Matematiksel İktisat-I Ders-1 Giriş 1
Matematiksel İktisat: Matematiksel iktisat ekonomik analizlerde kullanılan bir yöntemdir. Bu analizde iktisatçılar iktisat ile ilgili bir bilimsel soruya cevap ararlarken matematiksel teoremleri kullanmakta ve bu analizler sonucunda çıkarmalar yapmaktadırlar. Bu dersin amacı matematiksel metotların iktisatta nasıl kullanıldıkları konusunda genel bir bilgi verilmesidir. 2
1. İktisatta Modelleme ve Matematiksel İktisada Giriş: a. Model Nedir? İktisadi modeller iktisat ve işletme disiplinlerinde ortaya atılan teorilerin temel taşlarıdır. İnsan ve işletme davranışlarına odaklanan bu dallarda bu davranışların açıklanmasında bilim adamları matematiksel modelleri uzun süredir kullanmaktadırlar. İktisatta model, belli bir değişkenler kümesi ve bunlar arasındaki mantıksal ve nicel ilişkiler kümesi aracılığıyla ekonomik sürecin işleyişini temsil eden teorik bir çatıdır. Genel olarak modeller, karmaşık süreçleri aydınlatmak üzere tasarlanmış basitleştirilmiş çatılardır 1. 1 Utku Utkulunun ders notlarından. 3
Modellere Neden İhtiyaç Duyarız? 1. Ekonomik ilişkiler ağı çok karmaşıktır, basitleştirmek, soyutlamak. İnsan ve işletmelere ait davranışlar açıklanırken bu bilim dallarında ortaya konulan modellerin önemli bir özelliği ceterus paribus diğer şeyler sabitken varsayımıdır. 2. İktisat politikalarının gerekçelerini, sonuçlarını değerlendirmek 3. Politika önermesi yapmak 4. Planlama yapmak 5. Öngörüde bulunmak 4
Örneğin Talep ve arz konuları hakkında mikro-iktisat derslerinizi hatırlayın. Bir mal ya da hizmete için talep ve arz pek çok değişkene bağlı olarak değişmektedir. Oysaki talep ve arz modelinde bir mal ya da hizmete ait talep ve arzın bu malın fiyatına bağlı olduğu belirtilmiştir. Diğer bir anlatımla talep ve arz modelinde fiyat dışında bir mal ya da hizmetin talep ve arz edilen miktarına etki etmesi muhtemel pek çok değişkenin değişmediği ya da sabit kaldığı varsayılmıştır. 5
ii. Değişken (içsel-dışsal: endogenous-exogenous) : KAR= f(.); ÜRETİM=f(.) iii. Sayılar: a) Tam sayılar..-5, -1, 0, 1, 2,,,,, b) Rasyonel: -4/5, 25/45 c) İrrasyonel Sayılar: iki sayının rasyonel oranı olarak ifade edilemeyen, hiç yenilenmeyen ve hiç sonlanmayan sayılar: 2 1,4142..., 3,1415... d) Reel Sayılar =Tümüne (a+b+c ) reel sayılar diyoruz. 6
2. Küme Kavramı (Set Theory) Küme: Alternatif şekilde düzenlenmesi mümkün olan elemanları sistematik olarak göstermeye yarayan matematiksel bir araçtır. Küme Gösterimi: 1-Numaralandırma Yöntemi: S 2,3,4 2- Tasvir Yöntemi: S x 2 x 4 İkiden büyük ve eşit ve 4 ten küçük ve eşit reel sayılar. 7
3. Kümeler Arası İlişkiler a) Eşitlik: Küme S1 küme S2 ye eşittir: Her iki kümenin elemanları özdeşseler S1=S2 deriz. b) Altküme A kümesi B kümesinin alt kümesidir: eğer A da bulunan tüme elemanlar aynı zamanda B nin de elemanı ise. Küme elamanlığı için epsilon işareti kullanılır. A 1,2,3 VE B 1,2,3,4,5,6 A daki tüm elemanlar B nin de elamanı. Bu yüzden A kümesi B nin alt kümesidir: ya da; B kümesi A kümesini kapsar. A B 8
