BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ BİLİŞİM TEKNOLOJİLERİ İÇİN İŞLETME İSTATİSTİĞİ Hafta 12 Yrd. Doç. Dr. Halil İbrahim CEBECİ Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu ders içeriğinin bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan ders içeriğinin tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Her hakkı saklıdır 2013 Sakarya Üniversitesi 0

BÖLÜM 6 İLİŞKİSEL VERİ ANALİZİ BÖLÜMÜN AMACI Bu bölümün amacı ilişkisel veri analizinde kullanılacak tanımlayıcı ve çıkarımsal istatistiksel yöntemler hakkında temel bilgilerin ve sonuç tablolarının yorumlanması becerisinin öğrencilere kazandırılmasıdır. İstatistiksel açıdan veri setlerinin birbiri ile ilişkilerinin belirlenmesi önem arz etmektedir. Karşılaştırmalı analizden farklı olarak ilişkisel analizde veri grupları ile değişkenler arasındaki ilişkiler belirlenerek, tahmin yapma gibi temel süreçleri gerçekleştirmek mümkündür. İlişkisel Veri Analizi Tanımlayıcı Çıkarımsal Görsel ve Tablo Teknikler Sayısal Teknikler Doğrusal Regresyon Çoklu Regresyon Kontenjans Tabloları Serpilme Diyagramları Korelasyon Analizi Kovaryans Analizi 6.1. Tanımlayıcı İlişkisel Analiz Teknikleri 6.1.1. Görsel ve Tablo Teknikleri Kontenjans tabloları ve serpilme (saçılım) diyagramları en çok tercih edilen görsel ilişkisel analiz yöntemleridir. 1

Kontenjans tablosundan ilişkilerinin incelenmesi istenen iki değişken (faktör, kriter) satır ve sütunlara yerleştirilerek tablolaştırılır. ÖRNEK Bir reklam yöneticileri yeni yapacağı kampanya için yaptığı araştırmada 4 farklı gazete için, meslek grupları bazında okunma oranlarını belirlemeyi amaçlamıştır. Aşağıdaki kontenjans tablosuna bakarak meslek grupları ile gazete okuma oranları arasındaki ilişkiyi tartışınız. ÇÖZÜM Kontenjans tablolarında satır ve sütunlar ilişkinin inceleneceği farklı değişkenleri betimlerler. Bu tablolar sayesinde kesişim değerleri hücrelere yerleştirildiğinden ilişkisel yorum yapma imkanı doğar. Örneğin Esnaflar Milliyet gazetesini yoğun olarak tercih ederken, Mavi yakalı sınıfı ise Sabah veya Hürriyet gazetesini okumayı tercih etmektedir. Sabah gazetesi beyaz yakalı sınıfı tarafından tercih edilmezken, mavi yakalılar ise milliyet gazetesini daha az okumayı tercih etmektedirler. Serpilme diyagramı ise iki değişken arasındaki ilişkinin görselleşmesinde çok yararlı bilgiler sunar. ÖRNEK Bir emlak komisyoncusu emlak büyüklükleri ile satış fiyatları arasındaki ilişkiyi incelemek istemektedir. Serpilme diyagramı çizerek ilişkiyi yorumlayınız. Emlak No Boyut Fiyat Emlak No Boyut Fiyat 1 23 315 1 33 308 2 16 229 2 28 306 3 26 355 3 23 289 4 20 261 4 20 204 5 22 234 5 27 265 6 14 216 6 18 195 2

EXCEL Serpilme diyagramını Excel yardımıyla çizelim. Öncelikle veriyi alt alta gelecek şekilde aşağıdaki gibi düzeltelim. Daha sonra, Bütün veriler seçili iken, Excel EKLE sekmesindeki Grafikler komut grubundaki Dağıtım grafiği tercih edilir. Bu durumda aşağıdaki grafik Excel tarafından otomatik olarak çizilir. Şekilden de görüleceği üzere emlak boyutu artarken fiyat da artma eğilimindedir. Pozitif yönlü ilişki diyagram vasıtasıyla anlaşılabilir. Şekilde yaklaşık olarak yukarı yönlü 30 derece açılı bir doğru çevresinde noktaların toplandığı söylenebilir. Ayrıca doğrunun yönü de pozitiftir. Bu bağlamda pozitif yönlü doğrusal bir ilişkinin varlığından bahsetmek uygun olacaktır 3

