediniz. Bu serilerin kısmi toplamlar dizisini bulunuz ve bu kısmi toplamlar dizisinin limitini bulunuz. D C + n serisinin yakinsak olup olmadigini inceleyiniz. SORU seri toplamını bulunuz. SORU 5 n n + n + (a) f(x) = arctan(x) fonksiyonun x = noktasinda MacLaurin serisini ve bu serinin yakinsaklik yaricapi ve araligini bulunuz. (b) Yukaridaki seri acilimini kullanarak asadaki toplamin: n= ( ) n n + = A E B F SORU 8 y = x ve x = 6 dogruları ile x eksenin tarafından sınırlanan alanı serilerden faydalanarak bulunuz. SORU toplamını bulunuz. SORU Aşa gıdaki serinin Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. Sunday th January, 7:7

2 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 mutlak yakınsak oldu gunu gösteriniz. SORU serisinin toplamini bulunuz.! 3!! 5! SORU (a) f(x) = x fonksiyonuna a = noktasi civarinda derecesi 3 olan Taylor polinomunu yaklaşımını bulunuz. (b) Yukaridaki polinom yaklaşımı kullanarak 6 hesaplayınız. SORU 3 f(x) = SORU 5x (+5x) fonksiyonunun Maclaurin serisini bulunuz. k= sin(k) k3 + serisinin yakinsak SORU 5 k + + k k= serisinin iraksak SORU 6 Sayılar teorisinde önemli bir yere sahip olan ζ (x) = Riemann zeta-fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. SORU 7 Alterne Seri Testini ifade ediniz ve bir ornekle aciklayiniz. SORU 8 Integral Testini ifade ediniz ve bir ornekle aciklayiniz. SORU 9 n x ( x n ) n + şeklinde tanımlanan serinin yakınsak olabilmesi için x degeri ne olmalıdır? SORU x [, ] icin f n (x) = ve g +n x n (x) = nx( x) n olsun. f n ve g n fonksyon dizilerinin noktasal yaknsak oldugunu ama duzgun yakinsak olmadigini ispat ediniz. SORU f(x) = x fonksyonunun [, ) araliginda duzgun surekli SORU f(x) = x 3 fonksyonunun R duzgun surekli olmadigini SORU f(x) = x fonksyonunun [, ] araligi uzerinde duzgun surekli SORU 5 R de bir seri olsun. Eger mutlak yakinsak ise () yakinsaktir. SORU 6 f(x) = x olsun.. [, ) araligi uzerinde f(x) fonksiyonu duzgun surekli oldugunu. f(x) fonksiyonu (, ] araligi uzerinde duzgun surekli olmadigini SORU 3 f(x) = x fonksyonunun R duzgun surekli olmadigini SORU 7 < x <, n =,,... olmak uzere, f n (x) = seklinde verilsin. Ispat edinizki {f n } fonksiyon dizisi (, ) araligi uzerinde nx+ noktasal yakinsak iken duzgun yakinsak degildir. SORU 8 < x <, n =,,... olmak uzere, f n (x) = x seklinde nx+ verilsin. Ispat edinizki {f n } fonksiyon dizisi (, ) araligi uzerinde f = a duzgun yakinsaktir. SORU 9 Kabul edelimki mutlak yakinsak bir seri olsun. Her n N icin g n : [, ] R fonksiyon dizisi g n (x) = x n seklinde tanimlansin. Bu taktirde g n serisinin duzgun yakinsak oldugunu Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. Sunday th January, 7:7

