ISBN Sertifika No: 11748

Transkript

1 ISN Sertifika No: 78 GENEL KOORDİNTÖR: REMZİ ŞHİN KSNKUR REDKTE: REMZİ ŞHİN KSNKUR SERDR DEMİRCİ - SRİ ŞENTÜRK SERVET SVŞ ÇETİN as m Yeri: UMUT MTCILIK - MERTER / STNUL u kitab n tüm bas m ve yay n haklar kartezyen egitim yay nlar na ait olup, tüm haklar sakl d r. K smen de olsa al nt yap lamaz. Metin ve sorular, kitab yay nlayan irketin önceden izni olmaks z n elektronik, mekanik, fotokopi, tarama ya da herhangi bir kay t sistemiyle ço alt lamaz, yay nlanamaz. Turgutreis Mah. Giyimkent Sitesi 8. Sokak lok 9 No: - ESENLER - STNUL Tel: (0) Fax: (0) Copyright kartezyen egitim yay nlar

2 ÖLME - ÖLÜNE LME ölme ve bölünebilme konusu içerisinde asl nda ço unu önceden bildi iniz baz i lem ve kurallar detayl olarak inceleyece iz. a, b, c, k do al say lar ve b 0 olmak üzere, a b c a bölünen b bölen k c bölüm k kalan d r. Yukar da verilen bölme i leminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan bulunuz. ölünen Kalan ölen ölüm ölünen = ölen = ölüm = Kalan = Yukar da verilen bölme i leminde bölünen, bölen, bölüm 0 ve kalan bulunuz. ölünen = ölen = ölüm = Kalan = 8 Yukar da verilen bölme i leminde bölünen, bölen, bölüm ve kalan bulunuz ölünen = ölen =8 ölüm = Kalan =

3 soru 8 7 soru 7 Yukar daki bölme i leminde bölüm kaçt r? Yukar daki bölme i leminde bölünen kaçt r? ) ) C) D) 7 E) 8 ) ) C) 7 D) E) 8 soru 8 soru 0 0 Yukar daki bölme i leminde bölüm kaçt r? Yukar daki bölme i leminde bölen kaçt r? ) ) C) 8 D) 0 E) ) ) C) 8 D) E) soru 9 Yukar daki bölme i leminde bölüm kaçt r? ) ) C) D) E) 9 soru Yukar daki bölme i leminde kalan kaçt r? ) ) 7 C) D) 0 E) 7 KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 7 Yukar daki bölme i leminde bölüm ile kalan n toplam kaçt r? ) ) C) D) E) soru 8 87 Yukar daki bölme i leminde bölen ile bölümün çarp m na, kalan n eklenmesiyle elde edilen say kaçt r? ) 97 ) 0 C) 7 D) 7 E) 87 E C D D 7 8 E

4 ir bölme i leminde, ölünen=(ölen x ölüm)+kalan e itli i vard r. a b c ise a = b. c + k k oldu una göre, kaçt r bulunuz. 7 ölme e itli ine göre, =.7+ =8+ = Cevap: ir bölme i leminde bölüm, bölen 8 ve kalan 7 oldu una göre, bölünen kaçt r bulunuz. 7 8 ölen ölüm Kalan =8.+7=0+7=7 Cevap: 7 Toplamlar 70 olan iki say dan büyü ü küçü üne bölündü ünde bölüm, kalan 0 dur. una göre, bölünen kaçt r bulunuz. üyük say :70 x Küçük say : x olsun. 70x 0 x 70 x=.x =x 0=x x=0 üyük Say (ölünen)=70 0=0 dir. Cevap: 0

5 soru oldu una göre, kaçt r? soru ir bölme i leminde bölen, bölüm ve kalan oldu una göre, bölünen kaçt r? ) ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 ) ) C) 7 D) 8 E) 9 soru oldu una göre, kaçt r? 0 soru ir bölme i leminde bölüm, kalan ve bölen 8 oldu una göre, bölünen kaçt r? ) 98 ) 0 C) D) 0 E) ) 0 ) C) D) E) soru oldu una göre, x kaçt r? x ) ) C) 7 D) 0 E) soru oldu una göre, x kaçt r? x ) 0 ) C) D) E) KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 Toplamlar olan iki say dan büyü ü küçü üne bölündü ünde bölüm, kalan oldu una göre, büyük say kaçt r? ) ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 soru 8 Toplamlar 8 olan iki say dan büyü ü küçü üne bölündü ünde bölüm, kalan oldu una göre, küçük say kaçt r? ) ) C) D) 7 E) 8 E C D E 7 C 8 C

6 ve x pozitif tam say lar, x olmak üzere, 7x x 7x x ise = x.+7 x =7 dir. Cevap: 7 oldu una göre, kaçt r bulunuz. ve pozitif tam say lar, oldu una göre, + toplam n bulunuz. +=+9= ise ise =.+= =.+=9 Cevap: ve pozitif tam say lar, 7 oldu una göre, kaçt r bulunuz. y bulmak için önce nin kaç oldu unu bulmam z gerekir. ise =.+= 7 ise =.+7 =.+7 =9 Cevap: 9, ve C pozitif tam say lar olmak üzere, C oldu una göre, n n C cinsinden de erini bulunuz. C ise ise =.+ =C+ =+=.(C+)+ =8C++=8C+7 Cevap: 8C+7 8

7 soru soru ve x pozitif tam say lar, x< olmak üzere, ve pozitif tam say lar, 8x x oldu una göre, kaçt r? oldu una göre, kaçt r? ) ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 ) ) 0 C) D) E) soru soru ve x pozitif tam say lar, x< olmak üzere, ve pozitif tam say lar, x x+ oldu una göre, kaçt r? oldu una göre, kaçt r? ) ) 8 C) 0 D) E) soru ve pozitif tam say lar, oldu una göre, + toplam kaçt r? ) 8 ) 8 C) D) E) 9 soru K ve M pozitif tam say lar, K 7 oldu una göre, K M fark kaçt r? M ) ) C) D) 7 E) 8 9KRTEZYEN E T M YYINLRI ) 7 ) 9 C) D) E) soru 7, ve C pozitif tam say lar, C E E D D 7 E 8 oldu una göre, n n C cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir? ) C+ ) C+7 C) C+9 D) C+0 E) C+ soru 8, ve C pozitif tam say lar, 7 oldu una göre, n n C cinsinden de eri a a dakilerden hangisidir? ) C+7 ) C+9 C) C+ D) 7C+7 E) 7C+9 C C

8 ir bölme i lemi sonucunda bölen, kalandan büyük olmak zorundad r. ksi halde bölme sonuçlanmam olur. Örne in; 9 dan büyük olduðundan bölmeye devam edilir Kalan K C i leminde 0 Kalan < ölen 0 K < d r. ve x pozitif tam say lar, oldu una göre, say s n n alabilece i en küçük de eri bulunuz. x 7 x 7 ise =x.7+ dir. ölen>kalan oldu undan x> n n en küçük de eri için x= olmal =.7+=7 en küçük de eridir. Cevap: 7 ve x pozitif tam say lar, x oldu una göre, say s n n alabilece i en büyük de eri bulunuz. x ise =.+x=+x ölen>kalan oldu undan >x n n en büyük de eri için x= olmal, =+=9 Cevap: 9 ve x pozitif tam say lar, 0 x oldu una göre, x in en büyük de erini bulunuz. 0 i leminde x <0 olmal d r. x x <0 ise x=7 en büyük de eridir. Cevap: 7 0

9 soru soru ve m pozitif tam say lar,,, x ve y pozitif tam say lar, 7 m 8 x 8 y oldu una göre, say s n n alabilece i en küçük de er kaçt r? oldu una göre, + toplam n n en büyük de eri kaçt r? ) 0 ) C) D) 70 E) 7 ) 80 ) 8 C) 8 D) 87 E) 9 soru soru K ve n pozitif tam say lar, K ve x pozitif tam say lar, K n K x 70 7 oldu una göre, K say s n n alabilece i en küçük de er kaçt r? oldu una göre, x in en büyük de er kaçt r? ) 78 ) 8 C) 97 D) 0 E) soru ve x pozitif tam say lar, KRTEZYEN E T M YYINLRI ) ) C) 7 D) 8 E) 9 soru 7 ve n pozitif tam say lar, x n 8 oldu una göre, say s n n alabilece i en büyük de er kaçt r? oldu una göre, n in en küçük de eri kaçt r? ) 89 ) 90 C) 9 D) 9 E) 97 ) ) C) D) E) soru soru 8 M ve n pozitif tam say lar, M ve n pozitif tam say lar, M n 9 M n oldu una göre, M say s n n alabilece i en büyük de er kaçt r? ) ) 8 C) 0 D) E) oldu una göre, n in en büyük de eri kaçt r? ) ) C) D) E) 8 E D C D 7 8

10 ve x pozitif tam say lar, x 8 x oldu una göre, n n en büyük de erini bulunuz. x 8 x n n en büyük de eri için, x <8 ise x= d r. =8.x+x =8.+ = ise =8.x+x ve x <8 dir. Cevap: ve x pozitif tam say lar, x8 oldu una göre, n n en büyük de erini bulunuz. x 7 x8 x 7 ise =x.7+x 8=9x 8 x 8<x ise x<8 n n en büyük de eri için x=7 dir. =9x 8 =9.7 8 = Cevap: K ve x do al say lar, K x x+ oldu una göre, K n n alabilece i en büyük de eri ve en küçük de erini bulunuz. K x x+ ölen>kalan oldu undan, x+>x 8>x Kalan 0 oldu undan, x >0 ise K=.(x+)+x x> ve <x<8 dir. x in en küçük de eri, en büyük de eri 7 dir. x= için, K=.(+)+. = en küçük de eri x=7 için, K=.(7+)+.7 =9 en büyük de eridir.

11 soru soru ve b pozitif tam say lar, M ve n pozitif tam say lar, b 8 b M n n oldu una göre, n n en büyük de eri kaçt r? oldu una göre, M nin en büyük de eri kaçt r? ) 8 ) 88 C) 90 D) 9 E) 9 ) ) C) 7 D) 8 E) 0 soru soru X ve y pozitif tam say lar, ve x pozitif tam say lar, X y 0 y+ x+ x8.. oldu una göre, X in en büyük de eri kaçt r? oldu una göre, n n en küçük de eri kaçt r? ) ) C) 7 D) 9 E) 0 soru K ve m pozitif tam say lar, KRTEZYEN E T M YYINLRI ) 7 ) 7 C) 7 D) 7 E) 7 soru 7 X ve y do al say lar, K m 8 m+ X y y+ oldu una göre, K n n en büyük de eri kaçt r? oldu una göre, X kaçt r? ) ) C) D) E) 7 ) 8 ) 0 C) D) E) soru soru 8 ve x pozitif tam say lar, K ve m do al say lar, x 0 x K m7 m+ oldu una göre, n n en büyük de eri kaçt r? ) 89 ) 98 C) 07 D) E) 7 oldu una göre, K n n en büyük de eri ile en küçük de erinin toplam kaçt r? ) ) C) 8 D) 9 E) 7 D E E C E 7 8 D

12 iki basamakl say, + oldu una göre, say s n bulunuz. = =++ 7 = ise =(+)+ = ve = için e itlik sa land ndan, = tür. Cevap: ve pozitif tam say lar, + + oldu una göre, ifadesinin sonucunu bulunuz. + + ise +=(+)+ +=++ =+7 dir. 7 9 ( ) Cevap: a ve b gerçek say lar ve a olmak üzere, ifadesinin a cinsinden e itini bu- oldu una göre, lunuz. a +a (a ) b a b a +a a b ise a +a=b.(a )+ a +a =b.(a ) (a ). (a ) b.( a ) b=a+ (a ) (a ) a b (a ) Cevap: a+

13 soru iki basamakl say, soru K ve M pozitif tam say lar, K+M M oldu una göre, say s kaçt r? ) 7 ) 8 C) 9 D) E) 7 M K oldu una göre, ifadesinin de eri kaçt r? ) ) C) D) E) soru iki basamakl say, soru ve pozitif tam say lar, + oldu una göre, say s kaçt r? ) ) C) 7 D) E) 8 soru ve birer rakam, KRTEZYEN E T M YYINLRI oldu una göre, ifadesinin de eri kaçt r? ) ) C) D) E) soru 7 a ve b gerçek say lar a olmak üzere, + a a a b oldu una göre, n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) ) C) D) E) oldu una göre, a n n b cinsinden de eri, a a dakilerden hangisidir? ) b ) b C) b+ D) b+ E) b+ soru ve pozitif tam say lar, soru 8 a ve b gerçek say lar a olmak üzere, a a a+ b oldu una göre, ifadesinin de eri kaçt r? oldu una göre, a b 0 ifadesinin sonucu kaçt r? ) ) C) D) E) ) ) C) D) E) E C D C D 7 8 C

14 a b b c a b ise a=.b+ dir. oldu una göre, a say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. b c ise a=.b+=.(c+)+ =c++=c+ a a=c+ ise Kalan = b=.c+ dir. c Cevap: C ise =+ oldu una göre, say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. C ise =C+ =+=.(C+)+=C+8+ =C+9=C++7 =(C+)+7 =.(C+)+7 ise C+ Kalan = 7 Cevap: 7 K oldu una göre, + say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. M =K+ ve =M+ +=K++M+ =K+M+7 =K+M++ =(K+M+)+ Kalan Cevap:

15 soru soru C X Y Y Z oldu una göre, say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? oldu una göre, X in 0 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) ) 9 ) 8 C) 7 D) E) soru soru K M M N C oldu una göre, K say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? oldu una göre, n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) 7 ) 7 ) 8 C) 9 D) 0 E) soru X Y Y Z KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 K M L N oldu una göre, X say s n n 0 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) 7 D) 8 E) 9 oldu una göre, K+L say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) soru soru 8 P R R S 7 C 7 D oldu una göre, P say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) oldu una göre, + say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) E C C D 7 8 E 7

16 ir bölme i leminde bölen ile bölüm baz durumlarda yer de i tirsede kalan da bir de i iklik olmaz. Hangi durumlarda bölen ile bölümün yer de i tirebilece ine dair a a daki örnekleri dikkatle inceleyiniz. 0 ölen: ölüm: Kalan: 0 ölen: ölüm: Kalan: 0 ölen: ölüm: Kalan: Kalan, bölümden küçükse, bölen ile bölüm yer de i tirebilir. ölen: ölüm: Kalan: ölüm, kalandan küçük oldu unda bölen ile bölüm yer de- i tiremez. X K Yukar daki bölme i leminde bölen ile bölüm yer de i tirebildi- ine göre, K en fazla kaçt r, bulunuz. ölme i leminde bölen ile bölüm yer de i tirebildi ine göre, K< ve K< olmal d r. K< için K= en büyük de eridir. Cevap: a iki basamakl bir say,.. Yukar daki bölme i leminde, a n n alabilece i de erleri bulunuz. a a say s en fazla 7 olabilir. a say s ten büyük olmal. <a 7 a= ve a=7 olabilir. Cevap: ve 7 iki basamakl, a iki basamakl say d r... a. Yukar daki bölme i leminde, a say s n n alabilece i de- erler kaç tanedir, bulunuz. 8 a say s en fazla 8 olabilir. a say s ten büyük olmal d r. <a 8 a say s,,, 7 ve 8 olabilir. Cevap: 8

17 soru K Yukar daki bölme i leminde, bölen ile bölüm yer de i tirdi inde kalan de i medi ine göre, K n n alabilece i de erler kaç tanedir? ) ) C) D) 7 E) 8 soru b iki basamakl bir say, 7.. b 9 Yukar daki bölme i leminde, b say s n n alabilece i de- erler kaç tanedir? ) ) C) D) E) soru X K Yukar daki bölme i leminde bölen ile bölüm yer de i tiremedi ine göre, K n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) ) C) D) E) 7 soru x üç basamakl, y iki basamakl x.. y. Yukar daki bölme i leminde, y nin alabilece i de erler kaç tanedir? soru a iki basamakl bir say, KRTEZYEN E T M YYINLRI ) ) C) D) E) soru 7 7ab dört basamakl, c iki basamakl say lard r... a 8 7ab.. c.. Yukar daki bölme i leminde, a say s n n en büyük de eri kaçt r? oldu una göre, c say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) ) C) 7 D) 8 E) 9 ) ) 0 C) D) E) 0 soru soru 8 x iki basamakl bir say, 8xy dört basamakl, z iki basamakl say lard r x 7 xy.. z.. Yukar daki bölme i leminde, x say s n n en küçük de eri kaçt r? oldu una göre, z say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) ) C) D) E) ) 0 ) C) D) E) 7 C E C 7 8 C 9

18 ölünebilme Kuralları ir bölme i leminde kalan s f r ise bölünen say, bölen say ya tam bölünüyor demektir. ir say n n ba ka bir say ya bölünebilmesinden kas t tam bölünmesidir. az say lar için bölünebilme kurallar geli tirilmi tir. unlar s ras yla inceleyece iz; ile bölünebilme kuralı: Son basama ndaki rakam 0,,,, 8 olan yani çift olan say lar ye tam bölünür. Kalan=0 veya (Kalan 0 ise say ye tam bölünür, kalan ise ye tam bölünmez.) a da verilen say lardan kaç tanesi ye tam bölünür, bulunuz. I. 0 IV. 0 II. 70 V. 78 III. 978 VI. 99 I. 0 Son basama tek say ye tam bölünmez. II. 70 Son basama çift say ye tam bölünür. III. 978 Son basama çift say ye tam bölünür. IV. 0 Son basama tek say ye tam bölünmez. V. 78 Son basama çift say ye tam bölünür. VI. 99 Son basama tek say ye tam bölünmez. ile bölünebilme kuralı: ir say n n rakamlar toplam ün kat ise say e tam bölünür. Kalan=0, veya dir. a da verilen say lardan kaç tanesi e tam bölünür, bulunuz. I. 7 III. V. 089 II. 0 IV. VI. 7 I. 7 +7=, ün kat 7 e tam bölünür. II =, ün kat 0 e tam bölünür. III. ++=, ün kat de il say s e tam bölünmez. IV. ++=8, ün kat de il say s e tam bölünmez. V =8, ün kat 089 e tam bölünür. VI =, ün kat 7 e tam bölünür. 0

19 soru a da verilen say lardan hangisi ye tam bölünür? soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) 0 ) 9 C) 7 D) 9 E) ) 7 ) 8 C) 90 D) E) soru a da verilen say lardan hangisi ye tam bölünmez? soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) 77 ) 7 C) D) 0 E) ) ) C) 8 D) E) 0 KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 8a say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) 0 ) C) D) E) soru 7 a da verilen say lardan hangisi e tam bölünmez? ) 98 ) 87 C) 7 D) E) soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? soru 8 a da verilen say lardan hangisi e tam bölünmez? ) ) C) 7 D) 0 E) ) 7 ) C) 79 D) E) 0 C D E 7 8 D

20 a dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a n n alabilece i de erleri bulunuz. a ++a+=k olmal (k ) a+=k 0 9 a say s 0,,, 9 de erlerini alabilir. x üç basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, x in alabilece i de erleri bulunuz. x ++x=k+ olmal (k ) +x=k+ 0+x=k 8 x say s,, 8 de erlerini alabilir. 7b dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu- una göre, b say s n n alabilece i de erleri bulunuz. 7b +7++b=k+ olmal (k ) +b=k+ +b=k 7 b say s,, 7 de erlerini alabilir. 7a üç basamakl say s ye tam bölünmekte, e bölününce kalan n vermektedir. a say s n n alabilece i de erleri bulunuz. 7a say s ye tam bölünebildi inden a say s 0,,,, 8 olabilir. (I) 7a +7+a=k+, (k ) 0+a=k+ 9+a=k 0 9 7a say s e bölününce kalan n verdi inden a say s 0,,, 9 olabilir. (II) (I) ve (II) den a say s 0 veya olabilir.

21 soru soru a üç basamakl say s ile tam bölünebildi ine göre, a say s a a dakilerden hangisi olabilir? 7a say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) 0 ) C) D) E) ) ) C) D) E) soru soru ab üç basamakl say s ile tam bölünebildi ine göre, a+b toplam a a dakilerden hangisi olabilir? x say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, x say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) 9 ) C) D) E) ) ) C) 7 D) 8 E) 9 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 8x iki basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, x say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) ) C) D) E) 9a iki basamakl say s ye tam bölünüp, ile bölümünden kalan dir. una göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de- er vard r? ) 0 ) C) D) E) soru soru 8 a dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? x üç basamakl say s ye tam bölünmeyip, ile bölümünden kalan dir. una göre, x say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) ) C) D) 7 E) 8 ) ) C) 7 D) 9 E) C D C E C 7 8 E

22 ile bölünebilme kuralı: ir say n n birler ve onlar basama ndan olu an iki basamakl say ile bölünebiliyorsa, say e tam bölünür. Son iki basama n n ile bölümünden kalan, say n n ile bölümünden kalan verir. Kalan=0,, veya tür. a daki say lardan kaç tanesi e tam bölünür, bulunuz. I. 8 III. 00 V. 09 II. 97 IV. 78 I. 8 say s n n son iki basama ndaki say n n ile bölünüp bölünmedi ine bakar z. Kalan=0 oldu undan 8 say s ile tam bölünür. II. 97 say s nda 7 say s n e bölelim, 7 7 Kalan= 8 97 say s e tam bölünmeyip, ile bölümünden kalan dir. III. 00 say s nda 00 say s ün kat oldu undan 00 say s e tam bölünür. IV. 78 say s nda say s n e bölelim. 0 Kalan= 78 say s e tam bölünmeyip, ile bölümünden kalan dir. V. 09 say s nda 09 yani 9 say s n e bölelim, 9 8 Kalan= 09 say s e tam bölünmeyip, ile bölümünden kalan dir. 9a dört basamakl say s n n ile tam bölünebilmesi için a say s n n alabilece i farkl de erleri bulunuz. 9a say s n n ile tam bölünebilmesi için a say s n n e tam bölünebilmesi gerekir. a=k ise a say s,,, 7 veya 9 olabilir. 7 9

23 soru soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) 00 ) C) 0 D) E) 0 a da verilen say lardan hangisi ile bölündü ünde kalan n verir? ) 7 ) C) D) 7 E) soru soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) ) 0 C) 0 D) 79 E) 8 a say s n n ile tam bölünebilmesi için, a say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) 8 ) 0 C) D) E) soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a da verilen say lardan hangisi e bölündü ünde kalan n verir? ) ) C) 0 D) 7 E) 8 7a say s ile bölümünden kalan oldu una göre, a a dakilerden hangisi a say s n n alabilece i de erlerden biridir? ) ) C) D) 7 E) 8 soru soru 8 a da verilen say lardan hangisi e bölündü ünde kalan n verir? 9x dört basamakl say s n n ile tam bölünebilmesi için a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) 7 ) 88 C) 9 D) 00 E) 0 ) ) C) D) E) D C D 7 8 D

24 7a dört basamakl say s hem ye hemde e tam bölünebildi ine göre, a say s n n alabilece i de erleri bulunuz. 7a say s ye tam bölündü ünden, a say s 0,,,, 8 de erlerini alabilir. (I) 7a say s e tam bölündü ünden, a say s 0,, 8 de erlerini alabilir. (II) (I) ve (II) den a say s 0, veya 8 olabilir. Cevap: 0, veya 8 7x üç basamakl say s ye tam bölünüp, ile bölümünden kalan oldu una göre, x say s n n alabilece i de erleri bulunuz. 7x say s ye tam bölündü ünden, x say s 0,,,, 8 de- erlerini alabilir. (I) 7x say s e bölündü ünde kalan n verdi inden, x say s 0,, 8 de erlerini alabilir. (II) (I) ve (II) den x say s 0, veya 8 olabilir. Cevap: 0, veya 8 a üç basamakl say s ve e tam bölündü ünde göre, a say s n n alabilece i de erleri bulunuz. a say s ile tam bölündü üne göre, a say s e tam bölünüyor. a say s ndan a= veya a= (I) a say s ile tam bölündü ünde göre, ++a=k +a=k oldu undan a say s 0,, veya 9 de erlerini alabilir. (II) 0 9 (I) ve (II) den a= d r. Cevap: x dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n veriyor. ile tam bölünüyor. una göre, x say s n n alabilece i de erleri bulunuz. x say s ile tam bölündü üne göre, x say s, de erlerini alabilir. (I) x say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, +++x=k+ 0+x=k+ 9+x=k ise x say s 0,, veya 9 de erlerini alabilir. (II) 0 9 (I) ve (II) den x= d r. Cevap:

25 soru soru 8a üç basamakl say s hem ye hem de e tam bölünebilmektedir. una göre, a say s n n alabilece i de erler a a- dakilerden hangisidir? ) 0, veya ) veya C) 0 veya D) veya E) veya 8 x üç basamakl say s ile tam bölünüp, e bölümünden kalan oldu una göre, x say s kaçt r? ) ) C) D) 7 E) 9 soru soru x üç basamakl say s hem ye hemde e tam bölünebilmektedir. una göre, x say s n n alabilece i de erler toplam kaçt r? ) ) C) D) 8 E) 0 b üç basamakl say s ile bölününce kalan n verip, e tam bölünebilmektedir. una göre, b say s kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 8 KRTEZYEN E T M YYINLRI soru soru 7 a dört basamakl say s ye tam bölünüp, ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s n n alabilece i de erler kaç tanedir? a dört basamakl say s ile tam bölünüp, ile bölündü- ünde kalan n vermektedir. una göre, a say s n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) 0 ) C) D) E) ) ) C) D) E) 8 soru soru 8 8a iki basamakl say s hem e hem de e tam bölündü üne göre, a kaçt r? ab dört basamakl say s hem e hem de e tam bölünebildi ine göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) 0 ) C) D) E) 8 ) ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 C C C D 7 E 8 E 7

26 ile bölünebilme kuralı: ir say n n birler basama ndaki rakam 0 veya ise say 'e tam bölünür. Say n n birler basama ndaki rakam n ile bölümünden kalan, say n n e bölümünden kaland r. Kalan=0,,, veya tür. a daki say lardan kaç tanesi ile tam bölünür, bulunuz. I. 7 III. 70 II. 70 IV. 8 I. 7 birler basama oldu undan e tam bölünür. II. 70 birler basama ndaki rakam 0 veya ten farkl, e tam bölünmez. III. IV. 70 e tam bölünür. 8 e tam bölünmez. Cevap: a daki say lar n ile bölümünden kalanlar bulunuz. I. 9 III. 8 II. IV. I. 9 say s nda birler basama ndaki rakam 9 un ile bölümünden kalan oldu u için 9 un ile bölümünden kalan tür. II. say s n n ile bölümünden kalan tür. III. 8 say s nda birler basama ndaki rakam 8 in ile bölümünden kalan oldu u için 8 in ile bölümünden kalan tür. IV. say s n n ile bölümünden kalan tür. 8a dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu- una göre, a say s n n alabilece i de erleri buunuz. 8a say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s veya 7 olabilir. Cevap: veya 7 8

27 soru soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) 8 ) C) D) E) a da verilen say lardan hangisi ile bölündü ünde kalan n verir? ) 9 ) C) D) E) 7 soru soru a da verilen say lardan hangisi e tam bölünür? ) 0 ) 97 C) D) E) 7a üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, a say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) ) C) D) E) soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a da verilen say lardan hangisi ile bölündü ünde kalan n verir? 9x iki basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) 7 ) C) D) 7 E) 0 ) ) C) D) E) soru soru 8 a da verilen say lardan hangisi ile bölündü ünde kalan n verir? a dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, a say s n n alabilece i de erler toplam kaçt r? ) ) 8 C) D) E) 0 ) 9 ) 0 C) D) E) C D E 7 C 8 E 9

28 a üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan n veriyor, ile tam bölünüyor. una göre, a say s kaçt r, bulunuz. a say s ile tam bölündü ünden a say s 0,,,, 8 de- erlerini alabilir. (I) a say s ile bölündü ünde kalan n verdi inden, a say s ve 7 olabilir. (II) (I) ve (II) den a= dir. Cevap: x dört basamakl say s ile tam bölünmekte, ile bölündü ünde kalan n vermektedir. una göre, x say s kaçt r, bulunuz. x dört basamakl say s ile tam bölündü ünden, x say s veya olabilir. (I) x dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s veya olabilir. (II) (I) ve (II) den x= dir. Cevap: a dört basamakl say s ve ile tam bölünebilmektedir. una göre, a kaçt r, bulunuz. a say s ile tam bölündü ünde göre, a say s 0 veya olabilir. (I) a say s ile tam bölündü üne göre, +++a=k, (k ) 0+a=k, a say s, veya 8 dir. (II) 8 (I) ve (II) den a= dir. Cevap: xy üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan n, ile bölündü ünde kalan n veriyor. una göre, x say s n n alabilece i farkl de erleri bulunuz. xy üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi- inden y= veya y= d r. y= için x +x+=k+, (k ) x+=k+ x+=k ise x say s, veya 8 olabilir. y= için x +x+=k+, (k ) x+=k+ x+9=k ise x say s 0,, veya 9 dur. x say s 0,,,,, 8 veya 9 de erlerini alabilir. Cevap: 7 0

29 soru soru a iki basamakl say s ve ile tam bölündü üne göre, a say s a a dakilerden hangisidir? ) 0 ) C) D) E) 8 8x iki basamakl say s ile tam bölünüp, ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s a a dakilerden hangisidir? ) 0 ) C) D) E) 7 soru soru 7x üç basamakl say s ye tam bölünüp, ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s a a dakilerden hangisidir? ) ) C) D) E) 8 a üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan, ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, a say s a a dakilerden hangisidir? ) ) C) D) 7 E) 9 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a üç basamakl say s ile tam bölünüp, ile bölündü ünde kalan n vermektedir. una göre, a say s a a dakilerden hangisidir? a dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verip, ile tam bölünebildi ine göre, a say s a a dakilerden hangisidir? ) ) C) D) 7 E) 8 ) ) C) D) 7 E) 8 soru soru 8 89x be basamakl say s ile bölündü ünde kalan n, ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s a a dakilerden hangisidir? 0ab dört basamakl say s ile tam bölünüp, ile bölündü- ünde kalan n verdi ine göre, a say s a a dakilerden hangisi olamaz? ) ) C) D) E) 8 ) 0 ) C) D) E) E D 7 C 8 C

30 ile bölünebilme kuralı: ve ile tam bölünebilen say lar ile tam bölünür. a daki say lardan kaç tanesi ile tam bölünür, bulunuz. I. II. 8 III. 7 IV. 7 I. say s ile tam bölünür. ++=9 oldu undan ile tam bölünür. say s ile tam bölünür. II. 8 say s ile tam bölünür. +8= oldu undan ile tam bölünür. 8 say s ile tam bölünür. III. 7 say s ile tam bölünür. 7+= k oldu undan ile tam bölünmez. 7 say s ile tam bölünmez. IV. 7 say s ile tam bölünmez. ++7=9=k oldu undan ile tam bölünür. 7 say s ile tam bölünmez. Cevap: 7x üç basamakl say s ile tam bölündü üne göre, x say s kaçt r, bulunuz. 7x say s ile tam bölündü ünden ve e tam bölünür. 7x say s ile tam bölündü ü için x say s 0,,,, 8 olabilir. (I) 7x say s ile tam bölündü ünden, +7+x=k, (k ) 8+x=k x say s,, 7 olabilir. (II) 7 (I) ve (II) den x= tür. Cevap: a üç basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi- ine göre, a say s kaç olabilir, bulunuz. a Kalan ve e böleriz. 0 =. oldu undan ise a say s ile tam bölünür. a say s 0,,,, 8 olabilir. (I) < oldu undan bölme i lemi yap lamaz. a say s n n ile bölümünden kalan dir. ++a=k+ +a=k ise a say s 0,,, 9 olabilir. (II) 0 9 (I) ve (II) den a=0 veya a= olabilir. Cevap: 0 veya

31 soru soru a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünür? ) 7 ) 8 C) 9 D) 0 E) 0 97x üç basamakl say s ile tam bölündü ünde göre, x a a dakilerden hangisi olabilir? ) 0 ) C) D) E) 8 soru soru a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünür? ) ) C) D) 8 E) 0 a dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a a a dakilerden hangisi olabilir? ) ) C) D) E) 8 KRTEZYEN E T M YYINLRI soru soru 7 a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünmez? ) 8 ) 0 C) D) 8 E) 00 7a dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 8 soru soru 8 a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünmez? ) 8 ) 0 C) 0 D) 8 E) a say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) ) C) 7 D) 8 E) 9 D C E E D 7 C 8 E

32 7 ile bölünebilme kuralı: Say n n rakamlar birler basama ndan ba layarak sa dan sola do ru,, ile e le tirilir.,, say lar ile e le tirilen rakamlar çarp l p sonuçlar sa an sola do ru +,, +,,... parantezine al n p toplan r. Ç kan sonuç 0 veya 7 nin kat ise say 7 ile tam bölünür. a da verilen say lardan hangileri 7 ile tam bölünür, bulunuz. I. 97 II I. II =(.) (.+9.+.)+(.+.+7.) = += 7=7k, oldu undan 97 say s 7 ile tam bölünür = ( )+( ) = ()+=0 Ç kan sonuç 0 un 7 ye bölümünden kalan oldu undan 7889 say s n n 7 ile bölümünden kalan tür. 8a say s 7 ile tam bölündü üne göre, a say s kaçt r, bulunuz. 8 a + =(.+8.)+(.+a.+.) = +9+a =a =7k ise a= tür. Cevap: 8 ile bölünebilme kuralı: Son üç basama 8 in kat olan say lar, 8 ile tam bölünür. Son üç basama n 8 ile bölümünden kalan, say n n 8 ile bölümünden kaland r. a da verilen say lardan hangileri 8 ile tam bölünür, bulunuz. I. 0 II. 900 III. 000 I. 0 say s nda 0 yani say s 8 in kat oldu undan 0 say s 8 e tam bölünür. II. 900 say s nda 00 yani say s 8 in kat olmad ndan 900 say s 8 e tam bölünmez. 900 say s n n 8 ile bölümünden kalan tür. III. 000 say s nda 000 yani 0 say s 8 in kat oldu undan 000 say s 8 e tam bölünür.

33 soru soru a da verilen say lardan hangisi 7 ile tam bölünür? a da verilen say lardan hangisi 8 ile tam bölünür? ) 98 ) 00 C) 09 D) 90 E) 9 ) 0 ) C) D) 90 E) 88 soru soru a da verilen say lardan hangisi 7 ile tam bölünmez? a da verilen say lardan hangisi 8 ile tam bölünmez? ) 978 ) 7 C) 9 D) 0 E) 9 ) 8 ) 9 C) 0 D) 8 E) 800 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a da verilen say lardan hangisi 7 ile bölündü ünde kalan n verir? a da verilen say lardan hangisi 8 ile bölündü ünde kalan n verir? ) 79 ) 87 C) 008 D) 8 E) ) 987 ) 99 C) 00 D) 0 E) 7 soru soru 8 7a8 alt basamakl say s n n 7 ile tam bölünebilmesi için a n n alabilece i de erler toplam kaçt r? a say s n n 8 ile tam bölünebilmesi için a say s n n alabilece i de erler kaç tanedir? ) 7 ) 8 C) 9 D) 0 E) ) ) C) D) E) E E D C 7 8 D

34 9 ile bölünebilme kuralı: ile bölünebilme kural na benzer biçimde, bir say n n rakamlar toplam 9 un kat ise say 9 a bölünür. abc üç basamakl say a+b+c=9k, (k ) ise abc say s 9 ile tam bölünür. a daki say lardan hangileri 9 ile tam bölünür, bulunuz. I. ++=9 oldu undan 9 ile tam bölünür. I. III. 8 II =8 oldu undan 9 ile tam bölünür. II. 78 IV. 79 III =9 say s 9 un kat olmad ndan 9 a tam bölünmez Kalan= olduðundan 8 say s n n 9 ile bölümünden kalan dir. IV = say s 9 un kat olmad ndan 9 a tam bölünmez. 8 9 Kalan= 79 say s n n 9 ile bölümünden kalan dir. a dört basamakl say s n n 9 ile tam bölünebilmesi için a hangi de eri alabilir, bulunuz. ++a+=9k, (k ) olmal, +a=9k ise a= tür. Cevap: ab dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verip, 9 ile bölündü ünde kalan n vermektedir. una göre, a n n alabilece i kaç farkl de er vard r, bulunuz. ab say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, b= veya b=8 dir. b= için, a ++a+=9k+, (k ) 0+a=9k+ 8+a=9k ise a= b=8 için, a8 ++a+8=9k+, (k ) +a=9k+ +a=9k ise a= dir. a say s veya de erini alabilir. Cevap:

35 soru soru a da verilen say lardan hangisi 9 ile tam bölünür? 7a üç basamakl say s 9 ile tam bölündü üne göre, a kaçt r? ) ) C) D) E) ) ) C) D) E) soru soru a da verilen say lardan hangisi 9 ile tam bölünür? ) 07 ) C) 780 D) 8 E) 8 x dört basamakl say s 9 ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, x say s kaçt r? ) ) C) D) E) 7 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a da verilen say lardan hangisi 9 ile tam bölünmez? ) 79 ) 98 C) D) E) 0 9a say s n n ile bölümünden kalan, 9 ile bölümünden kalan 7 oldu una göre, a kaçt r? ) ) C) D) E) soru soru 8 a da verilen say lardan hangisi 9 ile bölündü ünde kalan n verir? ) 0 ) 9 C) D) 7 E) ab dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan, 9 ile bölümünden kalan oldu una göre, a n n alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) 8 ) 9 C) 0 D) E) D C E C 7 D 8 C 7

36 0 ile bölünebilme kuralı: irler basama 0 olan say lar 0 ile tam bölünür. irler basama ndaki rakam say n n 0 ile bölümünden kaland r. a daki say lardan hangileri 0 ile tam bölünür bulunuz. I. 80 III. 90 II. 7 IV. 78 I. 80, 0 ile tam bölünür. II. 7, 0 ile bölümünden kalan 7 dir. III. 90, 0 ile tam bölünür. IV. 78, 0 ile bölümünden kalan 8 dir. ab dört basamakl say s 0 ile bölündü ünde, 9 ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, a kaçt r, bulunuz. ab say s 0 ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, b= tür. a say s 9 ile bölündü ünde kalan n verdi inden, +a++=9k+, (k ) a+9=9k+ a+7=9k ise a= dir. Cevap: ile bölünebilme kuralı: Verilen say n n rakamlar birler basama ndan ba layarak sa dan sola do ru +,, +,,... biçiminde s n fland r l r. (+) i aretli rakamlar n toplam ile () i aretli rakamlar n toplam n n fark in kat olan say lar ile tam bölünür. 8 ve 807 say lar n n ile bölümünden kalanlar bulunuz. 8 = (+8+)(+)= = Sonuç, in kat oldu undan 8, ile tam bölünür = (8+0+7) (++)= = say s n n ile bölümünden kalan 9 dur. 8

37 soru soru a da verilen say lardan hangisi 0 ile tam bölünür? a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünür? ) 7 ) C) 0 D) 7 E) 8 ) ) C) 79 D) E) 778 soru soru a da verilen say lardan hangisinin 0 ile bölümünden kalan d r? a da verilen say lardan hangisinin ile bölümünden kalan dir? ) ) 78 C) 87 D) 978 E) 98 ) 79 ) 8 C) 90 D) 97 E) 0 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 abc üç basamakl say s n n ile bölümünden kalan, 0 ile bölümünden kalan 8 ise c kaçt r? a da verilen say lardan hangisinin ile bölümünden kalan tir? ) ) C) D) 7 E) 8 ) ) 08 C) D) 9 E) soru soru 8 ab dört basamakl say s n n 0 ile bölümünden kalan ve ile bölümünden kalan oldu una göre, a n n alabilece i de erler toplam kaçt r? ) 8 ) 9 C) D) E) 8 a da verilen say lardan hangisi ile tam bölünür? ) ) 0000 C) D) E) 000 C E D E 7 C 8 D 9

38 7 say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. 7 = (++) (+7+)=9 = say s n n ile bölümünden kalan bulmak için k biçiminde yazar z. k= için. = kalan dir. Cevap: a yedi basamakl say s n n ile tam bölündü üne göre, a say s kaçt r, bulunuz. a (+++) (+a+)=k, (k ) (a+) =k 9 a=k ise a=9 dur. Cevap: 9 x be basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s kaçt r, bulunuz. x = (+x+) (+) x+ =k+, (k ) x =k ise x= dir. Cevap: xy dört basamakl say s n n ile bölündü ünde kalan n vermekte, ile tam bölünebilmektedir. una göre, x in alabilece i farkl de erleri bulunuz. xy say s ile bölündü ünde kalan verdi ine göre, x veya x7 olabilir. Yani y= veya y=7 dir. y= için, x = (+x) (+)=k, (k ) + + x =k ise x= y=7 için, x 7 = (x+7) (+)=k, (k ) + + x+=k e itli ini sa layan bir rakam olmad ndan, x sadece de erini alabilir. Cevap: x= 0