Serpilme Diyagramlarında genelde aşağıdaki ilişkisel durumlar gözlemlenebilir. 6.1.2. Sayısal Teknikler Doğrusal ilişki ölçütleri tanımlayıcı istatistik yöntemler içerisinde yer alırlar. İki değişkenin birlikte değişmesi durumunu inceleyen ölçüt Kovaryans Katsayısı olarak adlandırılır. Eğer kovaryans pozitif değer almış ise ilişkinin yönü pozitif olur. Yani iki değişen aynı yönde değişmektedir. (Biri artarken, diğeri de artmaktadır). Negatif kovaryans değerinde ise tersi durum söz konusudur. (Biri artarken, diğeri azalmaktadır.) Kovaryans değeri Sıfır değerine yaklaştıkça, ilişkinin varlığının az olduğu söylenebilir. Yukarıda serpilme diyagramını çizdiğimiz örneğin kovaryans katsayısı değerini bulalım. 4

EXCEL Kovaryans hesabı Excelde yer alan KOVARYANS.P (popülasyon için) ve KOVARYANS.S (Örneklem İçin) formülleri yardımıyla gerçekleştirilir. Yukarıda verilen soruda örneklem söz konusu olduğundan (Bütün emlak değerleri yok) o zaman aşağıdaki formülle kovaryans hesaplanabilir. =KOVARYANS.S(A2:A13;B2:B13) Bu hesaplama sonucunda kovaryans değerinin 197,5 olduğu görülecektir. Bu değer çok yüksek ve pozitif olduğu düşünüldüğünde, yükse pozitif doğrusal bir ilişkinin varlığından bahsedilebilir. Kovaryans çoğu zaman yararlı bilgiler sunmasına rağmen yükseklik derecesinin göreceli olmasından dolayı zaman zaman yanıltıcı sonuçlar verebilir. Bu durumu önlemek adına ilişkinin analizi sürecinden kovaryans değerinin 0 ile 1 arasına normalleştirilmiş değeri olan Korelasyon katsayısından faydalanılır. Korelasyon katsayısı 1 değerine yaklaştıkça ilişkinin derecesi artar, Sıfır değerine yaklaştıkça ise ilişkinin varlığından söz etmek çok da rasyonel olmayacaktır. Ayrıca kovaryans benzeri katsayının işareti ilişkinin yönünü verecektir. Emlak sorusuna dönersek; EXCEL Korelasyon Excel içerisinde KORELASYON formülü ile hesaplanabilir. Emlak sorusu için uygun formül aşağıdaki gibidir. =KORELASYON(A2:A13;B2:B13) Formül sonucunda korelasyon değeri 0,724647 çıkmış, yani pozitif yüksek bir ilişki olduğu sonucuna ulaşılmıştır. 5

