MATEMAT K 9. SINIF M. Zeki DERMAN Mehmet ÖZBEK 7 BÖLÜM KONU ANLATIMI 18 LÜ TEST 36 ETK NL K 217 ÇALIfiMA (YAZILI) SORUSU 73 KONU TEST 1770 SORU ZAFER YAYINLARI
TEŞEKKÜR Bu kitabın hazırlanmasında emeğini hiç esirgemeyen yazar arkadaşlarıma, ayrıca eleştirileriyle, görüşleriyle ve katkılarıyla destek veren Ankara Zafer Dershanesi Matematik Zümresine ve de dizgisinden baskısına kadar kitaba emek veren herkese burada teşekkürü borç bilirim. Ali DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu COPYRIGHT ZAFER E T M VE Ö RET M L M TED fi RKET BU K TAP ZAFER DERSHANELER YAYINIDIR. HER HAKKI SAKLIDIR. K TAPTAK TESTLER VE SORULAR AYNEN YA DA DE fit R LEREK YAYIMLANAMAZ. YEN MÜFREDATA TÜMÜYLE UYGUN EYLÜL 2013 ANKARA Dizgi Grafik Rukiye ÖZTÜRK Zehra BÜLBÜL Muharrem ÇEL K Mevsimben ÖZBEK ISBN 978 9944 430 00 5
İSTİKLAL MARŞI Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl! Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl... Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım! Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım. Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım. Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar, Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar, "Medeniyet!" dediğin tek dişi kalmış canavar? Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın. Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın. Doğacaktır sana va'dettiği günler Hakk'ın... Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın. Bastığın yerleri "toprak!" diyerek geçme, tanı: Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı. Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı: Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı. Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ? Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ! Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Hüdâ, Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ. Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli: Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli. Bu ezanlar ki şahadetleri dinin temeli Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli. O zaman vecd ile bin secde eder varsa taşım, Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım, Fışkırır ruh ı mücerred gibi yerden na'şım. O zaman yükselerek arşa değer belki başım. Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hîlâl! Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl. Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl: Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet; Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif Ersoy
10. YIL MARŞI Çıktık açık alınla on yılda her savaştan; On yılda on beş milyon genç yarattık her yaştan; Başta bütün dünyanın saydığı başkumandan, Demir ağlarla ördük anayurdu dört baştan. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Bir hızda kötülüğü, geriliği boğarız, Karanlığın üstüne güneş gibi doğarız. Türk'üz, bütün başlardan üstün olan başlarız; Tarihten önce vardık, tarihten sonra varız. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Çizerek kanımızla öz yurdun haritasını, Dindirdik memleketin yıllar süren yasını; Bütünledik her yönden istiklâl kavgasını... Bütün dünya öğrendi Türklüğü saymasını! Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Örnektir milletlere açtığımız yeni iz; İmtiyazsız, sınıfsız, kaynaşmış bir kitleyiz: Uyduk görüşte bilgiye, gidişte ülküye biz. Tersine dönse dünya yolumuzdan dönmeyiz. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Söz: Behçet Kemal Çağlar, Faruk Nafiz Çamlıbel Müzik: Cemal Reşit Rey