39 soru soru say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) 7 a be basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu- una göre, a kaçt r? ) ) C) 7 D) 8 E) 9 soru soru say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) 7 C) 8 D) 9 E) 0 87aa alt basamakl say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) 7 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 x alt basamakl say s e tam bölündü üne göre, x kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 8a7b dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n vermekte, ile tam bölünebilmektedir. una göre, a say s n n alabilece i farkl de erlerin toplam kaçt r? ) ) C) D) E) 8 soru soru 8 aba alt basamakl say s e tam bölündü ünde göre, b kaçt r? ) ) C) 7 D) 8 E) 9 8a7 be basamakl say s ile tam bölünebilmektedir. aaaaa be basamakl say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) E E C C E 7 D 8

40 Diğer sayıların bölünebilme kuralları: ve yukar s ndaki say lardan baz lar için özel bölünebilme kurallar geli tirilmi olsada, bu say lar için; x ile y aralar nda asal say lar olmak üzere, hem x e hem de y ye tam bölünebilen bir say x.y çarp m n da tam bölünür, genel kural ile arayaca z. Örneğin; Say n n ile bölünebilmesi için =. oldu undan, ( ile aralar nda asald r.) Say n n ve e tam bölünebilmesi gerekir. ile bölünebilmesi için =. oldu undan, ve ile tam bölünmesi gerekir. 8 e tam bölünebilmesi için 8=.9 oldu undan, ve 9 ile tam bölünmesi gerekir. 0 ye tam bölünebilmesi için 0=. oldu undan, ve ile tam bölünmesi gerekir. Uyarı Say n n çarpanlar n n aralar nda asal say lardan seçildi ine dikkat ediniz. C üç basamakl say s n n ile bölünebilmesi için hangi say lara bölünebilmesi gerekti ini bulunuz. =.8 =.9 =. =. n n çarpanlar ndan ve 9 aralar nda asal oldu undan C say s n n ve 9 a tam bölünmesi gerekir. Cevap: ve 9 ab dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a n n alabilece i kaç farkl de er vard r, bulunuz. =. oldu undan, ab say s e ve e tam bölünmelidir. e tam bölündü üne göre, ab say s nda b=0 veya b= tir. b=0 için, a0 +a++0=k, (k ) a+7=k ise a say s, veya 8 dir. b= için, a +a++=k, (k ) a+=k ise a say s 0,, veya 9 dur. a say s 7 farkl de er alabilir.

41 soru soru a daki ifadelerden hangisi daima do rudur? ) ve ile bölünebilen bir say ile tam bölünür. ) ve 9 ile bölünebilen bir say 8 ile tam bölünür. ab dört basamakl say s 8 ile tam bölündü üne göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) ) C) D) E) C) ve ile bölünebilen bir say 0 ile tam bölünür. D) ve ile bölünebilen bir say ile tam bölünür. E) ve ile bölünebilen bir say 9 ile tam bölünür. soru soru ir say n n ile tam bölünebilmesi için a a daki say lardan hangisine tam bölünmesi gerekir? 7xy be basamakl say s 0 ile tam bölündü üne göre, x in alabilece i de erlerin toplam kaçt r? ) ve 8 ) ve 9 C) ve D) ve E) ve 9 KRTEZYEN E T M YYINLRI ) ) 8 C) 9 D) 0 E) soru soru 7 8x üç basamakl say s ile tam bölündü üne göre, x kaçt r? ab be basamakl say s 0 ile tam bölündü üne göre, a+b toplam n n alabilece i en büyük de er kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 8 ) ) 9 C) 0 D) E) soru soru 8 a dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a kaçt r? ab dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a say s n n alabilece i en büyük de er kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 7 ) ) C) D) E) 7 C C D 7 8 E

42 ir say n n a gibi bir say ya bölümünden kalan k olsun, say n n a n n çarpanlar na bölümünden kalan bulmak için; k kalan bu çarpanlara tek tek bölünür ve yeni kalanlar bulunur. ve =. oldu undan, oldu una göre, say s n n ve ile bölümünden kalanlar bulunuz. Kalan yi ve e bölmeye çal r z. 0 say s n n ile bölümünden kalan 0 d r. < oldu undan bölme i lemini yapmadan say s n n ile bölümünden kalan dir, diyebiliriz. oldu una göre, say s n n ve ile bölümlerinden kalanlar bulunuz. =. oldu undan, kalan i s ras yla ve e bölelim. say s n n ile bölümünden kalan dir. say s n n ile bölümünden kalan dir. oldu una göre, say s n n ve 9 ile bölümlerinden kalanlar bulunuz. =.9 oldu undan, kalanlar bulmak için kalan ü ve 9 a bölmemiz gerekir. ncak kalan hem ten hemde 9 dan küçük oldu undan, say s n n ile bölümünden kalan ve 9 ile bölümünden kalan yine tür.

43 soru soru X 8 Y oldu una göre, say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? oldu una göre, X say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? ) ve 0 ) 0 ve C) 0 ve 0 D) ve E) ve ) 0 ve ) ve 0 C) ve D) ve E) ve soru soru X 0 Y oldu una göre, X say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? oldu una göre, say s n n ve 9 ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? ) ve ) ve C) 0 ve 0 D) ve 0 E) 0 ve soru X Y KRTEZYEN E T M YYINLRI ) ve ) ve C) ve D) ve E) ve soru 7 M oldu una göre, X say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? oldu una göre, M say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? ) 0 ve 0 ) ve 0 C) 0 ve D) ve E) ve ) ve ) ve C) ve D) 0 ve E) ve 0 soru soru N 0 oldu una göre, say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? oldu una göre, N say s n n ve ile bölümünden kalanlar s ras yla a a dakilerden hangisidir? ) ve ) ve C) ve D) ve E) ve ) ve ) ve C) 0 ve 0 D) 0 ve E) ve 0 E C D D 7 8

44 a7b dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r, bulunuz. a7b 0 ve =. oldu undan, a7b say s ve e tam bölünür. e tam bölündü üne göre, b= veya b= d r. b= için, a7 a++7+=k, (k ) a+0=k ise a say s, veya 8 olabilir. a= için, a7 a++7+=k, (k ) a+=k ise a say s,, 7 olabilir. a say s farkl de er olabilir. Cevap: ab dört basamakl say s ile bölündü ünde kalan n verdi ine göre, a+b toplam n n en büyük de erini bulunuz. a ve =.9 oldu undan, ab say s n n ve 9 ile bölümünden kalanlar bulal m. ise ab say s n n ile bölümünden kalan dir. <9 oldu undan ab say s n n 9 ile bölümünden kalan dir. b= için, a +a++=9k+, (k ) a+=9k ise a= dür. b=7 için, a7 +a++7=9k+, (k ) a+9=9k ise a=0 veya a=9 dur. a=9 ve b=7 için a+b nin en büyük de eri 9+7= dur. Cevap:

