Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlam ı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler.,,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi, tolama bir matematik terimi ve kütle bir fizik terimidir. : Bir yıl 265 gün 6 saattir. r : 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır. Bir terimin anlamını belirlemeye terimi tan ım lam ak denir. Örneğin Üç kenarının uzunluğu eşit üçgene eşkenar üçgen denir ifadesi bir tanımdır. Bir terimi tanımlamak için o bilim dalı içerisinde daha önce tan ım lanm ış terim ve k avramlardan yararl anılır. Bazı terimlerin tanımı yoktur. Örneğin nokta,doğru,küme gibi terimler tanımsızdır ; bu gibi terimler sezgisel alınır. Mantık akıl yürütme yöntemlerini inceleyen bilim dalıdır. Mantığa matematiksel yaıyı kazandıran George Boole 1848 yılında "Mantığın Matematik Analizi" adlı bir çalışmayı ya yınlamıştır.iki değerli Aristoteles mantığını matematiksel temellere oturtan simgesel mantığı yaratm ıştı. (Boole mantığı, Boole cebiri, matematiksel mantık, simgesel mantık ) Önerme: Kesin olarak doğru ya da yanlış hük üm içeren if adelere önerm e denir. Örnek...1 : Aşağıdaki ifadelerin önerme olu olmad ık ların ı belirtiniz. i) Alfabemizde 50 harf vardır ii) Bir gün 18 saattir iii) Bir üçgenin iç açıları tolamı 180 o dir iv) Ders çalış alım v) Ali çalışk an bir çocuktur. Doğruluk Değeri : Bir önermenin doğru ya da yanlış oluşuna, o önermenin doğruluk değeri denir. Herhangi bir öneme için yanlış veya doğru olmak üzere iki durum söz konusudur. Uluslar arası birliğin sağlanması açısından doğru yerine 1 simgesi ya nlış ye rine 0 sim gesi kullan ılır. Buradak i 1 ve 0 sim gelerinin sa yısal bir değeri yoktur. Örnek...2 : Herhangi bir P önermesinin doğruluk değerini tablo ile gösteriniz. P önermesinin doğruluk değeri 1 ve 0 olabileceğinden tablo ile gösterirsek (özetlersek) Örnek...3 : Herhangi ve önermelerinin doğruluk değerini tablo ile gösteriniz. P 0 1 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 1/1010
Örnek...4 : Herhangi üç, ve r önermelerinin doğruluk değerini tablo ile gösterini z. Örnek...6 : : 2 asal bir sayıdır. : 2=3 r : Kar beyazdır. s: Antalya Akdeniz bölgesindedir. önermelerinin olumsuzunu (değilllerini) ya zınız Denk Önermeler : Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önerme denir. Eğer ve gibi iki önerme birbirine denk ise bunu biçiminde belirtiriz. Örnek...7 : P P ı Örnek...5 : : Van Türkiye nin başkentidir. : İstanbul un laka numarası 34' tür. r : Zonguldak Karadeni z Bölgesindedir. t : Almanya Avrua kıtasındadır. s: 3>7 v : 5 asal bir sayı değildir. önermelerinden denk olanları belirtiniz Bir Önermenin Olumsuzu/Değili : Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak yaılan yeni önermeye, o önerm enin olumsu zu denir. Bir önermesinin olumsuzu ı (veya ~) ile gösterilir. Verilen bir önermenin olumsuzunu bulmak için önermenin sonuna değil sözcü ğü getiriri z. Bileşik Önerme : İki ya da daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleşmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir. Bağlaç Adı veya ve ya da ise ancak ve ancak Bağlacı Temsil Eden Sembol : Ali siyah saçlıdır. r: 3+4=7 önermeleri için bağlaçları kullanarak bileşik önerm eler ya ın ız. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2/10