Sevgili Ö renciler, Lise ö renimi ve üniversite s navlar ülkemiz koflullar nda her geçen gün önem kazanmaktad r. Daha 9. s n fa bafllarken üniversite s navlar n kazanmak, üniversiteli olmak as l amac n z. Bu nedenle, yaflam n z n önemli bir dönüm noktas nda bulunuyorsunuz. Böylesi bir noktada, üniversitenin herhangi bir ö retim program n rastgele tercih edip kazanman n ötesinde, istedi iniz ö retim program na girmeyi amac n z n birincil ilkesi k lman z gerekiyor. Çünkü tercih edip kazanaca n z üniversite ö retim program, bir bak ma gelece inizi belirleyecektir. Ancak, flu da biliniyor ki, ülkemizde, b rakal m her ö rencinin istedi i üniversite ö retim program na girmesi, üniversite s navlar n kazanmas ve üniversiteli olmas kolay de il. Sorun, üniversite s navlar na baflvuran aday say s n n yüz binleri bulmas ndan ve buna karfl l k üniversite ö retim programlar ndaki kontenjanlar n s n rl l ndan kaynaklan yor. Bu durumda, yüz binlerin aras ndan s yr l p öne ç karak üniversite s navlar nda baflar l olabilmenin koflullar n çok iyi bilmek durumundas n z. Birinci koflul, yetene inize uygun, baflar n zla orant l üniversite ö retim programlar n sa l kl bir biçimde seçmektir. kinci koflul, gerek lise ö renimi süresince gerekse üniversiteye haz rlan rken düzenli, disiplinli, verimli bir çal flma temposu tutturmakt r. Üçüncü koflul, üniversite s navlar na haz rl k amac yla ç kar lan ciddi yay nlarla çal flman z destekleyip sürdürmektir. Elinizdeki 9. SINIF MATEMAT K kitab, hem 9. s n f müfredat na tümüyle uygunlu u hem de içerdi i konular n ifllenifli yönünden üniversiteye haz rl kta gereksinimi karfl layacak biçimde haz rlanm fl yetkin bir baflvuru kayna d r. Kitap, ortaö retim 9. s n f (1. ve 2. dönem) matematik müfredat dikkate al narak 7 ana bölümden oluflturulmufl ve konu anlat m na a rl k verilerek haz rlanm flt r. Bu kitapta, 9. S n f Matematik konular bir bütün olarak düflünülmüfl ve temel kavramlardan yola ç k lm flt r. Her bölüm, içerdi i konularla ilgili temel kavramlar, kurallar ve bunlar n kullan lmas na yönelik çok say da örnekle pekifltirilmifltir. Yine her bölüm, kendi içindeki alt bafll klardan sonra çözümlü testlerle pekifltirilmifl ve zenginlefltirilmifltir. Bu konularda yeterli bilgi düzeyinde olduklar n düflünen ö renciler, çözümlü testleri önce kendileri çözmeyi denemelidir. Bölüm testlerimiz, ait olduklar konularla ilgili tüm bilgi alanlar n, hiçbir boflluk b rakmaks z n taramaktad r. Her soru, belli bir bilgiyi ve ona dayal bir uygulamay ölçmeyi amaçlayarak düzenlenmifltir. Bu yüzden, çözemedi iniz her soruya, bir bilgi ya da al flt rma eksikli ini saptaman za yarayan yeni bir imkan olarak bak n z ve o konuyla ilgili kuramsal aç klamalar n, örnek çözümlerin tekrar na yöneliniz. Ortaö retimin üst s n flar ndaki matematik dersinin temellerini oluflturan 9. S n f Matematik konular üniversite s navlar na dönük çal flmalar n da çok önemli ç k fl noktalar n kapsamaktad r. Üniversite s navlar nda istenen baflar, ancak temellerden hareketle ad m ad m izlenecek ve sindirilecek çal flmalar n ürünü olabilir. Elinizdeki kitab n bu anlamda size yol gösterici ve ö retici bir kaynak oldu unu göreceksiniz. Okuldan üniversiteye uzanan bu yolda, tüm ö rencilerimize baflar lar diliyoruz. Ankara, Eylül 2013 ALİ DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu
Ç NDEK LER 1. BÖLÜM 2.1 BÖLÜM 2.2. BÖLÜM 2.3. BÖLÜM 2.4. BÖLÜM 2.5. BÖLÜM 2.6. BÖLÜM 2.7. BÖLÜM 3. BÖLÜM 4.1. BÖLÜM 4.2. BÖLÜM 4.3. BÖLÜM 4.4. BÖLÜM 4.5. BÖLÜM 5. BÖLÜM 6. BÖLÜM 7. BÖLÜM KÜMELER...9-30 LÜ TEST...31-36 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...37 KONU TEST 1-2-3-4...38-49 GERÇEK SAYILAR-DENKLEM VE Efi TS ZL KLER...50-61 LÜ TEST...62-66 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...67-68 KONU TEST 1-2-3-4...69-80 MUTLAK DE ER...81-90 LÜ TEST...91-94 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...95-96 KONU TEST 1-2-3...97-105 I. DERECEDEN K B L NMEYENL DENKLEMLER VE DENKLEM S STEMLER...106-115 LÜ TEST...116-119 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...120-121 KONU TEST 1-2-3...122-130 ÜSTLÜ FADELER...131-140 LÜ TEST...141-144 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...145-146 KONU TEST 1-2-3-4...147-158 KÖKLÜ FADELER...159-169 LÜ TEST...170-174 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...175-176 KONU TEST 1-2-3-4-5...177-191 ORAN ORANTI...192-199 LÜ TEST...200-204 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...205-206 KONU TEST 1-2-3-4...207-218 PROBLEMLER...219-230 LÜ TEST 1-2...231-243 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...244-245 KONU TEST 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10...246-275 FONKS YONLAR...276-302 LÜ TEST...303-306 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...307-309 KONU TEST 1-2-3-4...310-321 ÜÇGENLER VE EfiL K...322-335 LÜ TEST...336-348 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...349-352 KONU TEST 1-2-3-4-5-6...353-370 ÜÇGENLER VE BENZERL K...371-387 LÜ TEST...388-396 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...397-399 KONU TEST 1-2-3-4...400-411 ÜÇGENDE YARDIMCI ELEMANLAR AÇIORTAY...412-418 LÜ TEST...419-426 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...427-429 KONU TEST 1-2-3-4...430-441 KENARORTAY VE YÜKSEKL K...442-451 LÜ TEST...452-458 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...459-460 KONU TEST 1-2-3-4...461-472 D K ÜÇGEN VE TR GONOMETR...473-495 LÜ TEST...496-505 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULAR...506-508 KONU TEST 1-2-3-4-5...509-524 ÜÇGENDE ALAN BA INTILARI VE S NÜS TEOREM...525-543 LÜ TEST...544-553 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...554-556 KONU TEST 1-2-3-4-5-6...557-574 VEKTÖRLER...575-586 LÜ TEST...587-592 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...593-594 KONU TEST 1-2...595-601 VER LER VE GRAF KLER...602-611 LÜ TEST...612-615 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...616 KONU TEST 1-2-3...617-625 OLASILIK...626-630 LÜ TEST...631-633 ÇALIfiMA (YAZILI) SORULARI...634 KONU TEST 1-2...635-640
Kümeler / Bölüm 1 9 KÜMELER BÖLÜM 1 KÜME KAVRAMI Küme teorisi matematiğin temel konularından biridir ve küme tanımsız bir terim olarak kabul edilir. Kümeyi iyi tanımlanmış nesneler oluşturur. Bu nesnelerin herbirine kümenin elemanı denir. Kümeler alfabenin büyük harfleri ile gösterilir. a, A kümesinin elemanı ise a A a, A kümesinin elemanı değil ise a A şeklinde gösterilir. Aşağıdakilerden hangisi küme belirtir? A) Sınıfımızdaki çalışkan öğrenciler B) a, b, c, d, e, f harflerinden bazıları C) A harfi ile başlayan illerimiz D) Bazı illerimiz E) Zor sorular A, B, D, E şıklarında kümenin elemanları açık ifade edilmemiştir. Küme belirtmezler. C şıkkında A harfi ile başlayan illerimiz bellidir. Küme belirtir. YANIT C Aşağıdakilerden hangisi küme belirtmez? A) 20 den küçük asal sayılar B) 10 dan küçük doğal sayılar C) Karesi 4 olan tamsayılar D) Bazı rasyonel sayılar E) 3 ile 4 arasındaki reel sayılar A, B, C, E şıklarının elemanları bellidir. Küme belirtirler. D şıkkında hangi rasyonel sayıların olacağı belli değildir. Küme belirtmez. KÜMELERİN GÖSTERİMİ 1. VENN ŞEMASI YÖNTEMİ YANIT D Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisinde önüne konularak yazılmasına Venn Şeması Yöntemi denir.
10 Bölüm 1 / Kümeler 6 dan küçük doğal sayılar kümesini venn şeması yöntemi ile gösterelim. 2. LİSTE YÖNTEMİ İLE Kümenin elemanlarını aralarına virgül koyarak {,, } şeklinde parantez içinde gösterme yöntemidir. Liste yöntemi ile gösterimde sıra önemli değildir ve her eleman 1 kez kullanılır. ANKARA kelimesindeki harfleri liste yöntemi ile gösteriniz. {A, N, K, R} A = {a, {b}, c, {d, e}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a A B) {b} A C) c A D) {d, e} A E) b A E şıkkında b A olmalıydı. {b} A dır. YANIT E 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ Bazı kümelerin venn şeması veya listeleme yöntemi ile gösterimi zor veya imkansızdır. Böyle durumlarda kümedeki elemanların ortak özellikleri belirlenerek küme tanımlanır. Bu gösterime ortak özellik yöntemi denir. 3 ile 5 arasındaki reel sayıları venn şeması veya liste yöntemi ile gösteremeyiz. A = {x 3 < x < 5, x R} şeklinde ortak özellik yöntemi ile gösterilir. A = {x x, 6 nın pozitif tam bölenleri, x Z} kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. A = {1, 2, 3, 6} UYARI Matematik kullanılan bazı semboller ve anlamları aşağıda verilmiştir. 1) sembolü ve anlamındadır. 2) v sembolü veya anlamındadır. 3) & sembolü ise anlamındadır. 4) : sembolü ancak ve ancak anlamındadır. (çift yönlü gerektirmedir.)
Kümeler / Bölüm 1 11 ETKİNLİK Yaz aylar n yaz n z. 4 ile 5 aras ndaki tam say lar yaz n z. 15 ten küçük asal say lar yaz n z. Yukarıda verdiğiniz cevaplardan hangileri bir küme belirtir? Küme belirtenleri liste yöntemi ile yazınız. KÜMENİN ELEMAN SAYISI Bir A kümesine ait olan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir. s(a) ile gösterilir. A = {1, {2}, {3, 4}, 5} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 1 A, {2} A, {3, 4} A, 5 A, s(a) = 4 tür. YANIT B SONLU VE SONSUZ KÜMELER TANIM: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuz küme denir. A = { x : 1 x < 20, x Z} kümesinde s(a) = 21 olduğundan sonlu kümedir.
12 Bölüm 1 / Kümeler A = { x : 2 x < 4, x R} kümesinin sonlu sayıda elemanı yoktur. A sonsuz kümedir. HATIRLATMA: 1. Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir. N = {0, 1, 2,..., n,...} 2. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir. Z = {..., n,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., n,...} 3. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. Q = { a : a Z, b Z, b 0} b 4. Reel (Gerçek, Gerçel) sayılar kümesi R ile gösterilir. BOŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme veya { } sembollerinden biri ile gösterilir. A = {x : x 2 = 1, x R} kümesi boş kümedir. Çünkü karesi 1 olan reel sayı yoktur. A = {x : 2x 1 = 4, x Z} kümesinin eleman sayısı kaçtır? 2x 1= 4 x = 5 2 Z olduğundan A kümesinin elemanı yoktur. A = dir. EŞİT KÜMELER TANIM: Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. A ve B eşit kümeler ise A = B ile A ve B eşit kümeler değil ise A B ile gösterilir. A = { 2, 0,2} ve B = {x : x 3 4x = 0, x R} kümeleri eşit kümeler midir? x 3 4x = x. (x 2 4) = 0 x = 0, x = 2, x = 2 dir. O halde B = { 2, 0, 2} ve A = B dir.
