MATEMATİK OLİMPİYATI

TÜBİTAK ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI DENEME SINAVLARI 15 Çözümlü Deneme Sınavı 7. 8. 9. Sınıflar için Kurbani Kaya ALTIN NOKTA YAYINEVÝ ÝZMÝR - 016

Copyright Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım Bilişim ISBN 978-605-555-10-7 TÜBİTAK SERİSİ TÜBİTAK Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavları KURBANİ KAYA kurbanikaya@gmail.com Bu kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım'a aittir. Metinler, kitabı yayımlayan kurumun önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Kitapta yer alan oyun, bulmaca, soru, metin ve resimlerin sorumluluğu tamamen yazarına aittir. Genel Yayın Yönetmeni Halil İ. AKÇETİN Yayın Editörü Leyla Gündoğdu Kapak-Dizgi Altın Nokta Dizgi-Grafik Matbaa ERTEM BASIM YAYIN DAĞ. SAN. TİC.LTD. ŞTİ. Nasuh Akar Mah. 5. Sok. No: 19 Çankaya / ANKARA Tel: 0 (31) 640 16 3 Yayın - Dağıtım Altın Nokta Basım Yayın Dağıtım 859 Sk. No:1/Z-4 Konak / İZMİR Tel- Fax : 0 (3) 441 5 95 www.nokta000.com www.altinnokta.com.tr www.kitapana.com nokta@nokta000.com altinnokta@altinnokta.com.tr kitapana@kitapana.com Kasım - 015. Basım

ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI DENEME SINAVI -1 SINAVLA İLGİLİ UYARILAR: * Çoktan seçmeli 3 test sorusundan oluşan sınav süresi 180 dakikadır. * Cevap kağıdınıza, size verilen soru kitapçığının türünü işaretlemeyi unutmayınız. * Her soru ile ilgili doğru cevabınızı, cevap kağıdınıza işaretleyiniz. * Her soru eşit değerde olup puanlama yapılırken doğru cevaplarınızın sayısından yanlış cevaplarınızın sayısının dörtte biri düşürülecektir. * Sınavda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yardımcı araçlar ve müsvedde kağıdı kullanılması yasaktır. * Soru kitapçığının sağ tarafındaki sayfalar boş bırakılmıştır. Bu sayfaları çözümleriniz için kullanabilirsiniz. * Sınav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacaktır. * Öğrencilerin birbirinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasaktır. * Sınav sırasında kopya çeken, çekmeye teşebbüs eden ve kopya verenlerin kimlikleri sınav tutanağına yazılacak ve bu kişilerin sınavları geçersiz sayılacaktır. * Sınav süresince resimli bir kimlik belgesini masanın üzerinde bulundurunuz. * Sınav salonundan ayrılmadan önce cevap kağıdınızı görevlilere teslim etmeyi unutmayınız. * Soru kitapçıkları sizde kalacaktır. BAŞARILAR DİLERİZ NOT: AB: [AB]: AB: s(aébc): s(ëa): A(ABC): Metin içerisinde kullanılan bazı gösterimlerin anlamları aşağıda verilmiştir. A ve B noktalarından geçen doğru A ve B noktalarını birleştiren doğru parçası A ve B doğru parçasının uzunluğu ABC açısının ölçüsü A aşısının ölçüsü ABC üçgeninin alanı *NOT: SINAVLA İLGİLİ UYARILAR TÜBİTAK SINAV FORMATINI GÖRMENİZ AMACIYLA VERİLMİŞTİR