1. Veya Bağlacı : ile önermelerinden en az biri doğru ise veya bağlacı ile kurulan veya bileşik önermesi doğru, ile nun her ikisi de yanlış ise veya bileşik önermesi yanlıştır. veya bileşik önermesi genellikle ile belirtilir. Tanıma göre nun tablosu : 1 1 1 0 0 1 0 0 biçimindedir. Örnek...8 : : 3<7 : 10 asal bir sayıdır. r: 2=3 s: üzüm bir meyvadır.önermeleri için veya ile bileşik önermeler yaınız. Bu bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunu z. Tanıma göre nun tablosu: 1 1 1 0 0 1 0 0 biçimindedir Örnek...9 : : 3>7 : 5 tek bir sayıdır. r: 2 3 s: Salı gününden sonra Pazar günü gelir. önermeleri için ve ile bileşik önermeler yaınız. Bu bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunuz. ve işleminin özellikleri, ve r birer önerme olsun 1. Tek kuvvet özelliği : önermesi için ve 2.Değişme özelliği : ve 3.Birleşme özelliği : ( r) ( ) r ve ( r) ( ) r 2. Ve Bağlacı : ile önermelerinin her ikisi de doğru ise ve bağlacı ile kurulan ve bileşik önermesi doğru, ile nun en az biri yanlış ise ve bileşik önermesi yanlıştır. 4.Dağılma özelliği : ( r) ( ) ( r), ( r) ( ) (r ) ve ( r) ( ) ( r), ( r) ( ) (r ) 5.De Morgan Kuralları: ( ) ı ı ı ve ( ) ı ı ı ve bileşik önermesi genellikle ile belirtilir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 3/10
Örnek...10 : De Morgan kurallarının varlığını doğruluk tabloları yardımıyla gösterelim. Örnek...13 : Doğruluk tablosu yamadan aşağıdaki önerm elerin doğrula yın ız. 1. [ ı ( )] ı ı ( ) ı ı ı 2. [ ( ı ı )] ( ) ı ı ( ) ı ı ı Örnek...11 : 0, 1, r ı 1 ise [ ı önermesinin en sade hali nedir? r] ( ı ) ı Örnek...14 : {( ) ( ı ) } ı önermesinin en sade hali nedir? Örnek...12 : 0, ı r 1 veriliyor hangileri doğru olabilir? i) ii) r iii) ı r ı Örnek...15 : {( ) ( ı ) } önermesinin en sade hali nedir? Önermeler cebri : Bir denklik doğruluk tablosu ya ılm adan bağlaçların ö zellik leri kullanılarak ta gösterilebilir. Bu işlem lerin tümüne önerm eler cebri denir Kümelerle yaılan işlemler ve sembolik mantıkta kullanılan sembol, gösterim ve bunlarla ifade edilen işlemler arasında aşağıdakine benzer ilişkilendirmeler ya ılabilir. Sembolik mantık 0 1 ı Kümeler E ı = 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 4/10
Örnek...16 : Mantık işlemlerine karşılık gelen küme ilişkilendirm elerini ya zın ız Sem bolik m ant ık Küm eler A A'=E ' 1 ' 0 ( r) ( ) ( r) ( )' ' ' Örnek...17 : A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, (A B)'=A ' B' eşitliğini sembolik mantık k urallar ından yar arlanarak gösterini z MANTIK KURALLARININ ELEKTRİK DEVRELERİNE UYARLANMASI Bu bölümde öğrendiğimiz mantık kurallarını elektrik devrelerine uygulayacağız. Bunun için anahtarı üzerinden akım geçmesi durumunda (veya )biçiminde çizi 1 sembolü ile; üzerinden akım geçmemesi durumunda ise ( veya ) biçiminde çizi 0 sem bolü ile göstereceği z. Seri Bağlama : İki ya da daha fazla anahtarın bir devreye art arda bağlanması ile oluşan devreye seri bağlı elektrik devresi denir. Şekli inceleyiniz. Anahtar Anahtar 3. ya da Bağlacı : ile önermeleri denk önermelerken ya da bağlacı ile kurulan ya da bileşik önermesi yanlış, aksi taktirde ya da bileşik önermesi doğrudur. ve bileşik önermesi genellikle ile belirtilir. Tanıma göre nun tablosu : 1 1 1 0 0 1 0 0 biçimindedir. 1) (1 0) 1? Şimdi ve anahtarının durumuna göre devreden akımın geçi geçmeyeceğini bir tablo ile özetleyelim. Lamba Geçer Geçer Yanar Geçer Geçmez Yanmaz Geçmez Geçer Yanmaz Geçmez Geçmez Yanmaz Dikkat edilirse akım geçer yerine 1 ;akım geçmez yerine 0 sembolünü kullanırsak tablo tablosunun aynısı olur. 2) (0 0) 1? 3) ( ') ( )? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 5/10
Paralel Bağlama : Bir elektrik devresinin alttaki şekildek i bağlanm as ına aralel bağlı elektrik devresi denir. Bu elektrik devresinde lambanın yanması için en az bir anahtardan elektrik geçmesi gerektiği açıktır. Şekli incele yi niz. b) r s Anahtar Anahtar Şimdi P ve Q anahtarının durumuna göre devreden akımın geçi geçmeyeceğini bir tablo ile özetleyelim. c) a s z r P Q Lamba Geçer Geçer yanar Geçer Geçmez yanar Geçmez Geçer yanar Geçmez Geçmez yanmaz Seri bağlamaya benzer bir mantıkla düşündüğümüzde tablonun nun tablosuyla aynı olduğunu görürüz. Örnek...19 : Aşağıdaki önermelere karşılık gelen şekilleri çi ziniz ve devreden ak ım geçi geçm e yeceğini belirleyiniz ( s 1, r t 0) Örnek...18 : Aşağıdaki şekillere karşılık gelen önermeleri yazınız ve devreden akım geçi geçmeyeceğini belirleyiniz. a) ( ) r a) r b) ( ') r c) ( ' ) {(r s') t'} 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 6/10
