ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Metin ŞİŞMAN Muslu LÖKÇÜ Turgut OĞUZ Özcan ATAK DEVLET KİTAPLARI BİRİNCİ BASKI..., 0
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 575 DERS KİTAPLARI DİZİSİ... : 555.?.Y.000.6 Her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim Bakanlığı aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlanamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Hüseyin ALKAN DİL UZMANI Hasan SILAY GÖRSEL TASARIM Rabia DALGIÇ EKİCİ ÖLÇME-DEĞERLENDİRME UZMANI Nuray SUNAR PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI Ayşen GÜLEN REHBERLİK UZMANI Sinem BİLGİN ISBN 978-975--665-7 Millî Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun 08..0 gün ve 59 sayılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 9.0.0 gün ve 98 sayılı yazısı ile birinci defa.9 adet basılmıştır.
İÇİNDEKİLER.ÜNİTE KARMAŞIK SAYILAR KARMAŞIK SAYILAR...0 SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ... KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ... KARMAŞIK DÜZLEM...5 BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ...7 KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ... KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ... KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ...5 KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ...6 EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ...9 KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER... İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK... KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ...7 KUTUPSAL BİÇİMDE VERİLEN KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA ÇIKARMA, ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ... KARMAŞIK SAYILARIN ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ...7 KARMAŞIK SAYININ KUVVETLERİ...8 KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ...50. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...5. ÜNİTE ÜSTEL FONKSİYON ÜSTEL FONKSİYON...56 LOGARİTMA FONKSİYONU...6 ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU VE DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU...70 LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ...7 TABAN DEĞİŞTİRME...77 ÜSLÜ VE LOGARİTMİK DENKLEMLER İLE EŞİTSİZLİKLER...8. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...88. ÜNİTE PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, OLASILIK VE İSTATİSTİK SAYMA YÖNTEMLERİ...90 FAKTÖRİYEL...9 PERMÜTASYON...96 DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON...00 TEKRARLI PERMÜTASYON...0 KOMBİNASYON...06 BİNOM AÇILIMI...7 OLASILIK...0 OLASILIK FONKSİYONU... EŞ OLASILI (OLUMLU) LEM UZAY...7 KOŞULLU OLASILIK... BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLAR... 7
İSTATİSTİK...9 MERKEZİ EĞİLİM VE YAYILIM ÖLÇÜLERİ...5 STANDART SAPMA...55 STANDART PUANLAR...59. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...6. ÜNİTE TÜMEVARIM VE DİZİLER TÜMEVARIM...7 TOPLAM SEMBOLÜ...79 TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ...85 ÇARPIM SEMBOLÜ...89 ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ...90 DİZİLER...9 DİZİLERDE İŞLEMLER...00 MONOTON DİZİLER...0 ARİTMETİK DİZİLER...0 GEOMETRİK DİZİLER.... ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...8 5. ÜNİTE MATRİS, DETERMİNANT VE DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ MATRİS... MATRİS ÇEŞİTLERİ...7 İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ...9 MATRİSLERDE TOPLAM İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ... BİR MATRİSİN BİR GERÇEK SAYI İLE ÇARPIMI...5 MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ...7 X TÜRÜNDEN BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ... BİR MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZU)... DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ...7 DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİNİN MATRİSLERLE GÖSTERİMİ VE Ü...9 DETERMİNANTLAR...5 SARRUS KURALI...6 EK (ADJOİNT) MATRİS...65 MATRİSLERİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ YARDIMIYLA DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLE- RİNİN Ü...68 CRAMMER KURALI...70 5. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI...7 ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARININ CEVAP ANAHTARI...77 KAYNAKÇA...78 SÖZLÜK...79 8
ORGANİZASYON ŞEMASI KAZANIMA AİT BAŞLIK Kazanıma ait keşfettirici çalışma LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Etkinlikte sorgulama basamağı Etkinlikte sonuç basamağı log, log y, log 0 z ve ln e t eşitliklerindeki, y, z ve t değerlerini bulunuz. Logaritma fonksiyonunda tabana eşit sayının görüntüsünün hangi reel sayı olacağını tartışınız. log m, log 5 n, log p ve ln r eşitliklerindeki m, n, p ve r değerlerini bulunuz. İşlenişe ait çözümlü örnek log 5, log 5 7 y ise log 5 in ve y cinsinden eşitini bulalım. log a 5 5 a dir. Bilgi notu veya hatırlatma a R + - { }, n R ve, y R + için, a) log a a ve log a 0 b) log a (.y) log a + log a y c) log a ( y ) log a - log a y ç) log a n n.log a dir. İşlenişe ait pekiştirme soruları U UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a) log 5 5 b) log 8 7 c) log 6 ç) log 9 6 d) log 5 8 Ünite sonu ölçme değerlendirme soruları. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. ) Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna... fonksiyonu denir. ) Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna... fonksiyonu denir. ) Üstel fonksiyonun grafiği ile logaritma fonksiyonunun grafiği... doğrusuna göre simetriktir. B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. ) Tabanı 0 olan logaritmaya onluk logaritma denir. ( ) ) Bütün üstel fonksiyondur artandır. ( ) Haftalık saat ile ilgili etkinlik, örnek, bilgi notu ve uygulama kısımlarını ihtiva eder. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ ETKİNLİK Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz. A z z + 5 i + 5 i z 5 + i B w z 7 i - i w - + i w - + i w - - i A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu tartışınız. Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız. İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz.. ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI A - Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. ) a, b R ve z a + b i ise b ye z karmaşık sayısının... denir. ) İki karmaşık sayının birbirine eşit olabilmesi için... olmalıdır. B - Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. ) Her tam sayı bir rasyonel sayıdır. ( ) ) Her irrasyonel sayı bir karmaşık sayıdır. ( ) ) Her doğal sayı bir sanal sayıdır. ( ) ) Arg (z.z ) Arg (z ).Arg (z ) tür. ( ) C - Aşağıdaki soruları yanıtlayınız. ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların sanal ve gerçek kısımlarını bulunuz. a) z - i b) z 7 + i c) z 5 i ç) z 9 ) Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) - + 0 b) + + 5 0 c) + 9 0 z + 5 i + m ve z (n + ) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım. Önce z ve z karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım. z + m + 5 i + m -6 ve 5 n + z z - 6 + (n + ) i z m - 8 n olur. O hâlde, z + (- 8) + 5 i z - 6 + 5 i ve z - 6 + ( + ) i z - 6 + 5i 5 i olur. a, b, c, d R, z a + b i ve z c + d i olmak üzere, z z a c ve b d dir. UYGULAMA ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz. a) z b) z 5 i c) z - i ç) z + 5 i d) z 5 i + e) z 6 - + 5 i ) Re( + i) + Im(( - ) i ) denklemini sağlayan değerini bulunuz. Haftalık saat ile ilgili ünite değerlendirme ve uygulama soruları gri zemin ile verilmiştir. 9
. ÜNİTE KARMAŞIK SAYILAR Mandelbrot kümesi, Benoit Mandelbrot un (Benö Mandelburo) teorisidir. Matematikte Mandelbrot kümesi, fraktal şekli oluşturan sınırları belirleyen, karmaşık düzlemdeki sayılar kümesidir. Fraktallar doğada, ağaçların yapraklarının diziliminde ve akciğerlerin damarlarının dallanmasında olduğu gibi birçok alanda doğal olarak bulunur. Mandelbrot kümesinin renklendirilmiş çizimi ETKİNLİK + 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Bu denklemin doğal sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen tam sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız. - 5 0 denkleminin tam sayılar kümesindeki çözümünü bulunuz. Aynı denklemin tam sayılar kümesinin genişletilmesiyle elde edilen rasyonel sayılar kümesindeki çözümünü tartışınız. - 0 ve + 5 0 denklemlerinin gerçek sayılar kümesindeki çözüm kümelerini bulunuz. Gerçek sayılar kümesinin genişletilmesiyle oluşturulabilecek yeni bir kümede + 5 0 denkleminin çözüm kümesinin boş kümeden farklı bir küme olup olamayacağını tartışınız. + 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesini bulalım. + 0 - - dir. - R olduğundan Ç olur. Bazı denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri için yeni bir sayı kümesine ihtiyaç vardır. Carl Friedrich Gauss (Karl Firidrih Gavs) (777 855): Katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı, analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir. Matematikçilerin prensi ve Antik Çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi olarak da bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok alanını etkilemiştir. Tarihin en nüfuzlu matematikçilerinden biri olarak kabul edilir. Gauss, sanal sayıları doktora tezinde kullanması ile matematik dünyasında yeni bir pencere açmıştır. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. a) Her denklemin gerçek sayılar kümesinde bir çözümü.... b) + 0 denkleminin doğal sayılar kümesindeki çözümü... tür. ) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. a) + 6 0 denkleminin gerçek sayılarda kökü yoktur. ( ) b) + - 6 0 denkleminin gerçek sayılarda kökü vardır. ( ) ) Aşağıdaki denklemlerin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümelerini bulunuz. a) 5 + 5 0 b) - 0 c) - 6 0 ç) + 9 0 0
SANAL SAYI BİRİMİ VE KUVVETLERİ ETKİNLİK Aşağıda yapılan işlemleri inceleyerek verilen boşlukları örneğe uygun biçimde doldurunuz. -.(-). - - -.(-). - -9 9.(-) 9. - - -.(-). -. - -8... -... Tüm negatif sayıların karekökleri için aynı işlem yapılabilir mi? Tartışınız. Negatif sayıların kareköklerinde ortak çarpan hakkında bir genellemede bulununuz. Negatif sayıların kareköklerini nasıl bir sembolle gösterebilirsiniz. Tartışınız. -6 ve -0 ifadelerinin her birini - cinsinden yazalım. -6 6.(-) ) 6. - - -0 0.(-) 0. - 5 - dir. Negatif sayıların karekökleri söz konusu olduğunda karşılaşılan - ortak çarpanına sanal sayı birimi denir. Matematikçi Euler (Öyler), bu sanal sayı birimini i ile göstermiştir. Yapısı göz önüne alındığında, - i i - olduğu görülür. a > 0 olmak üzere, -a a.i i. a olarak ifade edilir. Negatif sayıların kareköklerine sanal sayılar denir. - ve -7 şeklindeki köklü ifadeleri sanal sayı birimi cinsinden yazalım. - i olduğuna göre -. - i, -7 7. - 7i biçiminde yazılabilir. -. -9 işleminin sonucunu bulalım. (I) : -. -9 (-).(-9) 6 6, (II) : -. -9. -. 9. - i.i 6i 6.(-) -6 dır. - ve -9 sayıları birer gerçek sayı olmadığından -. -9 (-).(-9) dir. Bu yüzden (I) deki çözüm yanlıştır. Bu işlemin doğru çözümü (II) de görüldüğü gibidir. ETKİNLİK Aşağıdaki işlemleri noktalı yerleri doldurarak sonuçlandırınız. i -, i - olduğuna göre, i i i i i i i i i.i... 5 i.i... 7 i.i... 0... i.i... 6 i.i... 8 i.i...... dır. i nin hangi kuvvetlerinde aynı sonuçları bulduğunuzu tartışınız. Sanal sayı biriminin kuvvetleri için bir genellemede bulununuz. i 60, i 7, i 8 ve i 0 sayılarını bulalım.
i 60 (i ) 5 5, i 7 i 7 + i 7. i (i ) 8. i 8. i. i i i 8 i 80 + i 80. i (i ) 0. i i - i 0 i 00 + i 00. i (i ) 5. i i 5. i - i k, m N ve k nın ile bölümünden kalan m ise i k i m dir. Dolayısıyla n N olmak üzere,, k n i k i, k n + -, k n + -i, k n + olur. i, i 79, i 86 ve i - sayılarının en sade şeklini bulalım. i i i i (i ) 6 6 79 (i ) 9.i 9.(-i ) -i 86 (i ) 6.i 6.(-) - - (i ) -.i - -.i -.i - i.i - i - i -i bulunur. n N olmak üzere, i n + 7 ve i 0n - sayılarının en sade şeklini bulalım. i n + 7 i n. i 7 (i ) 6n.i.i 6n..(-i ) -i i 0n - i 0n. i - (i ) 50n.i - 50n.i -.i - i.i - i - i i bulunur. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. -? - 5 9? -? -8? i i i 5 i i ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere uygun ifadeleri yazınız. a) Sanal sayı birimi... ile gösterilir. b) - i ise i 5 + i... dir. ) Aşağıdaki verilen ifadelerin en sade şeklini sanal sayı biriminin kuvvetlerinden yararlanarak bulunuz. a) i + 8n b) i - c) i -907 ç) i 98 d) i n e) i -8n + f) in +5 + i n - g) i00n + + i 76n + i 6n - 5 i -8n +
ETKİNLİK + + 0 denklemi veriliyor. Denklemin diskriminantını bulunuz. -b + Δ -b - Δ ve bağıntılarından yararlanarak denklemin köklerini köklü ifade a a cinsinden yazınız. Sanal sayı birimi kullanarak kökleri (a + b i) biçiminde ifade ediniz. Elde ettiğiniz bu köklerin hangi sayı kümesine ait olabileceğini tartışınız. - + 0 0 denkleminin köklerini bulalım. Δ b - ac (-) -..0-0 -6 dir. Bu durumda denklemin gerçek kökü yoktur. Kökleri sanal sayı biriminden yararlanarak yazalım. -b+ Δ a -(-)+ -6 +6i. +i ve -b- Δ a -(-)- -6-6i - i olur.. a, b R ve i - sanal sayı birimi olmak üzere a + b i biçimindeki sayılara karmaşık sayılar denir. Bu sayıların oluşturduğu kümeye karmaşık (kompleks) sayılar kümesi adı verilir ve C ile gösterilir. Başka bir deyişle, C { z z a + b i, a, b R, i - } kümesi karmaşık sayılar kümesi olarak adlandırılır. Bu kümesinin elemanları standart biçimde z a + b i olarak gösterilir. Bu sayılara karmaşık sayılar denir. a R sayısına z nin gerçek kısmı Re(z), b R sayısına da z nin sanal kısmı Im(z) denir. Re(z) a ve Im(z) b biçiminde gösterilir. z + 6 i sayısının gerçek (reel) ve sanal kısımlarını bulalım. Re(z) ve Im(z) 6 dır. z + i, z ve z i karmaşık sayılarının gerçek ve sanal kısımlarını bulalım. z + i ise Re(z ) ve Im(z ) z + 0 i ise Re(z ) ve Im(z ) 0 z 0 + i ise Re(z ) 0 ve Im(z ) bulunur. Bu sayıları dikkatlice incelediğimizde z nin sanal kısmı sıfır ve z ün de gerçek kısmı sıfır olankarmaşık sayı olduğunu görmekteyiz. Dolayısıyla her gerçek sayının a + 0. i biçiminde, aynı şekilde her sanal sayının da 0 + b i biçiminde yazılabilen bir karmaşık sayı olduğu söylenebilir. O hâlde, hem gerçek sayılar hem de sanal sayılar kümesi karmaşık sayılar kümesinin birer alt kümeleridir. N Z Q R C Doğal Sayılar Tam Sayılar Rasyonel Sayılar Gerçek Sayılar Karmaşık Sayılar
KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ ETKİNLİK Aşağıdaki A ve B kümelerinde verilen karmaşık sayıları inceleyiniz. A z z + 5 i + 5 i z 5 + i w z 7 i - i w - + i w - + i w - - i B A kümesindeki her bir karmaşık sayının B kümesindeki hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu tartışınız. Eşit olduklarını söylediğiniz karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını karşılaştırınız. İki karmaşık sayının eşitliği ile ilgili bir genellemede bulununuz. z + 5 i + m ve z (n + ) i - 6 karmaşık sayıları birbirine eşit ise m ve n değerlerini bulalım. Önce z ve z karmaşık sayılarını standart biçimde yazalım. z + m + 5 i + m -6 ve 5 n + z z - 6 + (n + ) i z m - 8 n olur. O hâlde, z + (- 8) + 5 i z - 6 + 5 i ve z - 6 + ( + ) i z - 6 + 5 i olur. a, b, c, d R, z a + b i ve z c + d i olmak üzere, z z a c ve b d dir. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) - - 0 b) 9 + 5 0 c) + + 5 0 { - + i, - - i } { 7, -} { 5 i, - 5 i } { i, - i } ) Aşağıda verilen karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını bulunuz. a) z b) z 5 i c) z - i ç) z + 5 i d) z 5 i + e) z 6 - + 5 i ) Re( + i) + Im(( - ) i ) denklemini sağlayan değerini bulunuz. ) z - + i, z 5 + ( + y) i ve z z ise ( - y) farkı kaçtır? 5) k + i - + m i k - 5 i + - m i ise (k + m) toplamı kaçtır? A) - B) C) D) 5 E) 8
KARMAŞIK DÜZLEM ETKİNLİK Aşağıda verilen bazı sanal sayılar, sayı doğrusundaki katsayıları ile eşleştirilmiştir. Boş kutuları uygun biçimde doldurunuz. - - -- - - 0 - i - i i Bunun gibi bütün sanal sayıların eşlendiği noktaların oluşturduğu sayı doğrusuna sanal sayı ekseni denir. Şimdi de aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanlarını inceleyiniz. A 0 - B i 0 - i - i C + i - i - i 0 A kümesinin elemanlarını aşağıdaki gerçek eksende, B kümesinin elemanlarını aşağıdaki sanal eksende gösteriniz. 0 0 Gerçek eksen Sanal eksen Sanal eksen - - - 0 - - - Gerçek eksen Gerçek ve sanal eksenlerin ortak noktası olan başlangıç noktasında bu eksenlerin birbirine dik kesiştirilmesi ile oluşan yukarıdaki düzlemi inceleyiniz. Oluşturulan bu düzlemde C kümesinin elemanlarını gösteriniz. Karmaşık sayılar kümesinin bütün elemanlarının gösterilip gösterilemeyeceğini tartışınız. z + 0. i, z 0 - i, z + 5 i, z - + i, z 5 - - i ve z 6 - i karmaşık sayılarını gerçek ve sanal eksenlerin O noktasında dik kesişmesiyle oluşan düzlemde gösterelim. 5
Sanal eksen 5 z + 5 i z - + i - 5-5 - - - 0 - z + 0. i z 5 - - i - z 0 - i - - z 6 - i -5 Gerçek eksen Gerçek ve sanal eksenlerin başlangıç noktasında dik kesişmeleri ile oluşan sisteme karmaşık sayılar düzlemi ya da kısaca karmaşık düzlem adı verilir. a, b R olmak üzere, z a + b i karmaşık sayısı karmaşık düzlemde, Sanal eksen y b z a + b i veya b z a + b i 0 a Gerçek eksen 0 a biçiminde gösterilir. a) Re(z) < -, b) Im(z), c) Re(z) < - ve Im(z) eşitsizliklerini sağlayan z karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösterelim. a) y b) y c) y - 0 0-0 6
Sanal kısmı sıfır olan tüm karmaşık sayıların karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım. y 0 Gerçek eksen üzerindeki tüm noktalara karşılık gelen karmaşık sayıların sanal kısmı sıfır olduğundan aradığımız yer gerçek eksendir. UYGULAMA ) Aşağıda verilen karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz. a) - + i b) - i c) 5 i ç) d) + i ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun sözcük veya sözcükleri yazınız. a) Bir karmaşık sayı, gerçek kısmı... eksenden, sanal kısmı... eksenden alınarak karmaşık düzlemde gösterilir. b) Gerçek kısmı sıfır olan karmaşık sayıların geometrik yeri... eksendir. ) Aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. a) z - i ise Re(z) + Im(z) 7 dir. ( ) b) a, b R ise z a + b i sayısına karmaşık sayı denir. ( ) ) a ve b olmak üzere, (a + b i) karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ VE MODÜLÜ ETKİNLİK Aşağıda verilen karmaşık sayı çiftlerinin her birini altlarında verilen karmaşık düzlemde gösteriniz. z - i ve z + i y z - + 5 i ve z - - 5 i y 0 0 Verilen sayı çiftlerinin karmaşık düzlemdeki görüntülerinin gerçek eksene göre durumlarını açıklayınız. Aşağıda verilen karmaşık sayılara karşılık gelen noktaların gerçek eksene göre simetriği olan noktaları bulalım ve bu noktalara karşılık gelen karmaşık sayıları inceleyelim. a) z + i b) z - - i 7
a) y b) y z + i br z - + i 0 br - z - i - br 0 br z - - i - y b z a + b i 0 a -b z a - b i a, b R olmak üzere, a + b i ve a - b i karmaşık sayılarına birbirinin eşleniği denir. Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin karşılık geldiği noktalar gerçek eksene göre simetriktir. Herhangi bir z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir. z a + b i karmaşık sayısının eşleniği z a - b i karmaşık sayısıdır. ETKİNLİK Aşağıdaki sayı doğrusu üzerindeki noktalara karşılık gelen sayıları inceleyiniz. -5 0 Bu sayıların her birinin mutlak değeri ile eşlendiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığını ilişkilendiriniz. Aşağıda verilen karmaşık düzlemlerde işaretlenen karmaşık sayıları inceleyiniz. y y y 0 z + 0. i 0 z + i z - i 0 z, z ve z karmaşık sayılarının başlangıç noktasına olan uzaklıklarını bulunuz. Bir karmaşık sayının başlangıç noktasına olan uzaklığının, gerçek ve sanal kısımlarının kullanılarak nasıl bulunabileceğini tartışınız. z - + 5 i karmaşık sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığını bulalım. z - + 5 i karmaşık sayısına karşılık gelen noktayı karmaşık düzlemde işaretleyerek başlangıç noktasına birleştirelim. 8
A z - + 5 i 5 br y 5 A BO nde Pisagor bağıntısından yararlanarak, OA OB + AB OA + 5 B - br O OA 69 OA br bulunur. y z a + b i b z 0 a a br b br Karmaşık düzlemde bir z karmaşık sayısına karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına bu karmaşık sayının modülü denir ve z biçiminde gösterilir. a, b R ve z a + b i olmak üzere z karmaşık sayısının modülü karmaşık düzlemde, z a + b i a + b dır. z 8 + 6 i ve z 8-6 i karmaşık sayılarının modüllerini bulalım. Sanal eksen 6 z 8 + 6 i Gerçek eksen 0 8-6 z z z 8-6 i z 8 + 6 i ve z 8-6 i karmaşık sayılarına karşılık gelen noktaları karmaşık düzlemde işaretleyerek z ile z modülünü bulalım. z 6 + 8 6 + 6 00 0 z (-6) + 8 6 + 6 00 0 Bir z karmaşık sayısının modülü ile eşleniği olan z karmaşık sayısının modülü birbirine eşittir. z z dür. z C, z 7 ve z - a i olduğuna göre a nın pozitif değerini bulalım. z - a i 7 + (-a) 7 9 + a 7 9 + a 9 a 0 a 0 a 0, a 0 olur. 9
z koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik yerini bulalım. z + y i alalım. z + y i + y + y olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerde boş bırakılan yerlere en uygun ifadeleri yazınız. a) 5 - i + 6-8 i + -7 - i... dır. b) Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın orijine olan uzaklığına karmaşık sayının... denir. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. Modülü en küçük olan karmaşık sayıyı bulunuz. Gerçek kısmı 5 ve modülü olan karmaşık sayıları bulunuz. z - i ise z modülünü bulunuz. 5 i 5 - i 0 ) z - i, z 0 ve z + i karmaşık sayılarının modüllerini bulunuz. Modülleri karşılaştırınız. Modülleri birbirine eşit karmaşık sayıların karşılık geldiği noktaların geometrik yeri nedir? ) Aşağıda verilen çizelgedeki noktalı yerleri örneğe uygun biçimde doldurunuz. Karmaşık sayı Gerçek kısmı Sanal kısmı Modülü Karmaşık sayının eşleniği Eşleniğin gerçek kısmı Eşleniğin sanal kısmı Eşleniğin modülü z 8 + 5 i 8 5 8 + 5 7 z 8-5 i 8-5 8 + (-5) 7 z - - i..................... z 7 - i..................... z + i..................... z - i..................... z 5 + 7 i..................... 0
KARMAŞIK SAYILARDA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ ETKİNLİK Aşağıdaki tabloyu inceleyerek boş bırakılan yerleri doldurunuz. z z z + z z - z i i i + i 5 i i - i i + i - 5 i + i + - 5 i - i ( + i) - ( - 5 i) + i - + 5 i + 8 i - i...... + 6 i - - i...... + i - 5 i...... -i + 7 + i...... Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken gerçek kısımlar ve sanal kısımlar arasındaki bağıntıyı tartışınız. z + (m - ) i ve z n - 5 + 6 i için z + z - i olduğuna göre m.n değerini bulalım. z + z + (m - ) i + n - 5 + 6 i + n - 5 + (m - ) i + 6 i n - + [(m - ) + 6 i ] n - + (m + ) i dır. Bu durumda, n - + (m + ) i - i n - ve m + - n m -5 dir. O hâlde, m.n (-5). 5 bulunur. Karmaşık sayılar toplanırken veya çıkarılırken gerçek kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır veya çıkarılır. ETKİNLİK z + i, z 5 + i ve z + z 6 + 5 i karmaşık sayılarına karşılık gelen noktalar karmaşık düzlemde sırasıyla A, B ve C ile gösterilerek işaretlenmiş ve A ile B noktaları O ve C ile birleştirilmiştir. İnceleyiniz. 5 y z + i A C z + z 6 + 5 i AO ve OB nu z ve z nin modüllerinden yararlanarak bulunuz. O B z 5 + i 5 6. Şekil
Oluşturulan A KC ile B LC nin hipotenüs uzunluklarını Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz. AC ile OB nu ve OA ile BC nu karşılaştırınız. Oluşan OACB dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız. 5 y A K C O B L 5 6 z + i, z 5 + i ve z - z - + i karmaşık sayıları elde ediliyor. z, -z ve z - z karmaşık sayıları karmaşık düzlemde aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. OA ve OL nu z ve -z nin modüllerinden yararlanarak bulunuz. Oluşturulan T LM ve M RA nin hipotenüs uzunluklarını Pisagor bağıntısı yardımıyla bulunuz. OL ile MA nu ve OA ile LM nu karşılaştırınız. Oluşan OAML dörtgenine ne ad verildiğini tartışınız. 5 R A T M z - z - + i -5 - L -z -5 - i O - y z + i B z 5 + i 5 y B A z + 5 i Yandaki OABC paralelkenarında A noktasına z + 5 i, C noktasına z 7 + i karmaşık sayısı karşılık gelmektedir. O C 7 z 7 + i Buna göre B noktasına göre karşılık gelen karmaşık sayıyı bulalım. OABC paralelkenar olduğundan B köşesi z + z karmaşık sayısına karşılık gelir. O hâlde, z + z + 5 i + 7 + i 8 + 6 i bulunur. Karmaşık düzlemde ardışık üç köşesi z, 0 + 0 i ve z karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z + z karmaşık sayısı; z, 0 + 0 i ve -z karmaşık sayıları olan paralelkenarın dördüncü köşesi z - z karmaşık sayısıdır. y y z z + z z - z z O z O z -z
ETKİNLİK TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z + i, z + i ve z 5 + 7 i karmaşık sayıları için, z + z toplamının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız. z + z ile z + z ve (z + z ) + z ile z + (z + z ) toplamlarının sonuçlarını karşılaştırınız. z, z ve z karmaşık sayılarını 0 + 0 i karmaşık sayısı ile toplayınız ve sonuçları inceleyiniz. z + (-z ) ile (-z ) + z toplamının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz. Karmaşık sayılarda toplama işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz. z + i, z - + i ve z 5 - i karmaşık sayıları için, a) z + z b) z + z ile z + z c) (z + z ) + z ile z + (z + z ) ç) z + 0 + 0 i ile 0 + 0 i + z d) z + (-z ) ile (-z ) + z işlemlerini inceleyelim. a) z + z + i + (-) + i + (-) + i + i ( + 7 i) C dir. b) z + z + 7 i z + z - + i + + i - + + i + i + 7 i dir. O hâlde, z + z z + z dir. c) z + z - + i + 5 - i - + 5 + i - i + i (z + z ) + z + 7 i + 5 - i + 5 + 7 i - i 6 + 5 i z + (z + z ) + i + + i + + i + i 6 + 5 i dir. O hâlde, (z + z ) + z z + (z + z ) dir. ç) z + 0 + 0 i + i + 0 + 0 i + 0 + i + 0 i + i z 0 + 0 i + z 0 + 0 i + + i 0 + + 0 i + i + i z dir. O hâlde, z + 0 + 0 i 0 + 0 i + z z dir. d) -z -( + i) - - i z + (-z ) + i + (- - i) + (-) + i + ( - i) 0 + 0 i (-z ) + z - - i + + i - + + (- i) + i 0 + 0 i dir. O hâlde, z + (-z ) (-z ) + z 0 + 0 i dir. z, z, z C için, ) (z + z ) C olduğundan toplama işleminin kapalılık özelliği vardır. ) z + z z + z olduğundan toplama işleminin değişme özelliği vardır. ) (z + z ) + z z + (z + z ) olduğundan toplama işleminin birleşme özelliği vardır. ) z + 0 + 0 i 0 + 0 i + z z olduğundan (0 + 0 i) toplama işleminin etkisiz elemanıdır. 5) z + (-z ) (-z ) + z 0 + 0 i olduğundan z a + b i karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi -z -a - b i dir. z - i 5 + i ve z -5 + i 6 + i sayıları veriliyor. z (z + z ) + z olduğuna göre z karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersini bulalım. z - i 5 + i z -5 + i 6 + i z - - i z -. i i. +. i 8 i. z -5 +.(i ) + i 0 i. z -.. i -. (i ) i. z -5 +. + (i ) 5 i. z - i -. i. z -5 +. + 5 i. z - i - i z -5 + + i z - 7 i z - + i
z [( - 7 i) + (- + i)] + (- - i) -6 i + (- - i) - - 7 i olduğundan z ün toplama işlemine göre tersi + 7 i karmaşık sayısı olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z karmaşık sayısının eşleniği z ise z + z toplamı bir... sayıdır. b) z - i ve z - + i ise z + z... dır. ) z + i, z - i, z y + + i ve z y + ( + ) i k a r m a ş ı k s a y ı l a r ı a r a s ı n d a z + z z + z bağıntısı varsa + y toplamını bulunuz. (, y R) ) z ve z karmaşık sayıları veriliyor. z + i ve z + z 5 - i olduğuna göre z nin eşitini bulunuz. ) Toplamları bir gerçek sayı olan iki karmaşık sayı için ne söylenebilir? 5) O y A C B Yandaki karmaş k düzlemde verilen AOCB paralelkenar nda A noktas na z + i, C noktas - na z 6 + i karmaş k say s karş l k gelmektedir. Buna göre B köşesine karş l k gelen karmaş k say y yaz n z. 6) L M K y O Yandaki karmaş k düzlemde verilen OKLM paralelkenar nda K noktas na z - + 5 i, L noktas na z -6 + 6 i karmaş k say s karş l k gelmektedir. Buna göre M köşesine karş l k gelen karmaş k say y yaz n z. 7) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. z, z ve z karmaş k say lar için, z + z i, z + z 5 + i, z + z + 5 i toplamlar veriliyor. a) z + z + z toplam n bulunuz. b) z nin toplama işlemine göre tersinin eşleniğini bulunuz. + 6 i 5 + i i 8) y 6 z Yandaki karmaşık düzlemden yararlanarak aşağıdaki cümlelerin karşısına yargılar doğru ise (D), yanlış ise (Y) yazınız. z a) z - i ise Re(z) + Im(z) 7 dir. ( ) - O b) a, b R ise z a + b i sayısına karmaşık sayı denir. ( ) z - 9) z a + b i olmak üzere, z + z + i eşitliğini sağlayan z karmaş k say s n bulunuz.
KARMAŞIK SAYILARDA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ETKİNLİK Aşağıdaki çizelgede verilen noktalı yerleri, örnekleri inceleyerek doldurunuz. z z z. z z z z. z i i i. i 6 i -6 i + i... i. i i 5 - i - - 5 i... + i + i - 5 i ( + i).( - 5 i) 8-0 i + i - 5 i + i + i + i - i...... İki karmaşık sayının çarpımında nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. z - i ve z + i karmaşık sayıları için z.z işleminin sonucunu bulalım. z.z ( - i).( + i).( + i) - i.( + i) + i - i - i + i - i - (-) 6 - i dir. a, b, c, d R ve z a + b i, z c + d i karmaşık sayıları için, z.z (a + b i).(c + d i) z.z (ac - bd) + (ad + bc) i dir. ETKİNLİK z 5 + i karmaşık sayısını inceleyiniz. - i Pay ve paydadaki ifadelerin karmaşık sayı olup olmadığını belirtiniz. z karmaşık sayısını paydanın eşleniği ile genişletiniz. Genişlettiğiniz bu karmaşık sayıyı standart biçimde yazınız. Pay ve paydası karmaşık sayı olan karmaşık sayıları standart biçimde yazmak için ne yapılması gerektiğini tartışınız. z - i ve z + i karmaşık sayıları için z z işleminin sonucunu bulalım. z z işleminde pay ve paydayı ( + i) nin eşleniği olan ( - i) karmaşık sayısı ile genişletelim. z - i ( - i).( - i) z + i ( + i).( - i) ( - i) - i ( - i) - 6 i - i + i - i -.(-) ( - i) - 6 i - i - 5-7 i 5 olur. Bu durumda, z z 5-7 5 i olarak bulunur. z z işleminde pay ve payda z nin eşleniği ile çarpılarak payda gerçek sayıya dönüştürülür. Payda elde edilen karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmı, paydadaki gerçek sayıya bölünür. 5
ETKİNLİK ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Karmaşık sayılar kümesinden seçilen z - i, z + i ve z - 5 i karmaşık sayıları için, z.z çarpımının sonucunun bir karmaşık sayı olup olmadığını tartışınız. z.z ile z.z ve (z.z ).z ile z.(z.z ) çarpımlarının sonuçlarını karşılaştırınız. z, z ve z karmaşık sayılarını karmaşık sayısı ile çarpınız ve sonuçları inceleyiniz. z. z ile z.z çarpımının hangi karmaşık sayıya eşit olduğunu söyleyiniz. Karmaşık sayılarda çarpma işleminin özellikleri hakkında genellemelerde bulununuz. z - i, z + i ve z - i karmaşık sayıları için, a) z.z işleminin sonucunu inceleyelim. b) z.z ile z.z işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. c) (z.z ).z ile z.(z.z ) işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. ç) z.z z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. d) z.z eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. e) z.(z + z ) ile z.z + z.z işlemlerinin sonuçlarını karşılaştıralım. a) z.z ( - i).( + i).( + i) - i.( + i) + i - 6 i - i + i - 6 i + 7 - i C dir. b) z.z 7 - i bulmuştuk. z.z ( + i).( - i).( - i) + i.( - i) - 6 i + i - i 7 - i bulunur. Bu durumda z.z z.z olduğu görülür. c) (z.z ).z [( - i).( + i)].( - i) [ + i - 6 i - i ].( - i) (7 - i).( - i) - 8 i - 8 i + 6 i - - 6 i bulunur. z.(z.z ) ( - i).[( + i).( - i)] ( - i).[ 6 - i + i - 8 i ] ( - i).( - 8 i) - 8 i - 8 i + 6 i - - 6 i bulunur. Bu durumda, (z.z ).z z.(z.z ) olduğu görülür. ç) z.z z ise ( - i).z - i dir. Buradan eşitliğin her iki tarafını ( - i) sayısına bölersek ( - i).z - i z olduğu görülür. - i - i d) z.z eşitliğinde ( - i).z ise z olur. Verilen eşitlikte pay ve paydayı ( + i) ile - i genişletirsek, z - i ( + i) ( + i) ( - i).( + i) ( + i) - i + i 5 5 + 5 i bulunur. e) z.(z + z ) ( - i).[( + i) + ( - i)] ( - i).(5 - i) 5 - i - 0 i + i - i bulunur. z.z + z.z ( - i).( - i) + ( - i).( - i) [ + i - 6 i - i ] + [ - i - i + 8 i ] (7 - i) + (-6-8 i) - i bulunur. Bu durumda z.(z + z ) z.z + z.z olduğu görülür. 6
z, z, z karmaş k say lar için, ) z.z C olduğundan karmaş k say lar kümesi çarpma işlemine göre kapal d r. ) z..z z olduğundan say s karmaş k say lar kümesinde çarpma işlemine göre etkisiz elemand r. ) z..z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işlemine göre s f r z z hariç her karmaş k say n n tersi vard r. z karmaş k say s n n çarpma işlemine göre tersi z - ile gösterilir. z - z biçiminde yaz l r. ) z.z z.z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vard r. 5) (z.z ).z z.(z.z ) olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vard r. 6) z.(z + z ) z.z + z.z olduğundan karmaş k say lar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağ lma özelliği vard r. + i + i + i + i işleminin sonucunda elde edilen karmaşık sayının eşleniğinin sanal kısmını bulalım. sayısını standart biçimde yazabilmek için pay ve payda + i nin eşleniği ile genişletelim. + i ( + i).( - i) + i 9-6 i ( - i) 6-8 i + i - i 0-5 i 5 9-6 i 5 - i şeklinde yazılır. 5 Bu sayının eşleniği ise 5 + 5 i olarak bulunur. Bu durumda eşleniğinin sanal kısmı ise 5 dir. z - i + i + + i - i karmaşık sayısının reel kısmını bulalım. z - i + i ( - i) + + i - i ( + i) ( - i).( - i) + ( + i).( + i) - i ( - i - i + i ) + ( + i + i + i ) ( - 5 i) + ( + 5 i) bulunur. Bu durumda Re(z) olur. 7
z i + i + i + i +... + i ise z karmaşık sayısının gerçek kısmını bulalım. i i i i i i 5 i - i 6 - - i 7 - i + i + i 8 olduğundan 0 0 z i + i + i + i + i 5 + i 6 + i 7 + i 8 +... + i 7 + i 8 + i 9 + i 0 + i + i 0 0 0 z i + i i + i olduğundan z - + i bulunur. Bu durumda Re(z) - olur. z a + b i olmak üzere, z + z - 6 i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulalım. z a + b i ve z a - b i karmaşık sayılarını z + z - 6 i eşitliğinde yerine yazarsak (a + b i) + (a - b i) - 6 i a + b i + a - b i - 6 i 6a - b i - 6 i olur. İki karmaşık sayı eşitliğinden 6a ve -b -6 ise a ve b bulunur. Bu durumda, z + i olur. UYGULAMA ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z i ve z + i ise z.z... dır. b) z + i olduğuna göre Im( z - )... dır. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. ( - i).( - i 5 ).( - i 9 )? ( + i) + ( - i)? ( + i) + ( - i)? i + i 0 ) z a + b i olmak üzere,.z - z + i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bulunuz. ) z i + i + i + i + i 5 + i 6 + i 7 +...+ i karmaşık sayısının standart şeklini bulunuz. 5) z - - i + i + + i karmaşık sayısının sanal kısmını bulunuz. 6) z a + b i için z. z a + b olduğunu gösteriniz. 7) z ( + i).( - i) - i karmaşık sayısı için Im(z) + Re(z) kaçtır? 8) z ( + i).( - i) işlemi için sayısının gerçek kısmını bulunuz. z 8
EŞLENİK VE MODÜL ÖZELLİKLERİ ETKİNLİK Aşağ daki diyagramda verilen daire içine, z ve z karmaş k say lar verilmiştir. Bu karmaşık sayılardan yararlanarak boşlukları doldurunuz. z : z... z - z... z. z... z... z + i z 5 - i z + z... z. z... (z )... z + z... z : z... z - z... Sonuçlar aynı olan kutular eşleyiniz. Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sayıların eşlenikleri ile ilgili özellikleri belirtiniz. z + i ve z 7 - i karmaşık sayıları için, a) (z ) ile z b) z + z ile z + z c) z - z ile z - z ç) z. z ile z. z d) ( z : z ) ile z : z karmaşık sayısını karşılaştıralım. z + i ve z 7 - i karmaşık sayıları için, z - i ve z 7 + i dir. a) (z ) ( - i) + i olur. Bu durumda (z ) z bulunur. b) z + z ( + i + 7 - i ) ( - i ) + i z + z ( - i) + (7 + i) + i olur. Bu durumda z + z z + z dir. c) z - z [( + i) - (7 - i )] (- + 5 i ) - - 5 i bulunur. z - z ( - i) - (7 + i) - - 5 i dir. Bu durumda z - z z - z olur. ç) z. z [( + i).(7 - i )] (8 - i + i - 6 i ) ( + i) - i z. z ( - i).(7 + i ) 8 + i - i - 6 i - i dir. O hâlde, z. z z. z dir. ) d) ( z : z ) ( + i 7 - i (7 + i) ( ( + i).(7 + i) 9-9 i ) ( 8 + i + i + 6 i 58 ) ( + 6 i 58 ) ( 9 + i 9 ) 9 - i dir. 9 z : z - i ( - i).(7 - i) 8 - i - i + 6 i - 6 i 7 + i 9-9 i 58 58 (7 - i) 9 - i dir. 9 Bu durumda ( z : z ) z : z olur. 9
z, z, z karmaş k say lar için, ) ( z ) z ) z + z z + z ) z - z z - z ) z. z z. z 5) ( z : z ) z : z (z 0) dır. ETKİNLİK A z z... z.z... z. z... B z... z. z... z z... Yandaki A ve B kartlar nda verilen işlemleri, z 5 + i ve z i alarak doldurunuz. Sonuçları aynı olan ifadeleri eşleyiniz. Yaptığınız eşlemeleri kullanarak karmaşık sayıların modülleri ile ilgili özellikleri belirtiniz. z 6 - i ve z + i karmaşık sayıları için, a) z z ile z z a) z z z z 6 - i + i ( - i) 6 - i + i b) z.z ile z. z c) z. z ile z işlemlerinin sonucunu karşılaştıralım. (6 - i).( - i) ( + i).( - i) 0 + 0 i 0 + i + 6 + (-) + 0 0 dir. 0 0 z z z z b) z.z (6 - i).( + i) 0-0 i 0 + 0 0 z. z 6 - i. + i 6 + (-). + 0. 0 0 dir. z.z z. z dir. c) z. z (6 - i).(6 + i) 6 + i - i - i 0 z 6 - i 6 - i. 6 - i 0. 0 0 dır. z. z z dir. dir. z, z karmaş k say lar için, ) z.z z. z ) z z z z ; (z 0 + 0 i) ) z. z z dir. (5 + i).( - i) z + i karmaşık sayısı için z. z işleminin sonucunu bulalım. z. z z olduğundan (5 + i).( - i) z. z ( + i (5 + i).( - i) + i ) ( 5 + i. ) ( - i) + i 0
( 5 + i. - i + i ) (.( 0 ) ).0.00 00 olur. z z y 5 z Yandaki karmaşık düzlemde z, z ve z karmaşık sayılarının modülleri verilmiştir. Buna göre, z + z.z - z.z z.z işleminin sonucunu bulalım. z z, z. z z 9, z.z z 5 ve z.z z. z. olduğundan z + z.z - z.z z.z + 9-5 - - bulunur. z. z + z - 6 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için z yi bulalım. z. z z olduğundan z + z - 6 0 olur. z olsun. + - 6 0 ( + ).( - ) 0 - veya dir. Dolayısıyla z - veya z dir. z, negatif olamayacağı için z bulunur. UYGULAMA ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. ) ) z z - i ve z + i karmaşık sayıları için, a) z + z? b) z. z? c) z. z? ç) z. z? (5 + i).( + i) ( + i).(6-8 i) ( + i).( - i) ( + i).( + i) işleminin sonucunu bulunuz. ise z. z işleminin sonucunu bulunuz. A) 0,8 B),6 C), D),8 E) 6, 5 + i 5 - i + i ) z + i ve z. z ise z ifadesinin eşiti kaçtır? 5) z. z -. z + 0 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı için z yi bulunuz. 6) z + i ise z 8 in modülünü bulunuz.
KARMAŞIK SAYILARDA İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER ETKİNLİK - + 0 denkleminin çözüm kümesi için; Denklemin diskriminantını bulunuz. Çözüm kümesinin gerçek sayılar kümesinde varlığını tartışınız. Sanal sayı biriminden yararlanarak kökleri bulunuz ve birbiriyle karşılaştırınız. Bulduğunuz köklerin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirtiniz. - 8 + 0 0 denkleminin köklerini bulalım ve kökleri birbiriyle karşılaştırarak denklemin çözüm kümesini yazalım. - 8 + 0 0 denkleminin köklerini bulalım ve birbiriyle karşılaştıralım. Denklemin diskrimantı, Δ b - ac (-8) -..0-6 dır. -b Δ Δ < 0 olduğundan gerçek kök yoktur., eşitliğinden, a - (-8) - -6. 8 - i.( - i) - i, - (-8) + -6. 8 + i.( + i) + i dir. - i ile + i birbirinin eşleniğidir. Bu denklemin çözüm kümesi, Ç { - i, + i } olur. a, b, c R, a 0 olmak üzere a + b + c 0 biçimindeki ikinci dereceden gerçek katsayılı bir denklemin köklerinden biri m + n i ise diğeri m - n i dir. (m, n R) Köklerinden biri - i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazalım. kökü, kökünün eşleniği olacağından + i dir. Kökleri ve olan denklem, - ( + ). +. 0 biçimindedir. + + i 6. ( - i).( + i) 9 - i 0 dur. O hâlde denklem, - 6 + 0 0 olarak bulunur. z + z + k - 0 denkleminin köklerinden birisi z -z - i ise k değerini bulalım..yol: z - - i kök olduğundan denklemi sağlar. O hâlde, (- - i) +.(- - i) + k - 0 + i + i - 8 - i + k - 0 - - 8 + k - 0-6 + k 0 k 6 bulunur..yol: z - - i z - + i dir. z.z c k - (- - i).(- + i) a - i k - + k - 5 k - k 6 bulunur. + ( - i) + 7 - i 0 denklemini çözelim.
Diskriminant, Δ b - ac ( - i) -..(7 - i) - i + i - 8-5 dir., -( - i ) - -5. - + i - 5 i - - i - - i, Denklemin çözüm kümesi, Ç { - - i, - + i } olur. - ( - i ) + -5. UYGULAMA - + i + 5 i -b Δ a - + 6 i eşitliğinden, - + i dir. ) Aşağıdaki ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) Gerçek kat sayılı ikinci dereceden bir denklemin bir kökü - i ise diğer kökü... dir. b) + + 0 denkleminin farklı iki kökü... dır. ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bularak doğru cevapları ile eşleştiriniz. + + 5 0 { i, i } { i, i } + 9 0 { i, + i } ) Köklerden biri aşağıda verilen ikinci dereceden gerçek katsayılı denklemi yazınız. a) - i b) - + 5 i c) - i ) - + m - 0 denkleminin köklerinden biri + i ise m kaçtır? 5) + 8 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6) - ( - i) - 5 - i 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. İKİ KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ UZAKLIK ETKİNLİK y 5 O z B z A C 7 z 7 + 5 i ve z + i karmaşık sayıları yandaki karmaşık düzlemde gösterilmiştir. Şekilden de yararlanarak bu iki karmaşık sayı arasındaki uzaklığı hesaplayınız. z - z karmaşık sayısının modülünü bulunuz. z ile z karmaşık sayılarının arasındaki uzaklık ile z - z ni karşılaştırınız. z - + i ve z - + i karmaşık sayıları arasındaki uzaklığı z - z ile karşılaştıralım. z B - z - A C y O.Yol: AC br, BC br dir. A BC de Pisagor bağıntısında, AB AC + BC AB + AB br olur..yol: z - z (- + i) - (- + i) - + i + - i + i z - z + i + ise z ile z a r a s ı n d a k i uzaklık, z - z ne eşittir. olmak üzere, z ile z karmaşık sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların farkının modülüne eşittir. Buna göre z ile z arasındaki uzaklık z - z ile gösterilir. z, z C, z a + b i ve z c + d i
ETKİNLİK y 8 7 6 5 O z 8 z z 5 z + i z z z 6 z 7 5 6 7 Yandaki karmaşık düzlemde + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde z, z, z ve z ; birim uzaklıkta bulunan çember üzerinde de z 5, z 6, z 7 ve z 8 noktaları işaretlenmiştir. z in + i ye uzaklığı z - ( + i) biçiminde gösterildiğine göre z, z, z ün + i ye uzaklıklarını ifade ediniz. + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden eşitliği yazınız. z 5 in + i ye uzaklığı z 5 - ( + i) biçiminde gösterildiğine göre z 6, z 7 ve z 8 in + i ye uzaklıklarını yazınız. + i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan tüm z karmaşık sayılarını ifade eden eşitliği yazınız. Karmaşık düzlemde z 0 sayısına r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayılarını ifade eden bir genellemede bulununuz. z - ( - 5 i) eşitliğinin karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. y O - - - - -5-5 i z - ( - 5 i) eşitliği - 5 i karmaşık sayısına birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayılarını ifade eder. Dolayısıyla bu eşitlik, merkezi - 5 i ve yarıçapı birim olan çember üzerindeki noktalara karşılık gelen karmaşık sayılar olur. Karmaşık düzlemde z 0 karmaşık sayısından r birim uzaklıkta bulunan z karmaşık sayıları z - z o r eşitliğini sağlar ve merkezi z 0, yarıçapı r olan çemberi belirtir. Çemberi oluşturan z karmaşık sayılarının kümesi { z: z - z o r, z C } biçiminde gösterilir. z -( + i) eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. y M(, ) O z - ( + i) eşitsizliğini karmaşık düzlemde + i sayısına olan uzaklığı birim ya da birimden daha az olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi (, ) ve yarıçapı birim olan çemberin üzerinde ya da iç bölgesindedir.
z + - i > eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çizelim. M(-, ) - O y z + - i > eşitsizliğini z - (- + i) > şeklinde düzenlediğimizde bu eşitsizlik karmaşık düzlemde - + i sayısına uzaklığı birimden büyük olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, karmaşık düzlemde merkezi M(-, ) ve yarıçapı birim olan çemberin dış bölgesindedir. < z - i eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının karmaşık düzlemdeki görüntüsünü bulalım. y 6 5 M(0, ) O < z - i eşitsizliği karmaşık düzlemde i sayısına uzaklığı birimden büyük, birimden küçük ya da eşit olan karmaşık sayıları ifade eder. Bu karmaşık sayılar, yarıçapı birim ve birim olan (0, ) merkezli çemberler arasında kalan bölgededir. z + y i, z 0 a + b i ve r R + olmak üzere; ) z - z 0 r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan bir çemberi belirtir. ) z - z 0 < r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. ) z - z 0 > r eşitsizliği merkezi (a, b) ve yarıçapı r birim olan çemberin dış bölgesini belirtir. A {z + y i z, i -} ve B {z + y i Re(z), i -} ise A B kümesine karmaşık düzlemde karşılık gelen bölgeyi gösterelim. z + y i olmak üzere z eşitsizliği karmaşık düzlemde merkezi (0, 0), yarıçapı birim olan çemberin iç bölgesini belirtir. Bu karmaşık sayıların geometrik yer denklemi ise y - O - A B + y i + y + y 6 şeklindedir. z + y i karmaşık sayısının reel kısmı Re(z) dir. Re(z) eşitsizliğinin geometrik yer denklemi dir. Bu iki durum karmaşık düzlemde yandaki gibi gösterilir. 5
z - - i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarından modülü en küçük ve en büyük olanların modüllerini bulalım. z - - i z - ( + i) eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları M(, ) ve yarıçapı birim olan çember üzerindedir. O y z M K z Modülü en büyük olan karmaşık sayı z, en küçük olan ise z dir. O MK nde Pisagor bağıntısından yararlanırsak, OM OK + MK OM + OM 5 br bulunur. Çemberin yarıçapı da birim olduğundan z 5 - ve z 5 + 6 olarak bulunur. UYGULAMA ) Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri doldurunuz. a) z, z 0 C ise z - z 0, z 0 ile z arasındaki... gösterir. b) z C ise z eşitliğini sağlayan noktaların geometrik yeri... dır. ) Aşağıdaki soruları doğru cevapları ile eşleyiniz. z + 5 i ve z - + i ise z - z değeri kaçtır? z ise z - 8-5 i nin alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? 5 7 6 ) Karmaşık düzlemde - + 5 i noktası ile + a i noktası arasındaki uzaklık 0 br ise a değerlerinin toplamını hesaplayınız. ) z. z 9 eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik yerini karmaşık düzlemde çiziniz. 5) y A Yandaki karmaşık düzlemde verilenlere göre; a) [AC] nin uzunluğunu, C b) [AB] nin uzunluğunu bulunuz. B - O 6) z - z z - z eşitliğini, seçeceğiniz z karmaşık sayıları ile gösteriniz. 7) A { z : z - + i <, Im(z) > - } kümesine karşılık gelen bölgeyi karmaşık düzlemde gösteriniz. 8) z - + 5 i z - + i eşitliğini sağlayan noktaları karmaşık düzlemdeki görüntüsünü çiziniz. 9) z olmak üzere, z - + 5 i nin en büyük değeri ile küçük değerinin toplamı kaçtır? 0) z - 6 + 8 i ve z - 0 + 5 i ise z - z nin en büyük değeri ile en küçük değerinin toplamı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) 5 E)
KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL BİÇİMİ Fonksiyonların ve parametreler arasındaki bağıntıların kolayca anlaşılabilir biçimde ifade edilmesi için farklı grafiksel gösterim şekilleri kullanılır. y f() işlevi en iyi, iki boyutlu kartezyen koordinat sistemiyle gösterilir. Örnek olarak burada kartezyen koordinat sistemi ile radyo ve televizyon yayınlarındaki seslerin iletilmesinde kullanılan antenlere ait anten diyagramının çizimi görülüyor. Θ - db 0 db -0 db -0 db -0 db Bir anten diyagramının kartezyen koordinat sistemi ile gösterimi yandaki gibidir. -0 db 80 o 0 o 00 o 0 o 60 o 0 o 80 o Θ 70 o 00 o 0 o 0 o - db 0 o 0 o - db -0 db 60 o 90 o -0-0 -0-0 0 db 0 o Aynı anten diyagramının daha kolay kavranabilmesi için yandaki şekilde olduğu gibi kutupsal koordinatlar kullanılır. Diyagram üzerindeki bir nokta, kutupsal koordinatlar olarak adlandırılan bir açı ve bir uzaklık ile belirlenir. Bu diyagramdaki veriler bir noktaya yönlü olarak belirlenmiştir, bu nokta merkez noktasıdır. (Başka bir konumdan bakıldığında aynı nokta, tümüyle farklı yön ve uzaklıkta bulunur.) 0 o 80 o 50 o ETKİNLİK p 7p 6 p F E H -6-5 - - - - p 6 5 p D C p A (, p 6 ) B 0 5 6 - - - - -5-6 K p 6 G 7p p 6 Yandaki şekilde görüldüğü gibi yatay eksen ile pozitif yönde p radyan açı yapan ve orijine 6 birim uzaklıkta bulunan A noktası (, p 6 ) ikilisi ile gösterilmiştir. İnceleyiniz. Aynı şekilde B, C, D, E, F, G, H ve K noktalarının. bileşenini orijine olan uzaklık ve. bileşenini yatay eksenle pozitif yönde yaptığı açı olacak şekilde belirtiniz. Şimdi de M (, p ), N (, p ), P p ( 5, ) ve R (, 7p ) noktalarını kutupsal koordinat sisteminde gösteriniz. Bir noktayı belirtmek için (kartezyen koordinatlardan farklı olarak) noktaya karşılık gelen ikililerdeki bileşenlerin neler olduğunu tartışınız. 7
Yatay ekseni kullanarak A (, p ), B p (, ), C p (, ) ve D p (, 6 ) noktalarını gösterelim. B (, p ) p p A(, p ) p A, B, C ve D noktaları yandaki gibi gösterilir. C (, p ) p 6 D (, p 6 ) Yatay eksene kutupsal eksen diyelim ve bu eksen üzerinde bir başlangıç noktası (merkez noktası) alalım. Bir B noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığı r, kutupsal eksen ile yaptığı pozitif yönlü açının ölçüsü θ olmak üzere oluşturulan (r, θ) ikilisine B noktasının kutupsal koordinatları denir ve B(r, θ) biçiminde ifade edilir. B r şeklinde gösterilir. θ Kutupsal eksen Analitik düzlemdeki A(, ) noktasının kutupsal koordinatlarda nasıl ifade edildiğini bulalım. Dik koordinat sistemindeki ekseni ile kutupsal koordinat sisteminin kutupsal ekseni ve karşılıklı olarak başlangıç noktalarını bire bir eşleyelim. OAB de Pisagor bağıntısından, OA br dir. A(, ) O hâlde, r br dir. θ O B ETKİNLİK Kutupsal eksen tan θ ve θ 5o p tür. O hâlde, A noktası kutupsal biçimde A(, 5 o ) veya A (, p ) şeklinde ifade edilir. y O r θ A(, y) B Kutupsal eksen ve sin θ cinsinden ifade ediniz. Yanda kartezyen koordinatlarda verilen A(, y) noktası kutupsal koordinatlarda A(r, θ) olarak ifade edilmiştir. İnceleyiniz. OBA de cos θ değerini yazarak OB uzunluğunu r ve cos θ cinsinden ifade ediniz. OBA de sin θ değerini yazarak AB y uzunluğunu r 8
Ayrıca θ değerini hesaplamak için tan θ değerini ve y uzunlukları cinsinden yazınız. Kartezyen koordinatların bileşenlerinin her birinin kutupsal koordinatlar cinsinden nasıl ifade edilebileceğini tartışınız. A(, ) noktasını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım. O r θ A(, ) B Kutupsal eksen OBA de Pisagor bağıntısından, OA + ( ) cos θ OB OA sin θ AB OA OA br r br OB OA.cos θ.cos θ cos θ AB OA.sin θ.sin θ sin θ O hâlde, θ p ve A (, p ) olur. Kutupsal koordinatları (, 50 o ) olan A noktasının kartezyen koordinatları (a, b) ise a ve b değerlerini bulalım. b O 50 o A(a, b) B a Kutupsal eksen OBA de, OB a br, AB b br ve OA br (r ) dir. Ayrıca, cos 50 o OB cos 50 o a a.cos 50o OA sin 50 o AB sin 50 o b OA b.sin 50o olur. Kartezyen koordinatları (, y) olan A noktası kutupsal koordinatlarla (r, θ) olarak ifade edildiğinde, r.cos θ, y r.sin θ ve tan θ y olur. z + i karmaşık sayısını kutupsal koordinatlar cinsinden yazalım. Karmaşık düzlemde z + i karmaşık sayısına karşılık gelen nokta kartezyen koordinatlarla A(, ) olarak ifade edilir. A noktasının kutupsal koordinatlarını bulalım. O r θ A(, ) B Kutupsal eksen OBA de Pisagor bağıntısından, OA OB + AB OA ( ) + OA 6 OA ise r olur. 9
m(a OB) θ olmak üzere, tan θ AB OB tan θ tan θ θ p 6 dır. O hâlde, A noktasının kutupsal koordinatları (, p 6 ) olur. Buradan,.cos p 6 ve.sin p 6 yazabiliriz. Bu değerleri z + i karmaşık sayısında yazalım. z.cos p 6 +.sin p 6 i z. ( cos p 6 + i.sin p 6 ) dır. Genel olarak z + i y biçiminde gösterilen karmaşık sayı kutupsal koordinatları (r, θ) alınarak, z + i y r.cos θ + i.r.sin θ r.(cos θ + i.sin θ) biçiminde yazılır. Sanal Bu gösterime z nin kutupsal biçimi denir ve z r.cis θ eksen şeklinde de gösterilir. z + i y Kutupsal biçimdeki z r.cis (θ + k.60 o ), (k Z) y karmaşık sayıları da z r.cis θ ile temsil edilir. Kutupsal biçimde yazılan z r cis θ karmaşık sayısında Gerçek θ B eksen θ ya z nin argümenti adı verilir. 0 θ < 60 o (0 θ < p) ise θ ya z nin esas argümenti O denir. Arg(z) θ biçiminde gösterilir. z r Aşagıdaki karmaşık sayıları kutupsal biçimde yazınız. a) z + i b) z - + i c) z i ç) z - a) z + i z r + ( ) dir. tan θ ve z karmaşık sayısı. bölgede olduğundan Arg(z) θ p tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis p z. ( cos p + i.sin p ) olur. b) z - + i z r (- ) + dir. tan θ. bölgede olduğundan Arg(z) θ 5p 6 tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis 5p 6 z. 5p ( cos 6 - - + i.sin 5p 6 ) olur. ve z karmaşık sayısı c) z i 0 + i z r 0 + tür. tan θ tanımsız ve z karmaşık sayısı sanal eksen üzerinde olduğundan Arg(z) θ p tür. O hâlde, z r.cis θ z.cis p z. ( cos p + i.sin p ) olur. ç) z - - + 0. i z r (-) + 0 tür. tan θ 0 ve z karmaşık sayısı gerçek eksen üzerinde olduğundan Arg(z) θ 0 dır. O hâlde, z r.cis θ z.cis 0 z.(cos 0 + i.sin 0) olur. 0