BÖLÜM ÇİFTLENİMLİ SALINICILAR (Coupled Oscillators)

BÖLÜM-5 5.1 ÇİFTLENİMLİ SALINICILAR (Couped Osciators) Bundan önceki böümerde tek bir doğa frekansa sahip sistemeri inceedik. Bu böümde birçok farkı frekansarda titreşebien sistemeri inceeyeceğiz. Önce iki çiftenimi saınıcıdan ouşan sistemerin serbest saınımarını ee aacağız. Bu sistemerin anaizinde bazı kuraar geiştireceğiz ve bunarı çok sayıda çiftenimi saınıcıdan meydana geen sistemerin anaizinde kuanacağız. Daha sonra bu sistemeri periyodik dış kuvvet etkisinde ee aacağız. Basitten başayarak krista örgü gibi daha karmaşık oayarın dinamik özeikerini anamaya çaışacağız. Ede edeceğimiz bigi birikimini çiftenimi eektrik devreerinin anaizinde kuanma becerisi edineceğiz. Fizik Lab-IV dersinde bu kavramarın uyguamaarını göreceksiniz. Özeike ietim hatarı deneyinin iyi anaşıması için bu bigiere ihtiyaç duyacaksınız. 5.1.1 İki Çiftenimi Sarkaç Birbirine benzer A ve B sarkaçarının Şeki-5.1a deki gibi gerimemiş bir yay ie birbirine bağandığı (çiftendiği) sistemi göz önüne aaım. Burada basitik oması bakımından sarkaç boyarının ve küteerinin eşit oduğunu kabu edeceğiz ( a = b = ve m a = m b = m). Şeki-5.1 Özdeş iki sarkacın k yayı ie çiftenimi.(a) Sistemin serbest hai. (b) B sarkacı dururken A sarkacını x a kadar yana çekip serbest bırakıması. Şeki-5.1b deki gibi B sarkacı dururken A sarkacını x a kadar yana çekip sistemi serbest bıraktığımızda oacak oayarın geişimi aşağıda özetenmiştir. 1

A sarkacı saınıma başar. Bir süre sonra başangıçta durgun oan B sarkacı da saınıma geçer. A sarkacının geniği giderek azaırken B sarkacının geniği artmaya başar. Daha sonra A ve B sarkaçarının genikeri eşit our. Saınım devam ettikçe, A sarkacının geniği azaırken B sarkacının geniği A sarkacının geniğinin ik değerine eşit oana kadar artmaya devam eder. B sarkacının geniği A sarkacının ik geniğine eşit oduktan sonra, başangıç koşuu tersine çevrimiş our. Sisteme sürtünme gibi yitirici kuvveter etki etmediği sürece bu genik değişimi süreki kendini tekrarar. Çiftenimi iki sarkaç arasındaki k yayı sağar. A kütesi titreşirken, aradaki k yayı B kütesini iter ve çeker. Böyece bu yay B kütesi üzerinde bir dış kuvvet ouşturur ve onu harekete geçirir. Aynı zamanda bu yay, A kütesini de iter ve çeker. Şimdi Şeki-5.1 de verien sisteme biraz daha yakından bakaım ve bazı öze durumar için sistemin davranışını anamaya çaışaım: (i) MOD-I: A ve B sarkaç küteerini eşit miktarda (x a = x b ) sağa çektiğimizi ve sonra bunarı aynı anda serbest bıraktığımız farz edeim (Şeki-5.). Şeki-5. A ve B sarkaçarı eşit miktarda (x a = x b ) sağa çekiip serbest bırakııyor. Bu durumda sarkaç toparı arasındaki uzakık, doaysıya yayın boyu, değişmez. Yayın boyunda değişikik omadığı için yaydan doayı sarkaçara bir kuvvet etki etmez. Bu durumda A sarkacına ait m a kütesinin hareket denkemi için d x a dt + g x a = 0 (5.1a) yazabiiriz (Bu durumda sistem daha önce inceediğimiz basit sarkacın aynısıdır).

Benzer ifade B sarkacı için de geçeridir: d x b dt + g x b = 0 (5.1b) ω 1 = g aarak bu denkemeri d x a dt + ω 1 x a = 0 (5.a) d x b dt + ω 1 x b = 0 (5.b) formunda yazabiiriz. Bu denkemerin çözümü için x a = x b = A cosω 1 t (5.c) ifadesini yazabiiriz. Bu çözüm bize A ve B sarkaçarının aynı frekans (ω 1 = g ), aynı faz ve aynı geniki (A) ve araarındaki uzakık sabit kaacak şekide basit harmonik hareket (BHH) yaptıkarını gösterir. Bu öze durumda sistemdeki yayın bir etkisi yoktur. Her iki sarkaç birbirinden bağımsız gibi hareket eder yani sarkaçar sanki çiftenmemiş gibi davranır. Bu çiftenim biçimi çiftenimi saınıcı sistemin bir norma modunu (kipini) temsi eder. Burada mod sözcüğünü kip veya öztitreşim anamında kuanıyoruz. Farkı kitaparda bu türden adandırmaar görebiirsiniz. (ii) MOD-II: A ve B sarkaç toparının zıt yönerde fakat eşit miktararda (x a = x b ) yanara çekiip aynı anda serbest bırakıdığını farz edeim (Şeki-5.3). Şeki-5.3 A ve B sarkaçarı zıt yönde x a = x b oacak şekide çekiip serbest bırakııyor. 3

Bu durumda küteeri birbirine bağayan yay uzar veya sıkışır ve yay küteere bir kuvvet uyguar. A ve B sarkaçarının hareketi birbirinin aynadaki görüntüsü şekinde oacaktır. Bu hareket sırasında yaydaki uzama miktarı x a = x b = x kadar oacaktır. Yay her bir küteye (m a = m b = m) kx kadarık bir geri çağırıcı kuvvet uyguar. Burada, küçük saınımarda, her iki sarkacın küteerine yer çekiminden doayı F = m ( g ) x geri çağırıcı kuvvetinin de uyguandığına dikkat ediniz. Böyece A sarkacının hareket denkemi için yazabiiriz. Bu denkemi yeniden m d x a + m g dt x a Basit sarkaç + kx a = 0 (5.3a) Yay kuvveti d x a dt + (g + k m )x a = 0 (5.3b) şekinde yazabiiriz. Burada ω = ( g + k ) diyerek (5.3b) denkemini yeniden m d x a dt + ω x a = 0 (5.4) şekinde yazabiiriz. Bu diferansiye denkemin ω frekansı bir BHH ye karşıık gediği açıktır. Bu denkemin çözümü için x a = A cos (ω t) yazabiiriz. Benzer şekide B sarkacının hareketi için x b = A cos (ω t) (5.5a) (5.5b) yazabiiriz. Sonuç oarak ikinci modda da her bir sarkaç BHH yapan bir sistem gibi davranır. Fakat aradaki yayın etkisi geri çağırıcı kuvveti artırıcı yönde oduğundan, titreşim frekansı çiftenimsiz duruma göre daha büyüktür yani ω > ω 1 dir. A ve B sarkaçarı aynı frekansta, aynı genikte fakat araarında 180 ik faz farkı oan BHH yapar. A ve B sarkaçarına ait uzanımarının zamana değişimeri Şeki-5.4 de verimiştir. 4

Şeki-5.4 Çiftenmi sarkacın mod-ii durumunda x a ve x b uzanımarının zamana değişimi. 5.1. Norma modarın üst üste gemesi Şimdi A sarkacındaki kütenin yer değiştirmesinin x a, B sarkacındaki kütenin yer değiştirmesinin ise x b kadar oduğu rastgee bir durumu göz önüne aaım (Şeki-5.5). Şeki-5.5 Çiftenimi sarkaçta x a x b durumu. Bu durumda aradaki yay (x a x b ) kadar uzar ve A ve B sarkaçarı üzerine k(x a x b ) kadarık geri çağırıcı bir kuvvet uyguar. A kütesi üzerindeki topam geri çağırıcı kuvvet (yerçekimi+yay): F = m g x a k(x a x b ) (5.6a) B kütesi üzerindeki topam geri çağırıcı kuvvet (yerçekimi+yay): F = m g x b k(x b x a ) (5.6b) ifadeeri ie veriebieceği açıktır. 5

A ve B sarkaç küteerinin hareket denkemeri F = ma bağıntısından ve m d x a dt = m g x a k(x a x b ) (5.7a) oacaktır. Bu eşitikeri yeniden düzenersek, m d x b dt = m g x b k(x b x a ) (5.7b) d x a dt + g x a + k m (x a x b ) = 0 (5.8a) d x b dt + g x b + k m (x b x a ) = 0 (5.8b) Burada A kütesi için yazıan (5.8a) denkemi, B sarkacına ait x b terimini; B kütesi için yazıan (5.8b) denkemi ise A sarkacına ait x a terimini içermekte oduğuna dikkat ediniz. Başka bir deyişe A sarkacının hareketi B sarkacının hareketini etkiemektedir. Bunun tersi de geçeridir. Bu nedene bu iki diferansiye denkem birbirinden bağımsız çözüemez. Bu denkemerin birikte çözümü için (5.8a) ve (5.8b) denkemerini taraf tarafa topayarak, ve çıkararak, denkemeri ede ediir. Burada d (x a +x b ) dt + g (x a + x b ) = 0 (5.9a) d (x a x b ) dt + ( g + k m )(x a x b ) = 0 (5.9b) q 1 = (x a + x b ) ve q = (x a x b ) (5.10) ω 1 = g ve ω = g + k m (5.11) aarak (5.9a) ve (5.9b) denkemerini d q 1 dt + ω 1 q 1 = 0 (5.1a) d q dt + ω q = 0 (5.1b) 6

