SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

Transkript

1 9. SINIF

2 SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. Bu kitabın tüm hakları, Etkin Sonuç Yayıncılık Mat. Dağ. Eğt. San. Tic. Ltd. Şti.'ne aittir. Baskı Tarihi ğustos 01 Baskı Cilt Tuna Matbaacılık.Ş. Bahçekapı Mahallesi 460. Sokak Nu.: Şaşmaz / NKR Tel: (0 1) (pbx) Belgeç: (0 1) Dizgi Grafik Sonuç Yayınları Dizgi Birimi na Dağıtım Necatibey Cad. Oyak İş Merkezi 51/19 Çankaya / NKR Tel: (0 1) Cep: (0 5)

3 İ Ç İ N D E K İ L E R KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER... 5 LT KÜME KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ... 0 KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM... 5 TÜMLEYEN... İKİ KÜMENİN FRKI... 7 KÜME PROBLEMLERİ... 4 SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI... 5

4 KÜME KVRMI, SONLU, SONSUZ EVRENSEL VE BOŞ KÜMELER TEST LT KÜME... 6 TEST 1, TEST KÜMELERDE BİRLEŞİM VE KESİŞİM İŞLEMLERİ TEST KÜMELERİN BİRLEŞİMİNİN VE KESİŞİMİNİN ELEMN SYISINI BULM TEST TÜMLEYEN TEST İKİ KÜMENİN FRKI... 7 TEST KÜME PROBLEMLERİ TEST SIRLI İKİLİ VE KRTEZYEN ÇRPIMI TEST KÜMELER KRM TEST

5 Kümenin Tanımı I. YGS de barajı geçen öğrenciler. II. 50 den büyük asal sayılar. III. Sınıfın güzel kızları. IV. nkara'nın ilçeleri. V. 01 sayısının rakamları. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) IV ve V Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye küme denir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeler, B, C, gibi büyük harflerle gösterilir. "Sınıfın güzel kızları" cümlesi iyi tanımlı olmadığı için küme belirtmez. Çünkü güzellik tanımı herkes için aynı değildir. I., II., IV. ve V. seçenekler ise belirli elemanları içermektedir. Yani birer küme belirtir. Not 1 : x nesnesi kümesinin elemanı ise x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanıdır" şeklinde okunur. Not : x nesnesi kümesinin elemanı değil ise, x biçiminde gösterilir ve " x, kümesinin elemanı değildir" şeklinde okunur. Not : kümesinin eleman sayısı s ( ) ile gösterilir. Cevap B TEST şağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? ) Okulumuzdaki zeki kızlar. B) Bazı haftalar. C) Haftanın C harfi ile başlayan günleri. D) Esmer erkekler. E) Uzun boylu bazı bayanlar.. şağıdakilerden hangisi bir küme belirtmez? ) 1 ten küçük tane asal sayı. B) x ten büyük asal sayılar. C) M harfiyle başlayan aylar. D) ile 1 arasındaki doğal sayılar. E) 76 dan büyük iki basamaklı çift doğal sayılar.. I. 5 ten küçük rakamlar. II. Başarılı öğrenciler. III. En güzel savaş filmleri. IV. RB kelimesindeki harfler. V. Yazın sıcak günleri. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtmez? ) Yalnız I B) I ve IV C) II ve III D) III ve IV E) II, III ve V 4. kümesi " 1976 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) 9 C) 76 D) 19 E) s ( ) = 4 1. C. B. E 4. D 5

6 Kümelerin Gösterimi - I = { 1,, {, 4 }, 5 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 1 B) {, 4 } C) 4 D) s ( ) = 4 E) Kümenin her bir elemanının, aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolü içine yazılmasına liste yöntemiyle gösterim denir. kümesinin elemanlarından biri 1 dir. Bu durumda 1 dır. kümesinin elemanlarından bir diğeri de {, 4 } tür. Bu durumda {, 4 } dır. kümesinin elemanları içinde 4 yoktur. Bu durumda 4 dır. kümesinin elemanları 1,, {, 4 }, 5 olduğundan kümesinin eleman sayısı 4 tür. kümesinde elemanı yoktur. Dolayısıyla dır. Kümede her eleman bir kere yazılır. Kümedeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Cevap E TEST - 1. şağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) BURS kelimesindeki harflerin kümesi { B, U, R, S, } dır. B) 4965 sayısındaki rakamların kümesi {, 4, 5, 6, 9 } dur. C) MRMR kelimesindeki harflerin kümesi { M,, R } dır. D) MKS kelimesindeki harflerin kümesi { M,, K,, S } tır. E) 1000 sayısındaki rakamların kümesi { 0,1 } dir.. = {, 4, { 5, 6, 7 }, 8 } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B) {, 4 } C) s ( ) = 4 D) 8 E) = {{ 5, 6, 7 },, 8, 4 } İpucu : Kümenin elemanlarının yerini değiştirmek, kümeyi değiştirmez.. = { a, b, { c, d }, { d } } kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4. = { s, n, { ç, o }, o, u } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { o } B) s C) { ç, o } D) s ( ) = 5 E) { ç } 1. D. B. B 4. E 6

7 Kümelerin Gösterimi - II En küçük üç rakamın oluşturduğu kümenin sırasıyla Venn şeması yöntemi ve ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? 1 ) B) 1, B = { x : x <, x Z + }, B = { x : x <, x N + } 1. Venn Şeması ( Venn Diagramı ) Yöntemi : Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, yanına ". " konularak yazılmasıdır.. Ortak Özellik ( Genelleme ) Yöntemi : Kümenin elemanlarının ortak özelliklerinin belirlenerek gösterimidir. { x : x elemanlarının ortak özellikleri } veya { x x elemanlarının ortak özellikleri } olarak gösterilir. C) D) , B = { x : x <, x N }, B = { x : x, x N + } 0 1 En küçük üç rakam 0, 1, dir. Bu elemanların Venn şeması ile gösterimi yandaki şekilde olduğu gibidir. E) 0 1, B = { x : x, x Z } En küçük üç rakam : B = { x : x <, x N } veya B = { x x <, x N } olarak da gösterilebilir. Cevap C TEST - 1. = { x : 4 < x <, x Z + } kümesinin Venn Diagramı ile gösterimi aşağıdakilerden ) B) C) D) E) = { 0,, 4, 6, 8, 10 } kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) { x x bir çift sayı } B) { x x bir çift sayı, x Z + } C) { x x bir çift sayı, x < 10 } D) { x x bir çift sayı, x N } E) { x x 10, x bir çift sayı, x N } sayısındaki rakamların oluşturduğu B kümesi aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez? ) B = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } B) B = { x x < 7, x N + } C) B = { x 0 x < 7, x Z } D) B = { x x 6, x N } B 5 E) = { x : x < 10, x bir çift doğal sayı } kümesinin elemanlarının sayısal değerleri toplamı kaçtır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4 1. C. E. B 4. C 7

8 Sonlu ve Sonsuz Küme I. = { x : x <, x Z } II. B = { x : 1 < x 4, x R } III. C = {..., 1,,,... } Yukarıdaki kümelerden hangisi ya da hangileri sonsuz kümedir? ) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye sonlu küme denir. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye sonsuz küme denir. = { x : x <, x Z } kümesi, den küçük sonsuz çoklukta negatif tam sayı olduğundan sonsuz kümedir. B = { x : 1 < x 4, x R } kümesi, 1 ile 4 arasındaki reel sayılardan oluşur. Bu aralıkta sonsuz çoklukta reel sayı olduğundan B kümesi sonsuz bir kümedir. C = {..., 1,,,... } kümesinin elemanları bütün tam sayılardır. Sonsuz çoklukta tam sayı olduğundan C kümesi sonsuz bir kümedir. Cevap E TEST şağıdakilerden hangisi sonlu küme belirtir? ) = { x : x 9, x Z } B) B = { x : < x < 4, x R + } C) C = { x : x > 1, x Z + } D) D = { x : x < 5, x N } E) E = { x : x > 5, x N }. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) Okulumuzdaki kitaplar. B) Sınıfımızdaki akvaryumdaki balıklar. C) Uzaydaki yıldızlar. D) Okulun otoparkındaki araçlar. E) Sınıfımızdaki sıralar.. şağıdakilerden hangisi sonsuz küme belirtir? ) = { x : < x < 4, x N + } B) B = { x : x asal bir rakam } C) C = { x : x iki basamaklı 5 in katı olan doğal sayılar } D) D = {,, 1 } E) E = { x : x negatif olmayan tam sayılar } 4. şağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir? ) = { x : x asal bir rakam } B) B = { x : x asal bir sayı } C) C = { x : 1 x <, x R } D) D = { x : x çift sayı } E) E = { x : x = k + 1, k Z } 1. D. E. C 4. 8

9 Boş ve Evrensel Küme şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x = 1, x Z } B) B = { } C) C = { x : < x < 1, x R + } D) D = { x : x <, x N } E) E = { 1,,,... } Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } ya da ile gösterilir. kümesi x = 1 denklemini sağlayan tam sayılardan oluşur. x = 1 x = dir. Dolayısıyla kümesinin elemanı olduğundan boş küme değildir. B kümesi elemanı " " sembolü olan bir elemanlı bir kümedir. < x < 1 aralığında pozitif reel sayı olmadığı için C kümesi boş kümedir. 0 ve 1, den küçük doğal sayılar olduğundan D kümesi boş küme değildir. E kümesi sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla boş küme değildir. Üzerinde çalışılan bir konu veya problem için gerekli olan bütün elemanları kapsayacak biçimde seçilen kümeye evrensel küme denir ve E harfi ile gösterilir. Cevap C TEST şağıdakilerden hangisi boş kümedir? ) = { x : x + 1 > x, x N } B) B = { x : x < x, x R } C) C = { x : x 1 < 0, x R } D) D = { x : < x, x R } E) E = { x : 5 < x 0, x N }. şağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? ) D = { x x 0, x Z } B) B = { x x 4 = 0, x Z + } C) C = { x 5x + 7 = 1, x R } D) = { x x + 1 < 0, x R } E) E = { x 9 < x 0, x Z }. şağıdaki kümelerden hangisi diğerlerinin evrensel kümesi olabilir? ) { x lisesindeki öğrenciler. } B) { x lisesindeki 9. sınıf öğrencileri. } C) { x lisesindeki 9 - sınıfı. } D) { x lisesindeki 9 - sınıfının erkek öğrencileri. } E) { x lisesindeki 9 - sınıfının gözlüklü erkek öğrencileri. } 4. ve B aynı evrensel kümede bulunan kümeler olmak üzere, s ( ) = ve s ( B ) = tür. Buna göre, ve B kümelerinin evrensel kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. C. D. 4. 9

10 şağıda verilen boşlukları doldurunuz. 1. Nesnelerin iyi tanımlanmış olduğu listeye... denir.. Kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine kümenin... denir.. kümesinin eleman sayısı... ile gösterilir. 4. x, bir kümesinin elemanı ise x..., elemanı değil ise x... şeklinde gösterilir. 5. Kümeleri,...,... ve... yöntemleri ile gösterebiliriz. 6. Bir kümenin kapalı bir şeklin içine, yanına "." koyularak gösterilmesine kümenin... ile gösterimi denir. 7. Bir kümenin elemanlarının aralarında virgül olacak şekilde, { } sembolünün içine yazılmasına kümenin... ile gösterimi denir. şağıdaki ifadelerden doğru olanları D, yanlış olanları Y harfi ile belirtiniz. 1. ( ) Bir kümede aynı elemanlar bir kere yazılır.. ( ) Kümeyi oluşturan elemanların yeri değişirse küme de değişir.. ( ) Elemanı olmayan kümeye sonsuz küme denir. 4. ( ) Tam sayılar kümesi sonsuz bir kümedir. 5. ( ) " 1 ile arasındaki doğal sayılar" kümesi bir küme belirtmez. 6. ( ) = { a, b, c, {d}, {{d}, e }} ise s( ) = 5 tir. 7. ( ) B = { x x çift asal sayı } kümesi boş küme belirtir. 8. ( ) C = { 9, 1, 15,..., 4 } ise s ( C ) = 1 dir. 8. Eleman sayısı doğal sayı ile ifade edilebilen kümeye... küme denir. 9. Eleman sayıları doğal sayı ile ifade edilemeyen kümeye... küme denir. 10. Hiç elemanı olmayan kümeye... denir.... veya... ile gösterilir. 9. ( ) KLBLIK kelimesindeki harflerin kümesi, BLIK kelimesindeki harflerin kümesi B olmak üzere, s ( ) = s ( B ) dir. 10. ( ) ", 456 sayısındaki rakamlar" cümlesinin belirttiği küme sonsuz kümedir. 11. Üzerinde çalışılan konu hakkındaki bütün kümeleri ve elemanları kapsayan kümeye... denir. Genellikle... harfi ile gösterilir. 1. küme. elemanı. s ( ) 4. (, ) 5. Venn şeması, liste, ortak özellik 6. Venn şeması 7. liste yöntemi 8. sonlu 9. sonsuz 10. boş küme,, { } 11. Evrensel küme, E 1. D. Y. Y 4. D 5. Y 6. D 7. Y 8. D 9. D 10. Y 10

11 lt Küme - I = { a, b, { b, c }, d } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { b, c } B) { d } C) { c } D) E) {b, { b, c }} ve B herhangi iki küme olsun. kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise kümesine, B kümesinin alt kümesi denir ve B ile gösterilir. şıkkında { b, c } ifadesi doğrudur. B şıkkında d olduğu için { d } dır. D şıkkında doğrudur. E şıkkında b, { b, c } olduğu için { b, { b, c }} doğrudur. Not 1 : Her küme kendisinin alt kümesidir. ( ) Not : Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( ) C şıkkında c olduğu için { c } ifadesi yanlıştır. Cevap C TEST = { 1,, {, 5 }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { 1 } B) { } C) { 1, 5 } D) E) {{, 5 }}. Yandaki şemaya göre, B ö o aşağıdaki ifadelerden a e u hangisi yanlıştır? ) { a, e } B B) {o, ö, u } C) B D) { a, B } E) { a, e, o, ö, u }. = { 1,,, {, }} kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) {, } B) { } C) {, } D) {, 1 } E) { 1,, } 4. = { x x bir rakam } B = { x 4 < x 7, x N } C = { x 1 < x < 1, x Z } D = { x x <, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) C B B) D B C) D D) D C E) C 1. C. E. D 4. E 11

