A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: Faks:

Transkript

1 I

2 Bu set 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanılamaz; teksir, fotokoi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, NİTELİK YAYINCILIK a aittir. A.Adnan Saygun Caddesi 10/1 Sıhhiye/ANKARA Tel: Faks: nitelikyayincilik@gmail.com II

3 "Eğitimdir ki, bir milleti ya özgür, bağımsız, şanlı, yüksek bir toluluk halinde yaşatır; ya da esaret ve sefalete terk eder." M. Kemal Atatürk III

4 EDİTÖR Sevgili Öğrenciler, Tüm insanlar için mutlu olmanın ortak aydası, sağlıklı ve başarılı olmaktır. Başarı, hedeflenen amaca ulaşmaktır. Bu yüzden hayatımızın her aşamasında, gerçekçi hedefler belirlemeli ve bu hedeflere ulaşmak için mücadele etmeliyiz. Öğrenme, zihinsel becerilerin geliştirildiği bir süreçtir. Temelinizin sağlam olması öğrenmenin her aşamasında daha çabuk ve daha iyi öğrenmenizi sağlar. Bu yüzden üşenmeden, ertelemeden içinde bulunduğunuz zamanı değerlendirmeniz çok önemlidir. Sevgili öğrenciler, üniversite sınavına hazırlık, bir maraton koşucusu gibi belli bir temoda düzenli ve verimli çalışmayı gerektirir. Öğretmenler ve kitalar sizlere yol gösterir. Gösterilen yolda öğretilenleri inceleme, düşünerek sorgulama, ilişki kurma ve uygulama yani kendi kendine öğrenme, en verimli çalışma yöntemidir. İyi bir üniversitede, istediğiniz bölümde okuyacağınızı düşünün. Bu düşünce ile kendinizi çalışmaya motive edin. Kendinize güvenin, ancak gereğini yaarak öz güveninizi geliştireceğinizi unutmayın. Üniversite sınavı, bir öğrencinin hayatındaki dönüm noktalarından biridir. Bu sınavda kazanacağınız üniversite ve bölüm, sizin mesleğinizi ve sonraki yaşamınızın kalitesini belirleyecektir. Yayınlanan ürünlerin, sizin geleceğiniz açısından ne kadar önemli olduğunun bilincindeyiz. Bu sorumluluk duygusuyla, güçlü yazar kadromuzun hazırladığı öğretme odaklı, sistemli, nitelikli ürünlerle sizlere layık olmaya çalışmaktayız. Nitelik Yayıncılık'ın sizlere sunduğu bu kita serisi, MEB Talim ve Terbiye Kurulunun yayınladığı yönergedeki sıraya ve kazanımlara uygun olarak hazırlanmıştır. Bu kitalar, hem siz öğrencilerin okul başarılarınızı yükseltecek hem de üniversite sınavı için sağlam bir temel oluşturmanızı sağlayacaktır. Bu kitaların hazırlanmasında, bize her konuda destek olan Nitelik Yayıncılık'ın Genel Müdürü Sayın İlhan Budak'a teşekkür ederiz. Sizlerin başarısına katkı sunmanın mutluluğu ile tüm öğrencilere başarılar dileriz. Ekrem PALA 2015 Ankara IV

5 ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler ve Değerli Meslektaşlarımız; Bu kita Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nca 2013 yılında kabul edilen 9, 10, 11 ve 12. Sınıf Matematik Dersi Öğretim Programına göre titizlikle hazırlanmıştır. Dolayısıyla okullarınızda okutulan İleri Düzey 11. Sınıf Matematik Dersi kazanımlarına tam uyumludur. Sevgili Öğrenciler; Kitabımız örnekleriyle birlikte konu anlatımından sonra ilgili konuları tam kavramayı destekleyecek etkinlikler içermektedir. Daha sonra öğrenmeyi ekiştirmek ve kalıcı olmasını sağlamak amacıyla uygulama ve çoktan seçmeli sorulara yer verilmiştir. Sorular MEB ve YÖK ün hazırladığı sınavlara uygun olarak hazırlanmıştır. Konuları çalışırken tüm bölümleri tam olarak bitirmeniz konuyu tam olarak öğrenmenizi sağlayacaktır. Bu kitabı İleri Düzey 11. Sınıf Matematik Dersiyle ilgili konuları öğrenebileceğiniz temel kaynaklardan biri olarak görmenizi tavsiye ederiz. Çünkü kitabı hazırlarken amacımız, dersinizi sıkılmadan ve zevkle çalışmanızı sağlayarak, matematik dersinizin başarısını yükseltmek ve üniversiteye giriş sınavlarında yüksek başarı elde etmenizi sağlamaktır. Kitabın hazırlanması aşamasında bilgi ve tecrübelerini bizlerle aylaşan değerli meslektaşlarımız Türkan GÖRÜR YOLCU, Lütfi ÖZDEMİR, Mehmet DEMİR, Rafet ÖNAL ve İlker VURAL'a teşekkürü bir borç biliriz. Mutlu, sağlıklı ve başarılı olmanızı dileriz Sinan YILMAZ 2015 Ankara Abdullah Aydın ÜNLÜ V

6 İÇİNDEKİLER 1. ÜNİTE MANTIK 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler Açık Önermeler ve İsat Teknikleri ÜNİTE MODÜLER ARİTMETİK 2.1. Bölünebilme Modüler Aritmetikte İşlemler ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ 3.1. Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümü İkinci Dereceye Dönüşebilen Denklemler ve Denklem Sistemleri İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri ÜNİTE TRİGONOMETRİ 4.1. Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar Tolam ve Farkın Trigonometrik Değerleri Trigonometrik Denklemler ÜNİTE ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 5.1. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu Üstel ve Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler ÜNİTE DİZİLER 6.1. Gerçek Sayı Dizileri ÜNİTE DÖNÜŞÜMLER 7.1. Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler Temel dönüşümler ve Bunların Bileşkelerini İçerene Uygulamalar Etkinlik ve Uygulama Ceva Anahtarı VI

7 Ünite 1 MANTIK t çıkış 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler 1.2. Açık Önermeler ve İsat Teknikleri s q giriş r

8 1. ÜNİTE: MANTIK KAZANIM ve İÇERİK 1. ÜNİTE MANTIK 1.1. Önerme ve Bileşik Önermeler Açık Önermeler ve İsat Teknikleri

9 Önerme Tanım BÖLÜM 1.1. Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) İstanbul Türkiye'nin başkentidir. (Yanlış) (Doğru) Bir gerçek sayının karesi negatif olamaz. (Doğru) ifadeleri birer önermedir. Önermeler ve Bileşik Önermeler Örnek - 1 Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulu verilen boşluklara "/" ya da "_" sembollerinden uygun olanlarını yerleştirelim. : "En küçük tam sayı 0 dır." q : "En küçük asal sayı 3 tür." r : "Bir yıl 12 aydır." s : "Karesi 4 olan iki farklı tam sayı vardır." 1. ÜNİTE: MANTIK Ancak; Kaç yaşındasın? Üşüdüm. Zeki birine benziyorsun. Emre başarılı bir öğrencidir. ifadeleri önerme değildir. Çünkü bu ifadelerle ilgili kesin olarak doğru ya da yanlış bir değerlendirme yaılamaz.... q,... r, q... s, r... s Verilen önermelerden ve q yanlış, r ve s doğrudur. Dolayısıyla / q / 0 ve r / s / 1 olduğundan, / q, _ r, q _ s, r / s olur. Bir önerme soru cümlesi, yorum cümlesi ya da uyarı cümlesi olamaz! Önermeler genellikle, q, r, s, t,... gibi küçük harflerle ifade edilirler. Bir önerme doğru ise 1, yanlış ise 0 sembolüyle gösterilir. Bu sembollere önermenin doğruluk değeri denir. NİTELİK Yayıncılık Örnek - 2 a. : "Elif geçen sene matematik dersini geçti." önermesinin değilini, Doğru D veya 1 b. q : "6 asal sayıdır." önermesinin değilinin değilini bulalım. Tanım Yanlış Y 0 Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler adı verilir ve / sembolü ile gösterilir. / q ( ile q denk önermeler) _ q ( ile q denk olmayan önermeler) Tanım Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen yeni önermeye o önermenin değili (olumsuzu) denir ve bir önermesinin değili 9 veya sembollerinden biri ile ifade edilir. / 1 9 / 0 veya q / 0 q9 / 1 dir. a. nin değili 9 : "Elif geçen sene matematik dersinden kaldı." b. q nun değili q9 : "6 asal sayı değildir." q nun değilinin değili (q9 )9 : "6 asal sayıdır." Dikkat edilirse (q9 )9 / q denkliği daima sağlanır. 9