şekinde yazabiiriz. Bu iki denkemin, yer değiştirmeeri q 1 ve q ; frekansarı ω 1 ve ω oan bağımsız BHH yapan iki sisteme karşı gediği açıktır. Bu denkemerin (5.1a ve 5.1b) çözümeri için q 1 = C 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) (5.13a) q = C cos(ω t + φ ) (5.13b) yazabiiriz. Burada C 1 ve C geniker, φ 1 ve φ ise faz sabiteri oup başangıç koşuarından tayin ediir. Böyece iki bağımsız titreşime sahip ouruz. Buradaki q 1 ve q değişkeneri norma koordinatar; ω 1 ve ω ise norma frekansar oarak adandırıır. Tekrar orijina koordinatarımız oan x a ve x b ye geri döneim: Buradan q 1 = (x a + x b ) q = (x a x b ) x a = 1 (q 1 + q ) = 1 [C 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + C cos(ω t + ϕ )] x b = 1 (q 1 q ) = 1 [C 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) C cos(ω t + ϕ )] (5.14a) (5.14b) yazabiiriz. Bu eşitikerden şu sonuca varıır: her bir sarkacın hareketi iki norma modun süperpozisyonu şekindendir. Başangıç koşuarı oarak φ 1 = φ = 0 oduğunu kabu edeim. Bu durumda (5.14a) ve (5.14b) eşitikeri için x a = 1 [C 1 cos ω 1 t + C cos ω t] x b = 1 [C 1 cos ω 1 t C cos ω t] (5.15a) (5.15b) yazabiiriz. Şimdi üç farkı başangıç koşuu için yukarıdaki çözümeri ee aaım: (i) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = A (ii) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = A (iii) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = 0 7

Şimdi bu öze durumarı tek tek ee aaım. i) t=0 anında x a = A ve x b = A Bu değereri (5.15a) ve (5.15b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = A ede ederiz. Buradan C 1 = A ve C = 0 buunur. Bu durumda x a = Acosω 1 t x b = Acosω 1 t our. Bu ise daha önce inceediğimiz birinci norma mod çözümeridir. Bu öze durumda aradaki yayın sisteme bir etkisi yoktur yani iki sarkaç, aynı genik, aynı faz ve aynı ω 1 = g doğa titreşim frekansarı ie titreşirer. (ii) t=0 anında x a = A ve x b = A Bu değereri (5.15a) ve (5.15b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = A ede ederiz. Buradan C 1 = 0 ve C = A buunur. Bu durumda çözümer için x a = Acosω t x b = Acosω t yazabiiriz. Bu da daha önce inceediğimiz ikinci norma mod çözümeridir. Bu öze durumda aradaki yay çiftenimi sağar ve iki sarkaç aynı geniki, aynı frekansı ve 180 faz farkı (zıt fazı) ie saınım yapar. (iii) t=0 anında x a = A ve x b = 0 Bu değereri (5.15a) ve (5.15b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = 0 ede ederiz. Buradan C 1 = A ve C = A buunur. Bu durumda çözümer için 8

x a = 1 A[cos ω 1t + cos ω t] ede ederiz. Bu ifadeeri x b = 1 A[cos ω 1t cos ω t] cosα + cosβ = cos α β cos α + β cosα cosβ = sin α β sin α + β trigonometrik özdeşikeri kuanıarak yeniden düzenenirse, x a ve x b için x a = A cos ( ω ω 1 t) cos ( ω +ω 1 t) (5.16a) x b = A sin ( ω ω 1 t) sin ( ω + ω 1 t) = A cos ( ω ω 1 ifadeeri ede ediir. Buradan x a ve x b uzanımarının cos ω ω 1 t π ) cos (ω + ω 1 t π ) t ve cos ( ω ω 1 fonksiyonar tarafından modüe omuş oduğu görüür. Modüasyon frekansı = ( ω ω 1 ) ve Titreşim frekansı = ( ω 1+ω ) dir. Sarkaçardan birinin modüe omuş geniği maksimum iken diğerinin modüe omuş geniği sıfırdır (Şeki-5.6). (5.16b) t π ) Şeki-5.6 Çiftenimi sarkaçta modüasyon durumu. 9

5. YATAY DOĞRULTUDA ÇİFTLENİMLİ KÜTLE-YAY SİSTEMİ Şimdi yatay doğrutuda çiftenimi osiatör örneğini ee aaım. Küteer ie yatay düzem arasında sürtünme omadığını kabu edeceğiz. Basitik açısından küteerin ve yayarın özdeş oduğu durumu ee aacağız. Şeki-5.7 de özdeş ve bağımsız iki küte-yay osiatörü verimiştir. Şeki-5.7 Çiftenmemiş iki bağımsız küte-yay osiatörü. Bu iki osiatörü kuvvet sabiti k 1 oan üçüncü bir yay ie birbirine bağayarak çiftenmimi bir sistem haine getirebiiriz (Şeki-5.8a). Şekideki gibi, A kütesinin x a, B kütesini ise x b kadar sağa doğru çekeim. Şeki-5.8a Yatay düzemde çiftenimi osiatör. Çiftenimi sistemde, x b >x a oması durumda, ortadaki yay (x b x a ) kadar gerimiş our. Bu durumda, A kütesine so taraftaki yaydan doğan kx a ve ortadaki yaydan doğan k 1 (x b x a ) kuvveteri etki eder. B kütesine ise sağdaki yaydan doğan kx b ve ortadaki yaydan doğan k 1 (x b x a ) kuvveteri etki eder. x b >x a oması hainde ortadaki k 1 yayının boyu net oarak uzamış demektir yani k 1 yayı gerimiştir. Bu durumda k 1 yayının A kütesine uyguadığı kuvvet sağa doğru yani (x b x a ) yönünde; B kütesine uyguadığı kuvvet soa doğru yani (x b x a ) yönünde oacaktır. Bu durumda, sırasıya, A ve B küteeri için hareket denkemeri 10

m d x a = kx dt a m d x b sodaki yay = kx dt b sağdaki yay yazıabiir. Bu denkemeri yeniden düzeneyerek, + k 1 (x b x a ) ortadaki yay k 1 (x b x a ) ortadaki yay (5.17a) (5.17b) m d x a dt + (k + k 1)x a k 1 x b = 0 (5.18a) m d x b dt + (k + k 1)x b k 1 x a = 0 (5.18b) şekinde ifade edebiiriz. Bu denkemerin her biri hem x a hem de x b yi içerdiği için birbirinden bağımsız oarak çözüemez. Bu nedene her ikisini de içerecek bir değişken değiştirmeye gitmek uygun oacaktır. Bunun için (5.18a) ve (5.18b) denkemeri taraf tarafa topanarak, ve çıkarıarak, denkemeri ede ediir. Burada, m d (x a +x b ) dt + k(x a + x b ) = 0 (5.19a) m d (x a x b ) dt + (k + k 1 )(x a x b ) = 0 (5.19b) q 1 = (x a + x b ) q = (x a x b ) ω 1 = k/m ω = (k + k 1 ) m kısatmaarı yapıarak (5.19a) ve (5.19b) denkemeri d q 1 dt + ω 1 q 1 = 0 (5.0a) d q dt + ω q = 0 (5.0b) şekinde yazıabiir. Bunar BHH nin denkemiye aynıdır. Bu denkemerin çözümü için yazabiiriz. q 1 = C 1 cos (ω 1 t + φ 1 ) q = C cos (ω t + φ ) (5.1a) (5.1b) 11

Bu iki denkemin ortak çözümünden x a ve x b ede ediebiir: x a = 1 (q 1 + q ) = 1 [C 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + C cos (ω t + φ )] x b = 1 (q 1 q ) = 1 [C 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) C cos (ω t + φ )] (5.a) (5.b) Başangıç koşuarı oarak φ 1 = φ = 0 oduğunu kabu edeim ve aşağıdaki öze durumar için A ve B küteerinin titreşimerini inceeyeim. (i) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = A (ii) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = A (iii) t = 0 anında her iki küte durgun ve x a = A ve x b = 0 Şimdi bu öze durumarı tek tek ee aaım. i) t= 0 anında x b = A ve x b = A Bu değereri (5.a) ve (5.b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = A ve buradan C 1 = A ve C = 0 ede ediir. Bu durumda çözümer için yazıır. x a = Acosω 1 t x b = Acosω 1 t Her iki küte aynı genik, aynı faz ve aynı ω 1 = k/m açısa frekansı ie titreşir. Bunun anamı ortadaki k 1 çiftenim yayının sisteme bir etkisi yoktur. Bu durum daha önce sarkaç sisteminde anatıan 1. norma mod durumuna karşı gediğine dikkat ediniz. (ii) t=0 anında ve x a = A ve x b = A Bu değereri (3a) ve (3b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = A 1

ve burada C 1 = 0 ve C = A ede ediir. Bu durumda çözümer için x a = Acosω t x b = Acosω t yazıabiir. Her iki küte aynı genik ve aynı ω = (k + k 1 )/m açısa frekansı ie titreşir ancak araarında (=180 ) kadar faz farkı vardır. Çiftenim yayı geri çağırıcı ek bir kuvvet ouşturduğundan ω açısa frekansı birinci durumda verien çiftenimsiz durumun frekansından daha büyüktür ω > ω 1. Bu durum daha önce sarkaç sisteminde anatıan. norma mod durumuna karşı gediğine dikkat ediniz. Eğer çiftenimi sağayan yayın kuvvet sabiti de diğer iki yayın kuvvet sabitine eşit oursa yani k 1 = k oursa, ω = 3k/m our. Şeki-5.8b de simetrik ve antisimetrik modar gösterimiştir. Şeki-5.8b. Simetrik ve antisimetrik modar. (iii) t=0 anında ve x a = A ve x b = 0 Bu değereri (5.a) ve (5.b) denkemerinde yererine yazarak 1 [C 1 + C ] = A 1 [C 1 C ] = 0 ve buradan, C 1 = A ve C = A ede ediir. Bu durumda çözümer için x a = 1 A[cosω 1t + cosω t] x b = 1 A[cosω 1t cosω t] (5.3a) (5.3b) ede ederiz. Bu ifadeeri cosα + cosβ = cos α β α+β cos cosα cosβ = sin α β sin α+β (5.4a) (5.4b) 13

trigonometrik özdeşikerini kuanarak yeniden düzenersek, x a ve x b için x b = A sin ( ω ω 1 x a = A cos ( ω ω 1 t) sin ( ω +ω 1 t) cos ( ω +ω 1 t) = A cos ( ω ω 1 t) (5.5a) t π ) cos (ω +ω 1 t π ) (5.5b) ifadeerini ede ederiz. Bu sonuçarın çiftenimi sarkaç örneğindeki sonuçar ie aynı oduğuna dikkat ediniz. Bu nedene çiftenimi sarkaç örneğinde yapıan yorumar burada da geçeri oacaktır. 5.3 ZORLAMALI ÇİFTLENİMLİ SALINICILAR VE REZONANS Şu ana kadar çiftenimi bir sistemin bei kuraar içinde titreştiği durumda sistemin karakteristik doğa frekansarını bumak için sistemin serbest titreşimerini göz önüne adık. Eğer sisteme periyodik bir dış kuvvet etkirse ne our? Örneğin çiftenimi bir saınıcı için rezonans hainin nası ortaya çıktığını tartışacağız. Tartışmamız daha önce incediğimiz zoramaı saınıcıarın anaizine benzer oacaktır. Burada sönüm etkierini dikkate amayacağız. Fakat titreşimerin odukça çok saınımdan sonra geçiş etkierinin ortadan kayboduğu ve böyece her saınıcının hareketinin dış kuvvetin frekansında ve sabit genikte oduğunu varsayacağız. A ve B küteerinin araarında bir yay ie birbirine bağandığı çiftenimi saınıcının A kütesine bağı S yayına F = F 0 cos ωt şekinde periyodik bir dış kuvvetin uyguandığını varsayaım (Şeki-5.9). Yayarın ve küteerin özdeş oduğunu kabu edeceğiz. Şeki-5.9 Zoramaı çiftenimi saınımar. 14

Dış kuvvet nedeni ie S yayının boyunda ξ = acos ωt şekinde bir değişim oacaktır. Burada a = F 0 k dir. S yayına uyguanan periyodik dış kuvvet A kütesine zoramaı titreşim hareketi yaptırır. Ortadaki çiftenim yayı bu zoramaı kuvvetin etkisini B ye ietir. Bu durumda A ve B küteerinin hareket denkemeri, m d x a dt + k(x a ξ) sodaki yay + k( x a x b ) ortadaki yay = 0 (5.6a) m d x b + kx dt b sağdaki yay + k(x b x a ) = 0 (5.6b) ortadaki yay oacaktır. (5.6a) denkemi, ξ = F 0 cos ωt ifadesi yerine konarak, yeniden düzenenirse k d x a + k x dt m a k x m b = F 0 m ve (5.6b) denkemi yeniden düzenenirse cos ωt (5.7a) d x b dt + k m x b k m x a = 0 (5.7b) yazıabiir. Bu son iki denkem (5.7a ve 5.7b) taraf tarafa topanır ve çıkarıırsa d dt (x a + x b ) + k m (x a + x b ) = F 0 m d dt (x a x b ) + 3k m (x a x b ) = F 0 m denkemerini ede ederiz. Daha önce yaptığımız gibi yine cos ωt (5.8a) cos ωt (5.8b) x a + x b = q 1 ; x a x b = q (5.9) şekinde değişken değiştirmesi yapmak bu denkemeri çözmeyi koayaştıracaktır. d q 1 + k q dt m 1 = F 0 cos ωt (5.30a) m d q + 3k q dt m = F 0 cos ωt (5.30b) m k m = ω 1 ve 3k m = ω diyecek oursak d q 1 + ω dt 1 q 1 = F 0 cos ωt (5.31a) m d q + ω dt q = F 0 cos ωt (5.31b) m 15

ede ederiz. Burada (5.31a) ve (5.31b) denkemeri ω 1 ve ω doğa frekansı iki zoramaı harmonik saınıcıya benzemektedir. Bu denkemerin kararı ha çözümerini aşağıdaki eşitikere tanımayabiiriz: q 1 = C 1 cosωt q = C cosωt Bu ifadeeri ve türeverini (5.31a) ve (5.31b) de kuanırsak, C 1 ve C için ifadeerini ede ederiz. C 1 = F 0 m (ω 1 ω ) C = F 0 m (ω ω ) (5.3a) (5.3b) (5.33a) (5.33b) C 1 ve C genik ifadeeri, dördüncü böümde inceediğimiz sönümsüz zoramaı bir saınıcının gösterdiği rezonans davranışına benzer bir davranış göstereceği açıktır. Yeniden x a ve x b ye geçeim. x a = 1 (q 1 + q ) = 1 (C 1 + C ) cos ωt = A cos ωt x b = 1 (q 1 q ) = 1 (C 1 C ) cos ωt = B cos ωt (5.34a) (5.34b) Buradan, a ve b küteerinin titreşim genikerinin (A ve B) ω ya bağı ifadeeri A = 1 (C 1 + C ) = 1 B = 1 (C 1 C ) = 1 F 0 [ 1 + 1 m ω 1 ω ω ω ] F 0 [ 1 1 m ω 1 ω ω ω ] (5.35a) (5.35b) şekindendir. A ve B genikerinin uyguanan dış kuvvetin frekansına bağı davranışarı Şeki-5.10 de verimiştir. Şeki-5.10. A ve B genikerinin uyguanan dış kuvvetin frekansına bağı davranışarı. 16

ω < ω 1 bögesinde A ve B küteeri aynı fazda titreşirer. ω 0 = ω 1 +ω değerinde A = 0 dır. ω = ω 1 ve ω = ω oduğunda sistem rezonans durumuna girer ve küteer çok büyük geniki saınım yaparar. Bu oaydan yararanarak sistemin norma modarı (ω 1 ve ω ) deneyse oarak beirenebiir. ω > ω bögesinde A ve B küteeri zıt fazda titreşirer Bu tür sistemere CO gibi ikiden faza atoma sahip oan moeküerin titreşimi güze bir örnek ouşturur. Atomarı üç küte (ortadaki C, kenarardakier ise O atomarı) ve atomar arasındaki moeküer bağarı da yayar ie temsi edebiiriz (Şeki-5.11). Şeki-5.11. CO moeküünün titreşim modarı. Şeki-5.11 den görüdüğü gibi bu sistemin titreşiminin iki adet norma modu vardır. Bunar simetrik ve asimetik gerime oarak isimendiriirer. Simetrik gerime modunda merkezdeki C atomu sabit durur, kenardaki O atomarı zıt yönerde eşit frekansı ve eşit geniki oarak titreşir (Şeki-5.11a). Asimetrik gerime modunda ise, kenardaki O atomarı araarındaki uzakık sabit kaacak şekide aynı yönde hareket ederer. Merkezdeki C atomu ise sistemin küte merkezinin hareketsiz kamasını sağayacak şekide O atomarının hareket yönünün tersi yönde hareket eder (Şeki-5.11b). Sistemin norma frekansarı soğurma spektrumu ie deneyse oarak beirenmektedir. CO moeküünün norma modarına karşı geen frekansar 4.0x10 13 s -1 (Şeki-5.11a) ve 7.0x10 13 s -1 (Şeki-5.11b) dır. Bu moeküün ayrıca bir de büküme modu vardır ve buna karşı geen frekans ise.0x10 13 s -1 dir (Şeki-5.11c). 17