Örneklem için elde edilen korelasyon değerleri için literatürde genel kabul gören aralıklar aşağıdaki gibidir. r İlişki 0,00 0,25 Çok Zayıf 0,26 0,49 Zayıf 0,50 0,69 Orta 0,70 0,89 Yüksek 0,90 1,00 Çok Yüksek Korelasyon değerleri birden fazla değişken için aynı anda hesaplanıyorsa, bu ilişki değerleri korelasyon matrisi denen özel bir gösterimle verilir. Korelasyon matrisleri genelde bağımsız değişkenler ile ilgilidir. ÖRNEK Sakarya Üniversitesi bünyesinde yürütülen teknik bir yüksek lisans programındaki seçmeli dersler ve bu derslerdeki seçen en yüksek notlu 5 öğrencinin aldıkları final notları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Derslerdeki başarı düzeyleri arasındaki ilişkiyi sorgulayınız. Öğrenci Karar Destek Sistemleri Zeki Sistemler Sistem Analizi Girişimcilik İstatistik Olasılık Yöneylem Araştırması Üretim Planlama 1 76 75 90 92 74 74 92 78 2 64 67 95 90 62 66 100 86 3 65 66 93 80 62 66 97 90 4 79 81 92 98 83 77 92 98 5 66 65 87 94 68 62 88 75 6 73 74 85 76 70 73 90 72 7 60 59 86 78 59 59 82 100 8 63 62 87 91 67 59 76 79 9 64 61 87 82 65 62 86 75 10 62 66 82 71 63 66 71 74 11 74 75 84 86 75 77 73 89 12 66 62 86 87 64 69 75 98 13 79 82 94 70 80 75 85 73 14 67 71 87 88 64 71 94 75 15 62 63 88 90 62 66 93 82 6

EXCEL Birden fazla değişken ve bu değişkenlerin birbiri ile ilişkisi istendiğinden Korelasyon Matrisi hazırlamamız gerekmektedir. Bu matris Excel bünyesinden KORELASYON formülü ile manüel olarak hazırlanabileceği gibi, Veri Çözümleme aracı yardımıyla kolayca hazırlanabilir. Veri çözümleme aracında sadece Giriş Aralığı kısmında ilgili değişken sütunlarını seçmek ve Çıkış Aralığı kısmında sonuç konumunu belirlemek yeterli olacaktır. (Eğer verilerin açıklama satırları, başlıkları, mevcut ise o zaman Etiketler İlk Satırda kutucuğu işaretlenmelidir.) Burada dikkat edilmesi gereken husus, verilerin satırlara yerleştirilmesi durumunda satırlar radyo düğmesinin işaretlenmesidir. Korelasyon matrisini program aşağıdaki gibi verecektir. Karar Destek Sistemleri Zeki Sistemler Sistem Analizi Girişimcilik İstatistik Olasılık Yöneylem Araştırması Üretim Planlama Karar Destek Sistemleri 1,00 Zeki Sistemler 0,95 1,00 Sistem Analizi 0,38 0,14 1,00 Girişimcilik 0,01 0,22 0,32 1,00 İstatistik 0,90 0,82 0,46 0,23 1,00 Olasılık 0,95 0,86 0,29 0,12 0,57 1,00 Yöneylem Araştırması 0,29 0,27 0,83 0,38 0,08 0,21 1,00 Üretim Planlama 0,18 0,27 0,41 0,34 0,10 0,27 0,63 1,00 Tablodan da görüleceği üzere yüksek ilişki olarak isimlendirebileceğimiz, 5 farklı ikili durum mevcuttur. Bunun dışında daha düşük dereceli ilişkilerde mevcuttur.( Örneğin Olasılık ile İstatistik arasında (0,57)). Bazı değişkenler arasında ilişkinin varlığından söz etmek ise mümkün değildir. (Girişimcilik ve Karar Destek Sistemleri (0,01)) 7

