8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde (lineer transformasyon) çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır. Tanım : m ve n pozitif tamsayılar, i {1,2,3,4,, m} ve j {1,2,3,4,, n} olmak üzere a ij sayma sayılarından oluşan yukarıdaki sayılar tablosuna matris (dizey) denir. m, matrisin satır sayısını; n ise matrisin sütun sayısını belirtir. m satır ve n sütundan oluşan matrise mxn türünden matris denir. mxn türünden bir A matrisi [a i,j ] mxn şeklinde gösterilir. a ij elemanında i indisi elemanın bulunduğu satır numarasını, j ise elemanın bulunduğu sütun numarasını gösterir. Kare Matris Satır sayısı sütun sayısına eşit olan matrislerdir. A dizeyi 2x2 türünden bir kare matristir.
3 Birim Matris Kare matrislerin yaygın bir örneği ise, köşegenin üzerindeki öğelerinin 1 geri kalan yerlerdeki öğelerin 0 olduğu birim matristir. Satır ve sütun sayısı n olan bir birim matrisi göstermek için (başka bir yerde kullanılmamışsa) genelde In kullanılır. Mesela, 3x3'lük bir birim matris şeklinde gösterilir. Sıfır Matris Tüm elemanları sıfır olan matristir. A dizeyi 2x3 türünden bir sıfır matristir. Satır ve Sütun Matris Sadece bir satırdan oluşan matrislere satır, sadece bir sütundan oluşan matrislere ise sütun matris denir.
4 Üst Üçgen Matris Ve Alt Üçgen Matris Bir kare matrisin diyagonal elemanların altıda kalan her eleman sıfıra eşitse üst üçgen matris ve eğer diyagonal elamanların üstünde kalan her eleman sıfıra eşitse buna da alt üçgen matris denir. Tanıma göre aşağıda gösterilen U matrisine üst üçgen matris (Upper triangler matrix) ve L matrisine de alt üçgen matris (Lower triangle matris) denir. Genelliklerde bunlar U ve L notasyonlar ile gösterilirler. MATRİSLERDE MATEMATİKSEL İŞLEMLER Matris Toplaması Matrisler bileşenleri karşılıklı olarak toplanırlar. İki matrisin toplanabilmesi için satır ve sütün sayılarının eşit olması gerekir. c ij = a ij + b ij Örnek: Sayıyla (Skalerle) Çarpma Bir matris, bir sayıyla çarpılırsa her bileşeni o sayıyla çarpılır.
5 c ij = ka ij Örnek: Matrisin Bir Katsayı İle Çarpımı Bir A matrisinin bir skaler k ile çarpılması A matrisinin tüm elemanlarının k ile çarpılması gerektirir. Matematiksel olarak aşağıdaki denklem ile verilmiştir. Matris Çarpımı İki matrisin çarpımı (A mxn, B nxm ) matrislerinin boyutlarına uygun olması halinde yapılabilir. Boyutlarının uygun olması; A matrisinin kolon sayısının B matrisinin satır sayısına eşit olması demektir ve çarpma işlemi aşağıdaki denklemdeki gibi yapılır.
6 Burada görüldüğü gibi birinci matrisin kolon sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşitse çarpma işlemi yapılabilir, aksi halde çarpma işlemi yapılamaz. Bundan dolay matris çarpma işlemlerinde yer değiştirme özelliği yoktur. Fakat matris çarpımının dağılma özelliği vardır. Matris çarpım için aşağıdaki özellikler yazılabilir.
7 Devrik Matris (Matris Transpozesi) Matrisin kolon ve satırlarının yer değiştirilerek yazılmasına matrisin transpozu veya devriği denir ve A T veya A ile gösterilir. Devriği alınmadan önce boyutlar m n olan matrisin devriği alındıktan sonra boyutlar n m olur. Tranpoz işlemlerinde bazı özellikler dikkate alınmalıdır. Toplama ve çarpma işlemlerinin tranpoz işleminin üzerinde aşağıda verilen özellikleri vardır. Eğer bir matrisin traspozu kendisine eşit veya başka bir ifade ile [a ij ] = [a ji ] ise matrisler simetriktir denir. MATRİSLERİN DETERMİNANTI Determinant, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyondur. A matrisinin determinantı deta ya da A şeklinde gösterilir. Mutlak değer ile karıştırılmamalıdır.
