ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedslk Mmrlık Fkültes İşt Mühedslğ Bölümü E-Post: ogu hmettopcu@gmlcom Web: http://mmfoguedutr/topcu Blgsyr Destekl Nümerk Alz Ders otlrı Ahmet TOPÇU m Üst üçge mtrs b b b b ) ) ) b b b b ) ) Crl Fredrch GAUSS 777 855) DENKLEM SİSTEMİ ÇÖZÜMÜ, DİREKT Bst 5 METOTLAR GAUSS drgeme metodu
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 5 5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU blmeyel dekleml A b sstemde A ve b verlmş olsu hesplmsı stemektedr det A se çözüm vrdır ve tektr b b b b b b b b 5) Bst GAUSS drgeme metodu bu deklem sstem - dımd ktsyılr mtrs br üst üçge ol eşdeğer deklem ssteme drger: 5) k) Burd ve j ) ) ) b b b ) b ) b b ) b b ) ) k) b syılrı k dımd A ı değşe syılrıı göstermektedr Bu deklem sstemde şğıd yukrı doğru hesp ypılrk vektörüü tüm elemlrı belrler İdrgeme metoduu lkes şudur: dımd A ı kolouu dygol ltıdk syılr sıfırlır dımd A ı kolouu dygol ltıdk, dımd A ı kolouu dygol ltıdk,, - dımd A ı - kolouu dygol ltıdk syılr sıfırlır kolou dygol ltıdk syılrı sıfırlmk ç A ı stırı özele seçlmş bzı syılr le çrpılır ve,,, deklemde çıkrılır kolou dygol ltıdk syılrı sıfırlmk ç A ı stırı özele seçlmş bzı syılr le çrpılır ve,,, deklemde çıkrılır, vs Bu şlem sıl ypılcğı şğıd dım dım çıklcktır ) ) Adım: Özele seçlmş syılr stır l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud sıfır olur stır l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud sıfır olur stır l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud sıfır olur Özele seçle syılrd böle olrk görüe syısı pvot elem der dım soud blmeye so - deklemde drgemş olur 5 deklem sstem şekl lır Burd ve Geelleştrlrse, bu syılr ) j le hesplmktdır j b b b b b b 5) b b b syılrı dımd A ı değşe ye syılrıı göstermektedr Sıfırl syılr l /, j l j ve b b lb,,,,, j,,, İdrgee blmeye Crl Fredrch GAUSS 777 855), Alm: 78 cvrı Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 5
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 5 Adım: dım soud oluş 5 sstem deklem hrç gerye kl - deklemde blmeye bezer şeklde yok edlr stır stır stır l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud Özele seçlmş syılr l / le çrpılır stırd çıkrılır Buu soucud sıfır olur sıfır olur sıfır olur Özele seçle syılrd böle olrk görüe syısı pvot elem der dım soud blmeye so - deklemde drgemş olur 5 deklem sstem ) ) ) ) şekl lır Burd ve Geelleştrlrse, bu syılr le hesplmktdır j ) ) b b b ) b ) b syılrı dımd A ı değşe ye syılrıdır ) ) ) ) l /, j j l j ve b b l b,,,,, j,,, ) Sıfırl syılr ) b b ) ) b ) ) b İdrgee blmeyeler 5) Dğer dımlr: dım soud oluş 5 sstem ve deklem hrç, gerye kl - deklemdek,,, - blmeyeler bezer şeklde yok edlr - dım soud ktsyılr mtrs br üst üçge ol 5 eşdeğer deklem ssteme döüşür Bu deklem sstemde şğıd yukrı doğru hesp le,,, blmeyeler sıryl buluur: İdrgee blmeyeler ) ) ) b b b ) b ) ) Sıfırl syılr ) b b ) b b ) ) H e s p y ö ü b b b ) b ) / ) ) ) / ) ) / ) / ) ),,,, dygol elemlrı pvot elem der Gözlem: A ktsyılr mtrs - dım soud br üst üçge mtrse döüştürülmektedr Oluş ye deklem sstem verle deklem sstem le eşdeğerdr Tüm şlemler A, b ve mtrs üzerde ypılmktdır A ve b ı lk değerler kybolmktdır Pvot elemlr olmlıdır, ks hlde çözüme devm edlemez Ksyılr mtrs A ı determtı drgemş sstem determtı eşttr: ) ) det A Pvot elemlrd br sıfır se det A olur Bu se A ı stır vey kololrıı doğrusl bğımlı olduğu lmı gelr det A se A tekldr, çözüm yoktur vey tek değldr Rk A < dr det A se çözüm vrdır ve tektr A düzeldr regülerdr) Rk A dr Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 5
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 5 5 Örek: 8 8 Tüm şlemler A mtrs üzerde ypılcktır Dygol ltıdk syılrı sıfır olcğı bldğde bu hücrelere l j değerler sklcktır Adım: Adım: Adım: İdrgemş deklem sstem ve şğıd yukrıy doğru hesp: Gözlem: Tüm şlemler A, b ve mtrs üzerde ypılmıştır A ve b ı verlmş lk değerler kybolmuştur A ktsyılr mtrs -- dım soud br üst üçge mtrse döüşmüştür Oluş ye deklem sstem verle deklem sstem le eşdeğerdr Pvot elemlr dır Ktsyılr mtrs A ı determtı drgemş sstem determtı eşttr ) ) det A dır det A olduğud A düzelregüler) br mtrstr, stır ve kololrı doğrusl bğımlı değldr, rk A tür Tek çözüm vrdır ve bulumuştur? b, A 8 8 8 7 8 5 l /5 l - / - l / 5 5 5 l /-)-5 l -/-) l syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l -5 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l 5 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l - syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı 5 5 5 l / l syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı 5 ) / ) / 5) ) ) / ) ) / ) ) H e s p y ö ü dygol ltıdk elemlr pvot elem bölüdü Pvot elem Pvot elem dygol ltıdk elemlr pvot elem bölüdü dygol ltıdk elemlr pvot elem bölüdü Pvot elem
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 55 Pvot elem seçm ve stır değştrme l j syılrıı hesbıd böle olrk krşımız çık ) ),,,, syılrı pvot elem, bu elemlrı buluduğu stır ve kolo pvot stırı ve pvot kolou der Pvot kelmes klt, rol oyy, yöledre olrk tercüme edleblr Pvot elem hesbı kder belrler Çükü, drgeme sürdürüleblmes ç pvot elemlrı sıfırd frklı olmsı gerekr, ks durumd hesb devm edlemez Öreğ,, deklem sstemler üçüü de çözümü yı;,, - dır Çükü frklı gb görüle her üç deklem sstem te brbr yıdır, sdece stırlrıı yerler değştrlmştr Stırlrı yer değştrmes çözümü değştrmedğde çözüm de yı klır Ack; brc deklem sstem çözülmek sterse, dh lk dımd, çıkmz grlr Çükü dygol elemy pvot), sıfırdır İkc deklem sstemde dygol elempvot) sıfırd frklıdır, drgeme lk dımı sorusuz yürütüleblr Üçücü deklem sstemde de lk dım soru yrtmz Pvot elemı sıfır olmsı hlde, öreğ k Adımd, kk se; A mtrs k Koloud dygol ltıdk syılr rsıd pvot elem rır ve k stır le sork stırlrd br değştrlr, pvot elemı sıfırd frklı olmsı sğlır ve hesb devm edlr Sıfırd frklı pvot elemı bulummsı durumud; öreğ k Adımd dygol ve dygol ltıdk tüm elemlr sıfır se, kk k)k,, k; stır değştrmek de br şe yrmz Buu lmı; A mtrs tekl, y det A olduğu, çözümü bulumdığı vey syısız çözümü olduğudur Pvot elemı sıfırd frklı fkt mutlk değerce çok küçük olmsı d ümerk soru yrtır l j syılrı A ı elemlrı pvot elem bölüerek hespldığıd, pvot elemı çok küçük olmsı bölümü çok büyük br syı olmsı, buul çrpıl/topl syılrı dh d büyümese ve yuvrlm htlrı ede olur Büyük deklem sstemlerde bu şlemler mlyolrc def ypıldığıd, yuvrlm htlrı brke brke soucu tmme ylış hesplmsı ede olur Yuvrlm htlrıı zltmk ç, gerekrse her dımd, stırlr yer değştrlr Mutlk değerce e büyük syı dygol ve dygol ltıdk syılr rsıd rır, bu syıı buluduğu stır le pvot stırı değştrlr Örek: yukrıdk deklem sstem çözülürke dımd dygol ve dygol ltıd mutlk değerce e büyük syı stırddır: - Bu edele deklem le dekleme yer değştrlr ve drgemeye devm edlr Böylece pvot elemlrı e büyük syı olmsı, olsı yuvrlm htlrıı e z olmsı sğlmış olur Determt: İdrgeme sorsı oluş ye deklem sstem verle deklem sstem le eşdeğerdr Bu edele ktsyılr mtrs A ı determtı drgemş sstem determtı eşttr Stırlr yer değştrmek determtı değer değştrmez fkt şret değştrr Pvot rm edeyle drgeme sırsıd p def stır değştrlmş se determt d p def şret değştreceğde det A ) p ) ) 55) olur İdrgeme tmmlblmş, - dım sor deklem sstem ktsyılr mtrs üst üçge ol eşdeğer deklem ssteme döüştürüleblmş se determt 55) de hesplır ve det A dır Ack, drgeme tmmlmmış se; öreğ k Adımd pvot elem bulummış se, drgeme şleme devm edlemez, det A dır det A se: A mtrs tekl değldr, düzeldrregülerdr) der Çözüm vrdır ve tektr det A se: A mtrs tekldrsgülerdr), düzeszdr der Çözüm yoktur vey sosuz çözüm vrdır Deklemler uyumlu se sosuz çözüm vrdır, uyumsuz se çözüm yoktur Rk: İdrgeme tmmlblmş se rk A dr A ı stır ve kololrı düzeldr kdımd sıfırd frklı pvot elem bulummış se, A ı rkı rk- dr A ı r stırı doğrusl bğımsızdır gerye kl d-r stır vey kololrı doğrusl bğımlıdır; d ye rk rtığı der Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 55
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 5 Örek: 8, 8? Çözüm ç her dımd pvot rm ypılck, gerekrse stırlr değştrlecektr El hesbıd odlık şretde sor he yürütülecektr Adım: dygol ve ltıdk mutlk değerce e büyük syı stırd dr ve stırlr değştrlecek ve drgeme ypılcktır 8 8 ve stır değştrldkte sor l /5 l /5 l -/-5 5 5 5 Pvot elem 8 75 5 55 l 5 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l 5 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l -5 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı dygol ltıdk elemlr pvot elem bölüdü Adım: dygol ve ltıdk mutlk değerce e büyük syı stırd - dr ve stırlr değştrlecek ve drgeme ypılcktır 5 5 5 8 75 5 55 ve stır değştrldkte sor l /-) -888 l /-) 5 5 5 8 Pvot elem 75 888 5 5 55 5 l -888 syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrtıldı l olduğud şlem gerekmez dygol ltıdk elemlr pvot elem bölüdü Adım: dygol ve ltıdk mutlk değerce e büyük syı stırd tür ve stırlr değştrlecek ve drgeme ypılcktır 5 5 5 8 888 75 5 5 55 5 ve stır değştrldkte sor Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 5
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 57 l 5/ 5 5 5 8 888 75 Pvot elem 5 77 55 77 l syısı stır le çrpıldı, stırd çıkrıldı dygol ltıdk elem pvot elem bölüdü Aşğıd yukrı doğru hesp: 8) 5) 5) / 8 75 5) 55) / ) ) 5) / 5 77 / 77 5 8 5 5 Gerçek çözüm: { - } dr Ht vektörü: 8 5 5 5 Görüldüğü gb, pvot rm ypılmsı, odlık he yürütülmese rğme, z d ols ht vrdır Blgsyrd odlık syı hesbıd geelde 5- he kullılır Deklem sstem 5- he kullrk blgsyrd çözülürse ht çok zlck, fkt belk gee de tm sıfır olmycktır Bu öreğ çözümüü bldğmz ç ht vektörüü de hesplybldk Uygulmd se çözüm blmezblseyd hesplmy gerek klmzdı) Gerçek çözüm blmedğe göre şğıdk sorulr güdeme gelmektedr: Hespl çözüm doğru mudur? Ht sıl ölçülecektr? Ht e kdrdır? Ht kyğı edr? Bu sorulrı cevbı verlemeye çözüm doğru vrsyılmz İzleye syflrd bu sorulr rdeleecektr Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 57
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 58 Nümerk hesplrd ht kyklrı, htı ölçüsü Fzksel br problem syısl olrk çözümüde şğıdk edelerle z y d çok htlr oluşur Modelleme htsı: Fzksel problem çözüleblmes ç oluşturul mtemtk model problem tm olrk ysıtmıyordur Vrsyıl geometr ve sıır değerler frklıdır Çözüm yötemde doğ htlr: Nümerk çözüm ç seçle metot fzksel problem vey ou modele uygu değldr Progrm vey progrmlm htlrı: Çözümde kullıl progrm kod htlrı çeryordur vey problem çözümüe uygu değldr Blgsyr htlrı: Blgsyrd syılr yuvrltılrk depolır, sosuz terml serlerde hespl değerler ç solu term kullılır Ndre de ols, doım htlı olblr Voltjd değşmler frkıd olumy htlı souçlr doğurblr 5 İs htlr: Progrmı kull kş progrmı yeterce tımıyordur, gerekl ö yrlrı ypmmış vey htlı ypmıştır Verler htlı grmştr vey yuvrltrk vermştr Souçlrı ylış yorumlmıştır Bst br fzksel problem öreğ le yukrıd syıl htlrı bzılrı çıklık getrmeğe çlışlım Fzksel problem: Düy yüzey lıı hesbı Mtemtk model: Fzksel problem mtemtk model öcelkle ) Gerçeğe e ykı olmlı b) bst olmlı c) Hesplblr olmlı Düyı del br geometrs yoktur Yuvrlktır derz, küre olduğuu kstederz Uzyd çeklmş fotoğrf bktığımızd küre gb görümektedr Fkt blyoruz k; yüksek dğlr ve der çukurlr vrdır, kutuplrd bsık, ekvtord şşk br geometrye shptrgeod) Fzksel problem: pürüzlü yüzey, düzgü olmy geometr Küre model: uzyd görüüş Dh model: Geod Bstlğ edeyle, düyyı küre olrk modelleyelm: Küre yüzey lı: A π r r yrıçpıı ve π syısıı e llım? Ekvtord r78 km, kutuplrd r58 km dr Yrı çpı ortlm değer lrk modelleyelm, r788)/75 km llım π llım A 75 557 km olur Bulduğumuz bu değer tm doğru olmdığı, yklşık olduğu çıktır Doğru değer hesplmycğı d çıktır Ht kyğı: ) Küre vrsyımı doğru değldr b) Ekvtor ve kutupt ölçülmüş yrıçplr ölçüm htsı çerr c) Yrıçpı ortlm değer lrk br ht dh oluşturduk d) π değer yuvrltrk ht oluşturduk e) Hespl A değer yuvrldık, vrgülde sork heler ttık Ht e kdrdır? Gerçek değer blemedğmze göre, htı e kdr olduğuu d blememekteyz Dh ç modellerle geod) hesplmış değer kyklrd A57 km olrk verlmektedr Bu değer de mtemtk lmd doğru olmz, çükü gee br tkım vrsyımlr ypılrk hesplmıştır Ack, burd kulldığımız küre modelde dh doğrudur A57 km değer doğru kbul ederek ht lz ypblrz Öce ht ölçüsü tımı yplım Tım: br fzksel büyüklüğüü hesplmış değer hesp ve değer olsu Bu k değer rsıdkı frk ht vey mutlk ht der Htmutlk): hesp Mutlk htı değere orı ht yüzdes vey bğıl ht der Ht yüzdesbğıl ht): ε hesp Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 58
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 5 Ht yüzdes bğıl ht) değer brm htsı olrk d yorumlblr: ε ε Şmd düyı yüzey lı le lgl hesbımız döelm, ht lz yplım: A 57 km ve A hesp557 km lrk: Htmutlk): A A hesp A 557 57-8km Ht yüzdesbğıl ht): A Ahesp A 8 ε A A 57 Burdk eks şret hespl lı ld 8 km dh küçük kldığıı gösterr, Ht % kdrdır 8 km değer htı çok büyük olduğuu düşüdüreblr Fkt ht yüzdes sdece % o bde ) olduğud, küçük kbul edlmeldr Bu bst örekte de görüldüğü gb, ht yüzdesbğıl ht) dh y fkr vermektedr Nümerk hesplrd ht yere ht yüzdesbğıl ht) le çlışmk dh uygu olcktır Gerçek değer blmedğ fzksel problemlerde ht kotrolü Nümerk lz problemlerde geelde çözüm blmez Fkt hespl değer vey değerler sğlmsı gereke br koşul vey koşullr vrdır Hespl değer bu koşullrı sğlyıp sğlmdığı bkılrk hespl değer vey değerler doğruluğu vey htsı kotrol edlr Bst br örek verelm: - deklem sğly edr? ±577 olrk hespldığımızı vrsyrk htyı hesplylım Bu değer - deklem sğlmk zoruddır: 577) - 7 olduğud, sğlmıyor Ht 7 dr Yuvrlm htsıı ede edr, sıl zltılblr? Hesp mkeler ve blgsyrlr br syıyı depolmk ç bell syıd he kullırlr, 8, vey he gb Mkeye verle syıı he syısı mke depolybleceğ he syısıd dh fzl se, syıı soudk bzı rkmlrı kybolur Örekleyelm: kulldığıız el hesp mkese 578 syısıı yzı ve eşt tuşu bsı Mkez he göstereblyors ekrd 578 göreceksz Şmd 5785 yzı ve eşt tuşu bsı Muhtemele 578 göreceksz Mkeye verdğz syı bu değld, so heler kyboldu! Verdğz: 5785 Mke depoldığı: 578 578 Ht: 5785 5785 Ht yüzdes: 5/5785-5785 syısıı yzıp eşt tuşu bsı, souç: 578 olcktır So heler gee kyboldu! / yzı eşt tuşu bsı, souç: olcktır Hlbuk / tür Odlık şretde sor sosuz syıd rkmı vrdır Mkez sosuz hes yoktur, depolybldğde dh fzl hey kesmektedr π syısıı mkez muhtemele π55 olrk gösteryordur, so he yuvrltılmıştır hel değer π55587888 dr, değer bugüe kdr hesplmmıştır! Yukrıdk örekler, vrs, cep telefouuzu vey stz hesp mkes le de deeyz! Blgsyr tblı syılr verrz Blgsyr se k tblı syılrl sıfır ve br le) çlışır Verle odlık syılrı k tblı bry) syıy çevrr ve depolr Örek: syısı blgsyrd olrk depolır Çevrme edeyle he bt ) kybı olur Bu yöelk çrpıcı br örek verelm: odlık syısıı def toplmı Toplm olmsı gerektğ çıktır Kulldığıız progrmlm dl le bu toplmı blgsyr yptırrk şşırtıcı soucu görüüz! Qbsc koduu verelm: Blgsyrı verdğ souç htlıdır! Blsyr syısıı htlı depolmıştır Demek k blgsyr syılrı htsız depolymıyor, yuvrlıyor ve kesyor Yuvrlm htlrıı tmme ölemek mümkü değldr Mlyrlrc syı dört şleme tb tutulduğud bu htlrı gderek büyüyebleceğ, belk de hesplmk stee soucu tmme ylış olmsı ede olcğı çıktır Yuvrlmış br syı hty ede olurke yuvrlmış br syı le hespl br dğer syı yuvrldığıd ht büyüyeblr de zlblr de Htlrı elde geldğce zltmk ç: Qbsc soucu Mke vey blgsyrd mümkü olduğuc çok hel hesp ypılmlı: El hesp mkelerde he syısıı değştrmek mümkü değldr, fkt stı lırke çok hel olı seçleblr Blgsyrd he syısıı, kullıl yzılım bğlı olrk, yrlm mkâı vrdır: Tek hsssyet Byte SINGLE precso) yere çft hsssyet8 Byte DOUBLE precso) htt dörtlü hsssyet Byte QUAD precso, EXTENDED) kullrk Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/ 5
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU Büyük syılr le dğer büyük syılrı çrpımı ölemeldr: Büyük deklem sstemler çözümüde uygu pvot elem seçlerek buu leştrmek mümküdür, b, c syılrıd db/c hesplck vrsylım Syılrı büyük vey küçük olduğu bğlı olrk hesbı şğıdk şeklde ypılmsı syı tşm ve yuvrlm rsk zltır: ve b syılrıd br büyük ve dğerler küçükse db)/c b ve c syılrıı her ks de büyük vey her ks de küçükse db/c) ve c syılrıı her ks de büyük vey her ks de küçükse d/c)b Blgsyr öce prtez çdek fdey hespldığıd, prtez ç syısı ykı çıkcktır e gb fdeler yuvrlm ve syı tşmsı çısıd rskldr, uygu hesp sırsı seçlmeldr, örek: e /e t yere e -t), y /e yere y/e ) kullılmlıdır Yüksek derecede polomlr syı tşmsı ve yuvrlm htlrı çısıd rskldr, örek: y 5 5 yere y ) ) ) 5) dh uygudur Vektör ve mtrs ormlrı, kodsyo syısı kvrmı Deklem sstemler çözümüde ht lz ç orm ve kodsyo syılrı kullılır Norm ve kodsyo syısı çözümü e del sğlıklı olduğu blgs vereblr Norm br syıdır ve şret le gösterlr Mesl vektörüü ormu le gösterlr Uygulmd sıkç kullıl vektör ve mtrs ormlrı şğıd verlmştr Vektör ormlrı: [ ] vektörüü ormlrı: l ormu der) T l ormu vey Ökld ormu vey uzuluğu der) m l ormu vey mmum orm der) Örek: [ ] vektörüü hesplmış vektörü [ 8 ] olsu hesp Normlr: 577 m,,,,) hesp hesp hesp 8 8 m,8,,,) ) 5778 Normlrı orlrı: hesp hesp hesp 577 885 5778 5 Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU Dır ykı se tm doğru olsydı bu ormlrı heps de olurdu Demek k herhg br ormu orı e e del hesp o del doğrudur Öreğmzde orlr e çok ykı olduğud hesp doğru kbul edleblr hesp Burd verleler dışıd bşk vektör ormlrı d vrdır Uygulmd l Ökld) ormu vey bstlğ edeyle l mksmum) ormu geelde terch edlr Yukrıdk Ht vektörü: h h vektörüü doğruluğu ht vektörü kullılrk d ypılır: hesp hesp [ 8 ] [ ] [ ] Ht vektörüü uzuluğu Ökld ormu) olmlıdır: T h h ) Olduğud doğru vrsyılblr Heme şuu d belrtelm: Ht vektörüü termler vey hesp ormuu küçük olmsı çözümü doğru olduğuu öeml br br göstergesdr, fkt yeterl br koşul değldr İzleye öreklerde bu durum çıklık kzcktır Mtrs ormlrı: 8 A mtrs ormlrı: A m m j mtrs mutlk değerce e büyük elemı) A m A j A j j Kolou l ormu) A m A A Stırı l ormu) Mtrs kodsyo syısı: A mtrs kodsyo syısı ka): k A) A A le tımlır ka) se A y kodsyoludur der, A - htsız hesplmış lmı gelr Br dğer kodsyo syısı Hdmrd kodsyo syısıdır: det A kh A) V V stırı Ökld ormu) k ha) rsıddır k ha) se det A mtrs tekldr k ha) değer e e del ykı se mtrs o del y kodsyolu, r e del ykıs o del kötü kodsyoludur k ha)< se kötü kodsyolu, k ha)> y kodsyolu vrsyılblr k ha) rlığıd se e kötü e de y kodsyoludur, durum şüpheldr Ters mtrs hesbı çok şlem gerektrdğde ve deklem sstem çözümüde det A r değer olrk zte hesplbldğde, Hdmrd kodsyo syısıı kullmk dh prtktr ------------------------------------- Jcques Slomo Hdmrd 85-), Frsız Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU Örek: A Mtrs orm ve kodsyo syılrıı belrleyelm A, A m,), A m,) m A 78 87 7 8 A 8, A m8,5) 5, A m55,5) 55 m k A) m A A 8 m m k A) A A 5 k A) A A HADAMARD kodsyo syısı: 55 det A k A) h, 5, V Yorumlırs, kodsyo syılrı e ykı olduğud A mtrs y kodsyoludur Örek olmsı çısıd burd tüm orm ve kodsyo syılrı hesplmıştır Uygulmd sdece br orm ve kodsyo syısı le yetlr Hst mtrsll-codtoed mtr) ve hst deklem sstem Kötü kodsyolu mtrse hst mtrsig: ll-codtoed) der Bu tür mtrsler determtlrı çok küçüktür, mtrs tekle ykıdır Mtrs elemlrıdk çok küçük br değşklkyuvrlm htsı edeyle) mtrs ters tmme ylış hesplmsı ede olur Dolyısıyl Hst mtrs ktsyılı deklem sstem çözümü de htlı olcktır Örek: 88 8 A b?, Öce A ı HADAMARD kodsyo syısıı bullım: Det A -8 k h A) det A V Determt çok küçük! A ı hst mtrs olduğuu lk şret lmış olduk 8 8 88 5,, V 5, kh A) K ha) -8 olduğud A mtrs kötü kodsyoludur, hst br mtrstr A b deklem sstem de hst br deklem sstemdr, çözümü yprsk htlı souç lcğımız şret etmektedr Guss le çözerek soucu görelm: Bst Guss drgemes: 8 88 8 8 7 7 8 88 77585) / 55 7 / 8 7 77585 Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/
5 BASİT GAUSS İNDİRGEME METODU 55 77585 Ht vektörü: 8 h b A 8855 58 77585 7 Ht vektörüü Ökld ormu : 7 h T 7 7 7 h h 58 ) ) 5 Yorum: Ht vektörüü termler küçük görüüyor Normu d öyle O hlde vektörü doğrudur dyeblr myz? HAYIR! vektörüü tek br rkmı dh doğru değl! Gerçek çözüm: dr, yere koyrk ht vr mı? Görelm: 8 88 h b A sıfır ht le sğlıyor O hlde hespldığımız [55 77585] T çözümü, ht vektörü küçük olmsı rğme, tmme ylıştır Buu ede: A mtrs, dolyısıyl deklem sstem hst olmsıdır ÖZET: A b doğrusl deklem sstemde A kötü kodsyolu hst) se A - A ters), büyük br olsılıkl, htlıdır Doğrusl deklem sstem de hstdır çözümü, büyük br olsılıkl, htlıdır det A << hst mtrse şret eder Hst mtrs le ypıl ümerk hesplrı soucu güvelmez Öcelkle lıck ölem, mtrs ede hst olduğuu rştırmktır Modelleme htlrı, uygu olmy ümerk yötem, uygu olmy brm kullılmsı ve ver htlrı hst mtrs oluşmsıı geel edeler rsıd syılblr Mtrs kurulmsıd bu htlr ypılmmışs, blgsyr çözümüde mutlk çft hsssyet 8 Byte-DOUBLE PRECESIN) htt, progrmlm dl z veryors, dörtlü hsssyet Byte-QUAD precso, EXTENDED) kullılmlıdır Ahmet TOPÇU, Blgsyr Destekl Nümerk Alz, Eskşehr Osmgz Üverstes,, http://mmfoguedutr/topcu/