12 lt Küme - II Küme Eleman Sayısı lt Kümeleri lt Küme Sayısı = { a, b, c, d } 0 elemanlı 1 elemanlı elemanlı elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. 0 elemanlı : Bir kümenin hiç elemanı olmayan tek alt kümesi boş kümedir. { } Sıfır elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. 1 elemanlı : Her bir elemanı tek tek seçersek; { a }, { b }, { c } ve { d } Bir elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. elemanlı : Elemanları ikişer ikişer seçersek; { a, b }, { a, c }, { a, d }, { b, c }, { b, d }, { c, d } İki elemanlı alt küme sayısı 6 tanedir. elemanlı : Elemanları üçer üçer seçersek; { a, b, c }, { a, b, d }, { a, c, d }, { b, c, d } Üç elemanlı alt küme sayısı 4 tanedir. 4 elemanlı : Dört elemanı da seçersek; { a, b, c, d } Dört elemanlı alt küme sayısı 1 tanedir. TEST Küme lt Kümeleri 0 elemanlı lt Küme Sayısı Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı 1 elemanlı = { } = { a, b, c } elemanlı B = { 1 } elemanlı 4 elemanlı Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. C = { 1, } D = { 1,, } Yukarıda verilen tablodaki boş kutucukları doldurunuz. Küme = { a, b, c } lt Kümeleri lt Küme Sayısı 0 elemanlı { } 1 1 elemanlı { a }, { b }, { c } elemanlı { a, b }, { a, c }, { b, c } elemanlı { a, b, c } 1 Küme lt Kümeleri Kümenin Eleman Sayısı lt Küme Sayısı = { } { } 0 0 = 1 B = { 1 } { }, { 1 } 1 1 = C = { 1, } { }, { 1 }, { }, { 1, } = 4 D = { 1,, } { }, { 1 }, { }, { 1, }, { 1, }, {, }, { 1,, } = 8 1

13 lt Küme - III = { 1,, { 1, }, } kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 8 C) 16 D) 18 E) s ( ) = n olmak üzere, kümesinin alt küme sayısı : n dir. Bu durumda, = { 1,, { 1, }, } s ( ) = 4 kümesinin alt küme sayısı : 4 = 16 olur. Cevap C TEST = { x : x asal rakam } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) lt küme sayısının, eleman sayısına oranı olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x x < 7, x N } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? ) B) 6 C) 64 D) 17 E) lt kümelerinden birisi {a, b, { a, c } } olan bir kümenin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d } kümesinin, kuvvet kümesinin eleman sayısı kümesinin eleman sayısının kaç katıdır? ) 4 B) 16 C) D) 64 E) 18 İpucu : kümesinin bütün alt kümelerinin oluşturduğu kümeye kümesinin kuvvet kümesi denir. 6. Eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 56 artan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. B. E. 4. E 5. C 6. B 1

14 lt Küme - IV = { a, b, c, d, e } kümesinin, a) en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b) en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? a) En çok elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 1 ) + C ( 5, 0 ) 5! 5! 5! = + + _ 5 - i!.! _ 5-1i!. 1! _ 5-0i!. 0! n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı = = 16 olur. b) En az elemanlı alt küme sayısı : = C ( 5, ) + C ( 5, 4 ) + C ( 5, 5 ) 5! 5! 5! = + + ( 5 - )!.! ( 5-4)!. 4! ( 5-5)!. 5! n n! C( n, r) = d n = r _ n - ri!. r! dir. = = 16 olur. TEST Sesli harflerden oluşan 8 elemanlı bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) 5 C) 8 D) 0 E) elemanlı bir kümenin en az 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 10 B) 18 C) 19 D) 8 E) 56. = { x : x 16, x Z } kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 90 B) 84 C) 56 D) 5 E) 0 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin en çok elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 6 B) 4 C) 0 D) 18 E) = { a, b, c, d, x, y, z } kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 8 B) 15 C) 9 D) 41 E) C. B. 4. E 5. D 6. C 14

15 lt Küme - V 8 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 9 B) 149 C) 19 D) 47 E) 56 Not 1 : Not : Not : n n c m = c m = 1 dir. 0 n n n c m = c m = n dir. 1 n - 1 n n c m = c m + n = r + k ya da r = k dır. r k n n n n Not 4 : c m + c m + c m c m = n dir. 0 1 n I. Yol f p + f p + f p + f p + f p + f p + f p ! 8! 8! 8! 8! 8! 8! = !. 0! 7!. 1! 6!.! 5!.! 4!. 4!!. 5!!. 6! = = 47 olur. II. Yol Bütün alt kümelerinin sayısından 7 ve 8 elemanlı alt kümelerinin sayısı çıkarılır f p - f p = = 47 olur. 7 8 Cevap D TEST = { 0, 1,,, 4, 5, 6, 7 } boş olan alt küme sayısı ile tüm elemanlarını içeren alt küme sayısının toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) elemanlı bir kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısının toplamı kaçtır? ) 9 B) 74 C) 9 D) 108 E) 10. Bir kümenin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olduğuna göre, bu küme kaç elemanlıdır? ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 İpucu : "Not " kuralını uygulamaya çalışınız. 5. Bir kümenin eleman sayısı arttırıldığında alt küme sayısı 11 artıyor. Buna göre, bu kümenin en az elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. 7 elemanlı bir kümenin en çok 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 99 B) 100 C) 10 D) 17 E) 18 İpucu : "Not 4" kuralını uygulamaya çalışınız. 6. Bir kümenin elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin en çok elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 17 B) C) 7 D) 4 E) B. D. C 4. C 5. B 6. D 15

16 lt Küme - VI = { s, o, n, u, ç } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a) s elemanı bulunmaz? b) n elemanı bulunur? c) s ve n elemanları bulunur? d) s veya n elemanları bulunur? e) s elemanı bulunur, n elemanı bulunmaz? a) s dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane s nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. b) n dışındaki 4 elemanla 4 = 16 tane n nin bulunmadığı alt küme yazılabilir. Bu kümelerin her birine n elemanı eklenirse içinde n elemanı bulunan 16 tane alt küme elde edilir. c) s ve n dışındaki elemanla = 8 tane alt küme yazılabilir. s ve n elemanlarını eklediğimizde içinde s ve n elemanları bulunan 8 tane alt küme elde edilir. dı geçen elemanlar kümeden atılır. Geriye kalan elemanlarla oluşturulabilecek alt kümelerin sayısı hesaplanır. d) 5 = tane alt kümenin içinden = 8 tanesinde s ve n elemanları bulunmaz. Geriye kalan 8 = 4 tane alt kümede s veya n elemanları bulunur. e) s ve n elemanları dışındaki elemanla yazılabilecek = 8 tane alt kümeye s elemanı eklenirse içinde s elemanının bulunup n elemanının bulunmadığı 8 tane küme elde edilir. TEST = {, a, b, c, 10 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde rakam bulunmaz? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 4. = { 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde ve 5 elemanları bulunmaz? ) 56 B) 48 C) D) 16 E) 8. = { x < x 4, x Z } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde negatif sayı bulunur? ) B) 16 C) 8 D) 4 E) 5. = { 0, 1,,, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 4 elemanı bulunur, 1 elemanı bulunmaz? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64. = { 1,,, a, b, c, d } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve a elemanları bulunur? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) = { a, b, c, d, e } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b veya d elemanı bulunur? ) 8 B) 1 C) 16 D) 0 E) 4 İpucu : Bütün alt kümelerden b ve d nin birlikte bulunmama durumu çıkarılırsa çözüme daha kolay ulaşılır C.. C 4. B 5. C 6. E

17 lt Küme - VII = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur, e elemanı bulunmaz? ) 5 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 a ve e elemanlarını yok kabul edersek kümesinde geriye 5 eleman kalır. Bu 5 elemanın elemanlı alt kümelerinin içine a elemanını eklersek, içinde a elemanı bulunan ama e elemanı bulunmayan elemanlı alt kümeleri bulmuş oluruz. O halde istenen alt küme sayısı 5 5! 5! 5. 4 f p = = = = 10 _ 5 - i!.!!.!. 1 olur. Cevap B TEST = { a, b, c, d, e } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde c elemanı bulunmaz? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1 4. = { 0, 1,,, 4, 6, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 8 elemanı bulunur, elemanı bulunmaz? ) 10 B) 15 C) 0 D) 0 E) 5. = { a, b, c, d, e, f } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde f elemanı bulunur? ) B) 5 C) 6 D) 10 E) = { x : x bir rakam } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 7 elemanları bulunur? ) 10 B) 1 C) 15 D) 8 E) 56. = { a, b, c, d, e, f, g, h } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde e ve f elemanları birlikte bulunmaz? ) 6 B) 0 C) 16 D) 10 E) 6 6. = { a, b, c, d, 1,, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya elemanı bulunur? ) 0 B) 8 C) 4 D) 1 E) D E 6. 17

18 lt Küme - VIII = {1, } B = {1,, 5, 7, 9 } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 0 K B ise { 1, } K {1,, 5, 7, 9 } K kümesi {1,, 5, 7, 9 } kümesinin alt kümesidir. yrıca 1 ve elemanlarını bulundurmak zorundadır. { 1,, 5, 7, 9 } kümesinden 1 ve elemanlarını daha sonra dahil etmek üzere alırsak, { 5, 7, 9 } kümesini elde ederiz. elemanlı olan { 5, 7, 9 } kümesinin = 8 tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerin her birine 1 ve elemanlarını dahil edersek istenilen kümeleri elde ederiz. Fakat K olduğundan bu kümelerden { 1, } olanını alamayız. Dolayısıyla istenilen koşula uygun 8 1 = 7 farklı K kümesi yazılabilir. Cevap TEST = { 1,, } B = { 0, 1,,, 4, 5 } olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 4. = { a, b, c } B = { a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) 4 B) 7 C) 8 D) 15 E) 16. = { x : x asal bir rakam } B = { x 1 x < 10, x N } olduğuna göre, K B ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 7 B) 8 C) 15 D) 16 E) 1 5. s ( ) = s ( B ) = 10 s ( M ) = 6 olduğuna göre, M B şartını sağlayan kaç farklı M kümesi vardır? ) 16 B) 1 C) 5 D) 56 E) 70 İpucu : Kümelerin elemanları bellidir.. s ( ) = ve s ( B ) = 8 olduğuna göre, K B, K ve B K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 0 B) 1 C) D) 6 E) s ( B ). s ( ) = 7 olduğuna göre, K B ve B K ve K şartını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 14 B) C) 6 D) 64 E) B. E E 6. C 18

19 Kümelerin Eşitliği = {0,, 4, 6, 8 }, B = { x : x 4, x N } ve C = { x : x bir çift rakam } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) s( ) = s( B ) B) s( B ) = s( C ) C) s( ) = s( C ) D) = C E) B = C ynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. kümesi, B kümesine eşit ise = B ile gösterilir. Bu durumda, = { 0,, 4, 6, 8 }, B = { 0,1,,, 4 } ve C = { 0,, 4, 6, 8 } dir., B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir. Dolayısıyla, s ( ) = s ( B ) = s ( C ) dir. yrıca kümesi ile C kümesinin elemanları aynı olduğundan = C dir. Buna göre, B = C ifadesi yanlıştır. Cevap E TEST a ve b birbirinden farklı sayılardır. = { 1, a, 5, b, 7 } ve B = { x x tek rakam } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 1. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x < 15, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 İpucu : B ve B ise = B dir.. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = { x x, x N } ve B = {, a, b, c } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b + c toplamının değeri kaçtır? ) 11 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4. a, b, c birer rakam olmak üzere, B a b 6 c 7 5 C = { x : 4 < x 7, x Z } Yukarıda verilen, B ve C kümeleri birbirlerine eşit olduklarına göre, b + c a ifadesinin değeri kaçtır? ) 8 B) 4 C) 0 D) 4 E) 8 1. E. E. C 4. 19

20 Kümelerin Birleşimi = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki bütün elemanlardan meydana gelen kümeye birleşim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B ) { 1, } B) { 1,, } C) { 1,,, 4 } D) { 1,,, 4, 6, 8 } E) { 1,,, 4, 6 } Bu durumda, B = { x x veya x B } B = { 1,, } ve B = {, 4, 6, 8 } olduğundan, B ={ 1,,, 4, 6, 8 } dir. Cevap D TEST = { a, b, c, d } ve B = { c, d, e } olduğuna göre, B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden. = { x : x 5, x bir rakam } B = { x : 1 x < 6, x Z } olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) B a b c d e B) B a b c d e C) B a b c d e ) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 11 D) B a b c d e E) B a b c d e 4. = { a, b, c } ve B C = { c, d, e, f } olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 5 C) 4 D) E). = { 1,, 5 } ve B = { 7, 9 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { x : x < 9, x N } B) { x : x < 9, x Z } C) { x : x tek rakam } D) { x : x asal sayı } E) { x : x 9, x N + } 5. = { x : x = k, k N + }, B = { x : x = k, k N + } ve C = { 0 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) N B) Z C) Z + D) Z E) 1. B. C. E D 0

21 Kümelerin Kesişimi = { x : 1 x < 7, x Z } ve B = { x : x tek doğal sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, 5 } B) {, 5 } C) {, 5, 7 } D) { 1,, 5, 7 } E) { 1,, 5, 7, 9 } ve B herhangi iki küme olmak üzere, ile B kümelerindeki ortak elemanlardan meydana gelen kümeye kesişim B kümesi denir ve B ile gösterilir. B B = { x x ve x B } Bu durumda, = { x : 1 x < 7, x Z } = { 1,,, 4, 5, 6 } B = { 1,, 5, 7, 9,...} B = { 1,, 5 } bulunur. Cevap TEST B Yandaki şemaya göre, B a b c kümesinin eleman g d e f sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. = { x : x bir rakam } ve B = { x : x bir çift sayı } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) B) { } C) {, 4 } D) {, 4, 6 } E) { 0,, 4, 6, 8 } 4. = (, 1 ) ve. = { a, b, { b }, c, d } ve B = {{ b }, c, a, { b, d }} olduğuna göre, B kümesi kaç elemanlıdır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 B = (, ] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [, 1 ) B) (, 1 ) C) (, 1 ] D) [, ] E) 1.. C. E 4. B 1

22 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - I = { a, b, c, d }, B = { b, c, d, e } ve C = { d, e, f, g, h } kümeleri veriliyor. Buna göre, a) ile kümelerini kümesi ile b) B ile B ve B ile B kümelerini c) ( B C ) ile ( B ) C ve ( B C ) ile ( B ) C kümelerini d) ile ve ile kümelerini karşılaştırınız. c) ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { d, e } ( B C ) = { d } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { b, c, d } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { d } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i ( B C ) = { a, b, c, d } b_ { b, i c, d, e } { d, e, f, g, _ h } il ( B C ) = { a, b, c, d } { b, c, d, e, f, g, h } a) = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. = { a, b, c, d } { a, b, c, d } = { a, b, c, d } = dır. ( B C ) = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. ( B ) C = b_ { a, i b, c, d } {b, c, d, _ e } i l { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e } { d, e, f, g, h } ( B ) C = { a, b, c, d, e, f, g, h } olur. Dolayısıyla ( B C ) = ( B ) C dir Birleflme Özelli i b) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } B = { b, c, d } B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { b, c, d } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği ) B = { a, b, c, d } { b, c, d, e } d) = { a, b, c, d } { } = { } = dir. = { a, b, c, d } { } = { a, b, c, d } = dır. B = { a, b, c, d, e } olur. B = { b, c, d, e } { a, b, c, d } B = { a, b, c, d, e } olur. Dolayısıyla B = B dır. ( Değişme özelliği )

23 Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin Özellikleri - II ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) ( ) ( B ) = C) B = B D) = E) = Not 1 : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C Not : =, = B = B ( B C ) = ( B ) C ve B iki küme olmak üzere, B = ise ile B kümelerine ayrık kümeler denir. Kısaca, ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. E şıkkında = olarak verilmiştir. = olduğundan E şıkkı yanlıştır. Cevap E TEST şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = { } D) B = B E) ( B C ) = ( B ) C. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) B = B D) ( ) ( ) = E) ( B C ) = ( B ) C. = { x x bir rakam } ve B { x x < 0, x Z } olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1,, } B) { 1,,, 4 } C) { 0, 1,, } D) { 0, 1,,, 4 } E) { 4,,, 1, 0, 1,,, 4 } 4. = { x : x <, x Z } ve B = ( 1, 5] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) [ 1, ] B) [ 1, ) C) { 1 } D) { 1, 0, 1 } E) 1. C. D. B 4. E

24 Kümelerde Birleşme ve Kesişme İşlemlerinin Birbirleri Üzerine Dağılma Özelliği B = { a, b, c, d, e } C = { a, e, ı, i } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { a } C) { a, e, ı } D) { a, b, c, d, e, ı, i } E) { a, e } işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği : ( B C ) = ( B ) ( C ) ( B ) C = ( C ) ( B C ) Bu durumda, ( B C ) = ( B ) ( C ) = { a, b, c, d, e } { a, e, ı, i } = { a, e } bulunur. Cevap E TEST B = { 1,, 5 } C = { 0,, 4, 5 } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0, 1,,, 4, 5 } C) {, 0, 4 } D) { 5 }. C = { x : < x 4, x Z } B C = { x : x <, x N } olduğuna göre, ( B ) C kümesi aşağıdakilerden ) B) { 0 } C) { 1 } D) { 0, 1, } E) N E) {1,, 5 }. B Yandaki şemaya göre, 4. ( B ) ( C ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) C B) ( B C ) C) ( B ) C D) ( B C ) E) B ( C ) a e b d f c ( B ) C kümesi aşağıdakilerden 5. B = (, 5 ) C = [ 4, ) g olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdaki- C lerden ) { e, d } B) { d } C) { e, d, f } D) { b, e, d } E) { a, b, d, e, f } ) (, 5 ) B) ( 4, ] C) [, 5 ) D) (, ) E) (, ] 1. B. C. 4. B 5. D 4

25 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma I ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) ve B herhangi iki küme olmak üzere, s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) dir. s ( B ) = 10 B s ( B ) = olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 x x s ( B ) = 10 s ( ) = s ( B ) = x olsun. s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) 10 = x + x x = 6 bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 5 s ( B ) = 7 s ( B ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B ) = 10 ve B kümesinin alt küme sayısı 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) = s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 1 B) C) 5 D) 9 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) =. s ( B ) = 6. s ( B ) s ( B ) = 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B ve s ( B ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 9 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.. s ( ) = 4. s ( B ), s ( B ) = 5 ve s ( B ) < 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 1. D. C. D 4. B 5. B 6. C 5

26 İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma II ve B ayrık olmayan iki kümedir. s ( B ) = 6 ve s ( ) = 7 ve B ayrık olmayan iki küme ise B dir. s ( B ) nın değerinin çok olması için s ( B ) en az olmalıdır. Yani s ( B ) = 1 olmalıdır. olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? B ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) s ( B ) = = 1 bulunur. Cevap C TEST ve B iki kümedir. s ( ) = 9 s ( B ) = 4 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) ve B iki kümedir. s ( B ) = 1 s ( ) = 6 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 16 B) 15 C) 1 D) 11 E) 10. ve B iki küme ve B dır. s ( ) = 6 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 5. kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 4 tür. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. ve B iki kümedir. s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 4 B) 5 C) 8 D) 9 E) ve B iki küme ve B dir. s ( ) = 11 s ( B ) = 5 olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) 1 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8 1. D. B. C 4. C 5. B 6. 6

27 Üç Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma s ( B C ) =, s ( ) = s ( C ) = 1, s (B ) = 7, s ( C ) = ve s ( B ) = s ( B C ) = 6 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır?, B ve C herhangi üç küme olmak üzere, s ( B C ) = s ( ) + s ( B ) + s ( C ) s ( B ) s ( C ) s ( B C ) + s ( B C ) dir. Bu durumda, = s ( B C ) s ( B C ) = 7 bulunur. ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Cevap E TEST s ( ) = 7, s ( B ) = 6, s ( C ) = 14, s ( C ) = 5, s ( B C ) = 4, s ( B ) = ve s ( B C ) = 1 olduğuna göre, s ( B C ) kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0. s ( B C ) = 1, s ( ) = 9, s ( B ) = 5, s ( C ) = 6, s ( B ) = s ( C ) = 4 ve s ( B C ) = olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 B) 4 C) D) E) 1. C ve B ayrık kümelerdir. s ( ) = 10, s ( C ) = 4, s ( B ) = 1 ve s ( C ) = olduğuna göre, s ( (B C )) kaçtır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) B ve C ayrık kümelerdir. B, s ( B ) = 5 ve s ( C ) = 4 olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 1. C. B. 4. E 7

28 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma I İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerin oluşturduğu 0 kişilik bir turist kafilesinde her iki dili de bilenlerin sayısı İngilizce bilenlerin sayısının 5 ine, lmanca bilenlerin sayısının ise 1 sına eşittir. 6 Buna göre, bu kafiledeki İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 İngilizce bilenlerin kümesi İ, lmanca bilenlerin kümesi ve her iki dili de bilenlerin sayısı x olsun. İ x x 10x s ( İ ) = x ise s ( İ ) = 5x ve s ( ) = 1x olur. s ( İ ) = 0 dur. s ( İ ) = s ( İ ) + s ( ) s ( İ ) 0 = 5x + 1x x 0 = 15x x = olur. s ( İ ) = 5x s ( İ ) = 10 olur. Cevap TEST - 1. Matematik ve Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu 0 kişilik bir sınıfta kişi Matematik dersinden, 18 kişi Türkçe dersinden geçmiştir. Buna göre, bu sınıfta Matematik ve Türkçe derslerinin ikisinden de geçen kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. lmanca ve Fransızca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta her iki dili de bilen 6 kişi vardır. Fransızca bilenlerin sayısı lmanca bilenlerin sayısının katından 1 eksik ve sınıf mevcudu 6 kişi olduğuna göre, bu sınıfta Fransızca bilen kaç kişi vardır? ) 16 B) 18 C) 0 D) E) 4. Futbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 4 kişilik bir grupta futbol oynayan 15, hem futbol hem voleybol oynayan 7 kişi vardır. Buna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) Basketbol ve voleybol oyunlarından en az birini oynayanların bulunduğu 48 kişilik bir sınıfta her iki oyunu da oynayanların sayısı basketbol oynayanların 5 1 ine, voleybol oynayanların ise 8 1 sine eşittir. Buna göre, bu sınıfta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) B) 8 C) 4 D) 0 E) D. D. E 4. 8

29 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma II Bir sınıftaki öğrenciler matematik, geometri ve fizik derslerinin en az birinden geçmişlerdir. Matematikten geçenlerin sayısı 14, geometriden geçenlerin sayısı 15 ve fizikten geçenlerin sayısı 17 dir. Matematik ve geometri derslerinden geçenlerin sayısı 5, matematik ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 6, geometri ve fizik derslerinden geçenlerin sayısı 5 ve bu üç dersten de geçenlerin sayısı dir. Buna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır? ) B) 40 C) 48 D) 54 E) 60 I. Yol Matematik, geometri ve fizik dersinden geçenlerin kümeleri sırasıyla M, G ve F olsun. Bu durumda s ( M ) = 14, s ( G ) = 15, s ( F ) = 17 s ( M G ) = 5, s ( M F ) = 6, s ( G F ) = 5 ve s ( M G F ) = dir. Buna göre, s ( M G F ) = s ( M ) + s ( G ) + s ( F ) s ( M G ) s ( M F ) s ( G F ) + s ( M G F ) s ( M G F ) = = olur. II. Yol Derslerden geçenlerin kümelerini Venn şeması ile gösterirsek; M 5 7 G Sınıftaki öğrencilerin sayısı = = olur. 8 F Cevap TEST - 1. Bir lokantada fasulye, pilav ve salatadan en az birini yiyen bir gruptan 18 kişi fasulye, kişi pilav ve 14 kişi de salata yemiştir. Bu gruptaki 10 kişi hem fasulye hem pilav, 6 kişi hem fasulye hem salata, 8 kişi hem pilav hem salata ve kişi de bu üç yemeği de yemiştir. Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 1 B) 4 C) 7 D) 0 E). Daha önce lmanya, Fransa ve İtalya ülkelerinden birine gitmiş kişilerin bulunduğu 40 kişilik bir topluluktan 0 kişi lmanya'ya, 18 kişi Fransa'ya, 8 kişi lmanya ve Fransa'ya, 7 kişi lmanya ve İtalya'ya, 6 kişi Fransa ve İtalya'ya gitmiştir. Bu gruptaki, kişi bu üç ülkeye de gittiğine göre, İtalya'ya giden kaç kişi vardır? ) 0 B) 1 C) D) E) 4 1. E. 9

30 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma III = { x x < 75, x = k, k Z + } ve B = { x x < 100, x = 4k, k Z + } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 7 B) 4 C) 4 D) 45 E) 48 kümesi 75 ten küçük ve ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor. 7 - = {, 6, 9,, 7 }, s _ i = + 1 = 4 olur. B kümesi 100 den küçük ve 4 ün katı olan pozitif tam sayılardan oluşuyor B = { 4, 8, 1,, 96 }, s _ B i = + 1 = 4 olur. 4 B kümesinin elemanları OKEK (, 4 ) = 1 nin katlarından oluşur. B = { 1, 4, 6,, 7 } s ( B ) = = 6 olur. 1 s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = Not : Terim Sayısı = S o n Terim - l k Terim + 1 rt fl Miktar = 4 olur. Cevap B TEST = { x : 1 < x 150, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ve 4 ile tam bölünür? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1. = { x : 15 < x 40, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? ) 64 B) 68 C) 7 D) 75 E) 76. = { x 0 < x < 10, x = k, x Z } B = { x 1 < x < 14, x = 5k, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 46 C) 5 D) 5 E) = { x : 0 < x < 45, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi ile bölünür fakat 4 ile bölünmez? ) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 6 1. D. C. E 4. B 0

31 Kümelerin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma Karma IV ( B C ) = { a, b, c, d, e } ve B = { a, b, c, d, x, y, z } ve B = { a, b, x, y } B = { c, d } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? olduğuna göre, kaç farklı kümesi yazılabilir? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) ) 1 B) C) D) 4 E) 5 B = { a, b, x, y } ( B C ) = ( B ) ( C ) { a, b, c, d, e } = { c, d } ( C ) olduğundan C kümesinde a, b ve e elemanları bulunmak zorundadır. Bundan dolayı s ( C ) en az olur. Cevap C { a, b, c, d, x, y, z } = { a, b, x, y } dir. kümesinde c, d ve z elemanları kesinlikle bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına B kümesinin elemanlarıyla oluşturulabilecek herhangi bir alt kümenin elemanlarını ekleyebiliriz. s ( B ) = 4 olduğundan 4 = 16 farklı alt küme vardır. Dolayısıyla 16 farklı kümesi yazılabilir. Cevap D TEST ( B C ) = { 1,,, a, b, c } ve B = { 1,,, a } kümeleri veriliyor. Buna göre, C kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. = { a, b, c, d} ve B = { a, b, c, d, e, f, g } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi kümesini kapsar? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) 4. B, B,. B = { x, y, z, a, b, c } ve = { a, b, c } olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir? ) 4 B) 8 C) 16 D) E) 64 s ( ) = 8 ve s ( B ) = 1 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 5 B) 8 C) 11 D) 14 E) 0 1. B. B. C 4. D 1

32 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - I kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. E = { x : x bir harf } = { x : x bir sessiz harf } olduğuna göre, kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden ) { a, e } B) { a, e, ı, i } C) { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } D) { o, ö, u } E) { o, i, ü, a } E Üzerinde işlem yapılan bütün B kümeleri kapsayan, boş kümeden farklı kümeye evrensel küme denir. E, B E, ( B ) E E evrensel bir küme ve E olsun. E Evrensel kümede olan fakat kümesinde olmayan bütün elemanların oluşturduğu kümeye kümesinin = { x x ve x E } tümleyeni denir ve ' ya da ile gösterilir. Bu durumda, E = { x : x bir harf } = { a, b, c,..., z } = { x : x bir sessiz harf } = { b, c, ç, d,..., z } dir. Buna göre, ' kümesinde yalnızca sesli harfler bulunur. ' = { a, e, ı, i, o, ö, u, ü } olur. Cevap C TEST E. E B a b x y z B Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) E = { a, b, x, y, z, 1, } B) = { a, b, x, y, z } C) ' = { 1, } D) B' = { x, y, z } E) B = { a, b } 8 9 Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, ' B kümesi aşağıdakilerden ) { 4, 5, 6, 7 } B) { 4 } C) { 5, 6, 7, 8, 9 } D) { 8, 9 } E) { 5, 6, 7 } 1. D. E

33 Evrensel Küme ve Bir Kümenin Tümleyeni - II E evrensel küme olmak üzere, ı : _, ' i + D + : _ + ' i, D ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri ı : _, _ >, i _ < i >, ' i + D + : _ + ' i, D = 7 E + + 7Q, ; E Q = ' = olur. ı a) E = E b) E = c) ' = E d) ' = e) E' = f) ' = E g) (')' = h) B B' ' Cevap C TEST kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ı < b_, Ei, _ + Eil + EF ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) ' C) D) E E) Hiçbiri. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B dir. Buna göre, b _ ' + B' i + _ ', B' il + b_ + B' i + _ ' + Bil ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B' B) ' B C) B D) E) E. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, ' ' ı ı :_, i + _Q + id ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit değildir? ) B) C) E D) ' E) ' E 4. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) Evrensel kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi boş kümedir. B) Bir küme ile tümleyeninin birleşimi evrensel kümedir. C) Boş kümenin tümleyeni ile bir kümenin kesişimi o kümenin kendisine eşittir. D) Bir kümenin tümleyeni ile kesişimi evrensel kümedir. E) Boş kümenin tümleyeninin tümleyeni boş kümedir. 1.. E. D 4. D

34 De Morgan Kuralları ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B ) ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, J N ( B )' = ' B' K O K De Morgan O K O ( B )' = ' B' Kuralları K O L P ( B ) ( B )' = ( B ) ( ' B' ) = ( ' ) ( B B' ) = E E = E bulunur. Cevap E TEST ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ( B )' = ' B' B) ' = C) ( B )' = ' B' D) ( ' B )' = B' E) ( B' )' = ' B 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B [( B' )' ]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) ' D) E E) Hiçbiri 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, B' ı ı :_, i + _ ', Bi D kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) ' E) E ı. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B )' B kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' B' )' ( ' B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) E 1. E.. E 4. C 5. E 6. 4

35 Evrensel Kümenin ve Bir Kümenin Tümleyeninin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1, E evrensel kümesinin bir alt kümesi ise, s ( ) + s ( ' ) = s ( E ) dir. Bu durumda, s ( ) + s ( B ) = 1 s ( ' ) + s ( B' ) = 11 s ( ) + s ( ' ) + s ( B ) + s ( B' ) = 4 s ( E ) + s ( E ) = 4 s ( E ) = 1 bulunur. Cevap D TEST , E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. s ( E ) = 1, s ( ) = 9 olduğuna göre, s ( ' ) kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 4., B ve C, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleridir. s ( ) + s ( B ) + s ( C' )= 10, s ( ' ) + s ( B' ) = 14 ve s ( E ) = 9 olduğuna göre, s ( C ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E). E evrensel küme ve E dir. kümesinin alt küme sayısı 16, ' kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( B ) = 9, s ( B ) = 1 s ( B ) = 4, s ( E ) = 11 olduğuna göre, kümesinin tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ' ) + s ( B ) = 19, s ( ) + s ( B' ) = 7 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 9 B) 10 C) 11 D) 1 E) 1 6. ve B, E evrensel kümesinin ayrık alt kümeleridir.. s ( ) = 4. s ( B ) s ( B' ) = s ( ' ) + 5 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 10 B) 1 C) 1 D) 15 E) B. D. E 4. E 5. D 6. D 5

36 Evrensel Küme ltında İki Kümenin Birleşiminin Eleman Sayısını Bulma ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. x = B = x s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( E ) =. s ( B ) =. s ( ) s ( ' B' ) = 8 x x 6x x x s ( B ) = 8 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? E = 6x ) 15 B) 1 C) 1 D) 10 E) 8 ( B)' = ' B' 6x = 8 + ( x ) + + ( x ) 6x = 5x + 5 x = 5 s ( ) = 15 bulunur. Cevap TEST ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 16, s ( ' B' ) = 10 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 4. ve B, E evrensel kümesinin ayrık iki alt kümesidir. s ( ) = 4, s ( B ) = 1, s ( ' B' ) = 6 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 14 B) 1 C) 1 D) 11 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 6, s ( B ) =, s ( B ) = 1 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B ) =. s ( ), s ( B ) = s (( B )'), s ( E ) = 15 olduğuna göre, s ( ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( E ) = 1, s ( ) = 7 s ( B ) = 4, s (( B )') = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 6. E evrensel küme olmak üzere, E, B E ve B dır. s ( E ) = 15, s ( ) = 7, s ( B ) = 5 olduğuna göre, s (( B )') en az kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 1. E. D. 4. D 5. B 6. B 6

37 İki Kümenin Farkı - I E B a f c e b d g Yandaki şekilde E evrensel kümesine ait ve B alt kümeleri verilmiştir. ve B iki küme olmak üzere, da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye fark B kümesi denir ve \ B ya da B şeklinde gösterilir. B = { x : x ve x B } dir. Buna göre, B, B, E, E B, ' B ve ( B ) ( B ) kümelerini bulunuz. B = { a, b } B = { e } E = { e, f, g } E B = { a, b, f, g } ' B = { f, g } ( B ) ( B ) = { a, b, e } dir. TEST = { a, b, c, d, e } ve B = { a, e, f } olduğuna göre, \ B kümesi aşağıdakilerden ) B) { b, c, d } C) { b, c } D) { b, c, d, e } E) { a, b, c }. = { x 4 < x <, x Z } ve B = { x : x N + } olduğuna göre, \ B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) B E Yandaki Venn Şemasına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) \ B = { } B) B \ = { 5, 6 } C) ( B )' = { 1,, 7, 8 } D) ( \ B ) = { } E) B' ( \ B ) = { 1,,, 7, 8 } 4. = { 1,, {, 4 }, 5, { 6 }} ve B = { 1, } olduğuna göre, B kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 8 E) B. D. C 4. 7

38 İki Kümenin Farkı - II = { a, b, c, d, e } B = { a, b, c, x } olduğuna göre, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { d, e } B) { x } C) { a, b, c } D) { d, e, x } E) { a, b, x } ( B ) ( B ) kümesine simetrik fark kümesi denir. B ile gösterilir. B B B B = ( B ) ( B ) E, evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B olmak üzere, a) B ise B B dır. b) = c) = d) = e) E = f) E = ' g) B ise B = dir. h) B = ise B = ve B = B dir. d e a b c x B B = { d, e } B = { x } ( B ) ( B ) = { d, e, x } olur. i) s ( B ) = s ( ) + s ( B ) s ( B ) = s ( B ) + s ( B ) dir. Cevap D TEST - 1. = { 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 } ve B = {,, 5, 7, 9 } olmak üzere, ( B ) ( B ) kümesi aşağıdakilerden ) { 1,,, 7 } B) {,, 5, 7 } C) { 1, 4, 6, 8, 9 } D) { 1, 4, 6 } E) { 9 }. şağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) = B) = C) = D) E = E) E = ' 1. C. D 8

39 İki Kümenin Farkı - III ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E ve B herhangi iki küme olmak üzere, B = B' dir. Bu durumda, ( B )' ( B ) = ( ' B' ) ( B' ) = ( ' ) B' = B' = bulunur. Not : Bu tip soruları Venn şeması kullanarak kolayca çözebilirsiniz. Cevap TEST - 1. [( B' )]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) ' B' 4. ( B )' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B' E) E. ' ( B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) ' B 5. B \ = olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = B) B C) B D) B E) ve B ayrık kümelerdir.. B olmak üzere, ( B )' ( B )' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) B D) ' E) B' 6. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. Buna göre, ( ' ) [( E B ) ( B E )] kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) ' D) B E) B' 1. E. E. 4. D 5. D 6. E 9

40 Kümelerin Farkının Eleman Sayısını Bulma s ( ) = 1, s ( B ) = 7 ve s ( B' ) = 9 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? B s() = 1 s(b) = 7 B B B ) 1 B) C) D) 4 E) 5 s( B) = s() s( B) ( B' = B) = 1 9 = 4 s ( B ) = s ( B ) s ( B ) = 7 4 = bulunur. Cevap C TEST s ( \ B ) = 4, s ( B \ ) = 1, s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B \ ) =. s ( \ B ), s ( E ) = 4, s ( B ) = ve s ( ' ) = 15 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15. s ( ) = 1, s ( B ) = 6 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 10 C) 14 D) 18 E) 0 5. s ( B ) = 4. s ( ) s ( B ) = olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) B) 5 C) 6 D) 8 E) 11. B, B, B kümelerinin alt kümelerinin sayısı sırasıyla 18, 64 ve 16 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) = 9, s ( E ) = 15 olduğuna göre, :_ ' - B' i, _ ' - BiD kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 6 D) 9 E) B. D. B 4. E 5. C 6. C 40

41 Bir Kümenin Venn Şeması İle Temsili Gösterimi B C Yandaki Venn şemasında verilen bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? ) C' B) ( B ) \ C) \ ( B C ) D) \ ( B C ) E) ( B C )' a d b e B c f C Kümelerin belirttiği bölgeleri harflendirirsek, = { a, b, e, d } B = { b, c, e, f } ve C = { d, e, f, g } g kümeleri temsili olarak oluşur. Bu durumda, \ ( B C ) = { a, b, e, d } \ { e, f } = { a, b, d } kümesi taralı bölgeyi temsil eder. Cevap C TEST ( C ) B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden ) B B) B C) B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? C C C C ) ( B ) C B) ( B ) C D) B E) C C B C) C' B D) ( B ) C' E) ( B ) C 4. B. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıda- E C kilerden hangi- ve B kümeleri, E evrensel kümesinin iki alt si ile ifade edi- kümesidir. Buna göre, yukarıdaki taralı bölge lebilir? aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez? ) C ( B ) B) ( C ) B C) B ( C ) D) ( ' B' ) C E) C ( B ) ) ( B ) ( B ' ) B) ( B )' C) ( B ) ( B ) D) ( B' ) (B \ ) E) ( B ) \ ( B ) 1. D. E. 4. B 41

42 Küme Problemlerine Giriş - I a b c d e f g B k E Yandaki şekilde E evrensel kümesinin, B ve C alt kümeleri verilmiştir. E İ x y z t C h j i l Yukarıdaki şekilde E evrensel kümesine ait İ ve alt kümeleri verilmiştir. şağıdaki tabloyu verilen şekle göre doldurunuz. İngilizce bilenlerin kümesi : İ lmanca bilenlerin kümesi : ve Kümenin dı 1) B ) B ) B' 4) B ' 5) ' 6) C 7) C 8) C 9) C' 10) B C 11) E ( B C ) 1) ' 1) B' 14) C' 15) E B 16) B E 17) B 18) ' C 19) B' Kümenin Liste Yöntemi ile Gösterimi x, y, z, t içinde bulunduğu kümenin eleman sayılarıdır. 1) İngilizce bilenlerin sayısı : ) lmanca bilenlerin sayısı : ) Sadece İngilizce bilenlerin sayısı : 4) Sadece lmanca bilenlerin sayısı : 5) İngilizce ve lmanca bilenlerin sayısı : 6) İngilizce veya lmanca bilenlerin sayısı : 7) Her iki dili de bilmeyenlerin sayısı : 8) En fazla bir dil bilenlerin sayısı : 9) En az bir dil bilenlerin sayısı : 1) { a, b, c } ) { f, g } ) { a, b, c } 4) { f, g } 5) { } 6) { h, i, j } 7) { } 8) { } 9) { } 10) { a, b, c, d, e, f, g } 11) { k, l } 1) { f, g, h, i, j, k, l } 1) { a, b, c, h, i, j, k, l } 14) { a, b, c, d, e, f, g, k, l } 15) { a, b, c, h, i, j, k, l } 16) { } 17) { a, b, c, f, g } 18) { f, g, k, l } 19) { h, i, j, k, l } 1) x + y ) y + z ) x 4) z 5) y 6) x + y + z 7) t 8) x + y + z 4

43 Küme Problemlerine Giriş - II E F a d b B Yandaki evrensel küme içinde a, b, c, d, e, f, g ve h harfleri içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstermektedir. e g f F : Futbol oynayanların kümesi, B : Basketbol oynayanların kümesi, V c h V : Voleybol oynayanların kümesidir. Buna göre, aşağıdaki boşlukları doldurunuz. 1) Futbol oynayanların sayısı ) Basketbol oynayanların sayısı ) Voleybol oynayanların sayısı 4) Futbol ve basketbol oynayanların sayısı 5) Yalnız futbol oynayanların sayısı 6) Yalnız bir oyun oynayanların sayısı 7) Sadece iki oyun oynayanların sayısı 8) En az iki oyun oynayanların sayısı 9) En fazla bir oyun oynayanların sayısı 10) Futbol oynamayanların sayısı 11) Futbol oynamayıp voleybol oynayanların sayısı 1) Voleybol veya basketbol oynayanların sayısı 1) Futbol ve basketbol oynamayanların sayısı 14) Futbol ve basketbol oynayıp voleybol oynamayanların sayısı 15) Basketbol veya voleybol oynayıp futbol oynamayanların sayısı 16) En az bir oyun oynayanların sayısı 17) En fazla iki oyun oynayanların sayısı 18) En fazla üç oyun oynayanların sayısı 19) En az üç oyun oynayanların sayısı 0) Hiç bir oyunu oynamayanların sayısı 1) a + d + e + g ) b + d + f + g ) c + e + f + g 4) d + g 5) a 6) a + b + c 7) d + e + f 8) d + e + f + g 9) a + b + c + h 10) b + c + f + h 11) c + f 1) b + c + d + e + f + g 1) c + h 14) d 15) b + c + f 16) a + b + c + d + e + f + g 17) a + b + c + d + e + f + h 18) a + b + c + d + e + f + g + h 19) g 0) h 4

44 Küme Problemleri - I Bir okulda matematik dersinden geçenlerin kümesi, biyoloji dersinden geçenlerin kümesi B dir. Bu iki dersten de kalan öğrenci olmadığına göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? a b c B ) B = { Matematik ve biyoloji derslerinden geçenler. } B) B = { Matematik veya biyoloji dersinden geçenler. } C) \ B = { Matematik dersinden geçip, biyoloji dersinden kalanlar. } D) B \ = { Biyoloji dersinden geçip, matematik dersinden kalanlar. } E) B' = { Matematik veya biyoloji dersinden kalanlar. } a : \ B = { Matematik dersinden geçip, biyoloji dersinden kalanlar. } b : B = { Matematik ve biyoloji dersinden geçenler. } c : B \ = { Biyoloji dersinden geçip, matematik dersinden kalanlar. } a + b : = { Matematik dersinden geçenler. } b + c : B = { Biyoloji dersinden geçenler. } a + b + c : B = { Matematik veya biyoloji dersinden geçenler. } a + c : ( \ B ) ( B \ ) = B = { Matematik ya da biyoloji dersinden geçenler. } Bu durumda, B' = B olduğundan " E " seçeneği yanlıştır. Cevap E TEST Bir apartmanda X gazetesini okuyanların kümesi, Y gazetesini okuyanların kümesi B dir. Bu apartmanda başka gazete okunmadığına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B = { X veya Y gazetesini okuyanlar. } B) B = { Hem X gazetesini hem de Y gazetesini okuyanlar. } C) \ B = { X gazetesini okuyup Y gazetesini okumayanlar. } D) B = { Sadece X ya da sadece Y gazetesini okuyanlar. } E) B ' = { X veya Y gazetesini okumayanlar. }. Öğrencilerin sarışın ya da esmer olduğu bir sınıfta, = { Sınıftaki sarışın öğrenciler } B = { Sınıftaki esmer öğrenciler } olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) B = { Sınıftaki esmer veya sarışın öğrenciler } B) B = C) \ B = { Sınıftaki esmer öğrenciler } D) B \ = { Sınıftaki esmer öğrenciler } E) B' = { Sınıftaki sarışın öğrenciler } 1. E. C 44

45 Küme Problemleri - II Kuş veya balık besleyenlerden oluşan bir grupta, kuş besleyenlerin sayısı balık besleyenlerin sayısının yarısı kadardır. Yalnız bir hayvan besleyenlerin sayısı 4, her iki hayvanı da besleyenlerin sayısı 6 olduğuna göre, bu grupta yalnızca kuş besleyen kaç kişi vardır? ) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 K B x 6 y Verilenlere göre, s ( K B ) = 6, s ( K ) = x + 6 ve s ( B ) = y + 6 dır. Yalnız bir hayvan besleyenler, s ( K B ) = 4 tür. Buna göre, x + y = 4 tür Kuş besleyenlerin sayısı balık besleyenlerin sayısının yarısı kadar olduğundan.( x + 6 ) = y + 6 x + 1 = y + 6 x y = 6 + x + y = 4 x = 18 ve x = 6 olur. Cevap E TEST İngilizce ve lmanca dersleri verilen bir dil kursunda, sadece lmanca dersi alan 7 ve İngilizce dersi alan 15 kişi olduğuna göre, kursa katılan kaç kişi vardır? ) 18 B) 0 C) D) 4 E) kişilik bir sınıfta Fizik dersinden geçen 5, Kimya dersinden geçen kişi olup, her iki dersten kalan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten geçen kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 11 D) 1 E) 1. Bir toplulukta sadece voleybol oynayanların sayısı, voleybol ve basketbol oynayanların sayısının katına eşittir. Bu toplulukta basketbol oynayan 15 kişi, voleybol veya basketbol oynayan 1 kişi olduğuna göre, voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) kişilik bir grupta herkes çay içmekte veya simit yemektedir. Hem çay içip hem simit yiyen 1 kişi olduğuna göre, çay içen ya da simit yiyen kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) kişilik bir sınıfta matematik dersinden kalan 10 kişi, Türkçe dersinden geçen 0 kişi vardır. Her iki dersten de kalan 6 kişi olduğuna göre, matematik ve Türkçe dersinden geçen kaç kişi vardır? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 6. Gitar veya bateri çalanlardan oluşan bir grupta, gitar çalanların sayısı bateri çalanların sayısının katıdır. Yalnız bir enstrüman çalanların sayısı 1 ve her iki enstrümanı da çalanların sayısı olduğuna göre, bu grupta yalnız bateri çalan kaç kişi vardır? ) B) C) 4 D) 5 E) C. B. C 4. C 5. C 6. B

