Cebir Notları. Diziler Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 006 Cebir Notlrı Mustf YAĞCI, Diziler Mtemtiği e zevkli ve sürükleyici koulrıd birie geldik. Pek zorlcğımı thmi etmiyorum, çükü yei esil diziler e oldukç merklı. Kurtlr Vdisi de sor erkekler bile Bşlıyoruz Nsıl ki is hytıd her şeyde öce sğlık gelir mtemtikte de her kouu bşı foksiyo dur. Foksiyou tm msıyl özümseyememiş bir öğrecii diğer koulrı pek de sğlıklı öğreebileceği söyleemez. Bu yüzde foksiyo tımıı tekrr vermekte fyd görüyorum. A ve B boş olmy iki küme olsu. A ı her elemıı, B i bir ve ylız bir elemıyl eşleye bğıtıy A d B ye tıml bir foksiyo deir. A = {, } ve B = {,, 5} olmk üzere f :{(, ), (, 5)} bğıtısı bir foksiyodur öreği. Hem de A d B ye bir foksiyo. Htt burd A y tım kümesi, B ye de değer kümesi deir. f(a) = {, 5} kümesie de görütü kümesi deir. Bu foksiyo mtemtik dilide f:{, } {,, 5} diye gösterilir. Am bu gösterimle hgi elemı ereye gideceği (B de hgi eleml eşleeceği) lşılmz. Buu birie ltmk içi bşk bir yzılım dh ihtiyç duyrız. Dikkt ederseiz, foksiyoumuzd ve 5 şeklide. Yi elemlr kedisii ktıı fzlsı gitmiş. İşte buu x (x ) vey f(x) = x diye yzrız. Belki bşk türlü bir ilişki de kurulbilir m öyle vey böyle bu ilişki belirtilmeli- dir. Çükü ve 5 koşuluu x ( x x ) de sğlmktdır. İlişki belirtilmezse, p ifdeside p yi bulmk mümkü olmycktır. m x x e göre 9 x x x e göre 5 olur. Foksiyo tımı göre de bu olksızdır. Çükü A d her elemı bir ve ylız bir elem gitmesi lzımdı. Souç olrk, yukrdki f foksiyou şöyle belirtilir: f : A B olmk üzere f(x) = x. İşte, bir foksiyou kurlı her e olurs olsu, tım kümesi N ise o foksiyo dizi deir. Görütü kümesi reel syılrd oluşuyors reel syı dizisi, tmsyılrd oluşuyors d tmsyı dizisi dlrıı lırlr. Yi dizilere, bir bkım, elemlrı belli bir kurl göre sırlmış kümeler demekte mhzur yoktur. Her özel foksiyou özel bir gösterimi olduğu gibi dizileri de şhıslrı mühsır birer gösterimi vrdır. Öreği, f : N R olmk üzere f(x) = x foksiyou, ( x ) = (x), f(x) = x foksiyou, ( x ) = (x ) diye gösterilir. Htt çoğu zm sym syısıı htırltsı diye (x) yerie (), bezer şekilde de (x ) yerie de ( ) yzmk tercih edilir. Biz de böyle ypcğız. ( ) = () dizisii elemlrı f : N R olmk üzere f(x) = x foksiyouu görütü kümesii elemlrıdır. Küme elemlrı rsıd sır öemli olms d dizi elemlrı rsıd sır öemlidir. f() =, f() =, f() =,, f() = olmk üzere f dizisi ( ) = (,,,,, ) şeklide yzılbilir. Nsıl ki ve 5 diye x i gittiği yeri kesi olrk bilemeyiz, bud dolyı d diziler ilk birkç terimleri ile belli olmzlr.

2 Mustf YAĞCI Diziler ( ) = (,,, ) şeklide verilmiş bir dizii dördücü terimi yi = olmz. Olmz derke olmybilir demek istedik. Çükü geel terimi ( ) = (( )( )( ) ) ol bir dizii de ilk üç terimi,, tür, m dördücü terimi görüldüğü üzere = = 0 olbiliyor. Bu soruu gidermek mcıyl, dizileri geel terimiyle birlikte vermek doğru olıdır. Şöyle ki; ( ) = (,,,,, ) Eğer böyleyse = tür. Bu lfımız yok! Dizi olm şrtı. Her bğıtı foksiyo mudur? sorusu cevp rylım. Tbi ki olmdığıı biliyoruz. Çükü foksiyo ol bğıtılrd tım kümesideki her elem ill ki değer kümeside bir eleml, htt sdece eleml eşlemeliydi. Bu yüzde f : R olmk üzere f(x) = x tbi ki bir foksiyo olmz. Çükü tım kümesideki, değer kümeside eşleecek elem bulmz. Tüm dizileri slıd birer foksiyo olduklrı kl gelirse, prtez içie yzıl her li ifdei bir dizi oluşturmycğıı d lmmız gerekir. f : R f(x) = x foksiyo olmdığı içi de bir dizi değildir. Öyledir diye vrs dizii ücü terimii söylesi! Kıscsı, dizii geel terimi hiçbir sym syısı içi tımsız olmmlıdır. Bu cihetle (), (), ( ), ( ), ( ),, ( log ) gibi ifdeler birer dizidir fkt,, ( log ( ) ), ( ) gibi ifdeler dizi değildir. Zte lmış olduğuuz üzere buu sebebi, ( ), (log ( )) ifdelerii = içi, ifdesii de = içi tımsız olmsıdır. Soru. Aşğıdkilerde hgisi bir gerçel syı dizisii geel terimi olmz? A) B) C) D)... E) 5 Çözüm: A, B, D, E seçeeklerideki ifdeler her N içi reel syı olduğud geel terim olbilirler. Fkt C seçeeğideki ifde = içi = olduğud ve bu syı reel bir syı olmdığıd ifdesi bir dizii geel terimi olmz. Htt soru sdece te değil, te büyük tüm sym syılrıd bu soru vr. Dizileri elemlrı liste yötemiyle de gösterilebilir: ( ) = () = (,,,,,, ) ( ) = () = (,, 6, 8,,, ) ( ) = ( ( ) ) = (,,,,, ( ), ) ( ) = =,,,...,, Soru. dizisii beşici terimi kçtır?... Çözüm: ( ) = = ( ) ( ) = dir. = 5 yzrsk ( 5) = 6 =. 0 5 Soru. Geel terimi = ol dizii ilk üç terimii yzıız. Çözüm:, ve ü sorulduğuu lıyoruz. = =, = 5 =, = 7 =.

3 Mustf YAĞCI Diziler Soru. Geel terimi =! ol dizii ilk 5 terimii yzıız. Çözüm: yerie,,,, 5 verirsek =! =, =! =, =! = 6, =! =, 5 = 5! = 0 olup ilk 5 terim,, 6,, 0 dir. Soru. = k! geel terimli dizii ilk terimii buluuz. k= Çözüm: = içi = = içi = = içi = Soru. Geel terimi ol dizii kçıcı terimi 8 tür? k! =! =, k= k! =!! =, k= k! =!!! = 9. k= = Çözüm: 8 ol terim, k ıcı terim olsu. = k k k = 8 eşitliğide 9k = 8k 8 yi k = 5 buluur. Demek ki dizii 5 ici terimi 8 müş., tek ise Soru. Geel terimi = ol, çift ise bir dizi içi 5 8 toplmı kçtır? 5 6 Çözüm: 5 = = ve 8 = 8 = olduğud 5 8 = = 5 5 olur. Soru. Geel terimi =, 0(mod), (mod), (mod) ol dizi içi b b 5 b 6 toplmı kçtır? Çözüm: (mod) olduğud b =, 5 (mod) olduğud b 5 = 5 =, 6 0(mod) olduğud 6 6 = 5 olur. Soru. Bir ( ) diziside = 5 eşitliği sğlmktdır. = ise ve 00 değerlerii buluuz. Çözüm: = 5 eşitliğide dizii herhgi bir terimii kediside öce gele terimi 5 fzlsı olduğuu lıyoruz. = 5 = 5 = ( ) 5 olduğud = 5 = 5 = 7 ve 00 = 99 5 = 95 = 97 buluur. Soru. Geel terimi orı kçtır? = ( ) ()! ol dizide Çözüm: = ( )! = 0 = 0. ( ) 9! Soru. ( ) = dizisii kç te terimi pozitiftir? Çözüm: > 0 olmsıı sğly kç sym syısıı vr olduğuu rıyoruz. N içi > 0 olduğud > 0 olsu yeter. O hlde < olmlı. Bu durumd dizii sdece birici, ikici ve üçücü terimleri pozitiftir. Soru. ( ) = 7 60 dizisii kç terimi tmsyıdır? 7 60 Çözüm: = 7 60 ifdesi tmsyı olckmış. O hlde, 60 ı bölei olmlı. bir sym syısı olduğud 60 ı kç te pozitif bölei olduğu bkcğız. 60 = 5 diye, = frklı pozitif tmsyı değeri lbilir.

4 Mustf YAĞCI Diziler 0 Soru. ( ) = dizisii elemlrıd kç tesi tmsyıdır? Çözüm: Bir öceki sorud pydlrı yırdık m burd mümkü değil o hlde poliom bölmesi ypcğız. 0 = şeklide yzılır. ( ) i ü bölei olmsı lzım. = olduğud, = 6 frklı değer lbilir. Fkt = 0 olmycğıd = olmz. Cevp olrk 5 i işretlemeliyiz. 8 7 Soru. ( ) = dizisii kç terimi tmsyıdır? 8 7 Çözüm: = olduğud ifdesi tm syı olmlıdır. O zm = ise = N ve = ise = olur. Öyle ise dizii sdece birici terimi ol = 6 tmsyıdır. 5 Soru. dizisii kç terimi egtif syıdır? Çözüm: 5 < 0 eşitsizliğii sğly sym syısı kdr egtif terim vrdır. < < 5 olmlıdır. Bu rlıktki sym syılrı ve olup iki tedir. 7 Soru. dizisii kç te terimi de küçüktür? 7 Çözüm: < ise 7 < 0 olur. Burd 5 < 0 eşitsizliği çözülerek 0 < < 5 buluur. Bu rlıktki sym syılrı,,,, 5, 6, 7 olup 7 tedir. SONLU DİZİ A = {,,,, } N olsu. f: A R diye tıml dizilere terimli solu dizi deir. Solu sözcüğü kullılmdıkç dizileri sosuz terimli kbul ederiz. Soru. A = {,,, } olmk üzere A d ye = (5 ) dizisii elemlrıı tıml ( ) buluuz. Çözüm: Tım kümesi elemlı olduğud, dizi de elemlrıdır. = 5 = 5 = 5 = 5 olduğud ( ) = (7,, 7, ) olur. Soru. A 5 = {,,,, 5} ike f : A5 R olmk üzere ( f ( ) ) ( ) = solu dizisii terimlerii buluuz. Çözüm: f() =, f() =, f() =, f() =, f(5) = 5 olup ( ) = (,, 9, 6, 5) dir. SABİT DİZİ Bir dizii tüm elemlrı birbirlerie eşit olup, bu syı d bir reel syı ise böyle dizilere sbit dizi deir. Öreği, ( ) = (), (b ) =, (c ) = ( ) dizileri birer sbit dizidir. p Soru. ( ) = dizisi sbit dizi ise p =? Çözüm: Üç yold çözelim. Beğediğiizi kullı. Birici yol. ( ) sbit dizi ise = dir. O hlde p p = eşitliğide 0 5p = 8 p buluur ki, burd p = olduğud p = tür. 5