10 1. ÜNİTE: MANTIK Bileşik Önerme Birden çok önermenin veya, ve, ya da, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermelere bileşik önerme, bileşik önermeyi oluşturan önermelere de bileşik önermenin bileşenleri adı verilir. Tanım (VEYA Bağlacı) ve q iki önerme olsun. ve q dan en az biri doğru iken doğru (1), her ikisi de yanlış iken yanlış (0) olan önermeye veya q bileşik önermesi denir ve 0 q sembolüyle ifade edilir. q 0 q Tanım (YA DA Bağlacı) ve q iki önerme olsun. ve q dan yalnız biri doğru iken doğru (1), diğer durumlarda yanlış (0) olan önermeye ya da q bileşik önermesi denir ve Q q sembolüyle ifade edilir. q Q q Q q / 1 iken ile q farklı doğruluk değerine sahitir. Q q / 0 iken ve q aynı doğruluk değerine sahitir. Önermelerle doğruluk tabloları oluşturulurken, (1. önerme) (2. önerme) (n. önerme) 0 q / 0 iken / q / 0 dır. 0 q / 1 iken ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yaılamaz! NİTELİK Yayıncılık 2 farklı durum 2 farklı durum 2 farklı durum durumu ile karşılaşılacağından çarmanın temel rensibi gereği; 2 n farklı durum ile karşılaşılır. Örneğin 2 önerme için 2 2 = 4 ya da 3 önerme için 2 3 = 8 farklı durum elde edilir. Tanım (VE Bağlacı) ve q iki önerme olsun. ve q dan en az biri yanlış iken yanlış (0), her ikisi de doğru iken doğru (1) olan önermeye ve q bileşik önermesi denir ve / q sembolüyle ifade edilir. q / q / q / 1 iken / q / 1 dir. / q / 0 iken ve q nun doğruluk değerlerine ilişkin kesin bir yorum yaılamaz! Örnek - 3 : "Kediler 5 ayaklıdır." q : "n N + için 2n 1 > 0 dır." r : ( 10) ( 9) ( 8) = (10!) 2 önermelerine göre 0 q, q / r, Q r, 9 / q ve r9 0 9 bileşik önermelerinin doğruluk değerini bulalım. Öncelikle önermelerin doğruluk değerlerini bulalım. / 0, (yanlış) q / 1 (doğru) ve r / 0 (yanlış) (çarımıda 0 olduğu için) dır. Dolayısıyla 0 q / / 1, q / r / 1 / 0 / 0, Q r / 0 Q 0 / 0, 9/ q / 1 / 1 / 1 ve r9 0 9 / / 1 bulunur. 10

11 Örnek - 4, q ve r üç önerme olsun. / q, Q r ve q9 0 r bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini doğruluk tablosu yardımıyla bulalım. 3 önerme olduğundan 2 3 = 8 farklı durum q r q9 / q Q r q9 0 r Bileşik Önermelerin Özellikleri VEYA Bağlacının Özellikleri, q ve r birer önerme olsun. 0 / (Tek kuvvet özelliği) 0 q / q 0 (Değişme özelliği) ( 0 q) 0 r / 0 (q 0 r) (Birleşme özelliği) 0 1 / 1, 0 0 / 0 9 / 1 VE Bağlacının Özellikleri, q ve r birer önerme olsun. / / (Tek kuvvet özelliği) / q / q / (Değişme özelliği) ( / q) / r / / (q / r) (Birleşme özelliği) / 1 /, / 0 / 0 1. ÜNİTE: MANTIK Örnek - 5, q ve r üç önerme olsun. (9 Q q) 0 r / 0 olduğuna göre ( / q) Q r bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. (9 Q q) 0 r / 0 s denilirse s 0 r / 0 9 Q q / 0 aynı 0 (veya bağlacı) 9 ve q nun doğruluk değerleri aynı (ya da bağlacı) dır. O halde ve q önermelerinin doğruluk değerleri kesinlikle farklı olmak zorundadır. Yani / q / 0 olur. Dolayısıyla ( / q) Q r / 0 Q 0 / 0, aynı olur. / Q 0 NİTELİK Yayıncılık / 9 / 0 YA DA Bağlacının Özellikleri, q ve r birer önerme olsun. Q / 0 Q q / q Q (Değişme özelliği) ( Q q) Q r / Q (q Q r) (Birleşme özelliği) Q 1 / 9, Q 0 / Q 9 / 1 VE ile VEYA İşlemlerinin Birbiri Üzerine Dağılma Özellikleri, q ve r birer önerme olsun. / (q 0 r) / ( / q) 0 ( / r) ( 0 q) / r / ( / r) 0 (q / r) (/ nin 0 üzerine dağılma özelliği) 0 (q / r) = ( 0 q) / ( 0 r) ( / q) 0 r = ( 0 r) / (q 0 r) (0 nın / üzerine dağılma özelliği) 11

12 1. ÜNİTE: MANTIK Örnek - 6 ve q birer önerme olduğuna göre ( / q9 ) / q ifadesinin en sade doğruluk tablosu yaarak bulalım. q q9 / q9 ( / q9) / q Örnek - 10 ve q önermeleri için 0 ( / q) bileşik önermesinin en sade halini doğruluk tablosu yaarak bulalım. q / q 0 ( / q) Tablodan da görüldüğü gibi ( / q9) / q / 0 dır. / Tablodan da görüldüğü gibi 0 ( / q) / dır. Örnek - 7 Örnek - 11 bir önerme olmak üzere (1 / ) 0 9 ifadesinin en sade şeklini bulalım. (1 / ) 0 9 / 0 9 / 1 dir. Örnek - 8 ve q birer önerme olduğuna göre [( 0 1) / q] Q q9 NİTELİK Yayıncılık ve q birer önerme olduğuna göre [(9 0 q) / (q9 0 9 )]9 ifadesinin en sade şeklini bulalım. [(9 0 q) / (q9 0 9 )]9 / [(9 0 q) / (9 0 q9 )]9 (Değişme öz.) / [9 0 (q / q9 )]9 (Dağılma öz.) / [9 0 0]9 / (9 )9 / ifadesinin en sade şeklini bulalım. Örnek - 12 [( 0 1) / q] Q q9 ifadesinde 0 1 / 1 dir. O halde [( 0 1) / q] Q q9 / (1 / q) Q q9 / q Q q9 / 1 olur. Örnek - 9 ve q birer önerme olmak üzere / (9 0 q) ifadesinin en sade şeklini bulalım. / (9 0 q) / ( / 9 ) 0 ( / q) / 0 0 ( / q) / / q bulunur. (Dağılma öz.) ve q önermeleri için (9 0 q) / ( / q) ifadesinin en sade şeklini bulalım. Verilen ifadede / q önermesi (9 0 q) üzerine dağıtılırsa (9 0 q) / ( / q) / [9 / ( / q)] 0 [q / ( / q)] / [(9 / ) / q] 0 [(q / q) / ] (Birleşme öz.) (Birleşme öz.) / (0 / q) 0 (q / ) / 0 0 (q / ) / / q elde edilir. 12

13 De Morgan Kuralları ve q iki önerme olsun. Aşağıdaki doğruluk tablosundan q 9 q9 0 q ( 0 q)9 9 / q ( 0 q)9 / 9 / q9 denkliği sağlanır. / Benzer şekilde ( / q)9 / 9 0 q9 olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu denkliklere De Morgan Kuralı denir. ve q önermeleri için ( Q q)9 / 9 Q q / Q q9 olur. Örnek - 13 Aşağıda verilen bileşik önermelerin değillerini (olumsuzlarını) yazalım. a. 0 q b. 9 / q c. ( / q9) 0 r9 d. ( Q q9 ) / r De Morgan kuralları kullanılırsa a. ( 0 q)9 / 9 / q9 b. (9 / q)9 / (9 )9 0 q9 / 0 q9 c. (( / q9 ) 0 r9 )9 / ( / q9 )9 / (r9 )9 / (9 0 q) / r d. (( Q q9 ) / r)9 / ( Q q9 )9 0 r9 / (9 Q q9 ) 0 r9 (veya. / ( Q q9 )9 0 r9 / ( Q q) 0 r9 1. ÜNİTE: MANTIK VE / VEYA Bağlaçlarının Elektrik Devrelerinde Gösterimi ve / veya bağlaçları günlük hayatta karşımıza elektrik devrelerinde çıkmaktadır. Elektrik devrelerinde anahtar açık (0) iken akım gidecek yol bulamadığı için lamba yanmaz. Anahtar kaalı (1) iken gidecek yol bulur ve lamba yanar. Elektrik devrelerinde iki tür bağlanma vardır. Bunlar; I. Paralel Bağlama q NİTELİK Yayıncılık Örnek - 14 Aşağıda verilen elektrik devrelerine karşılık gelen bileşik önermeleri yazalım. a. q b. r Lambanın yanması için akımın den daha sonra da (ve) q veya r den geçmesi gerekmektedir. Yani bileşik önerme / (q 0 r) şeklinde olmalıdır. r Akım yönü q s Akımın yolu üzerindeki aralel bağlı olan ile q anahtarlarından en az biri kaalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum 0 q önermesi ile ifade edilir. II. Seri Bağlama q Akım yönü Akımın yolu üzerindeki seri bağlı olan ile q anahtarlarından her ikisi de kaalı iken devreden akım geçer ve lamba yanar. Bu durum / q önermesi ile ifade edilir. Lambanın yanması için akımın önce veya q dan daha sonra da (ve) r veya s den geçmesi gerekir. Yani bileşik önerme ( 0 q) / (r 0 s) şeklinde olmalıdır. c. r s q Lambanın yanması için akımın önce veya q dan, ardından (ve) r ve s den, daha sonra da (ve) t veya n den geçmesi gerekir. Dolayısıyla istenen bileşik önerme [( 0 q) / (r / s)] / (t 0 n) şeklinde olmalıdır. t n 13

14 1. ÜNİTE: MANTIK Örnek - 15 ( / q) 0 [(r / t) 0 s ] bileşik önermesine karşılık gelen elektrik devresini çizelim. Örnek - 16 q r t s + q r s Küme İşlemleri İle Sembolik Mantık Arasındaki İlişki Hatırlatma A, B ve C kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesi ve A9 de A nın tümleyen kümesi olsun. Bu durumda (i) A A9 = E (ii) A A9 = (iii) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (iv) A (B C) = (A B) C (Birleşme öz.) (v) A (B C) = (A U B) (A C) (Dağılma öz.) (vi) A (B C) = (A B) (A C) (Dağılma öz.) (vii) (A9)9 = A (Tümleyenin tümleyeni kendisidir.) (viii) (A B)9 = A9 B9 (ix) (A B)9 = A9 B9 eşitlikleri mevcut idi. (De Morgan Kuralı) + t u Yukarıdaki elektrik devresinde anahtarların açık ya da kaalı olma durumları verilmiştir. Buna göre bu elektrik devresindeki amulün yanı yanmayacağını belirleyelim. NİTELİK Yayıncılık Mantıkta kullanılan sembollerle kümelerde kullanılan semboller arasında aşağıdaki tabloda verildiği gibi doğrudan bir ilişki söz konusudur. Sembolik mantık / / Kümeler E = Boş küme Evrensel küme Verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme { / [(q / r) 0 s] 0 s]} 0 (t 0 u) şeklindedir., r ve u anahtarları kaalı olduğundan doğruluk değerleri 1; q, s ve t anahtarları açık olduğundan doğruluk değerleri 0 dır. / r / u / 1 ve q / s / t / 0 değerleri yukarıdaki bileşik önermede yerine yazılırsa {1 / [(0 / 1) 0 0]} 0 (0 0 1) / [1 / (0 0 0)] 0 1 / (1 / 0) 0 1 / / 1 bulunur. Dolayısıyla elektrik devresindeki amul yanar. Bu sembol benzerliği ile yukarıdaki Hatırlatma kutusunda verilen eşitliklerin benzerleri, sembolik mantıkta da sırasıyla aşağıdaki denkliklerdir., q ve r birer önerme olsun. (i) 0 9 / 1 (ii) / 9 / 0 (iii) 0 (q 0 r) / ( 0 q) 0 r (Birleşme öz.) (iv) / (q / r) / ( / q) / r (Birleşme öz.) (v) 0 (q / r) / ( 0 q) / ( 0 r) (Dağılma öz.) (vi) / (q 0 r) / ( / q) 0 ( / r) (Dağılma öz.) (vii) (9)9 / (Değilinin değili kendisidir.) (viii) ( 0 q)9 / 9 / q9 (De Morgan Kuralı) (ix) ( / q)9 / 9 0 q9 14

15 Örnek - 17 A ve B kümeleri için (A9 B) (A B)9 küme işleminin eşitini sembolik mantığı kullanarak bulalım. A ve B kümelerini sırasıyla ve q önermelerine ve işlemlerini de sırasıyla 0 ve / sembollerine dönüştürelim. Bu durumda (A9 B) (A B)9 (9 0 q) / ( / q)9 olacağından (9 0 q) / ( / q)9 / (9 0 q) / (9 0 q9 ) (De Morgan) / 9 0 (q / q9 ) (Dağılma öz.) / / 9 Örnek - 19 Aşağıda mantık kuralları ile ilgili verilen özelliklerin doğruluğunu kümelerle işlemleri kullanarak gösterelim. a. 0 9 / 1 b. / 0 / 0 a. A herhangi bir küme olsun. : "x A" önermesi tanımlanırsa 9 : "x A" veya 9 : "x A9 " olur. O halde 0 9 : "x A veya "x A9 " / "x A A9 " olur. A A9 / E olduğundan 0 9 : "x E" sağlanır. Bir eleman her zaman evrensel kümenin elemanı olduğundan x E önermesi her zaman doğrudur. Yani 0 9 / 1 olur. b. A herhangi bir küme olsun. : "x A" önermesi tanımlanırsa x önermesinin doğruluk değeri daima 0 olacağından / 0 : "x A ve x " / "x A " olur. 1. ÜNİTE: MANTIK bulunur. Yani verilen işlemin sonucu B9 (B nin tümleyeni) kümesi olur. Örnek - 18 A ve B iki küme olsun. NİTELİK Yayıncılık A = olduğundan / 0 : "x " olur ki bu da önermenin yanlış bir önerme olduğunu gösterir. Yani / 0 / 0 olur. Örnek - 20 A ve B boş kümeden farklı iki küme olsun. A (A B) = A olduğunu mantık kurallarını kullanarak gösterelim. A B (A fark B) = A B9 eşitliğini sembolik mantıkla açıklayalım. A B fark kümesi, A kümesinde olu B kümesinde olmayan elemanlardan oluşmaktadır. A B = {x : x A ve x B} A B = {x : x A ve x B9} (B de olmayan eleman B nin tümleyenindedir.) A B = {x : x A / x B9} kümesine dönüşür. O halde A B = A B9 eşitliği gösterilmiş olur. : "x A" ve q : "x B" önermelerini tanımlayalım. Buna göre 0 q : "x A B" ve / ( 0 q) : "x [A (A B)]" bileşik önermeleri ifade eder. / ( 0 q) bileşik önermesinin doğruluk tablosunu oluşturalım. q 0 q / ( 0 q) / Tablodan da görüldüğü gibi / ( 0 q) / olduğundan "x [A (A B)]" önermesi "x A" önermesine denk olur. Dolayısıyla A (A B)] = A dır. 15

16 1. ÜNİTE: MANTIK Koşullu Önerme Tanım (İSE Bağlacı) ve q herhangi iki önerme olmak üzere doğru, q yanlış iken yanlış (0), diğer durumlarda doğru (1) olan önermeye ise q önermesi veya koşullu önerme adı verilir ve q sembolüyle gösterilir. q q Örnek - 21 : "50 veya üzerinde uan aldım." q : "Sınıfı geçtim." önermeleri veriliyor. Buna göre q bileşik önermesini oluşturalım. q bileşik önermesi q önermesinin gerçekleşme durumunu önermesi koşuluna bağlamaktadır. O halde q : "Eğer 50 veya üzerinde uan alırsam sınıfı geçerim." şeklinde verilebilir Örnek - 22 q / 0 iken / 1 ve q / 0 olmak zorundadır. q / 1 iken ve q nun doğruluk değerleriyle ilgili kesin bir yorum yaılamaz. ile q önermeleri bir önerme işleminde q (İSE) şekliyle verilirse bu bileşik önerme, dengi olan 9 0 q bileşik önermesine çevrilmelidir. Bu denklik aşağıdaki doğruluk tablosunda gösterilmiştir. İnceleyiniz. Tablodan da görüldüğü gibi q / 9 0 q denkliği daima sağlanır. q q 0 q / NİTELİK Yayıncılık Onur : "Hava yağmurlu ise ıslanırım." koşullu önermesi için karşılaşılacak dört durum söz konusudur. Her bir durumu inceleyi Onur'un sözünün doğru olu olmadığını görelim. Öncelikle koşullu önermenin bileşinlerine ve q diyelim. : "Hava yağmurludur." q : "Islandım." olsun. I. Hava yağmurlu olsun ve Onur ıslansın. Yani / 1 ve q / 1 olsun. 1 1 / 1 (Doğru) II. Hava yağmurlu olsun ve Onur ıslanmasın. Yani / 1 ve q / 0 olsun. 1 0 / 0 (Yanlış) Böyle bir durumda önerme yanlış olur. III. Hava yağmurlu olmasın ve Onur ıslansın. Yani / 0 ve q / 1 olsun. 0 1 / 1 (Doğru) I V. Hava yağmurlu olmasın ve Onur ıslanmasın. Yani / 0 ve q / 0 olsun. 0 0 / 1 (Doğru) Görüldüğü gibi II konumu için Onur : "Hava yağmurluydu ve ıslanmadım." gibi bir söz söylemiş olsaydı bu yanlış bir söz olurdu. 16

17 Örnek - 23 ( q)9 0 ( / q) / olduğunun doğruluk tablosu yardımıyla gösterelim. q q ( q)9 / q ( q)9 0 ( / q) İSE Bağlacının özellikleri, q ve r birer önerme iken aşağıda verilen özellikler sağlanır. / 1 0 / 1 0 / 9 1 / 1 / 1 9 / 9 9 / Ayrıca nin 0 ve / üzerine dağılma özellikleri vardır. (q 0 r) / ( q) 0 ( r) (q / r) / ( q) / ( r) 1. ÜNİTE: MANTIK / İstenilen denkliğin sağladığı tablodan görülmektedir. Örnek - 26 (9 0) ifadesinin en sade şeklini bulalım. Örnek - 24 ve q önermeleri için q / 0 olduğuna göre Q q9 bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. q / (İSE bağlacı) olduğundan Q q9 / 1 Q 09 / 1 Q 1 / 0 (Yanlış) olur. NİTELİK Yayıncılık I. yol q / 9 0 q denkliği dikkate alınırsa ( ( 0) 0) / ( ( 0 0) 0) / / 9 0 / 1 bulunur. II. yol Bilgilendirme kısmındaki denklikler kullanılarak ( ( 0) 0) / / 1 bulunur. bulunur. Örnek - 25 Örnek - 27 ve q önermeleri için ( q)9 / q ifadesinin en sade şeklini bulalım. q / 9 0 q denkliği kullanılırsa ( q)9 / q / (9 0 q)9 / q / ( / q9 ) / q (De Morgan kuralı) / / (q9 / q) (Birleşme öz.) / / 0 / 0 olur., q ve r birer önerme olduğuna göre [ (q / r)] / ( / r9 ) önermesinin en sade şeklini bulalım. [ (q / r)] / ( / r9 ) / [( q) / ( r)] / ( / r9 ) (Dağılma öz.) / [( q) / ( r)] / (9 0 r)9 (De Morgan) / [( q) / ( r)] / ( r)9 / ( q) / [( r) / ( r)9] (Birleşme. 0 / ( q) / 0 / 0 17

18 1. ÜNİTE: MANTIK Koşullu Önermenin KARŞITI, TERSİ ve KARŞIT TERSİ Tanım ve q birer önerme olmak üzere q önermesinin karşıtı q önermesi, Örnek - 29 bir önerme olmak üzere (9 / q) koşullu önermesinin tersini bulalım. tersi 9 q9 önermesi ve karşıt tersi q9 9 önermesidir. (9 / q) koşullu önermesinin tersi: 9 (9 / q)9 9 ( 0 q9 ) (De Morgan) şeklinde yazılabilir. ve q önermeleri için q ile q9 9 bileşik önermeleri birbirine denktir. Bunu tablo ile gösterelim. İnceleyiniz. q q q q / Yani q / q9 9 denkliği mevcuttur. NİTELİK Yayıncılık Örnek - 30 ve q önermeleri için (9 / q) q9 koşullu önermesinin karşıt tersini bulalım. (9 / q) q9 önermesinin karşıt tersi: (q9 )9 (9 / q)9 / q ( 0 q9) / q (q ) biçiminde bulunur. Örnek - 28 Örnek - 31 : "Deniz dalgalıdır." ve q birer önerme olduğuna göre (9 0 q) ( / q) q : "Yüzerim." önermeleri için q koşullu önermesi ile bu önermenin karşıtını, tersini ve karşıt tersini oluşturalım. Öncelikle koşullu önermeyi yazalım. q : "Deniz dalgalıysa yüzerim." Karşıtı : "Yüzersem deniz dalgalıdır." Tersi: "Deniz dalgalı değilse yüzmem." Karşıt tersi: "Yüzmem eğer deniz dalgalı değilse." koşullu önermesinin karşıt tersini bulu en sade şekliyle yazalım. (9 0 q) ( / q) koşullu önermesinin karşıt tersi: ( / q)9 (9 0 q)9 dir. / [( / q)9 )9] 0 (9 0 q)9 / ( / q) 0 ( / q9 ) (De Morgan) / / (q 0 q9 ) (Dağılma öz.) / / 1 / bulunur. 18

19 İki Yönlü Koşullu Önerme Tanım (ANCAK VE ANCAK Bağlacı) ve q iki önerme olsun. ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru (1), farklı değerleri aldığında yanlış (0) olan önermeye iki yönlü koşullu önerme denir, q biçiminde gösterilir ve ancak ve ancak q biçiminde okunur. q q q / 1 ise ile q aynı doğruluk değerlidir. q / 0 ise ile q farklı doğruluk değerlidir. ve q önermeleri için aşağıdaki doğruluk tablosu oluşur. q q q q ( q) / (q ) Bu tabloya göre q / ( q) / (q ) denkliği sağlanır. Tanım q bileşik önermesi doğru iken önermesine q için yeter şart, q önermesine ise için gerek şart denir. / NİTELİK Yayıncılık Örnek - 33 ve q birer önerme olmak üzere ( / q)9 / ( 0 q) / q9 denkliğinin daima sağlandığını gösterelim. I. yol (Doğruluk tablosu ile. ( / q)9 / ( 0 q) / r diyelim q q q / q ( / q) 0 q r / aynı Tablodan ( / q)9 / ( 0 q) / q9 olduğu açıktır. II. yol (Mantık kuralları ile. ( / q)9 / ( 0 q) / (9 0 q9 ) / ( 0 (q9 )9 ) / (9 0 q9 ) / ((q9 )9 0 ) / ( q9 ) / (q9 ) (Koşullu önerme. / q9 Örnek ÜNİTE: MANTIK Örnek - 32 : "Eşkenar üçgenin her bir iç açısının ölçüsü 60 dir." q : "Dörtgenin dört köşegeni vardır." r : "Çemberin en uzun kirişi çaıdır." önermeleri için q, r ve ( / r) q9 bileşik önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım. ve r önermeleri doğrudur ancak dörtgenin iki köşegeni olduğundan q önermesi yanlıştır. Yani, / 1, q / 0 ve r / 1 dır. q / 1 0 / 0 r / 1 1 / 1 ( / r) q9 / (1 / 1) 09 / 1 1 / 1 bulunur. Merkez Bankası Başkanı: "Yıllık enflasyon düşerse banka faizlerinde indirim olur." koşullu önermesinden bahsetmiştir. Bu önermelerdeki gerek ve yeter şartı belirleyelim. : "Yıllık enflasyon düştü." q : "Banka faizlerinde indirim oldu." önermeleri tanımlanırsa Başkan'ın söylediği cümle q koşullu önermesi olur. Dolayısıyla yeter şart (yıllık enflasyon düştü) ve gerek şart da q (banka faizlerinde indirim oldu) şeklinde olur. 19

20 1. ÜNİTE: MANTIK ANCAK ve ANCAK Bağlacının Özellikleri ve q birer önerme olsun. Bu durumda q / q (Değişme öz.) / 1 9 / 9 / 0 Örnek - 37 ve q birer önerme için ( q) q9 / 0 olduğuna göre ( / q) q bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. 1 / 1 / 0 / 0 / 9 ( q)9 / 9 q / q9 (Ancak ve Ancak'ın Değili) Örnek - 35 ( q) q / 0 (İSE Bağlacı) 1 0 olacağından q / 1 dir. q / 1 için q / 1 ise / 1 olmalıdır. O halde ( / q) q / (1 / 1) 1 ve q önermeleri için aşağıda verilen ifadeleri en sade şekilde yazalım. a. ( 9) ( ) b. ( 1) (0 9) c. [(1 ) 9] 0 bulunur. / 1 1 / 1 a. ( ) ( ) / 0 1 / 0 farklı aynı b. ( 1) (0 ) / ( ) / / 1 NİTELİK Yayıncılık Örnek - 38 ve q önermeleri için 9 q9 / q olduğunu gösterelim. 0 olsa / 0 1 olsa / 1 ye bağlı 0 olsa / 1 ( ) nün değiline bağlı 1 olsa / 0 I. Yol (Tablo ile. c. [(1 ) ] 0 / [ ] 0 / 0 0 / 1 farklı 1 olsa / 1 ye bağlı 0 olsa / 0 Örnek - 36 ve q önermeleri için (9 q)9 ( 0 q) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım. (9 q)9 ( 0 q) / ((9)9 0 q)9 ( 0 q) / ( 0 q)9 ( 0 q) ( 0 q / r olsun) / r9 r / 0 q q q q aynı II. Yol (Mantıksal İşlemlerle. 9 q9 / ( q9 )9 / [( q)9 ]9 (Değilin değili) / q 20

21 Sözel Olarak veya Sembolik Mantıkta Verilen Bileşik Önermeleri Birbirine Çevirme Hatırlatma Sembolik mantıkta verilen sembollerin sözel ifadeleri aşağıdaki gibiydi. 0 (VEYA) / (VE) Q (YA DA) (İSE) (ANCAK VE ANCAK) Matematikte verilen bileşik önerme, bileşenlerinin sembolik mantıkta kullanılan bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilir. 0 q... veya q / q... ve q Q q... ya da q q... ise q q... ancak ve ancak q Örnek - 40 Aşağıda verilen ifadeleri uygun önermeler tanımlanı sembolik mantıkla bileşik önermeye çevirelim. a. "Üniversite sınavını kazanırsam 2 yıllık (ön lisans) ya da 4 yıllık (lisans) bir bölüm okurum." b. "İşe başlayabilmem için evvela okulu bitirmem gerekiyor. Onun için de matematikten başarılı olu devamsızlık yamamam gerekiyor." a. : "Üniversite sınavını kazanırım." q : "2 yıllık (ön lisans) bölümde okuyorum." r : "4 yıllık (lisans) bölümde okuyorum." önermeleri tanımlanırsa verilen ifade (q Q r) bileşik önermesi ile ifade edilebilir. b. x: "işe başlayacağım." y: "Okulu bitirdim." 1. ÜNİTE: MANTIK Örnek - 39 : "Cenk fotoğrafçılık kursuna katılacak." q : "Cenk ce telefonu alacak." r : "Cenk çalışmaya başlayacak" NİTELİK Yayıncılık z: "Matematikten başarılı oldum." t: "Devamsızlık yatım." önermeleri tanımlanırsa verilen ifade ((z / t9 ) y) x bileşik önermesi ile ifade edilir. önermeleri veriliyor. Buna göre 0 q, r 9, q / r, ( / q) r ve r ( / q9) bileşik önermelerini sözel olarak ifade edelim. a. 0 q : "Cenk fotoğrafçılık kursuna katılacak veya ce telefonu alacak." b. r 9 : "Cenk çalışmaya başlarsa fotoğrafçılık kursuna katılmayacak." c. q / r : "Cenk ce telefonu alacak ve çalışmaya başlayacak." d. ( / q) r : "Cenk'in fotoğrafçılık kursunu katılı ce telefonu alması için gerek ve yeter şart çalışmaya başlamasıdır." (... kursuna katılı ce telefonu...) kısmı (... kursuna katılacak ve ce telefonu...) kısmının Türkçe olarak daha sade halidir. e. r ( / q9) : "Cenk çalışmaya başlarsa fotoğrafçılık kursuna katılacak fakat ce telefonu alamayacaktır. (... katılcak fakat ce telefonu...) kısmı (... katılacak ve ce telefonu...) kısmının daha düzenli halidir. Örnek - 41 : (x R, x < x ) (x R, x 3 < 0) önermesini sözel olarak ifade edelim. Verilen önerme iki yönlü koşullu önermedir ve sözel olarak "x reel (gerçek) sayısının, mutlak değerinden küçük olabilmesi için gerek ve yeter şart x in küünün negatif olmasıdır." (veya. "x reel (gerçek) sayısının küünün negatif olabilmesi için gerek ve yeter şairt x in, mutlak değerinden küçük olmasıdır." şeklinde ifade edilebilir. 21

22 1. ÜNİTE: MANTIK Totoloji ve Çelişki Tanım Bir bileşik önerme, bileşenlerinin tüm durumları için daima doğru (1) oluyorsa bileşik önermeye totoloji, daima yanlış (0) oluyorsa çelişki adı verilir. Örneğin bir sinema filmi için, "Yerli veya yabancıdır." yorumu kesinlikle doğrudur ve totolojidir. "Yerli ve yabancıdır." yorumu kesinlikle yanlıştır ve çelişkidir. Bir önermesi için elde edilebilecek totoloji ve çelişkilerin birkaçı aşağıdaki gibi verilebilir. 0 1 / 1 (Totoloji) Q 9 / 1 (Totoloji) / 9 / 0 (Çelişki) / 0 / 0 (Çelişki) Örnek - 44 ve q önermeleri için ( q)9 Q ( / q9 ) bileşik önermesinin çelişki olduğunu gösterelim. ( q) Q ( / q ) / ( 0 q) Q ( / q ) / [( / q ) Q ( / q ) (De Morgan kuralı) aynı / 0 olduğundan verilen önerme bir çelişkidir. / 1 (Totoloji) / 1 (Totoloji) Q / 0 (Çelişki) 9 / 0 (Çelişki) Örnek - 42 Örnek - 45 "ABC üçgeninin üç yüksekliği eş ise m(a) W = 60c dir." önermesi bir totolojidir. Zira yükseklikleri eş (aynı uzunluklu) olan üçgen eşkenar üçgendir. Dolayısıyla m(a) W = 60c olur. Yani önerme doğrudur. NİTELİK Yayıncılık [( q) r9 ] 0 ( q) bileşik önermesi bir çelişkidir. Buna göre, q, r önermelerinin doğruluk değerlerini bulalım. Örnek - 43 ve q önermeleri için ( q) 0 bileşik önermesinin totoloji olduğunu gösterelim. q / 9 0 q denkliği kullanılırsa ( q) 0 / (9 0 q) 0 / (q 0 9 ) 0 (Değişme öz) / q 0 (9 0 ) (Birleşme öz) / q 0 1 / 1 olduğundan bileşik önerme bir totolojidir. Verilen önerme çelişki olduğundan [( q) r ] 0 ( q) / 0 dır. 0 0 ( q) r / 0 ve q / (r / 1) farklı olmalı q / 1, / 1, q / 0 / 1, q / 0 veya / 0, q / 1 olmalı durumu q _ 1 yaacağından / 0 ve q / 1 olmalıdır. Yani / 0, q / 1 ve r / 1 bulunur. 22

23 A. Etkinlik 1.1. C. Aşağıdaki modelde, q, r, s, t harfleri yol üzerindeki körüleri ifade etmektedir. 1. ÜNİTE: MANTIK Muhtemelen birçoğunuzun daha önceden duymuş olduğu bir hikâye: Bir kral bir mahkuma bir tek soru soracaktır ve mahkum soruya uygun cevabı verirse özgürlüğüne kavuşacaktır. Üzerinde hangi kaı olduğuna dair hiçbir bilgi olmayan iki kaı vardır ve bunlardan birinin önünde daima doğru söyleyen, diğerinin önünde daima yalan söyleyen birer nöbetçi durmaktadır ve bu nöbetçilerden hangisinin doğru, hangisinin yalan söylediği bilinmemektedir. Kral: "Bu kaılardan biri seni özgürlüğüne kavuşturacak. Nöbetçilerden sadece birine sadece bir soru sorma hakkın var. Bu soru nasıl olmalıdır?" Mahkum uzunca bir süre düşünü aşağıdaki soruyu herhangi bir nöbetçiye yöneltmiş ve gösterilen kaının yerine öteki kaıyı kullanarak özgürlüğüne kavuşmak istemiştir. Mahkum: "Arkadaşına sorsam özgürlüğüm için hangi kaıyı gösterir? Soru 1: Mahkum özgürlüğüne kavuşabilmiş midir? Soru 2: Bu durum sembolik mantıkla ifade edilse hangi denklikle gösterilebilir? giriş çıkış giriş çıkış Bu giriş yol önermesi ile ifade edilsin çıkış ( den geçilecek). q q giriş çıkış giriş q çıkış giriş çıkış giriş çıkış Bu yol / q önermesi ile ifade edilir ( ve q dan geçilecek). q giriş çıkış giriş çıkış giriş q çıkış giriş q çıkış q Bu yol da 0 q önermesi ile ifade edilir ( veya q dan geçilecek). B., q ve r önermeleri aşağıdaki şekilde tanımlanıyor. : "Elif bilgi yarışmasına katılacaktır." q : "Simla bilgi yarışmasına katılacaktır." r : "Bilgi yarışması düzenlenecektir." Takım katanı Dilek Öğretmen de aşağıdaki şartları koymuştur. A. "Elif yarışmaya katılırsa yarışma düzenlenir." I. ( Q q) r9 B. "Elif ve Simla'dan en az biri yarışmaya katılırsa yarışma düzenlenecektir." II. r C. "Elif ve Simla'dan sadece biri yarışmaya katılırsa yarışma düzenlenmeyecektir." III. ( / q) r D. "Yarışmanın düzenlenebilmesi için Elif ve Simla yarışmaya birlikte katılmalıdır." IV. ( 0 q) r E. "Elif ve Simla'nın yalnızca biri yarışmaya katılırsa yarışma düzenlenecektir." V. ( Q q) r Her bir şartı uygun bileşik önerme ile eşleştiriniz. giriş q çıkış q q r giriş Buna göre aşağıdaki r yol thangi bileşik çıkış önermeyle ifade edilir? t çıkış giriş r giriş t çıkış s s s q r giriş t çıkış s Cevalar İçin Sayfa 328'e Gidiniz. 23