46 Küme Problemleri - III En çok iki yabancı dil bilenlerin bulunduğu bir sınıfta, öğrenci en çok bir yabancı dil, 16 B öğrenci en az bir yabancı dil bilmektedir. öğrenci ise, sadece bir yabancı dil bildiğine göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır? a b c d E ) 5 B) C) D) 1 E) 0 En çok bir yabancı dil bilenler : a + c + d En az bir yabancı dil bilenler : a + b + c Sadece bir dil bilenler : a + c a + c + d = a + b + c = 16 a + c = olur. a + c + d = + d = d = 19 dur. Buna göre, a + b + c + d = = 5 bulunur. Cevap TEST Bir sınıfta 0 kişi matematik dersinden, 16 kişi fizik dersinden başarılı olmuştur. 5 kişi ise her iki dersten de başarısız olmuştur. Sınıf mevcudu 6 olduğuna göre, sadece bir dersten başarılı olan kaç kişi vardır? ) 11 B) 15 C) 19 D) E) 6. Futbol ve basketbol oynayanların bulunduğu bir toplulukta sadece bir oyunu oynayan 0, en az bir oyunu oynayan 4, en fazla bir oyunu oynayan 6 kişi vardır. Buna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır? ) 8 B) 9 C) 40 D) 41 C) 4. En çok iki yabancı dil bilenlerin bulunduğu bir toplulukta 16 kişi en az bir yabancı dil, 8 kişi en çok bir yabancı dil bilmektedir. Sadece bir yabancı dil bilen 4 kişi olduğuna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır? ) 0 B) 5 C) 8 D) E) 6 4. Herkesin müzik dinlemeyi sevdiği 8 kişilik bir toplulukta, kitap okumayı sevenler, film izlemeyi sevmemektedir. Bu toplulukta sadece müzik dinlemeyi seven 7 kişi vardır. Müzik dinlemeyi veya kitap okumayı seven 18 kişi olduğuna göre, müzik dinlemeyi ve film izlemeyi sevenlerin sayısı kaçtır? ) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) E.. C 4.

47 Küme Problemleri - IV Bir okuldaki kız öğrencilerin kümesi, sarışın öğrencilerin kümesi B dir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) ' = { Erkek öğrenciler } B) B' = { Sarışın olmayan öğrenciler } C) B = { Sarışın kız öğrenciler } D) B \ = { Sarışın öğrenciler } E) B = { Kız veya sarışın öğrenciler } a b c c + d : ' = { Erkek öğrenciler. } b + c : B = { Sarışın öğrenciler. } B d E a: \ B = { Sarışın olmayan kız öğrenciler } b: B = { Sarışın kız öğrenciler } c: B \ = { Sarışın erkek öğrenciler } a + b : = { Kız öğrenciler. } a + d : B' = { Sarışın olmayan öğrenciler. } a + b + c : B = { Kız veya sarışın öğrenciler. } d : ( B )' = ' B' = { Sarışın olmayan erkek öğrenciler. } a + b + c + d : E = { Sınıftaki öğrenciler. } Bu durumda, "D" şıkkı yanlıştır. Cevap D TEST Bir grupta futbol oynayanların kümesi, basketbol oynayanların kümesi B dir. Bu grupta her iki oyunu da oynamayanlar bulunduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B' = { Basketbol oynamayanlar } B) B = { Futbol ve basketbol oynayanlar } C) B' = { Futbol oynayıp, basketbol oynamayanlar } D) ' B' = { En çok bir oyunu oynayanlar } E) B \ = { Sadece futbol oynayanlar }. = { Erkek öğrenciler } B = { Gözlüklü öğrenciler } olduğuna göre, B' kümesi aşağıdakilerden ) { Gözlüklü erkek öğrenciler } B) { Kız öğrenciler } C) { Gözlüksüz erkek öğrenciler } D) { Gözlüksüz kız öğrenciler } E) { Gözlüklü kız öğrenciler } 1. E. 47

48 Küme Problemleri - V 1 1 Bir sınıftaki öğrencilerin ü erkektir. Hem kızların hem erkeklerin ü gözlüklüdür. 4 1 Gözlüklü öğrencilerin sayısı 4 olduğuna göre, bu sınıftaki gözlüklü kız öğrencilerin sayısı, gözlüksüz erkek öğrencilerin sayısından kaç fazladır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 Fizik dersinden geçen herkesin matematik dersinden geçtiği bir sınıfta, geometri dersinden geçenler fizik dersinden kalmışlardır. Bu sınıfta iki dersten geçenlerin sayısı 18, matematik ve fizik dersinden geçenlerin sayısı 15, geometri dersinden geçenlerin sayısı 1 dir. En az bir dersten geçenlerin bulunduğu bu grupta 6 kişi olduğuna göre, yalnız matematik dersinden geçen kaç kişi vardır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Fizikten geçenler matematik dersinden geçtiğine Sınıftaki öğrenci sayısına 1x diyerek tablo oluşturalım. Gözlüksüz Gözlüklü Toplam K 6x x 9x E x x x Gözlüklü kız ve erkeklerin sayıları toplamı x + x = 4 x = 1 olur. Bu durumda gözlüklü kız öğrencilerin sayısı, gözlüksüz erkek öğrencilerin sayısı dir. = 1 olur. Cevap göre, F M ve geometri dersinden geçenler fizik dersinden kaldığına göre, G F = dir. Verilenleri Venn Şemasıyla gösterelim. M G İki dersten geçenler : a + c = 18 b Matematik ve fizik derslerinden F c geçenlerin sayısı : a d a = 15 ise c = tür. Geometri dersinden geçenlerin sayısı : c + d = 1 d = 9 dur. Sınıftaki toplam kişi sayısı : a + b + c + d = b = 6 b = 9 olur. Cevap E TEST Bir sınıftaki öğrencilerin i erkektir. Erkeklerin si, kızların ise ü gözlüklüdür. Gözlüklü kızların sayısı 5 olduğuna göre, gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısından kaç fazladır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5. Voleybol oynayan herkesin futbol oynadığı 0 kişilik bir grupta yalnız bir spor yapan 11 kişi, iki spor yapan 19 kişi ve yalnızca basketbol oynayan 8 kişi bulunduğuna göre, futbol oynayan kaç kişi vardır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 1. E. B 48

49 Küme Problemleri - VI 0 kişilik bir sınıfın 16 sı erkek, si esmerdir. Esmer erkek öğrenci sayısı, sarışın kız öğrenci sayısının katından fazladır. Buna göre, sınıftaki esmer kız öğrenci sayısı kaçtır? ) 8 B) 9 C) 11 D) 1 E) 15 Bu tür sorularda tablo çizmek çözümü kolaylaştırır. Erkek Kız Esmer a b Sarışın c d a + b + c + d = 0 a + c = 16 a + b = a = d + 16 a + b + c + d = 0 b + d = 14 (1) a + b = ( d + ) + b = d + b = 0 ( ) (1) ve ( ) yi ortak çözersek / b + d = 14 + d + b = 0 b = 11 bulunur. Cevap C TEST i bayan olan bir grupta 6 erkek gözlüksüz, 5 5 bayan gözlüklüdür. Gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz bayanların sayısının iki katı olduğuna göre, grupta gözlüklü kaç kişi vardır? ) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. 0 erkek ve 4 bayandan oluşan bir toplulukta voleybol oynayan bayanların sayısı, basketbol oynayan erkeklerin sayısından 6 fazladır. Buna göre, voleybol oynayan erkeklerin sayısı, basketbol oynayan bayanların sayısından kaç fazladır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) kişilik bir sınıfta, 6 kişi gözlüksüz, kişi sarışındır. Sarışın 11 kişi gözlüksüz olduğuna göre, sarışın veya gözlüklü kaç kişi vardır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 4. Bir sınıfta yabancı dil bilen kız öğrenci sayısı, yabancı dil bilmeyen erkek öğrenci sayısının katıdır. Yabancı dil bilmeyen kızların sayısı, yabancı dil bilen erkeklerin sayısından 4 fazladır. Buna göre, sınıf mevcudu kaç kişi olabilir? ) B) 5 C) 8 D) 41 E) 4 1. D.. 4. C 49

50 Küme Problemleri - VII Voleybol ve futbol oyunlarından en az birinin oynandığı bir sporcu kafilesinde sporcuların % 60 ı voleybol, % 45 i futbol oynamaktadır. Bu kafilede hem futbol hem de voleybol oynayan 15 sporcu olduğuna göre, sadece voleybol oynayan kaç sporcu vardır? ) 140 B) 145 C) 150 D) 165 E) 170 V = % 60 % 55 % 5 % 40 % 100 F = % 45 V F = % ( ) = % 5 Sporcu kafilesi = 100x s ( V F ) = 5x = 15 x = tür. s ( V F ) = 55x = 55. = 165 bulunur. Cevap D TEST Bir sınıftaki öğrenciler şiir veya hikaye kitabından en az birine sahiptir. Öğrencilerin % 5 sinin şiir kitabı, % 7 ünün hikaye kitabı vardır. Buna göre, bu öğrencilerin yüzde kaçında hem şiir hem de hikaye kitabı vardır? ) 5 B) C) 8 D) 44 E) 50. Bir turist grubu İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerden oluşmaktadır. Gruptakilerin % 70 i İngilizce, % 60 ı lmanca bilmektedir. Her iki dili bilen 6 kişi olduğuna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 15 B) 18 C) 0 D) C) 5. Bir sınıfın % 6 sı matematik dersinden % 54 ü İngilizce dersinden başarılıdır. Her iki dersten de başarılı % 18 lik bir kısım olduğuna göre, sınıfın yüzde kaçı iki dersten de başarısızdır? ) 0 B) 6 C) 1 D) 0 E) 8 4. Bir kafede oturan bir grup, çay ve kahveden en az birini içenlerden oluşmaktadır. % 60 ı erkek olan bu grubun % 0 u çay içmektedir. Gruptaki erkeklerin % 0 si çay içmekte ve gruptaki 11 bayan kahve içmektedir. Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır? ) 55 B) 50 C) 48 D) 45 E) E. C 4. B 50

51 Küme Problemleri - VIII Üç farklı dilden en az birini bilenlerin oluşturduğu bir toplulukta, en az iki dil bilenlerin sayısı 17, yalnız bir dil bilenlerin sayısı 7, üç dili de bilenlerin sayısı dir. Buna göre, yalnız bir dil bilenlerin sayısı, yalnız iki dil bilenlerin sayısından kaç fazladır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 14 Venn Şeması ile gösterirsek B En az iki dil bilenler : a b c b + d + e + f = 17 Yalnız bir dil bilenler : d e f a + c + g = 7 g Üç dili de bilenler : e = dir. C b + d + f = 15 tir. ( Yalnız bir dil bilenler ) ( Yalnız iki dil bilenler ) = ( a + c + g ) ( b + d + f ) = 7 15 = 1 olur. Cevap D TEST En az bir oyun oynayanların bulunduğu bir grupta tavla oynayan 1 kişi, satranç oynayan 15 kişi, dama oynayan 18 kişi, tavla ve satranç oynayan 5 kişi, tavla ve dama oynayan 4 kişi dama ve satranç oynayan 6 kişi, bu üç oyunu da oynayan kişi vardır. Buna göre, bu grupta toplam kaç kişi vardır? ) 0 B) C) 6 D) 9 E) 4. Matematik, geometri ve fizik derslerinden en az birini geçen 6 kişilik bir sınıfta matematikten geçenler diğer derslerden geçememiştir. Yalnız bir dersten geçen 55, matematik veya geometri derslerinden geçen 9, matematik veya fizik derslerinden geçen 44 kişi olduğuna göre, matematik dersinden geçen kaç kişi vardır? ) 14 B) 18 C) D) 4 E) 6. X, Y, Z kanallarından en az birini izleyenlerin oluşturduğu bir grupta X kanalını 0 kişi, Y kanalını 4 kişi, Z kanalını 18 kişi izlemektedir. X ve Y kanalını izleyen 11 kişi, X ve Z kanalını izleyen 1 kişi, Y ve Z kanalını izleyen 10 kişi ve bu üç kanalı da izleyen 8 kişi vardır. Buna göre, yalnızca bir kanal izleyen kaç kişi vardır? ) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 0 4. kişilik bir sınıfta fizik, kimya ve biyoloji derslerinin üçünden de geçenlerin sayısı bu üç dersten de kalanların sayısına eşittir. Sadece iki dersten geçenlerin sayısı ise bu üç dersten de kalanların sayısının iki katı, sadece bir dersten geçenlerin yarısı kadardır. Buna göre, bu derslerin hiç birinden geçemeyen kaç kişi vardır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 1. B.. E 4. C 51

52 Sıralı İkili ( x y, 4 ) = (, x y ) olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? ) 0 B) C) 4 D) 8 E) 10 a, b R olmak üzere, a ve b ile oluşturulan ( a, b ) çiftine sıralı ikili denir. ( a, b ) = ( x, y ) a = x ve b = y dir. ( x y, 4 ) = (, x y ) x y = ve x y = 4 + x y = x y = 4 x = x y = y = y = 0 x. y =. 0 = 0 bulunur. Cevap TEST ( x 1, y + 1 ) = (, 9 ) olduğuna göre, ( x, y ) sıralı ikilisi aşağıdakilerden ) ( 1, 5 ) B) ( 1, 8 ) C) (, 8 ) 4. ( x + 5, x + ) = ( y + 8, y + 1 ) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 D) (, 5 ) E) (, 1 ). ( x + y, 10 ) = ( 11, 5x ) olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? ) 1 B) 18 C) 1 D) 4 E) 8 5. ( m n, 1 ) = ( 19, m n ) olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? ) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 0. ( a, ( a + 1 ) b ) = (, 16 ) olduğuna göre, b a ifadesinin değeri kaçtır? ) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 1 6. ( a + b, a. b ) = ( 6, 5 ) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) 17 B) 0 C) 1 D) E) 6 1. B. B. D 4. E 5. D 6. E 5

