ÜN TE III L NEER CEB R

Transkript

1 ÜN TE III L NEER CEB R MATR SLER Matrisin ki matrisin eflitli i Toplama ifllemi ve özellikleri Matrislerde skalarla çarpma ifllemi ve özellikleri Matrislerde çarpma ifllemi Çarpma ifllemine göre birim matris Kare matris Matrislerde çarpma iflleminin özellikleri Kare matrisin kuvvetleri Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemi Matrislerde transpoz (Devrik) ifllemin özellikleri DETERM NANTLAR Determinant Sarus kural Determinantlar n özellikleri Lineer Dönüflümler Örnekler

2 MATEMAT K 6 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde) * Matrisin tan m n kavrayacak, * ki matrisin eflit olup olmad n ifllem yaparak görecek, * Matrislerde toplama, ç karma, çarpma ifllemlerinin nas l yap ld n ö renecek, * Birim ve kare matrisi tan yacak, * Kare kuvvetini almay ö renecek, * Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersini alacak, * Matrislerde devrik ifllemini tan yacak * Determinant n devrik ifllemini tan yacak, * Determinant n tan m n kavrayacak, * Minör ve kofaktör tan mlar n ö renecek, * Sarrus kural ile determinant hesab n ö renecek, * Determinant n özelliklerini kavrayacak, ilgili örnekleri çözmeyi ö reneceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Tan mlar dikkatli okuyunuz, * Çözülen örnekleri yazarak çal fl n sürekli neden, niçin sorular n kendinize sorun, * Bölüm sonundaki de erlendirme sorular n çözün. 68

3 MATR SLER Günlük yaflant m zda say lar n, de iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu u çeflitli tablolar yapmaya ihtiyaç duyar z. Örne in bir fabrikan n üretti i dört tür mal n ilk befl ayl k üretim miktarlar n n aylara göre dökümünün verilmesi istenirse, bunu göstermenin yolu dört sat r ve befl sütundan oluflan bir tablo haz rlanmaktad r. Sat rlar n karfl s na mal çeflitlerini, sütunlar n tepesine de aylar yaz l rsa, bir sat r ile bir sütun kesiflti i yere de o ay içinde üretilen o mal n miktar yaz l r. Bu tabloya üretim matrisi denir. Ocak fiubat Mart Nisan May s Beyaz peynir Kaflar peyniri Tereya Kaymak Dört sat r, befl sütundan oluflan bu tablo, hangi mal n hangi ay ne miktarda üretildi ini göstermektedir. Say lar n, de iflkenlerin veya parametrelerin oluflturdu u dikdörtgen biçiminde bir tabloya bir matris denir. Bir matrisi oluflturan nesnelere o matrisin elemanlar denir. Yatay çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlar na matrisin sat rlar, düfley çizgiler üzerinde yer alan matris elemanlara matrisin sütunlar denir. m say s na matrisin sat r say s n say s na matrisin sütun say s m sat r ve n sütundan oluflan matrise mxn türünde bir matris denir. Matrisler genelde büyük harfler ile gösterilir. sat r ve n sütunden oluflan matrise sat r matrisi sütün ve m sat rdan oluflan matrisde sütun matrisi denir. Örne in A [a a... a n ] xn matrisi xn türünden sat r matrisidir, 69

4 a a B... matrisi mx türünden sütun matrisidir. a m mx A - 3 matrisinin türü ve eleman say s n nedir? Çözüm : Amatrisi sat r 3 sütundan (kolondan) olufltu undan x3 tipinde bir matristir. Bu matrisin eleman say s x3 6 d r. 3 A matrisine göre 3 4 a + a. a 3 - a 3? Çözüm : a a - a 3 4 a 3 3 O halde, + (-) a ij a ji (. sat r. kolona bak.) (. sat r. kolona bak.) (3. sat r. kolona bak.) (. sat r 3. kolona bak.) K MATR S N Efi TL Ayn tipden, A [a ij ] mxn ve B [b ij ] mxn matrisleri verilsin. E er, i, j için a ij b ij oluyorsa A matrisi B matrisine eflittir denir ve A B ile gösterilir. ki matrisin eflit olmas için her iki matrisin sat r ve sütun say lar eflit olmal, ayr ca, karfl l kl olarak, matris elamanlar birbirine eflit olmal d r. 70