24 1. ÜNİTE: MANTIK 1. Aşağıda verilen ifadelerin sonuna önerme olanlar için " ", olmayanlar için " " sembollerinden uygun olanı koyunuz. a. Heeey delikanlı! (...) b. Mersin ili Akdeniz Bölgesi'ndedir. (...) c. 4 asal sayıdır. (...) d. Kırmızı güzel bir renktir. (...) e. "Adın ne?" bir önermedir. (...) Uygulama Aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. : "1 asal sayıdır." b. q : "Kullandığımız bu kita 11. sınıflar için hazırlanmıştır." c. r : " > 28 dir." d. s : "Eşkenar üçgenin iç açı ölçülerinden biri 45 dir." e. t : "x y > 0 ise x ile y aynı işaretli sayılardır." 6. önermesi için aşağıda verilen ifadelerin denklerini bulunuz. a. 0 0 /... b. 1 0 /... c. / 0 /... d. / 1 /... e. 1 Q /... f. Q 0 /... f. Denk önermelerin doğruluk değerleri farklıdır. (...) f. z : "Her sayının 0. kuvveti 1'dir." 7. Aşağıdaki modellerde, q, r, s, t, n yol üzerindeki körüleri ifade ettiğine göre her bir durumu ifade eden bileşik önermeleri yazınız. a. q 2. Aşağıda verilen tablolardaki boşlukları doldurunuz. a. q 0 q / q : "5 ten küçük 4 farklı doğal sayı vardır." q : "( 2) 3 < 0 dır." r : " = 25 2 dir." önermelerinden uygun olanlarını "/" bağıntısı ile gösteriniz. giriş b. giriş q çıkış çıkış 0 0 c. q b. q r q Q q / q Aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a. 1 / 1 /... b. 1 Q 0 /... c /... d /... d. giriş giriş q r r s t çıkış çıkış 24

25 8. Aşağıda verilen denkliklerde boş bırakılan yerleri uygun şekilde doldurunuz. a. 0 /... b. / q /... / c. 0 (q 0...) = ( 0 q) 0 r d (q / r) = ( 0...) / ( 0 r) 11. Aşağıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangilerinde ve q önermelerinin doğruluk değeri kesin olarak bulunabilir? I. / q9 / 1 II. Q q / 0 III. 9 0 q / Aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunuz. a. 0 (9 0 q) b. / (0 0 9) c. 9 0 (1 / ) d. 1 0 ( / q) 1. ÜNİTE: MANTIK e. Q... / q Q f. / 9 / (...)9 IV. 9 0 q9 / önermesinin doğruluk değeri nedir? 12. : "Uçak bileti buldum." q : "İzmir'e gittim." önermeleri için "Uçak bileti bulursam İzmir'e giderim." 15. Aşağıda verilen küme işlemlerinin sonuçlarını sembolik mantığı kullanarak bulunuz. a. (A B) B9 =? b. A9 (A B) =? diyen birinin bu söylemindeki yeter şart hangi önerme ile verilmiştir. b. (A9 B)9 B =? 10. ve q önermeleri için q9 / 0 olduğu biliniyor. Buna göre / q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? 13. Aşağıda verilen küme işlemlerini ve q önermeleriyle ifade ediniz. a. A9 B b. A B9 16. : "2 3 8 ise 1 asal sayıdır." q : "5 tam sayı ise 0 5 = 5 tür." önermeleri veriliyor. Buna göre q koşullu önermesinin doğruluk değeri nedir? 25

26 1. ÜNİTE: MANTIK 17. Aşağıda verilen bileşik önermelerin değillerini (olumsuzlarını) yazınız. a. / q b. 9 0 q c. Q q9 d. ( 0 q) / r9 e. (9 / r) / q9 19. önermesi için aşağıda verilen önermelerin denklerini bulunuz. a. /? b. 1 /? c. 9 /? d. 0 /? 21. : "Bir dörtgen diktörtgen ise köşegenleri birbirini ortalar." koşullu önermesinin a. tersini b. karşıtını c. karşıt tersini bulunuz. f. 9 Q (q9 0 r) 20. Aşağıda verilen bileşik önermelerin doğruluk tablolarını oluşturunuz. a. ( q) / 1 ve q9 0 / 1 olduğuna göre 9 q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? b. (9 q) / c. [ ( 0 q)] / q 18. Aşağıda verilen elektrik devrelerine karşılık gelen bileşik önermeleri yazınız. a) q a) q b) q b) q 23. Sezin'in eğitim hayatı ile ilgili aşağıdaki önermeler tanımlanmıştır. : "Lise diloması var." c) q r r s c) q q : "2 yıllık ön lisans (üniversite) diloması var." r : "4 yıllık Lisans (üniversite) diloması var." Bu önermelere göre Sezin için aşağıdaki durumları ifade eden önermeleri yazınız. a. Sezin liseyi bitiremedi. b. Sezin üniversite mezunudur. c. Sezin lise mezunudur ve üniversiteyi kazanamamıştır. 26 Cevalar İçin Sayfa 328'e Gidiniz.

27 TEST - 2TEST Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değildir? A) Kırmızı bir renktir. B) Bu seçenek doğrudur. C) Bu seçenek doğru değil. D) İleri matematik dersi 11. sınıfta verilir. E) Güzel bir soru. Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. doğru, q yanlış önermedir. Buna göre aşağıda verilen denkliklerden kaçı doğrudur? I. ı / 0 II. / q / 0 III. 0 q / 1 IV. Q q / 0 V. q / 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. "5 2 = 10" önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) Nehir güzel bir kızdır. B) En büyük asal sayı vardır. C) D) 5 tane çift rakam vardır. E) Rakamları farklı iki basamaklı en küçük tam sayı 10 dur. 1. ÜNİTE: MANTIK 2. / 9 bileşik önermesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) / farklı önermenin doğruluk tablosu oluşturulurken kaç farklı durumla karşılaşılır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64 8., q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 1, 0 ve 0 dır. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) / q B) q Q r C) q9 r D) 0 r E) r 3., q ve r önermelerine göre aşağıda verilen denkliklerden hangisi yanlıştır? A) 0 q / q 0 B) / q / q / 9 C) ( / q) / r / / (q / r) D) 0 / / E) 0 9 / 1 6. : "Her kare bir dikdörtgendir." q : "Her dikdörtgen bir karedir." önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 1 dir? A) / q B) Q q C) q D) q E) 9 0 q 9. / 0 ve q / 1 olmak üzere aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) 0 q B) Q q C) q D) q E) 9 / q 1. E 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B 7. D 8. D 9. D 27