6.2. Çıkarımsal İlişkisel Analiz Teknikleri Çıkarımsal ilişkisel analiz tekniklerinden en önemlisi Regresyon analizidir. Regresyon Analizinde, değişkenler arasındaki ilişkiyi fonksiyonel olarak açıklamak ve bu ilişkiyi bir modelle tanımlayabilmek amaçlanmaktadır. 6.1. Doğrusal Regresyon Doğrusal regresyon bir bağımsız değişkenin, bir bağımlı değişkeni ne kadar etkilediğinin matematiksel ifadelerle gösterimidir. Sadece bir bağımlı ve yine sadece bir bağımsız değişken söz konusudur. İlişki aşağıdaki gibi bir denklem yardımıyla gösterilir. Burada bağımsız değişkenin katsayısı yani bir başka deyişle bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni değiştirme derecesi, sabit katsayı (her denklemde olmak zorunda değil), ise hata terimidir. Regresyon analizi bir tahmin süreci olduğundan bir hata terimi içermelidir. Her regresyon analizinin açıklayıcılık düzeyi ile gösterilen determinasyon katsayısı ile belirlenir. Korelasyon analizindeki gibi bu değer bire çok yaklaşırsa modelin açıklayıcılığı yükselir. Regresyon modellerinin açıklayıcı olması yeterli değildir. Bazı durumlarda %90 açıklayıcılığa sahip bir regresyon denklemi dahi istatistiksel açıdan uygun olmayabilir. İstatistiksel açıdan uygunluk ancak ve ancak iki farklı hipotez testinden geçilmesi ile belirlenir. Regresyon denklemleri genel olarak model olarak F testinden geçmelidir. Yani uygun bir regresyon analizinin F testi değeri çok yüksek, bir başka deyişle kabul olasılığı anlamlılık düzeyinin altındadır. Bu testten geçen modeller ise son olarak katsayılar için ayrı ayrı olmak üzere t testinden geçmelidir. Bu analizde her bir katsayı için t kritik test değerleri hesaplanır ve kabul olasılıkları incelenir. Her bir katsayı için kabul olasılıklarının tamamı anlamlılık düzeyinin altında olmalıdır. Bu aşamayı da sorunsuz geçen denklemler istatistiksel açıdan tahmin ve yorumlama için uygundur. Eğer model basit doğrusal regresyon modeli ise, sadece sabit katsayı testten geçemediği durumda sabit katsayı olmayacak şekilde model tekrar analiz edilebilir. Diğer durumlarda regresyon modelinin kullanımı uygun değildir. 8

ÖRNEK Bir süpermarketin stoklarında bir üründen 450 adet kalmıştır. Market bu üründen bir kez daha getirmeyecektir. Bu yüzden büyün ürünleri bulundukları ayda satmak istemektedir. Bu bağlamda geçmiş dönem verilerinden 450 adet ürün satmaya uygun fiyatı belirlemeyi amaçlamaktadır. Geçmiş dönem verileri aşağıdaki gibi ise, ürünün fiyatı ne olmalıdır. Dönem Talep Fiyat Dönem Talep Fiyat 1 408 51 11 368 57 2 416 46 12 392 48 3 416 48 13 400 48 4 360 57 14 388 58 5 404 53 15 404 52 6 368 54 16 416 47 7 396 54 17 400 51 8 388 51 18 392 56 9 388 58 19 384 57 10 392 55 20 408 53 EXCEL Sorunun uygun çözümü için Fiyat bağımlı değişkenine bağlı talebi tahmin eden regresyon denkleminin belirlenmesi uygun olur. Regresyon analizi Veri Çözümleme aracı yardımıyla aşağıdaki gibi gerçekleştirilir. 9

Yukarıdaki ekranda Y Giriş Aralığı kısmında bağımlı değişken, X Giriş Aralığı kısmında ise bağımsız değişken seçilmelidir. Eğer veriler başlıkları ile birlikte seçilmiş ise Etiketler seçilmelidir. Sabit katsayının denklem içinde yer alması istenmiyorsa bu durumda Sabit Sıfır işaretlenmelidir. Güvenirlik düzeyi de ilgili kısımdan girilebilir. Farklar ve Normal Olasılık alanları ileri düzey analiz yorumlamaları ve okumaları içindir. İlgili seçimler yapıldığında aşağıdaki sonuç tablosu Excel tarafından hazırlanır. Yukarıdaki tabloyu uygunluk açısından inceleyelim. Determinasyon (Belirlilik) katsayısı değeri % 50 nin altındadır. Bu katsayının %70 in altında olması tercih edilen bir durum değildir. Modelin genel olarak istatistiksel olarak anlamlılığı ANOVA (F Testi) sonuçlarından uygundur. (Kabul olasılığı 0,05 in altındadır) Modelin katsayılar bazında anlamlılığı da uygundur. ( T test kabul olasılıkları sırasıyla 0,000 ve 0,001) Bu şartlar altındaki regresyon denklemini aşağıdaki şekilde yazabiliriz. Eğer 450 birimlik bir satış istiyorsak; 547,493 2,905 450 547,493 2,905 33,56 Bu durumda ürün fiyatını 33,5 TL gibi bir rakama düşürürsek, yaklaşık olarak 450 adet ürün satabileceğimizi öngörebiliriz. Ama bu modelin açıklayıcılığı %49 olduğundan, bu yorumu yapmak tercih edilmeyebilir. 10