Kümeler / Bölüm 1 13 ETKİNLİK A = { 0, 2, 4, 6,...} B = { xi 2 < x < 4, x Z } C = { 3, 4 } D = { x I x 2 x 12 = 0, x R } E = { xi 4 < x < 3, x Z } F = { 1,0 1,2, 3 } Yukarıda verilen kümelerden hangileri sonlu elemanlıdır? Sonlu olanların eleman sayılarını yazınız. Yukarıda verilen kümelerden hangileri denk kümelerdir? Yukarıda verilen kümelerden hangileri eşit kümelerdir? Yukarıda verilen kümeler arasında boş küme varmıdır? Varsa hangisidir? ALT KÜME Bir A kümesinde bulunan her eleman aynı zamanda B kümesininde elemanı ise A kü - mesi B kümesinin alt kümesidir denir ve A B ile gösterilir. A B ifa desi, A alt küme B ya da B, A yı kapsar biçiminde okunur. x A için x B ise A B dir. A = {x : 0 x < 4, x N} B = {x : x 2 < 3, x R} kümeleri için A B dir. Çünkü A = {0, 1, 2, 3} ; x 2 < 3 3 < x 2 < 3 1 < x < 5 B = ( 1, 5) ve x A için x B dir. Yani A B dir. A = { 1, 2, 3, 4} B = { 1, 3, 4, 7} kümeleri için 2 A ve 2 B olduğundan A B dir. 7 B ve 7 A olduğundan B A dır. A = {a, b, c, {d, e}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) {a} A B) {d, e} A C) {b, c} A D) {a, b, c} A E) {b, {d,e}} A B şıkkında {d, e} A dır. Alt küme olması için {{d, e}} A şeklinde yazılmalıydı. YANIT B
14 Bölüm 1 / Kümeler ALT KÜMENİN ÖZELİKLERİ: A, B ve C kümeleri için 1. A dır. (Çünkü ye ait olup A ya ait olmayan eleman yoktur.) 2. A A dır. (Her x A için x A olduğundan A A dır.) 3. A B ve B C A C dir. 4. A B ve B A A = B dir. ÖZALT KÜME Bir A kümesinin kendisi dışındaki her alt kümesine, A kümesinin özalt kümesi denir. A = {2, 5} kümesinin özalt kümelerini yazınız., {2}, {5} A kümesinin özalt kümeleridir. KUVVET KÜMESİ Bir A kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye A nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir. A = {a, x} kümesinin kuvvet kümesini yazınız. P(A) = {, {a}, {x}, {a, x} } A = {, {a}, b, {c, d} } kümesi veriliyor. A kümesi için aşağıdaki önermelerin doğru ya da yanlış olduğunu belirtiniz. i) A ii) A iii) { } A iv) a A v) {a} A vi) {a} A vii) {b} A viii) {b} A ix) c A x) {c, d} A i) Doğru ii) Doğru iii) Doğru iv) Yanlış v) Yanlış vi) Doğru vii) Yanlış viii) Doğru ix) Yanlış x) Yanlış
Kümeler / Bölüm 1 15 ETKİNLİK Aşağıdaki çizelgeyi doldurunuz. Kümeler Alt Kümeler Kümenin Eleman Sayısı Alt Küme Sayısı & 0 4 & 0 4, 3 & 0 & 4, 3, 50 & 4, 3, 5,0 Kümenin Eleman sayısı ile alt küme sayısı arasındaki ilişkiyi fark ettiniz mi? ALT KÜME SAYISI A boş kümeden farklı bir küme olsun. s(a) = n ise alt küme sayısı = 2 n dir. Özalt küme sayısı = 2 n 1 dir. ETKİNLİK A = & 49,, a, 20 a) Bu kümede hiç bir elemanı almadan bir küme oluşturabilirmiyiz? Oluşturursak bu küme hangi kümedir?... b) Bu kümenin elemanlarından 1 tanesi seçilecektir. Bu seçim kaç değişik şekilde yapılabilir? Bu farklı seçimleri ayrı ayrı liste biçiminde yazınız. Bu şekilde kaç küme elde edilir?... c) Bu kümenin elemanlarından 2 tanesini seçerek farklı kümeler oluşturunuz ve bunları liste biçiminde yazınız. Bu şekilde kaç tane küme oluşturulabilir?... d) Bu kümenin elemanlarından 3 tanesini seçerek farklı kümeler oluşturunuz ve bunları liste biçiminde yazınız. Bu şekilde kaç farklı küme oluşturulabilir?... e) Bu kümenin elemanlarından 4 tanesini seçerek farklı kümeler oluşturunuz. Bu şekilde kaç tane küme oluşturulabilir?... f) b ve d seçeneklerinde oluşan küme sayıları eşit midir? Neden?...