5.4 ENİNE SALINIMLAR Daha önce küte-yay sisteminin boyuna titreşimerini inceedik. Şimdi bir veya daha faza küte ve iki veya daha faza yaydan ouşan sistemerin enine saınımarını inceeyeceğiz. 5.4.1 Bir küte-iki yaydan ouşan sisteminin enine saınımarı Özdeş yayara bağı oan m kütesinin küçük bir y miktarı kadar enine çekiip bırakıdığını düşüneim (Şeki-5.1). Şeki-5.1. Küte-yay sisteminin enine titreşimi. Yayardaki uzama miktarı L, L = L L (5.36) oacaktır. Şekideki θ açısının kosinüsünü yazarak, cos θ = L L L = L cos θ ede ederiz. Bu değeri (5.36) da yerine yazarak L için (5.37) L = L L = ( L 1 L) = L ( 1) (5.38) cos θ cos θ yazabiiriz. Burada y yer değiştirmesinin küçük ve buna bağı oarak θ açısının küçük oduğu durumu ee aacağız. Küçük θ'ar için kosinüs fonksiyonunun seriye açıımından cos θ = 1 θ + θ4 θ6 + + ( 1)n θ n! 4! 6! n! cos θ 1 θ yazabiiriz. Bunu (5.38) ifadesinde kuanarak L için yazıır. θ L = L ( 1 1 θ 1 = x diyerek ve in seriye açıımından yararanarak 1 x 1 1 x = 1 + x + x + + x n +, 1 < x < 1 1) (5.39) (5.40a) 18

1 1 θ = 1 + θ + (θ ) + + ( θ )n + (5.40b) yazabiiriz. Küçük yakaşımında (5.40b) serisinin ik iki terimi ie yetinebiiriz, yani 1 1 θ 1 + θ aabiiriz. Bunu (5.39) ifadesinde kuanarak L için L L [1 + θ 1] = Lθ (5.41) (5.4) ede ederiz. Bu durumda θ çok küçük ise (5.36) ifadesi ie verien L uzamasını ihma edebiiriz. Bu durumda yaydaki T gerime kuvvetini sabit kabu edebiiriz. Yayardaki gerime kuvveti küte üzerine aşağı doğru bir geri çağırıcı kuvvet ouşturur. Bu kuvvetin değeri T sin θ + T sin θ = T sin θ (5.43) oup yönü aşağı doğru (-y yönünde) oacaktır. Bu durumda hareket denkemi için m d y dt = T sin θ Ttanθ T y L (5.44) yazabiiriz (küçük açıarda θ sin θ tanθ aındığına dikkat ediniz). Bu ifade yeniden düzenenerek şekinde yazıabiir. Burada m d y dt + T y L = 0 d y + T y = 0 dt ml T (5.45a) (5.45b) ml = ω (5.46) kısatması yapıarak hareket denkemini d y + dt ω y = 0 (5.47) formunda yazabiiriz. Bu ise basit harmonik hareketin denkemidir. Bu denkemin çözümü için y = Acos(ωt φ) (5.48) yazabiiriz (BHH örneğine bakınız). Bu durumda sistemin bir tek norma modu vardır. Sistemin frekansı ve periyodu için 19

frekans = 1 π T ml, periyot = π ml T ifadeerinin yazıacağı açıktır (Not: Buradaki T, yayardaki geriim kuvvetidir, periyot ie karıştırımaması gerekir) (5.49) 5.4. İki küte - üç yaydan ouşan sisteminin enine saınımarı Şimdi iki özdeş kütenin birbirine üç özdeş yay ie bağandığı durumu ee aaım (Şeki- 13). Şeki-5.13. İki küte - üç yaydan ouşan sisteminin enine titreşimi. Yukarıdaki tartışmayı dikkate aarak, küçük titreşimer için, probemi irdeeyeceğiz. A ve B küteerinin hareket denkemeri için A kütesi için : m d y a = Tsinθ dt 1 sodaki yay + Tsinθ ortadaki yay (5.50a) B kütesi için: m d y b = Tsinθ dt ortadaki yay Tsinθ 3 sağdaki yay (5.50b) yazabiiriz. Küçük açı yakaşımında sinθ tanθ aınabidiğini biiyoruz. Şekideki dik üçgenerden sinθ 1 tanθ 1 = y a L, sinθ tanθ = y b y a L, sinθ 3 tanθ 3 = y b L yazıabiir. Bunarı (5.50a) ve (5.50b) denkeminde kuanarak A ve B küteerinin hareket denkemeri için (5.51) d y a dt + T ml y a T ml y b = 0 (5.5a) d y b dt + T ml y b T ml y a = 0 (5.5b) 0

yazabiiriz. (5.5a) ve (5.5b) denkemeri çözümü için kompeks formda çözüm önereim (Aynı denkemere trigonometrik fonksiyonar cinsinden de çözüm önerebieceğimizi biiyorsunuz). y a = Ae iωt (5.53a) y b = Be iωt (5.53b) Çözüm ifadeerinin türeveri aınırsa: dy a dt = Aωieiωt ; d y a dt = Aω e iωt (5.54a) dy b dt = Bωieiωt ; ede ediir. Bunarı (5.5a) ve (5.5b) de yererine yazarak d y b dt = Bω e iωt (5.54b) [ Aω + T ml A T ml B] eiωt = 0 [ Bω + T ml B T ml A] eiωt = 0 (5.55a) (5.55b) veya Aω + T ml A T ml B = 0 Bω + T ml B T ml A = 0 (5.55c) (5.55d) ede ederiz. Bu denkem takımı yeniden düzenenerek yazıabiir. ( T ml ω ) A T B =0 (5.56a) ml T ml A + ( T ml ω ) B = 0 (5.56b) (5.56a) ve (5.56b) denkem sisteminin çözümünden A ve B tayin ediebiir. Çözümün omasının gerek ve yeter koşuu katsayı determinantının sıfır omasıdır: Buradan ( T ml ω ) T ml T ml ( T ml ω ) = 0 (5.57) ( T ml ω ) ( T ml ) = 0 ( T ml ω ) = ( T ml ) (5.58) 1

ede ediir. Burada için iki farkı değer ede ediir. Bu değerer sistemin norma titreşim modarına denk gemektedir. (i) NORMAL MOD I T ω ml 1 = T ω ml 1 = T T = T ml ml ml ω 1 = T ml (5.59) our. ω = ω 1 = T değeri (5.56a) veya (5.56b) de yerine yazıarak A = B ede ediir. Bu ml durumda çözüm fonksiyonarı y a = Ae iω 1t y b = Ae iω 1t (5.60a) (5.60b) oacaktır. Bu durum sistemin birinci moduna karşı geir. Her iki küte Şeki-5.14a daki gibi aynı faz, aynı genik ve aynı ω 1 = T açısa frekansı ie titreşir. Bunun anamı ml ortadaki çiftenim yayının sisteme bir etkisi yoktur. Şeki-5.14a (ii) NORMAL MOD II İkinci modun frekansı için T ω ml = T ω ml = 3T ω ml = 3T ml (5.61) Yazabiiriz. Bu değer (5.56a) veya (5.56b) de yerine yazıarak A = B ede ederiz. Bu durumda çözüm fonksiyonarı y a = Ae iω t y b = Ae iω t (5.6a) (5.6b) Bu durum sistemin ikinci titreşim moduna karşı geir. İki küte Şeki-5.14b deki gibi zıt yönde titreşirer, ancak titreşim genikeri ve frekansarı aynıdır. Ortadaki yay

çiftenimi sağamaktadır ve küteere ek bir geri çağırıcı kuvvet uyguadığı için sistemin titreşim frekansı birinci modun frekansının 3 1,7 katı omuştur. Şeki-5.14b Bu durum, ieride gerimiş bir ipteki duran dagayı inceerken işimize yarayacaktır. Bu örnek aynı zamanda daha çok sayıda kütenin yayar ie birbirerine bağandığı durumu anamamızda da faydaı oacaktır. 5.5 N- KÜTLELİ ÇİFTLENİMLİ SALINICILAR Kütesi ihma ediebien bir ip boyunca her birinin kütesi m oan N tane kütenin (boncuk oarak düşünebiirsiniz) araarındaki uzakık oacak şekide dizidiğini düşüneim (Şeki-5.15). İpin iki ucu bağı osun ve bu bağı oan uçarda da m küteeri buunsun. Bu durumda küteeri 0 dan N+1 e kadar ardışık sayıara numaraayabiiriz. Şeki-5.15. İki ucundan sabitenmiş ip üzerinde eşit araıkara dizimiş küteer. Enine titreşimeri göz önünde canandırmak daha koay oduğu için, önce çok sayıda küteden ouşan bir sistemin enine titreşimerini ee aacağız (Şeki-5.16). Daha sonra yayara birbirine bağanmış küteerin boyuna titreşimerini de ee aacağız. Şeki-5.16. Gerimiş ip üzerine eşit araıkara dizimiş N tane kütenin enine titreşimeri. 3

İpteki başangıç geriiminin T oduğunu ve küteerin sadece küçük enine yer değiştirmeer yaptığını kabu edersek, küteer titreşirken ipteki gerimenin artışını önemsemeyebiiriz (Tek kütei örnekte bu durum tartışımıştı). 1. kütenin y 1,. kütenin y,. p 'nci kütenin ise y p kadar yer değiştirdiğini kabu edeim. Bundan önceki örnekte gördüğümüz gibi p nci küteye etkiyen kuvveti (F p ), F p = Tsinα p 1 + Tsinα p (5.63) şekinde yazabiiriz. Burada küçük yer değiştirmeer oduğunu kabu ettiğimiz için sinα p 1 tanα p 1 = y p y p 1 (5.64a) sinα p tanα p = y p+1 y p yazabiiriz. Bu durumda F p kuvveti için = y p y p+1 (5.64b) F p = Tsinα p 1 + Tsinα p = T y p y p 1 T y p y p+1 (5.65) yazabiiriz.. Newton yasasını kuanarak p kütesinin hareket denkemi için veya m d y p dt = T y p y p 1 T y p y p+1 = T y p + T y p 1 + T y p+1 (5.66) m d y p dt + T y p T (y p 1 + y p+1 ) = 0 (5.67a) yazabiiriz. Bu denkemin her iki tarafını m ye böerek yeniden yazabiiriz. d y p dt oarak aınarak (43b) denkemi formunda yazıabiir. + T m y p T m (y p 1 + y p+1 ) = 0 T (5.67b) m = ω 0 (5.68) d y p dt + ω 0 y p ω 0 (y p 1 + y p+1 ) = 0 (5.69) Benzer şekide N tane kütenin her biri için hareket denkemi yazabiiriz. Böyece 1'den N'ye kadar, p'nin her bir değeri için bir tane omak üzere N tane diferansiye denkem seti ede ediir. Ancak so ve sağ uçar bağı oduğu için y 0 = 0 ve y N+1 = 0 oacağını unutmayaım. 4

Şimdi bazı öze durumarı ee aaım: (i) N = 1 için çözüm: Kütesi m oan bir cisim eşit uzunuku gerimiş iki ip ie Şeki-5.17 daki gibi bağıdır. Bu cismin hareket denkemini (5.69) denkemini kuanarak yazabiiriz: Şeki-5.17. (a) Gerimiş ipin ortasına bağı tek küte. (b) Tek kütenin enine titreşimi. Bir tek küte oduğu için p = 1 aınır. Bu durumda hareket denkemi için d y 1 dt + ω 0 y 1 ω 0 (y 0 + y ) = 0 (5.70) yazıabiir. Uçarın bağı oması nedeniye y 0 = 0 ve y = 0 oacaktır. Bu durumda hareket denkemi şekini aır. Bu denkemin çözümü için yazıabiir. Sistemin titreşim frekansı ω 1 = T m oacaktır. d y 1 dt + ω 0 y 1 = 0 (5.71) y = Acos( ω 0 t) (5.7) (ii) N = için çözüm: Sistemde iki tane küte Şeki-5.18 daki gibi bağıdır. Bu küteerin hareket denkemeri (5.69) eşitiğinde p= 1 ve p = yazıarak ede ediir. Şeki-5.18. Gerimiş bir ip üzerinde eşit araıkaraa bağanmış iki küte. 5

p=1 için hareket denkemi: p= için hareket denkemi: d y 1 dt + ω 0 y 1 ω 0 y = 0 (5.73a) d y dt + ω 0 y ω 0 y 1 = 0 (5.73b) oacaktır. Uçardaki küteer bağı oduğu için y 0 = 0 ve y 3 = 0 aındığına dikkat ediniz. Bu denkemer küte yay sistemerinde ede edien denkemere benzemektedirer. Bu durumdaki sistemin ω 1 = T m = ω 0 ve ω = 3T m = 3ω 0 frekansarında iki norma mod titreşimi vardır (Şeki-5.19). Birinci modda geniker eşit ve aynı fazı (Şeki-5.19a); ikinci modda geniker eşit ancak zıt fazı (Şeki-5.19b) oduğu açıktır. Şeki-5.19. Gerimiş ip üzerindeki iki kütenin enine titreşim modarı. (a) Birinci mod. (b) İkinci mod. Bu son iki öze durumu daha önce de inceemiştik. Burada sadece gene hareket denkeminden aynı sonuçara uaşıacağı gösterimiştir. 5.6 N-KÜTLELİ ÇİFTLENİMLİ SALINICININ NORMAL MODLARININ BULUNMASI N tane kütenin her biri için hareket denkemi (5.69) eşitiği kuanıarak yazıabiir. d y p dt + ω 0 y p ω 0 (y p 1 + y p+1 ) = 0 Bu gene ifadede p=1,,3,,n-1,n yazıarak tüm sistem için topam N tane diferansiye denkem seti ede ediir. Bu denkemerin çözümü için, her bir kütenin titreşim geniği farkı omak üzere, tüm küteerin aynı frekans ie titreştiğini kabu ederek, sinüzoida çözümer önereceğiz. Böyece p inci küte için 6

çözümünü aabiiriz. Başangıç koşuu oarak, t = 0 anında dy p dt y p = A p cos(ωt + φ), p = 1,,..., N (5.74) = v p = 0 ve φ = 0 seçebiiriz. Bu durumda çözüm için y p = A p cos ωt, p = 1,,..., N (5.75) yazıır. Önerien bu çözümü (5.69) denkeminde kuanarak d y p dt + ω 0 y p ω 0 (y p 1 + y p+1 ) = 0 [( ω + ω 0 )A p ω 0 (A p 1 + A p+1 )] cos ωt = 0 (5.76) yazabiiriz. Tüm t anarında bunun sağanması için parantez içindeki ifadenin sıfır oması gerekir: Buradan [( ω + ω 0 )A p ω 0 (A p 1 + A p+1 )] = 0 (5.77) A p 1 + A p+1 = ω + ω 0 A p ω 0, p = 1,,..., N (5.78) ede ederiz. Burada ω'nın herhangi bir teme durumu için (5.78) ifadesinin sağ tarafı sabittir. Böyece so taraftaki (A p 1 + A p+1 ) A p oranı da p'den bağımsız bir sabit omaıdır. A p ya hangi değereri vereim ki A 0 = 0 ve A N+1 = 0 koşuu aynı anda gerçekeşsin (Uçarın bağı oması nedeniye)? Bu koşuarı sağayacak A p = Csinkp (5.79) şekinde bir çözüm önerebiiriz. İeriki konuarda gerimiş ipteki kararı titreşimerin geniğinin A(x) = Csinkx ifadesi ie verieceğini göreceğiz ( k = π λ ). Bundan esinenerek (5.79) ie tanımı fonksiyon öneridi. Bu çözüm kuanıarak A p 1 + A p+1 = C[sin(p 1) k + sin(p + 1) k] (5.80a) yazıabiir. Burada iki sinüs fonksiyonunun topamı igii trigonometrik özdeşikten yararanarak yazabiiriz. Bu durumda A p 1+A p+1 A p A p 1 + A p+1 = Csinkpcosk oranı için (5.80b) A p 1 +A p+1 A p = Csinkpcosk Csinkp = cosk (5.81) 7

sonucunu ede ederiz. Bu sonucu (5.78) eşitiğinde yerine yazacak oursak veya buradan cosk = ω + ω 0 ω = ω 0 (1 cos k) = 4ω 0 sin ( k ifadesini yazmak zor omayacaktır. Buradan için ω 0 (5.8) ) (5.83a) ω = ω 0 sin ( k ) (5.83b) ifadesini de yazabiiriz. Burada nın değeri hep pozitif oacağı için sin ( k ) nin mutak değeri aınmıştır. (5.83a) ve (5.83b) ie verien eşitiker dispersiyon bağıntısı oarak adandırıır. Ancak henüz k nın ne oduğunu beiremedik. Sınır koşuarı kuanıarak k nın değeri beirenir. Sınır koşuarı nedeniye p = N + 1 de A p = A N+1 = 0 omaıdır: Bunun omasının gerek ve yeter koşuu omasıdır. Sonuç oarak k nın değereri ie veriir. A N+1 = Csink(N + 1) = 0 (5.84) k(n + 1) = nπ (5.85) k = nπ (N+1) (5.86) Burada n nin farkı değereri titreşimin farkı modarına karşı geir. Buna karşı geen frekansar ise (5.83b) bağıntısı kuanıarak beirenir: ω = ω 0 sin (k/) = ω 0 sin ω = ω 0 sin ( nπ (N+1) nπ (N+1) = ω 0 sin nπ (N+1) ) (5.87) sonucunu yazabiiriz. Burada ω 0 = T oduğunu tekrar hatıratmakta fayda vardır. m 8