5 Mustf YAĞCI Diziler İkici yol. ( ) sbit dizi ise p = c R olmlıdır. p = c c diye = c ve p = c buluur. O hlde c = ve p = olur. p Üçücü yol. dizisii sbit dizi olmsı içi py ve pyddki yı dereceli terimleri kt syılrıı ortılı olmsı gerekir. p = ortısıd p= elde edilir. Soru. (si π ) dizisii sbit dizi olduğuu gösterelim. Çözüm: Artık tek yol yeter. = siπ = 0 = si π = 0 = si π = 0 = si π = 0 (si π ) = 0 bir sbit dizidir. olduğud ( ) Soru. ( ) ( cos π) dizisii sbit dizi olup olmdığıı iceleyiiz. Çözüm: Emriiz olur, heme. = ( ) cos π = ( ) ( ) = diye ( ) = π = = ( ) cos = π = = ( ) cos ( ) ( ) = π = = ( ) cos ( cos π) ( ) = bir sbit dizidir. ( x ) 6 Soru. sbit bir dizi ise x kçtır? ( x ) 6 Çözüm: N içi kesrii yı soucu vermesi lzım. Sbit foksiyolrı çözerke, e ypıyorsk yısıı ypcğız. x = 6 x 6 = x = 6. EŞİT DİZİLER N olmk üzere; ( ) ve ( ) İki dizii tüm terimleri sırsıyl eşitse, bu diziler eşittir. Yi i b dizileri içi i = b i ise diziler eşittir. ( ) = ( cos π) ve ( b ) ( ) = dizilerii düşüelim. ( ) ( π) ( ) = cos = (,,,,...) ( ) ( ) ( ) b = = (,,,,...) olduğud = b, = b, = b, olduğuu frk ederiz ki, bu dizileri eşit olduğuu lrız. Soru. ( ) = ( 6... ) ve (b ) = ( ) dizileri eşit midir? Çözüm: Evet, eşittir. Çükü her N içi = 6... = ( ) = = b dir. 5 c Soru. ( ) = ve 5 ( b) = 9 dizilerii eşit ypck c kçtır? Çözüm: İkisii birbirie eşitleyip ord c yi çekebileceğimiz gibi diziler birbirie eşit olduklrıd birici terimleri de eşit olduğuu düşüürsek dh koly olur. ile b i eşitleyelim: = 5 c ve b = olduğud 5 c = olur ki burd 5 c = 6 diye c = buluur. ( ) ve ( ) olmk üzere; DİZİLERLE İŞLEMLER b herhgi iki dizi olsu., b, c R şeklide tımlırlr. ( ) ( b) ( ) ( b) ( ) ( b) b ( ) = ( b) b c ( ) = ( c ) = ( b ), = ( b ), = ( ),, b 0 5

6 Mustf YAĞCI Diziler Soru. ( ) = ve ( b ) = iki dizidir. Bu- b, ( ) ve ( ) b göre ( ) ( b ), ( ) ( ) dizilerii buluuz. Çözüm: b = ( b ) ( ) ( ) ( ) ( b ) ( ) ( ) ( b ) = = = 5 6 = ( b ) = = 5 6 = 5 6 = = b = = Görüldüğü üzere ( ) ve ( ) rğme ( ) ( b ) b tımsızdır. ( ) b birer dizi olmsı bir dizi değildir. Çükü = içi Soru., 0 (mod ) ( ) =, (mod ) 5, (mod ), 0 (mod ) (b ) =, (mod ), (mod ) biçimide tımlı ( ) ve (b ) dizileri içi ( ) (b ), ( ) (b ) ve ( ) dizilerii buluuz. Çözüm:, 0 (mod ) ( ) (b ) = ( b ) =, (mod ), (mod ) ( ) (b ) ( ) = ( ) = 6, (mod ) 5, (mod ), 0 (mod ) = 6, (mod ) 5, (mod ), 0 (mod ) MONOTON DİZİLER Bir dizii tüm terimleri ilk terimde itibre hep rtıyor vey hep zlıyors böyle dizilere mooto deir. Hi bze deriz y hytım çok mooto, hep yı şeyler oluyor, ou gibi Burd uutulmmsı gereke okt, sdece kere bile rtm vey zlm bozulmuşs (yeride sys bile) diziye mooto deriz. Az kullılmkl birlikte mooto dizilere tekdüze dediği de olur. Bir ( ) diziside N içi; < yi < 0 yi dizisi mooto rt, > yi > 0 yi dizisi mooto zl, yi 0 yi dizisi zlmy, < ise ( ) > ise ( ) ise ( ) 6

7 Mustf YAĞCI Diziler yi 0 yi dizisi rtmy, = yi = 0 yi dizisi sbit dizidir. ise ( ) = ise ( ) d. Pydı kökü ol < ise dizi mootodur. c d bc > 0 ise dizi mooto rt d bc < 0 ise dizi mooto zl d bc = 0 ise sbit dizidir. Örekler.. ( ) = (,, 9, 6,...,,...) dizisi mooto rtdır.. =,,,...,,... dizisi mooto 6 9 zldır., tek syı ise. ( ) = yi, çift syı ise ( ) = (,,,,,,,...,,...) dizisi zlmy dizidir. 6, tek syı ise. ( ) = yi 6, çift syı ise ( ) = (5, 5,,,...,,...) dizisi rtmy dizidir. Soru. dizisii mootoluk durumuu iceleyiiz. Çözüm: syısıı durumu bkcğız: = = > 0 yi 5 5 ( )( ) N içi > olduğud bu dizi mooto rtdır. Not., b, c, d R olmk üzere; b ( ) = şeklideki dizilerde mootoluk c d durumu şğıdki gibi iceleir: d. Pydı kökü ol > ise dizi e rt c e zldır. Çükü dizi mooto değildir. Soru. Aşğıdki dizileri mootoluk durumlrıı iceleyiiz. 5 ) b) c) Çözüm: Sırsıyl çözelim. ) 6 = 0 eşitliğide = çıkr ki < olduğud dizi mootodur. Şimdi d bc frkı bklım ki rt mı zl mı sbit mi olduğuu lylım: d bc = 5 ( ) 6 = 0 6 = 6 < 0 olduğud dizi zldır. Yi dizi mooto zldır. b) = 0 dersek = çıkr ki < olduğud yie dizi mootodur. d bc = = > 0 olduğud dizi mooto rtdır. c) 5 7 = 0 dersek = 7 5 buluur. 7 5 > olduğud dizi e rt e de zldır. Yi mooto değildir. Soru. ( ) = dizisii mootoluk ( )! durumuu iceleyiiz. Çözüm: Üslü vey fktöryelli durumlrd frkıd ziyde orı bkmk dh kı- sdır. = ( ) olduğud,! ( ) = =! ( )! ( ) olur ki, bu syı d N içi < olduğud dizi mooto zldır. Not. Mooto zl bir dizii e küçük elemı, mooto rt bir dizii de e büyük elemı yoktur. 7

8 Mustf YAĞCI Diziler ALT DİZİ N içi, k N ve k < k < k <... < k < k olmk üzere ( ) diziside yerie k yzılrk elde edile ( k ) dizisie ( ) dizisii lt dizisi deir. Bu durum ( k ) ( ) şeklide gösterilir. Her dizi yie kedisii bir lt dizisidir yi ( ) ( ) dir. Bir ( ) diziside bir lt dizi oluşturmk içi ( ) i terimleride bzılrı bir kurl göre seçilerek yei bir dizi oluşturulur. İşte bu kurl k : N N rt foksiyolrı trfıd be- lirleir. 5 Soru. ( ) = dizisii ( ) ve ( ) lt dizilerii buluuz. Çözüm: Burd (k ) = ( ) ve (k ) = ( ) dir. yerie sırsıyl ve yzlım. ( ) 5 7 ( ) = = N içi (k ) = ( ) N ve k rt olduğud ( ) ( ) dir. ( ) 5 ( ) = = N içi (k ) = ( ) N olur. = içi k = = 0 N olduğud ( ) ( ) dir. Soru. ( ) = dizisi (b ) = dizisii bir lt dizisi midir? Çözüm: k kurlıı bulup şrtlrı sğlyıp sğlmdığı bkmmız gerekir. Buu içi (b ) de yerie k yzlım. k ( b k ) = = k burd k = buluur. (k ) = ( ) terimleri N kümeside rt bir dizi olduğud ( ) dizisi (b ) dizisii bir lt dizisidir. Çözüm: = k = diziside yerie yzlım. k k = k = k k olur. Soru. ( 7 ) dizisi ( ) k değerii ( ) yi ( ) = dizisii lt dizisi midir? Çözüm: geel terimide 7 elde etmek içi = yzmlıyız. Hlbuki lt dizi elde etmek içi yerie yzmmız gerek pozitif rt ve mooto bir dizii geel terimi olmlıydı. Tımı öyleydi çükü. pozitiftir m mooto rt bir dizii geel terimi değil diye lt dizisi değil. İlerde limit kousuu görüce de, bir dizii lt dizilerii limitii üst dizii limitiyle yı olmsı gerektiğii göreceğiz. Burd bu yöde de çelişki vr. Soru. ( ) ( ) = olmk üzere, şğıdki- dizisii bir lt dizisidir? lerde hgisi ( ) A) B) C) D) E) KOMŞULUK R ve ε > 0 olmk üzere ( ε, ε) rlığı syısıı ε komşuluğu deir. Komşuluğu kplı değil, çık rlık olduğu dikkt ediiz. Soru. 7 i 0 komşuluğuu yzıız. Çözüm: (7 0, 7 0 ) = ( 69 0, 7 0 ). Soru. 7 i 5 komşuluğuu yzıız. Soru. ( ) = ise ( ) dizisii buluuz. Çözüm: ( 7 5, 7 5 ) = ( 6, )

9 Mustf YAĞCI Diziler Soru. (, 9) rlığı bir reel syısıı ε komşuluğu ise ve ε syılrıı buluuz. Çözüm: (, 9) = ( ε, ε) olduğud ε = ve ε = 9 olduğuu biliyoruz. Bu eşitlikleri çözersek = de ötürü = ötürü de ε = 7 dir. ve bud Alycğıız, bir x syısıı bir reel syısıı ε komşuluğud olduğuu şöyle yzıyoruz: ε < x < ε. Bu ifdeyle bir tkım oymlr yprk bşk bir şekilde dh göstermek mümkü oluyor. ε < x < ε ε < x < ε x < ε olur. Demek ki bir x syısıı bir reel syısıı ε komşuluğud olduğuu {x: x < ε, x R } diye de gösterebiliriz. Hgisi kolyıız geliyors öyle ypı. Bir ( ) dizisii ı ε komşuluğu içideki terim syısı komşuluğu tımıd dolyı < ε eşitsizliğii çözümü ile buluur. Eğer ( ) dizisii ı ε komşuluğu dışıdki terim syısıı bulmk istersek, bu sefer ε eşitsizliğii çözmemiz gerekir. ifdesi bildiğimiz üzere ile rsıdki uzklıktır. Bu uzklık ε d küçük ise terimi komşulukt, ε d büyük vey ε eşit ise terimi komşuluk dışıddır. Soru. ( ) = dizisii i 0 komşuluğu dışıd kç terimi vrdır? Çözüm: Tım gereği ( ) 0 eşitsizliğii sğlmsı gerekir. Bu eşitsizlik çözülürse burd d 70 yi buluur. 67 =,5 olduğud dizii ücü terimi i komşuluğu dışıd- 0 dır deriz. Soru. ( ) = dizisii kç terimi i komşuluğuddır? Çözüm: Yie tım gereği < eşitsizliğii sğlmsı gerekiyor. Bu eşitsizliği çözersek 7 < yi < 9 buluruz. i sym syısı olduğuu uutmylım, o hlde {,,,, 5, 6} dır. Yi ( ) dizisii sdece 6 terimi i komşuluğuddır. Bir Dizii Heme Heme Her Terimi. Bir ( ) dizisii solu syıdki terimleri hriç geriye kl sosuz syıdki terimlerie bu dizii heme heme her terimi deir. Burdki e öemli husus, heme heme her terim diyebilmek içi, dizide geride bırktığımız elemlrı syılbilir miktrd olmsıdır. İsterse ktrilyo te olsu m syılbilir miktrd olsu, sosuz olmsı. Öreği; ( ) = diziside ilk 00 terim tıldığıd geriye kl sosuz syıdki terimleri y- i,,,,...,,... dizii heme heme her terimidir. Ack,,,...,,... terimleri dizii heme heme her terimi değildir. 5 Çükü lımy,,,...,,... terimleri sosuz 6 syıddır. Bir Dizii Ykısklığı, Irksklığı ve Limiti ( ) bir dizi, seçilmiş bir syı ve ε isteildiği kdr küçük seçilebile keyfi pozitif bir reel syı olsu. ε R içi dizii heme her terimi (bşk bir ifdeyle dizii solu syıdki terimleri hriç geriye kl tüm terimleri) ı ε komşuluğud klırs dizisii terimleri syısı ykısıyor vey dizisii limiti dır deir. Bu durum lim( ) = vey ( ) şeklide gösterilir. Limiti mevcut ol (ykısk ol) dizilere ykısk dizi, mevcut olmylr d ırksk dizi deir. 9

10 Mustf YAĞCI Diziler Eşdeğer Tım. ε> 0 içi ε bğlı bir doğl syı N olmk üzere > N içi < ε olck biçimde bir N syısı bulubiliyors lim( ) = dır deir. N syısı ( ) dizisii ı ε komşuluğud bulumy terimlerii syısıdır. Soru. ( ) = dizisii limitii 0 olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( ) dizisii limiti 0 ise ε R içi ( ) dizisii heme her terimi 0 ı ε komşuluğud bulumlıdır. Bşk bir şekilde ifde edecek olursk dizii 0 ı ε komşuluğud olmy solu syıd terimi olduğu gösterilmelidir. 0 ε 0 ε ε ε = elde edilir. 0 ε ε > içi ε koşulu uy solu syıd N syılrı vrdır. Öreği ε = seçerek 0 olduğud dizii 0 terimi, rlığıı dışıddır. Yi ε d büyük ol tüm terimler ( ε, ε) rlığıddır. O hlde 0 dır. 5 Soru. ( ) = dizisii limitii olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( ) dizisii limiti ise ε R içi ( ) dizisii heme her terimi syısıı ε komşuluğud olmlıdır. < ε 5 < ε > ε buluur. ε = seçersek > 08 olur. Buu lmı ilk 0 08 terimi i komşuluğu dışıd geriye 0 kl sosuz çokluktki terimi (heme her terimi) ise bu komşuluk içide olcğıd ( ) dizisi syısı ykısr. Yi dizii limiti dir. Buu lim 5 = vey 5 biçimide gösteririz. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ Her x reel syısı içi reel syılr kümesii < x < vey = (, ) diye yzıldığıı biliyoruz. Burd ve ifdeleri reel syılr dhil değildir. Şimdi olrı reel syılr dhil ederek reel syılr kümesii geişleteceğiz. Adı d geişletilmiş reel syılr kümesi diyerek R ile göstereceğiz. Yi; R = {, } = [ ]. Prtezi çık değil, kplı olduğu dikkt ettiiz değil mi? Bud sor böyle! Bu kümede, bu syılrl işlemler şöyle tımlmıştır: sym syısı olmk üzere her reel syısı içi. ( ) =. ( ) =. > 0 ise ( ) =. > 0 ise ( ) = 5. < 0 ise ( ) = 6. < 0 ise ( ) = 7. ( ) ( ) = 8. ( ) ( ) = 9. ( ) ( ) = 0. ( ) ( ) =. ( ) ( ) =. ise =. ise =. ise = 5. ise = 6. ise = 0 7. ise = 0 8. > içi = 9. > içi = 0 0. < < içi = 0 0

11 Mustf YAĞCI Diziler Yukrdki tımlrı ezberlemeiz gerekiyor, çükü bulr teorem değil birer tım m ve u sırsıyl öyle olmslr dhi çok çok büyük bir syı ve çok çok küçük bir syı olrk düşüerek de souç hkkıd bir fikir yürütebilirsiiz. Ylız yukrdki tımlrl işlemler ypmy klkıc grip durumlr d orty çıkmıyor değil. Öreği yukrdki tımlr göre = ve =. Bu durumd syısı mi mü? Htt dh geel olrk = diye = olur ki herhgi bir reel syı olduğud, yi kç olduğu belli olmdığıd, ifdesi belirsizdir. Örekleri çoğltbiliriz: = ve = olduğud = mi diye- ceğiz, yoks = mü? İkisi de olmyck, çükü bu ifde de yı sebepte belirsizdir. ve içermese de bu belirsizliklerle krşılşbiliyoruz. Öreği 0 = 0 ve 0 = 0 olduğud 0 0 belirsizdir. Bitmedi. 0 = ve = olduğuu biliyoruz. Bu durumd 0 ifdesie de söyleecek bir 0 şey klmıyor. O hlde 0 d belirsizler listeside olmlı. Gelelim ifdesie. Be bu d belirsiz diyorum. Siz yoks bu ifdeye bir syı htt düpedüz dir mi diyorsuuz? Öyle diyelerdeseiz şğıdki stırlrı iyi okuyu: Bir içi sizi dediğiiz doğru olsu yi beim eşeğim kcık olsu syısı y diyelim. y = eşitliğide her iki trfı l ii llım. l y = l yi l y = l = 0 olur ki l y belirsiz olduğud y de belirsiz olmlıdır. Demek bir syı değilmiş. 0 ve 0 belirsizliklerie yorumlrı d siz ypıız. Yie logritmd ipucu isteyebilirsiiz. SONSUZA IRAKSAMA m olmk üzere bir ( ) dizisii heme heme her terimi (m, ) rlığıdys dizi ırksr deir ve lim = vey ( ) yzılır. Yzıı bud sorki kısımlrıd yerie kullcğız. Eğer heme heme her terim (, m) rlığıdys dizi ırksr deir ve lim = vey ( ) yzılır. Sözgelimi, ( ) = ( ) olsu. Dizii terimleri isteildiği kdr büyük lıbileceğide yi, şu syıd büyük olmz deemeyeceğide lim = olup, dizii terimleri ırksr. Eğer ( ) = ( 5) ise de yı durum söz kousudur. Yi tüm terimler sosuz ırksıyor. Buu y ( 5) diye y d lim = diye göstereceğiz. Fkt ( ) = ( 5) olsydı, dizii terimleri durmd küçüleceğide htt küçülerek bir reel syıy yklşmycğıd, yi öüe gele her küçük syıd dh küçük olmyı becerebileceğide dizii terimleri ırksr, biz de buu ( 5) diye y d lim = diye yzrk göstereceğiz. Şimdi dizileri ykısklığı ve ırksklığı üzerie birkç teorem verip kıtlycğız. Teorem. Sbit diziler ykısktır. Ykısdıklrı syı dizii geel terimi yi herhgi bir terimidir. = olsu. Sbit dizii tımı ge- Kıt: ( ) ( ) reği dizii her terimi olduğud, dizii terimleri syısı ykısr. lim( ) = olur. Teorem. Ykısk bir dizii her lt dizisi de ykısk olup, üst dizii ykısdığı syıy ykısrlr. Kıt: Bir ( ) dizisi düşüelim. Limiti olsu. O hlde ( ) dizisii heme heme her terimi ( ε, ε) rlığıddır. Şimdi ( ) i lt dizisi ol bir ( b ) dizisi düşüü. ( b ) i her terimi ( ) i de terimi olduğud mecbure ( b ) i her terimi de ( ε, ε) rlığıddır. Bu durumd limiti tımı gereği ( b ) i terimleri de y ykısr ve lim( b ) = olur.

12 Mustf YAĞCI Diziler Teorem. Ykısk iki dizii toplmıı limiti, bu dizileri limitlerii toplmı eşittir. b Kıt: Ykısk ol bşrol dizileri ( ) ve ( ) olsu. Limitlerie de sırsıyl ve b diyelim. O i terimleri ( ε, ε ), bezer hlde ( ) şekilde ( b ) i terimleri (b ε, b ε ) rlığıddır. ( ) ( b) = ( b) olduğuu bildiğimizde ( b ) dizisii terimleri ( b ε ε, b ε ε ) rlığıddır. ε ε = ε dersek, bu rlık ( b ε, b ε) hlii lır ki bu d ( b) dizisii b syısı ykısdığıı kıtıdır. O hlde lim( b ) = b. Teorem. Ykısk iki dizii çrpımı limiti, bu dizileri limitlerii çrpımı eşittir. b Kıt: Ykısk ol diziler yie ( ) ve ( ) olsu. Limitlerie de yie sırsıyl ve b diyelim. i terimleri ( ε, ε ), bezer O hlde ( ) şekilde ( b ) i terimleri (b ε, b ε ) rlığıddır. ( ) ( b) = ( b) olduğuu bildiğimizde ( b ) dizisii terimleri (b bε ε ε ε, b bε ε ε ε ) rlığıddır. ε ve ε syılrıı 0 çok çok ykı seçerek ε ε = ε dersek, bu rlık (b ε, b ε) hlii lır ki bu d ( b) dizisii b syısı ykısdığıı kıtıdır. O hlde lim( b ) = b. Teorem. Ykısk iki dizii bölümüü limiti, bu dizileri limitlerii bölümüe eşittir. Kıt: Buu kıtıı d yukrdkie bezer şekilde siz ypmy çlışıız. Tek frk burd b 0 lımsı zorululuğudur. Teorem. Ykısk bir dizii bir reel syıyl çrpımıı limiti, bu syıyl dizii limitii çrpımı eşittir. Kıt: Limiti ol ( ) ε, ε ) rlığıdys, c ( ) ( c ) dizisii terimleri ( = dizisii terimleri (c c ε, c c ε ) rlığıd olur. c ε = ε deirse bu rlık (c ε, c ε) hlii lır ki, bu d c ( ) dizisii limitii c olduğuu kıtıdır. Teorem. P() ve Q() iki poliom olmk üzere P( ) ( ) = dizisii limiti; Q( ) der P() > der Q() ise, der P() = der Q() ise bşktsyılrı orı, der P() < der Q() ise 0 dır. Kıt: der P() = x ve der Q() = y olsu. P() = p x p x p x p x Q() = q y q y q y q y diyebiliriz. P( ) p p... p p = Q( ) q q... q q = x x x x y y y y x x x (... ) x x y x y = p p p p q q q q p p p p q q q y y (... ) y y x x (... ) x x y y ( q... ) y y Prtez içideki kesirli ifdeleri hepsii limitii sıfır olduğu dikkt ediiz. O hlde x > y x y p ise sosuz ırksycğıd dizii limiti de sosuz olur. Tbi pozitifse, eg- q p q tifse deriz. Eğer x = y ise x y = 0 = olur ki, p bu durumd limit q olur. Eğer x < y ise x y p q ifdesi yukrd prtez içideki kesirli ifdelere bezer ki, o durumd d limit 0 olur. Teorem. Geel terimleri, b ve c ol üç dizi içi b c ve lim = lim c = ise lim b = olur. Kıt: ( ) dizisi ( ) ( c ) dizisii lt dizisidir. ( ) b dizisii, ( ) b dizisi de c ykısk dizi olduğud tüm lt dizilerii limiti de olmlıdır.