16 Bölüm 1 / Kümeler A = {a, b, c, d} kümesinin; a) Kaç tane alt kümesi vardır? b) Kaç tane özalt kümesi vardır? a) 2 4 = 16 tane alt kümesi vardır. b) 2 4 1 = 15 tane özalt kümesi vardır. Bir A kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 15 olduğuna göre, A kümesinin kaç elemanı vardır? s(a) = n 2 n + 2 n 1 = 15 2.2 n = 16 2 n = 8 = 2 3 n =3 tür. ETKİNLİK A = {1, 2, 3,4, 5, 6} 5 in eleman olarak bulunduğunu araştıralım. A kümesindeki 5 hariç diğer elamanları aşağıdaki B kümesinde noktalı yere yazınız. B = {...} B kümesinin eleman sayısı kaçtır? B kümesinin...tane alt kümesi vardır. B kümesinin her alt kümesi A kümesinin de alt kümesi midir? B kümesinin her alt kümesine 5 i eleman olarak eklediğimizde oluşan kümeler, A kümesinin içinde 5 i bulunduran alt kümeleri midir? ETKİNLİK A = {1, 2, 3,4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 4 ün eleman olarak bulunduğunu araştıralım. A kümesinde bulunan 2 ve 4 hariç diğer elemanları aşağıdaki C kümesinde noktalı yere yazınız. C = {...} C kümesinin eleman sayısı kaçtır? C kümesinin...tane alt kümesi vardır. C kümesinin alt kümelerinde 2 veya 4 varmıdır? A kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A kümesinin alt küme sayısından C kümesinin alt küme sayısını çıkardığımızda, A kümesinin 2 veya 4 ün eleman olarak bulunduğu alt kümelerinin sayısını bulduğumuzu fark ettiniz mi?
Kümeler / Bölüm 1 17 A = {a, b, c, d, e, f} kümesi veriliyor. a) Alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur? b) Alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b elemanları bulunmaz? c) Alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b den yalnız biri bulunur? d) Alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b bulunur? A) A kümesinden a yı çıkaralım. {b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin her birine a ele manı ilave edilirse a nın bulunduğu alt kümeler elde edilir. 2 5 = 32 B) {c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin hiçbirinde a ve b yoktur. 2 4 = 16 C) a nın bulunup b nin bulunmadığı alt kümeler ile b nin bulunup a nın bulunmadığı alt kümeler toplanır. 2 4 + 2 4 = 16 + 16 = 32 D) Tüm alt kümelerden a ve b nin birlikte bulunduğu alt kümeler çıkartılır. UYARI 2 6 2 4 = 64 16 = 48 s(a) = n ise A kümesinin kuvvet kümesinin; a) Eleman sayısı 2 n tanedir. b) Alt küme sayısı 2 (2n ) dir. Bir A kümesinin, kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısı 16 8 ise A kümesinin ele man sayısı kaç tanedir? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 s(a) = n olsun. 2 (2n ) = 16 8 = (2 4 ) 8 = 2 32 2 n = 32 = 2 5 n = 5 tir. YANIT A Boş olmayan bir A kümesinin, m tane özalt kümesi vardır. A kümesine 3 eleman daha katıldığında, A kümesinin kaç tane alt kümesi olur? A) 8m+1 B) 8m+8 C) m+8 D) m+1 E) 8m 8