5.6.1 N - kütei çiftenimi saınıcının norma modarının özeikeri Denkem (5.87)'ye göre n tam sayısının farkı değereri farkı modara karşıık geir. n inci moda ait frekansı ω n ie gösterirsek (5.87) denkeminden yazabiiriz. ω n = ω 0 sin ( nπ (N+1) ) (5.88) İp üzerindeki bir kütenin hareketinin, hem mod sayısına (n) hem de küte numarasına (p) bağı oduğuna dikkat ediniz. Böyece, n inci modda titreşen p inci parçacığın titreşim geniğini A pn = C n sin ( pnπ N+1 ) (5.89) şekinde yazabiiriz. Buradaki C n, uyarıan n inci modunun geniğini gösterir. Küteerin tamamı n inci modda titreşeceği için p inci kütenin yer değiştirmesi, y pn (t) = A pn cos ω n t (5.90) ifadesi ie veriir. Buradaki ω n ve A pn (5.88) ve (5.89) denkemeri ie tanımıdır. t = 0 anında her bir küte durgundur. İki küteden ouşan çiftenimi saınıcı probeminde oduğu gibi bu ifadeyi y pn (t) = A pn cos (ω n t δ n ) (5.91) şekinde yazabiiriz. Burada her farkı modun, farkı bir δ n fazına sahip oacağı açıktır. 5.6. Kaç tane norma mod vardır? Daha önce iki küteden ouşan bir çiftenimi saınıcı için iki norma modun oduğunu görmüştük. N tane küte için de N tane bağımsız mod vardır. (5.88) ve (5.89) denkemeri n'nin tam sayı değereri için tanımıdır. Ancak n'nin değeri N'den büyük oduğunda bu eşitiker herhangi bir yeni fizikse durum tanımamaz. Şeki-5.0 de ω n nin nπ [(N + 1) ] niceiğine karşı grafiği verimiştir. 9

Şeki-5.0. ω n nin nπ [(N + 1) ] niceiğine karşı grafiği. n = 1 den n = N ye gittikçe N tane farkı karakteristik frekans buuruz. Apsis üzerinde π ye karşı geen n = N + 1'de ω n (= ω 0 ) şekinde bir maksimum frekansa uaşır. ω max = ω 0 frekansına kesiim frekansı (cut off frequency) denir. Fakat bu frekansta mümkün oan bir hareket yoktur. Çünkü Eşitik-5.89 da n = N + 1 de A pn = 0 dır. Başka bir deyişe nπ (N+1) = π oduğunda n = N + 1 değerini aır ve n = N + 1 değerinde tüm A p(n+1) = 0 dır. Buradan n = N + 1 durumunun herhangi bir fizikse duruma karşı gemediğini söyeriz. Şekide kesiki-beyaz çizgi ie gösterien kısımar çözüm oamaz. Başka bir deyişe n = N den daha sonrasındaki frekansar kendini tekrar ederer ve yeni bir mod ede edimez. Sonuç oarak N parçacıkı çiftenimi osiatörerin ancak N tane norma modunun oabieceğini söyeyebiiriz. 5.6.3 Değişik modarın şekieri Birinci mod: n=1 Şimdi N parçacıkı bir sistemin modarına ait titreşim şekierini inceeyeim. İk mod n = 1 ie veriir. Bu durumda küteerin yer değiştirmeer, y p1 = C 1 sin ( pπ N+1 ) cosω 1t, p = 1,, N (5.9) ifadesi ie veriir. Verien herhangi bir t anında C 1 cosω 1 t çarpanı tüm küteer için aynıdır. Bu nedene sadece sin ( pπ ) çarpanı farkı küteerin yer değiştirmeerini ayırt eder (Şeki-5.1). N+1 30

Şeki-5.1 a) En düşük norma modda (n=1) p'nin fonksiyonu oarak sin ( pπ N+1 ) 'nin çizimi. Küteer düzgün bir ip üzerinde ve p'nin tam sayı değererine karşıık geen konumara yereşmişerdir. b) En düşük norma modda değişik zamanarda küteerin konumarı. İkinci mod: n = Bu durumda küteerin yer değiştirmeer, y p = C sin ( pπ N+1 ) cosω t, p = 1,, N (5.93) ifadesi ie veriir. İkinci modda titreşim yapan N kütei bir sistemde küteerin yer değiştirmesini değişik zamanardaki grafiği Şeki-5.'de verimiştir. Eğer sistemdeki küte sayısı N tek sayı ise, ipin orta noktasında bir küte yer aır ve ortadaki küte şekideki gibi hareketsiz kaacaktır. İkinci modda titreşim yapan sistemde en az parçacık omaıdır (N ). Şeki-5.. İkinci mod için (n = ) değişik anarda küteerin konumarı. 31

5.7 BOYUNA SALINIMLAR Daha önceki böümerde bir ve iki parçacıkı sistemerin boyuna saınımarını inceemiştik Şimdi N-parçacıkı bir sistemin boyuna saınımını inceeyerek gene ifadeer buacağız. Şeki-5.3 de bir çizgi boyunca özdeş yayara birbirine bağanmış m kütei N tane özdeş parçacık sistemini göz önüne aaım. Küteer hareketsizken yayarın uzunuğunun oduğunu kabu edeim. Bir kristadeki atomarın bir sırası böye bir modee benzemektedir. Şeki-5.3. Bir çizgi boyunca özdeş yayara birbirine bağanmış m kütei N tane özdeş parçacık sistemi. Şekide görüdüğü gibi p kütesini x p, sodaki komşu p-1 kütesini x p 1 ve sağdaki komşu p+1 kütesini de x p+1 kadar sağa doğru çekeim ve daha sonra bunarı aynı anda serbest bırakaım. Bu küteer titreşim hareketi yapacak ve daha sonra birerini etkieyecekerdir. Burada da küçük geniki titreşim hareketi yakaşımını kabu edeceğiz. Bu durumda geri çağırıcı kuvveter yayarın sıkışması ya da uzaması ie meydana geir. Her yayın kuvvet sabiti k = mω 0 oarak yazıabiir. Küteerin denge konumundan itibaren yer değiştirmeeri x 1, x, x p 1, x p, x p+1, x N ie göstereim. Bu durumda p inci kütenin hareket denkemini veya m d x p dt = k(x p x p 1 ) k(x p x p+1 ) (5.94a) m d x p dt = kx p + k(x p 1 + x p+1 ) (5.94b) yazabiiriz. Burada daha önceeri de yaptığımız gibi ω 0 = k m yeniden aarak bu denkemi d x p dt + ω 0 x p ω 0 (x p 1 + x p+1 ) = 0 (5.94c) 3

şekinde yazabiiriz. Bu denkem daha önce enine titreşimeri inceerken ede ettiğimiz (5.69) denkemi ie aynı formdadır. Bu nedene bu denkemin çözümü için yazabiiriz. Burada ω n frekansı için de x pn (t) = C n sin ( pnπ N+1 ) cos ω nt (5.95) nπ ω n = ω 0 sin [ ] (5.96) (N+1) bağıntısı yazıabiir. Sonuç oarak daha önce enine titreşimeri için yapıan tartışmaarın burada da geçeri oacağı açıktır. 33

ÖNEMLİ NOT N tane küte-yay sisteminden ouşan sistemin boyuna (veya enine) titreşim modarını inceemek için sistemi ouşturan her küteye ait hareket denkeminin doğru yazıması gerekir. Her kütenin soundaki ve sağındaki küteerin hareketinden etkiendiğini biiyoruz. Çoğu kez hareket denkemerinin yazımasında hataar yapımakta ve doaysıya probemin çözümü de hataı omaktadır. Eğer aşağıda özetenen sistematiği takip edersek hata yapma oasıığı azaır. Burada küteerin ve yayarın farkı oduğunu kabu ederek en gene durum için izenecek yo verimiştir. Şeki-5.3 deki sistemi dikkate inceeyiniz. Şekiden de görüdüğü gibi p kütesinin soundaki kütenin numarası p-1 ve sağındaki kütenin numarası ise p+1 seçimiştir. p kütesinin soundaki yayın numarası p (kuvvet sabiti k p ) ve sağındaki yayın numarası p+1 (kuvvet sabiti k p+1 ) oarak seçimiştir. Bu sistematiğe dikkat ederek herhangi bir küteye ait hareket denkemini aşağıdaki you uyguayarak yazabiirsiniz: p numaraı küteye ait yapımıştır.); Şeki-5.3 m p x p terimini yazınız (Burada x p = d x p dt kısatması p numaraı kütenin yer değiştirmesinden (x p ), p nin soundaki p-1 numaraı kütenin yer değiştirmesini ( x p 1 ) çıkarın ve ede edien (x p - x p 1 ) değerini p kütesinin soundaki yayın kuvvet sabiti oan k p ie çarpın k p (x p - x p 1 ); p numaraı kütenin yer değiştirmesinden ( x p ), p nin sağındaki p+1 numaraı kütenin yer değiştirmesini ( x p+1 ) çıkarın ve bunu p kütesinin sağındaki yayın kuvvet sabiti oan k p+1 ie çarpın: k p+1 (x p - x p+1 ); Ede edien bu değereri topayın ve topamı sıfıra eşiteyin; m p x p + k p (x p - x p 1 ) + k p+1 (x p - x p+1 ) = 0 (5.97) 34