13 Mustf YAĞCI Diziler ALT LİMİT ve ÜST LİMİT Bir ( ) dizisii lt dizileri, solu syıd frklı limitlere shipse, bu limitleri e küçüğüe dizii lt limiti, e büyüğüe de dizii üst limiti deir ve sırsıyl lim( ) ve lim( ) şeklide gösterilirler. Eğer bir dizii lt limitiyle üst limiti birbirlerie eşitse dizii limiti vrdır ve o syıdır deir. Yi, lim lim lim. ( ) = ( ) = ( ) π Soru. ( ) = si dizisii vrs lt ve üst limitlerii buluuz. Çözüm: Durum, i tek vey çift olmsı göre değiştiğide olyı iki yrı kold iceleyelim.,,,,... hlide tek syı ise dizi sbit dizi ( ) olur. çiftse dizi sbit olup, ( 0 ) dizisi olur. O hlde lim( ) = ve lim( ) = dir. Bu d bu dizii limitii vr olmdığıı, ırksk olduğuu bir kıtıdır., 0(mod) Soru. Geel terimi =, (mod), (mod) ol dizii vrs lt ve üst limitlerii buluuz. Çözüm: k N olsu. lim( k ) = lim = 0, lim = ( k ) ve lim( k ) = olduğud lim( ) lim( ) = tür. = 0 ve Şimdi kıtlrı oldukç koly ol birkç teorem vereceğiz. Bu teoremler limit hesplrıd sıkç kullılcklrı içi iyi bilimeleri gerekiyor.. x sıfırd frklı bir reel syı olmk üzere ( ) lim( ) lim = ise lim x = x = x dır. ( ). lim( ) = ise lim = lim = dır.. ( ) pozitif terimli bir dizi ve lim = ise lim = dır.. < ise ( ) 5. lim( ) 6. lim = 0 dır.... = ise lim = dır. lim = e dir. 7. lim = e dır. lim = ise 8. ( ) lim( log ) = log( lim ) = log dır. 9. bir reel syı olmk üzere, bir ( ) dizisi içi lim( ) = ise lim( ) = 0 dır. Tersi de doğrudur. SINIRLI DİZİLER N içi M olck biçimde bir M R syısı vrs, ( ) dizisie üstte sıırlıdır deir. M syısı bu dizii bir üst sıırıdır. M syısıd büyük ol her gerçel syı d dizii bir üst sıırıdır. N içi m olck biçimde bir m R syısı vrs ( ) dizisie ltt sıırlıdır deir. m syısıd küçük ol her gerçel syı d dizii bir lt sıırıdır. Hem ltt hem de üstte sıırlı dizilere sıırlı dizi deir. Bşk bir deyişle N içi K olck biçimde K R syısı vrs ( ) dizisie sıırlı dizi deir. Soru. ( ) = ( ) dizisii ltt sıırlı olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( ) = (,, 0,,,,...,,... ) dizisii terimlerie dikkt edilirse de küçük terimi yoktur. Yi N içi olduğud dizi ltt sıırlıdır. Ack dizi üstte sıırlı değildir. Soru. ( ) = ( ) dizisii üstte sıırlı olduğuu gösteriiz. Çözüm: ( ) = (,, 5, 8,...,,... ) olur. N içi olduğud dizi üstte sıırlıdır fkt ltt sıırlı değildir.

14 Mustf YAĞCI Diziler Soru. ( ) = dizisi sıırlı mıdır? Çözüm: Evet, öyledir. ( ) dizisii tüm terimleri iki gerçel syı rsıd kldığıı göstermek yetecektir. Buu gösterelim: ( ) 5 5 ( ) = = = olur. =,,...,,... olduğuu htırlyrk 0< yzbiliriz. Bu durumd 0 < 5 5 olduğud 0 < 5 5 olur ki, burd < yi 7 < buluur. Bu d istediğimiz gibi dizii terimlerii iki reel syı rsıd gezidiğii kıtlr. 7 < olur. O hlde ( ) dizisi sıırlı bir dizidir. 7 syısı bir lt sıır, syısı bir üst sıırdır., 0 (mod) Soru. Geel terimi ( ) =, (mod), (mod) dizisii sıırlı olduğuu gösteriiz. Çözüm: Buu göstermek içi ( ) dizisii,, gibi lt dizilerie yırck ve her birii sıırlı olduğuu göstereceğiz. ( ) = = olduğuu ot edelim. =,,,...,,... olduğu- 7 0 d, 0< ise 0 < yi < < olur, dolyısıyl ( ) sıırlıdır. ( ) = () olduğud ( ) dizisi sbit dizi olup, sıırlı olduğuu dh öce söylemiştik. ( ) = olur. =,,,...,, < < < olur. Yi ( ) dizisi de sıırlıdır. Bu üç lt dizide < yzılbilir. Yi ( ) dizisi sıırlıdır. Sıırlı iki dizii toplmı, frkı ve çrpımı sıırlıdır. ( ) sıırlı bir dizi ise k R olmk üzere (k ) dizisi de sıırlıdır. N içi ( ) ve (b ) dizileri sıırlı ve c b ise (c ) dizisi de sıırlıdır. Bu krşılık iki dizii toplmıd oluş dizi sıırlı vey sıırsız olbilir. Örek. ( ) = () ve (b ) = ( ) dizileri sıırsız iki dizidir. Fkt ( ) (b ) = () ( ) = ( ) = 0 dizisi sbit dizidir ve sıırlıdır. Örek. ( ) = ( ) ve (b ) = ( ) dizileri sıırsızdır. ( b ) = ( ) dizisi de yie sıırsız bir dizi olur. EKÜS - EBAS Üstte sıırlı ( ) dizisii üst sıırlrıı e küçüğüe e küçük üst sıır deir ve EKÜS( ) biçimide gösterilir. Altt sıırlı ( ) dizisii lt sıırlrıı e büyüğüe e büyük lt sıır deir ve EBAS( ) biçimide gösterilir. Örek. ( ) = ( ) dizisii ltt sıırlı olduğuu gösterelim ve e büyük lt sıırı bullım. Çözüm: ( ) = (,, 0,,,,...,,...) olup N içi olduğud dizi ltt sıırlıdır ve de küçük ol her reel syı ( ) dizisii bir lt sıırıdır. syısı bu lt sıırlrı e büyüğü olup, EBAS( ) = dir. Örek. ( ) = ( ) dizisii üstte sıırlı olduğuu gösterelim ve e küçük üst sıırıı bullım. Çözüm: ( ) = (,, 0,,,,...,,... ) olup N içi olduğud ( ) dizisi üstte sıırlıdır. ve de küçük her reel syı ( ) dizisii bir üst sıırıdır. syısı ise üst sıırlrı e küçüğüdür. Yi EKÜS( ) = dir. Örek. ( ) = (( ) ) dizisii EBAS ve EKÜS ü buluuz.