5 x+y -3 A B y z 6 Amatrisi B matrisine eflit ise x - y + z? Çözüm : x + y 8, 5 z, y 6 x x - y + z MATR SLERDE TOPLAMA filem Ayn tipten iki matris, A [a ij ] mxn, B [bij] mxn olsun. A+ B [a ij + b ij ] mxn fleklinde tan mlan r. A B 3 3 A+B bulunamaz çünkü A matrisi x tipinde B matrisi x3 tipindedir. A 3 -, B 3-4 A+B +3 +(-) A [a ij ] mxn matrisinin, toplama ifllemine göre tersi, - A [-a ij ] mxn matrisidir. A matrisinin toplamaya göre tersi Bütün elemanlar s f r olan matrise s f r matris denir. olarak yaz l r. 7

6 MATR SLERDE TOPLAMA filem N N ÖZEL KLER Ayn tipden A, B, C matrisleri için. ) Toplama iflleminin de iflme özeli i vard r, yani A+ B B + A d r. ) Toplama iflleminin birleflme özeli i vard r yani, (A + B) + C A + (B + C) 3) S f r matris, toplama ifllemine göre, etkisiz elemand r yani, A+ O O + A A 4) A matrisinin toplama ifllemine göre tersi -A matrisidir, yani A+ (-A) (-A) + A O yukar daki özelikleri mümkündür. ile do rulamak MATR SLERDE SKALARLA ÇARPMA filem VE ÖZEL KLER A [a ij ] mxn B [b ij ] mxn matrisler ve p,q, R sabitleri (skalerleri) için afla daki özelikler vard r. ) p. (A+B) pa + pb ) (p+q) A pa + qa 3) p(qa) (p.q)a yukar daki tan ma uygun olarak afla daki örne i verebiliriz. p q 3 A 0 0, B 0 olsun. A 0 0, B 0, C 3 - Örne in:. özelli i göstermek mümkündür. p. (A+B) pa + pb Di er özelliklerinin varl n yukar daki örne i kullanarak görebiliriz. 7

7 k R olmak üzere, bir A matrisi k gibi bir skaler ile çarp m k.a A.k Örne in A 3 8 ise -3A nedir? dersek, A MATR SLERDE ÇARPMA filem mxn tipinde A [a ij ] mxn ile nxp türünde, B [b jk ] nxp matrisleri verilmifl olsun. Amatrisinin i sat r ile B matrisinin k sütunundaki elemanlar karfl l kl olarak çarp l p, bu çarp mlar toplan rsa, A.B matrisinin terimi elde edilir. Bu flekilde elde edilen mxp tipindeki C [c ik ] mxp matrisinde, A matrisi ile B matrisinin çarp m denir. A ile B matrislerinin çarp lmas için, A matrisinin sütun say s, B matrisinin sat r say s na eflit olmal. Örne in : A matrisi 3x tipinde bir matris B matrisi 3x tipinde bir matris olsun. A matrisi ile B matrisini çarpamay z çünkü, A matrisinin sütun say s, B matrisinin sat r say s 3 dür. 3 Matrislerde çarpma iflleminin de iflme özeli i yoktur. A.B B.A dir. Yukar daki tan m, kullan lmaya uygun olarak açarsak; ö renciler taraf ndan daha iyi sonuç al naca kesindir. Yani A a b c B m p q n d e f r z matrisleri çarpal m. A. B a.m+b.p+c.r d.m+e.p+f.r a.n+bq+cz d.n+e.q+f.z 73

8 A B A. B (-) (-) (3) (-) (-) Yukar daki örne e bakarak A.B B.A oldu unu gösterebilirsiniz. A matrisi mxn tipinde B matrisi nxs tipinde ise oluflan çarp m matris mxs tipindedir A [a ij ] 3x4 B [b ij ] 4x6 tipinde iseler, [A.B] 3x6 yani, 3x6 tipinde bir matris elde edilmifl olur. mxm tipinde bir A matrisi için aij, i j ise 0, i j ise ÇARPMA filem NE GÖRE B R M MATR S oluyorsa, A matrisine m. s radan birim matris denir ve I n ile gösterilir. KARE MATR S : Sat r say s sütun say s na eflit olan matrise denir. O hâlde çarpmaya göre birim matris karesel matrisdir. Afla dakilerin hepsi birim matrisidir. nceleyiniz : I 0 0 4x4 I x3 I x4 I x5 A.I n I n.a 74