53 Kartezyen Çarpım - I = { a, b, c } ve B = { 1, } olmak üzere, x B ve B x kümelerini; a) a B 1 a) Venn Şeması ile gösteriniz. b) Liste yöntemi ile gösteriniz. b c x B B 1 a b ve B boş olmayan iki küme olmak üzere birinci bileşeni kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine ile B nin kartezyen çarpımı denir. x B şeklinde gösterilir. x B = {( x, y ) x ve y B } B x = {( x, y ) x B ve y } dır. Not : B ise x B B x dır. c B x b) x B = { ( a, 1 ), ( a, ), ( b, 1 ), ( b, ), ( c, 1 ), ( c, )} B x = { ( 1, a ), ( 1, b ), ( 1, c ), (, a ), (, b ), (, c )} şeklindedir. TEST = { x, y } ve B = { a, b, c } kümeleri veriliyor. Buna göre, x B kümesinin Venn Şeması ile gösterimi aşağıdakilerden. = { a, b } ve B = { 1,, } kümeleri veriliyor. Buna göre, x B kümesinin liste yöntemi ile gösterilişi aşağıdakilerden ) B B) x a b y c C) B D) B x a b y c x y a b c B a b c x y ) {( 1, a ), ( 1, b ) (, a ), (, b ), (, a ), (, b )} B) {( 1, a ), ( 1, b ), (, a ), (, b )} C) {( a, 1 ), ( b, )} D) {( a, 1 ), ( a, ), ( b, 1 ), ( b, )} E) {( a, 1 ), ( a, ), ( a, ), ( b, 1 ), ( b, ), ( b, )} E) B a x b c y 1. C. E 5

54 Kartezyen Çarpım - II = { x x 4, x Z } B = { y < y, y Z + } olduğuna göre, x B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 8 C) 10 D) 1 E) 15 x B = {( x, y ) : x ve y B } s ( x B ) = s ( ). s ( B ) dir. = { x x 4, x Z } = {, 1, 0, 1, } B = { y < y, y Z + } = { 1,, } x B = {(, 1 ), (, ), (, ), ( 1, 1 ), ( 1, ), ( 1, ), ( 0, 1 ), (0, ), ( 0, ), ( 1, 1 ), ( 1, ), ( 1, ), (, 1 ), (, ), (, )} s ( x B ) = s ( ). s ( B ) = 5. = 15 bulunur. Cevap E TEST = { 1, 0, 1, } ve B = { a, b, c } olduğuna göre, s ( x B ) kaçtır? ) 4 B) 7 C) 1 D) 15 E) x B = {( 1, 1 ), ( 1, ), ( 1, 1 ), ( 1, )} ve C x D = {( 0, ), ( 0, 5 ), (, ), (, 5 )} olduğuna göre, B x C kümesi aşağıdakilerden. = { a, b, c, d }, B = { a, d, e, f } ve C = { a, c, d, f } kümeleri veriliyor. Buna göre, ( C ) x B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 5 B) 10 C) 15 D) 0 E) 5 ) {( 1, ), ( 1, 5 ), ( 1, ), ( 1, 5 )} B) {( 1, 0 ), ( 1, ), (, 0 ), (, )} C) {( 1, 0 ), ( 1, ), ( 1, 0 ), ( 1, )} D) {( 1, ), ( 1, ), (, ), (, 5 )} E) {( 0, 1 ), ( 0, ), (, 1 ), (, )} 5. = { x x, bir asal rakamdır. } B = { x x, 5 lik sayma sisteminde bir rakamdır. } C = { x x, bir rakamdır. } olduğuna göre, ( C ) x ( B ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10. s ( x B ) = 8 ve s_ i = 7 s_ Bi olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) C) 4 D) 6 E) 8 6. s ( M x N ) = 15 s ( M x L ) = 5 olduğuna göre, s ( N x L ) en az kaçtır? ) 6 B) 10 C) 15 D) 0 E) C. D. 4. B 5. D 6. C 54

55 Kartezyen Çarpım - III = { a, b, c, d }, B = { a, c, d, e, f, g } ve C = { b, d, f, g } olduğuna göre, ( x B ) ( C x B ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 10 B) 1 C) 15 D) 0 E) 4 x = x = x ( B x C ) = ( x B ) x C = x B x C ( Birleşme Özelliği ) x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) ( Dağılma Özelliği ) ( B ) x C = ( x C ) ( B x C ) ( Dağılma Özelliği ) x ( B C ) = ( x B ) ( x C ) ( Dağılma Özelliği ) ( B ) x C = ( x C ) ( B x C ) ( Dağılma Özelliği ) ( x B ) ( C x B ) = ( C ) x B dir. C = { b, d } ve B = { a, c, d, e, f, g } s (( C ) x B ) = s ( C ). s ( B ) =. 6 = 1 bulunur. Cevap B TEST = { 1,, }, B = { a, b } ve C = { b, c } olduğuna göre, ( x B ) ( x C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 4., B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s ( ) = 4, s ( B ) = ve s ( C ) = 6 olduğuna göre, ( B x ) ( B x C ) kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? ) 18 B) 4 C) 5 D) 0 E) 6 ) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1. = { a, b, c } ve B C = { x : x asal rakam } olduğuna göre, ( x B ) ( x C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) 18 C) 4 D) 0 E) 6. = { a, b } B = { x x, x Z } ve C = { x x < 10, x N } kümeleri veriliyor. Buna göre, ( x B ) ( x C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) = { 1,,, 4 }, B = {, 4 } ve C = { 4, 5, 6 } olduğuna göre, B x ( C ) kümesi aşağıdakilerden ) {(, 4 )} B) {( 4, 4 )} C) {(, 4 ), (4, 4 )} D) {(, ), (, 4 )} E) {( 4, ), ( 4, 4 )} 6., B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. Buna göre, aşağıda verilen ifadelerden kaç tanesi daima doğrudur? I. x B = B x II. s ( x B ) = s ( B x ) III. ( x B ) ( C x ) = x ( B C ) IV. B ( x ) ( B x B ) V. s ( x B x C ) = s ( ). s ( B ). s ( C ) ) 1 B) C) D) 4 E) 5 1. B.. D C 6. C 55

56 Kartezyen Çarpım Grafiği - I = { x : 1 x < 4, x N } B = { x : < x <, x R } olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden ) C) y 0 1 y B) x 1 x 0 y D) y x x 0 E) y 4 Kartezyen çarpımının grafiği çizilirken birinci bileşenin elemanları yatay eksene, ikinci bileşenlerin elemanları düşey eksene yerleştirilir. = { x : 1 x < 4, x N } = { 1,, } B = { x : < x <, x R } = (, ) kümesinin tek nokta kümesi, B kümesinin aralık olduğuna dikkat edilmelidir. B kümesinin elemanları sonsuz çoklukta ise grafik düşey eksene paralel doğrulardan oluşur. Buna göre, x B nin grafiği aşağıdaki gibidir. y x B 0 1 x 0 1 x Cevap C TEST = { 1,, } ve B = {, } olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden. = ( 1, 4 ] ve B = { 1,, } olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden ) C) y B) 0 1 x y D) x E) y y y x x ) C) y B) x y D) x E) y y y x x x x 1.. B 56

57 Kartezyen Çarpım Grafiği - II = { x 1 x <, x R }, B = (, 4 ] olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden ) C) 1 0 y B) 5 4 y D) 4 x 0 1 y y 4 4 x = { x 1 x <, x R } = [ 1, ) ve B = (, 4 ] kümeleri için x B = {( x, y ) 1 x < ve < y 4, x, y R } dir. y 4 x 1 0 x B nin grafiği yukarıdaki gibidir. 1 0 x 1 1 x E) y x Cevap E TEST = [, ) ve B = ( 1, 4 ]. B olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden 5 ) 4 y B) y C) x 1 4 y D) 1 4 y 4 x Yukarıdaki şekilde x B nin grafiği verilmiştir. Buna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) ( 1, ) B) (1, ] C) [, 5 ) D) ( 1, 5 ) { } E) ( 1, ] { 5 } x x 1 1 E) 4 y x 1 1. D. E 57

58 Kartezyen Çarpım Grafiği - III = [, 5 ) B = [, 6 ] F 6 olduğuna göre, x B kümesinin sınırladığı birimkaredir? B) π C) 5 π D) 8 π xb bölgeyi kapsayan en küçük dairenin alanı kaç ) π E 5 y 0 E) 10 π D 5 C x x B kümesinin sınırladığı bölge CDEF dikdörtgensel bölgesidir. Bu bölgeyi çevreleyen en küçük dairenin çapı [ CE ] doğru parçasıdır. CE = CD + DE CE = + 4 CE = 0 CE = 5 r= 5 Dairenin alanı = π r = π. ^ 5 h = 5 π bulunur. Cevap C TEST = { x 1 x 4, x R }. = [ 1, 1 ] B = { x 1 x 5, x R } B = { 1,, } olduğuna göre, x B kümesinin sınırladığı böl- genin alanı kaç birimkaredir? B) 18 C) 0 D) 5 E) 0 ) π B) π C) 4 π D) 4 π E) 6 π sonuç yayınları ) 15 olduğuna göre, x B kümesini kapsayan en küçük çemberin çevresi kaç birimdir?. = {, 4, 5, 6 } 4. = { x N : x 6 } B = {, 1, 0, 1 } B = { x Z : x < 0 } olduğuna göre, B x kümesinin elemanlarını olduğuna göre, x B kümesini kapsayan en kapsayan en küçük çemberin çapı kaç birimdir? küçük dairenin alanı kaç birimkaredir? ) ) 1 π B) C) 4 D) E) 5 B) 16 π C) 0 π D) 4 π E) 5 π 1. C. D. B 4. E 58

59 Testler

60 Küme Kavramı, Sonlu, Sonsuz, Evrensel ve Boş Kümeler 1. şağıdakilerden hangisi bir küme belirtir? ) Bazı şehirler B) Sarışın bayanlar C) 4 ten büyük 5 doğal sayı D) M harfiyle başlayan aylar E) ile 6 arasında 4 ün katı olan iki doğal sayı 5. KRMN kelimesindeki harflerin kümesi aşağıdakilerden ) { K,, R,, M,, N } B) {, K, M, N, R } C) { K, R, M, N } D) { K,, R } E) { K, R,, N }. I. 0 dan küçük doğal sayılar. II. Zor dersler. III. Türkiye'deki şehirler. IV. En sevilen şarkılar. V. 01 de YGS ye girenler. Yukarıdakilerden hangileri bir küme belirtir? ) Yalnız I B) II ve IV C) III ve V D) I, III ve V E) Hepsi. kümesi " 4, 54 kümesindeki rakamlar" cümlesinin belirttiği kümedir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B) 4 C) kümesi sonsuz kümedir. D) 4 E) = { a, b, { a, b }, c, { d } } kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { a } B) s ( ) = 5 C) { a, b } D) { a, c } E) { d } 6. = { x : x asal bir rakam } kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden ) { 1,,, 5 } B) {,, 5, 7, 9 } C) {,, 5 } D) {,, 5, 7 } E) {1,, 5, 7 } 7. = { 10, 1, 14,..., 98 } kümesinin ortak özellik yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) { x : x, nin katı olan tam sayılar } B) { x : x, iki basamaklı çift doğal sayılar } C) { x : x, çift tam sayılar } D) { x : x, 8 den büyük çift tam sayılar } E) { x : x, nin katı olan doğal sayılar } sayısındaki rakamların oluşturduğu küme aşağıdakilerden hangisi ile gösterilemez? ) { 1,,, 4 } B) { x x < 5, x N + } C) { x 0 < x < 5, x N } D) { x 0 < x < 5, x Z } E) { x x 4, x N } 60

61 Test 9. Yandaki Venn şeması ile verilen kümesi aşağıdakilerden 5 7 ) { x x, tek rakam } B) { x x, asal sayı } C) { x x, asal bir rakam } D) { x x 7, x N } E) { x 0 < x < 7, x N } 10. şağıdakilerden hangisi sonlu bir kümedir? ) { x : 1 < x, x R } B) { x : 9 < x 5, x R + } C) { x : x, x N } D) { x : x < 0, x Z } E) { x : 1 < x 5, x Z } 11. şağıdakilerden hangisi sonlu bir küme belirtir? ) { x : x > 5, x N } B) { x : x 5, x R } C) { x : x 5, x N } D) { x : x < x, x R } E) { x : x <, x R } 1. = { x : x 7 den küçük asal bir rakam } kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden ) { 1,,, 5 } B) {,, 5, 7, 9 } C) {,, 5 } D) {,, 5, 7 } E) {1,, 5, 7 } 14. ve B kümelerinin evrensel kümesi E olmak üzere, = { a, b, c, d } B = { 1,,, a, b } olduğuna göre, E kümesi en az kaç elemanlıdır? ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) şağıdakilerden hangisi boş küme değildir? ) { Haftanın M ile başlayan günleri } B) { x : x, den küçük asal sayı } C) { x : x < 0, x N } D) { 5 metreden uzun insanlar } E) { x : x 5 = 0, x R } 1. şağıdakilerden hangisi sonsuz bir küme belirtir? ) nkara'nın ilçeleri. B) lfabedeki sessiz harfler. C) Sayı doğrusu üzerindeki noktalar. D) İki basamaklı doğal sayılar. E) Süper Lig'de oynayan takımlar. 16. = { x : x 7 < x, x N } şeklinde tanımlanıyor. Buna göre, kümesinin liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden ) { 1, } B) { 0, 1, } C) { 1,, } D) { 0, 1,, } E) { 0, 1,,, 4 } 1. D. D. C 4. D 5. B 6. D 7. B 8. E 9. C 10. E 11. C 1. C 1. C 14. B 15. E 16. D 61

62 lt Küme 1. = { 1,, { 1, },, { 5 }} kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) { 1 } B) {1, } C) { 1, } D) {1, { 5 }} E) { 5 } 4. = { a, b, c, d } kümesi veriliyor. Buna göre, kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) 4 elemanlı 1 tane alt kümesi vardır. B) elemanlı 6 tane alt kümesi vardır. C) 1 elemanlı alt kümesi sayısı elemanlı alt küme sayısına eşittir. D) elemanlı alt küme sayısı elemanlı alt küme sayısından fazladır. E) 0 elemanlı alt küme sayısı 1 elemanlı alt küme sayısından eksiktir.. B C D 5. lt küme sayısı ile eleman sayısının çarpımı 64 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? Yukarıdaki şemaya göre, B, C ve D kümeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? ) C D B) D B C) B D) D E) B C ) 1 B) C) D) 4 E) 6 6. Bir kümenin eleman sayısı artırıldığında alt küme sayısı 48 artıyor. Buna göre, bu kümenin eleman sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. = { x x asal bir rakam }, B = { x x tek rakam }, C = { x x 100, x N } ve D = { x 10 < x 10, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B B) B C C) C D D) B D E) C 7. kümesinin alt kümelerinden ikisi { a, b, c } ve { b, c, d } dir. Buna göre, kümesinin en az kaç alt kümesi vardır? ) 16 B) C) 64 D) 18 E) 56 6

63 Test 1 8. = {x : x < 1, x N + } kümesinin elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 140 B) 150 C) 155 D) 160 E) Bir kümenin eleman sayısı 1 arttırıldığında alt küme sayısı artmaktadır. Buna göre, bu kümenin en çok elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ) 0 B) C) 6 D) 9 E) 9. 7 elemanlı bir kümenin en çok 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 18 B) 17 C) 10 D) 118 E) = { 1,,, 4, 5, 6, 7 } kümesinin elemanlı alt kümelerinden kaç tanesi tek sayılardan oluşur? 10. = { a, b, c, d, e, f, g } kümesinin en az elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? ) 99 B) 105 C) 111 D) 116 E) elemanlı bir kümenin en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı ile en çok elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamı kaçtır? ) 4 B) 1 C) 0 D) 7 E) = { 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi sadece çift sayılardan oluşmamaktadır? ) 16 B) C) 48 D) 56 E) 57 ) 8 B) 40 C) 4 D) 44 E) elemanlı alt kümelerinin sayısı, 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 4 B) 8 C) D) 6 E) Eleman sayısı 1 arttırıldığında elemanlı alt küme sayısı 6 artan bir kümenin, elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ) B) 6 C) 10 D) 15 E) 1 1. E. C. 4. D 5. D 6. B E 9. B 10. E 11. D 1. B 1. C E 16. B 6