15 Mustf YAĞCI Diziler Çözüm: Dizii elemlrıı liste yötemiyle yzrsk; ( ) = (,,,,..., ( ),...) olur. Dizii terimleri sdece ve syılrıd oluştuğu içi EBAS( ) =, EKÜS( ) = olur. Örek. ( ) = dizisii EBAS ve EKÜS 5 ü buluuz. Çözüm: 5 = = < < < olur. O zm; EBAS( ) =, EKÜS( ) = 7 dir. Dikkt edilirse burd EKÜS( ) = ( ) olduğud EKÜS dizii bir elemı değildir. Dolyısıyl bu dizii e büyük ögesi yoktur. Fkt ( ) olduğud EBAS diziye ittir ve 7 dizii e küçük öğesi dir. 7 b Not. Geel terimi = tipide ol dizii c d EBAS ve EKÜS üü bulmk içi şğıdki yol izleebilir. d ) Pydı kökü > ise dizi mooto değildir. Bu durumd ye e ykı ol iki tm c d c syı p ve p ise, p ve p syılrıd büyüğü dizii EKÜS ü, küçüğü EBAS ıdır. d b) < içi dizi mootodur. Bu durumd c b = c d ve c syılrıd büyük ol EKÜS, küçük ol EBAS tır. 5 Soru. ( ) = dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. Çözüm: = 0 olduğud = buluur. < olduğud dizi mootodur. 5 = = 7 ve EKÜS( ) = olur. c = diye EBAS( ) =, 7 5 Soru. ( ) = dizisii EKÜS ve EBAS 6 değerlerii buluuz. Çözüm: 6 = 0 dersek, = 6 buluruz. > olduğud dizi mooto değildir. 6 5, = olduğud bu syıy e ykı iki tm syı 5 ve 6 dır. Öyle ise 5 ve 6 terimlerie bkılır. 5 = 0 ve 6 = olup EBAS( ) = 0 ve EKÜS( ) = olur. ( ) Soru. ( ) = dizisii EBAS ve EKÜS üü buluuz. Çözüm: = k içi dizii tüm terimleri pozitif, = k içi ise egtiftir. Dizii k ve k lt dizilerie bklım: k k = = k k 0 < k k < olur. k k = = k k 0 < k < k olur. k < ve < k N içi < < dir. Burd EKÜS( ) =, EBAS( ) = dir. Teorem. Sıırlı ve mooto rt her dizi ykısktır. Kıt: Sıırlı ve mooto rt bir ( ) dizisi içi EKÜS( ) = olsu. Her ε> 0 içi ε< olck şekilde bir ε vrdır. Dizi mo- ε 5

16 Mustf YAĞCI Diziler oto rt olduğud, > ε ise > ε olur. Bu durumd > ε ε< ε< 0 vey ε< < ε < ε olur ki bu, dizii y ykısdığıı gösterir. Yi dizi EKÜS üe ykısr. Siz de sıırlı ve mooto zl bir dizii EBAS ı ykısdığıı kıtlybilirsiiz. Teorem. Ykısk her dizi sıırlıdır. ise m M olck şekilde m Kıt: ( ) vey M syılrıı vrlığıı göstereceğiz. lim = ise dizii sosuz syıdki terimi ı ε komşuluğud olup, bulrı m gibi bir e küçük ve M gibi bir e büyük elemı vrdır. Bu göre, her N içi m M yzılbilir. sıırlıdır. O hlde ( ) Bu durumd şöyle bir souç çıkrmk mümkü olur: Sıırlı ve mooto rt bir dizii ilk terimi, dizii EBAS ı, limitiyse dizii EKÜS üdür. Sıırlı ve mooto zl bir dizii ilk terimi, dizii EKÜS ü, limitiyse dizii EBAS ıdır. Soru. ( ) kçtır? = dizisii EBAS ve EKÜS ü Çözüm: lim( ) = olduğud ( ) ykısktır. d bc = ( ) = < 0 olduğud dizi mooto zldır. Bu edele EBAS( ) = ve EKÜS( ) = = = dir. Soru. ( ) = dizisii EBAS ve EKÜS ü 5 kçtır? Çözüm: lim( ) = olduğud ( ) ykısktır. d bc = 0 0 = 0 < 0 olduğud dizi 5 mooto zldır. Bu edele EBAS( ) = ve 5 EKÜS( ) = = = dir. 5 5 Soru. ( ) kçtır? = dizisii EBAS ve EKÜS ü Çözüm: lim( ) = olduğud ( ) ykısktır. d bc = ( ) = 5 > 0 olduğud dizi mooto rtdır. Bu edele EBAS( ) = = = ve EKÜS( ) = dir. ( ) ( ) Soru. Geel terimi = ol dizii EKÜS ve EBAS ıı buluuz. Çözüm: ( ) syısı i tek ve çift olmsı göre değişik değerler ldığıd ( ve ), olyı iki yrı dld icelemekte fyd vr. Öce k N olmk üzere = k diyelim. Bu durumd k = = olur. Pyd- k ( ) (8k ) 8k k k ı kökü de küçük olduğud dizi mootodur yrıc d zldır. O hlde < k olur. 9 Şimdi = k olsu. Bu durumd k ( ) (8k ) 8k k = = k k olur. Yie pydı kökü de küçük olduğud dizi mootodur m bu sefer rtdır. O hlde k < yzbiliriz. 5 5 Demek ki ( ) dizisii terimleri ile 9 kplı rlığıd değerler lıyor. EBAS( 5 ) = 9 ve EKÜS( ) = olur. 6