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Soru 1 Bir ABC üçgeninde, AB =0, AC =30 olup [BC] üzerinden 5. BD =. BC olacak şekilde bir D noktası alınıyor. m(béad)<45º ise [AD] nin alabileceği tamsayı değerleri toplamı nedir? A) 88 B) 157 C) 140 D) 117 E) Hiçbiri Soru 4 DENEME 1 1gr, gr, 3gr, 3 gr lık birer taş vardır. Bu taşları içindeki toplam ağırlık birbirine eşit olacak şekilde n tane alt kümeye ayırıyoruz. n en çok kaçtır? A) 16 B) 1 C) 8 D) 6 E) Hiçbiri Soru 9! 8!(mod m) denkliğini sağlayan kaç tane m sayısı vardır? A) 1 B) 130 C) 133 D) 14 E) Hiçbiri Soru 5 ABCD dikdörtgeninde M, BC kenarının orta noktası N de CD kenarının orta noktası olsun. A(ABCD) Eğer m(aénm)=90º ise =? A(ANM) Soru 3 Hergün o güne kadar aldıkları toplam yolun iki katı yol alan bir kafile 5. günün sonunda toplam 810 km yol aldığına göre, bu kafile üçüncü günün sonunda toplam kaç km yol almıştır? A) 60 B) 90 C) 10 D) 150 E) 180 Soru 6 a,b,c rakam ve ìaìbìc, ìbìac ve ìbìca 3 basamaklı sayılar olmak üzere ìbìca=(a+b+c) 3 ise ìaìbìc.(a+b+c) ifadesi aşağıdaki değerlerden hangisi olabilir? A) 008 B) 009 C) 010 D) 011 E) 01 4 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları

DENEME 1 Soru 7 Her a,b,c reel sayılar ve a +b +c =1 olarak veriliyor. A a.b+b.c+a.c B ise B-A nın en küçük değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 1,5 C) 1 D) 0,5 E)Hiçbiri Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Soru 10 n 3 + n + 3n + 11 ifadesini tam sayı yapan kaç tane n n + 3 tam sayısı vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Hiçbiri Soru 8 Bir ABCD karesinin bulunduğu düzlemde PAB, PBC, PCD ve PAD üçgenlerinin tümü ikizkenar olacak şekilde kaç farklı P noktası seçilebilir? A) 1 B) 5 C) 7 D) 9 E) 10 Soru 11 + 1 1 + 3 + 1 3 1 +... + 011 + 1 011 1 aşağıdakilerden hangisi olabilir? ifadesinin değeri A) 011 B) 011,3 C) 011,6 D) 01 E) Hiçbiri Soru 9 Bir ABC üçgeninde AB =14, BC =1, AC =10 ve D, [AC] üstünde bir nokta olmak üzere AD =4 tür. E, [BC] üstünde bir noktadır. Alan (ABC)= Alan (CDE) ise Alan(ABE)=? A) 4ñ6 B) 6ñ C) 3ñ6 D) 4ñ E) Hiçbiri Soru 1 10 elemanlı bir A kümesinin bütün alt kümelerindeki eleman sayılarının toplamı m olsun m nin rakamları toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 8 B) 11 C) 15 D) 18 E) Hiçbiri Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları 5

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Soru 13 Bir ABC eşkenar üçgeninde P, üçgen içinde veya üzerinde bir nokta olmak üzere AP =4 tür. A(ABC)=5ñ3 cm ise BP nin alabileceği tamsayı değerleri kaç tanedir? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Soru 16 DENEME 1 A={1,,3,4,5,6,7} kümesinin elemanlarından hiçbir sayının kendi yerinde olmadığı 7 li dizilişlerinin sayısı A ve tam olarak bir tane elemanın kendi yerinde olduğu 7 li dizilişlerinin sayısı B olsun. Bu durumda A-B kaçtır? A) 1 B) 4 C) 10 D) 70 E) Hiçbiri Soru 17 Dar açılı bir ABC üçgeninin iki kenarının uzunluğu sırasıyla 15 ve 8 cm, çevrel çemberin yarıçapı ise 10 cm dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu a.(b + cñ3) olduğuna göre a=? A) ñ3 B) ñ5 C) ñ7 D) 4 E) Hiçbiri Soru 14 a,3 b,5 c,7 d ifadesinde a.b.c.d sayılarının yerine {0,1} kümesinden herhangi bir eleman yazarak çeşitli sayılar elde ediyoruz. Bu şekilde elde edilebilecek bütün sayıların toplamı aşağıdakilerden hangisidir? A) 45 B) 576 C) 588 D) 63 E) Hiçbiri Soru 18 (a + b) =3ab denkleminin kaç (a, b) pozitif tam sayı çözüm ikilisi vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Soru 15 Bir balıkçı 400 metre uzaklıktaki evine dakikada 16 metre hızla gidiyor. Evine vardıktan sonra 80 metre daha aynı yönde gidiyor. O sırada gittiği yönün tersine rüzgâr esmeye başlıyor. Ve o hızda akıntı oluşuyor. Balıkçı bu noktadan geri dönüyor. Geri dönüşte 30 metreyi 4t sürede gidiyor ve rüzgâr kesiliyor. 5t süre daha gittiğinde başlamış olduğu noktaya vardığına göre; rüzgârın hızı dakikada kaç metredir? A) 16 B) 0 C) 4 D) 30 E) Hiçbiri Soru 19 denklemini sağlayan kaç tane x reel sayısı vardır? A) 0 B) C) 3 D) 4 E) Hiçbiri 6 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları

DENEME 1 Soru 0 {1,,3,...,n} kümesinden öyle 9 farklı sayı seçilebilsin ki bu sayılar 3x3 lük bir satranç tahtasına herhangi iki komşu sayıdan biri diğerini bölecek şekilde yerleştirilebilsin. Bunun mümkün olabileceği n nin en küçük değeri kaçtır? A) 10 B) 1 C) 14 D) 15 E) Hiçbiri Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Soru 3 Feyza, tanesini x liradan aldığı düzine bardaktan 4 tanesi kırık çıkıyor. Feyza, kalan bardakların tanesini alış fiyatı üzerinden %50 karla satıyor. Buna göre Feyza tüm malın satışından yüzde kaç kar etmiştir? A) 5 B) 30 C) 35 D) 40 E) Hiçbiri Soru 1 ABCD paralelkenarının [AB] ve [AD] kenarlarının üstünde EF//BD olacak şekilde sırasıyla E ve F noktaları veriliyor. A(BCE)=4 cm ise A(CDF)=? A) 30 B) 4 C) 18 D) 1 E) Hiçbiri Soru 4 1,,3,4,5,6,7,...pozitif tam sayılar dizisinde 3 veya 4 e bölünen 5 e bölünmeyen sayıları silip yeni bir sayı dizisi oluşturuyoruz.bu sayı dizisinin 015. terimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3345 B) 3349 C) 3351 D) 3353 E) Hiçbiri Soru 8x +5y +3z =64 denkleminin doğal sayılarda kaç tane (x,y,z) çözüm takımı vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Soru 5 ABCD dörtgeninde; D noktasından AB ve BC ye çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P ve Q, B noktasından AD ve DC ye çizilen yükseklik ayakları sırasıyla R ve S olmak üzere, s(pë SR)=s(SëRQ), PR =6, BD =1 ise QS =? A) 6 B) ñ7 C) ñ5 D) 4 E) Hiçbiri Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları 7