64 lt Küme 1. = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve elemanı bulunur? ) 8 B) 16 C) 0 D) E) = { x : < x 6, x N + } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde veya 4 elemanları bulunur? ) 4 B) C) 0 D) 16 E) 14. = { a, e, ı, i, o, ö } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde o veya e bulunur? ) 64 B) 5 C) 48 D) E) = { x : x bir rakam } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanı bulunur, 5 elemanı bulunmaz? ) 70 B) 65 C) 56 D) 8 E) 15. = { a, b, c, 1,, } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur, bulunmaz? ) 16 B) 0 C) 4 D) 8 E) 4. = { 1,,, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 7 bulunmaz? 8. = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve bulunur, 0 bulunmaz? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 ) 7 B) 78 C) 84 D) 90 E) = { x : x = k, k N, x < 11 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 10 bulunmaz? ) 5 B) 7 C) 9 D) 11 E) 1 9. = { x, y, z, a, b, c, 1,, } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde x veya y bulunur, a bulunmaz? ) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 64

65 Test 10. s ( ) = 9 ve s ( B ) = olduğuna göre, B K ve K, B K koşullarını sağlayan kaç farklı K kümesi yazılabilir? ) 16 B) 64 C) 6 D) 48 E) K, B K ve K B dir. s ( ). s ( B ) = 11 olduğuna göre, kaç farklı K kümesi yazılabilir? ) 6 B) 16 C) 54 D) 510 E) = { x : x tek rakam } kümesi veriliyor. = B olduğuna göre, B kümesinin elemanlarının çarpımı kaçtır? ) 950 B) 945 C) 90 D) 915 E) = { x : x çift rakam } ve B = { x : 1 x < 9, x N } kümeleri veriliyor. Buna göre, M B olacak şekilde kaç farklı M kümesi yazılabilir? ) B) 4 C) 8 D) 16 E) 15. a, b ve c birbirinden farklı sayılardır. = {, a, b } ve B = { 5, 10, c } kümeleri veriliyor. = B olduğuna göre, a + b c ifadesinin değeri kaçtır? ) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 1. s ( ) = 4, s ( B ) = 1 ve s ( K ) = 7 olduğuna göre, K B şartlarını sağlayan kaç farklı K kümesi vardır? ) 10 B) 15 C) 1 D) 5 E) a, b, c, d ve e birbirinden farklı sayılardır. = { a, b, c, d, e } ve B = { x : x 4, x Z } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a + b + c + d + e toplamı kaçtır? ) B) 1 C) 0 D) 1 E) 1. D. C. 4. E E C 9. D 10. C 11. D 1. E 1. E 14. B C 65

66 Kümelerde Kesişim ve Birleşim İşlemleri 1. = { x : x tek rakam } ve B = { x : < x < 6, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. = { x : x > 4, x R } ve B = { x : 1 < x, x R } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) B) [, 4 ) C) { 0, 1,,, 4 } D) ( 1, 4 ] E) R. = [, ) ve B = ( 1, 4 ] olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { 1, 0, 1 } B) {, 1, 0, 1,, } C) [, 4 ] D) [, ) E) (, 4 ] 6. = (, ) ve B = (, ) olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) (, ) B) [, ] C) { 0 } D) { 1, 0, 1, } E). = { x : 4 < x < 8, x R }, B = { x : x > 6, x R } ve C = { x : 0 < x < 5, x R } olduğuna göre, B C kümesi aşağıdakilerden 7. = { a, b, c, d, e } B = { a, b, x, y } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesi aşağıdakilerden ) { a, b } B) { x, y } C) { c, d, e } D) E) { a, b, c, d, e, x, y } ) R + B) R C) R D) Z + E) Z 4. = { x : 0 x 5, x Z } ve B = { x : < x, x R } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 0 B) C) D) 4 E) 5 8. = { 1,,, 4, 5, 6 } ve B = { x : x çift rakam } olmak üzere, B kümesi aşağıdakilerden ) B) {, 4, 6 } C) {, 4, 6, 8 } D) { 0,, 4, 6, 8 } E) { 0, 1,,, 4, 5, 6, 8 } 66

67 Test 9. = { 1,,, 4, 5 }, B = { 4, 6 } ve C = { 5, 6, 7, 8, 9 } kümeleri veriliyor. Buna göre, ( B ) ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) { 5 } B) { 4, 6 } C) { 4, 5, 6 } D) { 1,,, 4, 5, 6 } E) { 4, 5, 6, 7, 8 } 1. ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ( ) ( B ) = B) ( ) ( B ) = B C) ( B ) ( ) = B D) ( B ) ( ) = E) ( ) ( ) = 14. B = { { a }, b, c, { a, c } } ve 10. ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? C = { a, b, { a, c } } olduğuna göre, ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) ( ) ( B B ) = B) B = B C) ( ) ( ) = D) = { } E) ( B ) C = ( B C ) 11. = { x : < x 7, x Z } ve B = { x : 5 x < 9, x R } olmak üzere, B aşağıdakilerden ) [ 5, 7 ] B) ( 5, 7 ) C) [ 7, 9 ) D) { 6 } E) { 5, 6, 7 } ) { a, b, { a, c }} B) {{ a, c }, b } C) { a, b, c, { a }} D) { a, b, c, { a }, { a, c }} E) {{ a }, { a, c }, b } 15. B = { 0, 1,,, 4, 5, 6 } ve C = { x : x < 7, x asal sayı } kümeleri veriliyor. Buna göre, ( C ) ( B C ) kümesi aşağıdakilerden ) { 1,,, 5 } B) {,, 5, 7 } C) {, } D) { 1,,, 5, 7 } E) {,, 5 } 1. ve B boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) ( ) ( B ) = B) ( ) = C) ( B ) ( B ) = B D) ( ) ( B ) = B E) ( B ) = 16. B Yandaki şemaya a b göre, ( C ) B d c kümesi aşağıdakilerden e f g h i C ) { a, b, c } B) { b, c, g } C) { e, f, g, h } D) { b, c, g, h } E) { a, b, c, d } 1. C. C. 4. D E 9. C 10. D 11. E 1. D 1. B 14. D 15. E 16. D 67

68 Kümelerin Birleşiminin ve Kesişiminin Eleman Sayıları 1. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. B ve s ( B ) = 1 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) s ( ) = 15, s ( B ) = 18, s ( C ) = 0 s ( B ) = 5, s ( C ) = 6, s ( B C ) = 7 olduğuna göre, s ( ( B C )) en az kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) s ( ) = 4,. B ve C ayrık kümelerdir. B. s ( B ) =. s ( C ) olduğuna göre, ( B C ) kümesinin eleman sayısı kaç olabilir? s ( B ) = s ( C ) = 6, s ( B ) = s ( B C ) = s ( C ) = ve s (( B ) C ) = 11 olduğuna göre, s (( B ) C ) kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 ) 18 B) 19 C) 0 D) 1 E) 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( ) =.s ( B ) = s ( B ) olduğuna göre, s ( B ) aşağıdakilerden hangisi olabilir? 7. Bir öğretim yılı sonunda bir sınıftaki öğrencilerden ü matematik dersinden, 18 i kimyadersinden geçmiştir. 11 kişi sadece bir dersten kaldığına göre, her iki dersten de geçen kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 15 E) 18 ) B) 4 C) 5 D) 8 E) 9 4. kümesinin alt küme sayısı 8, B kümesinin elemanlı alt küme sayısı 1 olduğuna göre, s ( B ) en çok kaçtır? ) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 1 8. İngilizce ve lmanca dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu 4 kişilik bir toplulukta İngilizce bilenlerin sayısı, lmanca bilenlerin sayısının katından 4 eksiktir. Bu toplulukta her iki dili de bilen 10 kişi olduğuna göre, sadece lmanca bilen kaç kişi vardır? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 68

69 Test 9. İngilizce, lmanca ve Fransızca dillerini bilenlerin oluşturduğu bir toplulukta, İngilizce bilen 4 kişi, lmanca bilen 0 kişi, Fransızca bilen 8 kişi, İngilizce ve lmanca bilen 7 kişi, İngilizce ve Fransızca bilen 9 kişi, lmanca ve Fransızca bilen 11 kişi vardır. Bu üç dili de bilen 4 kişi olduğuna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır? 1. = { x : x < 10, x = k, k N } ve B = { x : x = k, k Z + } olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 6 B) 7 C) 11 D) 14 E) 19 ) 61 B) 6 C) 65 D) 67 E) Fizik, kimya ve biyoloji derslerinden en az birini sevenlerin bulunduğu bir sınıfta fizik dersini seven kişi, kimya dersinin seven 0 kişi ve biyoloji dersini seven 5 kişi, fizik ve kimya derslerini seven 10 kişi, fizik ve biyoloji derslerini seven 8 kişi, kimya ve biyoloji derslerini seven 5 kişi vardır. Sınıf mevcudu 48 olduğuna göre, bu üç dersi de seven kaç kişi vardır? ) 1 B) C) D) 4 E) İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi ve 7 ile tam bölünmez? 14. = { x 46 x < 96, x Z } kümesinin elemanlarından kaç tanesi veya 8 ile tam bölünmez? ) 8 B) C) 5 D) 40 E) = { a, b, c, d } ve B = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } kümeleri veriliyor. Buna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir? ) 8 B) 16 C) D) 64 E) 18 ) 8 B) 8 C) 84 D) 85 E) = { x 15 < x < 100, x = k, k Z } ve B = { x < x < 145, x = 4k, k Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 51 B) 5 C) 5 D) 54 E) ve B birbirinden farklı kümeler olmak üzere, B, B, s ( ) = 1 ve s ( B ) = 17 dir. Buna göre, B kümesinin eleman sayısı en fazla x ve en az y olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? ) 8 B) 16 C) D) 46 E) B. C. E 4. D 5. B D 8. C 9. E 10. C 11. E 1. B 1. E 14. E 15. B 16. D 69

70 Tümleyen 1. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesidir. = { x : x, x Z + } E = { x : x bir sayma sayısı } olduğuna göre, kümesinin tümleyeni aşağıdakilerden ) { 1, } B) { 1,, } C) { 0, 1, } D) {, } E) { 0, 1,, } 5. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) B' = B) ( ' )' = C) ( B ) ( B )' = E D) ( B )' ( E B ) = E E) ( ' B' ) ( ' )' = '. E B Yandaki şekilde verilenlere göre, B' kümesi aşağıdakilerden 6. ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Buna göre, [( B )' B ]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) { 1, } B) {, 4, 5 } C) { 1,,, 4, 5 } D) {, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } E) { 1,, 6, 7, 8, 9 }. kümesi, E evrensel kümesinin bir alt kümesi olmak üzere, [( ' ) ( ' E )]' kümesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) C) B' D) E E) ' B 7., B ve C, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Buna göre, [( B' ) ( B C )'] E' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) E B) C) C' D) B' E) B ) B) C) ' D) E E) Hiçbiri 4. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesi ve B dır. Buna göre, [( B' )' ] [( ' B )' B ]' ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) B) C) B' D) B' E) E 8., B ve C, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. Buna göre, [( B' ) ( ' B' )]' kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) ' C) B D) B' E) E 70

71 Test 9., B ve C, E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s ( ) = s ( B ) = 6, s ( B ) = s ( C ) = s ( B C ) =, s (( B ) C ) = 1 ve s ( E ) = 14 olduğuna göre, C kümesinin tümleyeninin eleman sayısı kaçtır? 1. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ) = 10, s ( B ) = ve s ( B' ) = 11 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 ) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 10., B ve C, E evrensel kümesinin farklı alt kümeleridir. s ( ) + s ( B' ) = 1 s ( B ) + s ( C' ) = 1 s ( C ) + s ( ' ) = 0 olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? 14. ve B, E evrensel kümesinin ayrık iki alt kümesidir. s ( ) = 5, s ( B ) = 1 ve s ( E ) = 5 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( B ) =, s ( B ) = 11, s ( B' ) = 5 ve s ( E ) = 6 olduğuna göre, s ( ' ) kaçtır? 15. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi ve B dir. s ( ) = 7, s ( E ) = 1 olduğuna göre, s ( ' B' ) kaçtır? ) B) 5 C) 7 D) 11 E) 14 ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) ve B, E evrensel kümesinin ayrık olmayan iki alt kümesidir. s ( B ) =, s ( ) =. s ( B ), s ( ' ) = 1 ve s (( B )') = 10 olduğuna göre, E evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 1 B) C) 5 D) 7 E) ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. s ( ' ) = 1, s ( B' ) = 8 s ( ' B' ) = 4 ve s ( E ) = olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) E. B C B 8. C 9. B 10. C 11. E 1. B D 15. E 16. E 71

72 İki Kümenin Farkı 1. = { x : 1 < x 5, x Z }, B = { x : x tek rakam } ve C = { x : x < 4, x N } olduğuna göre, s ( B ) + s ( C B ) toplamının değeri kaçtır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B ( B )) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) ' B C) E D) B' E) B'. = { a, b, { a, b }, c, { d }} B = { a, b, d } olduğuna göre, B kümesinin elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ) 1 B) C) D) 4 E) 5 6. ve B, E evrensel kümesinin farklı iki alt kümesidir. [( )' ( B' E )] B ifadesinin eşiti aşağıdakilerden ) ' B) B' C) B' D) ' B E) ' B. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, ( B )' ( \ B ) kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 7. ve B boş kümeden farklı iki kümedir.. s ( \ B ) = 4. s ( B \ ) = s ( B ) olduğuna göre, s ( B ) en az kaçtır? ) B) ' C) D) B' E) E ) 1 B) 5 C) 10 D) 15 E) 0 4. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. Buna göre, [ ( B )'] [ ( B' )] kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) C) B D) B E) ' 8. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( E ) = 8, s ( \ B ) =. s ( B \ ) ve s ( ' B' ) = s ( B ) = olduğuna göre, s ( B' ) kaçtır? ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) 16 7