8 Eğer matrisimiz bir satır ve bir sutunluk bir matris ise determinant içindeki sayıya eşittir. A = [123] det A = 123 Eğer matrisimiz iki satır ve iki sütunluk bir matris ise 1. Sarrus Kuralı A = [aij]3 3 biçimindeki matrislerin determinantını bulmak için Sarrus kuralı kullanılır. 3x3 türündeki bir matrisin determinantı şöyle bulunur: 1. İlk iki satır sırasıyla alta birer defa daha yazılır. 2. Köşegeni oluşturan a11, a22, a33 çarpılır; çarpım sağa yazılır. 3. Köşegenin hemen altındaki a21, a32, a13 çarpılır; çarpım sağa yazılır. 4. Aynı yaklaşımla a31, a12, a23 çarpılır; çarpım sağa yazılır. 5. Sağa yazılan üç çarpımın toplamı T1 olsun 6. Diğer köşegeni oluşturan a13, a22, a31 çarpılır; çarpım sola yazılır. 7. Diğer köşegenin hemen altındaki a23, a32, a11 çarpılır; çarpım sola yazılır. 8. Aynı yaklaşımla a33, a12, a21 çarpılır; çarpım sola yazılır. 9. Sola yazılan üç çarpımın toplamı T2 olsun,
9 10.A matrisinin determinantı: deta =T1 T2'dir. 2. İşaretli Minör (Kofaktör) Bir kare matriste a ij elemanının minörü Mij olsun. a ij elemanının işaretli minörü (kofaktörü): Kural matrisi verilsin. Bir matrisin determinantı, bu matrisin herhangi bir satır veya sütun elemanları ile bu elemanların işaretli minörlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
10 i. satıra göre determinant: j. sütuna göre determinant: Determinantın Özellikleri 1- Bir satır veya bir sütununun tüm elemanları sıfır olan matrisin determinantı sıfırdır. 2- Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları eşit olan matrisin determinantı sıfırdır. 3- Herhangi iki satır veya iki sütunun elemanları orantılı olan matrisin determinantı sıfırdır. 4- Herhangi iki satır veya iki sütunun yerleri değişirse determinantının işareti değişir. 5- Bir kare matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir. 6- Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, bu matrislerin determinantları çarpımına eşittir. det(a B) = deta detb 7- Bir kare matrisin kuvvetinin determinantı, determinantının kuvvetine eşittir. deta n = (deta) n 8- Bir kare matrisin çarpmaya göre tersinin determinantı, determinantının tersine eşittir.
11 9- A = [aij m n matrisinin k ile çarpımının determinantı, A nın determinantının k n ile çarpımına eşittir. 10- Bir kare matrisin bir satır ve bir sütunun tüm elemanları k ile çarpılırsa, elde edilen matrisin determinantı ilk matrisin determinantının k ile çarpımına eşittir. 11- Bir matrisin herhangi bir satırını k ile çarpıp diğer bir satıra ekleyince veya herhangi bir sütununu k ile çarpıp diğer bir sütuna ekleyince determinantının değeri değişmez. 2 1 1 Örnek: A= 2 3 1 3 2 3 matrisinin determinantını yöntemi ile hesaplayınız. 2 1 1 2 3 1 3 2 3 21 H ( 1) 2 1 1 0 2 0 3 2 3 3 H ( ) 31 2 2 1 1 0 2 0 1 3 0 2 2 H 1 ( ) 32 4 2 1 1 0 2 0 3 0 0 2 Elementer işlemler ile matrisi bir üst üçgen matris haline getirdik. Determinant asal köşegen elemanları çarpımına eşittir. Det (A) = 3 2.2. 2 = 6 olarak bulunur.
12 Algoritması INPUT number of unknowns and equations n; matrix A = [a ij ], n,1 j n OUTPUT determinant where 1 i For j = 1,..., n 1 do For i = j + 1,..., n { Set m ij = a ij /a jj. Perform (E i m ij E j ) (E i ); } n det = a ii i=1 OUTPUT (det); (Procedure completed successfully. ) STOP. Kaynakça Ders Notları",Yrd. Doç. Dr. Mustafa Sönmez Doç. Dr. İbrahim UZUN, (2004), "Nümerik Analiz Beta Yayıncılık.