6.2. Çoklu Regresyon Modeli Bir bağımlı değişkeni etkileyen birden fazla bağımsız değişken varsa, bu durumda regresyon modelimiz Çoklu Regresyon Modeli olarak adlandırılır. Basit doğrusal regresyon modeli için gerekli bütün sınamalar bu durum içinde geçerlidir. Eğer model F testinden geçmez ise istatistiksel açıdan kullanılabilir değildir. Fakat t testlerinin tamamı geçmemiş ise, model uygun değil deyip analizlere son verilmez. Bu durumda testi geçmeyen değişken veya sabit katsayı modelden çıkarılarak analiz tekrarlanabilir. ÖRNEK Sakarya Üniversitesi Uzaktan Eğitim Merkezi, ders içeriklerinde yer alan internete özel öğretimsel ortam faktörleri ile öğrencilerin başarı düzeyleri arasında bir ilişki olduğunu düşünmektedir. Bu ilişkiyi matematiksel olarak formülize ederek bir ders yayına girmeden beklenen başarı düzeyini sorgulayıp, gerekli düzenlemeleri yapmayı amaçlamaktadır. Bu bağlamda geçmiş dönemlerde yayınlanan farklı alanlardaki 25 ders incelenmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. İlgili modeli kurunuz. Ders Adı İçeriğin Uzunluğu Örnek ve Uygulamalar Çalışma Sorusu Ç. ortam İçeriği Görsel Bütünlük Mutlak Başarısı Proglamlama 6,4 5 9,3 5,7 7 49,57 Büro Yönetimi 7,1 7,1 10 5 7,7 66,31 İşletmelerde Bil. Uyg. I 6,2 5,7 4,3 6,8 6,7 47,84 Grafik Uygulamaları 5,7 5,7 0 7,5 7 49,42 Plan. ve Denet. Araçları 6,2 6,4 2,1 7,1 7,3 52,09 Temel Elektronik 4,3 5,7 0,7 8,6 6 45,54 Algoritma ve Prg. Giriş 6,9 7,1 6,4 3,9 7,7 56,98 Entegre Ofis 7,1 8,5 0 8,9 8,3 68,72 İnternet Programcılığı 3,3 6,1 10 6,8 7,3 49,51 C Programlama I 6,7 7,1 0 5 7,3 52,84 Genel Muhasebe 5 5,7 2,9 6,8 6 41,38 İktisata Giriş 4,8 5 2,9 5 7,3 36,07 Maliyet Muhasebesi 4,5 5 0 7,9 5 38,92 Pazarlama Yönetimi 4 5,7 10 6,8 7,3 49,32 Dış.Tic.İşlem.Yönet. 6,7 5,7 0 4,3 6,7 49,35 Bilgi Teknolojisi 6 6,4 1,4 7,9 7,7 58,6 Matematik I 5 5,7 8,6 5,7 6,3 46,08 Teknik Resim 4,5 5,5 0,7 8,2 7 51,83 Elektroteknik 5,7 6,4 0 5 6,7 55,3 Mekatroniğe Giriş 6,7 5 0 7,9 6,3 49,12 Teknolojinin İlkeleri 6 5 0,7 6,8 6,7 45,38 Genel İletişim 5 5,7 7,1 7,1 7 55,79 D.A. Devre Analizi 5 7,1 0 8,8 7,7 58,05 Ölçme Bilgisi 6,4 5,7 0 7,3 7,7 56,25 Sayısal Elektronik 4,8 6,4 0,7 8,6 6,3 44,9 11