73 Test 9. B Yandaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir? 1. E a b c d B Yandaki şekilde a, b, c ve d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstermektedir. C ) ( B C ) B) ( B ) C C) ( C ) ( B C ) D) ( C ) B E) ( B C ) Buna göre, ( B )' B kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden ) a + b B) b + d C) a + c D) a + d E) c + d 10. B C Yukarıdaki şemada verilen taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir? ) ( B C ) B) ( B ) ( C B ) C) ( B ) ( C ) D) ( C ) B E) ( B ) C 1. E Yandaki şekilde X X Y ve Y dillerini a b c bilenler ile bu iki dili de bilmeyenlerin d kümeleri verilmiştir. a, b, c ve d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını gösterdiğine göre, en fazla bir dil bilenlerin sayısı ile en az bir bir dil bilenlerin sayısı arasındaki fark aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) a c B) c b C) d b D) b a E) d a 11. E B Yukarıda verilen şemaya göre, B' kümesi aşağıdakilerden ) { 4, 5 } B) { 1,, } C) { 7, 8, 9 } D) { 4, 5, 6 } E) { 6, 7, 8, 9 } 14. M T M : Matematik dersinden 7 geçenlerin kümesi 5 T : Türkçe dersinden geçenlerin kümesi F : Fizik dersinden geçenlerin 7 kümesi F olmak üzere, yukarıdaki şekilde her bir sayı içinde bulunduğu bölgenin eleman sayısını göstermektedir. Buna göre, bu sınıfta matematik veya fizikten dersinden geçip, Türkçe dersinden kalan kaç kişi vardır? ) 18 B) 19 C) 0 D) 1 E) 1. B. C. C 4. C 5. B 6. B 7. B 8. E 9. B 10. D 11. C 1. D 1. C 14. B 7

74 Küme Problemleri 1. Bir uçaktaki lman yolcuların kümesi, Fransız yolcuların kümesi B dir. Bu uçakta lman ve Fransız dışında yolcu olmadığına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) ' B = { Uçaktaki Fransız yolcular } B) ' B' = { } C) B = { Uçaktaki yolcular } D) B = { Uçaktaki lman yolcular } E) B' = { Uçaktaki lman yolcular }. = { Fizik dersini sevenler } B = { Geometri dersini sevenler } olduğuna göre, ( B )' B kümesi aşağıdakilerden 5. 0 kişilik bir grupta İngilizce bilmeyenlerin sayısı 10, lmanca bilmeyenlerin sayısı 17 dir. İngilizce ve lmanca dillerinden en çok birini bilenlerin sayısı 4 olduğuna göre, her iki dili de bilmeyenlerin sayısı kaçtır? ) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 6. Herkesin futbol oynadığı 5 kişilik bir toplulukta basketbol oynayan herkes voleybol da oynamaktadır. En az iki oyun oynayan 17 kişi, en çok iki oyun oynayan 1 kişi olduğuna göre, yalnız iki oyun oynamayan kaç kişi vardır? ) 1 B) 15 C) 17 D) 19 E) 1 ) { Fizik dersini sevmeyenler } B) { Geometri dersini sevenler } C) { Geometri ve Fizik derslerini sevenler } D) { Geometri dersini sevip, Fizik dersini sevmeyenler } E) { Geometri veya Fizik derslerini sevenler }. Bir sporcu grubunda voleybol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısının katıdır. Grupta her ikisini de oynayanların sayısı 4 ve sadece voleybol ile sadece basketbol oynayanların sayısı 16 olduğuna göre, bu grupta voleybol oynayan kaç kişi vardır? ) 18 B) 0 C) 1 D) E) 7. = { Müzik dinleyenler } ve B = { Resim yapanlar } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? ) B = { Müzik dinleyip resim yapanlar } B) B = { Müzik dinleyip resim yapmayanlar } C) B = { Müzik dinleyen veya resim yapanlar } D) B' = { Resim yapmayanlar } E) ' ( B \ ) = { Sadece müzik dinleyenler } 8. = { Sınıftaki gözlüklü öğrenciler }, B = { Sınıftaki kız öğrenciler } ve C = { Sınıftaki uzun boylu öğrenciler } kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? 4. X ve Y gazetelerinden en az birinin okunduğu bir toplulukta X gazetesini okuyanların sayısı, Y gazetesini okuyanların sayısının katıdır. 4 kişinin bulunduğu bu toplulukta, 4 kişi her iki gazeteyi de okuduğuna göre, sadece Y gazetesini okuyan kişi vardır? ) 15 B) 1 C) 9 D) 6 E) ) B' = { Sınıftaki gözlüklü kız öğrenciler } B) B C = { Sınıftaki kısa boylu kız öğrenciler } C) ( B ) C' = { Sınıftaki gözlüksüz, uzun boylu kız öğrenciler } D) ' C = { Sınıftaki gözlüksüz erkek öğrenciler } E) ( B C ) = { Sınıftaki gözlüksüz, uzun boylu erkek öğrenciler } 74

75 Test 9. Bir sınıftaki öğrencilerin 4 si erkektir. Hem er- 7 keklerin hem de kızların 5 1 i ise gözlüklüdür. Gözlüklü kızların sayısı olduğuna göre, gözlüksüz kızların sayısı gözlüklü erkeklerin sayısından kaç fazladır? 1. Bir sınıftaki öğrencilerin % 0 si matematik dersinden, % 40 ı fizik dersinden başarılı ve % 10 u her iki dersten de başarılıdır. Sadece fizik dersinden başarılı olan 6 öğrenci olduğuna göre, sınıf mevcudu kaçtır? ) 10 B) 1 C) 15 D) 18 E) 0 ) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Herkesin İngilizce bildiği bir toplulukta lmanca bilenler Fransızca bilmemektedir. En az bir dil bilen, sadece bir dil bilen 4 kişi olduğuna göre, yalnız iki dil bilen kaç kişi vardır? ) 16 B) 18 C) 0 D) 4 E) Futbol veya voleybol oyunlarından en az birinin oynandığı bir salonda oyuncuların % 75 i futbol, % 5 i voleybol oynamaktadır. Salonda yalnız voleybol oynayan 0 kişi olduğuna göre, futbol oynayan kaç kişi vardır? ) 6 B) 40 C) 48 D) 60 E) kişinin bulunduğu bir okuma salonunda, erkeklerin sayısı bayanların sayısından 10 fazla ve gözlüksüz erkeklerin sayısı, gözlüklü bayanların sayısının katıdır. Salondaki gözlüksüz erkek sayısı 0 olduğuna göre, gözlüksüz bayan sayısı kaçtır? 15. Daha önce, B ve C kentlerinden en az birine gidenlerin bulunduğu bir toplulukta yalnız bir kente giden 14 kişi, en fazla iki kente giden kişi, bu üç kente de giden 4 kişi olduğuna göre, en az iki kente giden kaç kişi vardır? ) 10 B) 1 C) 14 D) 16 E) 18 ) 1 B) 1 C) 11 D) 10 E) 9 1. Sadece kahverengi ve siyah gözlü insanların bulunduğu 100 kişilik bir kafilede kahverengi gözlü bayanların sayısı, siyah gözlü erkeklerin sayısının katıdır. Bayanların sayısı erkeklerin sayısından 10 eksik ve siyah gözlü bayanlar 15 kişi olduğuna göre, kahverengi gözlü kaç kişi vardır? ) 80 B) 75 C) 55 D) 45 E) yabancı dilden en az birini bilenlerin oluşturduğu 40 kişilik bir toplulukta, bir yabancı dil bilen 1 kişi, yabancı dili de bilen kişi bulunduğuna göre, en az iki yabancı dil bilen kaç kişi vardır? ) B) 5 C) 7 D) 9 E) 1 1. D. B. 4. E E 7. E 8. B 9. C 10. B 11. B 1. B 1. E 14. D C 75

76 Sıralı İkili ve Kartezyen Çarpım 1. ( x + y, x y ) = ( 6, ) olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) 1 5. = { x x < 7, x N + } ve B = { x x bir asal rakam } olduğuna göre, s ( x B ) kaçtır? ) 1 B) 15 C) 4 D) 5 E) 0. ( x y, x + ) = ( x + y, 7 ) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? ) 0 B) 1 C) D) E) 4 6. = { a, b, c } ve B C = { x x bir tek rakam } olduğuna göre, s ( ( x B ) ( x C ) ) kaçtır? ) 6 B) 9 C) 10 D) 1 E) 15. ( x + 1, ( x + 1 ) ) = ( 4, y 1 ) olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? ) B) C) 4 D) 5 E) 6 7. = { 1,, } ve B C = { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } olduğuna göre, ( x B ) ( x C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 18 B) 17 C) 16 D) 15 E) = { 1, } ve B = { a, b, c } kümeleri veriliyor. Buna göre, x B kümesinin liste yöntemi ile gösterimi aşağıdakilerden ) {( 1, a ), ( 1, b ), ( 1, c )} B) {( a, 1 ), ( a, ), ( b, 1 ), ( b, )} C) {( 1, a ), (, b )} D) {( 1, a ), ( 1, b ), ( 1, c ), (, a ), (, b ), (, c )} E) {( a, 1 ), ( a, ), ( a, ), ( b, 1 ), ( b, ), ( b, )} 8. = { 1,, }, B = { x 1 < x 5, x Z } ve C = { x x < 7, x N } kümeleri veriliyor. Buna göre, ( x B ) ( x C ) kümesinin eleman sayısı kaçtır? ) 9 B) 1 C) 15 D) 18 E) 1 76

77 Test 9. = { x : x 4, x N } ve B = { x : x 4, x R } olduğuna göre, x B nin grafiği aşağıdakilerden 11. = { x 1 x, x R } ve B = { x x, x R } olduğuna göre, x B nin kapladığı bölgenin alanı kaç birimkaredir? ) y B) 4 4 y ) 15 B) 16 C) 0 D) 4 E) x 0 4 x C) y D) 4 y 0 4 x x E) y 1 0 x 1. = { 1,,, 4, 5 } ve B = { 1,,, 4 } olduğuna göre, x B nin elemanlarını kapsayan en küçük çemberin çevresi kaç birimdir? ) π B) π C) 4 π D) 5 π E) 6 π 10. y 0 x Yandaki şekil B x nın grafiği olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden 1 ) [, 1 ) B) ( 1, ) C) ( 1, ) D) [, ) E) [, ) 1. B. E. E 4. D 5. C 6. E B 9. B 10. D 11. B 1. D 77

78 Kumeler 1. = {a, { b }, c, d, { a, c }} kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi bu kümenin hem elemanı hem alt kümesidir? ) { a } B) { b } C) { c, b } D) { c, d } E) { a, c } 5. ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s ( ) + s ( B' ) = a + 45 s ( ' ) + s ( B ) = 11 a olduğuna göre, s ( E ) kaçtır? ) 6 B) 8 C) 0 D) E) 6 6. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. ( B )' = ve. = { 145 sayısındaki rakamlar } ve B = { a, b, c, 1 } kümeleri veriliyor. B ve B olduğuna göre, a. b. c çarpımının değeri kaçtır? ) 60 B) 45 C) 0 D) 15 E) s ( B' ) =. s ( B ' ) =. s ( B ) olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğru olabilir? I. s ( E ) = 1 dir. II. s ( ) + s ( B ) toplamı asal sayıdır. III. s ( B ) nin tane pozitif tam sayı böleni vardır.. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s ( B ) ; s ( B' ) ile s ( ' B ) nin aritmetik ortalamasıdır. s ( B ) = 4 olduğuna göre, s ( B ) kaçtır? ) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III 7. = {,, 1, 0, 1,, } kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde elemanlar çarpımı negatif değildir? ) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 ) 0 B) C) D) 4 E) 5 4. B =, B C = olmak üzere, s ( ) = 5, s ( B ) = 1, s ( C ) = 6 ve s ( C ) = olduğuna göre, s ( ( B C )) değeri kaçtır? ) 18 B) 1 C) D) 5 E) 8. = { a, b, c, d, e, f } ve B = { a, b, c } kümeleri veriliyor. Buna göre, kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinde B kümesinin en az elemanı bulunur? ) B) 4 C) 6 D) 7 E) 8 78

79 Karma Test 9. ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. = { x x = k, x < 9, k Z + } B = { x x = 6n, x < 85, n Z + } olduğuna göre, s ( ( ' B' )) değeri kaçtır? 1. = {,, 7, a, 10, b, c, 1 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde bir harf ve bir rakam bulunur? ) 9 B) 1 C) 1 D) 8 E) 6 ) 1 B) 1 C) 14 D) 15 E) = { 1,,, 4, 5 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinde bulunan sayıların toplamı kaçtır? ) 1 B) 4 C) 6 D) 48 E) = { 5 ten küçük doğal sayılar } B = { x x çift rakam } kümeleri veriliyor. Buna göre, B ' kümesi aşağıdakilerden ) B) { 4, 6 } C) { 4, 8 } D) { 6, 8 } E) { 4, 6, 8 } 11. = [ 1, 7 ) (, 6 ] kümesinin tam sayı olan elemanlarının toplamı kaçtır? ) 1 B) 15 C) 16 D) 17 E) 15. ve B, aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. 1. Buna göre, :_, Bi, _ ' + B' id ı kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) B) ' C) B D) E) E B Yandaki taralı bölge aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilebilir? C ) ( C ) B B) ( \ B ) ( B C ) C) ( B )' D) ( B' ) B E) ( \ B ) C 16. Üç basamaklı, 9 ile bölünemeyen kaç tane çift doğal sayı vardır? ) 40 B) 400 C) 90 D) 60 E) 0 79

80 Kumeler Karma Test 17. ve B, aynı evrensel kümenin ayrık iki alt kümesidir. Evrensel kümenin elemanlarından % 70 i kümesinin elemanı değil ve % 60 ı ise B kümesinin elemanı değildir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? I. s ( B ) değeri s ( E ) nin % 60 ı dır. II. s ( B ), s ( E ) nin % 40 ı dır. III. s ( B ' ), s ( E ) nin % 40 ı dır. IV. s (( B )'), s ( E ) nin % 0 u dur. ) 0 B) 1 C) D) E) Efe, 4 veya 6 ile tam bölünen tane sayıyı kartlara yazarak bir torbaya atıyor. Yazdığı sayılardan 4 ü 4 ile, 16 sı ise 6 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, bu sayılardan kaç tanesi 4 ya da 6 ile tam bölünebilir? ) 0 B) C) 4 D) 5 E) 6 0. Bir sınava katılan 45 öğrenciden 8 i anne veya babasından en az biriyle gelmiştir. Bu öğrencilerden 6 sı hem annesiyle hem babasıyla ve 18 i annesi olmadan gelmiştir. Buna göre, sınava sadece annesiyle gelen kaç öğrenci vardır? ) 18 B) 1 C) 4 D) 8 E) E T F M Yandaki Venn şemasında E : Bir sınıftaki tüm öğrenciler T : Türkçe dersinden, M : Matematik dersinden, F : Fizik dersinden 1. 5 seçmeli dersin verildiği 54 kişilik bir okulda, en az seçmeli ders alan 48 kişi, en çok seçmeli ders alan 400 kişi olduğuna göre, sadece seçmeli ders alan kaç kişi vardır? ) 5 B) 100 C) 116 D) 14 E) 18 başarılı olan öğrencilerin dağılımı verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? ) Yalnız Türkçe dersinden başarılı olanlar 8 kişidir. B) Yalnız bir dersten başarılı olanlar 17 kişidir. C) Yalnız bir dersten başarısız olanlar 1 kişidir. D) İki dersten başarılı olanlar 15 kişidir. E) En az iki dersten başarılı olanlar 15 kişidir.. = { x 4 x 4, x Z } B = { x x, x Z } kümeleri veriliyor. Buna göre, x B kümesinin tüm elemanlarını kapsayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir? ) 5 B) 5 C) 5 D) 10 E) E.. D 4. B 5. B 6. D 7. E 8. C 9. E 10. E 11. B 1. B 1. E 14. D 15. D 16. B 17. C 18. D 19. E 0. B 1. D. C 80