4. Küme İşlemleri a) Kümelerin Birleşimi: A ve B gibi iki kümenin birleşimi: A ve B kümesinde bulunan elemanların birleştirilmesi ve ortak elemanların tek bir kez kullanılması ile yeni bir kümenin oluşturulmasıdır. A 2,4,6,8 ve B 1,2,3,4,5,6 A B 1,2,3,4,5,6,8 b) Kümelerin Kesişimi: A ve B gibi iki kümenin kesişimi: hem A ve hem de B de (her ikisinde) bulunan elemanlardan oluşan yeni bir kümenin oluşturulmasıdır. A B 2,4,6 9
5. İlişki (Bağıntı) ve Fonksiyon A) İlişki: S=(a,b) gibi bir küme için eğer a ve b terimlerinin küme içerisinde yazılış sırası önemli ise bu yazılıma sıralı ikili diyoruz. Eğer bu küme 2 den daha fazla elemandan oluşuyorsa sıralı üçlü diyoruz. Bir küme için küme elemanlarının sıralanış düzeni önemli ise bu şekilde ifade edilen kümelere biz ilişki diyoruz. A 2,4,6 ve B 2,6,4 ise A ve B kümesel anlamda birbirine eşittir: A=B. Ancak ilişki açısından A ve B kümeleri farklıdır. S(a,b) ise: Sıralı ikililerin bileşenlerinden a birinci bileşen ve b ikinci bileşen olarak adlandırılır. 10
Sıralı İkililerin Eşitliği : Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır. Yani (x, y ) = (a, b ) ise x = a ve y = b ÖRNEK : ( x + 3, y 1 ) = ( 6, 4 ) ise x ve y sayıları kaçtır? Çözüm : Sıralı ikililerin eşitliği için birinci ve ikinci bileşenler birbirine eşit olmalıdır. (x + 3, y 1 ) = ( 6, 4 ) Yani x +3 = 6 y 1 = 4 x = 6 3 y = 4 + 1 x = 3 ve y = 5 bulunur. 11
KARTEZYEN ÇARPIMI X ve Y herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni X de, ikinci bileşeni Y den alınarak oluşturulabilecek tüm sıralı ikililerin kümesine, X ile Y nin kartezyen çarpımı denir ve X Y biçiminde gösterilir. Buna göre; X ve a 1,a 2 Y b 1,b 2 ise : X Y a, b, a, b, a, b, a b 1 1 1 2 2 1 2, 2 Şeklinde gösterilir. 12
ÖRNEK : Aynı futbol takımında oynayan ALEX, SEMİH ve GUİZA, 7, 10 ve 11 numaralı formaları giyebilirler. Bu oyuncuların seçebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazalım. ÇÖZÜM : A kümesi A = { Alex, Semih, Guiza } B kümesi B = { 7, 10, 11 } A X B = { (Alex, 7 ), (Alex, 10), (Alex, 11 ), (Semih,7 ), (Semih,10 ), (Semih,11 ), (Guiza, 7 ), (Guiza, 10 ), (Guiza, 11 ) } ÖRNEK : A = {1,2 }, B = {3,a} olduğuna göre A x B ve BxA kümelerini yazınız. ÇÖZÜM : AxB = {(1,3), (1,a), (2,3), (2,a) } BxA = {(3,1), (3,2 ), (a,1), (a, 2)} AxB BxA 13
ÖRNEK : A = { -1, 1, 2 }, B = { 0, 1 } olduğuna göre A x B kümesini analitik düzlemde gösteriniz. ÇÖZÜM : A X B = { (-1, 0 ), (-1, 1), (1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 2, 0 ), (2, 1 )} y 1-1 O 1 2 x 14