Yukarıdaki sistematiği kuanarak N = 3 oan bir küte-yay sistemi için hareket denkemerini yazaım: m 1 x 1 + k 1 (x 1 ) + k (x 1 - x ) = 0 m x + k (x - x 1 ) + k 3 (x - x 3 ) = 0 m 3 x 3 + k 3 (x 3 - x ) + k 4 (x 3 ) = 0 Bu yöntemin aynısının enine titreşimer için de geçeri oacağını söyeyebiiriz. 5.7.1 Parçacık sayısı N nin çok büyük oması durumu Çiftenimi sistemde küte sayısı N nin odukça büyük oduğu duruma bakaım. Burada gerimiş ip üzerindeki küteerin enine saınım hareketini göz önüne aacağız. Benzer tartışma boyuna saınımar için de yapabiir. N nin çok büyük oduğu durumu aşağıdaki kabuenmeer ie ee aacağız: N nin arttığı ancak ipin (veya tein) topam L boyunun değişmeden kaması için komşu küteer arasındaki uzakığın () azadığını kabu edeceğiz yani L = (N + 1) (5.98a) Topam kütenin (M) değişmeden kaması için her bir parçacığın kütesinin (m) azadığını kabu edeceğiz yani aınabiir. M = Nm (5.98b) Parçacık sayısı N büyüdükçe sistemin giderek süreki bir ip (veya te) gibi davranacağına dikkat ediniz. Bu kavram bizi kesiki sistemerden süreki sistemere geçişe hazırayacaktır. Şimdi N çok büyük oursa, norma mod frekansarı ne our sorusunu kendimize soraım. Daha önce n inci mod frekansı için nπ ω n = ω 0 sin [ ] = T sin [ (N+1) m bağıntısını türetmiştik (5.87 nou eşitiğe bakınız). nπ ] (N+1) 35

Önceike mod sayısı n'nin küçük oduğu norma modarı göz önüne aaım. N çok büyük oduğu için, frekans ifadesindeki sinüsün argümanı küçüür ve küçük açı yakaşımı geçeri our. Bu durumda yazıabiir. Böyece ω n ifadesini nπ sin [ ] (N+1) nπ (N+1) (5.99) ω n T. nπ = T. nπ = T. nπ = T. nπ m (N+1) m (N+1) m (N+1) m L = nπ L T m = nπ L T m = nπ L T m = nπ L T μ (5.100) şekinde yazabiiriz. L = (N + 1) ipin (veya tein) topam uzunuğu, μ = m ise birim uzunuk başına kütedir. Sonuç oarak ω n için ω n nπ L T μ yazabiiriz. Teme durum için (n=1) bu ifade (5.101) ω 1 = π L T μ (5.10) şekinde our. ω n frekansını teme frekans cinsinden ω n = nω 1 (5.103) yazabiiriz. Böyece norma mod frekansarı, en düşük mod frekansının tam katarı oduğu anaşıır. Ancak bu ifadenin n N durumu için ede edidiğini de unutmamak gerekir. Küteerin yer değişimi için daha önce y pn = C n sin ( pnπ N+1 ) cos ω nt (5.104) ifadesini ede etmiştik. İp üzerindeki küteeri 1,, 3,..., p,..., N + 1 şekinde numaraamıştık. Bunun yerine küteeri, ipin so ucuna uzakığı oan x ie tanımayaım. Bu durumda p inci küteyi x = p ie tanımayabiiriz. Böyece (5.104) eşitiğinde sinüsün argümanını, pnπ nin pay ve paydasını ie çarparak N+1 pnπ = nπp N+1 (N+1) yazabiiriz. (N+1)=L ve p=x değereri de kuanıarak (5.105a) 36

pnπ N + 1 = nπx L şekinde yazabiiriz. Bu durumda y pn yerine, ip enine titreştiği zaman sabit uçtan (so uç) itibaren x uzakığında yer aan kütenin t anındaki yer değiştirmesini y n (x, t)ie gösterebiiriz yani yazabiiriz. y n (x, t) = C n sin ( nπx L ) cos ω nt, n = 1,,3, (5.106) N büyüdükçe küteerin yerini beirten x değereri birbirine yakaşır ve x in değeri x = 0 dan x = L'ye değişir. Böyece ip üzerindeki küteer yerine süreki sisteme geçiş adımını atmış ouruz. Şimdi en yüksek mod oan n = N durumunu göz önüne aaım. Eğer N çok büyük ise daha önce ee ettiğimiz ω n ifadesi Nπ ω max = ω o sin ( ) ω (N+1) osin ( π ) = ω o = T m (5.107) şekinde maksimum değerini aır. Bu modda (n = N) her bir küte her an en yakın komşusunun yer değiştirmesine ters işarette ancak yakaşık eşit bir yer değiştirmeye sahiptir. Bu yer değiştirmeer Şeki-5.4 de gösterimiştir. Şeki-5.4 Gerimiş bir ipteki küteer dizisinin en yüksek modda enine titreşimeri. Komşu yer değiştirmeer arasındaki bu iişki, denkemi yardımıya koayca görüebiir. n = N oduğunda, yazabiiriz ( pnπ pπ = pπ N+1 N+1 trigonometrik özdeşiği kuanıarak A pn = C n sin ( pnπ N+1 ) (5.108) A pn = C N sin ( pnπ N+1 ) = C N sin (pπ pπ N+1 ) (5.109) ). Bu ifade sin(a B) = sinacosb cosasinb A pn = C N sin (pπ pπ ) = C N+1 N [sinpπcos pπ pπ cospπsin ] N+1 N+1 37

veya sinpπ = 0 oduğundan A pn için A pn = C N (cospπ) (sin pπ N+1 ) (5.110) yazıabiir. p 'nin değeri ne oursa osun, p 'den p + 1'e gididiğinde geniğin işareti tersine döner. Örneğin, p tek ise p + 1 çift oacaktır. Bu durumda, cospπ = 1 ve cos(p + 1)π = 1 our. Sonuç oarak ardışık küte numaraarında A pn ie A (p+1)n ardışık geniker oup zıt işaretidir. Şimdi ardışık genikerin büyükükerinin A pn ve A (p+1)n yakaşık eşit oduğunu göreim: N çok büyük ounca yani N ourken im N A pn A pn = C N sin pπ N + 1 (p + 1)π A (p+1)n = C N sin N + 1 A (p+1)n = im sin pπ N+1 pπ (N+1) p N sin (p+1)π N+1 (p+1)π (N+1) p+1 (5.111) yazabiiriz. Örneğin p = 10 ise p = 10 100 = 0.91, p = 100 ise = 0.99, our. Sonuç p+1 11 101 oarak N çok büyük ise A pn A (p+1)n yakaşık eşittir diyebiiriz. İki ucu bağı bir ip için A pn = C N sin pπ N + 1 oranı 1 e yakaşır. Başka bir deyişe ardışık geniker geniği p = 0 ve p = N + 1 için sıfırdır. Bu nedene en yüksek modda (n = N) küteer dizisinin enine saınımarının genikerinin dağıımının iki uç arasında bir yarım sinüs eğrisi üzerine düşeceğini ifade eder (Şeki-5.5). Şeki-5.5 Her iki ucu bağı bir ipin üzerinde düzgün bir şekide dizimiş küteerin en yüksek moda (n = N) saınım genikeri. 38

Böyece merkez çizginin at ve üstündeki yer değiştirmeer her zaman yakaşık eşit ve zıt işareti oduğunu söyeyebiiriz. Şeki-5.5'daki p kütesini göz önüne aaım. Bu kütenin herhangi bir andaki yer değiştirmesi y ise bunun her iki komşusunun da yer değiştirmesi yakaşık y 'dir. Böyece iki ucundan bağı ipdeki geriim T ise her iki komşudan kaynakanan kuvveterin enine bieşeneri yakaşık (y )T 'dir. p kütesinin hareket denkemi (yakaşık oarak) veya m d y dt (T y ) d y dt + 4ω 0 y 0 (5.113a) (5.113b) ede ediir. Bu ise açısa frekansı yakaşık ω 0 oan bir basit harmonik hareket denkemidir. Bu sonucun n=n modu için ede ettiğimiz ω max ω o = T m değeriye uyumu oduğuna dikkat ediniz. 5.8 BİR KRİSTAL ÖRGÜNÜN NORMAL MODLARI Önceki kesimde yapıan anaizer katıarın titreşim modarını anamak için odukça başarıı sonuçar verir. Küçük yer değiştirmeer söz konusu oduğu zaman komşu atomar arasındaki etkieşmeer bir yay ie benzerik gösterir. Bu benzerik nedeniye ve ω n = ω 0 sin [ nπ ] (N+1) ω n n π 1 L (T) μ (5.114a) (5.114b) denkemerini bir katıya uyguamak istersek, örgünün teme ekseneri boyunca bir atomar dizisini göz önüne amamız gerekir. Bu durumda μ, birim uzunuk başına bütün atomarın topam kütesi ya da araıkara dizimiş atomardan birinin kütesinin 'ye böümüdür. Boyut oarak, ipteki geriimin boyca küte yoğunuğuna oranı T μ ie Young modüünün yoğunuğa oranı Y ρ aynıdır. Bu iki ifadeyi birbiri yerine kuanabiiriz. Böyece kristain titreşim frekansarı, (5.114a) eşitiğinden yararanarak, 39