9 Çözüm : A 3 4 5, I 0 0 A.I MATR SLERDE ÇARPMA filem N N ÖZEL KLER Amatrisi mxn tipinde B matrisi nxp tipde C matrisi pxs tipinde olmak üzere ) A.B.C matrisi mxs tipinde bir matrisdir. ) A. (B.C) (A.B).C 3) A matrisi mxn tipinde, B ve C matrisleri nxp tipinde olmak üzere A.(B+C) A.B + A.C 4) A ve B matrisleri mxn tipinde, C matrisi nxp tipinde olmak üzere (A+B).C A.C + B.C 5) A matrisi mxn tipinde, B matrisi nxp tipinde ve K R olmak üzere k.(a.b) (k.a). B A.(k.B) A B 0 0, C x3 0 4 A.(B+C) A.B + A.C oldu unu gösteriniz. A.(B+C) A.B + A.C

10 KARE MATR S N N KUVVETLER n. s radan bir kare matris A ve k N + ise A o I, A A, A A.A, A 3 A.A,..., A k A.A k- Birim matrisin tüm pozitif tam say kuvvetleri kendisine eflittir. I I, I 3 I,..., I k I fleklinde gösterilir. A 3 0 ise A3 matrisi nedir? Çözüm : A A.A oldu undan, A 3 A.A oldu undan, olarak bulunur B R MATR S N ÇARPMA filem NE GÖRE TERS A, n. s radan bir kare matris olsun. A.B B.A I n eflitli ini sa layan n. s radan bir B kare matrisi varsa B ye, A n n çarpma ifllemine göre tersi denir ve B A - fleklinde gösterilir. Buradan, A.A - A -.A I fleklinde ifade edilir. 76

11 A 3 - matrisinin çarpmaya göre tersi nedir? Çözüm : Yukar daki tan mdan yararlan rsak, yani A.A - I oldu unu biliyoruz. O hâlde, 3 -. A A - a c b olarak keyfi seçelim d 3 -. a b c d 0 0 3a+c a-c 3b+d b-d 0 0 3a+c 3b+d 0 a-c 0 b-d 3a+c 7a a-c 0 a 7 3b+d 0 7b b-d b 7 oldu unu görürüz. Bu denklemi çözdü ümüzde a, b, c, d yi buluruz c c c d 0 O hâlde A d d olarak bulunur. 77

12 Pratikde A a b kare matrisinin, çarpma ifllemine göre c d tersini bulurken, afla daki ifllem yap l r. A a b c d ise A - ad-bc. d -b d r. -c a ad- bc 0 olmak zorundad r. O hâlde bir önceki örne i pratik olarak çözelim.. A 3 - verilmiflti. Burada a3, b, c, d- A - 3.(-) -., A 5 matrisinin, çarpma ifllemine göre tersi olmas için x 3 x hangi de eri alamaz? Çözüm : x x 5 x 5 olamaz. TEOREM : a) Bir kare matrisinin, çarpma ifllemine göre tersi varsa, tersi tekdir. b) Bir A kare matrisinin tersi varsa, A - matrisinin de tersi vard r. Yani, (A - ) - A c) A ve B kare matrislerinin tersi varsa ve A.B ile B -. A - tan ml ise (A.B) - B -. A - dir. A 0 B 0 iki karesel matris verilsin. (A.B) - B -. A - oldu unu gösteriniz. 78

13 Çözüm : A.B (A.B) B A B -.A O hâlde (A.B) - B -.A - Oldu u gösterilmifl oldu. MATR SLERDE TRANSPOZ (DEVR K) filem A [a ij ] mxn matrisini, sat rlar n sütun ve sütunlar sat r hâline getirirken elde edilen [a ji ] nxm matrisine, A matrisinin transpozu (devri i) denir ve A T ile gösterilir. MATR SLERDE TRANSPOZ (DEVR K) filem N N ÖZEL KLER A ve B matrisleri için; A+B, A.B, A - matrisleri tan ml ve k R olmak üzere a) A T T A (Bir matrisin transpozunun transpozu kendisine eflittir.) b) (A+B) T A T +B T c) (A.B) T B T.A T d) (k.a) T k.a T e) (A T ) - (A - ) T 79