18 Bölüm 1 / Kümeler s(a) = n olsun. 2 n 1 = m 2 n = m + 1 A kümesine 3 eleman daha katıldığında s(a) = n + 3 olur. Bu durumda alt küme sayısı; 2 n + 3 = 2 n. 2 3 = (m + 1). 8 = 8m + 8 dir. YANIT B KÜMELERDE İŞLEMLER: 1. KÜMELERİN BİRLEŞİMİ: TANIM : A ve B kümelerinin birleşimi A B = {x : x A veya x B} dir. A birleşim B kümesi A ile B kümesinin tüm elemanlarından oluşmaktadır. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 7, 9} olduğuna göre, A B kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn şeması ile gösteriniz. A B = {1, 2, 3, 4, 7, 9} A = {x : x 1 2, x R}, B = {x : x 3 < 1, x R} olduğuna göre, A B kümesini bulunuz. x 1 2 2 x 1 2 1 x 3 x 3 < 1 1 < x 3 < 1 2 < x < 4 1 3 2 4 A=[ 1,3] B=(2,4) ise AUB=[ 1,4)
Kümeler / Bölüm 1 19 BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ: A, B ve C kümeleri için 1. A A = A (Tek kuvvet özelliği) 2. A B ise A B = B 3. A B = B A (Değişme özelliği) 4. A (B C) = (A B) C (Birleşme özelliği) KÜMELERİN KESİŞİMİ TANIM : A ve B kümelerinin kesişimi (Arakesiti) A B = {x : x A ve x B} dir. A kesişim B kümesi hem A, hem B ye ait elemanlardan oluşmaktadır. A B A B A = {1, a, 2, b, 3}, B = {5, a, 7, b, 9} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn Şeması ile gösteriniz. A B = {a, b} A = {x : x 5, x R}, B = {x: x 1 > 2, x R} kümeleri veriliyor. A B kümesini bulu nuz. 5 5 3 A B x 5 5 x 5 x 1 > 2 x 1 > 2 veya x + 1 > 2 x > 3 V x < 1 ise A B = [ 5, 1) (3, 5]
20 Bölüm 1 / Kümeler AYRIK KÜMELER TANIM: A ve B gibi iki küme için A B = ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. A = {1, 5, 8}, B = {2, a, b} kümeleri için A B = olduğundan A ve B ayrık kümeler dir. KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELİKLERİ: A, B ve C kümeleri için 1. A A = A (Tek kuvvet özelliği) 2. A B ise A B = A dır. 3. A B = B A (Değişme özelliği) 4. (A B) C = A (B C) (Birleşme özelliği) DAĞILMA ÖZELİKLERİ 1. BİRLEŞİMİN KESİŞİM ÜZERİNDE DAĞILMA ÖZELİĞİ Her A, B ve C kümesi için ; A (B C) = (A B) (A C) dir. 2. KESİŞİMİN BİRLEŞİM ÜZERİNDE DAĞILMA ÖZELİĞİ: Her A, B ve C kümesi için ; A (B C) = (A B) (A C) dir. BİRLEŞİMİN ELEMAN SAYISI 1. A ve B kümeleri için; s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) dir. A ve B kümeleri için s(a B) = 15, s(a) = 8 ve s(a B) = 3 olduğuna göre, s(b) kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) 15 = 8 + s(b) 3 s(b) = 10 dur. YANIT A Bir sporcu kafilesinde 20 kişi futbol 15 kişi basketbol ve 8 kişi hem futbol hem de bas ketbol oynadığına göre, bu sporcu kafilesi kaç kişidir? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29 F = {Futbol oynayanlar} B = {Basketbol oynayanlar} s(f B) = s(f) + s(b) s(f B) = 20 + 15 8 = 27 YANIT C