FONKSİYON TANIM : f X kümesinden Y kümesine bir bağıntı olsun. f bağıntısında X in istisnasız her elemanı Y nin en fazla ve en az bir elemanı ile eşleşiyorsa f bağıntısına fonksiyon denir ve y=f(x) şeklinde gösterilir. X kümesine tanım kümesi, Y kümesine görüntü kümesi denir. Tanım kümesinin elemanlarına orijinaller (x i ), Görüntü kümesinin elemanlarına görüntüler (y j ) denir. 15
A Y=f(x) Bir Fonksiyondur: her X değerine karşılık TEK BİR Y DEĞERİ!!! B Bir Fonksiyon DEĞİLDİR! Öyleyse; bir fonksiyon her x değerinin yalnızca bir tek y değeri belirlediği bir sıralanmış ilişkiler kümesidir. Her fonksiyonun bir ilişki olması gerektiği açıktır, ancak her ilişki bir fonksiyon olmayabilir. 16
Fonksiyon gönderme ya da dönüştürme olarak da adlandırılabilir. Matematiksel bir cümle olan:y=f(x) ifadesinde: f: fonksiyon notasyonunu gösteriyor ise; fonksiyon kısaca x kümesinden y kümesine gönderme kuralı olarak da yorumlanabilir: Y=f(x) ya da ifadelerinde x e fonksiyonun argumanı y'ye ise fonksiyonun değeri denilmektedir. Bazı anlatımlarda x e fonksiyonun bağımsız değişkeni y'ye ise fonksiyonun bağımlı değişkeni de denir. 17
ÖRNEK : Aşağıdaki bağıntılardan hangileri X= { 1, 2, 3 } kümesinden Y = { a, b, c, d } ye fonksiyondur? 1. Y1 = {(1, b), (2, a) } 2. Y2 = {(3,b), (1,c), (2,b) } 3. Y3 = {(1,a), (2,a), (3,a) } 4. Y4 = {(1,a), (2,b), (1,c), (3,c) } 18
ÇÖZÜM : X= { 1, 2, 3 } ve Y = { a, b, c, d }? 1. Y1 = {(1, b), (2, a) } Y1 fonksiyon değildir: X kümesindeki 3' orjinalinin Y içinde bir görüntüsü yoktur. 2. Y2 = { (3, b), (1,c), (2,b) } Y2 fonksiyondur: A kümesindeki her orjinalin B içinde bir görüntüsü vardır. 3. Y3 = {(1,a), (2,a), (3,a) } Y3 fonksiyondur: X kümesindeki her orjinalin Y içinde bir görüntüsü vardır. Görüntüler eşit olabilir. 4. Y4 = {(1,a), (2,b), (1,c), (3,c) } Y4 fonksiyon değildir: X kümesindeki her orijinalin Y içinde yalnız bir tane görüntüsü olacak. Burada 1 orijinali iki tane farklı görüntüye sahiptir. 19
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1) SABiT FONKSiYON : f : X Y fonksiyonunda bütün orijinaller aynı görüntüye sahip ise f ye sabit fonksiyon denir ve x є X için f (x) = b şeklinde gösterilir. 20
ÖRNEK : X = { 2,5,7, } olmak üzere f : X Y VE f (x) = 6 fonksiyonu sabit fonksiyondur. Çünkü f(2) = f(5) = f (7) = 6 dır. 21
ÖRNEK : Her işçisine aynı ücreti veren bir patronun işçileri ile aldıkları ücretleri eşleştiren fonksiyon sabit fonksiyondur. Y=ÜCRET 500 X1 X2 X3 X: İŞÇİ 22
2) Çok Terimli Fonksiyon i. Sabit fonksiyon: y=a 0 ii. Doğrusal fonksiyon : y=a 0 +a 1 x iii. Karesel fonksiyon: y=a 0 +a 1 x+ a 2 x 2 iv. Küpsel Fonksiyon: y=a 0 +a 1 x+ a 2 x 2 + a 3 x 3 23
3) Rasyonel Fonksiyonlar Y nin x ile olan ilişkisi bir rasyo ekseninde tanımlanmış olabilir: 4) Cebirsel Olmayan Fonksiyonlar i. Logaritmik Fonksiyonlar ii. Üstsel Fonksiyonlar: iii. Trigonometric Fonksiyonlar 24
Üstlerle İlgili Basit Kurallar 1. 2. 3. 4. 5. 25