14 matrisi verilsin. A x a) A T? b) (A T ) T A oldu unu göster. Çözüm : a) A T b) (A T ) T 3 4 T Transpozu al nan matrisin sat rlar sütun, sütunlar sat r oldu. ÖRNEKLER ) A B ise A+B? Çözüm : A+B ) A matrisinin toplamaya göre ters matrisini bulunuz. Çözüm : A + A - 0 buradan, a b c d olur. 3) A 3 +a 0 ise a- 3+c 0 ise c -3 5+b 0 ise b -5 -+d 0 ise d O halde A - 5, B ise A.B nedir? 80

15 Çözüm : A (-) Dikkat edilirse A matrisi x tipinde B matrisi x tipinde, dolay s yla A.B matrisi x tipindedir. 4) A - -3 B 0 3 3x3 - ise A.B nedir? 3 4 3x Çözüm : A.B matrisi 3x tipinde oldu u bellidir. A (-).3.+.(-)+(-) (-) (-) ) A -3 4 B 3 3 C - ise A - B.C matrisinin efliti nedir? Çözüm : fllem s ras n göz önüne alal m. O hâlde önce çarpma iflleminden bafllayal m. B.C A - B.C ) -3 4 matrisinin çarpma ifllemine göre ters matrisi nedir? Çözüm : A.A - I oldu unu biliyoruz. O hâlde, a b c d 0 0-3a+c -3b+d a+4c b+4d 0 0-3a+c -3b+d 0 a+4c 0 b+d 8

16 eflitliklerinden yok etme kural ile a, b, c, d yi bulal m. -3a+c 4c -3a + 7 den 3 a+4c 0 c 7 7-3a - 6 a b+d 0 b+4d -b+4d 0 b 4 -b - 4d - b /4 denklemde yerine yaz. d 3/4 olur. o halde A - 7) A Çözüm : At -/7 /4 /7 3/4 7-3 ise A matrisinin transpozu (devri i) nedir? DETEM NANTLAR Elemanlar reel say lar olan nxn tipindeki kare matrislerin kümesinden, reel say lar kümesine tan mlanan fonksiyona, determinant fonksiyonu denir. A karesel matrisinin determinant, det A veya A ile gösterilir. x tipindeki karesel matrisin determinant yani, det [a ] x a dir. a) det [] b) det [5] 5 x tipindeki matrislerin determinant al n rken, A a c det A b a a olsun. b - c d + ad - bc ile ifade edilir.

17 A 3 4 ise deta nedir? Çözüm : det A A Sinx Cosx -Cosx Sinx ise det A nedir? Sinx -Cosx Çözüm : det A Sinx. Sinx - Cosx. (-Cosx) - Cosx Sinx + Sin x+cos x ? Çözüm : basitlik olsun diye 000 x diyelim. x (x+3) - (x+) (x+) x + 3x - (x +3x+) x +3x - x -3x- - A [a ij ] kare matrisinin, bir a ij teriminin bulundu u i. sat r ve j. sütun at ld nda, geriye kalan matrisin determinant na a ij terimin minörü denir. ve M ij fleklinde gösterilir. A matrisinin, a teriminin minörünü bulunuz. Çözüm : M bulunurken, A matrisin. sat r ve. sütunu yok edilir, geriye kalan k sm n determinant al n r. yani; 83

18 3 M M A [a ij ] mxn kare matrisinde, (-) i+j. M ij ifadesine, a ij terimin kafaktörü denir ve A ij ile gösterilir matrisinde a 3 teriminin kafaktörünü bulunuz. Çözüm : A 3 (-) +3. M 3 M 3 bulunurken,. sat r ve 3. kolon yok edilir. Geriye kalan k sm n determinant al n r. 3 M 3 det A 3 (-) +3. (-) x3 tipindeki bir karesel matrisin determinant n hesaplarken, bir sat r na ya da bir sütununa göre aç l m yaparak hesaplayabiliriz. Her ikisi de ayn sonucu verir. a) Bir sat ra göre hesaplama : a a a 3 3x3 tipindeki bir matris, A a a a 3 olsun. a 3 a 3 a 33. sat ra göre det A a A + a. A +a 3 A 3. sat ra göre det A a A + a A + a 3 A 3 3. sat ra göre det A a 3 A 3 + a 3 A 3 + a 33 A 33 Her üç hesaplama ayn sonucu verir. 84

19 A olsun. det A nedir? Çözüm :. sat ra göre hesaplarsak, det A a A + a A + a 3 A 3 o hâlde, det A.A +. A +. A 3 A (-)+ M (-) A (-)+ M -. A 3 (-) +3 M (--) 4 buldu umuz kafaktörleri yerlerine koyarsak. det A.(-6) Siz de. sat r ve 3. sat ra göre aç n z. Göreceksiniz ki ayn sonucu verir. Ancak, yukar da uzun ifllemler yerine 3x3 tipindeki matrislerin determinantlar n bulmak için daha basit olan sarus kural kullan lmaktad r. SARRUS (SARUS KURALI) 3x3 tipinde A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 matrisi verilsin. a a a3 a a a3 a a a3 a 3 a3 a33 det A a a a3 a 3 a3 a33 a a a3 a a a3 - + a. a a 33 +a. a 3. a 3 + a 3 a a 3 - (a 3. a a 3 + a 3 a 3 a + a 33 a a ) 85

20 a) Determinant n ilk iki sat r, determinant n alt na eklenir. b) Sa köflegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp l r ve bu çarp mlar toplan r. c) Sol köflegenler üzerinde bulunan elemanlar çarp l r ve bu çarp mlar toplan r. (b) ve (c) sonuçlar birbirinden ç kart l r. A det A olsun. det A nedir?.3. (-) (-) x3 tipindeki matrislerin determinantlar n sarus kural ile ö renmenizde fayda olacakt r. DETERM NANTLARIN ÖZEL KLER. Bir determinant n, herhangi bir sat r ya da sütunundaki elemanlar n hepsi s f r ise, bu determinant n de eri s f rd r. a) b) Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da sütun elemanlar karfl l kl olarak ayn ise, bu determinant n de eri s f rd r. a) b)

21 3. Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da sütun elamanlar karfl l kl orant l ise, bu determinant n de eri s f rd r. 4. A, n.s radan bir kare matris (nxn tipinde) ise det A det A T A A T det A det A T a) olsun, 0 b) (-+9) - (6+0-6) 8 (-+0+9) - (6+0-6) 8 kat Bir determinant n, bir sat r ya da bir sütunu, bir k R say s ile çarp l rsa bu determinant n de eri de k ile çarp lm fl olur. A matrisi olsun (det A) -? Çözüm : det A det A

22 A a c b d ise k.a ka kb c d a b kc kd ka b kc d a kb c kd 6. Bir determinant n, herhangi iki sat r ya da herhangi iki sütunun yerleri de iflirse determinant n iflareti de iflir. A 3 4 B 3 4 ise det A ise det B 6-4 sat rlar n yerleri de iflti. flaret de de iflti. 7. Bir determinant n bir sat r ndaki ya da bir sütunundaki elemanlar, k R ile çarp l p baflka bir sat ra ya da sütuna karfl l kl olarak eklenirse, determinant n de eri de iflmez sütun 3. ile çarp p 3. sütunu ekledik. Her iki determinant n sonucunu sarus kural ile bulunuz. Göreceksiniz ki; sonuçlar ayn d r. 8. (x,y,z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin koordinatlar A(x,y,z), B(x,y,z ), C(x 3,y 3,z 3 ) olsun. ABC ücgeninin alan x A y z ile bulunur. x y z x 3 y 3 z 3 L NEER DÖNÜfiÜMLER T a b Lineer dönüflüm matrisi A(x, y ) noktas n c d K(x, y ) noktas na dönüfltürüyorsa, a c b a. x y x y fleklinde gösterilir. 88