EXCEL Çoklu regresyon denklemi de, basit doğrusal regresyon denklemi ile aynı şekilde hazırlanır. Tek fark bağımsız değişkenlere ait bütün sütunların seçilmesidir. İlgili şekilde seçilen regresyon analizi sonuç tablosu aşağıdadır. Modelin açıklayıcılığı gayet iyidir. (Determinasyon katsayısı = 0,8084) Ayrıca temel anlamlılık testinde de geçmiştir. (F testi kabul olasılığı = 0,0000) Son olarak katsayılar incelenmelidir. Katsayılar incelendiğinde çalışma sorusu katsayısının testi geçemediği görülmüştür. Bu gibi durumlarda üç farklı seçenekle karşılaşmaktayız. Modeli direkt geri çevirebiliriz, veya o değişkeni model dışında bırakabiliriz veya nadir durumlarda araştırma alanının konusu ile bağlantılı olarak bu durumu göz ardı edebiliriz. (anlamlılık düzeyini bir miktar yukarı çekebiliriz.) Biz bu durumda öncelikle modeli tamamen red etmeyip, değişkenin analiz dışında bırakılmasını tercih edelim. Yeni analiz sonuçları aşağıdaki tablodadır. 12

Görüldüğü üzere determinasyon katsayısı düşmesine rağmen yeterli düzeyde ve F testi kabul olasılığı ise hala anlamlılık düzeyinin altındadır. Fakat değişken çıkarıldıktan sonra katsayıların anlamlılığı daha da azalmıştır. Bu durumda modeli ya direkt olarak red edeceğiz, veya anlamlılık düzeyini biraz yükselterek ilk modeli kabul edeceğiz. ÖZET İlişkisel analiz süreci tanımlayıcı ve çıkarımsal olarak iki alt başlıkta incelenmektedir. Eğer birden fazla değişkenin ilişkisini görmek amaç ise, derecesi fazla önemli değil ise, kontenjans tablosu uygun bir araç olacaktır. Eğer ilişkinin yönü de önemli ise serpilme diyagramından faydalanılabilir. Eğer birlikte değişim esas ise kovaryans analizi veya bu analizin normalleştirilmiş hali olan Korelasyon analizi kullanılabilir. Eğer ikiden fazla değişken arasındaki ilişkinin tek bir tabloda görünmesi isteniyorsa kovaryans veya korelasyon matrisleri kullanılabilir. Eğer ilişkisi incelenen değişkenlerin, birisinin değişimi diğerine bağlı ise o zaman tek değişkenli durumlarda doğrusal regresyon, ikiden fazla bağımsız değişken durumunda çoklu regresyon denklemleri kurulabilir. Fakat bu denklemlerin kullanılabilirliği, determinasyon katsayısına, model geçerliliği testi (F testi) değerine ve katsayı geçerliliği testleri (t testleri) değerlerine bağlıdır. 13

SON NOT Kontenjans tabloları ve serpilme diyagramları sadece iki değişken durumunda uygundur. Serpilme diyagramında çizilen noktalar arasında, noktaların uzaklıklarının karelerini minimize edecek şekilde çizilen doğru basit regresyon denklemini verir. Çok değişkenle regresyon analizleri daha açıklayıcı olmakla beraber, model geçerliliğine zarar verme ihtimali ve hesaplama zorlukları dikkate alınarak, değişken sayısının sınırlanması uygun bir tercih olabilir. ÇALIŞMA SORULARI S1 Aşağıdaki verileri dikkate alarak iki değişkenin birlikte nasıl değiştiğini, kovaryans ve korelasyon katsayılarını hesaplayarak yorumlayınız. Değişkenler arası ilişkiyi açıklayacak basit doğrusal regresyon denklemini kurunuz. KAYNAKLAR 1. Keller, Gerald; Statistics for Management and Economics, 9e, 2012 2. McClave, J.T, Benson, P.G, Sincich, T.; Statistics for Business and Economics, 11e, 2011 3. Sharpe N.R., De Veaux R.D., Velleman P.F.; Business Statistics 2e, 2012 14