45 soru soru y dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, y say s kaçt r? ab dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) 0 ) C) D) E) ) ) C) D) 7 E) 8 soru soru xy üç basamakl say s 0 ile tam bölündü üne göre, x+y toplam n n en büyük de eri kaçt r? x üç basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, x say s kaçt r? ) ) C) 9 D) E) ) ) C) D) E) KRTEZYEN E T M YYINLRI soru ab üç basamakl say s 0 ile tam bölündü üne göre, a say s n n alabilece i kaç farkl de er vard r? ) ) C) D) E) soru 7 x7 üç basamakl say s n n ile bölümünden kalan 7 oldu una göre, x say s a a dakilerden hangisi olabilir? ) ) C) D) E) 7 soru soru 8 7x0 dört basamakl say s ile bölündü ünde, x say s kaçt r? 9a üç basamakl say s n n ile bölümünden kalan 7 oldu- una göre, a say s kaçt r? ) 0 ) C) D) E) 8 ) ) C) D) 7 E) 8 C E C E 7 D 8 7

46 ababab alt basamakl bir say ve b a= oldu una göre, ababab say s n n ile bölümünden kalan kaçt r, bulunuz. a b a b a b = (b+b+b) (a+a+a) = b a =.(b a) =.= ababab say s n n ile bölümünden kalan d r. Cevap: aaaaa say s n n 9 ile bölümünden kalan oldu una göre, ile bölümünden kalan bulunuz. aaaaa=9k+, (k ) a+a+a+a+a=9k+ a=9k+ a =9k için a= d r. aaaaa= oldu undan, aaaaa say s n n ile bölümünden kalan dir. Cevap: xxxx dört basamakl say s ile tam bölündü üne göre, xxxx say s n n 9 ile bölümünden elde edilebilecek kalanlar bulunuz. xxxx say s n n ile tam bölünmesi için xx iki basamakl say s n n ile tam bölünebilmesi gerekir. xx= veya xx=88 olabilir, yani x rakam veya 8 dir. x= için, xxxx= +++= n n 9 a bölümünden kalan 7 dir. x=8 için, xxxx= = nin 9 a bölümünden kalan dir. Cevap: veya 7 8

47 soru soru dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? dört basamakl say s n n 9 ile bölümünden kalan 8 oldu- una göre, say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) ) ) C) D) E) soru soru... onbe basamakl say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, ile bölümünden kalan kaçt r? alt basamakl bir say ve = oldu una göre, say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) ) 0 ) C) D) E) 8 soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 XYXY dört basamakl say s n n ile bölümünden kalan 8 ve Y=X oldu una göre, XYXX say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? be basamakl say s ile tam bölündü üne göre, say s n n 0 ile bölümünden kalan a a dakilerden hangisi olabilir? ) 0 ) C) D) E) ) 9 ) 8 C) 7 D) E) soru soru 8 XXXX...X on sekiz basamakl say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? dört basamakl say s 8 ile tam bölündü üne göre, ile bölümünden kalan kaçt r? ) 7 ) C) D) E) 0 ) 0 ) C) D) E) D E E D 7 8 D 9

48 say s n n m say s ile bölümünden kalan x, say s n n m say s ile bölümünden kalan y ise; k n n m ile bölümünden kalan x k, (k + ) + nin m ile bölümünden kalan x+y nin m ile bölümünden kalan x y. nin m ile bölümünden kalan x. y k. n n m ile bölümünden kalan k. x dir. (k + ) x k, x+y, x y, x. y ve k. x kalanlar m den büyük veya negatif oldu unda tekrar m ye bölünerek kalan bulunur çarp m n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r, bulunuz =9 say s n n 9 ile bölümünden kalan dir =0 say s n n 9 ile bölümünden kalan tür =.= oldu undan, say s n n 9 ile bölümünden kalan d r. Cevap: (897) say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. 897 say s n n ile bölümünden kalan oldu undan, (897) yerine = ve ün ile bölümünden kalan tür. Yani (897) say s n n ile bölümünden kalan tür. Cevap: toplam n n ile bölümünden kalan bulunuz =7 ve 7 nin ile bölümünden kalan oldu undan 800 say s n n ile bölümünden kalan dir =7 nin ile bölümünden kalan 0 oldu undan, toplam n n ile bölümünden kalan +0= dir. Cevap: 0

49 soru (897).(97) çarp m n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? soru () say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) 7 E) 8 ) 0 ) C) D) E) soru (...).(77) çarp m n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? 8 basamakl ) 0 ) C) D) E) soru (7900) say s n n 8 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) KRTEZYEN E T M YYINLRI soru ().(797) çarp m n n ile bölümünden kalan kaçt r? soru toplam n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 9 ) 7 C) D) E) 0 ) 0 ) C) D) E) 8 soru ().() çarp m n n ile bölümünden kalan kaçt r? soru fark n n 8 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) ) 7 ) C) D) E) 0 C E C 7 8 D

50 a say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a +a say s n n ile bölümünden kalan bulunuz. u tarz sorularda a say s n n ile bölümünden kalan oldu u için, verilen ifadede a gördü ümüz yere yazarak sonucu bulabiliriz. yr nt l bilgi modüler aritmetik konusunda verilecektir. a say s n n ile bölümünden kalan oldu u için, a +a ifadesinde a gördü ümüz yere yazar z. a +a= +=9+= 0 a +a ifadesinin ile bölümünden kalan 0 d r. Cevap: 0 a say s n n ile bölümünden kalan, b say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a+b ifadesinin ile bölümünden kalan bulunuz. fade de a= ve b= yazal m..a+.b=.+.= 0 Kalan = Cevap: say s n n ile bölümünden kalan tür. una göre, a a daki ifadelerin hangileri ile tam bölünür, bulunuz. I. + IV. + II. + V. III. + I. +=.+=7 ( n n kat de il tam bölünmez.) II. +=+= ( ya tam bölünür.) III. +=.+=7 (Tam bölünmez.) IV. += += (Tam bölünür.) V. = = (Tam bölünür.) II, IV ve V ifadeleri ya tam bölünür. Cevap: II, IV ve V

51 soru soru m say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, m+ say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) a say s n n ile bölümünden kalan ve b say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a+b say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? ) 0 ) C) D) E) soru soru k say s n n 7 ile bölümünden kalan ise k+ say s n n 7 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) x say s n n 9 ile bölümünden kalan, y say s n n 9 ile bölümünden kalan oldu una göre, x +y say s n n 9 ile bölümünden kalan kaçt r? ) 7 ) C) D) E) soru KRTEZYEN E T M YYINLRI soru 7 a say s n n ile bölümünden kalan ise, a a say s n n ile bölümünden kalan kaçt r? x say s n n ile bölümünden kalan oldu una göre, a a daki ifadelerden hangisi ile tam bölünür? ) 0 ) C) D) E) ) x + ) x+ C) x D) x+ E) x soru m say s n n 8 ile bölümünden kalan, n say s n n 8 ile bölümünden kalan oldu una göre, m+n say s n n 8 ile bölümünden kalan kaçt r? ) ) C) D) E) soru 8 y say s n n 8 ile bölümünden kalan oldu una göre, a a daki ifadelerden hangisi 8 ile tam bölünür? ) y+ ) y+ C) +y D) y E) y+ C D E 7 8 D