23 ) A 3 3 4, B - det (A+B) de eri nedir? ÖRNEKLER ise Çözüm : A + B det ) Sarus kural ile afla daki matrisin determinant n bulunuz. A Çözüm : (+6+40) - (5-4-8) ) (x, y, z) koordinat sisteminde bir ABC üçgeninin köflelerinin koordinatlar A(,, 3) B(-, -, ) C(, 3, 4) oldu una göre bu ABC üçgeninin alan nedir? Çözüm : Alan x y z dir. o halde, x y z x 3 y 3 z 3 A(ABC) ( -8-9+) - ( ) br 89

24 4) x 0 ise x? Çözüm : Sarus kural na göre, x 0 ise ( -3x - 3+0) - ( x) 0-3x x 0 5x -6 0 x ) a a 0 a a - a ise a? Çözüm : Sarus kural na göre, a a 0 a (+0+4a) - (a+a +0) a a 0 4a+ -a - a -a + a+ -a + a+ a-a a+ a a - 90

25 ÖZET Bu bölümde, afla daki durumlar ö rencilere verilmeye çal fl lm flt r. - Matrisin tan m - ki matrisin eflitli i - Matrislerde dört ifllem ve skalar ile çarpma iflleminin özelikleri - Birim matris ve kare matris tan t lm flt r. - Kare matrisin kuvvetleri örneklerle ö rencilere tan t lm flt r. - Bir matrisin çarpma ifllemine göre tersi ö rencilere tan t lm flt r. - Matrislerde devrik ifllemi ö rencilere tan t lm flt r. - Determinant n tan m - Minör ve kafaktör tan mlar - Sarrus kural ile determinant çözümü ö rencilere tan t lm flt r. - Determinant n özellikleri tan t l p, örneklerle ö rencilerin anlama durumlar h zland r lm flt r. 9

26 DE ERLEND RME TEST (3) ) A - ise A 5 ise matrisi afla dakilerden hangisidir? A) (-) C) B) (-) D) ) x y 4 A) - B) oldu una göre xy çarp m kaçt r? C) - 6 D)- 3) a 3 b matrisinin tersi kendisine eflit oldu una göre a afla dakilerden hangisidir? A) B) C) x x 4) denkleminin kökü kaçt r? x 5 x D) 35 6 A) 0 B) - C) - D) -3 5) determinant n de eri nedir? A) (99870) B) 9987 C) 9988 D) 6) 7) T a b matrisi A(, ) noktas n (-,3) noktas na dönüfltürüyorsa c d B(,4) noktas hangi noktaya dönüflür? A) (-4,6) B) (-, 3 ) C) (,-3) D) (,3) x+ 3 x+ 3 0 denkleminin çözüm kümesi afla dakilerden hangisidir? x+3 A) {-, -, -3} B) {0, -6, 6} C) {-6, 0} D) {0, -3, } 9

27 DE ERLEND RME TEST N N ÇÖZÜMLER (3) ) A - 3 A A 3 A. A , I (-)3.I A 5 (A 3 ) 5 ((-) 3 ) 5. I 5 (-) Do ru Cevap A ) x y 4 x 6 y 4 - x y x. y Do ru Cevap A 3) A.A - I a 3. b a + 36 a + b o halde, a 3 b a 3 +b b a + 36 a a ± 35 6 Do ru Cevap D 93

28 4) x x 3 4 x 5 x 6 sarrus kural ile ise x x 3 4 3x + 0x + 4x - (3x +0x + x) 6 3x + 4x - 3x - x 6-8x 6 x - Do ru Cevap C 5) x olsun. x+ x+3 x x+ (x+) (x+) - x (x+3) x + 3x + - x - 3x Do ru Cevap D 6) T a c b d a b c d. x x y y dir. a b c d. - 3 a b c d. 4 a b c d. Lineer dönüflüm matrisi A(x,y) noktas n K(x,y) noktas na dönüfltürüyorsa a b c d Do ru Cevap A 7) Sarrus kural ile (x+) (x+) (x+3) [3(x+) + 6(x+) +(x+3)] 0 x 3 + 6x +x [3x + 6+6x+6+x+6] 0 x 3 + 6x + x + 8 -x -8 0 x 3 + 6x 0 ise x (x+6) 0 x 0 x 0 x 3-6 Ç.K {-6, 0} Do ru Cevap C 94