3 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 SORU 3 A R (bos kume olmasin) ve A [, ) tanimli fonksiyonlarin serisi f n ve g n olsun. Kabul edelimki bir N N vardir ve oyleki n N ve n N icin f n (x) g n (x) olsun. Eger g n duzgun yakinsak ise f n serisi de duzgun yakinsaktir. SORU 3 { } ve {b n } pozitif terimli diziler ve raksak olsun. +b n serisi de raksak olmak zorundami? ve SORU 3 Eger mutlak yakinsak bir seri ise asagidaki ifadeyi ispat edin:. SORU 33 Kabul edelimki serisi yakinsak olsun. Ispat edinizki serisi β > / icin yakinsaktir. SORU 3 n β. Gosterinizki [, ] araligi uzerinde f n (x) = n xe nx fonksiyon dizisi f = yakinsamasina ragmen f ndx dir.. f n fonksiyon dizisi duzgun yakinsakmidir? SORU 35 f n (x) = zerinde dzgn yaknsakln inceleyiniz. SORU 36 Bir A kmesi zerinde bir Cauchy dizisi ve f de dzgn srekli fonksiyon olsun. Gosterinizki f( ) de bir Cauch dizisidir. SORU 37 n ve n b n iki iraksak seri olmasna ragmen n b n serisinin yakinsak olabilecegini gsterin. x eklinde verilen fonksiyon dizisinin [, ) aral +x n SORU 38 positif terimli yaknsak bir seri ise her x R icin x n seriside yaknsakmdr? b n SORU 39 ( x ) araligi uzerinde f(x) = x fonksiyonunun Fourier serisi acilimini bulunuz. Dikkat ederseniz f çift bir fonksiyondur ve böylece her n icin b n = dir. a = f = fonksiyonunun grafi ginin altında kalan = f(x) cos nx dx = ( x) cos nx dx = ( cos nx x cos nx) dx = [ ] sin nx sin nx cos nx x n n n = [ cos n + ] = n n n ( ( )n ) Böylece f fonksiyonunun Fourier Serisi: SORU 39 + n ( ( )n ) cos nx Asagida verilen fonksiyonun Fourier seriesini bulunuz. f (x) = { < x < < x < Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 3 Sunday th January, 7:7

4 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 L = = L = a = = f (x) dx = dx = f (x) cos nx dx = cos nxdx = sin nx = n b n = sin nx dx = cos nx n = [cos n cos ], n =,,... n b n = + n tek ise n [( )n ] = n n cift ise Boylece f fonksiyonun Fourier serisi: f (x) = + [sin x + 3 sin 6x + 5 sin x +... ] SORU Kabul edelimki f diferansiyellebilir fonksiyon ve [, ] araligi uzerinde cos x fonksiyonuna dik olsun. Bu taktirde f = df türev dx fonksiyonuda [, ] araligi uzerinde sin x fonksiyonuna dik oldu gunu ispat ediniz. Soru e x sin x dx x 3/ integralinin yakinsak Soru I = e x dx belirsiz integrali veriliyor. / < I < +x Soru 3 x sin x dx integralinin yakınsak oldu gunu gösteriniz. (YG: x = t de gişken de giştirmesi yapınız) Soru ln x ( + x) dx belirsiz integralininin yakınsak oldu gunu gösteriniz ve de gerini bulunuz. (YG: kısmi integral uygulayınız) Soru 5 n N, olmak üzere, f n (x) = x aralı gında düzgün yakınsak olmadıgını gösteriniz. Soru 6 şeklinde tanımlansın. oldu gunu gösteriniz. Soru 7 fonksiyon serisinin S(x) = n x fonksiyon dizisinin +n x sin nx n 3 S(x)dx = 8 ( ln x ) n x x < Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. Sunday th January, 7:7

5 Prof. Dr. İsmail Kömbe Matematik Analiz III/Final çalışma soruları Sonbahar 3 aralıgı üzerinde düzgün yakınsak oldu gunu gösteriniz. Soru 8 fonksiyon serisinin n sin x n x aralı gi üzerinde düzgün yakınsak oldu gunu gösteriniz. Soru 9 cos nx n fonksiyon serisinin her x R için düzgün yakınsak oldu gunu gösteriniz. Yeni sorular eklenecek. Günün sözü: We must know-we will know! (David Hilbert) Çözümler Soru 5 ( ln x ) n x fonksiyon serisinin x < aralıgı üzerinde düzgün yakınsak oldu gunu gösteriniz. Soru 5 f n (x) = n x + n x fonksiyon dizisi x aralı gında düzgün yakınsak olmamasına ra gmen terim terime integre edilebilece gini gösterin. Yani dir. Soru 5 lim n f n (x)dx = lim f n(x)dx n f n (x) = ln( + n3 x ) n fonksiyon dizisinin x aral g üzerinde düzgün yakınsak oldu gunu gösteriniz. Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 5 Sunday th January, 7:7

Benzer belgeler

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında