Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.I. MTRİSLER ve TEMEL İŞLEMLER Tnım.. Mtris. şğıdki gibi stırlr ve sütunlr biçiminde sırlnmış reel syı tblolrın mtris denir............. n n n... mtrisinin n stırı ve m sütunu vrdır, bu nedenle n ye m bir mtristir y d (n x m) mertebesindendir denir. Burd ij R, mtrisin i nci stırınd ve j inci sütunund yer ln elemnıdır. Mtrisler genellikle büyük hrflerle = [ ij ] (n x m), B = [b ij ] (p x q) biçiminde gösterilir. m m m nm Örnek.. i. ij mtrisi ( x ) yni üçe-üç bir mtristir. Üç stırı ve üç sütunu vrdır. nın birinci stır birinci sütunund bulunn elemnı, yni, dir. Öte yndn nın üçüncü stır ikinci sütunundki elemnı, yni, tir. Bütün elemnlrını yzrsk, =, =, = ; =, = -, = ; =, =, = dır. ii. B b ij mtrisi ( x ) yni ikiye-iki bir mrtistir. İki stırı ve iki sütunu vrdır. Burd, b =, b = ; b =, b = olmktdır. iii. ij mtrisi ( x ) yni ikiye-üç bir mrtistir. İki stırı ve üç sütunu vrdır. Burd =, =, = ; =, = -, = olmktdır. Tnım.. Kre ve sıfır mtris. i. = [ ij ] (n x n) ise, yni n stırı ve n sütunu vrs, (n x n) kre mtristir denir. ii. Eğer bir (n x m) mtrisin bütün elemnlrı sıfır ise mtris (n x m) sıfır mtristir denir ve O nm olrk gösterilir. Bu tnım göre Örnek. (i) örneğinde ( x ) yni üçe-üç kre bir mtristir. ynı örnekte (ii) örneğinde B ( x ) kre mtristir. Öte yndn
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ( x ) sıfır, yni O, mtristir. Tnım.. Mtris toplmı ve sklr çrpım. i. (Sklr çrpım) = [ ij ], (n x m) ve α R ise, α = [α ij ], (n x m) olur, yni bir mtrisin bir syıyl (sklr) çrpımı mtrisin bütün elemnlrını o syıyl çrprk elde edilir. i i. (Mtris toplmı) = [ ij ] ve B = [b ij ], ve her iki mtriste (n x m), yni ynı mertebeden, olmk üzere + B = [ ij + b ij ], (n x m) olur. Dolyısıyl ynı mertebeden iki mtrisin toplmı toplnn mtrislerle ynı mertebendendir ve mtrislerin krşılıklı elemnlrının toplmı olrk elde edilir. Uyrı: Bu tnım göre iki mtris ynı mertebeden değilse mtrisler için toplm işlemi tnımlı değildir. İki mtris için toplm işlemi tnımlıys mtrisler toplm işlemi için uyumludur denir. Örnek.. i. ij ve α = olsun. 9 ij olur. ii. ij ve b ij B olsun. ( x ) ve B ( x ) mtris olduklrındn + B işlemi tnımlı değildir, y d ve B toplm işlemi için uyumlu değildir. iii. ij ve b ij B olsun. Her iki mtris de ( x ) olduklrındn toplm işlemi tnımlıdır ve c ij B C olmk üzere ( x ) bir mtristir.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı iv. ve B olsun. Her iki mtriste ( x ) kre mtris olduklrındn + B tnımlıdır ve B C olmk üzere ( x ) kre bir mtristir. Sklr çrpım ve toplm işlemlerini kullnrk çıkrm işlemi de tnımlybiliriz. Öncelikle, = [ ij ], (n x m) olmk üzere = (-) = [- ij ] olcğı çıktır. O hlde B = [b ij ], (n x m) olmk üzere + (-)B = B = [ ij b ij ], (n x m) olcktır. Eğer ve B ynı mertebeden ve B = O nm ise ve B mtrisleri eşittir denir ve = B olrk gösterilir. Bun göre = B nck ve nck ij = b ij, i =,..., n; j =,..., m ise doğrudur. ve B eşit değilse, yni bzı ij b ij ise, B yzılır. Örnek.. ij ve b ij B verilmiş olsun. i. ij b ij B olur. ii. ij ij b B olur. Teorem.., B ve C (n x m) mtrisler ve α, R olmk üzere: i. + B = B + (toplmnın değişme kurlı) ii. + B + C = ( + B) + C = + (B + C) (toplmnın birleşme kurlı) iii. + O nm = iv. = O nm v. α( + B) = α + αb (sklr çrpımın toplm üzerinde dğılm özelliği) vi. (α + )( + B) = α( + B) + ( + B).
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Bu teorem reel syılrın ilgili özelliklerinden kynklnır. Örneğin = [ ij ], B = [b ij ] ve C = [c ij ], ve ynı mertebeden olmk üzere + B + C = [ ij + b ij + c ij ] dir. m ij + b ij + c ij = ( ij + b ij ) + c ij = ij + (b ij + c ij ) olduğundn (ii) doğrudur. Benzer şekilde (α + )( + B) = [(α + )( ij +b ij )] = [α ij + ij + αb ij + b ij ] = [(α ij + αb ij ) + ( ij + b ij )] olduğundn (vi) doğrudur. Tnım.. Birim Mtris. = [ ij ], (n x n) bir kre mtris olsun. Eğer, i j ij,, i j oluyors (n x n) birim mtristir denir ve I n olrk gösterilir. Bun göre birim mtris her zmn kre bir mtristir ve köşegen elemnlrı (yni i = j olduğund) bire, diğer elemnlrı (i j) ise sıfır eşittir. Örneğin, I, I mtrisleri, sırsıyl, ( x ) ve ( x ) birim mtrislerdir. Krışıklığ yol çmdığı sürece birim mtrisi sdece I olrk göstereceğiz. Şimdi reel syılr için syısı çrpm işleminde birim elemndır yni α R olmk üzere α = α = α dır. Mtris cebirinde de, çrpm işlemi tnımlnınc, birim mtrisin ynı şekilde çrpm işleminin birim elemnı olduğu görülecektir. Tnım.. Mtris Çrpımı. = [ ij ], (n x q) ve B = [b ij ], (q x m) mtrisler olsun. Bu durumd ve B çrpm işlemi için uyumludur denir, işlem B ile gösterilir ve c ij q k ik b kj olmk üzere C = B = [c ij ], (n x m) bir mtristir. Bu tnım göre B işleminin tnımlı olmsı için mtrisinin sütun syısının (q) B mtrisinin stır syısın eşit olmsı gerekir ve B mtrisinin stır syısı ile, sütün syısı B ile ynıdır: (n x q) (q x m) (n x m). B C Çrpım mtrisinin c ij elemnı nın i inci stır elemnlrı ile B nin j inci sütun elemnlrının krşılıklı çrpımının toplmıyl elde edilir. Örneğin ( x ) ve B ( x ) mtrisler olmk üzere C = B ( x ) bir mtris olrk tnımlıdır ve
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı b b B b b b b ve Tnım. de uygun olrk: b b b b b b c c c c c c c c c = b + b + b = nın inci stır elemnlrı x B nin inci sütun elemnlrı c = b + b + b = nın inci stır elemnlrı x B nin nci sütun elemnlrı c = b + b + b = nın inci stır elemnlrı x B nin üncü sütun elemnlrı c = b + b + b = nın inci stır elemnlrı x B nin üncü sütun elemnlrı c = b + b + b = nın nci stır elemnlrı x B nin inci sütun elemnlrı c = b + b + b = nın nci stır elemnlrı x B nin nci sütun elemnlrı c = b + b + b = nın nci stır elemnlrı x B nin üncü sütun elemnlrı c = b + b + b = nın nci stır elemnlrı x B nin üncü sütun elemnlrı olmktdır. Örnek.. i.,, B C, olsun. Şimdi, ( x ), B ( x ) ve C ( x ) mtrislerdir. O hlde B ( x ), C ( x ), BC ( x ) ve CB ( x ), yni bir syı, olmk üzere tnımlıdır. Her dört durumd d önden (y d soldn) çrpn mtrisin sütun syısı, çrpıln mtrislerin stır syısın eşittir. m C çrpımı tnımlı değildir çünkü nın sütunu, C nin ise sdece bir stırı vrdır. O hlde,.. B olmk üzere ( x ) mtristir... C.... olmk üzere ( x ) mtristir... BC olmk üzere ( x ) mtristir... CB.. olmk üzere bir syıdır. BC ve CB işlemlerinin krşılştırılmsındn görüldüğü gibi BC CB dir, yni iki mrtisin her iki yönde de çrpımı tnımlı ols bile çrpımlr, reel syılrın ksine, eşit olmybilir. Bu örnekte olduğu gibi BC ( x ) mtris iken CB bir syı olmk üzere mertebeleri bile frklı olbilmektedir.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ii., B, C olsun. Bu durumd B, B, C ( x ) mtrisler olmk üzere tnımlıdır ve B, B olmktdır. Bir önceki örnekte olduğu gibi B B dır. yrıc B = olmsın rğmen ve B sıfır mtrisler değildir, yni sıfır olmyn mtrislerin çrpımı sıfır mtris olbilmektedir. Öte yndn C = olduğu d çıktır. Dolyısı ile B = C olduğu hlde B C dir. iii., B olsun. Bu durumd B = B = I (( x ) birim mtris) olmktdır. iv. I, olsun. Bu durumd I = = I olmktdır. Bu örneklerden şğıdki hususlr çıkmktdır: - Bir B çrpımı tnımlı ols bile B tnımlı olmybilir. - Hem B hem de B tnımlı iken B B vey B = B olbilir. - Bir B çrpımının sıfır mtris olmsı nın vey B nin sıfır mtris olmsını gerektirmez. Genel olrk çrpım için uyumlu, B, C mtrisleri B = C eşitliğini sğls bile B = C olmsı gerekmez. - Bir mtrisinin birim mtris ile (uyumlu olmk kuşuluyl) soldn y d sğdn çrpımı nın kendisidir. Yni birim mtris çrpm işleminin birim elemnıdır. Teorem.., B, C, D mtrisleri gösterilen toplm ve çrpm işlemleri için uyumlu ve α R olmk üzere: i. (B + C) = B + C (çrpmnın soldn dğılm özelliği) ii. ( + B)C = C + BC (çrpmnın sğdn dğılm özelliği) iii. BC = (BC) = (B)C (çrpmnın birleşme kurlı) iv. ( + B)(C + D) = (C + D) + B(C + D) v. (α)b = α(b). Tnım.. Bir mtrisin devriği ve bzı özel mtrisler. i. = [ ij ], (n x m) olsun. t = [ ji ], (m x n), yni nın sütunlrını (stırlrını) stır (sütun) olrk yzrk elde edilen mtrise nın devriği (y d trnsposu) denir.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ii. = [ ij ], (n x n) kre mtris olsun. Eğer = t ise yni ij = ji (bütün i ve j ler için) mtrisi simetrik (y d bkışımlı) mtristir denir. iii. = [ ij ], (n x n) kre mtris olsun. Eğer, ij ii, i j,, i j oluyors, yni nın köşegen üzerinde olmyn elemnlrı sıfır, köşegen elemnlrı (en zındn bzılrı) sıfırdn frklı ise, (n x n) köşegen mtristir denir. iv. = [ ij ], (n x n) kre mtris olsun. Eğer, ij ij,, i j, i j oluyors, yni nın köşegenin ltınd kln elemnlrı sıfır, diğer elemnlrı (en zındn bzılrı) sıfırdn frklı ise, (n x n) üst üçgen mtristir denir. v. = [ ij ], (n x n) kre mtris olsun. Eğer, ij ij,, i j, i j oluyors, yni nın köşegenin üstünde kln elemnlrı sıfır, diğer elemnlrı (en zındn bzılrı) sıfırdn frklı ise, (n x n) lt üçgen mtristir denir. Örnek.. t i. ( x ) mtrisinin devriği olmk üzere ( x ) mtristir. ( t ) t =, yni devriğin devriğinin mtrisin kendisi, olduğun dikkt ediniz. t mtrisinin ( x ), t mtrisinin ise ( x ) kre mtrisler olduğun dikkt ediniz ve her iki çrpımı d hesplyınız.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ii. ( x ) ve B ( x ) mtrisler olsun. O hlde t ve t B ve 9 t t B olur. Öte yndn 9 B dir ve (B) t = B t t olmktdır. iii. mtrisi ( x ) simetrik bir mtristir, çünkü =, = ve = dir. = t olduğun dikkt ediniz. iv. Bütün birim mtrisler köşegen mtrislerdir. mtrisi ( x ) köşegen bir mtristir. Köşegen mtrisler tnım gereği simetriktir, yni = t dır. v., B mtrisleri, sırsıyl, ( x ) ve ( x ) üst üçgen mtrislerdir. mtrisi ise ( x ) lt üçgen mtristir. Devrik lm işlemi ile ilgili olrk şu iki özelliğe dikkt ediniz: - ( t ) t = : devriğin devriği dır. - (B) t = B t t : bir çrpımın devriği devriklerin ters yönden çrpımıdır. C v z y x B d c b,, mtrislerini kullnrk şğıdki sonuçlrı ( x ) durumu için isptlyınız: i. (B) t = B t t ii. (BC) t = C t B t t iii. ve B simetrik mtrisler ols bile B simetrik olmybilir. ve B simetrik olmk üzere B nck ve nck B = B ise simetriktir. iv. t ve t her (n x m) mtris için simetriktir. iv. Bir (n x n) mtrisin sl köşegen elemnlrının toplmın mtrisin izi denir ve iz olrk gösterilir. Bun göre iz = + +... + nn olmktdır. iz( + B) = iz + izb ve iz = iz t dir.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı.. DETERMİNNTLR Tnım.. ( x ) Mtrisin Determinntı. ( x ) kre bir mtrisin determinntı, det y d olrk gösterilir ve det = olmk üzere reel bir syıdır. Yni ( x ) mtrisin determinntı sl köşegen elemnlrının çrpımındn, ters köşegen elemnlrının çrpımının çıkrılmsı yoluyl bulunur. Bun göre, B, C mtrislerinin determinntlrı det =.. =, detb =.. =, ve detc =.. = olrk hesplnır. B nin lt üçgen bir mtris olduğun ve determinntının (sl) köşegen elemnlrının çrpımı olduğun dikkt ediniz. Benzer şekilde üst üçgen y d köşegen ( x ) mtrislerin determinntlrı d (sl) köşegen elemnlrının çrpımlrındn ibret olcktır. Uygun birer mtris yzrk bunu gösteriniz. Dh üst mertebeden mtrislerin determinntlrını ( x ) mtrislerin determinntlrı yrdımıyl tnımlycğız. Bunun için önce ( x ) mtris için minör ve kofktör (y d eşçrpn) tnımlrını vermek gerekiyor. Şimdi, mtrisinde ij elemnının minörü nın i inci stırının ve j inci sütunun çıkrılmsı ile elde edilen ( x ) ltmtrisin determinntı olrk tnımlnır ve M ij ile gösterilir. Bun göre M det ( nın birinci stırı ve birinci sütunu çıkrıldı) M det ( nın birinci stırı ve ikinci sütunu çıkrıldı) M det ( nın birinci stırı ve üçüncü sütunu çıkrıldı) M det ( nın ikinci stırı ve birinci sütunu çıkrıldı) M det ( nın ikinci stırı ve ikinci sütunu çıkrıldı) 9
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı M det ( nın ikinci stırı ve üçüncü sütunu çıkrıldı) M det ( nın üçüncü stırı ve birinci sütunu çıkrıldı) M det ( nın üçüncü stırı ve ikinci sütunu çıkrıldı) M det ( nın üçüncü stırı ve üçüncü sütunu çıkrıldı) olmk üzere ( x ) mtrisin dokuz tne minörü vrdır. Böylece, ( x ) determinnt tnımını kullnrk, örneğin M =, M = olmktdır. ij = (-) i+j M ij işretli minörlerine de ij elemnının kofktörü denir. Dolyısı ile nın kofktörleri = (-) + M = M = (-) + M = -M = (-) + M = M = (-) + M = -M = (-) + M = M = (-) + M = -M = (-) + M = M = (-) + M = -M = (-) + M = M olmktdır. Kofktörlerin işretlerinin biçiminde bir klıp izlediklerine dikkt ediniz. Örneğin, mtrisinin minörleri ve kofktörleri M =.. = ve = M =.. = ve = - M =.. = - ve = - M =.. = - ve = M =.. = - ve = - M =.. = ve = - M =.. = - ve = - M =. -. = - ve = M =.. = ve =
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı olrk hesplnır. Şimdi nın birinci stır elemnlrını kofktörleriyle çrprk toplylım: + + =. +.(-) +.(-) = -. Bu işleme nın birinci stırı üzerinden Lplce çılımı denir. ynı şeyi nın diyelim ikinci stırı + + =. +.(-) +.(-) = - ( nın ikinci stırı üzerinden Lplce çılımı) y d üçüncü sütunu için yprsk: + + =.(-) +.(-) +.() = - ( nın üçüncü sütunu üzerinden Lplce çılımı) buluruz. Okuyucu nın herhngi bir stırı vey sütunu üzerinden Lplce çılımı yprs sonucunu bulcktır. Her durumd ij leri kendi kofktörleriyle çrptığımız dikkt ediniz. Öte yndn nın birinci stır elemnlrını, diyelim ikinci stır kofktörleriyle çrprk toplrsk + + =. + + (-) = buluruz. Ybncı kofktörlerle, yni nın herhngi bir stır y d sütün elemnlrını bşk bir stır y d sütunun kofktörleriyle çrprk, ypıln çılımlr, okuyucunun denemesi gerektiği gibi, her zmn sıfır sonucunu verir. Tnım.. ( x ) Mtrisin Determinntı. = [ ij ], ( x ) kre mtrisinin determinntı herhngi bir stır y d sütun üzerinden Lplce çılımın eşittir. Dolyısı ile i inci stır üzerinden j inci sütun üzerinden det = i i + i i + i i det = j j + j j + j j olrk tnımlnır. Bir mtrisin determinntı tek bir syıdır. Dolyısı ile determinnt hesplnırken hngi stırı vey sütunu seçtiğimiz sonucu değiştirmeyecektir. Prtikte çılım en çok sıfır içeren stır y d sütun üzerinden ypılır. Örneğin mtrisinin determinntını ikinci sütun (y d birinci stır) üzerinden hesplmk uygun olcktır. Bu durumd sdece iki kofktör ( ve ) hesplmk yeterlidir. Böylece det = + = (..) - (..) = olur.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Lplce çılımı tekniği her mertebeden kre mtrise uygulnır. Genel bir (n x n) mtrisinin minörleri (M ij ) nın ilgili stır ve sütunun çıkrılmsıyl elde edilen (n- x n-) ltmtrisin determinntı, kofktörleri ise işretli minörler yni ij = (-) i+j M ij olur. Böylece, hesplnck determinntlrın mertebesi ( x ) determinnt kdr zltılrk hesplm ypılır. Kofktörler hesplndıktn sonr herhngi bir stır y d sütun üzerinden Lplce çılımı uygulnrk determinnt hesplnır. Burd ( x ) bir mtris örneği vermekle yetineceğiz. olsun. Lplce çılımını en çok sıfır içeren dördüncü sütun üzerinden yprsk det = + + + olcktır. Gene her elemnı kendi kofktörü ile çrptığımız dikkt ediniz. Burd = = olduğundn det = + olcktır. Dolyısıyl sdece iki kofktör hesplmk yeterlidir. ( ) M M det -. (( x ) determinnt birinci stır üzerinden Lplce çılımıyl hesplndı.) ( ) M M det -. (( x ) determinnt birinci sütun üzerinden Lplce çılımıyl hesplndı.) ün nın ikinci stırını ve dördüncü sütununu; ün nın son stır ve sütununu çıkrrrk elde edildiklerine dikkt ediniz. O hlde det = + =.(-) +.(-) = - olur. Şimdi determinntlrın temel özelliklerine ilişkin önemli bir sonucu veriyoruz. Teorem.. = [ ij ], (n x n) kre mtris olsun. Öyleyse, i. det = det t, yni bir mtrisin devriğinin determinntı mtrisin determinntı ile ynıdır. ii. nın bir stır y d sütun elemnlrının hepsi sıfırs det = olur. iii. nın iki stır y d sütunu yer değiştirilirse det işret değiştirir ve her yer değiştirmede işret değişir. iv. nın iki stır y d sütunu ynı ise det = olur. v. nın bir stırı (sütunu) bir syı ile çrpılıp bşk bir stır (sütun) eklenmesi vey çıkrılmsıyl elde edilen mtrisin determinntı det ile ynıdır.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı vi. nın bir stır y d sütun elemnlrını bir α syısı ile çrprk elde edilen mtrisin determinntı αdet dır. nın k stırı (sütunu) α ile çrpılırs determinnt α k det olur. det[α ij ] = α n det dır. vii. köşegen, lt üçgen vey üst üçgen bir mtris ise determinntı nın (sl) köşegen elemnlrının çrpımın eşittir, yni det =... nn dir. Bu teoremin doğruluğunu ( x ) bir mtrix ile bşlyrk gösterebiliriz. i. ise t dir. Dolyısı ile det = = det t dir. Bu sonucun önemi nın stırlrı için doğru oln herşeyin sütunlrı için de doğru olmsı nlmın gelmesindendir. Çünkü nın sütunlrı t nin stırlrıdır. Dolyısı ile nın sütunlrın ilişkin herşeyi devriğinin stırlrı üzerinden gösterebiliriz. Öyleyse gösterimin klnını sdece stırlr (y d sütunlr) için ypbiliriz. ii. nın herhngi bir stırı sıfırlrdn oluşuyors, örneğin = =, det = olcğı çıktır. iii. nın iki stırı yer değişirse * olur ve det* = = -det olur yni işret değiştirir. iv. ( x ) bir mtrisin iki stırı ynı ise = ve = olmlıdır. O hlde det = = = olur. k v. nın ikinci sütununu bir k ile çrpıp birinci sütun eklersek B elde k ederiz. Dolyısı ile detb = + k k = det olur. k vi. det k det k kolylıkl gösterilir. olduğu çıktır. İkinci sütunu d k ile çrprsk k det olcğı d vii. diyelim lt üçgen ise = dır dolyısı ile det = olur. Şimdi genel hli ele llım. i. ise t hesplrsk olur. t nin determinntını birinci stır üzerinden det t elde ederiz. m bu nın determinntının birinci sütun üzerinden hesplnmsı ile ynı şeydir. Dolyısı ile ( x ) mtris için det = det t olur. Burd dikkt edilecek husus devrik lm işleminin ( x ) ltmtrislerin determinnt değerlerini, yni nın minörlerini, etkilemediğidir. ( x ) bir mtrisin determinntı ( x ) determinnt değerlerine bğlıdır ki şimdi gösterdiğimiz gibi bunlr devrik
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı lm işleminden etkilenmez. O hlde sonuç ( x ) mtris için de geçerlidir. Böylece tümevrım yoluyl det = det t özelliğinin genel olrk geçerli olduğu görülür. ii. Herhngi bir mertebeden mtrisinin bir stır elemnlrının hepsi sıfırs Lplce çılımı o stır üzerinden ypılır ve sonuç sıfır olur. iii. ( x ) bir mtrisin üçüncü stır elemnlrının minörleri ilk iki stırdn elde edilen ( x ) mtrislerin determinntıdır. İlk iki stırın yerlerini değiştirirsek ( x ) mtrislerin stırlrı yer ve determinntlrı işret değiştirir. Dolyısı ile üçüncü stır üzerinden ypıln Lplce çılımı det nın ters işretlisidir. Dh yüksek mertebeden mtrisler için tümevrım yönteminin kurgulnmsını okuyucuy bırkıyoruz. iv. Bir mtrisin iki stırı ynıys bunlrın yerlerini değiştirmek det nın değerini etkilememelidir. m (iii) özelliğinden det işret değiştirmelidir ki bu d nck det = ise olur. v. Diyelim ki bir (n x n) mtrisinin ikinci stırını bir k ile çrpıp birinci stır ekledik ve yeni mtrisin (B diyelim) determinntını birinci stır üzerinden Lplce çılımı ile hesplıyoruz: detb = ( + k ) + ( + k ) +... + ( n + k n ) n. Dikkt edilirse burd B j = j dir çünkü kofktörler hesplnırken birinci stır çıkrılmktdır ve ile B birinci stır dışınd ynı mtrislerdir. Dolyısı ile detb = ( + +... + n n ) + k( + +... + n n ) = det olur çünkü son prntez içinde ybncı kofktörlerle ypıln çılım vrdır ve her zmn sıfırdır. vi - vii. ( x ) mtristen bşlyrk gösterimi lıştırm olrk okuyucuy bırkılmıştır. Bu teorem determinntlrın hesplnmsınd kolylık sğlmktdır. Örnek.. i. 9 ise ' dir. det yı hesplmk için ikinci stırı birinci 9 stırdn çıkrrk B 9 elde ederiz. Teorem (v) özelliğinden det = detb olmlıdır ve B nin determinntını hesplmk nispeten dh kolydır, çünkü birinci stırınd bir elemn sıfırdır. Dolyısı ile B nin determinntını birinci stır üzerinden hesplrsk det = detb = -(..9) + (-)(..) = buluruz. nün determinntının hesplnrk det y eşit olduğunun gösterilmesini lıştırm olrk bırkıyoruz.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ii. ise det = dır. Çünkü, nın son iki sütununu toplyıp birinci sütundn çıkrırırsk B elde ederiz. (v) özelliğinden det = detb dir ve (ii) özelliğinden detb = dır. ynı sonucu (iv) özelliğinden de gösterebiliriz. nın son sütununu ikinci sütun eklersek elde edilen mtrisin determinntı ynı klır. m bu yoll elde edilen mtrisin (B* diyelim) ilk iki sütunu ynıdır ve determinntı (iv) özelliğinden sıfırdır. Burd biz ynı sonucu B* ın ikinci sütununu ilkinden çıkrrk gösterdik. iii. 9 mtrisinin ilk iki stırının yeri değiştirilirse 9 B elde edilir. nın ikinci stırını ikiyle çrpıp ilkinden çıkrrk elde edilen mtrisin determinntı = det = -9(..) = olur. B nin ilk stırını ikiyle çrpıp ikincisinden çıkrrk elde edilen mtrisin determinntı = detb = 9(..) = - = -det olur. Böylece iki stırın yerinin değiştirilmesi determinntın işretini değiştirmiştir. Bu değiştirmeden sonr ypılck her değiştirme tekrr işret değiştirecektir. Örneğin, B nin son iki sütunun yer değiştirilmesi ile elde edilen mtrisin determinntının detb = det olduğunun gösterimini okuyucuy bırkıyoruz. iv. olsun. nın ilk stırını ikiyle çrpıp ikincisinden çıkrırısk B olur. det = detb = det det olrk hesplnır. ( x ) determinntı hesplrken ilk stırı üç ile çrpıp ikinci stırdn çıkrrk işlem yptığımız dikkt ediniz. v. bir üst üçgen mtris olsun. Bun göre det = =.. = olmlıdır. Gerçekten de det yı son stır üzerinden Lplce çılımı ile hesplrsk (.) det det olur.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Tnım.9. Tekil olmyn mtrisler ve ters mtris. = [ ij ] (n xn) kre mtris olsun. Eğer B = B = I olck şekilde (n x n) bir B mtrisi vrs tekil olmyn, y d tersi oln, bir mtristir denir. Bu durumd B, nın ters mtrisidir denir ve B = - olrk gösterilir. Eğer böyle bir - mtrisi yoks tekil bir mtristir denir. Ters mtrisin sdece kre mtrisler için tnımlndığın ve her kre mtrisin tersinin olmsı gerekmediğine dikkt ediniz. Tekil mtrisler tersi olmyn mtrislerdir. Örneğin, b mtrsini ele llım. Bir B mtrisinin nın tersi olmsı için B = B = c d c b d I olmsı yni B gerekir. Mtris eşitliği tnımındn + c =, c b d b + d =, ( + c) =, ve (b + d) = y d = olmlıdır ki bu d olmz. Dolyısı ile tekil bir mtristir yni tersi yoktur. Tekil oln mtrisi için det = olduğun dikkt ediniz.. Öte yndn mtrisi ve B mtrislerini ele llım. B = B = I (( x. ) birim mtris) olduğu kolylıkl görülür. Yni - vrdır ve tekil olmyn bir mtristir. Tekil olmyn mtrisi için det olduğun dikkt ediniz. Tnım.. Eşmtris. = [ ij ] (n xn) kre mtris olsun. nın kofktörlerinden oluşn mtrisin devriğine nın eşmtrisi denir ve eş olrk gösterilir. Şimdi ( x ) bir mtrisin kofktörleri =, = -, = -, = dir. Dolyısı ile es dir. Yni ( x ) bir mtrisin eşmtrisi köşegen elemnlrın yerlerini, köşegen olmyn elemnlrın d işretlerini değiştirmek suretiyle kolyc hesplnır. Burd ( es) det det olduğunu görüyoruz. Bunun nedeni (eş) mtrisinin sl köşegen elemnlrının nın stırlrı itibriyle Lplce çılımlrı; ters köşegen elemnlrının ise nın stırlrı itibriyle ybncı kofktör çılımlrı olmsıdır. Determinnt bhsinden bildiğimiz gibi Lplce çılımlrı nın determinntı iken, ybncı kofktör çılımlrı her zmn sıfırdır. (eş) mtrisi de, okuyucunun göstermesi det gerektiği gibi, sonucunu verecektir. Dolyısı ile det olmk üzere ( x ) bir det mtrisin tersi es det det
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı olcktır. Bir ( x ) kre mtris için ise es olur. eş nın sütun elemnlrının (stır elemnlrının) nın stır elemnlrının (sütun elemnlrının) kofktörleri olduğun dikkt det ediniz. Burd d (eş) det = (eş) olcktır. Çünkü köşegen elemnlr det Lplce çılımlrı olurken, köşegen üzerinde olmyn elemnlr ybncı kofktörlerle çılımdır ve sıfırdır. Dolyısı ile ( x ) bir mtrisin tersi, gene det olmk üzere, es dır. det Örnek.. i. olsun. det = olduğundn tekil bir mtristir, - yoktur. Bunu görmek b c için B mtrisinin nın tersi olduğunu düşünelim. Öyleyse B = I olmlıdır. x y z Dolyısıyl B nin, örneğin, birinci sütun elemnlrı I nın birinci sütun elemnlrın eşit yni + α + x = + α + x = + α + x = olmlıdır. m bu üç denklemi sğlyn (, α, x) syılrı yoktur. Çünkü birinci denklemi ikincisinden çıkrırsk + α = - y d = -α - / elde ederiz. Bunu denklemlerde yerine koyrsk -α + x = / -α + x = / -α + x = / çıkr ki bu d / = / demek olur. Dolyısı ile B = I sğlyn bir B mtrisi yoktur. ii. olsun. det = dir ve - vrdır. eş = ve det = olduğun göre olur. - = I = - olduğu kolylıkl görülür.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ii. olsun. Burd det = dir ve tekil olmyn bir mtristir. nın eşmtrisi eş = dir. Dolyısı ile.. det olur. - = - = I olduğunun sğlmsını okuyucuy bırkıyoruz. iv. olsun. Bu üst üçgen mtrisini determinntı det =... = dir. Mtrisin eşmtrisi eş = dır. Öyleyse.... det B olur ve B = B = I olduğu gösterilebilir. Yni ( x ) bir mtris için de det ise - = (/det)eş olmktdır. Bu sonuçlrı şğıdki teoremde topluyoruz. Teorem. = [ ij ] (n x n) kre mtris olsun. Eğer det ise tekil olmyn bir mtristir ve det eş dır. Eğer det = ise tekil bir mtristir ve tersi yoktur. Theorem. ve B (n x n) tekil olmyn mtrisler olsun. Öyleyse, i. - tektir, yni nın yrı iki tersi olmz. ii. ( t ) - = ( - ) t, yni devriğin tersi, tersin devriğidir. iii. simetrik ise - de simetrik bir mtristir. iv. (B) - = B - -.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Knıt: i) C ve D nın ters mtrisleri olsun. Dolyısı ile C = B = I dır. Öyleyse B = I C(B) = CI = C olur. m C(B) = (C)B = IB = B olduğundn B = C olmlıdır. ii) Tnım gereği - = I olduğundn ( - ) t = I olur. m ( - ) t = ( - ) t t olduğundn ( - ) t t = I olur. Öte yndn gene tnım gereği - = I ve ( - ) t = I yni t ( - ) t = I dır. Dolyısı ile ( - ) t t = I = t ( - ) t dir ve t nin tersi ( - ) t dir. iii) simetrik ise = t dir. Dolyısı ile - = ( t ) - dir. Öyleyse (ii) özelliğinden - = ( - ) t dir ve bu d - simetrik bir mtristir demektir. iv) (B) - = B - - olmsı için B - - (B) = I = (B)B - - olmsı gerekir. Teorem yi kullnrk B - - (B) = B - ( - )B = B - IB = B - B = I olduğu gösterilir. Benzer şekilde I = (B)B - - olduğu d gösterilir. b x y, B, C şğıdki sonuçlrı ( x ) durumu için isptlyınız: c d z v i. detb = detdetb ii. B = C B = C nck ve nck tekil olmyn bir mtristir. iii. B = O nn B = O nn nck ve nck tekil olmyn bir mtristir.. VEKTÖRLER VE DOĞRUSL BĞIMSIZLIK = {,..., n ) ve B = {b,..., b m ) iki küme olmk üzere ve B nin krtezyen çrpımının xb = {(, b) ve b B} olrk tnımlndığını biliyoruz. Bun göre xb (, b) sırlı ikililerinden oluşmktdır. Burd sır önemlidir. Örneğin = {, } ve B = {,, } ise xb = {(, ), (, ), (, ), (, ) (, ), (, )} olur. Dolyısı ile (, ) ve (, ) elemnlrı frklı elemnlrdır çünkü (, ) elemnınd, B iken; (, ) elemnınd ve B dir. Benzer şekilde R uzyı d R = RxR = {(x, x ) x R ve x R} sırlı ikilileri olrk tnımlnır ve elemnlrın vektör denir. x = (x, x ) R vektöründe x ve x ye x in bileşenleri denir. Örneğin (, ), (-, ), (, ), (., -) R de vektörlerdir. Bu şekliyle vektörlere stır vektörler denir. R nin elemnlrını.,,, şeklinde sütun vektörler olrk d gösterebiliriz. R de stır vektörleri ( x ) stır mtrisler, sütun vektörleri ise ( x ) sütun mtrisler olrk değerlendirebiliriz. slınd R uzyı ( x ) ve ( x ) mtris uzylrı ile mtemtiksel çıdn özdeştir. m biz gene de stır ve sütun vektör yrımın dikkt edeceğiz. 9
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Burdn hreketle R (x, x, x ) sırlı üçlüleri, yd -vektörleri, olrk tnımlnır. Stır vektörler olrk (,, ), (-,., ) ve (,, ) R de vektörlerdir. ynı vektörleri sütun vektörler olrk d,., x x şeklinde gösterebiliriz. Genel olrk R n (x, x,..., x n ) y d x sırlı n-lilerin, y d n-... x n vektörlerin, kümesi olrk tnımlnır. Örneğin (,, -, ) R de, (,,,, ) R de vektörlerdir. Vektörleri uygun mertebeden mtrisler olrk düşündüğümüzde bir sonrki tnım kendiliğinden oluşur: Tnım. Vektörlerde sklr çrpım, toplm ve çıkrm x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n ve α R olmk üzere, i. (sklr çrpım) αx = (αx, αx,..., αx n ), ii. (vektör toplmı) x + y = (x + y, x + y,..., x n + y n ), iii. (çıkrm) x y = (x - y, x - y,..., x n - y n ). Örneğin x = (,, ) ve y = (-,, ) R olmk üzere x + y = (-, +, +) = (-,, ), x y = (-(-), -, -) = (, -, -), x = (.,.,.) = (,, ) olur. ynı şeyi x, y, x y, x y,x olrk d gösterebiliriz. Bir sonrki sonuç d mtris işlemlerine dir bilgilerimiz ışığınd şikrdır. Teorem. x, y, z R n ve α, R olmk üzere vektör işlemleri şğıdkileri sğlr: i. x + y = y + x, x y = -(y x) ii. x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z, iii. α(x y) = αx αy, iv. (α + )(x + y) = (α + )x + (α + )y = α(x + y) + (x + y). Tnım İç çrpım. x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n olmk üzere x ve y nin iç çrpımı xy olrk gösterilir ve
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı olrk tnımlnır. n xy xi y i i x y x y... x n y n Uyrı: İç çrpım ynı mertebeden vektörler için tnımlıdır. Vektörleri mtris olrk düşündüğümüzde iç çrpım iki mtrisin çrpımıdır ve bunlrın çrpım için uyumlu olmsı gerekir. Bu nedenle x ve y stır vektörlerse iç çrpımı xy t (y t y nin devriği); sütun vektörlerse iç çrpımı x t y olrk yzmmız gerekir ve bzı kitplr böyle ypr. Biz burd krışıklığ neden olmdığı sürece iç çrpım için xy notsyonunu kullncğız. m bzı durumlrd diğer notsyonlrı d kullnbiliriz. Örnek.. i. x = (, ), y = (, ), z = (-, ) R olsun. O hlde xy =. +. =, xz =.(-) +. =, zx = -. +. =, yx =. +. = olur. Öte yndn xy iç çrpımını önce x = (, ) sonr (x)y =, y d (xy) =. = y d x(y) = x(, ) =. +. = olrk hesplybiliriz. ii. x = (,, -), y = (,, ), z = (,, ) R olsun. O hlde xy =. +. +(-). =, yx =. +. +.(-) =, xz =. +. + (-). = yz =. +. +. = olur. x(y + z) = x(,, ) =. +. + (-). =, Burd x(y + z) = xy + xz olduğun dikkt ediniz. yrıc (x + y)z = xz + yz =. +. = olcğı d çıktır. iii. X R n+ olsun. Burd R n+ bileşenleri negtif olmyn syılr oln vektörlerin kümesidir. Örneğin (-,, ) vektörü R + iken (,, ) R + dır. Dolyısı ile x = (x,..., x n ) X ise x,.., x n oln syılrdır. Şimdi bir tüketicinin kullnbileceği mllrdn oluşn ml sepetleri düşünelim. Örneğin, ( birim ekmek, birim peynir, birim yğ, birim giyecek) den oluşn bir ml sepeti olbilir. çıktır ki bu sepeti (,,, ) olrk R + d vektör olrk düşünülebiliriz. Burd sırlılık ilişkisinin önemine dikkt ediniz. (x, x, x, x ) vektörünün (ml sepetinin) birinci bileşeni (x ) ekmek miktrını, ikinci bileşeni (x ) peynir miktrını vb. göstermektedir. Dolyısı ile R + dki her vektör bir ml sepetidir. Şimdi p = (p, p, p, p ) bir fiyt vektörü olsun. Burd p ekmeğin, p peynirin vb. fiytı olmktdır ve bütün fiytlrın pozitif olduğunu düşünebiliriz. Bu durumd px iç çrpımı px = p x + p x + p x + p x olmk üzere sepetteki ml miktrlrını, mllrın fiytlrı ile çrprk elde edilen toplmdır ve bir sepetin tüketiciye mliyetidir. Örneğin x = (,,, ) sepetinin p = (,.,, ) fiytlrınd mliyeti px = +. + + = 9. TLdir. Doğl olrk tüketici X R n+ d yer ln her sepeti stın lmz. Örneğin, TLsi oln bir tüketici p = (,.,, ) fiytlrınd
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı x = (,,, ) sepetini lmz, çünkü px =. olmktdır. O zmn M tüketicinin elindeki pr miktrını göstermek üzere lbileceği ml sepetleri kümesini B = {x X px M} olrk gösterebiliriz ki bu d tüketicinin bütçe kümesidir ve tbi olduğu kısıtı, yni px M, ifde etmektedir. Dolyısı ile tüketici mliyeti (px) elindeki prdn (M) küçük y d on eşit oln sepetleri lbilir. Örneğin M = iken p = (,.,, ) fiytlrınd x = (,,, ) B iken y = (,,, ) B dir. Yni tüketici TL ile bu fiytlrd birim ekmek, birim peynir, birim yğ ve birim giyecek lbilir (py =. + (.). +. +. = ); m birer birim ekmek, peynir ve yğ ile birim giyecek lmz. Teorem. x, y, z R n ve α, R olmk üzere iç çrpım işlemi şğıdkileri sğlr: i. xy = yx ii. (αx)y = x(αy) = α(xy) iii. (x + z)y = xy + xz şğıdki lıştırmlrı yprk bu teoremin sğlmsını okuyucuy bırkıyoruz. Tnım. Sıfır vektör ve vektör eşitliği. i. = (,,..., ) R n vektörüne, yni bütün bileşenleri sıfır oln vektöre, sıfır vektör denir. ii. x, y R n için x i = y i, i =,..., n, ise, yni iki vektörün krşılıklı elemnlrı eşit ise, x eşittir y dir denir ve x = y olrk gösterilir. Örneğin (, ) R de sıfır vektördür. çıktır ki her x R n için x + = x = + x ve x = = x olcktır. İki vektör eşit ise x y = olcğı d çıktır. Tnım. Doğrusl bileşim. x, x,..., x k R n olsun. Bu vektörlerin herbirinin i R ktsyılrı (sklr) ile çrpılrk toplnmsıyl elde edilen y = x + x +... + k x k vektörüne x, x,..., x k vektörlerinin doğrusl bileşimi denir. Bun göre x = (, ), x = (, ), x = (, ) vektörlerinin bir doğrusl bileşimi x x + x = (, ) (, ) + (, ) = (-+, -+) = (, ) dır. Burd =, = -, = olmktdır. Gene, x - x - x = (--, --) = (, ) d =, = -, = - olmk üzere bşk bir doğrusl bileşimdir. Benzer şekilde x, y, z R n vektörleri ile
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı x y z, =, = -, = - olmk üzere, ve x y z, =, =, = - olmk üzere, doğrusl bileşimler elde ederiz. Tnım. Doğrusl Bğımsızlık. x, x,..., x k R n olsun. Eğer x + x +... + k x k = eşitliğini sğlyn en zındn bzı i olck şekilde i R syılrı vrs x, x,..., x k vektörleri doğrusl bğımlıdır denir. ksi durumd, yni x + x +... + k x k = her i için i = oluyors, x, x,..., x k vektörleri doğrusl bğımsızdır denir. Herhngi bir vektör kümesini sıfır ktsyılrl çrpıp toplrsk her zmn sıfır vektörü elde ederiz. Yni, herhngi bir x, x,..., x k R n için x + x +... + x k = olur. Dolyısı ile bir vektör kümesinin doğrusl bğımlı olmsı için kümenin en zındn bzılrı sıfırdn frklı oln ktsyılrl doğrusl bileşiminin sıfır olmsı, y d sıfır vektörünü bu vektörlerin sıfırdn frklı ktsyılrl doğrusl bileşimi olrk yzmnın mümkün olmsı, gerekmektedir. Bir kümenin doğrusl bğımlı olmsı demek kümeden elde edilecek her doğrusl bileşimin sıfır vektör olmsı demek değildir. Bzı doğrusl bileşimler sıfırdn frklı olbilir, m en zındn bir tne sıfırdn frklı ktsyılrl doğrusl bileşim sıfır vektörüdür. Örneğin, yukrıd ele ldığımız x, y, z R vektörleri için x + y z iken x y z = dır ve bu vektörler doğrusl bğımlıdır, çünkü x + by + cz = sğlyn =, b = -, c = -, yni sıfırdn frklı, ktsyılr vrdır. Bu tnım göre sıfır vektörünü sıfırdn frklı ktsyılrl doğrusl bğımsız bir x, x,..., x k kümesinin doğrusl bileşimi olrk yzmyız; y d doğrusl bğımsız bir kümenin sdece bütün ktsyılrı sıfır olck şekilde bir doğrusl bileşimi sıfır vektör olur. Örneğin x = (, ) y = (, ) R olsun. x + by = olmsı için x + by = = x + by = b = olmlıdır. Dolyısı ile (, ) ve (, ) vektörleri R de doğrusl bğımsızdır. Bu vektörleri kullnrk sıfırdn frklı ktsyılrl sıfır vektörünü bunlrın doğrusl bileşimi olrk elde edemeyiz.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Örnek.9. i. x, x, x, x R olsun. Burd x ve x vektörleri doğrusl bğımlıdır. Bunun için x + bx = şrtını sğlyn sıfırdn frklı ve b syılrı olduğunu göstermemiz gerekiyor. Şimdi, x + bx = yni (, ) + b(, ) = (, ) olmsı için + b = + b = olmlıdır. m = -b şrtını sğlyn her, b bu denklemleri sğlr. Örneğin = -, b =.; y d =, b = - gibi. Dolyısı ile vektörünü ve b sıfırdn frklı olmk üzere x ve x vektörlerinin doğrusl bileşimi olrk yzmk mümkündür ve bu iki vektör R de doğrusl bğımlıdır. ynı sonucu doğrudn görmek de mümkündür: x = x dir ve x - x = (, ) (, ) = (, ) (, ) = (, ) olur. Dikkt edileceği gibi iki vektörün doğrusl bğımlı olmsı demek birinin diğerinin sklr çrpımı olmsı demektir. Şimdi, düzlemde (, ) ve (, ) noktsındn geçen doğrunun denklemine y = + bx dersek, bu denklem = + b ve = + b koşullrını sğlmlı, yni = ve b = olmlıdır. Dolyısı ile x = (, ) vektörü y = x doğrusu üzerinde yer lır. m x = (, ) vektörü de y = x doğrusu üzerindedir. İşte doğrusl bğımlılığın nlmı budur. R de iki vektör doğrusl bğımlı ise orijinden geçen bir doğru üzerinde yer lırlr. Şimdi, x ve x vektörlerini ele llım. x + bx = olcks, (, ) + b(-, ) = (, ), yni b = + b = olmlıdır. İlk denklemden = b, bunu ikinci de yerine koyunc d =, dolyısı ile = b = olur. Sıfır vektörünü bu iki vektörün sıfırdn frklı ktsyılrl doğrusl bileşimi olrk yzmıyoruz ve bu iki vektör doğrusl bğımsızdır. Bu iki vektör orjinden geçen ynı doğru üzerinde yer lmz. x vektörünün y = x doğrusu üzerinde yer ldığını biliyoruz. x = (-, ) vektörü bu doğru üzerinde yer lmz çünkü.(-) dir. Benzer şekilde x ve x vektörleri de doğrusl bğımsızdır. Çünkü x + bx = olmsı için + b = b = olmlıdır ve bu şrtlrı d nck = b = sğlr. Şimdi x, x ve x vektörlerini ele llım. Bu vektörler çiftler hlinde doğrusl bğımsızdır ve biz üçünün bir doğrusl bğımsız küme oluşturup oluşturmdığın bkmk istiyoruz. x + bx + cx = olmsı için b + c = + b c =
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı olmlıdır. Bu d + b = + b, y d + b = ve c = b, şrtını sğlyn her, b, c değeri için doğrudur. Örneğin, = koyrsk, b = - ve c = - olur. Gerçekten de x x x olmktdır. Yni çiftler hlinde doğrusl bğımsız olmlrın rğmen bu üç vektör berberce doğrusl bğımlıdır. R de üç vektörün doğrusl bğımlı olmsının nlmın dikkt ediniz. Bu vektörler x - bx - x = şrtını sğlmktdır. Dolyısı ile x = x + x, yni vektörlerden birini diğer ikisinin doğrusl bileşimi olrk, yzbiliriz. ii. x, y, z, v R olsun. Burd x ve y doğrusl bğımsızdır. Çünkü x by b olmsı için b = + b = + b = olmlıdır. İlk denklemden = b olmsı gerektiği için bu üç denklemin sdece = b = için sğlncğı çıktır. Dolyısı ile x ve y vektörlerini kullnrk sıfır vektörünü sıfırdn frklı ktsyılrl elde etmek mümkün değildir ve vektörler R de doğrusl bğımsızdır. Benzer şekilde y ve z vektörleri de doğrusl bğımsızdır. Çünkü y + bz = olmsı için - + b = + b = + b = olmlıdır. Bu d = yni = ve dolyısı ile b = demektir. Yni y + bz = eşitliği nck ve nck = b = için sğlnmktdır ve iki vektör R de doğrusl bğımsızdır. Öte yndn z ve v vektörleri doğrusl bğımlıdır. Çünkü, v = -z dir ve z + v = olcğı çıktır. R de olduğu gibi R de de iki vektör doğrusl bğımlı iseler biri diğerinin sklr ktıdır. Yni iki vektör orijinden geçen ynı doğru üzerindedir. x, y ve z vektörleri çiftler hlinde doğrusl bğımsız olduklrı hlde (x ve z nin doğrusl bğımsız olduğunu gösteriniz) üç vektör birlikte doğrusl bğımlıdır. Örneğin, okuyucunun sğlmsı gerektiği gibi, x y z = olmktdır. Bu durumd z = x y, yni vektörlerden birini diğer ikisinin doğrusl bileşimi olrk, yzbiliriz.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı iii. e, e R vektörlerinin R de doğrusl bğımsız olduğunu dh önce görmüştük. Şimdi herhngi bir x = (x, x ) R vektörünü x = x e + x e olck şekilde e ve e nin doğrusl bileşimi olrk yzbileceğimiz çıktır. Örneğin, x = (-, ) vektörü e + e olcktır. Dolyısı ile { e, e, x} R kümesi her x R için doğrusl bğımlıdır. Çünkü, x = x e + x e dir ve x + x e + x e = olur. Örneğin x = (, ) vektörünü ele lırsk x e e = dır. Yni, x + be + ce = olck şekilde sıfırdn frklı, b, c syılrı vrdır. iv. R de herhngi üç vektör doğrusl bğımlıdır. Yni, x, y, z R ise x + by + cz = eşitliğini sğlyck şekilde üçü birden sıfır olmyn, b, c syılrı vrdır. Öncelikle x, y ve z vektörlerinden birisi sıfır vektörse bu önerme doğrudur. Üç vektörün herhngi ikisi doğrusl bğımlıys d önerme doğrudur. (Neden?) Dolyısı x, y ve z nin sıfırdn frklı, çiftler hlinde doğrusl bğımsız vektörler olduğunu vrsylım. O hlde (x, x ) + b(y, y ) + c(z, z ) = (,, ) için x + by + cz = x + by + cz = olmlıdır. Şimdi, x olmk üzere, ikinci denklemden, = -(by + cz )/x ordn d ilk denklemde yı yerine koyrk: yx zx b ( y ) c( z ) (i) x x elde ederiz. Prntez içindeki ifdeler sıfırdn frklıdır, çünkü x-y ve x-z vektörleri doğrusl bğımsızdır. Eğer, y (y x )/x = ise y x = y x olur. m o zmn x = αy olck şekilde x y nin sklr ktıdır ve x ile y doğrusl bğımlı olur. Örneğin x = (, ) ve y = (, ) ise y x =. = y x =. olur. Dolyısı ile (i) denkleminde b ve c nin ktsyılrı sıfırdn frklıdır ve denklem nck sıfırdn frklı b ve c değerleri için sğlnbilir. O hlde, b, c syılrının en zındn ikisi sıfırdn frklıdır ve herhngi x, y, z R vektörleri R de doğrusl bğımlıdır. v. e, e, e, R olsun. Bu üç vektör R de doğrusl bğımsızdır. Çünkü, e + be + ce = demek =, b = ve c = demektir. Şimdi, herhngi bir v = (v, v, v ) R olsun. çıktır ki v = v e + v e + v e olcktır. Yni R de herhngi bir vektörü e, e ve e ün doğrusl bileşimi olrk yzbiliriz ve bileşimin ktsyılrı vektörün bileşenleridir. Örneğin, v = (, -, ) vektörü v = e - e + e olcktır. Bu d { e, e, e, v} R kümesinin her v R için doğrusl bğımlı olmsı demektir. Çünkü, her v R için v = v e + v e + v e dir ve -v + v e + v e + v e = olur.
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı Theorem. i. R n de en fzl n doğrusl bğımsız vektör vrdır: k > n vektörden oluşn her vektör kümesi doğrusl bğımlıdır. ii. x, x,..., x k vektörleri nck ve nck biri diğerlerinin doğrusl bileşimi ise doğrusl bğımlıdır. iii. S = {x, x,..., x k } R n olsun. ) Eğer S doğrusl bğımsız ise S nin her ltkümesi de doğrusl bğımsızdır. b) Eğer S nin doğrusl bğımlı bir ltkümesi vrs S de doğrusl bğımlıdır. Uyrı: Böylece doğrusl bğımsız bir vektör kümesinde bir vektörü diğerlerinin doğrusl bileşimi olrk yzmycğımız nlşılmktdır. Yni, x, x,..., x k R n doğrusl bğımsız ise, diyelim, x = x +... + k x k olck şekilde i ktsyılrı yoktur. Bu teoremin önemli bir sonucu R n de n doğrusl bğımsız vektörden oluşn herhngi bir {v,..., v n } kümesini kullnrk herhngi bir x R n vektörünü x = v +... + n v n olrk ifde edebileceğimizdir. Çünkü {x, v,..., v n } kümesi n+ vektörden oluşur ve Teorem (i) uyrınc doğrusl bğımlıdır, Teorem (ii) ye göre de biri diğerlerinin doğrusl bileşimidir ve {v,..., v n } kümesi doğrusl bğımsız olduğun göre x i bunlrın doğrusl bileşimi olrk yzılbiliriz. Dolyısı ile L(v) = {x x = v +... + n v n, i R} kümesi, yni v i vektörlerinin bütün doğrusl bileşimlerinin kümesi, R n e eşittirir. İşte L(v) = R n oln bir doğrusl bğımsız {v,..., v n } kümesine R n nin tbnı, tbndki vektör syısın d R n in boyutu denir. Teorem (i) ye göre R n in boyutu n dir. Yni n doğrusl bğımsız vektörden oluşn her küme R n nin bir tbnıdır, R n in her tbnı n doğrusl bğımsız vektörden oluşur. Bun göre e, e R vektörleri R nin bir tbnıdır ve bun R nin stndrt tbnı diyoruz. Dolyısı ile x R vektörün {e, e } tbnın göre ifde edilmiş biçimidir. x R demek x = e + e demektir. Norml olrk vektörleri {e, e } tbnın göre ifde ediyoruz ve lışgeldiğimiz durum budur. m x, e R vektörleri de R nin bşk bir tbnıdır ve x R vektörünün bu tbn göre bileşenleri (, ) dır yni x = x + e dir. Benzer şekilde e, e, e, R vektörleri de R ün stndrt
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı x tbnıdır ve x x R demek x = x e + x e + x e demektir. m R de herhngi üç x doğrusl bğımsız vektörden oluşn küme de bir tbndır.. BİR MTRİSİN RNKI VE MTRİS CEBİRİNİN TEMEL TEOREMİ Şimdi bir (n x m) mtrisini ele llım:............ n n n... Mtrisin her stırını i = ( i, i,..., im ) R m olrk yni R m de bir vektör olrk düşünebiliriz ve nın n stırı vrdır. R m de en fzl m syıd doğrusl bğımsız vektör olbileceğine göre nın doğrusl bğımsız stır syısı min(n, m), yni n ve m den küçük olnı, kdr y d dh z olbilir. Örneğin, ( x ) bir mtriste stırlr R de vektörlerdir ve stır vrdır. min(, ) = olduğun göre en fzl doğrusl bğımsız stır olbilir. Yni y üç stır doğrusl bğımsızdır, y sdece ikisi doğrusl bğımsızdır, y d doğrusl bğımsız bir stır vrdır. Öte yndn, ( x ) bir mtriste stırlr R de vektörlerdir ve beş stır vrdır. Dolyısı ile R de en fzl doğrusl bğımsız vektör olbileceğine göre ki min(, ) = dür beş stırın en fzl üçü doğrusl bğımsız olbilir. Örneğin (, ) mtrisinin stırlrı = (,,, ), = (,,, ) ve = (,,, ) olmk üzere R de vektörlerdir ve min(, ) = olduğundn bu mtrisin en fzl üç doğrusl bğımsız stırı olbilir. Burd = + olduğundn, yni vektörlerden biri diğerlerinin doğrusl bileşimi olduğundn, nın stırlrı doğrusl bğımlıdır. Bu durumd nın doğrusl bğımsız iki stırı vrdır: stırlr çiftler hlinde doğrusl bğımsızdır. j j Benzer şekilde mtrisin her sütununu j R n olmk üzere R n de vektörler olrk... nj düşünebiliriz. Stırlr için olduğu gibi nın doğrusl bğımsız sütun syısı d min(n, m) dir. Örneğin, ( x ) bir mtriste sütunlr R de vektörlerdir ve beş sütun vrdır. R de en fzl m m m nm
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı 9 üç doğrusl bğımsız vektör olbilir ve min(, ) = dür. Gene mtrisini ele lırsk, sütünlr,,, R dir. Bu dört vektör R de doğrusl bğımlı olmk zorunddır. nın en fzl doğrusl bğımsız sütunu olbilir. m sütunlr üçerli guruplr hlinde doğrusl bğımlıdır. Yni {,, }, {,, }, {,, }, {,, } kümelerinin hepsi doğrusl bğımlıdır (Gösteriniz!). Dolyısı ile nın sdece iki doğrusl bğımsız sütunu vrdır. Örneğin, {, } doğrusl bğımsızdır (biri diğerinin ktı değildir). Bu örnek genel bir doğrunun ifdesidir: Tnım. Bir Mtrisin Rnkı., (n x m) bir mtris olsun. nın doğrusl bğımsız stır ve sütun syısı ynıdır ve bu müşterek syıy nın rnkı denir, r() olrk gösterilir. r() min(n, m) dir. Örneğin, yukrıd ele ldığımız mtrisi için r() = dir. Bu mtrisin iki doğrusl bğımsız stırı ve sütunu vrdır. mtrisi için r() = dür. Yni bu ( x ) mtrisin stırlrı ve sütunlrı kendi rlrınd doğrusl bğımsızdır. Mtrisin determinntının sıfırdn frklı olduğun dikkt ediniz. ise, çık olduğu üzere r() = dir. Mtrisin stırlrı ve sütunlrı doğrusl bğımlıdır ve det = dır. m mtris için r() = dir, det = - dır. ise, r() = < dür, det = dır. Şimdi, Teorem ün (v) önermesi bir (n x n) mtris için - nın bir stırı (sütunu) bir syı ile çrpılıp bşk bir stır (sütun) eklenmesi vey çıkrılmsıyl elde edilen mtrisin determinntı det ile ynıdır demektedir. O hlde, (n x n) mtrisin diyelim ilk iki sütunu (y d stırı) doğrusl bğımlı, yni = α, olsun (R n de iki vektörün doğrusl bğımlı olmsının birinin diğerinin sklr
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı ktı olduğu demek olduğunu htırlyınız). O hlde ikinci sütunu α ile çrpıp birinciden çıkrırsk α = elde ederiz, yni yeni mtrisin ilk sütunu sıfır vektör olur ve bu mtrisin, dolyısı ile de nın, determinntı sıfır olur. Genel olrk nın sütunlrı (stırlrı) doğrusl bğımlıys + +... + n n = demektir ve = c +... + c n n yzılbilir. O hlde, nın diğer sütunlrını uygun c i syılrıyl çrpıp birinci sütundn çıkrırsk ilk sütunu sıfır oln bir mtris elde ederiz ve det = olur. Özetle, bir mtrisin sütunlrı (stırlrı) doğrusl bğımlı ise, yni r() < n ise, det = dır. Bunun tersi de doğrudur, yni det = ise mtrisin stırlrı (sütunlrı) doğrusl bğımlı olmlıdır ve r() < n dir. Dolyısı ile det ise mtrisin stır ve sütunlrı doğrusl bğımsız yni r() = n olmlıdır. Bu sonuçlrı mtris cebirinin temel teoremi dediğimiz şu teoremde topluyoruz: Teorem. (n x n) kre mtris olsun. şğıdki önermeler özdeştir: i. det, ii. tekil olmyn bir mtristir ( - vrdır), iii. Herhngi B, C (n x m) mtrisler için, B = C B = C, iv. X (n x m) olmk üzere X = nm X = nm, v. r() = n ( nın rnkı tmdır), vi. nın stır ve sütunlrı doğrusl bğımsızdır. Uyrı:. şğıdki önermeler özdeştir biçimindeki ifde bu önermelerden biri geçerliyse hepsi geçerlidir, biri geçerli olmzs hiç biri olmz demektir. Öyleyse, - det =, - tekil bir mtristir ( - yoktur), - B = C olmsı B = C olmsını gerektirmez, - X = nm olmsı X = nm olmsını gerektirmez, - r() < n, - nın stır ve sütunlrı doğrusl bğımlıdır önermeleri de özdeştir. Dolyısı ile bu teorem tekil ve tekil olmyn mtrislerin tm nitelemesini vermektedir.. (iii) ve (iv) önermeleri (ii) nin sonucudur. Örneğin, eğer - vrs B = C eşitliğinin iki trfını soldn - çrprsk - B = - C IB = IC, yni B = C olur. Bu teoremin bir kullnımı mtrislerin rnkınının hesplnmsı ve bir vektör kümesinin doğrusl bğımsız olup olmdığının belirlenmesidir. - R n de {x, x,..., x n } vektörlerinin doğrusl bğımlı olup olmdığın bkmk için bu vektörleri sütunlr hlinde yzıp (n x n) bir mtris () oluşturur, determinntın bkrız. Teorem e göre eğer det ise mtrisin sütunlrı, yni {x, x,..., x n } vektörleri, doğrusl bğımsızdır. Eğer det = ise vektörler doğrusl bğımlıdır. - R n de {x, x,..., x k } k n vektörlerinin doğrusl bğımlı olup olmdığın bkmk için bu vektörleri sütunlr hlinde yzıp (n x k) bir mtris () oluştururuz. Bu mtris kre mtris olmdığı için determinntı yoktur. m r() yı, dolyısı ile mtrisin sütunlrındn (x i lerden) kçının doğrusl bğımsız olduğunu bulbiliriz. Bunu ypmk için dn k > n ise (n x n), n > k ise (k x k) ltmtrisler oluşturur bunlrın determinntın bkrız. Örneğin, k > n ise zten bu vektörlerin hepsi birden doğrusl
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı bğımsız olmz (R n de en fzl n doğrusl bğımsız vektör olbilir). Dolyısı ile eğer oluşturuln (n x n) ltmtrislerden birinin determinntı sıfırdn frklıys r() = n olur ve bu ltmtrisi oluşturn n vektör doğrusl bğımsızdır. - Bir mtrisin () rnkın bkrken de ynı yolu izliyoruz. Eğer mtris (n xn) kre mtris ve det ise r() = n dir. det = ise r() < n dir. O hlde (n x n ) ltmtrisler oluşturup bunlrın determinntın bkıyoruz. Eğer determinntı sıfırdn frklı bir (n x n ) ltmtris vrs r() = n dir. ksi hlde (n x n ) lt mtrislerin determinntın, yni r() = n olup olmdığın, bkrk devm ediyoruz. Eğer mtris (n x k) ise oluşbilecek en yüksek mertebeden ltmtrislerin (bu y (n x n) y d (k x k) olur) determinntlrın bkrk ilerliyoruz. Örnek. i., x x R vektörlerinin doğrusl bğımsız olup olmdığını nlmk için bu vektörlerin sütunlrı olduğu mtrisin, yni nın, determinntın bkıyoruz. Teorem e göre mtrisin sütunlrı doğrusl bğımsızs det olmlıdır. Burd det = olduğu için bu vektörler doğrusl bğımsızdır, r() = dir. ii.,, R z y x vektörlerini sütun olrk yzrk elde ederiz. det = olduğun göre r() = dür: bu mtrisin sütunlrı, yni söz konusu üç vektör, doğrusl bğımsızdır. iii., R y x vektörlerini sütun olrk yzrsk elde ederiz. Bu mtris kre olmdığı için nck ( x ) ltmtrislerin determinntın bkbiliriz. Bu işlem stırlrın R de doğrusl bğımsız olup olmdığın bkmk demektir. Örneğin, det olduğu için r() = dir ve mtrisin iki doğrusl bğımsız stırı ve sütunu vrdır. Bu iki vektör doğrusl bğımsızdır. iv.,, R z y x vektörlerini sütun olrk yzrk elde ederiz ve det =, r() < dür. Demek ki nın sütunlrı (ve stırlrı), yni x, y, z vektörleri, doğrusl bğımlıdır. O hlde r() =, yni iki doğrusl bğımsız stır y d sütun, olup olmdığın bkmk gerekiyor. Bunu ypmk için de dn elde edilebilecek ( x ) ltmtrislerin determinntlrın, yni nın minörlerine, bkıyoruz. Eğer sıfırdn frklı bir
Nzım K. Ekinci Mtemtiksel İktist Notlrı minör vrs r() = dir. Burd, örneğin det olduğu için r() = dir. Bu ltmtris x ve y vektörlerinin bileşenlerinden oluştuğu için x ve y doğrusl bğımsızdır. Benzer şekilde det olduğu için de x ve z vektörleri doğrusl bğımsızdır. Bu üç vektör çiftler hlinde doğrusl bğımsızdır. iv. 9,, R z y x vektörlerini sütun olrk yzrk 9 elde ederiz ve det =, r() < dür. Şimdi, nın bütün minörleri sıfırdır, dolyısı ile r() < dir. O hlde r() = olmlıdır ve zten vektörlere bkıldığınd y = -x, z = x, z = -.y olduğu çıktır. Yni bu üç vektörün sdece bir tnesi doğrusl bğımsızdır. v. mtrisinin rnkını hesplylım. Mtris kre mtris olmdığı için determinntı tnımlı değildir. m nın rnkı en fzl min(, ) = olbilir. Dolyısı ile dn elde edilebilecek ( x ) kre mtrislerin determinntlrın bkmk gerekiyor. Bu nın sütunlrının üçerli guruplr hlinde R de doğrusl bğımlı olup olmdığın bkmk demektir. Eğer bunlrdn biri sıfırdn frklıys r() = dür. Yok hepsi sıfırs, ( x ) ltmtrislerin determinntlrın bkrız. Eğer bunlrdn biri sıfırdn frklıys r() = dir. Bunlrın hepsi sıfırs r() = demektir. Burd örneğin ltmtrisinin determinntı = olup sıfırdn frklıdır. O hlde r() = dür. nın stırlrı R de doğrusl bğımsızdır, ve dört sütunun üçü R de doğrusl bğımsızdır (zten R de dört doğrusl bğımsız vektör olmz). vi. mtrisinin rnkını hesplylım. dn elde edilecek bütün ( x ) ltmtrislerin determinntı sıfırdır (çünkü hepsinin ilk iki stırı ynıdır). Dolyısı ile r() < dür. m, örneğin det olduğu için, yni bir tne sıfırdn frklı ( x ) determinnt olduğu için, r() = dir. nın sdece iki doğrusl bğımsız stırı (son ikisi) ve sütunu vrdır. Bzı kitplr bir mtrisin rnkını o mtristen elde edilebilecek en yüksek mertebeden sıfırdn frklı determinntın mertebesi olrk tnımlr. Yukrıdki örneklerden görüldüğü gibi bu tnım burd verilen tnım özdeştir.