4. İse bağlacı : doğru bir önerme yanlış bir önerme iken ise bağlacı ile yaılan ise bileşik önermesi yanlış diğer durumlarda doğrudur. Örnek...21 : : 2 tek çift asal sayıdır : asal sa yıların iki tane ozitif böleni vard ır önermeleri için önermesi gerektirme midir? ise önermesi genellikle ile belirtilir. Tanıma göre ise bileşik önermesinin tablosu önermesi verilsin. Bu önerme için : 1 1 1 0 0 1 0 0 1. önermesine önermesinin karşıtı 2. ı ı önermesine önermesinin tersi 3. ı ı önermesine önermesinin karşıt tersi denir Koşullu öneme : ise bağlacı ile oluşturulan bileşik önermesine koşullu önerme denir. önermesinde ye hiotez (varsayım), ya ise hüküm (yargı) denir. Örnek...20 : : 2=3 : Pazar bir hafta sonu günüdür önermeleri için ve önermelerini yazınız. Örnek...22 : Hava sıcak ise i rasyonel bir sayıdır. önermesinin i) karşıtı ii) tersi iii) karşıt tersini yazınız Örnek...23 : ( ) ı ı olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz. ' ' ' ' önermesi doğru ise önermesine gerektirme denir ve gerek tirir şeklinde ok unur. ye gerek tirmenin ye ter koşulu ( şartı), ya ise gerek tirmenin gerek koşulu denir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 7/10
Örnek...24 : ( ) ı olduğunu doğruluk tablosu ile gösterini z Örnek...27 : önermesinin doğruluk tablosunu yaınız. Örnek...25 : ( ) bileşik önermesinin en sade hali nedir? Örnek...28 : ( ) ( ) olduğunu tablo ya arak gösterini z. ( ) ( ) Örnek...26 : ( ı ) ( ) bileşik önermesinin en sade hali nedir? Örnek...29 : ({ } ) ) 1 olduğunu a) doğruluk tablosu yaarak b) önerm eler cebiri k ullanarak gösteriniz. 5. Ancak ve ancak Bağlacı : ve iki önerme olsun. ancak ve ancak bağlacı ile kurulan ancak ve ancak önermesi ise doğru aksi taktirde yanlıştır. ancak ve ancak önermesi genellikle ile belirtilir. önermesine ancak ve ancak bağlacı ile yaılan iki yönlü koşullu önerm e denir. önermesi doğruysa bu önermeye çift gerektirme de denir. 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 8/10
Örnek...30 : Hangileri k esinlikle doğrudur? i) 1 ii) ı 0 iii) 1 0 iv) ı 0 v)0 1 vi) ( ) vii) ( ) Totoloji : Bir bileşik önerme kendisini oluşturan önermelerin her biri için daima doğru oluyorsa bu bileşik önermeye totoloji denir Çelişki : Bir bileşik önerme kendisini oluşturan önermelerin her biri için daima yanlış oluyorsa bu önermeye çelişki denir. Örnek...31 : Bir önermesi için ı önermesinin totoloji ı önermesinin çelişki olduğunu gösteriniz. Örnek...32 : ( ı ) önermesi bir totoloji midir? Örnek...33 : (' ) (' ) önermesi bir totoloji midir? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 9/10
DEĞERLENDİRME 1) 4 önerme için bir tablo hazırlandığında bu tabloda en çok ve en az satır sayısı kaç olur? 6) 1, 0,r 1,s 1 ve k 0 olduğuna göre {( ) k') r} (' s) bileşik önermesine karşılık gelen devreyi çizi bu devreden akım geçi geçmeyeceğini belirleyiniz? 2) n farklı önerme için 512 değişik durum mevcutsa, n kaçtır? 7) ( ') ( )? 3) {(0 1) (1 0)'}' 4) 0 1 1 0 ise ( ') ( ) önermesi neye denktir? 8) 2 3 3 2 ise kar beyazdır önermesinin karşıtı, tersi ve karşıt tersi nedir? 5) Yandaki r k s y devreye karşılık gelen bileşik önermeyi yazı devreden akım geçi geçm e yeceğini belirle yini z. 9) ( ) ( ) ifadesi bir totoloji midir? Önermeler cebri kullanarak gösterini z 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 10/10