nπ f n = f 0 sin [ ] (5.115) (N+1) şekinde yazabiiriz. Burada f 0 = 1 1 (Y) dir. Çizege-1 de bazı katıarın Young ρ modüü ve yoğunukarı verimiştir. ÇİZELGE-1. Bazı katıarın Young modüü ve yoğunukarı. Mazeme Young Modüü Y(N/m ) Yoğunuk ρ(kg/m 3 ) Aüminyum 6x10 10,7x10 3 Prinç 9x10 10 8,48x10 3 Çeik 10x10 10 7,8x10 3 Bakır 1x10 10 8,79x10 3 Cam 6x10 10,90x10 3 Young modüerinin değeri yakaşık 10 11 N m, ρ yoğunukarı ise 10 4 kg m 3 mertebesinde odukarından Y/ρ oranı 10 7 m s mertebesindedir. Katıar için atomar arası uzakık ise 10 10 m mertebeerinde oduğundan, f 0 = 1 1 (Y) 10 13 s 1 (5.116) ρ değeri ede ediir. Bu değer bir örgünün dayanabieceği en yüksek titreşim frekansıdır. Diğer modar ise f n = n 1 L (Y) ρ (5.117) ifadesi ie veriir. Buradaki L, katının kaınığıdır. Böyece 1cm'ik bir kristain titreşimerinin en düşük frekansı (n=1) 10 5 Hz mertebesindedir. 40

ÖRNEK-1 İki özdeş sarkaç bir yay ie bağanarak çiftenimi hae getirimiştir. Her bir sarkacın boyu 0,4 m oup, yer çekim ivmesinin 9,8 m/s oduğu bir yerde buunmaktadırar. Sarkaçardan biri sabit tutuurken diğerinin periyodu 1,5 s öçümüştür. Sarkaçarın her ikisi de hareketi iken norma modarın periyotarını buunuz. Çözüm Sodaki b-sarkacı sabit tutup, sağdaki a-sarkacı x a kadar sağa doğru çekip serbest bıraktığımızı düşüneim (Aşağıdaki şekideki gibi). Bu durumda sarkacın periyodu 1,5 s öçüüyor. Bu oay sırasında b-sarkacının hareket etmeyeceğine dikkat ediniz. Bu durumda probem aşağıdaki şekideki gibi düşünüebiir. Bu durumda a-sarkacının hareket denkemi için m d x a dt + m g x a yer çekim kuvveti etkisinden + kx a = 0 yay kuvveti etkisinden yazabiiriz (Ders notarına bakınız). Her iki tarafı m ye böerek d x a dt + (g + k m ) x a = 0 41

yazabiiriz. Burada ω = g + k m T = π ω = π g + k m yazıabiir. Buradan k m = 4π T g yazıır. T=1,5 s, g=9,8 m/s ve =0,4 m değereri kuanıarak ede ediir. k m 0,74 s değeri Şimdi probemde istenen periyot değererini buabiiriz. Verien sistemin iki farkı modunun oduğunu ve mod frekansarının ω 1 = g ve ω = g + k m bağıntıarı ie veridiğini biiyoruz (Ders notarına bakınız). Buradan 1.modun periyodu için. modun periyodu için ise ede ediir. T 1 = π g = π 0,4 1,7 s 9,8 T = π = g + k m π 9,8 0,4 + x0,74 1,3 s ÖRNEK- Küteeri m oan A ve B cisimeri, kuvvet sabiteri k A ve k B oan yayar ie duvara, yay sabiti k C oan bir yay ie de birbirerine bağanmışardır. Sistem şekideki gibi sürtünmesiz yatay bir masa üzerindedir. A kütesi x A ve B kütesi x B kadar sağa doğru çekiip serbest bırakııyor. a) Sistemin ω 1 ve ω norma mod frekansarını buunuz. b) Eğer k C = k A k B ise titreşimin norma modarını buunuz. (French-p5.4) 4

Çözüm: a) A ve B küteerinin hareket denkemerini m p x p + k p (x p - x p 1 ) + k p+1 (x p - x p+1 ) = 0 bağıntısını kuanarak yazabiiriz (Ders notarına bakınız). mx A + k A x A + k C (x A - x B ) = 0 mx B + k B x B + k C (x B - x A ) = 0 (1A) (1B) (1A) ve (1B) denkemeri yeniden düzenenerek x A + k A+ k C x m A- k C x m B = 0 (A) x B + k B+ k C x m B- k C x m A = 0 (B) formunda yazıabiir. Her iki küte için harmonik çözümer aabiiriz: x A = Acosωt x B = Bcosωt (3A) (3B) Bu fonksiyonarın ikinci türeveri aınarak (3A) ve (3B) denkemerinde yerine yazıarak ( Aω + k A+ k C A k C B)cosωt = 0 m m ( Bω + k B+ k C B k C A)cosωt = 0 m m (4A) (4B) veya buradan ( mω + k A + k C )A k C B = 0 k C A + ( mω + k B + k C )B = 0 (5A) (5B) A ve B ye göre homojen, çizgise denkem sisteminin çözümü oabimesi için katsayı determinantının sıfır oması gerekir: Buradan mω + k A + k C k C k C mω + k B + k C = 0 ( mω + k A + k C )( mω + k B + k C ) k C = 0 yazıır. Bu ifade açıır ve gereki işemer yapıırsa 43

m ω 4 [k A + k B + k C ]mω + [k A k B + k A k C + k B k C ] = 0 yazmak mümkündür. Burada mω = u diyerek u [k A + k B + k C ]u + [k A k B + k A k C + k B k C ] = 0 yazarız. Bu ifade u ya göre ikinci dereceden bir denkemdir. Buradan u 1 ve u kökeri için u 1, = [k A+k B +k C ] [k A +k B +k C ] 4[k A k B +k A k C +k B k C ] (6) yazıır. Karekök içindeki ifade açıır ve gereki işemer yapıırsa ve u 1, = mω 1, oduğu kuanıırsa titreşimin mod frekansarı için ω 1, = 1 m [k A+k B ede ediir. + k C ] 1 m [(k A k B ) + k C ] 1/ (7) b) (7) ifadesinde karekök içindeki açıır ve k A k B = k C aınırsa [( k 1/ A k B ) + k C ] = [ 1 1/ 4 (k A + k B k A k B ) + k A k B ] = [ 1 4 (k A + k B ) 1 1/ k Ak B + k A k B ] = [ 1 4 (k A + k B ) + 1 1/ k Ak B ] = [ 1 1/ 4 (k A + k B ) + k A k B )] = [ 1 1/ 4 (k A + k B ) ] = 1 (k A + k B ) ede ediir. Bu değer (7) ifadesinde kuanıarak Buradan ω 1, = 1 m [k A + k B + k C ] 1 m (k A + k B ) = 1 m (k A + k B ) + 1 m k C 1 m (k A + k B ) ω 1 = k C m ve ω 1 = k C m (8A) ω = k A+k B +k C m ω = k A+k B +k C m (8B) sonuçarı ede ediir. 44

ÖRNEK-3 Doğa titreşim frekansarı ω 0 ve küteeri m oan iki özdeş A ve B sönümsüz osiatörerini düşüneim. A osiatörü üzerine αm d x B ve B ösiatörü üzerine αm d x A dt dt küvveteri etkiyerek çiftenimi hae getiriiyor. Bu ifadeerdeki α, 1 den küçük değere sahip oup çiftenim sabitidir. Bu çiftenimi sistemin norma modarını ve bu modarın frekansarını buunuz. (French-p5.5) Çözüm: A ve B osiatöreri bağımsız odukarında hareket denkemeri için m d x A dt + mω 0 x A = 0 (1A) m d x B dt + mω 0 x B = 0 (1B) yazabiiriz. Şimdi (1A) denkemine αm d x B ve (1B) denkemine ise αm d x A dt dt kuvveterini ekiyeim: m d x A dt m d x B dt + αm d x B dt + mω 0 x A = 0 (A) + αm d x A dt + mω 0 x B = 0 (B) Bu durumda A nın denkemi B ye ait bigiyi ve B nin denkemi ise A ya ait bigiyi içermektedir. Bu nedene bu iki osiatör çiftenimi duruma gemiştir. Her iki küte için harmonik çözümer aabiiriz: x A = Acosωt x B = Bcosωt (3A) (3B) Bu fonksiyonarın ikinci türeveri aınarak (3A) ve (3B) denkemerinde yerine yazıırsa ( mω A αmω B + mω 0 A)cosωt = 0 ( mω B αmω A + mω 0 B)cosωt = 0 veya (4A) (4B) ( mω A αmω B + mω 0 A) = 0 ( mω B αmω A + mω 0 B) = 0 veya (5A) (5B) 45