28 1. ÜNİTE: MANTIK 10. Aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır? A) / / 1 B) 0 / C) Q / 0 D) / 1 E) 9 / önermesi için 9 / 0 olduğuna göre aşağıda verilen önermelerden hangisi yanlıştır? A) 0 0 B) Q 0 C) / 1 D) 0 E) önermesi için aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) 9 B) 9 C) / 1 D) Q 0 E) : "Kedi bir hayvandır." q: "Lise diloması olmayan üniversite öğrencisi olamaz." önermeleri veriliyor. Buna göre aşağıdaki denkliklerden hangisi yanlıştır? 14. : "Elektrik kesildi." q : "Ödevim bitti." önermeleri için q koşullu önermesinin ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) "Elektrik kesilirse ödevim biter." 17. q r A) 9 / 0 B) q / 1 C) / q / 1 D) 9 0 q / 0 E) Q q / 0 B) "Elektrik kesilmezse ödevim biter." C) "Ödevim biterse elektrik kesilir." D) "Elektrik kesilirse ödevim bitmez." E) "Ödevim biter ve elektrik kesilir." Yukarıda verilen elektrik devresi modelinde hangi bileşik önerme modellenmiştir? A) ( / q) / r B) ( 0 q) 0 r C) 0 (q / r) D) / (q 0 r) E) ( / q) 0 r 12., q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla 1, 0 ve 1 dir. Buna göre aşağıda verilen denkliklerden hangisi doğrudur? A) ( / q) / r B) (9 0 q) / r C) ( Q q) Q r D) q9 (q / r) E) ( / q) Q r 15. Aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi ye denk değildir? A) 1 / B) 0 0 C) 0 D) 1 E) : "2 + 3 = 3 + 7" q : "5 ten büyük 4 rakam vardır." r : "Doğruluk değeri 0 olan önermeler doğrudur." önermeleri için aşağıda verilen denkliklerden hangisi doğrudur? A) / q B) / r9 C) q / r D) / r E) q9 / r A 11. D 12. E 13. D 14. A 15. C 16. B 17. E 18. D

29 TEST - 2TEST Aşağıda verilenlerden hangisi önerme değildir? A) "Su sıvı bir maddedir." B) "Bu seçenek C seçeneğidir." C) "0 negatif bir sayıdır." D) "Bu soru çok kolaymış." E) "Bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır." Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. : "Asal sayılar 2 ile bölünmez." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) Asal olmayan sayılar 2 ile bölünür. B) Asal olmayan sayılar 2 ile bölünmez. C) Asal sayılar 2 ile bölünmez. D) Asal sayılar 2 ile bölünür. E) Asal sayıların çoğu tek sayıdır. 7. ve q birer önermedir. q bileşik önermesi bir çelişki olduğuna göre Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) / q / 1 B) Q q / 0 C) q9 / 0 D) q / 0 E) 0 q / 0 1. ÜNİTE: MANTIK 2. / 0 ve q9 / 1 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 0 q / 1 B) / q / 0 C) q / 1 D) Q q9 / 1 E) 9 q / (q 0 r9 ) / 0 olduğuna göre, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? A) 1, 1, 1 B) 1, 0, 1 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 8. Aşağıda verilenlerden hangisi önermesi için bir totolojidir? A) / B) / 1 C) 0 9 D) / 9 E) 0 3. Aşağıda verilen önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) "1 tek sayıdır veya negatiftir." B) "2 çift sayıdır ya da asal sayıdır." C) "3 asal sayıdır ve rakamdır." D) " 3 2 ise 2 sayısı asaldır." E) "12 sayısı 3 ün katıdır ancak ve ancak 5 sayısı asaldır. 6. I. / / II. 0 1 / 1 III. Q 1 / 9 IV. / 9 / Yukarıda verilen denkliklerden kaçı yanlıştır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 9. önermesi için aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisinin doğru olması imkansızdır? A) 0 B) Q 9 C) 9 D) / 1 E) 9 1. D 2. A 3. B 4. D 5. B 6. B 7. D 8. C 9. E 29

30 1. ÜNİTE: MANTIK 10. : "Mert bir öğretmendir." q : "Mert gözlüklüdür." önermeleri veriliyor. Buna göre / q9 bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisidir? 13. "Yağmur yağarsa okula giderim." önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Yağmur yağarsa okula gitmem. B) Yağmur yağmazsa okula giderim. 16. ı q ı r A) "Mert gözlüklü bir öğretmendir." B) "Mert gözlüklü bir doktordur." C) "Mert gözlük takmayan bir doktortur." D) "Mert gözlük takmayan bir öğretmendir." E) "Mert ne öğretmendir ne de gözlüklüdür." C) Okula gidersem yağmur yağmaz. D) Okula gitmezsem yağmur yağmaz. E) Okula gidersem yağmur yağar. Yukarıdaki elektrik devresinde verilen bileşik önermenin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) 9 0 (q9 0 r) B) 9 0 (q 0 r) C) 0 (q 0 r9 ) D) / (q / r9 ) E) 0 (q / r9 ) 11. önermesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) 1 / 9 B) 0 Q / C) 0 / 1 D) 1 / / E) 0 9 / (q 0 r9 ) / 0 denkliğine göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi totolojidir? A) / q B) q 0 r9 C) / r D) q9 9 E) q r 17. ve q iki önerme olsun. Q q / 1 olduğuna göre / q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) q E) 0 q 12. ( 0 q9 ) / ( 0 q) bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) / q 15. ve q önermeleri için 9 q koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) q9 B) 9 q9 C) q9 9 D) q 9 E) q9 18. önermesi için verilen (0 ) / ( 1) bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) Birşey söylenemez D 11. A 12. C 13. E 14. C 15. D 16. E 17. A 18. A

31 TEST - 2TEST "Aslı gözlüklü bir üniversite öğrencisidir." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) "Aslı gözlüklü olmayan bir üniversite öğrencisidir." B) "Aslı gözlüklü değildir ve üniversite öğrencisi değildir." C) "Aslı gözlüklü değildir veya üniversite öğrencisi değildir." D) "Aslı gözlüklüdür ve üniversite öğrencisi değildir." E) "Aslı gözlüklüdür veya üniversite öğrencisidir." Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. Meriç bir bilgisayar oyunanda oyunu kazanabilmek için ilk 5 seviyeyi sırasıyla geçmek zorundadır. 1 : "1. seviyeyi geçti." 2 : "2. seviyeyi geçti." h 5 : "5. seviyeyi geçti." şeklinde tanımlanan önermeler ile oyunu kazandığını ifade etmek istemektedir. Bunun için aşağıda verilen önermelerden hangisini kullanmalıdır? A) 1 / 2 / / 5 B) C) 1 Q 2 Q Q 5 7. "Matematik yazılı sınavındaki notum 70 veya üzeri olursa babam ce telefonu alacak." koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) "Matematik yazılı sınavındaki notum 70 veya üzeri olursa babam ce telefonu almayacak." B) "Matematik yazılı sınavındaki notum 70 in altında bir not olursa babam ce telefonu almayacak." C) "Babam ce telefonu alırsa matematik yazılı sınavından 70 veya üzeri not alırım." D) "Babam ce telefonu almazsa matematik yazılı sınavından 70 veya üzeri not alırım." 1. ÜNİTE: MANTIK 2. Aşağıda verilen koşullu önermelerden hangisi yanlıştır? D) E) E) "Babam ce telefonu almazsa matematik yazılı sınavından 70 in altında bir not alırım." A) Dünya küre şeklindeyse Türkiye bir ülkedir. B) Ankara bir ilçeyse Mersin onun bir mahellesidir. 5. Q ( 0) 8. 9 (9 / q) C) Su katı bir madde ise oksijen bir gazdır. önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? D) 1 saat 60 dakika ise 1 dakika da 100 salisedir. E) Filler uçabilen hayvanlarsa atlar da birer sürüngendir. A) 0 B) 1 C) D) 9 E) Q q A) / q B) 0 q C) 0 D) 1 E) / ( q9 ) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) / q E) 0 q 6. ( q) 0 q9 ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) q E) q9 9. ve q önermeleri sırasıyla A ve B kümelerine karşılık getirildiğinde (9 0 q)9 0 ( / q) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisi olur? A) A B) B C) A9 D) B9 E) A B 1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. B 7. E 8. B 9. A 31

32 1. ÜNİTE: MANTIK 10. "x 3 x 2 1 8" önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) "x = 3 x 2 1 = 8" B) "x = 3 x 2 1 8" C) "x 3 x 2 1 = 8" D) "x 2 1 = 0 x = 3" E) "x 2 1 = 0 x 3" 13., q ve r birer önerme olduğuna göre 9 (q9 / r) koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) (q r) B) (r q) C) ( r) q D) ( q) r E) q ( r) 16. "Bora mezun olduktan sonra işe girecekti fakat işe giremedi." bileşik önermesinin : "Bora mezun oldu." q : "Bora işe girdi." önermeleri ile ifadesi aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) q B) q9 C) ( q) q9 D) ( q9 ) / q E) ( q) / q9 11. ( / 9 ) 0 (1 / ) bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) 0 q 14. ve q önermeleri için ( 0 q) / (q ) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) q E) q 17. ve q önermeleri için Q (9 q) / 1 olduğuna göre q koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) q E) ve q önermeleri için ( 0 q9 )9 0 (9 / q9 ) önermesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) q9 15., q ve r önermeleri için q9 / 0 olduğuna göre (r q) önermesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) r9 18. ve q birer önermedir. 9 / ( q)9 önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi denktir? A) 0 B) 1 C) 9 D) q E) q A 11. C 12. D 13. B 14. C 15. B 16. E 17. C 18. B

33 TEST - 2TEST ve q birer önermedir. (9 0 q)9 0 q / 0 olduğuna göre aşağıda verilenlerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) için birşey söylenemez ancak q doğrudur. B) q için birşey söylenemez ancak doğrudur. C) ve q doğrudur. D) ve q yanlıştır. E) ve q için birşey söylenemez. Önermeler ve Bileşik Önermeler 4. : "x = y dir." q : "x + y = 0 dır." önermeleri veriliyor. Aşağıdaki verilenlerden hangisi 0 q önermesine denktir? A) x = y B) x 2 + y 2 = 0 C) x = y D) x 2 y = y 2 x E) x 2 + y = y 2 + x 7. : "Arda hafta sonu tiyatroya gitti." q : "Arda tiyatro bileti aldı." r : "Arda İngilizce serfitası aldı." önermeleri tanımlanıyor. "Arda İngilizce sertifikasını ve tiyatro biletini alırsa hafta sonu tiyatroya gider." bileşik önermesinin sembolik mantıkla ifadesi aşağıdakilerden hangisi olur? A) (q / r) B) ( / q) r C) (9/ q) r D) ( / r) q 1. ÜNİTE: MANTIK E) (q / r) 2. ve q önermeleri için ( 1) 0 ( / 1) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) 9 5. ve q birer önerme olmak üzere (9/ q) 0 q koşullu önermesinin karşıt tersinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) 9 E) q9 8. : "a = 0 dır." q : "b = 0 dır." önermeleri veriliyor. Aşağıda verilenlerden hangisi / q bileşik önermesine denktir? A) a b = 0 B) a + b = 0 C) a b = 0 D) a 2 + b 2 = 0 E) a 3 + b 3 = 0 3. ve q önermeleri için 9 ( 0 q)9 önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) C) q D) q E) q 6. ( / q9) (9 0 q) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) / q E) 0 q 9. / (q 9) önermesinin değili aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) q C) / q D) q E) q 1. D 2. C 3. E 4. C 5. B 6. A 7. E 8. D 9. D 33

34 1. ÜNİTE: MANTIK 10. q9 iki yönlü koşullu önermesi bir çelişki olduğuna göre aşağıda verilen bileşik önermelerden hangisi kesinlikle bir totolojidir? A) / q B) 9 0 q C) Q q D) 9 q E) ve q birer önerme olmak üzere (9 0 q) / 9 önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) D) q E) q9 16., q ve r önermeleri için verilen (q9 0 r) bileşik önermesinin değili aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 9 (q 0 r) B) 9 (q9 / r) C) (q / r9) D) (q 0 r) E) (q9 / r) 11. : "A ozitif bir sayıdır." q : "B negatif bir sayıdır." şeklinde tanımlanan önermeler için "A B çarımı negatiftir." önermesinin işaretini ve q önermeleriyle aşağıdakilerden hangisi açıklar? A) 0 q B) Q q C) / q D) q E) q 14. II I V IV Yukarıda verilen devrede lambanın yanması için hangi anahtarın aç - kaa konumunun değiştirilmesi yeterlidir? III 17. : "a b dir." q : "a + c = 0 dır." önermeleri veriliyor. Aşağıda verilenlerden hangisi q önermesine denktir? A) a 2 + ac = ab + bc B) a 2 ac = ab bc C) a 2 + bc = ac + bc D) a 2 bc = ac bc E) a 2 + bc = ab + bc A) I B) II C) III D) IV E) V 12. ( 1) / (q9 / 1)9 bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) q E) q9 15. Aşağıda verilenlerden hangisi önermesi için bir totolojidir? A) Q B) 0 C) 9 D) E) / 18. (9 0 q9 ) ( q9 ) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) D) / q E) 0 q B 11. E 12. D 13. C 14. E 15. D 16. C 17. A 18. B

35 Niceleyiciler Her ve bazı sözcükleri önlerine getirilen elemanların çokluğunu ifade eden niceleyicilerdir. Her sözcüğü sembolüyle, bazı sözcüğü de sembolüyle ifade edilmektedir. sembolü, bazı sözcüğünün dışında aslında matematiksel olarak aynı anlamda olan en az bir sözcüğüyle de kullanılmaktadır. Tanım En az bir anlamına gelen bazı ( ) niceleyicisine varlıksal niceliyici, tamamı anlamına gelen her ( ) niceleyicisine de evrensel niceleyici adı verilir. Örneğin; "Her gerçek sayının karesi sıfırdan büyük ya da sıfıra eşittir." önermesi sembolik mantık diliyle " x R, x 2 0" şeklinde, Bazı gerçek sayıların 1 fazlasının karesi 4 e eşittir." önermesi de " x R, (x + 1) 2 = 4" şeklinde ifade edilir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki her elemanın verilen şartı sağlaması gerekir. Sağlamayan bir elemanın bile varlığı önermenin yanlış olduğu anlamına gelir. niceleyicisiyle kullanılan önermenin doğru olabilmesi için kümedeki bir elemanın verilen şartı sağlaması yeterlidir. Önermenin yanlış olması için kümedeki hiçbir elemanın verilen şartı sağlamaması gerekir. Örnek - 1 BÖLÜM Aşağıda verilen ifadeleri varlıksal ve evrensel niceleyicilerle ifade edi doğruluklarını inceleyelim. a. Her hafta 7 günden oluşur. b. 30 günden oluşan en az bir ay (bazı aylar) vardır. c. Her ozitif gerçek sayının faktöriyeli çifttir. d. Bazı gerçek sayıların karesi negatiftir. a. " A için s(a) = 7, A: Haftaların kümesi 7 günden oluşur." (Doğru) b. " ay vardır, 30 günden oluşur." (Doğru) Örneğin nisan ayı 30 günden oluşur. (Bu durum önermenin doğruluğu için yeterlidir.) c. " x R, x! çifttir." (Yanlış) Örneğin 1! = 1 (tek) dir. (Bir olumsuz örnek önermeyi yanlış yaar.) d. " x R, x 2 < 0" (Yanlış) (Karesi negatif olan hiçbir gerçek sayı yoktur.) Açık Önermeler ve İsat Teknikleri NİTELİK Yayıncılık Açık Önermeler Tanım Doğruluğu, içinde bulunan değişkene bağlı olan önermelere açık önerme denir. Örneğin x değişkenine bağlı bir (x) : "x asal sayıdır." önermesi bir açık önermedir. Zira verilen önerme x in bazı değerleri için doğru iken bazı değerleri için de yanlış olacaktır. (2) / (3) / (5) / 1 ve (0) / (1) / (10) / 0... gibi. Açık önermede değişken sayısı birden çok da olabilir. Örneğin a ve b değişkenine bağlı bir q(a, b) : "a, b N için (a 4) (b + 1) 0 dır." önermesi de bir açık önermedir. q(1, 1) / 1 ((1 4) (1 + 1) = 6 0 dır.) q(5, 0) / 0 ((5 1) (0 + 1) = 4 % 0 dır.) Tanım Herhangi bir E evrensel kümesi üzerinde tanımlanmış bir açık önermeyi doğrulayan elemanların oluşturduğu kümeye bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi, bu kümenin her bir elemanına da çözüm adı verilir. Örnek - 2 Aşağıda verilen önermelerin açık önerme olu olmadıklarını belirleyelim. a. "Mine ilkokul öğrencisidir." b. "x kişisi Eskişehir'de yaşamaktadır." c. "x R, x 3 = 2" d. "y R, y + 1 > 0" a. Önerme içinde bilinmeyen olmadığı için açık önerme değildir. b. x yerine Eskişehir'de yaşamakta olan biri yazılırsa doğru, Eskişehir'de yaşamayan biri yazılırsa yanlış bir önerme olur. Önermede x değişkeni bulunduğundan bir açık önermedir. c. x yerine 5 konulursa doğru, diğer tüm değerler için yanlış önerme olmaktadır, x değişken olduğundan bir açık önermedir. d. y yerine 1 den daha büyük değerler konulursa doğru, diğer değerler için yanlış önerme olur. y değişken olduğundan bir açık önermedir. 1. ÜNİTE: MANTIK Bölüm Önermeler Açık Önermeler ve Bileşik ve İsat Önermeler Teknikleri 35