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Soru 6 Bir doğal sayı üzerinde aşağıdaki 3 işlemi yapabiliyoruz. 1-Sayıyı ile çarpıp çıkan sonuca 4 ilave ediyoruz. -Sayıyı 3 ile çarpıp çıkan sonuca 9 ilave ediyoruz. 3-Sayıyı 4 ile çarpıp çıkan sonuca 16 ilave ediyoruz. Buna göre yukarıdaki 3 işlemden birbirinden farklı tanesini yaparak 014 elde edecek şekilde kaç doğal sayı vardır? Soru 9 DENEME 1 [AB] çaplı çemberde [AB] [CD] = H ve [AB] [CD] olarak veriliyor. AB ve CD uzunlukları birer iki basamaklı tamsayı ve CD, AB nin tersten yazılışına eşittir. O merkez olmak üzere OH sıfırdan farklı rasyonel bir sayı ise Çemberin çevresi kaç π dir? A) 65 B) 68 C) 7 D) 81 E) Hiçbiri A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Soru 30 p,q asal sayı ve p q olmak üzere, p(q+1)+q(p+1)=(p +q ) eşitliğini sağlayan kaç tane (p,q) ikilisi vardır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) Hiçbiri Soru 7 x, y R + olmak üzere denklemini sağlayan (x, y) ikilileri kaç tanedir? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) Hiçbiri Soru 31 x+1, 7-x, 4x- bir üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere x in kaç değeri için bu üçgen ikizkenardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) Hiçbiri Soru 8 8x6=48 kareli bir satranç tahtasında kaç tane kare vardır? A) 1 B) 133 C) 143 D) 19 E) Hiçbiri Soru 3 Herbiri 5 er sporcudan oluşan A ve B takımları masa tenisi oynuyorlar. İlk olarak her iki takımın birincisi karşılaşıyor. Kaybeden eleniyor. Kazanan ise diğer takımın ikincisiyle maç yapıyor. Bu şekilde eleme usulüyle maçlar devam ediyor. Eğer bir takımın bütün oyuncuları elenirse o takım kaybediyor. Diğer takım ise kazanıyor. Maçlar kaç farklı şekilde oynanabilir? A) 484 B) 384 C) 5 D) 16 E) Hiçbiri 8 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları

ÇÖZÜMLER Çözüm 1 0 A 1 E 30 Çözüm 3 1. gün a. gün a 3. gün 6a 4. gün 18a 5. gün 54a B AB//DE olsun. AE = DE = 1 olur. 0 < AD < 4 olur. 0 k = 30 3k k D 1 3k olduğundan AD açıortaydır. m(aéed > 90 dir. AD > 1 +1 AD 17 17+18+19+0+1++3=140 C Cevap C Toplam 81a yol alınıyor. 81a = 810 a = 10 3 günde toplam 9a=90 km yol alınır. Çözüm 4 n sayısının en çok olması için her bir alt kümenin toplamının en az olması gerekir. (1,3), (,31), (3,30),..., (16,17) şeklinde ayırırsak n en çok olur. n= 16 Çözüm 5 Çözüm 9.8! 8! (mod m) 9.8! 8! 0 (mod m) 8.8! 0 (mod m) 10.3.5.7 0 (mod m) m sayısı 8.8! sayısının tüm pozitif bölenleri olabilir fakat m olmalıdır. (10+1)(+1) (1+1) (1+1) 1 = 131 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları Cevap E A(ABCD) = 4.a.b A(ABM)=a.b A(ADN)=a.b A(MNC)= a.b ab A(NMA)=4a.b (ab+ab+ )= A(ABCD) A(ANM) = 4ab = 8 3ab 3 3ab 93

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Çözümleri Çözüm 6 100 ìbìcìa = (a+b+c) 3 999 Şimdi 3 basamaklı tam küpleri inceleyelim: Çözüm 8 DENEME 1 i) a+b+c=5 (a+b+c) 3 =15=bca (1++5) 3 =51 sağlamaz ii) a+b+c=6 (a+b+c) 3 =16=bca 9 3 =79 sağlamaz iii) a+b+c=7 (a+b+c) 3 =343=bca 10 3 =1000 sağlamaz iv) a+b+c=8 (a+b+c) 3 =51=bca 8 3 =51 sağlar. b=5 c=1 a= v) a+b+c=9 (a+b+c) 3 =79 sağlamaz Tekdeğer a= b=5 c=1 dir. ìaìbìc.(a+b+c)=51.8=008 P 6 A = AD = DC = BC = AB = AP 3 = BP 3 = P 3 D = P 3 C P 6 D = P 6 C olacak şekilde alınırsa ve karenin 4 kenarı düşünülürse P 5 1.grup, (P 1, P, P 3, P 4 ).grup, (P 6, P 7, P 8, P 9 ) 3.grup Toplam 9 nokta olur. Cevap D Çözüm 9 A 4 14 D 10 6 B E 1 C Çözüm 7 B en küçük, A en büyük olmalı, ab+ac+bc a +b +c =1 olduğunda B=1 olur. (a+b+c) 0 olduğundan a +b +c +ab+ac+bc 0 ve ab+ac+bc A= bulunur. 10 + 1 + 14 u= =18 Heron Formülü nden A(A BC)= A(D EC)=1ñ6 A(A ED)=8ñ6 olur. Buradan A(ABE)=4ñ6 0ñ6 = 4ñ6 94 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları

DENEME 1 Çözüm 10 n 3 + n + 3n + 11 n + 3 8 = n+1+ n + 3 = n.(n + 3) n + 3 + n + 11 n + 3 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Çözümleri Çözüm 13 n +3=4 n=±1 Çözüm 11 n + 1 n 1 = 1 + 1 n 1 1 n + 1 şeklinde yazarsak 1 1 1 1 =1+ +1+ +1+ +...+1+ 3 1 1 1 1 3 4 5 009 a=10 min BP = 6 cm max BP 1 011 + 1 + 1 010 1 01 1 1 1 =011+ 011,3 011 01 Çözüm 1 I. Yol A kümesindeki her bir elemanı çıkardığımızda 9 tane alt küme yazabiliriz. 9 alt kümede 10 eleman bulunacağı için 10. 9 =10.510=510 (Yani her elemanı 9 defa toplarsak sonuca ulaşırız.) 5+1++0=8 II. Yol BP {6,7,8} 3 tanedir. Çözüm 14 a,b,c,d nin alabileceği değerlere göre ifadeyi parantezler biçiminde yazarsak (1+).(1+3).(1+5).(1+7) = 3.4.6.8 = 576 Parantezler çarpılırsa bütün sayıların elde edildiği görülür. 1 10.. 10... 10. 10 1 + + + 10 burada 1 elemanları 1 defa elemanları defa... k elemanları k defa sayarız. k. n n n k = 1 k 1 buradan (binom açılım özelliğinden) 10 9. 10 9... 10 9 10. 9 0 + 1 + + 9 = bulunur. Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları Çözüm 15 160 30 400 m 80 m Balıkçı gidişte 480 m yol gitmiştir. Rüzgarın hızı υ R olsun. 30 160 =4t, =5t t= ν R + 16 16 υ R =4 Cevap C 95

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Çözümleri Çözüm 16 Hiçbir sayının kendi yerinde olmadığı durumların saysı içerme-dışarmadan; DENEME 1 Çözüm 18 a +ab+b =3ab a ab+b =0 <0 olduğundan çözüm yoktur veya her tarafı a + b ile çarparsak a 3 +b 3 =0 olur. a= b olmalıdır. a ve b pozitif olduğundan çözüm yoktur. Tam olarak 1 tanesinin yerinde olduğu durumları bulmak için öncelikle o elemanı seçeriz. Çözüm 19 Sonra benzer şekilde içerme-dışarmadan; (1) - () den; A-B =1 bulunur. Çözüm 17 =(x++ñ5) (x+(+ñ5)x+ñ5)=0 x 0, x ñ5 x ñ, x ñ5 olduğu görülür. Cevap C Taralılar benzer 15 h=6 h = 0 8 x =8 6 x=ñ7 y =15 6 y=3ò1 x+y=ñ7(+3ñ3) a=ñ7 Çözüm 0 10 8 5 1 4 15 3 1 Şeklinde yerleştirilirse n=15 bulunur. Cevap C Cevap D 96 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları

DENEME 1 Çözüm 1 I. Yol m(ëb)=m(ëd)=α olsun. Sinüs alan formülünden A(E BC)=1/.b.(a+b).k.sinα=4 cm A(F DC)=1/.b.k.(a+b).sinα=4 cm bulunur. II. Yol a.k F b.k D A a a+b E 4 b C B (a+b)k Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Çözümleri Çözüm 3 Feyza aldığı 4 bardağa 4x lira ödemiştir. 3x Geriye kalan 0 bardağı tanesini liraya satmıştır. 0. =30x lira kazanmıştır. 3x Feyza 4x lirada 6x lira kâr ediyor. 100x lirada a lira kâr eder. a.4x=6x.100x a = 5x Çözüm 4 ilk 60 sayıyı alalım ve kaç terimin diziye dahil olduğunu bulalım. İçerme dışarma prensibinden A(FDC) = A(FDB) = S 1 A(EBD) = A(FBD) = S 1 S 1 =A(EBC)=4 bulunur. Yani 60 sayıda 36 sayı diziye dahildir. 015=36.55+35 olduğu için 35 terim için 53 terim gerekir. (Silinecek sayılar 3,4,6,8,9,1,16,18,1,4,7,3,36,39,4,44,48,5,53) Bundan dolayı 015.terim 3359 Cevap E Çözüm I. Yol 3/ 5y +3z 6(mod8) z y (mod8), x 0,1,4 (mod 8) dir. Çözüm 5 P, R, S, Q noktaları çemberseldir. (BD çaplı) (PR ë ) = (QS ë ) olduğundan PR = QS = 6 A P R i) z 0(mod8) ise çözüm yok. ii) z 1(mod 8) ise çözüm yok. iii) z 4(mod8) ise çözüm yok. B D II. Yol 8x +5y +3z =64 (mod 4) te x y (mod 4) olamaz. y z (mod 4) çelişki olur. Q C S Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları 97

Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Deneme Sınavı Çözümleri Çözüm 6 014, 4k+ formunda olduğundan ve 3 numaralı işlemleri yapamayız. Çünkü (014-9):3 N, o halde sadece 1 işlemini uygulayabiliriz. (014-4):=1005 bulunur. Aynı işlem 1005 e uygulanırsa 1005, 3 ün katı olduğundan sadece.işlem uygulanabilir.(1005-9):3=33. Böylece 1 tane doğal sayı vardır. Çözüm 7 x +y =4, xy 1=0, óy x =0 x =4 xy=1 y x =0 x = y =x x=±ñ y=±ñ y=x (ñ,ñ), (-ñ,ñ), (ñ,-ñ), (-ñ,-ñ), (1,1), (-1,-1) pozitif dediği için (ñ,ñ) ve (1,1) Çözüm 8 Alanı Çözüm 9 A C D H 1 br olanlar 6.8=48 tane 4 br olanlar 5.7=35 tane 9 br olanlar 4.6=4 tane 16 br olanlar 3.5=15 tane 5 br olanlar.4=8 tane 36 br olanlar 1.3=3 tane + 133 tane O AB = mn olsun CD = nm olur. B 10m + n AO = OB = 10n + m CH = HO =9/4.11.(m+n) (m n) HO =3/. m=6 n=5 Çevre = 65π Çözüm 30 DENEME 1 pq+p+pq+q=p +q ise p+q=.(p-q), p ve q birbirine eşit olamaz. Aynı zamanda p ve q tek olmak zorunda p 5 olduğundan p ve q mod3 te 1 veya kalanını verirler. eğer p ve q mod3 te aynı kalanı verirlerse 3.(p-q) ve 3ł p+q olur. (Çelişki) Eğer p ve q mod3 te farklı kalanı verirse 3ł3.(p-q) ve 3 p+q olur.(çelişki) O halde p=3,q=5 tek çözümdür. Çözüm 31 x+1 7 x 4x Üçgen ikiz kenar üçgen olduğundan; i) 7 x=4x ise ii) x+1=7 x ise iii) x+1=4x ise Çözüm 3 Diyelim ki A takımı kazansın. 1.kişi x 1 maç,.kişi x maç,...,5.kişi x 5 maç kazansın. x 1 +x +x 3 +x 4 +x 5 =5 olması gerekmektedir. A takımının kazanması için kişiler sırayla gelecekler. O zaman cevabımız olur. Aynısı B için 16.=5 x+1+4x->7-x, x>4/3 7-x+4x->x+1, x>- 7-x+x+1>4x-, x<5/ Bu eşitsizliklerden; bulunur. Cevap C 98 Tübitak Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatları