ANALİZ III DERS NOTLARI. Prof. Dr. Nurettin ERGUN

Transkript

1 ANALİZ III DERS NOTLARI Prof. Dr. Nuretti ERGUN

2

3 İ Ç İ N D E K İ L E R Syf No BÖLÜM Foksiyo Dizi ve Serileri... BÖLÜM Fourier Serileri... BÖLÜM 3 Özge Olmy Tümlevler...48 BÖLÜM 4 Dik Poliom Serileri...7 i

4 T e ş e k k ü r Mrmr Üiversiteside so yıllrd düzeli olrk verdiğim Aliz III dersii ders otlrı, öğrecileri yrrlmsı mcıyl burd birry getirilmektedir. El yzmsı meti Lte de öze ve titizlikle yz sevgili öğrecim Doç.Dr. Fruk Uçr ile Durmuş Albyrk ve bu otlr yzılırke gösterdiği destek ve sbır içi sevgili eşim Ysemi Ergu içtelikle teşekkür ederim. Bu otlrı, bbmı sevgili küçük krdeşi ol, yşm 99 yılıd heüz yşıd ved ede, kedisii mhzu fotogrflrıd tıdığım,oul yı dı tşıdığım sevgili mcm H.Nuretti e ithf ederim. Nuretti Ergu Arlık 4 Doğı muzzm kitbıı dili mtemtikdir. Glileo Glilei ii

5 Bölüm Foksiyo Dizi ve Serileri Foksiyo dizileride belli bşlı iki tür ykısklık vrdır: Noktsl ykısm ve düzgü ykısm. Bu bölümde bu kvrmlrl ilgileeceğiz. Öce gerekli olduğu içi supremum ve ifimum bilgilerii ımsylım ve örekler verelim. Bilidiği gibi, A R lt kümesi verildiğide, ck ve ylız i α A, ii ε >, ε A, α ε < ε koşullrıı gerçekleye bir α R gerçel syısı vrs tımlbilirse sup A eküs A α yzılır. i koşulu α R gerçel syısıı A kümesii bir üst sıırı olduğuu, ii koşulu ise od dh küçük hiçbir gerçel syıı A içi bir üst sıır olmdığıı söyler, çükü y < α ise uygu bir ε > içi y < y + ε < α ε bulrk dikkt : < ε < α y lmk yeterlidir ve ii kullılrk y < α ε < gerçekleye e z bir A vrdır, y gerçel syısıı A içi bir üst sıır olmdığı lşılır, böylelikle α gerçel syısı A kümesii üst sıırlrıı e küçüğü olur. Bu krşılık, eğer, her M > içi M A, M < M oluyors, hiçbir gerçel syı A kümesii bir üst sıırı olmz, çükü bu so koşul gereği, her y R içi y < y + < y olck biçimde e z bir ve slıd sosuz te y A vrdır; ck bu durumd sup A + yzılır. Öte yd iii β A, iv ε >, ε A, ε < β + ε koşullrıı gerçekleye bir β R vrs if A ebs A β yzılır. R. Dedekid i ülü teoremi kıtlmsı çok ciddi bir iştir boşt frklı ve üstte sıırlı tüm A R lt kümelerii tek türlü belirleebile bir supremumuu ve bezer biçimde boşt frklı ve ltt sıırlı lt kümeleri de ifimumuu vr olduğuu söylemektedir. Eğer A R lt kümesi içi γ A koşuluu gerçekleye bir γ R vrs, Dedekid Teoremi gereği vr ve iyi tımlı ol sup A α A R içi α A γ geçerlidir, çükü eğer tm tersie γ < α A olsydı ε R +, γ +ε < α A ε böylece A, γ < γ +ε < α A ε < γ çelişkisi doğrdı. Demek ki γ A bilgiside sup A γ soucu, bezer biçimde β A bilgiside de β if A soucu çıkrsır. Şimdi bzı kümeleri supremum ve ifimumlrıı belirleyelim. Örek: sup N + geçerlidir, çükü N kümesi üstte sıırlmz, gerçekte eğer Koş: R,

6 N koşulu gerçekleşseydi souçt Koş : + N böylece N buluur, yi gerçel syısı ve bezer biçimde gerçel syısı,... N kümesi içi birer üst sıır olur, supremum özelliğie ship R kümeside N kümesii e küçük üst sıırı sl belirleemezdi, çelişki! Bu gözlemde şu öemli souçlr çıkr. Arşimet İlkesi: R, N, < olur. Bu yukrıdki kıtlmı koly bir soucudur ve dikkt edilirse şğıdki ilke elde edilir: Tım Arşimet İlkesi: y R, R +,,y N, y < olur. Gerçekte bu souç y gerçel syısı yukrıdki ilke uygulrk kolyc buluur. Okuyucu yukrıdki ilkeleri birbirie eşdeğer olduğuu kolyc gösterebilmelidir. Temel Bilgi: lim geçerlidir, çükü herhgi < ε verildiğide Arşimet İlkesi ile ε N, < ε ε ε ε böylece < < ε ε buluur, buys isteedir. Yrdımcı Teorem : Gerek Q gerekse R Q kümeleri gerçel syılr kümeside yoğudurlr. İspt: Öce < y gerçekleye ve y gerçel syılrı e olurs olsu, e z bir r Q rsyoel syısıı < r < y gerçeklediğii Arşimet İlkesi kullrk gözleyelim. Öce < y uutmd bu ilke gereği < y yi + < y gerçekleye N ve sor < N gerçekleye N N doğl syılrı vr, böylece Z {k Z : < k} Z lt kümesi N Z edeiyle boş olmdığıd ve gerçel syısı ile ltt sıırlı olduğud şğıd yer l bilgi edeiyle iyi tımlı ol k mi Z Z Z tm syısı syeside r k rsyoel syısı < r < y gerçekler, çükü Z kümesii e küçük elemı k olduğud k / Z fkt k Z edeiyle hem k < k hem de < k + < y böylece istee < k r < y soucu buluur. Öte yd k < k gerçekleye k ve k tm syılrı e olurs olsu k < q < k gerçekleye e z bir q R Q vrdır, çükü k < k + q < k + k olmktdır ve q k + / Q gerçekler ede?, o hlde < y gerçekleye ve y gerçel syılrı krşılık öce < r < r < y gerçekleye r i k i i i, rsyoel syılrı ve z öce gözlediği gibi k < q < k greçekleye q irrsyoel syısı vr böylece < r < q q < r < y buluur ve q irrsyoel olup < q < y gerçekler. Bilgi: Z tm syılr kümesii boşt frklı ve ltt sıırlı her lt kümesii miiml elemı iyi tımlıdır. Gerçekte A Z içi eğer A N ise bu iddi bilimektedir, yok eğer A N ise A kümeside, ltt sıırlı olduğu içi, sdece solu te egtif tm syı bulubileceğide olrı e küçüğü pçık

7 biçimde mi A elemıdır ede? Ayrıc dikkt edilirse m, ] Z [] Z tm syısı herbir R içi iyi tımlıdır. Gerçekte A, ] Z Z kümeside gerçel syısıd büyük olmy tüm tm syılr ve ylızc olr yer lır, üstelik Arşimet İlkesi edeiyle N, < < + < + < gerçekleştiğide < + < + < < geçerlidir, böylece A kümeside sosuz te tm syı yer lır, bu küme R ile üstte sıırlı olduğud kesilikle β sup A gerçel syısı iyi tımlıdır, oys Topoloji dersleride bir A Z lt kümesi içi eğer sup A R gerçel syısı iyi tımlı ise yi A kümesi üstte sıırlı ise sup A A böylece sup A m A gerçekleştiği gösterildiğide β A, ] Z Z olduğu lşılır, bu özel tm syı [] işreti ile yzılır ve bilidiği gibi gerçel syısıı tm kısmı dıı lır. tımıd kolyc < [] < [] + R eşitsizlikleri elde edilir sıl?. Demek ki her gerçel syı iki uygu rdışık tm syıı rsıd yer lır, üstelik / Z ise < [] < < [] + eşitsizlikleri buluur. Örekler : A { [ ] : N} içi mi A böylece + + < + + q ξ ve her N içi + 3 < < bulup kök lıırs ξ ξ + < < lim ξ olduğud ε >, ε N, ε < ξ + < [ + + ] A < ε ve böylelikle sup A 3

8 buluur. Siz her N içi q + 3 gerçel syılrıı tımlyıp dikkt: < içi q R Q gözleyiiz. E {q [q ] : N} [, ] lt kümesi içi sup E, mi E gösteriiz. Buu içi q q < q + N ve q < N gözleyiiz B { + m :, m N, m} içi m B 3 ve if B gösteri. Dikkt: m içi r,m + m r m, yzılırs kolyc her N ve her m > içi r,m r, 3 m B gözleir, çükü m + böylece r,m + m N geçerlidir. Ayrıc her N içi B {r,m : m > } tımlırs B B ve m B r,+ + + > r +,+ m B + gözleyip m B m B r, 3 buluur. ε >, ε N, < ε ε yi < ε < ε olduğud Arşimet İlkesii kullı + ε ε + < ε + ε ε olur. Her, m N içi zte < + olduğud bu souç pçık biçimde if B verir. m m 3, m N içi r,m + + m olsu. sup{r,m :, m N} ve if{r,m :, m N} edir. r, 3 m m + m + + m r,m edeiyle r ifimum r, 3 olur. Öte yd r, + > 3 N gözleyip + sup{r,m :, m N} sup{r, : N} sup{ 3 : N} + edeiyle r supremum + olur. 4 f + R+ ise sup fr + sup R + f +, if fr + olur, çükü if fr + mi fr + mi R + f f olur. Dikkt: Her R+ içi < < + ve böylece + gözleyiiz. 5 g + R + ise sup gr + + olur, çükü her N içi < bilgisiyle M >, M N, M < M < M < g M olur. Ayrıc ülü b + b, b R + eşitsizliği kullılırs g + + f f f 4 g if gr + g 4 olur. 6 sup, çükü her, içi < < ve souçt < ε < verildiğide ε < y ε <, gerçekleye y ε R + syeside ε y ε tımlırs, kolyc < ε < ε < olur, böylelikle ε,, ε,, ε < ε < buluur, bu isteedir. Siz sup gösteriiz., 7 A {cos : N} {cos, cos, cos 3,...} [, ] kümesi içi if A < sup A geçerlidir, çükü slıd A {cosπ + k : k Z} {cos k : k Z} {cos : N} {} A {} kümesi birzd göreceğimiz ülü Dirichlet Teoremi i koly bir soucu olrk [, ] rlığıd yoğu olduğud, yi < y gerçel syılrı e olurs olsu, y rlığıd A kümeside sosuz syıd elem yer ldığıd,, y rlığıd A kümeside de sosuz syıd gerçel syı yer lır bkz. Yrdımcı Teorem, bu edele < ε < e olurs olsu cos < + ε < 4

9 < ε < cos N gerçekleye sosuz te ve N doğl syısı vrdır, bu souç ise isteei verir. Dikkt: A kümesii elemlrı ikişer ikişer frklıdır, çükü < y gerçel syılrıı cos cos y gerçekleyebilmesi içi y uygu bir k Z içi y k π y d uyguı bir k Z içi k π y k π olmsı gerektiğide ede? r < r gerçekleye r, r rsyoel syılrı e olurs olsu, sl cos r cos r gerçekleşmez ede?. 8 A, ve sup A γ A R olsu. Aşğıdki gerçekleşir gösteriiz: sup {l : A} lγ A Gerçekte her A içi < γ A böylece l lγ A olur. Ayrıc her ε > içi < e ε böylece γ A e ε < γ A ve γ A sup A olduğud δ ε >, ε A böylece logritm rt olduğud istee buluur: γ A e ε + δ ε < γ A δ ε < ε γa γa lγ A ε l e ε < l e ε + δ ε < l ε. Temel Bilgi: Sbit < < gerçel syısı e olurs olsu, şğıdki A kümesi R kümeside yoğudur: A {k : k Z, N}. Gerçekte < y gerçel syılrı verildiğide, uygu bir k Z ve N içi < k < y gözlemek güç değildir, çükü < δ y syeside + edeiyle N N, < < δ N olur; böylece sbit bir > N doğl syısı seçerek, Arşimet İlkesiyle m N, < m buluur, böylelikle m Λ {k Z : < k } gözleyip, syf deki Bilgi kullılrk, kesilikle k mi Λ Λ tm syısı iyi tımlıdır, k / Λ olduğud k < k < y buluur, dikkt edilirse, eğer y k olsydı k < y k ve souçt < δ y k k çelişkisi doğrdı! Ödev: {ε } dizisi ε + gerçeklesi. Gösteriiz: A {kε : k Z, N} kümesi R kümeside yoğudur. Tım : A R lt kümesi ve f : A R N gerçel değerli foksiyolrı verilsi. A kümesii A { A : {f } dizisi ykısk} { A : l R, lim f l } kümesi boşt frklı ise l A biçimide tıml foksiyo, dh çık biçimde f l 5

10 lim f A gerçekler ve f gerçel değerli foksiyou {f } foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou deilir. T f A olduğu dikkt edilmelidir. Örekler Şu temel bilgileri tzeleyerek bşlylım: Her, içi lim ve her, içise lim + geçelidir. Gerçekte, yi < ise, uygu bir ε > syısı syeside < N, bu krşılık < ise, bu kez uygu bir δ > syeside δ < N ε geçerlidir, çükü < ise ε >, < + ε < ε < böylece < + ε + ε + ε < N buluur çükü ε + ε ε < ve ε > ε olduğud her N içi + ε + k k ε k > + ε > ε > böylece hem ε < hem de + ε + ε < N buluur, souçt < N ε ε eşitsizliklerii kullrk ülü Sıkıştırm Lemmsı yrdımıyl istee lim lim soucu çıkrsır. Bu krşılık < ise bu kez δ >, < + δ < δ < böylece δ < + δ < N bulrk lim + buluur. O hlde f si [, ], N biçimide tıml {f } foksiyo dizisii oktsl limiti f [, ve f gerçekleye böylece f f edeiyle süreksiz ol f foksiyoudur, çükü her [, ] içi ve her N içi < π olduğud si geçerli olup, ülü si y y y R bilgisiyle şğıdkiler buluur: f si si f si [,, N si N böylece f lim f oktsl limit foksiyou içi isteeler elde edilir. Uyrı : Demek ki sürekli foksiyolrı oktsl limit foksiyou süreksiz olbilmektedir. A [, ] ve f A, N ise, her > içi lim + olduğu, kıscsı herbir, ] içi {f } dizisi ykısk olmdığı içi A [, ] olur ve kolyc f lim f oktsl limit foksiyou şğıdki foksiyodur ve f foksiyou oktsıd süreksizdir: f lim f ; [, ; 3 A R ve g + A, N ise g lim g oktsl limit foksiyou tüm A kümeside tımlı ve g lim g lim + e A gerçekler. 6

11 Gerçekte öcelikle herhgi R içi lim l g gerçeklediğii göstermek kolydır, çükü dikkt edilirse Arşimet İlkesi ile N, < böylece < yi < g ve şğıdki 7 öreğide gösterileceği gibi + <. l + l g <., < l g < + + olduğud her iki yd limit lrk istee buluur. Burd e lim g çıkrsır. 4 A [, ] ve h si π A, N ise A {, } olur, çükü her, gerçel syısı içi {h } dizisi ırksktır. Gerçekte r Q ise r olck biçimde rlrıd sl ve N { N doğl syılrı vrdır ve {h r} si π } dizisii, iki frklı limite ykısy iki lt dizisi vr N olduğud bu dizi ırksr bilidiği gibi bir { } gerçel syı dizisi ykısk ve sözgelimi lim l ise, bu dizii herhgi bir { m } m lt dizisi de lim m m l gerçekler. Dikkt edilirse her N içi N π h N r si si π böylece N h N r h N r h 3N r, h N +r h 4N +r h 6N +r si πr > olur, sözgelimi h N +r si N +π N si π + πr si πr > olur, çükü < πr < π geçerlidir, kıscsı {h N r} lt dizisi sıfır, bu krşılık {h N +r} lt dizisi pozitif si πr syısı ykısr. Öte yd herhgi bir q R Q [, ] irrsyoel syısı içi {h q} {si πq} sıırlı dizisii ırksmsı iddisı çok ciddidir ve Dirichlet i şğıd yzılı teoremi yrdımıyl gösterilir. Apçık biçimde her A {, } içi h lim h olur. ; [, 5 A [, ] ve f + ; [, ] A, N ise f lim f oktsl limit foksiyou f A gerçekler, çükü herbir A içi lim f olur, çükü lıdığıd, her N içi [, ve f edeiyle f lim f olur; herhgi, ] lıdığıd Arşimet İlkesi ile N, < 7

12 ve dolyısıyl, ] gözleyip bu içi f + > böylelikle f lim +, ] buluur, burd so dımd bir { } dizisi, eğer ykısk bir { } dizisi rcılığıyl gerçeklerse lim lim olur, bilgisi kullılmıştır, erede?. Dikkt edilirse her [, ] ve her N içi, ister [, [ isterse, ] olsu f gözleyerek de lim f soucu buluur. 6 A R ve p 3 3! + 5 5! A, N poliom dizisii! oktsl limit foksiyouu lim p si A olduğu ilerde gözleecektir. 7 R +, N içi f yzılsı. R + içi f lim f oktsl limit foksiyou tımlıdır, vrdır. Buu içi öce şu temel bilgileri gözleyelim: Bilgi : Her N içi, çrpımlrı ol te pozitif gerçel syıı toplmı gerçekler. Gerçekte iddi içi pçıktır, iddi içi doğru vrsyıldığıd + gerçekleye k pozitif gerçel syılrı içi olur, çükü içleride e z birisi ise iddi ici dım vrsyımıd elde edilir, sözgelimi ise edeiyle, bu so çrpım ktıl çrp syısı olduğud, ici dım vrsyımı ile ve souçt buluur. Eğer k pozitif syılrıd hiçbirisi değilse, tümü k < y d tümü < k gerçekleyemeyeceğide ede? i < < k gerçekleye i ve k vrdır sözgelimi < < + olsu. Souçt 3 + ve ici dım vrsyımı ile ve her y ekleyip buluur çükü < + ve < edeiyle < + yi + + < + + olur. O hlde Bilgi tümevrıml gösterilmiştir. Dikkt: Eğer ve çrpım ktıllrd e z birisi de frklıys sözü edile toplm > gerçekler. Bu iddi Bilgi kullılrk tümevrıml gösterilir sıl?. Bilgi : Solu syıd pozitif gerçel syıı geometrik ortlmsı ritmetik ortlmsıd büyük olmz. Gerçekte,,, pozitif gerçel syılrı içi, Bilgi yrdımıyl k k olur, çükü sğ ydki toplm ktıllrı hepsi pozitif ve çrpımlrı olmktdır. Dolyısıyl şu çıkrsır: k k

13 Üstelik k lrd birisi k yi k gerçeklerse so eşitsizlik biçimii lır ede?. < O hlde herhgi > verildiğide bu so gözlem yrdımıyl, üstelik < N ve + + edeiyle + + < + + ve böylelikle < + + < N bulrk ltt sıırlı { } zl dizisii ykısdığı lşılır. Demek ki > ise lim l R vrdır tımlıdır. içi, bu dizii tüm terimleri ve souçt limiti olur., ise [ ] N ve birz öce gözlediği gibi, > edeiyle köşeli prtez içideki dizii limiti vr olduğud { } dizisi < < durumud d ykısmktdır. Demek ki gerçekte R + içi f lim f lim oktsl limit foksiyou iyi tımlıdır. Mtemtikte bu f oktsl limit foksiyou doğl logritm foksiyou deilir, kıscsı şğıdki geçerlidir: l lim R + Dikkt edilirse, y R + pozitif gerçel syılrı e olurs olsu, y R + ve souçt yukrıdki tım kullılrk l y lim y lim y y + y lim y + lim y l + ly buluur, çükü iyi bilidiği gibi, her R + içi lim lim bilgisiyle yukrıdki ilk 9

14 limit l olur. Bu koud so olrk şuu gözleyelim : < ise < l çükü < l + > + geçerlidir. Dikkt edilirse ise böylece < içi < + olup bu so özdeşlikte ve limit lıp < < + < + + N < +, l + lim + buluur. O hlde < ise δ > syeside şu souç buluur. l l + δ δ +δ >. Doğl logritm foksiyouu tüm özellikleri tımıd çıkrsır. Bulrı Aliz I dersleride ypıldığıı vrsyıyoruz. 8 Her > içi lim + olur. Çözüm: Gerçekte ε >, < + ε < ε < böylece her içi böylece ile bölerek ε ε < + < ε + k ε k + ε < k gözleyip içi limit lıp istee buluur. Yrdımcı Teorem : A [, b] lt kümesi [, b] rlığıd yoğu ise < y b gerçekleye her, y gerçel syı çiftii rsıd A kümeside sosuz syıd okt vrdır. Kıtlm: A kümesii yoğu olmsıı gereği olrk öce < < y gerçekleye A elmıı, sor bezer gerekçeyle < 3 < gerçekleye 3 A ile < < y gerçekleye A elemıı belirleme işlemii tümevrıml sürdürerek, souçt < < + < < 3 < < < 4 < < < + < < y gerçekleye, A gerçel syılrı her N içi belirleir, böylece, y A kesişim kümeside, ikişer ikişer frklı ol, e z syılbilir sosuz te A elemı bulumuş olur. Yrdımcı Teorem 3: Bir { : N} kümesi [, b] rlığıd yoğus, herbir [, b] gerçel syısı, { } dizisii uygu bir lt dizisii limitidir. Kıtlm: Kıslık mcıyl A { : N} {,,...} yzlım. Herhgi bir [, b] lısı, öce vr olduğud < δ < ε δ

15 pozitif syısı içi hem δ < ε hem de δ < δ ve böylece < + δ < + ε < gözleyip bu kez < < + δ < + δ gerçekleecek biçimde bir > doğl syısı ve A vrdır, çükü, + δ A kesişimi sosuz elemlı olduğud bu kesişim kümeside +, +, +3,... elemlrıd sosuz tesi buluur Dikkt: < + δ < gözleyiiz. Sor + ε < ε ve < δ 3 < ε δ 3 syılrı rcılığıyl, +δ 3 A kesişim kümeside sosuz elem buluduğud, e z bir 3 > içi 3, + δ 3 A vrdır, < 3 < + δ 3 < + δ 3 ve 3 < + δ 3 < + ε < gözleyiiz. Bu işlem tümevrıml sürdürülürse her m N içi < m < + δ m ve m < m+ ve m+ < m olck biçimde m A elemlrı tımlır ve < m < + δ m N eşitsizlikleri m kullılıp limit lırk, zl { m } m lt dizisi içi lim m m buluur. b içi bu kez rtrk b gerçel syısı ykısy bir lt dizi tımlır. Bitti! Teorem Dirichlet Teoremi: Sbit q R Q verilsi. Eğer q ve gerçel syılrı Q üzeride lieer bğımsız iseler A q, {q + k : N, k Z} kümesi gerçel syılrı yoğu bir kümesidir. Kıtlm: q ve syılrıı Q cismi üzeride lieer bğımsız olmsı demek, r, r Q rsyoel syılrı içi ck ve ylız, r r olduğud r q + r gerçeklemesi demektir. Herhgi bir irrsyoel syı ile, sıfırd frklı herhgi bir rsyoel syıı bu itelikte olduğu ve yrıc A q, A q, olduğu dikkt ediiz., çükü q + k A q, içi q + k q + k A q, gözlemek yeterlidir. Dolyısıyl, geelliği bozmksızı > vrsybiliriz, çükü < ise A q, kümesii yoğu olduğu gösterildiğide A q, kümesii yoğu olduğu gösterilmiş olur. Demek ki > olmktdır ve [ ] q k Z N tm kısım değerleri her N içi k q < k + ve k q < k + gerçekler. O hlde δ q k A q, N gerçel syılrı < δ < N ve yrıc m içi δ δ m gerçekler, çükü δ δ m mq + k m k olur, çükü ı ktsyısı sıfır olsu y d olmsı q ı ktsyısı sıfır değildir. Dikkt: < m ve N N, k Z ise Nδ m δ + k Nm q + k + Nk k m A q, gözlemi gözlemelidir. Şimdi, herhgi iki frklı gerçel syı rsıd A q, buluduğuu göstermek istiyoruz. Bu eşdeğer iddi şğıdkidir: kümeside e z bir elem R, ε >, ε, + ε A q,.

16 O hlde R, ε > verilsi. Ülü Arşimed İlkesi : R, y R +,, y N, < y kullılrk < ε ε ve < gerçekleye ε ve doğl syılrıı belirlersek < < [ + olur. Oys [, [, ε [ ε, ε ε ε, birleşimide, birleşime ktıl rlıklr ikişerli yrık ve syılrı tm ε te, bu krşılık, hepsi pozitif ol δ, δ,..., δ ε, δ ε+ ε + tedir, üstelik < δ < N böylelikle < δ [ k ε, k ε tümü, [, ε k [ k ε, k ε rlığıı elemı olur çükü ksi hlde herbir I k gerçel syılrı < N olduğud, bulrı kümesii elemıdır, souçt bulrd e z iki tesi yı bir [ k ε, k ε rlığıd bulrd e fzl bir te ve souçt [, rlığıd bulrd e fzl ε te buluurdu, oys bu kesirler tm ε + tedir; [ k ε, k ε yi hem k ε δ < k ε hem de dolyısıyl < m ε + olmk üzere δ, δm < k ε ve böylece δ δm ε yi δ δ m < ε olur. k ε δm Şimdi irdelemesi gereke iki durum vrdır: Durum : δ < δ m ise < + [ ] + olur, N tm kısmı N + < N + δ m δ δ m δ δ m δ gerçekler ve ξ N + δ m δ A q, içi Nδ m δ + < N + δ m δ ve < ξ < + ε yi ξ, + ε A q, ε, + ε A q, olur, çükü Nδ m δ edeiyle ξ Nδ m δ + δ m δ + δ m δ + δ m δ < + ε geçerlidir ve ξ > pçıktır. Durum : δ m < δ ise, bu kez < ve δ m δ < ve < [ ] gözleyip N δ m δ δ m δ içi N + δ m δ < N δ m δ ve N olur, < m edeiyle, yukrd gözlediği gibi ξ N + δ m δ + A q, gerçekleye ξ gerçel syısı içi ε < δ δ m +δ m δ < N δ m δ +δ m δ + ξ < yi ξ ε, A q, ε, +ε A q, olur. Her iki durumd d ε, + ε A q, bulumuştur, kıscsı A q, kümesi yoğudur. Souç : Her q irrsyoel syısı içi, Dirichlet Teoremi A π,πq {π + kπq : N, k Z} kümesii gerçel syılrd yoğu olduğuu söyler, çükü π irrsyoel syısı ile πq syısı Q üzeride lieer bğımsızdır ede?. O hlde bu yoğu kümei sürekli siüs foksiyou ltıdki görütüsü ol ε E {siπ + kπq : N, k Z} {si kπq : k Z} {, si πq, si πq,...} kümesi de [, ] rlığıd yoğudur, böylelikle [, ] rlığıdki her gerçel syıy, bu kümede seçile ikişer ikişer frklı terimlerde oluş ykısk bir dizi ykısr. Bu edele {si πq } dizisi kesilikle

17 ırksr, çükü eğer ykıssydı, l lim si πq gerçel syısı tımlı olur dikkt: her N içi si πq edeiyle l [, ] gözleyiiz. ve E kümesii elemlrıyl, ylızc l ve l gerçel syılrı ykısbilirdi, çükü {si πq } dizisii tüm lt dizileri l ve { si πq } dizisii tüm lt dizleri ise l syısı ykısr ve sosuz terimi birici dizide, sosuz terimi ise ikicide seçilmiş tüm dizilerse ırksktır ede?. Bezer biçimde q irrsyoel syısı e olurs olsu {cos πq } dizisi ırksr, çükü {cosπ + kπq : N, k Z} {cos kπq : k Z} {cos πq : } kümesi [, ] rlığıd yoğudur. Ödev: Q rsyoel syısı e olurs olsu, her [, ] gerçel syısı krşılık, doğl syılrı öyle uygu bir rt < < 3 < < m < m+ < dizisi vrdır ki lim cos m gerçekleşir. Dikkt: Yukrdki örek 8 i dh geeli şğıdki souçtur: lim +,, R Çözüm: içi iddi pçık olduğud, < durumu irdeleecektir. Arşimet İlkesiyle m N, < + < m ve < edeiyle δ >, + δ < geçerlidir. m gözleyiiz. Dikkt edilirse her m içi ve üstelik m > + δ.δ m δm m!.m k δ k >.δ m k m.. m m olduğud, kıslık mcıyl, sdece > sbiti ile gerçel syısı bğlı şğıdki M δm m! > pozitif sbitii tımlyıp m > + edeiyle m >. gözleyerek kolyc > M.b.. m 3

18 buluur, burd pçıktır ki, herbir m içi b.. m m.... m.. m yzılmıştır ve sğ yd çrpım ktıl tm m te yi sbit syıd terim vrdır. Böylece lim M b M > ve > M.b. m olduğud istee souç çıkr. Uyrı: Bu soru dh koly bir biçimde, bu Bölüm de ilerde gösterilecek ol şu temel bilgiyle çözülür: Bilgi: Eğer pozitif terimli { } dizisi içi gerçekleşir. lim + < lim + < ise lim, ise lim + Yukrdki sorud < ve N içi > biçimide tıml dizi pçıktır ki ikicisii gerçekler! Uyrı: İleri düzeyde Aliz kitplrıd her > içi, ülü Guss bğıtısı lim! e t.t dt ı isptıı okuyuuz! Sğ yd yer l özge olmy Riem tümlevi Γ ile yzılır, bkz Bölüm3. Uyrılr: Sürekli foksiyolrı oktsl limit foksiyou süreksiz olbilir, buu içi Örek. e bkmk yeterlidir. Bu örekte f poliomlrı sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou f f gerçeklediği içi süreksizdir. Bilidiği gibi, bir f foksiyou içi, ck ve ylız lim ε, f l R koşulu gerçeklediğide, f foksiyouu oktsıdki sol limiti vrdır deilir ve f l yzılır. 4

19 f + sğ limiti bezer biçimde tımlır. Aliz i e temel teoremleride birisi şu temel gerçeği söyler: f foksiyouu T f oktsıd sürekli olbilmesi içi gyk f f f + eşitliklerii geçerli olmsıdır. Süreksiz foksiyolrı oktsl limit foksiyou sürekli olbilir. Gerçekte Örek.5 de tıml f foksiyou r rsyoel syısıd f r + f r + gerçeklediği içi süreksizdir. Oys {f } süreksiz foksiyolrıı oktsl limit foksiyou A [, ] içi f lim f gerçekler, sbit foksiyodur, süreklidir. 3 Sürekli sıırlı foksiyolrı oktsl limit foksiyou sıırsız olbilir. Gerçekte bilidiği gibi, ck ve ylız şğıdki eşdeğer koşullrd birisii gerçekleye bir f gerçel değerli foksiyou sıırlı foksiyo deilir: Koşul :, b R, , ft f [ M, M]. Birici koşulu yerie < b ve f b T f, ikici koşulu yerie f M T f yzılbilir. Dikkt edilirse Koşul geçerli ise M ve b M lrk Koşul i geçerli olduğu, tersie Koşul geçerliyse M b m{, b } tımlyrk M f b b M ve böylelikle M f M T f yi f M T f ;, ] buluur kıscsı Koşul elde edilir. Şimdi A, ] ve f ; [ A, N, ] olsu. Dikkt: f f + N ve f, ] [, ] N edeiyle tüm f foksiyolrı sürekli ve sıırlıdır. Oys herbir A, ] +, ] içi, tıpkı Örek.4 ypıldığı gibi N, [, ] > ve f > edeiyle f lim f A buluur. Bu oktsl limit foksiyou sıırsızdır, çükü zte f A olduğud f M A gerçekleecek biçimde M > sbiti yoktur, çükü M > e olurs olsu M M +, ] A içi f M M + > M olmktdır, kıscsı f oktsl limit foksiyou sıırsızdır. Yukrıdki Uyrı ve Uyrı 3 de görüle griplikleri gerçekleşmediği ykısm türü düzgü ykısmdır. Tım 3: A R lt kümesi, f : A R N foksiyolrı ve olrı A kümeside tımlı f lim f oktsl limit foksiyou verilsi. Ack ve ylız Koş: ε >, ε N, sup f f < ε ε A koşulu gerçeklediğide {f } foksiyo dizisie f lim limitie düzgü ykısıyor deilir ve f d lim d y d f f yzılır. Bu tımdki koşul yerie o eşdeğer ol Koş: ε >, ε N, sup f f ε ε A 5

20 Koş3: ε >, ε N, f f < ε A, ε koşullrıd herhgi birisi de yzılbilirdi. Gerçekte tımdki koşul geçerliyse, pçık biçimde Koş koşulu geçerlidir, çükü iyi bilidiği gibi c d içi gerek yeter koşul gyk c < d ve c d bğdşmz iddilrıd tm birisii geçerli olmsıdır; tersie Koş geçerliyse, özel olrk ε > verildiğide ε N, sup f f ε A ε olur, burd ε N, sup f f < ε ε bulrk A Koş koşulu elde edilir. Koş ve Koş3 koşullrıı eşdeğerliğii siz gösteri, çükü şğıdki çıkrsm geçerlidir. E içi sup E Öte yd bir A R lt kümeside tımlı f gerçel değerli foksiyou eğer sıırlıys, yi f M A koşulu gerçekleecek biçimde bir M > sbiti, eğer vrs, f y d bze f A işretiyle yzıl f f A sup A f M supremumu kesilikle vr ve iyi tımlıdır. Özellikle A [, b] ve f foksiyou bu rlıkt tımlı, gerçel y d kompleks değerli ve sürekli ise sup f supremumu iyi tımlıdır, htt [, b] kplı-sıırlı rlığıd sürekli gerçel değerli f içi Weierstrss ı ülü teoremi ile [, b], f m f olur ve [,b] [,b] her mksimum supremum olduğud dikkt: E R içi m E y tımlıys y sup E olur, ede? f sup f m f f olur. f sürekli olms bile f syısı, egtif olmy [,b] [,b] f gerçel syılrıı supremumu olduğu ve böylece her A içi f f gerçekleştiğide, kesilikle f geçerlidir. f egtif olmy gerçel syısı f foksiyouu supremum ormu deilir. Dikkt: her A içi f f f olduğud f f gözleyiiz. Norm bilgisi kullılrk, Tım yeide ve kıs bir biçimde şöyle yzılır: Ack ve ylız ε >, ε N, f f A < ε ε koşulu geçerliyse {f } foksiyo dizisie f foksiyou A kümeside düzgü ykısıyor deilir. Dikkt edilirse f f f f A < ε A, ε gerçekleştiğide, herbir A içi {f } f A olduğu lşılır, yi {f } dizisii limitii vr ve f olduğu, kıscsı f lim foksiyo dizisi A kümeside f foksiyou eğer düzgü 6

21 ykısıyors öcelikle oktsl ykısr. Bşk bir söyleyişle düzgü ykısm geçerliyse oktsl ykısm soucu çıkrsır. Oys {f } foksiyo dizisi eğer f lim f limitie oktsl ykısıyors, düzgü ykısmı gerçekleşmesi gerekmez. Öreği, f foksiyolrı sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou süreksiz ise, bu ykısm kesilikle düzgü ykısm olmz, çükü şğıdki temel Teorem geçerlidir. Sözgelimi f, ], N biçimide tıml {f } foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou f lim f ;, olup, bu foksiyo pçık biçimde f f sğldığı içi, ] rlığıd sğ uç oktsıd süreksizdir, dolyısıyl f foksiyou A, ] rlığıd {f } dizisii oktsl limitidir, fkt düzgü ykısk limiti olmz, çükü f foksiyolrıı hepsi A kümeside sürekli oys f lim f oktsl limit foksiyou A kümeside sürekli değildir, bu edele şğıdki Teoremi kullılır. Ayrıc r rsyoel syılrı içi lim r lim fkt lim f r lim e f olduğud Teorem ii edeiyle de{f } foksiyo dizisii, ] kümeside f oktsl limitie düzgü ykısmdığı lşılır. Ayrıc her [, içi f ve f f böylece sup [,] f f sup [, f f olduğud, N e olurs olsu şğıdki gözleerek de yı souc ulşılır: sup sup f f [, [,. Teorem : i Sürekli foksiyolrı düzgü ykısk limiti süreklidir. ii Düzgü sürekli foksiyolrı düzgü ykısk limiti düzgü süreklidir. iii Sürekli ve sıırlı foksiyolrı düzgü ykısk limiti sürekli ve sıırlıdır. Kıtlm: i A kümeside f d lim f geçerli ve tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli olsu. Amcımız f foksiyouu herbir A oktsıd sürekli olduğuu göstermektir. O hlde uygu bir δ ε > yrdımıyl ε > verildiğide < δ ε f f < ε çıkrsmsıı göstermeliyiz. Oys düzgü ykısm edeiyle ε N, f f < ε 3 ε geçerli olduğud, keyfi seçile bir ε doğl syısı lırk, f foksiyou A oktsıd sürekli olduğud δ ε >, < δ ε f f < ε 3 geçerli ve üstelik ε edeiyle f f < ε 3 gözleyerek souçt < δ ε ise kıscsı δ ε, + δ ε ise şğıdkiler buluur: 7

22 f f f f + f f + f f f f + f f + f f f f + f f < ε 3 + ε 3 ε. ii Bilidiği gibi A T f kümeside tımlı gerçel değerli bir f foksiyou, ck ve ylız, ε >, δ ε >,, y A ve y < δ ε f fy < ε çıkrsm koşuluu gerçeklerse A kümeside düzgü süreklidir deir. Bu tımd ε > syısı krşılık belirlee δ ε pozitif syısı, ε syısı krşı belirlee düzgü süreklilik sbiti deilir. A kümeside düzgü sürekli foksiyo pçık biçimde A kümesii her oktsıd süreklidir ede?, oys düzgü sürekli olmy sürekli foksiyolr vrdır. Öreği, her > içi p R poliomlrı bu iteliktedir, öreği p foksiyou R kümeside hiçbir ε > syısı krşılık bir düzgü süreklilik sbiti belirleyemez, çükü δ > e olurs olsu, + δ < δ ve ε ve δ > e olurs olsu ε δ 4 < δ ε olck biçimde bir ε N belirleebildiğide, souçt ε < gerçekleye her R içi ε δ 4 < δ ε < δ ve böylece ε < δ + δ 4 p + δ p buluur. Siz p 3 3 ve p 4 4 poliomlrıı R kümeside düzgü sürekli olmdığıı bezer yötemle gösteriiz. Bu krşılık ülü Ortlm Değer Teoremi edeiyl < y ise l ly y ξ,y olck biçimde < ξ,y < y vr olduğud, f l doğl logritm foksiyou < e olurs olsu [, sıırsız rlığıd düzgü süreklidir, çükü M > olmk üzere,, y [, e olurs olsu l ly M y gerçekler ede?, böylece y < δ ε ε ise l ly < ε buluur. M Şimdi, tüm f foksiyolrı A kümeside düzgü sürekli ve f d lim f olsu. İddi: f foksiyou d A kümeside düzgü süreklidir; çükü i kıtlmsıd kullıl f düzgü sürekli olduğud, ε > verildiğide ε 3 syısı krşılık uygu bir δ ε > syeside y < δ ε ve, y A ise f f y < ε 3 ve ord ypıldığı gibi f fy f f + f f y < ε buluur. Kıscsı f foksiyou her ε > syısı krşılık bir düzgü süreklilik sbiti belirleyebilmektedir. iii Hem A kümeside f d lim f oluyor ve tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli ve sıırlıys, yi herbir N içi f sürekli ve f M A olck biçimde bir M > sbiti vrdır ede?, zte i şıkkı edeiyle f süreklidir. 8

23 Şimdi, şğıdki Teorem de öce sıklıkl yrrlcğımız şu temel bilgiyi görelim: Yrdımcı Teorem 4: Bir f : A R foksiyouu A oktsıd sürekli olbilmesi içi gyk bu oktd dizisel sürekli olmsı, yi terimleri A kümeside lııp lim gerçekleye her { } dizisi içi lim f f koşuluu gerçeklemesidir. Kıtlm: Gereklik: f foksiyou A oktsıd sürekli yrıc lim olsu. ε > verildiğide süreklilik gereği δ ε >, f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε olur, yi her δ ε, + δ ε A içi f ε < f < f + ε kıscsı f f < ε gerçekleşir. Oys lim edeiyle δ ε < < + δ ε ε olck biçimde bir ε N vrdır. Souçt her ε içi δ ε, + δ ε A böylelikle f f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε yi f f < ε ε olur, buys lim f f demektir. Yeterlik: Yeterlik vrsyımı geçerliyke f foksiyou A oktsıd sürekli olmsydı, şğıdki süreklilik koşulu gerçekleşmezdi: ε >, δ ε >, f δ ε, + δ ε A f ε, f + ε O hlde şu koşul gerçekleşirdi: Koş: ε >, δ >, f δ, + δ A f ε, f + ε. Dolyısıyl δ + gerçekleye pozitif terimli herhgi bir {δ } dizisii terimleri içi f δ, + δ A f ε, f + ε N olur, böylelikle şğıdki souç buluurdu: N, δ, + δ A, f f ε, f + ε Bu souç ise yeterlik vrsyımı ile çelişirdi, çükü < δ N ve lim δ olduğud, ülü Sıkıştırm Lemmsı kullılrk lim yi lim bulurk yeterlik vrsyımı edeiyle lim f f olmsı gerekirke bu gerçekleşmezdi, çükü f ε < f < f + ε gerçekleye tek bir f bile yoktur, çelişki! Demek ki yeterlik vrsyımı geçerliyke f foksiyou A oktsıd sürekli olmk zoruddır, bitti! Teorem 3: i A kümeside f d lim f olmsı ile lim f f A koşullrı eşdeğerdir. ii A kümeside f d lim f ise ve tüm f foksiyolrı sürekli ve üstelik { } Aω dizisi içi lim A limiti vrs şğıdki geçerlidir: lim f f f lim. iii {f } sürekli foksiyolr dizisii f lim f oktsl limiti A kümeside tımlı, fkt uygu bir ykısk { } Aω dizisi içi lim f f lim oluyors f lim f ykısmsı düzgü ykısm değildir. 9

24 iv A kümeside f d lim f ve g d lim g ise, b R sbitleri e olurs olsu f + bg olur. d f + bg v α R + sbiti e olurs olsu < ise lim α olur. Bu oktsl ykısm düzgü ykısm değildir. Kıtlm: i Düzgü ykısm tımıd kolyc çıkrsır. ii f d lim f, tüm f foksiyolrı A kümeside sürekli ve lim ise f f olur, çükü f f f f + f f f f + f f ε Nolur, burd f foksiyo sürekli ede? ve edeiyle Yrdımcı teorem 3 kullılrk f f olduğud, i şıkkı kullılrk yukrıdki {ε } egtif olmy gerçel syılr dizisi sıfır ykısr ede?, böylelikle istee buluur. iii Bir öceki şıkt çıkrsır. iv Öcelikle, A kümeside tımlı gerçel değerli ve sıırlı f ve g foksiyolrı içi, kolyc f + g A f A + g A elde edilmelidir, oys her A içi f + g f + g f + g f A + g A edeiyle kolyc f + g sup f + g f A + g A buluur. Souçt, bu şıktki hipotezler A ltıd, her N içi f + bg f + bg f f bg g f f + b g g δ gerçekleştiği ve δ olduğud istee buluur. v Bu şıkkı kıtlmk içi, isptı ileride verilecek ol şu temel bilgiyi kulllım: Pozitif terimli bir { } R ω dizisi içi eğer lim + < ise lim + olur, özellikle lim < ise lim geçerlidir. O hlde α N ve < < olmk üzere + + α α + α < edeiyle lim yi lim α buluur, buys lim α demektir. içi yrıc α içi, e olurs olsu lim α gözleyiiz. Demek ki,, α R içi lim α olmktdır. Oys, α > yi α R + ise f α sürekli foksiyolrıı A, çık rlığıd oktsl limit foksiyou f lim f lim α olur, fkt bu oktsl ykısm, kesilikle düzgü ykısm değildir, kıscsı f f A koşulu gerçekleşmez çükü, dikkt edilirse α >

25 olduğuu uutmd geçerlidir. Gerçekte Örek.6 d gözlediği gibi N içi f f A f A α + geçerlidir. f A sup f sup α α,, sup, α α * Teorem 4: f : [, b] R foksiyou ve her N içi f : [, b] R foksiyolrı sürekli olsu. [, b] rlığıd f d lim olbilmesi içi gyk, terimleri [, b] rlığıd lı her ykısk { m } m dizisi ve {f } foksiyo dizisii herbir {f m } m lt dizisi içi lim m m m f lim m m eşitliğii gerçeklemesidir. Kıtlm: Gereklik Teorem. ii edeiyle pçıktır. Tersie yeterlik koşulu gerçeklediğide f d lim f yi lim f f bşk bir yzışl Koş: ε >, ε N, f f < ε ε koşulu gerçekleir, çükü eğer gerçeklemeseydi ε >, N, N >, ε f N f gerçekleir, böylelikle tümevrıml tımlck ol uygu bir kesi rt < < < m < m+ < doğl syılrı syeside ε f m f m N olurdu ede?. Herhgi bir < δ < ε pozitif syısı seçerek kolyc şğıdkiler elde edilirdi: δ < δ + ε δ m < ε f m f sup f m f m N. [,b] Oys δ < sup E ise δ < gerçekleye e z bir E vr olduğud m N, m [, b], δ < δ + ε δ m < f m m f m buluurdu, oys ülü Heie-Borel Teoremi gereği, bu belirlee m [, b] gerçel syılrıı uygu bir lt dizisii ykısdığıı bildiğimizde, krışıklığ yol çmmsı içi, bu lt dizi yerie { m } m dizisi ile çlışıp { m} m dizisii ykısdığıı ve ξ lim m gerçeklediğii vrsylım dikkt: ξ [, b] olur, ede?. Souçt f foksiyou sürekli böylelikle dizisel sürekli m olduğud f ξ f lim m m lim m f m m olduğud δ < lim f m m m f m lim f m m m lim f m f m ξ fξ m yi < δ çelişkisi buluurdu, o hlde yeterlik hipotezi f d lim f soucuu verir, bitti! Uyrılr

26 f α [, ], N foksiyo dizisi de α > ise, oktsl limitie düzgü ykısymz, ksi hlde her [, ] içi öcelikle lim f limitii vr olmsı gerekirdi oys lim f ve lim f limitleri, birer gerçel syı değildir. Yukrıdki teoremi v şıkkıı kıtlmsıd verile bilgisi kullılrk b +, terimleride oluş {b } dizisii de lim b gerçeklediği lşılır. Bilgisyr yrdımıyl bu dizii ilk bştki olrc terimii çok büyük pozitif syılr olduğu gözleebilir, öreği ilk terimler b., 4857, 6 ve b 3., , ve b 3 4, 99567, 776 olur, kıscsı dizi, üçücü terimde milyrı geçmektedir ve birkç bi terim boyuc gittikçe rtr. Bu edele doğru dürüst mtemtik bilmeye fizikçi ve mühedisleri yptığı gibi, bir dizii bşt yüzlerce terimii hesplyıp, üstelik bulrı rtrk olğüstü pozitif büyüklüklere eriştiğii gözleyerek, bu dizii + limitie gittiğii zetmek, ylış bir çıkrsm ypmktır. Artık somut öreklere geçilebilir. Örekler : Aşğıdki foksiyolrı [, ] rlığıd oktsl ve düzgü ykısklığıı rştırıız. f +, g +, h. Çözüm: İkici foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou g lim g [, ], birici dizii ise f ve f, ] gerçekleye foksiyodur. Birici dizii oktsl limit foksiyou f f+ gerçeklediği içi süreksizdir, dolyısıyl Teorem i edeiyle birici dizi oktsl limitie düzgü ykısymz. İkici dizi de oktsl limitie düzgü ykısymz çükü r [, ] rsyoel syılr dizisii limiti lim r [, ] oys lim g r fkt g [, ] edeiyle g lim r g ve souçt lim g r g lim r olduğud, Teorem iii kullılır. Ayrıc g g edeiyle lim g olur. Üçücü foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou d sıfır sbit foksiyoudur ve bu dizi içi h + edeiyle, h foksiyou [, + ] rlığıd rt [ +, ] rlığıd zl olduğud h h h sup [,] + + gerçekleştiğide bu soucu ykısm düzgü ykısmdır. h m [,] h h e

27 Ayı soruyu şğıdki foksiyo dizileri içi çözüüz: f, g 3, h +, ϕ +, q k k k! Çözüm: İlk dizi içi lim f ve her [, içi Teorem v de kıtldığı gibi lim lim f ve souçt ilk foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou f [, ] olur. Oys p + [, ] rsyoel syılr dizisi lim f p p p + + e gerçekler bu krşılık f f lim p e lim f p edeiyle birici ykısm düzgü ykısm değildir. İkici dizi sıfır sbit foksiyou oktsl ykısr ve g g g m g g [,] k e edeiyle bu bir düzgü ykısmdır. Üçücü foksiyo dizisi içi h [, ], N + ve böylece h lim h [, ] ve [, ] gözleyerek + h h sup [,] + sup [,] sup + [,] + + edeiyle bu d bir düzgü ykısmdır. So foksiyo dizisi M > e olurs olsu [, M] rlığıd ϕ e üstel foksiyou düzgü ykısr, çükü ϕ ϕ m ϕ ϕ [,M] m [,M] + e m e + [,M] e M + M ε olur, çükü h e + foksiyou [, M] rlığıd zlmydır. Gerçekte her [, M] içi h e + > geçerlidir çükü e [,

28 Öte yd s si olmk üzere [, ] rlığıd lim! q d s göstermek güç değildir, çükü q s < + + < [, ], N geçerlidir, çükü her [, ] I, her N ve her k > içi k k olduğud q s k k k!! k k k k! k! +! + + 3! + + 5! + k+ k+ + +! < + +! m +! + +! m < +! < + + < buluur, böylece q s I sup q s N gözleip lim q s I I istee souç buluur. 3 p, p + p + p R, N idirgee bğıtılrıyl tıml p poliomlrı gözöüe lısı. Her [, ] içi f p [, ] olsu. Bu foksiyo dizisii f foksiyou düzgü ykısdığıı gösteriiz. Not: f A işreti kısıtlm foksiyouu göstermektedir. Çözüm: Öce tümevrıml şuu gösterelim: f + < [, ], N. Bu gösterilirse istee düzgü ykısklık iddisı elde edilecektir. Zte [, ] rlığıd çlışıldığı ve her [, ] içi f p olduğud p + [, ], N 4

29 + göstermek yeterli olur, çükü geçerlidir. Her [, ] içi ve + böylece kolyc, < ve p + buluur. O hlde iddisı içi gösterilmiş olumktdır. Bu iddi içi doğru vrsyılsı. Bu vrsyım ltıd + içi doğruluğuu gösterelim. iddisı içi doğru vrsyıldığıd hem p ve hem p + ve böylece p +p [, ] ve dolyısıyl + p yi +p ve p bilgileriyle p + p + p + p p + p, p+ p p + p p [ ] + p yrıc + p + p edeiyle p+ p [ ] + p olduğud + [, ] yrıc ++ gözleyip tüm bulrd eşitsizlikleri eğer içi doğru ise şğıdkii bulrk p eşitsizliklerii + içi de doğru souçt tüm N doğl syılrı içi geçerli olduğu gösterilmiş olur. Siz, tüm p poliomlrıı tüm ktsyılrıı birer rsyoel syı olduğuu, idirgeme bğıtısıd yrrlrk kıtlyıız. O hlde, p f f f f N ve f f edeiyle, r p rsyoel syılr dizisii r yi lim r gerçeklediği yrıc gözlemiş olur. Ayrıc q p R poliomlrıı [, ] rlığıd q foksiyou düzgü ykısdığı lşılır. 4 [, ] rlığıd sürekli bir foksiyo düzgü ykısy süreksiz foksiyolr dizisii vrlığıı gösteri. ; [, ] Q Çözüm: f N, [, ] foksiyolrıı herbiri tüm irrsyoellerde süreksizdir. Gerçekte, herhgi N içi f foksiyou, herhgi bir [, ] Q ; [, ] Q irrsyoel oktsıd süreksizdir, çükü lim r gerçekleye, syılmz sosuz te ykısk ve rsyoel terimli {r } dizisi vrdır. dikkt: tümevrım kullılrk, herhgi iki frklı gerçel syı rsıd sosuz te 5

30 rsyoel syı yer ldığı içi, < < r 3 < + 3 r r < + r r < + rsyoel syılrı belirleirse buu içi öce < r < + rsyoel syısıı, sor < + r gözleyerek < r < + r rsyoel syısıı,... tımlyı < r + N ve böylece < r r < N edeiyle lim r yi lim r elde edilir. Oys r f fkt lim f r lim lim r olur, kıscsı r olmsı krşı f r f gerçekleşmemektedir, bu edele f foksiyou tüm irrsyoellerde süreksizdir. O hlde herhgi bir doğl syı olduğud, tüm f foksiyolrı tüm irrsyoellerde süreksizdir. {f } süreksiz foksiyolr dizisii oktsl limit foksiyou sıfır sbit foksiyou olup, A [, ] kümeside f f sup f m f f [,] [,] gerçekleştiği içi bu ykısm düzgüdür. 5 f : R R foksiyou her yerde türevleebilir ve üstelik f türev foksiyou R kümeside düzgü sürekli ise g f + f R, N biçimide tıml {g } foksiyo dizisii f foksiyou düzgü ykısdığıı gösteri. Çözüm: Her R ve her N içi, f türetilebilir olduğud g f + f f ξ, ve < ξ, < + koşullrıı sğly ξ, gerçel syılrıı vr olduğu, yrıc f türev foksiyou tüm R kümeside düzgü sürekli olduğu içi, ε > syısı krşılık f foksiyouu belirlediği düzgü süreklilik sbiti δ ε > ise, [ ] Arşimet İlkesiyle < ε δ ε gerçekleye ε N doğl syısıı belirleyip y d + δε ε tımlyrk, her ε içi g f f ξ, f < ε buluur, çükü ξ, ξ, < ε < δ ε geçerlidir, souçt buluur, bu souç isteedir. ε içi g f sup g f ε R R kümeside A A A 3... gerçekleye yi A A + N tekdüze zlmylık koşuluu gerçekleye {A } küme dizisi e olurs olsu, A A yzılmk üzere lim A χ A R gerçekleşir, fkt bu ykısmı düzgü ykısm olmsı gerekmez. Bu öreği kvrybilmek içi öce herhgi bir A R lt kümesi içi χ A : R {, } krkteristik foksiyouu 6

31 tımlmlıyız: ; A χ A ; R A R biçimide tıml foksiyo A kümesi idisli krkteristik foksiyo deilir. Dikkt: χ A χ B kıscsı χ A χ B R olbilmesi içi gyk A B gerçeklemesidir ede?. Dikkt edilirse χ Q ve χ[,] 7 gerçekleşir. Şimdi herhgi A A lısı, o hlde N, A A + A +... kıscsı her içi A böylelikle χ A edeiyle lim χ A χ A olur, yok eğer R A ise / A A edeiyle hem χ A hem de her N içi / A ve χ A edeiyle lim χ A χ A, kıscsı her R içi χ A lim χ A olmktdır. Bu souç lim χ A χ A demektir. Bu krşılık her N içi A [, ] rlıklrı tımlırs, her N içi r + + +, [ +, ] [, ] A + A ve yrıc A A, ] gözleyerek, her N içi r / A ve χ A r ve r A + A ve χ A r edeiyle, üstelik her R ve her N içi y χ A χ A y d χ A χ A gerçeklediği uutmd χ A χ A sup χ A χ A χ A r χ A r R ve böylece lim χ A χ A olduğu içi χ A lim χ A R oktsl ykısmsıı düzgü ykısm olmsı gerekmediği lşılır. Bu ykısmı düzgü ykısm olbilmesi içi gyk {A } küme dizisii belirli bir idiste sor sbitlemesi kıscsı N, A A + A + gerçekleşmesidir, gösteriiz. Acb... A 3 A A gerçekleye {A } küme dizisii oktsl ve düzgü ykısdığı krekteristik foksiyo edir? [ 6 Her N içi I +, ve f si χ I [, ] olsu. {f } dizisii oktsl limiti edir? Bu oktsl limitie düzgü ykısr mı? Nede? Çözüm: / I N ve si edeiyle f N ve souçt f lim f olur. Ayrıc herbir, ] içi rşimet İlkesiyle N, < < böylece < + < < edeiyle / I ve souçt χ I ve f edeiyle f lim f olur. O hlde f lim f oktsl limit foksiyou f olur. Üstelik bu ykısm düzgüdür, çükü f sup f sup f [,] I sup si si I olur, çükü her I içi < + < < < π böylece < si < si N olur, üstelik siüs foksiyou, π rlığıd rtdır; oys lim lim, 5 ve siüs sürekli olduğud lim si buluur. Bu isteedir! 7

32 7 Her N ve her I, içi f si ise lim f olduğuu, fkt bu ykısmı düzgü olmdığıı gösteriiz. Çözüm: Her N ve her I içi f edeiyle lim f I buluur. Fkt ülü si > 3 3! > bilgisi kullılırs, kolyc f I f I N böylelikle lim f I + bulmk güç değildir, çükü yukrıdki eşitsizlik kullılırs f 6 3 3! 6 N, I böylece şğıdki souç elde edilir: f I f I sup I burd her içi q sıl?. sup 6 I > if I 6 f sup f I 3 olmk üzere I, q I lt rlığıd 6 gözlemiştir 8 Yukrıdki foksiyo dizisi f ve her, ] içi yie f si biçimide tımlsı. f lim f gerçeklediğii oys her N içi f si edeiyle f lim f gerçekleşemediğii ede? gözleyerek bu durumd d f d olmdığıı çıkrsyıız. Şimdi sırd yrrlı ve ülü bir Teorem vr: R kümeside kplı-sıırlı kümelere tıkız küme deilir. [, ] ve [, ] [ 3, ] ve C Ctor kümesi tıkız küme örekleridir. Teorem 5 Dii Teoremi: A tıkız kümeside sürekli gerçel değerli {f } foksiyolr dizisi, f foksiyou tekdüze ykısıyor, üstelik f sürekli ise, bu ykısm düzgüdür. Kıtlm: Öce f f f 3 f lim f olsu, gerek tüm f foksiyolrı gerekse oktsl limit foksiyou f, A kümeside sürekli olsu. O hlde g f f N foksiyolrı hem A kümeside sürekli ve hem de f f + f N edeiyle g + f f + f f g N ve yrıc lim g olur. Şimdi ε > verilsi. g sürekli foksiyou ltıd ε, ε çık rlığıı ters görütü kümesi temel topoloji bilgisiyle çık kümedir ve g N olduğud g ε, ε g ε, g [, ε g [, ε buluur, çükü hiçbir A içi g < ve böylelikle g ε, olmdığıd g ε, geçerlidir. Üstelik A g [, ε olur, çükü herhgi A lıdığıd lim g edeiyle N, g < ε ve souçt g < ε yi g [, ε edeiyle g [, ε [, ε bulrk A g g [, ε elde edilir, ters kpsm, her N içi g [, ε A edeiyle pçıktır. Oys A R lt kümesi tıkız olduğu ve üstelik N içi g [, ε g+ [, ε geçerli olduğud dikkt: g [, ε ise g + g < ε bulrk g + [, ε yi g + [, ε elde ediiz, souçt A kümesi tıkız olduğud, kedisii örte, çık G g [, ε 8

33 g ε, ε kümelerii ylızc solu tesiyle bile örtülebilir, böylece yukrıdki kullılıp A g [, ε g [, ε g m [, ε g N [, ε elde edilir, burd N m{,,..., m } lımış ve her k m içi k N ve g k [, ε g N [, ε gözleip yukrıdki souç bulumuştur. O hlde her A içi g N [, ε yi g N < ε olur, böylece N içi f f f f sup A olur, çükü N ise g g N f f sup A g sup g N ε A edeiyle her A içi g g N gözleyip so eşitsizlikler yzılmıştır. Dikkt: her α Λ idisi içi α b α oluyors sup α sup b α geçerlidir ede?. Demek α Λ α Λ ki {f } sürekli foksiyo dizisi tekdüze zlmylık koşuluu gerçekleyerek f sürekli foksiyou tıkız bir kümede oktsl ykısıyors, bu ykısm düzgüdür. Eğer {f } sürekli foksiyo dizisi f lim f f 3 f f gerçekleyerek f sürekli foksiyou A tıkız kümeside ykısıyors bu ykısmı düzgü olduğuu siz gösteri. Örekler 3: Aşğıdki foksiyo dizilerii [, ] rlığıd düzgü ykısdığıı Dii Teoremide yrrlıp gösteriiz. f +, g + + e, h rctg + Çözümler: Hepsii, tekdüze rtmd oktsl limitie ykısdığıı, sözgelimi her N içi f + f ve + + < +, ] yi f + f ve f + < f, ] ve yrıc f + f N,, ] ve lim f [, ] olduğu ve bu tekdüze oktsl ykısm tıkız A [, ] kümeside geçerli olduğu içi, Dii Teoremii kullılcğı dikkt ediiz. İkici dizii, her N ve her [, ] içi + + e < e + ve e + < + + e böylece g + g N, [, ] ve lim g gerçeklediği içi, bezer gerekçelerle düzgü ykısdığı dikkt ediiz, yukrıdki ilk eşitsizlik + e < 7 < e edeiyle içi doğrudur, bu iddi içi doğru olduğud ++e + ++e + +e + < e++e +e + < ee + +e + < +e + edeiyle + içi ve souçt tüm doğl syılrı içi doğru olduğu lşılır. 9

34 Üçücü dizi slıd, M > sbiti e olurs olsu [ M, M] tıkız rlığıd oktsl limiti ol sbit foksiyou düzgü ykısr. Gerçekte, herhgi gerçel değerli F foksiyolrıı {F } dizisi içi, şu temel d d eşdeğerlik kolyc gösterilir: F içi gyk F. Oys gerek tget gerekse ou ters foksiyou rctg birer tek foksiyo olduğud, her R içi rctg rctg ve souçt h rctg + N, [ M, M] olduğu ve tıpkı tget foksiyou gibi ou ters foksiyou rt foksiyo olduğud ve ++ + h lim rctg + geçerli olduğud, {h } edeiyle h + h N, [ M, M] ve lim rctg olduğu ve bu tekdüze ykısm, tıkız [ M, M] rlığıd dizisi, oktsl limitie Dii Teoremi edeiyle düzgü ykısr. Aslıd {h } sürekli foksiyolr dizisi, tüm R kümeside oktsl limit foksiyou ol sbit foksiyou düzgü ykısr, çükü bu dizi hem [, rlığıd ve hem de, ] rlığıd sbit foksiyou düzgü ykısr, çükü h edeiyle h foksiyou [, ] rlığıd rt [, rlığıd zldır, böylece ve bezer biçimde sup h sup h m h h rctg [, [, [, sup h geçerlidir. Bir sorki örek kullılır,] Eğer A kümesi içi A A A oluyor ve üstelik {f } dizisi içi, hem A kümeside f d f ve hem de A kümeside f d f oluyors, A kümeside f d f olur. Çözüm: Gerçekte δ i, sup A i f f i, syılrı tımlır ve m{δ,, δ, } syısı herzmki gibi δ, δ, ile yzılırs, herhgi A içi f f δ, δ, olduğud öreği A ise f f δ, δ, δ, olur, A ise bezer gerekçe geçerlidir, souçt δ, δ, δ, + δ, + δ, δ, olduğud çükü hipotez gereği hem δ, hem de δ, geçerlidir, souçt f f sup f f δ, δ, edeiyle A kümeside f d f soucu ulşılır. 3 Aşğıdki dizileri, ylrıd yzılı kümede düzgü ykısklıklrıı iceleyiiz: A f si cos, A [, π] g, A [, + M] M > h, A [, ] Çözümler: İlk iki dizii, Dii Teoremi kullılrk düzgü ykısklığı iceleir, öreği g l < g + g N, R + 3

35 gerçeklediği ve g lim g olduğu şğıd gösterilecektir. Aslıd ikici foksiyo dizisii < ε < olmk üzere, ε] rlığıd oktsl limitie düzgü ykısymdığıı göstermek güç değildir. Buu içi öce şğıdki temel bilgileri görmeliyiz: Temel Bilgi : Her, ] içi l l. Gerçekte h l foksiyou, ] rlığıd zlmy g l ise rtmydır, çükü g l l h, ] ve dolyısıyl h h g g, ] buluur. Temel Bilgi : f [,,, foksiyou rtmydır, çükü f + + [ l ] l l l olur, çükü Temel Bilgi ve < < edeiyle l geçerlidir. Temel Bilgi 3: l + + <,, N geçerlidir, çükü Temel Bilgi kullılır. Aslıd herbir, içi, tıpkı Örek.6 d ypıldığı gibi ve < + + gözleerek de yı eşitsizlik buluur, sıl? O hlde g R +, N foksiyo dizisi her R + içi tekdüzedir ede? dolyısıyl bu foksiyo dizisi [ε, + M] kplı rlığıd Dii Teoremi edeiyle düzgü ykısr oys, ε] rlığıd düzgü ykısymz, çükü ε N rsyoel syılrı lim ε edeiyle < ε < ε < ε < N ε gerçekler ve ε N ε + doğl syısı rcılığıyl ε 3 ve sup g l δ ε,ε] gerçekleşir çükü g l l [ l ] ve böylece sup g l sup [ l ] [ ε l ε ],ε],ε] ε lε ε l + l > l l l3 δ ε 3

36 olur, çükü herbir ε içi < ε < ε edeiyle ε, ε] olmktdır. O hlde sup g l,ε] + edeiyle istee buluur. İlk dizi içi f π + π f ve her [, π π, π] içi si < edeiyle lim si ve f + si + cos si cos f N ve souçt f + f N, [, π] ve lim f lim f olur. O hlde Dii Teoremiyle f f f olur. Bu souç yrıc f + e bulrk d elde edilebilirdi, çükü kıslık + mcıyl A [, π π, π] yzılırs, her I [, π] içi f si cos si + böylece f π ve her A içi cos ve f si cos tg buluurs, I rlığıd f içi gyk A ve tg tg yi A [, rctg ] [, rctg ] olmsıdır çükü < rctg < π geçerlidir, böylece şğıdki özdeşlikler kullılrk f f rctg + buluur: + cosrctg +, sirctg R. + Şimdi üçücü foksiyo dizisiyle uğrşlım. Üçücü foksiyo dizisi < ε < e olurs olsu [, ε] kplı rlığıd oktsl limitie, Dii Teoremi rcılığıyl düzgü ykısr, çükü lim + edeiyle herbir [, ε] gerçel syısı içi uygu bir ε N syeside ε < ε ε+ + < böylelikle + < ε ve + + < ve üstelik < olduğud, bu eşitsizlikleri bu pozitif syıyl çrprk f f [, ε], ε buluur, oys lim lim f olduğud Dii Teoremiyle [, ε] tıkız rlığıd {f } ε dizisii f oktsl limitie düzgü ykısdığı lşılır. O hlde [, ε] rlığıd f d buluur ede?. Bu ykısm [, ] tıkız rlığıd düzgü değildir ede? 4 Ayı soruyu şğıdkiler içi çözüüz: f l +, A R g l +, A, h +, A R s si 4π +, A [, M] M > Çözümler: İlk üç dizi içi, A kümesi tıkız olmdığıd Dii Teoremi kullılmz şğıdki Örek 5 e 3

37 bkıız. İlk dizi içi f l + le f ve fkt < ε l l < l f f sup f f f f N R edeiyle, düzgü ykısklık koşulu lim f f kesilikle gerçekleşmez. Dikkt: Uyrı.4 içideki bilgilerle R, N içi ve souçt olduğu ve doğl logritm foksiyou rt ve böylece f f + R, N olduğud, ilk foksiyo dizisi, Dii Teoremi edeiyle [ M, M] tıkız rlığıd f oktsl limit foksiyou düzgü ykısr. + İkici foksiyo dizisi A, rlığıd g oktsl limit foksiyou düzgü olmd ykısr, çükü her R + içi + < l + < olduğud, kolyc her N içi + + l + yi + g N geçerli olduğud kolyc lim g buluur, yrıc < l < l l g g g g N geçerlidir, oys {g } dizisi, Dii Teoremi edeiyle g oktsl limit foksiyou, ε > ve M > e olurs olsu [ε, M + ε] tıkız rlığıd düzgü ykısr, çükü Beroulli eşitsizliği kullrk R +, N göstermek güç değildir. slıd bu eşitsizlik yukrıd ypıldığı gibi Geormetrik Ort. Aritmetik Ort. bilgisiyle de ypılbilirdi. Şimdi dikkt edilirse, her R + ve her N içi + + < , + + <

38 ve böylelikle ülü Beroulli eşitsizliği y y N, y [, ] kullılrk yi şğıdkiler buluur: < < < bu souçs + + < + + verir. Böylece, her R + ve her N içi + < ve logritm lıp g l + < + l + g + buluur, hem g foksiyolrı hem g R+ foksiyou sürekli olduğud [ɛ, M + ɛ] + rlığıd {g } dizisie Dii Teoremi uygulır. Üçücü foksiyo dizisii oktsl limit foksiyou ise, <, b e olurs olsu, ülü lim b bilgisi edeiyle şğıdki sürekli h foksiyoudur: ; [, ] A h ;,, A + b Üstelik hem A [, ] kümeside h d h ve hem de A kümeside h d h gerçekleşir, çükü h + foksiyou [, ] rlığıd rt ve üstelik çift foksiyo ve sup h h sup h A [,] sup h [,] h olduğud, gerçekte A kümeside h d h olduğu lşılır. İkici iddiyı göstermek içi, ülü y y y + y + + y +, y y y + y + + y + özdeşlikleri ve h + eşitliği ve herbir [, içi hem k k N 34

39 hem de h k ve hem h hem de h foksiyou çift olduklrıd, A R [, ] kümeside sup h h A [ sup [, sup h sup h [, [, h h + h + + h + sup [, h + h + + h + ] edeiyle A kümeside h d h soucu buluur. O hlde A R kümeside h d h soucu elde edilmiştir. So foksiyo dizisi içi, öce si 4π + si 4π + + π R, N eşitliği gözlemelidir, gerçekte si y siy π y R edeiyle si 4π + si π + 4π si π + 4π π si π + 4π si 4π + + π buluur. O hlde her [, M] içi lim s lim si 4π + s buluur, çükü 4π yzıp lim 4 π + + π ve si 4π + si gözleyip, özellikle < içi si 4π + si olur. Şimdi, [, M] rlığıd s π Öcelikle [, M], N içi s 4π gözleyip, yrıc + 4 π + π π 4π + + π si si π 4π d s düzgü ykısm iddisıı göstermek içi, hesplmlr ypmlıyız. 4 π + + π her y [, içi y y3 3! 35 si y y 4π s ve dolyısıyl

40 edeiyle 3 3! 4π si s s olduğud s s si s 4π + 3 olur ve sğ y [, M] rlığıd 3! sıfır ykısr, çükü 4π 4π 4 π + + π 4π 4π 4 π + + π geçerlidir, bitti! M 4π + M ve 3 M 6 4 π + 3! 3! 5 Dii Teoremideki hipotezlerde syıl tüm koşullr gereklidir, kıscsı ykısmı tekdüze olmsı, A kümesii tıkız olmsı, tüm f foksiyolrıı sürekli olmsı, 8 3 π 3 M 6 48 f lim f oktsl limit foksiyouu sürekli olmsı π 3 koşullrıı herhgi biriside vzgeçilirse, ykısmı düzgü olmsı gerçekleşmeyebilir. Aşğıdki krşı örekler bu mçl verilmektedir. i A tıkız olmdığıd düzgü ykısm gerçekleşmeyebilir: A,, f A, N olsu. Her A içi f lim + f oys f f f sup, + if + edeiyle f f olmmktdır., ii f foksiyolrıı tümü sürekli olmdığıd, düzgü ykısm gerçekleşmeyebilir: ; [, ] A [, ] tıkız rlığıd f ve f ;, ise f f edeiyle bu foksiyolrı hepsi süreksizdir. Aşğıdki iii şıkkıı çözümüdeki gerçeklerle lim f olur ve fkt f N edeiyle ykısm düzgü değildir, ede f olur? iii Ykısm tekdüze değilse düzgü ykısm gerçekleşmeyebilir: Aşğıdki sürekli A [, ] g ; [, ] ;, ] ;, ] foksiyolrıı A kümesideki oktsl limit foksiyou fkt g g edeiyle bu ykısm düzgü değildir, dikkt: lim g ve her, ] +, ] içi, ] +, ] > olduğud g > gözleyerek her [, ] içi lim g elde 36

41 edilir. {g } sürekli foksiyolr dizisi e tekdüze zlmy e de tekdüze rtmydır. Gerçekte şulrı gözleyelim: Herhgi bir > lıdığı + < ve + < + böylece + < < < < + < gerçekleye her gerçel syısı içi şğıdkiler buluur: + > + ve < +. + Böylelikle bu gerçel syılrı içi g g + olmdığı lşılır, çükü bu syılrı içi hem +, + hem de, olduğud eğer şğıdkiler g g geçerli olsydı, souçt öce ve böylelikle < + < + + çelişkisi buluurdu. Demek ki g g + olmy gerçel syılrı vrdır, kıscsı {g } foksiyo dizis tekdüze zlmy olmmktdıri. Öte yd < < + < gerçekleye her gerçel syısı içi g g + olmdığı pçıktır, çükü olsydı, olksız + buluurdu. Demek ki {g } foksiyo dizisi tekdüze rtmy d değildir. iv Noktsl limit foksiyouu sürekliliği, zte sürekli bir foksiyolr dizisii düzgü ykısklığı içi şrttır ede? 6 Tüm kökleri egtif r k k k,,..., rsyoel syılrı ol şğıdki q poliomlrı içi gösteriiz: q , lim q e > 37

42 Çözüm: Dikkt edilirse slıd her > içi lim lq gerçekleşir çükü şğıdkiler geçerlidir: lq lq k k l + k l + k + + Tüm bulr isteei kolyc verir. k k k + k + k. k +, k + k. k + k Şimdi tüm Mtemtiği e öemli souçlrıd birisi ol ve trihsel öemi bulu Weierstrss Yklşım Teoremii kıtlmk içi iki hzırlık gereklidir: slıd şğıdki Teorem 6, Weierstrss Teoremide 4 yıl sor kıtlmıştır. Öerme : Her [, ] ve her N içi k k k k k 4 Kıtlm: Her, y R çifti içi ülü, iki terimlii çılım bğıtısı ol + y değişkeie göre bir kez türetilip ile çrpılırs iki kez türetilip ile çrprsk k + y k + y k y k k k k k y k k kk k y k k elde edilir. Tüm bu bğıtılr, y R e olurs olsu geçerli olduğud, özel olrk y yerie lıırs şğıdkiler elde edilir: k k k, k k k k k k, 38 k kk k k k,

43 soucusuu düzeleyerek ve böylelikle k k k k k k + k k k k k k + k k k + k k k k + k buluur, çükü + 4 edeiyle f [, ] içi 4 f f [, ] geçerlidir. 4 Teorem 6 Berstei Yklşım Teoremi: [, ] rlığıd sürekli gerçel değerli her foksiyo, kedi Berstei poliomlrıı düzgü ykısk limitidir. Kıtlm: f : [, ] R foksiyou sürekli olsu. Bu foksiyou Berstei poliomlrı şğıd tımllrdır: B,f k f k k k k [, ], N. k k bili- k Amcımız B,f f gerçeklediğii göstermektir. Dikkt edilirse diğide, souçt [, ] içi f f k k ve k B,f f k k f k f k k k k k f k f k k k olur. Şimdi ε > verilsi. Kplı-sıırlı bir rlıkt sürekli her gerçel değerli foksiyou düzgü sürekli olduğu bilidiğide şğıdki geçerlidir: δ ε >,, [, ] ve < δ ε f f < ε. Şimdi N {,,,..., } kümesii, sbit bir [, ] verildiğide A {k N : k < δ ε}, A {k N : δ ε k } 39

44 yrık lt kümelerie prçlylım. Apçıktır ki N A A ve A A gerçekleşir. Dikkt edilirse f k f k k k k k N f k f k k k + ε + M k A k A δε buluur, burd M f m f yzılmıştır. Gerçekte her k A içi, δ ε > düzgü süreklilik [,] sbitii iteliği gereği k < δ ε ve souçt f k f < ε olduğud k A f k f k k ε k k A k k ε k k k ε k buluur, çükü burd toplm ktıl tüm terimler egtif olmy gerçel syılr ve A N olduğud büyük idis kümesi üzeride lı toplm eşit büyüktür. Öte yd herbir k A içi k δ ε k ve k δε k δ ε ve f k f f k + f M ve bir öceki öerme kullılrk k A f k f k k M k k A M k k A δε k k k k k k M δε k k A k M δε kk k k k k k M δε 4 olur. Demek ki herbir [, ] içi B,f f ε + M δε N ve böylece B,f f ε + M δε elde ederek, uygu bir ε N rcılığıyl B,f f ε ε bulmk kolydır, bu isteile lim B,f f soucuu verir ede? Teorem 7 Weierstrss Yklşım Teoremi: f : [, b] R sürekli foksiyou ve ε > e olurs olsu öyle bir gerçel ktsyılı p ε poliomu vrdır ki f p ε < ε olur, kıscsı f p ε < ε [, b] gerçekleşir. Kıtlm: q + b R birici derece poliomu rcılığıyl g f q [, ] kısıtlm 4

45 foksiyou gözöüe lıırs g f q fq f + b [, ] olur. g f q [, ] kısıtlm foksiyou süreklidir, çükü her [, ] içi + b b yi q [, b] T f olup, f q bileşke foksiyou tımlı süreklidir ve sürekli foksiyolrı kısıtlm foksiyolrı d süreklidir. O hlde Berstei Teoremi edeiyle, ε > verildiğide g B,g < ε olck biçimde B,g Berstei poliomu vr olduğud f + b B,g g B,g < ε [, ] buluur. O hlde p B,g R poliomu içi dikkt: M b b > syeside p M ve böylelikle p B,g p bileşkesi birer poliomdur [, b] kplı rlığıd f p f B,g b < ε [, b] buluur, çükü herbir [, b] içi b rcılığıyl + b böylece f B,g b f + b B,g < ε olmktdır. Bu souç isteedir. Şekil : Weierstrss Teoremi: Grfiği klı çizgili f foksiyouu ε şeridi içide e z bir poliomu grfiği yer lır. Souç : [, b] kplı rlığıd tımlı, gerçel değerli ve sürekli her foksiyo, uygu bir gerçel ktsyılı poliomlr dizisii düzgü ykısk limitidir. Kıtlm: ε + gerçekleye sbit dizisi lısı. Weierstrss Teoremi edeiyle, her N içi, sözü edile f sürekli foksiyou krşılık f p < ε koşulu gerçekleecek biçimde p gerçel ktsyılı poliomlrı vrdır. Dikkt: derp olmsı gerekmez! Souçt lim f p olduğu içi, bu tıml {p } poliomlr dizisii r dizi olduğu lşılır. Souç 3: Bir {p } poliomlr dizisii tüm R kümeside, oktsl limitie düzgü ykısybilmesi içi gyk yielemeli dizi olmsı, kıscsı N, p p + p + gerçekleşmesidir. Kıtlm: Her yielemeli foksiyo dizisii oktsl limitie düzgü ykısycğı pçıktır. Şimdi gereklik gösterilmelidir. {p } hlde kolyc poliomlr dizisii düzgü ykısdığı limiti q lim p ile yzılsı. O 4

46 ε >, ε N, p p m < ε, m ε buluur, buu içi p p m p q + p m q gözlemek yeterlidir ede?. Şimdi gerçel ktsyılı bir p poliomuu derecesii kısc derp ile yzrsk, {p } dizisie krşılık N, içi derp olur, çükü böyle olmsydı, {p } diziside, her m N içi m doğl syısı iddisıdki görevii göremeyeceğide, derp m > m gerçekleye bir p m poliomu yer lırdı, böylelikle, uygu bir rt { k } k Nω doğl syılr dizisi ve derp k k k N gerçekleye bir {p k } k lt dizisi tümevrıml tımlbilir ki; öce < derp gerçekleye poliomu, sor + < derp gerçekleye p poliomu, sor 3 + < derp 3 3 gerçekleye p 3 poliomu tımlm işlemi tümevrıml sürdürülerek, istee {p k } k lt dizisi tımlmış olur ve yeteri büyük k doğl syısı içi kullılrk + pk+ p k < ε < + çelişkisi elde edilirdi. Gerçekte derp k+ k+ > k derp k edeiyle derp k+ p k k+ > > olur ve bilidiği gibi derp gerçekleye gerçel ktsyılı her p poliomu içi y lim p + y d lim p ve souçt p sup p + olduğud, yukrıdki çelişki doğrdı. Demek R ki iddisı doğrudur. O hlde şğıdki doğrudur: 3 m N, m içi derp m Bu iddi size ödevdir. 3 edeiyle şu lşılır: p,m m +,m m + +, +, m, R ve,m Şimdi iddisıd tımlı ε ve bu m rcılığıyl N ε + m tımlsı. Ülü y + y, y R eşitsizliği ve iddisı kullılrk,, m N çifti ve M > sbit pozitif syısı e olurs olsu ε > p p m sup,m m,m m + m,k m,k k R k sup,m m,m m m,k m,k k R k,m m,m m m,k m,k k sup [ M,M] sup [ M,M] k,m m,m m c,m M m,m m,m M m c,m M m buluur, çükü her [ M, M] ve toplmı her k idisi içi M ve k M k M m olur, çükü 4

47 M > geçerlidir, böylece m,k m,k k m,k m,k M k M m c,m k olur, burd kıslık mcıyl c,m m, m N doğl syı çifti e olurs olsu k k,k m,k yzılmıştır. Demek ki, her M > içi,,m m,m M m c,m M m < ε ve,m m,m < ε M m + c,m M M > bulrk M + içi limit lıırs,m m,m yi N,m,m m,m, m N olur. Dolyısıyl, her, m N içi p p m ifdeside m terimii ktsyısı sıfır olduğud p p m sup,m m,m m + m,k m,k k R gözleyerek bezer işlemlerle, her, m N içi k,m m,m,,m m,m,...,, m, ve böylelikle, her, m N içi,m N,m,,m N,m,...,, N, buluur, bu ise her N içi p p N demektir, kıtlm bitmiştir. Dikkt: Yukrdki kıtlm şuu göstermektedir: Tüm R kümeside düzgü ykısk ol bu poliomlr dizisii düzgü ykısdığı foksiyo p yie bir poliomdur. Öerme : f foksiyolrı [, b] rlığıd türetilebilir ve {f } dizisi [, b] rlığıd düzgü ykısk olsu. {f } foksiyo dizisii [, b] rlığıd düzgü ykısk olbilmesi içi gyk uygu e z bir [, b] içi lim f l R limitii vrolmsıdır. Bu gerçekleşirse [, b] rlığıd hem f hem de f d f olur. Kıtlm: ε > verilsi. Hipotez gereği {f } gerçel syı dizisi ykısk ve böylelikle bir Cuchy dizisi olduğud ε N, f f m < ε, m ε ve üstelik {f } türev foksiyolrı dizisi [, b] rlığıd düzgü ykısdığıd f f m < 43 d f ε b, m ε olur. O hlde, y [, b]

48 e olurs olsu, Ortlm Değer Teoremi, türetilebilir f f m foksiyou uygulırs sözgelimi < y ise uygu bir < ξ < y içi,, m ε e olurs olsu f f m f y + f m y f f m f f m y yf f m ξ y f ξ f mξ y f f m < ε y b ε y b < ε ve böylelikle f f m f f m f f m + f f m < ε bulurk, her [, b] içi {f } gerçel syı dizisii bir Cuchy dizisi olduğu, dolyısıyl ülü Cuchy Teoremi edeiyle ykısk olduğu buluur. Üstelik f lim f [, b] biçimide tıml oktsl limit foksiyou, e so souç kullılıp f f m < ε, m ε, [, b] eşitsizlikleride m içi limit lrk, kolyc f f ε ε, [, b] kıscsı f f ε ε buluur. Bu souç [, b] rlığıd lim f f ykısmsıı düzgü olduğuu söylemektedir. Ayrıc ϕ f f y y, ϕ f fy y ε, [, b] {y} ε foksiyolrı tımlırs ϕ ϕ m b, m ε olduğu ve yrıc f y lim ϕ ve y f y lim ϕ lim f y y gerçeklediği lşılır sıl?. Dikkt edilirse [, b] rlığıd hem f d f hem de f d f olduğu lşılır sıl?. Öerme 3: {f } foksiyo dizisii üyeleri [, b] rlığıd sürekli ve, b rlığıd türetilebilir ve üstelik f M N,, b olck biçimde M > sbiti vr olsu. {f } dizisii [, b] rlığıd düzgü ykısybilmesi içi gyk oktsl limitii vr olmsıdır. Kıtlm: Gereklilik pçıktır. Şimdi yeterlik hipotezleri geçerli olsu. Öce < y b gerçekleye gerçel syı çifti içi uygu bir < ξ,y < y syeside f fy lim f f y lim f f y y lim f ξ,y M y gözleirse, Lipschitz koşulu gerçekleye f foksiyou [, b] rlığıd düzgü sürekli olur, böylece ε > verildiğide sbit bir < δ ε < ε 3M pozitif syısı syeside y < δ ε f fy M y < Mδ ε < ε olur. Ayrıc pçık biçimde 3 [, b] [,b] δ ε, + δ ε olduğud, tıkız [, b] rlığı bu çık örtülüş syeside uygu solu te,,..., m oktlrı rcılığıyl [, b] m k k δ ε, k + δ ε gerçekler. Ayrıc herbir k m doğl syısı içi f k lim f k edeiyle N k N, f k f k < ε 3 N k olduğud m k N k doğl syısı syeside, herbir içi f f < ε bulmk rtık kolydır, çükü tüm bu bilgiler yrdımıyl herhgi [, b] lıdığıd uygu bir k m syeside 44

49 k δ ε, k + δ ε böylece f f k f ξ k Mδ ε < ε 3 ve k δ ε edeiyle f f < ε 3 olcğıd f f f f k + f k f k + f k f < ε ve böylelikle f f sup f f ε N buluur. [,b] Örekler 4: Aşğıdki foksiyo dizileri içi {f } ve {f } dizilerii düzgü ykısklıklrıı rştırıız; Çözümler: f rctg +, A R si π g, A R h +, A [, ] Bilidiği gibi her, y R içi y + y geçerlidir, çükü + y + y + y + y yi y + y bezeriyle y y + böylece + y y + y geçerlidir. O hlde + + yi + buluur. Ayrıc rctg + R bilgisii ve Ortlm Değer Teoremii kullıp rctg R buluur, çükü içi bu eşitsizlik pçıktır, içise ister < isterse < olsu ile rsıd yer l uygu bir ξ içi Tüm bulrd, her N içi rctg rctg rctg + ξ. f rctg + + ve f sup R f buluur, çükü dim b + b + b edeiyle + geçerlidir. O hlde f f f 4 + +, f N edeiyle lim f yi f d buluur. Ayrıc

50 böylelikle + yukrıd gözlediğide f ve f + sup f N edeiyle lim f yi f d buluur. Bu souçlrı bulurke {f } foksiyo dizisii üyelerii tım kümesi R sıırlı olmdığıd, gerek Öerme 3 gerekse Öerme 4 kullılmz Bezer biçimde g π N kullılrk g R d elde edilir. So foksiyo dizisi içi h + + edeiyle h d ve h + + ve h + [, ], N bulurk lim h ; ; [, ] ve elde edilir. O hlde {h } tüürev foksiyolrı dizisi oktsl limitie düzgü ykısymz ede?, dolyısıyl Öerme 3 kullılmz. Oys h [, ], N olduğud Öerme 4 kullılır! f, g l +, A [, ] içi yı soruyu çözüüz. Çözüm: Dikkt edilirse f + [, ], N böylece f + gözleyip f sup f sup m f f + [,] e + edeiyle {f } dizisi f sbit foksiyou [, ] rlığıd düzgü ykısr, üstelik lim f olduğud Öerme 3 edeiyle [, ] rlığıd hem f d hem de f d gerçekleşir. İkicisi ödevdir. Bu bölümde rtık bud böyle Foksiyo Serileri ile ilgileelim: Tım 4: Bir kısmi toplmlr dizisii belirlediği f foksiyo serisii A kümeside oktsl ykısdığı oktlr kümesi A { A : lim s f k k s S } f R kümeside bşk birşey değildir ve sözü edile foksiyo serisie A kümeside oktsl ykısr deilir, kıscsı, ck ve ylız A oktlrı içi f lim s limiti vrdır bir gerçel syıdır. Bu foksiyo serisie ck ve ylız sup s f sup R R A A A 46

51 gerçeklediğide, oktsl limitie A kümeside düzgü ykısr deilir, burd R A, N yzılmıştır, bu idisli kl toplm deilir. Somut pekçok öreği görelim: k+ f k Örekler 5: +, +, +, + + Çözüm: İlk iki seri, pçık biçimde R { } kümeside lmlıdır. Biricisi, ] rlığıd ırksr, çükü herbir, ] içi lim + olur, çükü içi bu limit bu krşılık, içi lim lim edeiyle bu limit olmktdır ve bilidiği gibi, herhgi bir y gerçel syılr serisi, eğer ykısks, lim y geçerlidir çükü s y k S y olduğud, kolyc k y s s s S + S s olur. Birici seri,, kümeside ykısr, çükü herhgi,, içi < N edeiyle < + N olur, çükü y + y eşitsizliği kullılmıştır. O hlde herhgi bir > lıdığıd < < + ve souçt + <. ve < + <.. < + bulurk serisii mutlk ykısdığı, dolyısıyl ykısdığı lşılır. İkici seri içi + pçık biçimde ykısktır ve ise + + edeiyle, birici seri içi bulu souç gereği, ck ve ylız < yi < < gerçekleye gerçel syılrı içi ykısr, kıscsı ikici seri, rlığıd ykısr. Üçücü seri, pçık biçimde R {, } kümeside ykısr, öreği, ise < olcğıd + + < + gözlemelidir. Dördücü seri R {,, 3,...} kümeside lmlıdır ve üstelik üçücü serii kısmi toplmlrı s k k + k + k k + k + 47

52 gerçeklediği ve ülü k y k y k y y + y y + + y y y y bğıtısı edeiyle s + gerçekler, kıscsı R {,, 3,...} içi buluur, böylelikle sdece ykısm iddisı değil toplmı değeri bile bulumuştur. ++ si, çözüüz. cos, +, si foksiyo serileri içi yı soruyu l + Çözüm: İlk ikisi ve yrıc soucusu içi gerekli ol ülü Abel Bğıtısı: k k b k k B k k k+ + B N gösterilmelidir, burd B k b + b + + b k k N yzılmıştır ve bu bğıtıyı göstermek kolydır, çükü her k N içi b k B k B k gözleyip, B lırk k ve böylece şğıdki buluur: k k b k k B k k k k+ B k B + k B k B k k k k B k k+ B k k k B k k k+ B k B + k B k k+ B k B + B k k k+. k k Birici seri { π, 4π, 6π,...} gerçel syısı içi pçık biçimde ykısr, çükü sözgelimi π ise si si π N olur. Şimdi R { π, 4π, 6π,...} olsu. Bu durumd si serisi yie ykısktır. Gerçekte k s k si k k k k si k k B k kk + + B kısmi toplmlr dizisi ykısktır, burd k k, b k si k lırk Abel bğıtısı kullılmıştır ve B k si k si si + si R { π, 4π, 6π,...} 48

53 eşitliğii geçerli olduğu gözlemiştir, çükü dikkt edilirse şğıdki toplm içi si B si si k k k cosk cosk + si si + olur, çükü öreğide kulldığımız k k k ve si si b cosb cosb + bilgileri yrdımıyl si B cos cos + si si + buluur. Böylece si lim s B + + lim B B + + B + buluur ve bu so seri mutlk ykısk ve dolyısıyl ykısktır, çükü si y y R edeiyle B si eşitsizlikleri her N ve her { π, 4π,...} içi geçerlidir, böylelikle B + B + si + si buluur, çükü + lim k kk + lim k k lim k + + geçerlidir. İkici seri içi, Abel bğıtısıd ve k cos k si + si { π, 4π,...} eşitliğide yrrlı, dikkt: bu serii, cos π N bilgisi edeiyle her N içi cos π olduğuu ımsyıp { π, 4π,...} kümeside ırksdığı özellikle dikkt edilmelidir, kıscsı ikici seri R { π, 4π, 6π,...} kümesie it gerçel syılrd ykısktır. So seri ise {, } içi lmlı ve ykısktır, çükü s k k k k+ + k k k+ 49

54 olup souçt şu buluur: + lim + Soucu seride k lk+, b k si k lıırs her k N içi < k k+ < l k+ k+ l k +. l k + k +. l k + < k. l k + ;, ; R [, ] l + k+ l k +. l k + ve k içi + gerçeklediği içi Cuchy Sıklştırm Teoremi edeiyle k.lk+ serisi ykısktır, böylece tıpkı ilk örekteki gibi si l + lim B l + + l + + B. l +. l + gözleyip ilk limit ve her / {kπ : k Z} içi < l + + B. l +. l + < si. l + < + olduğud so seri tüm R kümeside oktsl ykısktır..l+ 3 Ayı soruyu şğıdki foksiyo serileri içi çözüüz., l, l +, l Çözüm: Birici seri {, } içi lmlıdır ve bu ler içi şğıdkileri, gözleyerek, toplmı, içi, tıpkı öreğideki gibi lim k ve R [, ] içise k k lim olduğu görülür. İkici seriyse herbir, ] içi ırksr, çükü bu 5

55 durumd edeiyle l l l + gerçekleşir, burd her içi l l < l + < ve < l gözlemiştir. İkici seri, bu krşılık ylızc, rlığıd ykısr, çükü Cuchy Sıklştırm Ölçütü edeiyle l ile l l serileri yı krkterdedir ve kök testi uygulırs serisii, içi ırksk, içi ykısdığı lşılır, bu so seri içi de pçık biçimde ırksr; demek ki ikici seri ylızc, rlığıd ykısmktdır, slıd ikici seri < ise [, rlığıd düzgü ykısr çükü herhgi [, lıdığıd, her k N içi lk lk lk < ve böylece edeiyle ve souçt R R k k k lk lk ε böylece sup R ε olur, çükü z öce gözlediği k+ k k+ k [, gibi, < edeiyle l serisi ykısk olduğud, kl terimleri sıfır ykısr. Üçücü seri pçık biçimde, ] rlığıd lmsız ve tımsızdır, çükü < ise N, < yi > ve souçt + < olmktdır. Bu seri, ] rlığıd d ırksr, çükü bu durumd l + > + > + + N,, ] ve böylece ve souçt N uutmd + l buluur. Ayrıc bu serii, ] rlığıd ırksk olduğuu < çıkrsybilirdik: Bilgi: Pozitif terimli üçücü seri herbir, ] içi l + N gözleyip şu bilgi ile serisi ykısk ise lim olur. Dikkt edilirse, bu bilgii gereği olrk lim gerçeklediğide kesilikle ykısk olmz. l + lim l + + Oys, ise bu kez l + < l + l + < ve böylece l + < < < olur ve edeiyle, Kıyslm ölçütü ile l + serisii ylızc, rlığıd ykısdığı lşılır; dik- 5

56 kt: so irdelemede, olduğud < ve < < edeiyle < gerçeğie özellikle dikkt edilmiştir. Dördücü seriyi icelemede öce,, b R + içi lb e l lb e lb l b l gözleyerek l l l l R + buluur, dikkt l ck ve ylız > içi lmlıdır. O hlde, bu so seri, ck ve ylız < l yi e < kıscsı, gerçekleye gerçel syılr içi e ykısr. 4, e, foksiyo serileri içi yı soruyu çözüüz. e l + l, Çözüm: İlk seri, ck ve ylız [, ] rlığıd ykısr ede?. Öte yd her > içi 4 4! < e yi 4! 6 < e olduğud, her içi < e e < e < 6 edeiyle < 6 e 8π 3 < + bulurk, dikkt: Bölüm de π eşitliği kıtlcktır 6 ikici serii gerek gerekse gerçekleye tüm gerçel syılrd ykısdığı lşılır. Üçücü seri kök testi edeiyle R kümeside mutlk ykısr ede?. Cuchy Sıklştırm Ölçütü edeiyle l serisi ykısktır, üstelik dikkt edilirse l + l l l olduğud, dördücü seri de ikici gibi R kümeside ykısktır. Beşici serii içi ırksdığı gözlemelidir. Dikkt: Yukrd 3 öreğideki serii icelemesi sırsıd yrrlıl bilgisii bir yeter koşul suduğu dikkt edilmelidir. Eğer pozitif terimli serisi ykısk ise lim olur. Bu krşılık lim ve + koşullrıı gerçekleye pozitif terimli serileri vrdır. Öreği, lim l + lim l + ve l + + gözleyiiz, burd so serii, eğer { } pozitif terimli dizisi + gerçekliyors serisiyle serisii yı krkterde oldoğuu söyleye Cuchy Sıklştırm Ölçütü ile ırksk l + l + > l + l + l + 5

57 serisiyle yı krkterde olduğu dikkt ediiz. 5 si π +, si,! Çözüm: İlk iki seri, R kümeside oktsl ykısr, biricisi gerçekler, çükü + foksiyo serileri içi yı soruyu çözüüz.! si π + 4π 4 < + R 4 si π [ ] [ ] + si π + si π + π [ ] si π + si π + + si π π π 4π 4 olur, çükü si < R + geçerlidir. İkici seri herbir R içi mutlk ykısk ve souçt ykısktır, çükü si!! e < + olur. Üçücü seri, pçıktır ki içi lmlıdır ve böyle her içi mutlk ykısktır. Öce, ilerde gösterilecek ol şu bilgiyi kulllım: Pozitif terimli b serisi, eğer lim b + < gerçeklerse ykısktır, dolyısıyl < ise b ykısr, çükü + +!! +! gerçekleir. Bu edele herhgi bir < lıdığıd, bğdşmz i < ve ii < koşullrıd tm birisi geçerlidir., i geçerliyse N, + < < < + ve böylelikle M >, < < M ve M + < M + M M ve + M < + buluur. ii geçerli olduğud, Arşimet İlkesi ile yie bezer bir M > buluup yı kıtlm verilir. Demek ki üçücü seri!! her R + içi ykısmktdır. O hlde her < içi üçücü seri mutlk ykısr, çükü şğıdki geçerlidir: < ise +! 53 +!

58 6 ζ serisii ykısklığıı ve ζ foksiyouu sürekliliğii iceleyiiz. Not: Bu ülü foksiyo Riem zet foksiyou deilir. Dikkt edilirse içi bu foksiyo serisii ırksdığı pçıktır. Bu seri herbir, ] içi de ırksr, gerçekte herhgi bir < lısı ve sbit tutulsu S k N k kısmi toplmlr dizisi ırksr, çükü her N içi < S S edeiyle {S } dizisi bir Cuchy dizisi olmz, gerçekte edeiyle S S S S olur. Bu krşılık bu foksiyo serisi herbir, içi ykısktır, çükü < < ve bu so seri ykısk bir geometrik seridir, üstelik < ζ <, geçerlidir Zet foksiyouu sürekliliği ve üstelik, rlığıd her oktd sosuz mertebede türetilebilir olduğu ilerde lşılcktır. Artık foksiyo serilerii düzgü ykısklığıyl ilgileilebilecek deli olgulştık. Aslıd sözgelimi foksiyo serisii herhgi < içi [, rlığıd düzgü ykısdığı Örekler 5.3 içide l kıtlmıştı. Örekler 6: lim lim foksiyo serisi ylızc, rlığıd oktsl ykısr çükü lim limiti ck ve ylız < içi vrdır. Bu foksiyo serisi < ε < e olurs olsu [ε, rlığıd sl düzgü ykısmz, çükü dikkt edilirse lim sup R [ε, + olur, çükü ε N, sup R > + ε [ε, + 54

59 geçerlidir, çükü herhgi [ε, içi < < böylece R k+ gözleyip herhgi [ε, içi m m ve k m + > m sup R sup R R + [ε, [ε, buluur, souçt lim + edeiyle ε > syısı krşılık ε N, ε < r + < ε olduğud sup [ε, R R r r+ + r + > r + + ε r + + kıscsı eşitsizliği buluup limit lıırs ve + e olduğud istee çıkr. Oys foksiyo serisi < ε < e olurs olsu [ ε, ε] rlığıd düzgü ykısr, çükü her [ ε, ε] ve her N içi ε edeiyle ve δ + olduğud R k+ k k+ ε k ε+ ε δ sup R δ N bulrk lim [ ε,ε] sup R [ ε,ε] Zet foksiyouu tımıd kullıl foksiyo serisii düzgü ykısklığıı iceleyiiz. elde edilir. Çözüm: Bilidiği gibi ζ + ve souçt, her N içi olduğud + N k+ k lim N k+ N, N N, < N buluur, çükü eğer her N N içi olsydı bu kısmi toplmlrı + N limiti içi + k+ k < + gerçekleirdi. Bu gözlemi rdıd foksiyo serisii, oktsl ykısdığı, rlığıd düzgü ykısmdığı çıkrsır. Gerçekte Tım 3 te görüldüğü gibi R pozitif kl toplmı içi, k sup R sup R gerçeklemesi,, 55

60 gerekirke +N k+k m + + m m N m m + N ve souçt m içi limit lırk dikkt: bu limit işlemide sup R etkilemez, < + + [ ] lim + N m + + m m + N m sup R, buluur. Siz slıd, her M > syısı içi M içi [ + ε, kplı ve sıırsız rlığıd düzgü ykısr, çükü dikkt edilirse < <, y ise, her N içi < y ve böylece y < N edeiyle ζy y < ζ olduğud dikkt: < b N ve fkt tek bir N içi bile < b ve üstelik hem hem de b serileri ykısk ise, s b k k kısmi toplmlrı, her k N içi b k k uutmd < b b + b k k b k k s s s + k gerçeklediğide, souçt < s lim s b b edeiyle < buluduğu, özellikle eğer < b ise bu ykısk serileri < k k b b gerçeklediğie dikkt ederek, < < y < ζy < ζ bulucğıı gözleyiiz. Yukrıdki edelerle her 56

61 [ + ε, ve her N içi R k+ k k+ k +ε r sup R sup R r [+ε, [+ε, ve r olduğud lim sup R bulurk, [ + ε, rlığıdki düzgü ykısm [+ε, iddisı gösterilmiş olur, burd de bğımsız ykısk +ε serisii kl toplmı r içi < r k+ k +ε ζ + ε kk +ε gerçeği kullılımıştır. Demek ki foksiyo serisi, rlığıd oktsl ve < gerçekleye her R + içi [, rlığıd düzgü ykısmktdır. 3 +, si, l + si, foksiyo serileri içi yı soruyu çözüüz.! Çözüm: Birici serii, herbir,, R [, ] içi ykısdığıı biliyoruz. Kıslık mcıyl A R [, ] yzlım. Birici foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısymz, çükü herhgi, A ve k > içi sup A R R R k+ + k > + k dolyısıyl, her N lıdığıd, herbir m > ve m + m A içi sup A R > + + m m m yzılır ve m içi limit lrk < e < + e sup R N buluur, bu souç, sl A lim sup R olmdığıı söylemektedir. Bu krşılık, birici seri her ε > içi A ε A, + ε] [ + ε, kplı kümeside düzgü ykısr, çükü her A ε içi + ε ve souçt < + ε k k ve R k+ k + k+ k k+ + ε k r N olur, böylelikle sup A ε R r N buluur, oys ykısdığı, Örek 5. içide erede? gösterildiğide r k+ + ε + ε k pozitif terimli serisii 57

62 geçerli souçt lim sup R buluur. İkici foksiyo serisi tüm R kümeside oktsl A ε ykısr m düzgü ykısymz, çükü I [, π] rlığıd bile düzgü ykısymz, çb gerektire bu kıtlmyı şğıd verelim: Herzmki gibi R sik k+ k şuu kıtlylım: R I 5 N. I, N yzlım ve Gerçekte N doğl syısı N >> ve N π N, π I olmk üzere şuu gösterebiliriz: R I R N R N > 5 N. Dikkt edilirse, öcelikle si N N si 4N N olduğu içi, toplm ktıl terimleri yzmd R N N k+ + N kn+ + 3N kn+ + 4N k3n+ + R 4N N olur, burd gerek prtezi içi gerekse R 4N N kl toplmı pozitifdir. Gerçekte birz ilerde gösterileceği gibi, her [, π ] içi π si olduğud, herbir < k N içi < N < k N N N π ve böylece yukrdki eşitsizlik ile N k+ si k N k si k N k k N kπ N, N N N > 9 buluur, oys 3N kn+ si k N k 3N kn+ k < N N + < ve böylece 3N kn+ si k N k 3N kn+ si k N k > buluur, yrıc dikkt edilirse N kn+ si k N k + 4N k3n+ si k N k > 58

63 geçerlidir, çükü bu toplmlr sırsıyl N kn+ 4N k3n+ si k N k si k N k N i N i si N + i π N N + i si 3N + i π N 3N + i N i N cos i N N + i i cos i N 3N + i ve böylece bulrı toplmı N i cos i N N + i 3N + i N cos i N N. N + i 3N + i i N cos i N > N. 3N + i > i buluur, burd, herbir i N idisi içi i N π N N < π, cos i N > ve yrıc şulr gözlemiştir: Tüm bulrd kolyc N + i π N π + i N si N + i π π si N + i N cos i N, si 3N + i π 3π si N + i N cos i N. R N 9 + R 4N N 5 + R 4N N > 5 bulucktır. So şmd rtık R 4N N k4n+ k4n+ si k N > k göstermeliyiz; yukrd S k4n+ k4n+ si k N k > N 59

64 gerçekleştiğie dikkt edilmiştir. Gerçekte N π N uutmd, her N içi si 4N + N N si + π, si 4N + 4N N si + π geçerli ve üstelik kıslık mcıyl toplm ktıl terimleri yzmd S 4N+N k4n+ + 4N+N k4n+n+ + 4N+3N k4n+n+ + 4N+ k4n+3n+ buluur, yukrd N terimde oluş birici ve üçücü toplmlr sırsıyl 4N+N k4n+ 4N+3N k4n+n+ si k N k si k N k N si 4N + i π N N 4N + i i N si 4N + N + i π N 4N + N + i i i N i si N + i N 4N + N + i N i si i N 4N + i si i N 4N + N + i olup bulrı toplmı N. > N. N si i N 4N + i 4N + N + i i N i si i N 4N + N + i > gerçekler, çükü herbir i N idisi içi geçerlidir. Okuyucu S toplmıd N terimde oluş ikici ve dördücü toplmlrı toplmııs 4N+N k4n+n+ > N i N i si k N k + 4N+ k4n+3n+ cos i N 4N + N + i 4N + 3N + i cos i N 4N + 3N + i > si k N k 6

65 gerçeklediğii gözlemelidir. Tüm bulrds şu istee souç buluur: R I 5 N, lim R I 5. Bu krşılık, ikici foksiyo serisi, ε > e olurs olsu [ε, π ε] kplı rlığıd düzgü ykısr. Gerçekte, tıpkı Abel bğıtısıd ypıldığı gibi B k b i olmk üzere N k+ i k b k N k b k k b k N B N B + N B k k k+ < N k eşitliği geçerli olduğud, yie k k B si si + si N, [ε, π ε] olduğud, herhgi N ve N > içi N k+ si k k N k+ BN si k k N B + N k B k kk + ve böylece N içi limit lrk R N k+ R N B si k k üstelik kk N olduğud k B + B k kkk +, + B k kkk + [ si kkk + + ] sup R [ε,π ε] si si ε N, [ε, π ε] buluur, çükü her [ε, π ε] içi ε π ε < π ve siüs foksiyou, δ > e olurs olsu [δ, π δ] rlığıd e küçük değerie δ ve π δ oktlrıd erişir dikkt: siπ δ si π cos δ cos π si δ cos π si δ si δ uutmyı kıscsı her [ε, π ε] içi < si ε si edeiyle si si ε yzılmıştır. O hlde kolyc, istee souç lim sup R buluur. [ε,π ε] Siz şğıdkii gösteriiz: N k+ si k k si N, R {kπ : k Z} 6

66 Üçücü seri, rlığıd oktsl ykısr m düzgü ykısymz, çükü her N ve, içi, N > ise şğıdkiler sup R R R l + k, k+ k k N k+ l + k k k buluur, bu eşitsizlikleri özel olrk r m + m, m N rsyoel syılrı içi yzrsk N k+ l + kr m kr k m sup R m N, olur, m içi r m olduğud, gerek N doğl syısı gerekse sğ yukrıdki supremum m doğl syısıd bğımsız olduğu içi m içi limit lıp N k+ l k lim N m k+ l + kr m kr k m sup R, eşitsizlikleri her N > içi doğru olur, N içi limit lıp + l k+ k sup R + N, buluur, bu souç, rlığıd foksiyo serisii düzgü ykısmdığıı söylemektedir. Üçücü seri [+ε, rlığıd düzgü ykısr, çükü her [+ε, içi l+ ve souçt R k+ l+k k k k+ k k +ε +ε r k +ε ve sup [+ε, R r edeiyle istee buluur. Dördücü seri her kplı-sıırlı rlıkt, özellikle M > e olurs olsu [ M, M] rlığıd düzgü ykısr, ede? 4 si π +, yı soruyu çözüüz. si 3, l + l, + foksiyo serileri içi İlk seri R kümeside oktsl ykısr, düzgü ykısymz, çükü birici foksiyo serisii kl toplmlrı içi R k+ siπ k + > siπ m + > eşitsizliği her R, her N ve m > içi geçerli, souçt m m lırk R > si π m + m si πm buluur, oys sosuz syıd m> doğl syısı içi, ülü Dirichlet Teoremiyle si πm > gerçeklediğide ede? sup R sup R > bulurk sup R olmdığı lşılır. R R 4 R 6

67 Oys bu seri, M > e olurs olsu [ M, M] rlığıd düzgü ykısr, çükü < si π + < 4π 4 4 4π M 4 N, [ M, M] 4 olduğud birzd kıtlck ol Weierstrss Teoremi kullılır. İkici foksiyo serisi içi lmlı ve her içi ykısktır, çükü si y < y y R + bilgisiyle si 3 si 3 3 < + edeiyle bu seri mutlk ykısk ve souçt ykısktır, oys bu seri değil, rlığıd, rlığıd bile düzgü ykısymz, çükü bu d itibre, rlığıd çlıştığımızı uutmd N içi R sup R 4, 3π gerçekleşir, çükü q 3 π irrsyoel ve r 3 rsyoel syılrı rcılığıyl, herbir q,, gerçel syısı ve herbir k > doğl syısı içi q 3 π < < edeiyle < 3 k < 3 < π böylece < si 3 k < k > gözleyerek, şğıdki pozitif terimli ykısk toplm içi sup R sup R sup, q, sup q, q, k+ + si r buluur, çükü ϕ si, π ] foksiyou içi ϕ ϕ π ϕ böylece şğıdki eşitsizlik geçerlidir: souçt r q,, π olduğud π si, π ] sup + si q, si si r k si 3 k, π ] > 3 3π 4 3π olduğud buluur. Demek ki I, rlığıd çlışılırs lim R I 4 edeiyle, yukrıdki seri I, 3π rlığıd böylece, rlığıd düzgü ykısmz. Oys bu seri her ε > içi A ε [ε, rlığıd 63

68 düzgü ykısr, çükü her A ε içi ε böylece R k+ k si 3 k k+ k 3 ve souçt R Aε < δ N ve δ + edeiyle lim R Aε Üçücü foksiyo serisi pozitif terimlidir ve < 3 ε δ 3 buluur, buys isteedir. R k+ l + kl > l + k + l + N, R + ve böylece şğıdki bulurk sup R, l sup, + l + + l + + l + > l 9 > + > l + + l + üçücü serii, rlığıd düzgü ykısymdığı lşılır, burd dikkt edilirse l + < l l + 3 < 3 3 ve l + < 9 3 ve /3 + l + > 9 3 > gözlemiştir. Üçücü seri, M > e olurs olsu [ M, M] rlığıd düzgü ykısr, buu 9 9 gösterebilmelisiiz. Soucu seri [, M] rlığıd düzgü ykısr oys [, rlığıd düzgü ykısymz, çükü < N gerçekleye doğl syı çifti ve M > pozitif sbiti e olurs olsu N k+ geçerli olduğud ede?, öce M limiti lııp lııp + k+ k M k k + M < R M < sup R [, sup R soucu buluur. [, N k+ k sup R ve sor N limiti [, Şimdi sırd çok kullışlı üç te, düzgü ykısm üzerie yeterlik bildire teorem vr. Bu teoremlerde ise koşulu dikkt ediiz. Teorem 8 Weierstrss: A kümeside tımlı f < + koşuluu gerçekliyor ise A kümeside düzgü ykısktır. Kıtlm: Her A içi R k+ f foksiyo serisi, f k 64 k+ f k k+ f k r N olur,

69 çükü f k sup f k f k geçerlidir. Fkt f serisi ykısk olduğud lim r A ve sup R r edeiyle R sup A f k A k+ sup A R olmk üzere R buluur. Souç 4: A kümeside tımlı f foksiyo serisi c ler sbit olmk üzere eğer f c N, A gerçekliyor ve c serisi ykısıyor ise düzgü ykısktır. Kıtlm: Hipotezler ltıd f c N ve f c < + edeiyle f serisi ykısk olduğud öceki teorem kullılır. Örekler 7: R foksiyou bir öceki souç edei ile tüm R kümeside düzgü y- + + N, R lıırs f c N, R ve kısr, çükü f c ζ serisii ykısklığıı gözlemek yeterlidir. cos + ve e foksiyo serileri bezer iteliktedir. [ M, M] rlığıd düzgü ykısy eredeyse tüm foksiyo serileri içi yie yukrıdki souç kullılır. Bu rd + foksiyo serisi her ε > ve M > ε! içi [ M, ε] [ε, M] kümeside düzgü ykısr, çükü c M + ε. lıır.! Not: Teorem 8 çoğulukl Weierstrss M Ölçütü Büyükçe mjort Ölçütü olrk biliir. Sırd Dirichlet ve Abel i yeter koşullrı vr: Teorem 9 Dirichlet Yeterlik Teoremi : f, g : A R N foksiyolrı şğıdki koşullrı gerçekliyor ise f.g foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısr. i A içi {f } dizisi tekdüzedir, ii lim f, iii M >, g k M N, A. k Kıtlm: i koşulu ltıd f + f foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısdığı içi, bir sorki Öerme 4 kullılır ve f.g foksiyo serisii düzgü ykısdığı çıkrsır. Gerçekte sözü edile ilk seri içi, i hipotezi edeiyle, R k+ f k+ f k ±f + A, N olur, sözgelimi {f } dizisi tekdüze zlmy, yi f f + N ise her k N içi 65

70 f k+ f k böylece bu durumd R f + N, A olur, çükü R k+ lim N f k+ f k N k+ k+ f k+ f k f k+ f k lim f + f + + f +3 f f N+ f N N lim f N+ f + lim f N+ f + f + N N f + buluur, çükü f f sup f f A, N A ve lim f olduğud lim f lim f N+ geçerlidir, eğer {f } dizisi tekdüze N rtmys yi f + f A, N ise bu kez R f + olur. Souçt R f + f + A, N ve böylelikle R sup R f + olduğud A bu souç f + f foksiyo serisii düzgü ykısdığıı söylediği içi, şğıdki öerme kullılır, istee souç çıkrsır. Öerme 4: f, g : A R N foksiyolrı içi şğıdki koşullr geçerli ise f.g foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısr: i f + f foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısr. ii lim f, iii M >, g k M N, A. k Not: Bu öerme slıd Dirichlet Teoremi de dh sor, ou birz olsu geelleştimek mcıyl verilmiştir. Kıtlm: Verile hipotezler ltıd f.g foksiyo serisii kl toplmlrı içi şulr geçerlidir: Kıslık mcıyl G k g k yzılırs iii koşulu edeiyle G M N, A gözle- 66

71 yip geelleştirilmiş Abel bğıtısıyl R k+ lim N k+ lim N k f k.g k N f k.g k f N.G N f.g + G k. f k f k+ G k. f k f k+ k f.g buluur, çükü {G } dizisi sıırlı, oys lim f edeiyle, A içi {f } dizisi böylelikle {f.g } dizisi sıfır ykısr. Böylece lim f NG N olur ve N R k+ M. M. G k. f k+ f k + f +. G [ k+ [ k+ f k+ f k + f + f k+ f k + f + ve souçt R sup R M.sup f k+ f k + f olur, sğ yı hipotezler edei ile içi sıfır ykısdığıd f.g foksiyo serisii kl A A k toplmlrı lim R gerçeklediğide, sözü edile serii A kümeside düzgü ykısdığı lşılır. Souç 5: Eğer şğıdkiler geçerli ise i f + f N, A, ] +.f foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısr: ii lim f Kıtlm: g + N, A lrk Dirichlet Teoremi kullılır, çükü g k k N, A gözleyiiz, çükü dikkt edilirse ; çift ise g k geçerlidir. k ; tek ise si foksiyo serilerii tüm R küme- Örekler 8: + +, side düzgü ykısdığıı gösteriiz , Çözüm: Hepsi içi, yukrıdki Souç kullılır, Öreği f + içi + + > + > f + 67 ] f, lim f

72 lim sup R + lim olur. Bezer biçimde ikici seri içi f + + > + + > > + + f lim f lim sup R + + lim, üçücü seri içi f N, R yzılırs + + lıırs + + f, + + si si < + ve < f ve + + si + + si edeiyle < f + < f N, R ve yrıc f sup R + yi lim f buluur. Burd, gerekli olduğud şu temel bilgiyi verelim: A + + si if + + si A Bilgi: Eğer ϕ gerçel değerli foksiyou içi if ϕ > ise sup A ϕ eşitliği geçerlidir. if ϕ Dikkt: eğer if ϕ ise sup A ϕ + geçerlidir. Gerçekte kıslık mcıyl if ϕ α A A yzılırs, hipotez gereği < α ve ifimum tımı gereği α ϕ A buluur. Üstelik A Koş: ε >, ε A, ε < α ϕ ε koşulu gerçekleşir, gerçekte eğer α ε ise α ε < ϕ A edeiyle herhgi bir A seçilerek α ε < ϕ buluur; yok eğer < α ε ise < ε < α ve εα < ve < α < α εα böylece ifimum tımı gereği δ ε >, ε A, ϕ ε < α + δ ε < α εα ve souçt < α < ϕ ε uutmd bölme yprk α ε εα α < ϕ ε istee soucu ulşılır, yi yukrıdki Koş koşulu yerie gelmiş olur. Tüm bulr if ϕ sup elde edilir. sup R + + si A ϕ A if R + + si + Aşğıdki serileri ylrıdki kümede düzgü ykısk olduğuu gösteriiz: si si +, A R si rct, I ε [ε, π ε] +, A [ε, 68 eşitliğii verir. Bu bilgi edeiyle

73 + e, A [, + e si, A [, M] M > + si l, A [, M] M >. + + Çözüm: Hepsi içi, Dirichlet Teoremi kullılır. öreği birici foksiyo serisi içi f g si si lıırs g k N, R gözleir, çükü k k. g k si k si k k cosk k cos kk + k cos cos + +, ve her N içi < f + < f ve f geçerlidir. Şimdi ikici foksiyo serisi ile uğrşlım. si Bu seri rct π + π si serisie eşit olup burd toplm ktıl her iki seri de I ε [ε, π ε] kplı rlığıd düzgü ykısr ikicisi bilidiğide biricisii düzgü ykısklığı gösterilmelidir, oys Abel bğıtısı ve k kk + + k k + k + + edeiyle si k k k B k k kk + + B si. k kk + + si si ε olduğud Dirichlet Teoremi kullılırs f rct π ve g si N, I ε.lırk g k k si ε M olur ve rctjt rt olduğud f < f + < N, I ε ve π f sup f sup I ε I ε rct π if rct π rct ε olur, çükü I ε iyi bilidiği gibi her > içi lim rct π geçerlidir. O hlde yukrd topl her iki foksiyo serisi de I ε rlığıd düzgü ykısdığıd toplmlrı d düzgü ykısr ede?. Üçücüsüü de Dirichlet Teoremi ile çözelim. Gerçekte Dirichlet Teoremii uygulybilmek içi f l + + ve g si lıp f + f N, [, M] gözleyerek ve f zl bir foksiyo olduğud f f buluur. Ayrıc l + g k k k si k k < 5 π N, R gösterilmelidir. Bu eşitsizliği [ π, π] rlığıd göstermek yeterlidir, ede?, oys g k foksiyolrı tek foksiyo ve g k g k gerçeklediğide slıd [, π] rlığıd göstermek yeterlidir. Bu k k 69

74 eşitsizlik ve π içi pçıktır, şimdi, π lııp < π gözleip π π + tımlırs şulr buluur: + 3 π, üstelik si y y y R edeiyle, eğer ise k si k k olur, bu krşılık eğer < ise k si k k buluur, çükü her y [, π y ] içi π si k k k si k k k + [ π ] + > π böylece < π < π uutmd < π + < k k k.. 3 π k + si k k 3 π + π si y olduğud dikkt: bu so eşitsizlik y içi pçıktır ve y, π si y ] içi ϕy y foksiyou ϕ y gerçeklediğide tekdüze rtmydır ve böylece π ϕ π si y ϕy buluur, souçt < y π si, π ve böylece si si π π, π olur üstelik < ve < geçerlidir. O hlde < N ve / {kπ : k Z} e π olurs olsu geçerli ol N k+ si k k si si k eşitsizliğide yrrlrk k k + si <. π π π, π bulurk yukrıdkiler elde edilir. Böylece {f } dizisii tekdüzeliği lim f ve g k < 5 π k N, [, edei ile Dirichlet Teoremi uygulrk istee buluur, bitti. Teorem Abel Yeterlik Teoremi : f, g : A R N foksiyolrı eğer i A içi {f } dizisi tekdüzedir, ii M >, f M N, A, iii g foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısktır. koşullrıı gerçekler ise f.g foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısktır. Kıtlm: Bir sorki öermede elde edilir sıl? Öerme 5: f, g : A R N foksiyolrı eğer i sup f + f < + A ii A kümeside g foksiyo serisi düzgü ykısr. iii M >, f M A 7

75 koşullrıı gerçeklerse f.g foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısktır. Kıtlm: Kıslık mcıyl M sup f + f yzrsk her N ve her A içi A f M + M M buluur, çükü, ve böylece f f k+ f k + f k f f k+ f k + f k sup A f + f + M f + f + M M + M M buluur. O hlde G g k ve g g yzrk f.g serisii kl toplmlrı içi, şğıdkiler buluur: k N k+ N f k.g k f N.G N f.g + G k. f k f k+ N f N. G N g + f. g G + G k g. f k f k+ çükü dikkt edilirse şğıdkiler geçerlidir: N k G k. f k f k+ N N k+ k k k G k g. f k f k+ + g. N k f k f k+ N G k g. f k f k+ + g. f f N k O hlde her N ve her A içi h G g yzılırs sup g A k k+ M uutmd h G g g k k+ ve böylece h sup h sup g A A k k+ M edeiyle lim h buluur. Souçt lim h N.f N lim h.m ve üstelik N N R lim f k.g k lim f N h N f.h + N h k. f k f k+ N f.h + h k. f k f k+ k olur. Oys lim h edeiyle h < k ε M + olduğud her içi 7

76 şğıdki toplmd k + > ve olur, çükü sup R f. h + A k f. h + h k. f k f k+ k h k. f k f k+ k M ε. M + + ε M + sup f k f k+ < ε A k f k f k+ sup f k f k+ M < M olmktdır. A k O hlde R sup R ε kıscsı R buluur, buys f.g A foksiyo serisii A kümeside düzgü ykısmsı demektir. Uyrı: Abel Teoremi Artık Öerme 5 d kolyc elde edilir, çükü Abel teoremideki i ve ii koşullrı gerçekleiyors sup A f + f M < + bulmk kolydır, öreği {f } tekdüze dizisi zlmys f + f f + f lim k f k+ f k lim f k+ f k lim f + f lim f + f k lim f + + f M olur. Örekler 9: Pozitif terimli olmsı gerekmeye serisi eğer ykısk ise kuvvet serisi [, ] rlığıd düzgü ykısr. Çözüm: Öcelikle serisi ykısdığıd R k+ k kl toplmlrıı lim R gerçeklediği gözlemelidir. Her N ve her [, ] içi f, g tımlırs f N, A olur. Bu foksiyolr pçık biçimde Abel Teoremii i, ii ve iii koşuluu gerçekler çükü g k toplmı değişkeie bğlı olmy k R kl toplmı olduğud k+ k+ sup g k R olmktdır. O hlde Abel teoremi edeiyle foksiyo serisi [, ] A k+ 7

77 rlığıd düzgü ykısr. Bu şıktki gerçeğe Abel Toplbilme Teoremi deilir, çükü olur, burd f [, ] yzılmıştır. Aşğıdki foksiyo serilerii ylrıd yzılı kümelerde düzgü ykısdığıı gösteriiz: + + rct, A R + cos + + cos, A [ M, M] +, A [,, A [, ve e, A [, f Hepsi Abel Teoremi edei ile düzgü ykısktır. Birici seride g + + N, R lıırs, rctget rt ve g foksiyo serisi Örek 8. de kıtldığı gibi R kümeside düzgü ykısk olduğud, rct y π y R edeiyle Abel Toremideki tüm koşullr yerie gelir. İkici + seri içi, tıpkı Örek 8. de ypıldığı gibi serisi tüm R kümeside, bu rd [, M] r- + + cos lığıd düzgü ykısr ve Arşimet İlkesiyle M < π gerçekleye N ve her ve, M] içi < + < M π ve cosiüs, π ] rlığıd zl olduğud, g cos foksiyou içi g cos cos + g + olur, bu eşitsizlikler içi pçıktır, böylece + cos foksiyo serisi [, M] rlığıd ve böylece [ M, ] rlığıd ve souçt + + cos + cos + + cos foksiyo serisi [ M, M] rlığıd Abel Teoremi edei ile düzgü ykısr. 3 Abel Teoremii kullrk foksiyo serisii I ε [ε, π ε] rlığıd düzgü ykısdığıı kıtlyıız. Çözüm: Bu foksiyo serisii + si +. si + biçimde yzıp her N ve her [, ] içi f ve g si lırsk f f + N, [, ] gözleyip üstelik g serisii I ε rlığıd düzgü ykısdığıı htırlyck olursk, Abel teoremi edeiyle çözüm biter. Aşğıdki teorem gerçi Teorem i de kolyc elde edilir m biz bğımsız bir kıtlm verelim: Teorem : f : A R N foksiyolrı sürekli, f foksiyo serisi A kümeside düzgü ykısk ise f f A toplm foksiyou A kümeside süreklidir. Kıtlm: A lısı. ε >, δ ε >, < δ ε ve A f f < ε göstermek istiyoruz. Düzgü ykısklık edeiyle R k+ 73 f içi R sup R < ε A 3 ε ve

78 böylelikle, uygu bir δ ε > içi < δ ε ise f f ε k ε+ f ε f f + R ε R ε böylece f f + k ε+ ε ε f f f f + R + R < f f + ε 3 < ε f istee soucu buluur, çükü herbir ε idisi içi f foksiyolrıı herbiri A oktsıd ε sürekli olduğud δ,ε >, < δ,ε ve A f f < 3 ε + olduğud gelişigüzel bir < δ ε mi{δ,ε, δ,ε,..., δ ε,ε} seçilirse < δ ε < δ,ε ε olduğud < ε δ ε < δ,ε f f < ve böylelikle şğıdki bulurk, istee elde edilir. 3 ε + < δ ε ε ε f f < ε. 3 ε + < ε 3. Dh kıs bir kıtlm: s k f k N yzıp R f k k+ f s N gözleyip f s A R A yi f d lim s buluur ve Teorem i uygulır. Souç 6: f : [, b] R N foksiyolrı sürekli, f foksiyo serisi [, b] rlığıd düzgü ykısk ise lim f f [, b] olur. Bu bir öceki teoremde elde edilir sıl? Örekler : + lim l lim + gösteri. Çözüm: Leibiz Teoremi i ımsylım: { } pozitif terimli serisi zlrk sıfır ykısrs + lmşık serisi ykısktır. [Gerçekte s k+ k N kısmi toplmlrı ykısr, çükü < s < s + <... < k s + < s s N gerçekleir, çükü < + < N edeiyle toplm ktıl prtezler pozitif olduğud s > ve s + s > s geçerlidir, bu krşılık s + s + + s + < s s, olduğud, rt ve üstte sıırlı {s } dizisi ile zl ve s ile ltt sıırlı {s } dizisi ykısktır, üstelik limitleri yıdır, çükü s + s s + s + geçerlidir, bu edele {s } dizisi ykısr, çükü iyi bilidiği gibi bir { } gerçel syı dizisi, ck ve ylız lim l lim + gerçekleirse lim + l gerçekler.] O hlde ykısktır + ve Örek 9. edeiyle kuvvet serisi [, ] rlığıd düzgü ykısr ve yukrıdki souç 74

79 edeiyle lim olur, çükü ileride gösterileceği gibi +. lim + l l + +., ] geçerlidir. İkici foksiyo serisi, sözgelimi [, ve böylece [, ] rlığıd düzgü ykısk olduğud, bir öceki souç kullılır. lim + lim + gösteri. Çözüm: İkici seri içi bir öceki Souç u kullı. İlk seri ise bir Aliz I sorusudur, çükü her [, içi + oys içi pçık biçimde + olur, dolyısıyl ilk foksiyo serisi [, ] rlığıd düzgü ykısmz, ksi hlde ; [, toplm foksiyou f : lim f lim olur. [, [, sürekli olmsı gerekirdi, oys değildir. Fkt lim f 3 cos e foksiyo serisi erede düzgü ykısr? Çözüm:Bu foksiyo serisi [ε, rlığıd mutk ve düzgü ykısr, Teorem 6 d sor gele Souç u kullı. Bu foksiyo serisi eğer [, rlığıd düzgü ykıssydı f cos toplm foksiyou her [, içi tımlı ve f R [, olurdu, oys f + e. buluurdu! Bu seri, ] rlığıd oktsl ve dolyısyl düzgü ykısymz ede?. Ayrıc bkz. Syf56, Örek4. Öemli Not: Bze ykısk serilerii toplmıı hesplmd, şğıdki ülü ve kullışlı teorem çok işe yrr. Bu ülü soucu Avusturylı mtemtikçi Alfred Tuber 897 yılıd göstermiştir: Tuber Toplbilme Teoremi: Eğer şğıdki koşullr gerçekleirse: i lim ise, ii f kuvvet serisi, rlığıd ykısks, iii lim f l limiti tımlı ise bu durumd l geçerlidir, yi toplmı hesplbilir. 75 e

80 İspt: Her zmki gibi s k yzrk kolyc her, içi şulr buluur: k s f k k k + k k k k k k k k k+ k k+ ve bilidiği gibi, herbir < < içi k k k olduğud, souçt s f. k k + k k+ k k buluur, oys i hipotezi edeiyle ε N, < ε 3 ε böylece k ε 3k k ε olur. Herhgi bir > ε lıdığıd k+ k k < ε 3 k+ k k < ε 3 k+ k < ε 3 k k ε 3 buluur. Özel olrk r N rsyoel syılrı içi r ve r uutmd s f r. k k + ε 3 buluur. Oys lim olduğud, bu so dizii ritmetik ortlmlr dizisi içi lim k. k k olduğud, souçt tüm bu bildiler edeiyle, yeteri büyük herbir doğl syısı içi k s l s f r + f r l < ε 3 + f r l < ε buluur, buys şğıdki istee soucu verir. lim s l. Şimdi de foksiyo serileride türetilmeye ve tümlevleebilmeye ilişki bilgileri edielim. Öerme 6: Her N içi f : [, b] R foksiyolrı türetilebilir olsu. Eğer i f foksiyo serisi [, b] rlığıd düzgü ykısk ii [, b], f serisi ykısk 76

81 koşullrı gerçekleirse f foksiyo serisi [, b] rlığıd düzgü ykısktır ve üstelik şğıdki geçerlidir: f Kıtlm: Her N ve [, b] içi s f [, b] k f k omk üzere öerme 3 deki tüm koşullrı gerçekleye {s } türetilebilir foksiyolr dizisie, her [, b] içi lim s f olduğu ve hipotez gereği lim s limiti vr olduğud, Öerme 3 uygulrk isteeler elde edilir. Örekler : +, si 3 +, cos +, + l + rct, + foksiyo serilerii toplm foksiyolrıı erede türetilebilir olduğuu belirleyi. Çözüm : Birici serii hem kedisi ve hem de + + foksiyo serisi tüm R kümeside düzgü ykısktır ve bir öceki öermeyle + + cos olur. İkici seri içide bezer şeyler geçerlidir. Üçücü seride g N, R yzılırs + g si + foksiyo serisi sözgelimi [, π 6 ] rlığıd düzgü ykısymz. Çükü dikkt edilirse Abel bğıtısı kullılırs her, π 6 içi. si lim + k k. si k + si + si si k geçerli olup, burd köşeli prtez içide yzılı foksiyo serisi R kümeside düzgü ykısr, çükü pçık biçimde + < + + ve + si si < c N, R olmktdır, o toplm g deilirse dikkt: g + R gözleyiiz, souçt si + g foksiyou oktsıd süreksizdir, çükü bu oktd türüde kldırılmy süreksizliğe si shiptir. Oys üçücü seri Dirichlet Teoremiyle [ε, π ε] rlığıd düzgü ykısr ede? ve üçücü seri, [ε, π ε] içi cos + si + gerçekler. So iki serii Öerme 7 yrdımıyl sırsıyl R kümeside ve π 4, π 4 rlığıd türetilebilir 77

82 olduğuu gösteriiz. Zet foksiyou, rlığıd sosuz mertebede türetilebilirdir, çükü öcelikle < gerçekleye herhgi bir sbit gerçel syısı syeside ζ ve foksiyo serileri [, rlığıd düzgü ykısrlr, her iki iddi d Weierstrss M-Ölçütüde kolyc elde edilir, gerçekte δ >, + δ < δ böylece < + δ < + δ < edeiyle l l δ. lδ δ δ. δ δ +δ δ. +δ c geçerli olur. O hlde her iki seri de, rlığıd terim terime türetilebilir, çükü herhgi, lıdığıd >, + < < olur ve I [ +, rlığıd her iki seride düzgü ykısk olduğud terim terime türetilebilir ve ζ ve bezer biçimde, ζ m m l, ζ l m l Öerme 7: Her N içi f : [, b] R sürekli foksiyolrı f g f tdt ve g ftdt ise g Kıtlm: [, b] içi g g,,, m N geçerli olduğu görülür. d g olur. d f gerçeklesi. [, b] içi f t ft dt f t ft dt. f f b. f f olur, çükü her t [, ] içi pçık biçimde f t ft f f δ sbit olmktdır. O hlde her N içi g g sup g g b.δ edei [,b] ile istee buluur. Souç ve Örekler:Her N içi f : [, b] R foksiyolrı sürekli ve f f foksiyo serisi [, b] rlığıd düzgü ykısks fd f d gerçekleşir, çükü b b slıd [, b] içi g yerie s F k fd f d geçerlidir ve bu so souç, bir öceki öermede f k kısmi toplmlrı uyrlrk kolyc elde edilir. ve htt F ftdt ve f tdt N olmk üzere F foksiyo serisii [, b] rlığıd düzgü ykıs- dığı ve F F gerçekleştiği lşılır. Bu edele sözgelimi her, içi ve dolyısıyl her [, içi + ve 78 olduğud eşitliği kullılrk

83 rct l + + t dt l t dt + t dt t dt t dt t dt + +, çılımlrı her, içi buluur. Ayrıc ilerde Örek. de gösterileceği gibi, her, içi şğıdki ilk çılım geçerli olduğud bezer yötemle ikicisi buluur. rcsi + dt + t!!,,!!!!!! + +,. Kuvvet Serileri kvrmı geçmede öce, şğıdki ilgiç Teorem kıtlcktır. Bu teoremi Mtemtik trihide öemli bir yeri vrdır. Öce hzırlmlıyız: Öerme 8: Gerçel değerli bir f : R R foksiyouu sıfır sbit foksiyou kıscsı f R olbilmesi içi gerek ve yeter koşullr şulrdır: i f türevi R kümeside tımlı ve süreklidir, ii Her R içi f + f ve f f + f + olur. Kıtlm: Gereklik pçıktır, çükü sıfır sbit foksiyou tüm bu koşullrı gerçekler. Şimdi yeterlik göstermelidir. f foksiyou i ve ii koşullrıı gerçeklerse öcelikle f f f + k N, R k< f + k N, R k< bğıtılrı geçerlidir, çükü kolyc bğıtısıd, ise tümevrım yrdımıyl gösterilir, çükü içi f f ii f + f + f + k f + k k k< olur, bğıtısı içi doğru vrsyılırs, yi her R içi f k< f + k geçerliyse, 79

84 bğıtısıı + içi doğru olduğuu söyleye, her R içi f + f. ii f + k f + k + k< k< [ f + k ] k + + f f + k< k< f + k + + f + i + f + k< i< + k< + k + + f + k + + k< k + buluur. O hlde ve bğıtılrı doğrudur, üstelik f heryerde türetilebilir olduğud, bğıtısıı her iki yı türetilip ve ii koşullrıı biricisi yrdımıyl f. f + k N, R 3 k< f + f R 4 buluur. Yeterlik hipotezi edeiyle heryerde sürekli ol f türevii periyotlu olduğu lşıldığıd sup f sup f M f ξ m f R [,] [,] olck biçimde bir ξ [, ] vrdır, çükü kplı-sıırlı bir rlıkt tımlı, gerçel değerli sürekli bir foksiyo, bu rlığı uygu bir oktsıd mimumu erişir. O hlde her R içi f M olduğud şğıdkiler elde edilir: f ξ + k Mk,,.., ve M f ξ + k k,,.., çükü eğer bir tek k idisi içi bile f ξ +k < M olsydı M f ξ 3 k< f ξ +k <.M M yi M < M buluurdu. Demek ki her k idisi içi f ξ +k M bulurk şğıdki şşırtıcı f M R soucu buluur, çükü her [, ve her N içi < gözleyip k [ ] < [ tımlyıp lim ] ξ lim +k buluur ve f türevi sürekli ve ξ +k olduğud f 8

85 lim f ξ +k M ve böylelikle periyotluluk edeiyle f + i f + f M [,, i Z elde edilir. O hlde istee f M R buluur sıl?. Burd f M + c R ve ii koşullrı kullılrk M c ve souçt f R istee soucu buluur. Öerme 9: Pozitif terimli { } dizisi verilsi. Bu durumd lim... limitii vr ve pozitif olbilmesi içi gyk l serisii ykısklığıdır. Kıtlm: l k l... gözleyiiz. k Öerme: Her R içi sosuz çrpımı ykısktır, ykısdığı foksiyo [, rlığıd türetilebilirdir. Kıtlm: ve k Z içi ykısm iddilrı pçıktır, çükü k Z ise olck biçimde bir N vrdır, her içi... olur ede?. Şimdi F R yzıp, gerçekte bu sosuz çrpımı ykısdığıı gösterelim. Öce, yi < durumuu irdeleyelim. Dikkt edilirse ζ > olmk üzere g k k.ζk k kuvvet serisi mutlk ve düzgü ykısr, çükü k k k g k < ζk k ζk k < + olmktdır, böylelikle ykısk, o-egtif terimli çift idisli bu seri içi g k ve souçt, her, içi k k < e g k k k k l F ve F g.e g buluur çükü < ve < edeiyle, < e g sosuz çrpımıı y- kısklığı içi gerek yeter koşul ol l serisii ykısklığı yerie gelmekte ve < 8

86 edeiyle, egtif terimli bu so seri içi l g bulumktdır, üstelik F foksiyouu, rlığıd türetilebilir olduğu lşılır. Çükü, rlığıd g foksiyou türetilebilirdir, çükü geçerlidir, burd, şğıdki g l., k l l l + serisi Weirstrss M-Ölçütü syeside, rlığıd düzgü ykısr çükü ve her, içi < böylece < < ve geçerlidir, böylelikle ise, şğıdkiler ve l + < < c l serisi, rlığıd terim terime türetilebilirdir. Şimdi, <.F lim. lim.. + lim k!. + k. k k k + k lim k!. k + k + F +.F lim k + + k k + k lim lim + + ve böylece +.F +.F, bulurk hem her R içi F sosuz çrpımıı ykısdığı lşılırsıl?, hem de F foksiyouu, rlığıd ve özel olrk [, rlığıd sürekli ve türetilebilir olduğu lşılır. Öerme : R kümeside tımlı, sürekli ve periyotlu ol ve [, rlığıd türetilebilir bir foksiyo, 8

87 tüm R kümeside türetilebilirdir. Kıtlm: f foksiyou bu koşullrı yerie getirsi, o hlde her R içi f + f gerçeklediğide, f foksiyouu her R gerçel syısıd türetilebilir olduğu lşılır, sözgelimi f f + h f fh f lim lim f ve slıd h h h h f + f + + h f + f + h f lim lim f h h h h [, olduğu görülür. O hlde her R içi f vrdırede?. Teorem : Her R içi Euler özdeşliği si π π. geçerlidir. Kıtlm: So iki öermede yrrlcğız. Öerme 9 d tıml F foksiyou rcılığıyl f π.f R R tımlsı. Amcımız f si π R kıtlmktır. Dikkr edilirse f + f ve f.f + f f R eşitlikleri, Öerme9 dki gibi gösterilir. Şimdi G f si π F si π ; R Z π ; Z foksiyouu tımlyıp, her R G + G, G G G, G +, < G buluur, soucu içi < G, gözlemek yeterlidir. Hem F foksiyou, hem de ϕ si π π R Z ve ϕ Z biçimide tıml ϕ foksiyou [, rlığıd türetilebilirdir, öreği ϕ olduğud ϕ ϕh ϕ si πh πh cos πh lim lim h h h πh lim h h geçerlidir. O hlde G foksiyou [, rlığıd ve souçt Öerme edeiyle tüm R kümeside türetilebilirdir. Dolyısıyl h l G G R foksiyou h + h ve h h + h + R koşullrıı gerçekler, h türevi tımlı 83

88 ve süreklidir ede? dolyısıyl Öerme7 edeiyle h R bulrk G G G R yi f si π R istee soucu ulşılır. Souç 7: Aşğıdki özdeşlikleri biricisi her R ikicisi ise her R {kπ : k Z} içi geçelidir: si. π ve cos 4 π İkicisi içi ülü si si. cos özdeşliğii kullı. Bu souçlrı bezeri her z C içi geçerlidir ve Kompleks Aliz de büyük öemi ve uygulmlrı ol geelleştirmeleri vrdır. Dikkt: Sırsıyl π ve π 3 deir: lıırs şğıdki ülü eşitlikler elde edilir, biricisie Wllis Bğıtısı π Şimdi Kuvvet Serileri i gereğice kvrybilmek içi herhgi bir gerçel syı dizisii lt ve üst limitlerii tımlyıp, bu koud gerekli bilgileri edimeliyiz. Tım 5: Herhgi bir { } gerçel syı dizisi içi lim supif{, +, +,...} lim if sup{, +, +,...} geişletilmiş gerçel syılrı, bu dizii lt limiti ve üst limiti deilir. Bulr bir gerçel syı olbildiği gibi + y d olbilir. Bulr kousud temel bilgiler şğıdki öermede yer lır: Öerme: Herhgi bir { } dizisi içi, şulr geçerlidir: lim lim +, Dim, { } dizisii { m } m lt dizisi e olurs olsu lim lim m lim m lim, 84

89 lim l R içi gyk lim l lim, lim içi gyk lim lim, lim + içi gyk lim + lim, { } pozitif terimli ve lim + { } pozitif terimli ve < ise ykısr, ykısks lim olur, { } diziside m m N, tüm öteki terimler sıfırs lim lim m ve lim lim m olur, lim lim lim ve lim lim lim dim geçerlidir, Kıtlm:, m N e olurs olsu if{, +, +,...} +m m+ sup{ m, m+, m+,...} ve böylece m doğl syısı sbit tutulup, her N içi if{, +,...} sup{ m, m+,...} N olduğud lim supif{, +, +,...} sup{ m, m+,...} ve souçt lim sup{ m, m+, m+,...} m N olduğud ifimum tımı gereği lim if m sup{ m, m+,...} if sup{, +,...} lim buluur. Şimdi l lim olsu. O hlde ve bezer biçimde ε >, ε N, l ε < < l + ε ε olur ve l ε if{ ε, ε+, ε+,...} supif{, +, +,...} lim lim sup{ ε, ε+, ε+,...} l + ε ve böylece < l ε lim lim l + ε < + ε R 4 buluur, hem lim hem lim birer gerçel syı olur ve l lim + ε ε R + edeiyle l lim lim l buluur, çükü l l + ε ε R + ise l l olur, çükü olms l < l olur ve herhgi < ε < l l içi ε < l l edeiyle l + ε < l ε < l buluurdu, oys hipotez edeiyle slıd l l + ε 85

90 geçerlidir, çelişki! Tersie lim l lim ise, supremum tımı gereği l supif{, +, +,...} ve l ε < if{ Nε, Nε+,...} yi l ε < N ε ve bezer biçimde < l + ε N ε bulrk, ε N ε + N ε tımlırs, her ε içi hem l ε < ve hem de < l + ε buluur, yi ε >, ε N, l ε < < l + ε ε olur, bu lim l demektir. So olrk, pozitif terimli { } dizisi içi lim + < olsu. Dikkt, zte < + N edeiyle lim + l lim + l if sup ve souçt { +, + 4, +3 < olur ve uygu bir ε rcılığıyl l + ε < ε ve +,...} olduğu içi, ifimum tımı gereği { + N, sup, + +, } +3,... < l + ε < ε < + + < l + ε < yi + < l + ε ve tümevrıml + < l + ε N ve böylece < l + ε olduğud, M l+ε > sbiti syeside < < M.l + ε ε buluur ve < l + ε < uutmd, ülü Sıkıştırm Lemmsı ile lim gerçekleir, demek ki pozitif terimli { } dizisi içi lim + < ise lim iddisı d gösterilmiş olur. Tüm öteki iddilr ödevdir. Ek Bilgi: Sğ ydki toplm lmlıys dim lim + y lim + limy olur. So iddid söylee şudur: Alizde + + ve + + toplmlrı tımsız ve lmsız olduğud lim + ve limy y d tersi olmdıkç, dim lim + y lim + limy eşitsizliği geçerlidir. Gerçekte, eğer lim + ise, zorulu olrk < limy + ve souçt lim + y limy lim + limy buluur; eğer lim ise, zorulu olrk limy < + olur ve lim lim edeiyle lim ve lim lim + limy buluursıl?; eğer hem lim l R hem de limy l R ise, bu kez her ε > içi lim + y l + l + ε bulup istee lim + y l + l eşitsizliği kolyc elde edilir, çükü gerek l gerekse l birer ifimum olduklrıd ε N, sup{ ε, ε+, ε+,...} < l + ε ve N ε N, sup{y Nε, y Nε+, y Nε+,...} < l + ε 86

91 buluup m ε ε + N ε yzılırs, her m ε > ε içi hem < sup{ ε, ε+, ε+,...} < l + ε ve y sup{y Nε, y Nε+, y Nε+,...} < l + ε ve souçt + y < l + l + ε m ε ve böylece lim + y sup{ mε + y mε, mε+ + y mε+,...} l + l + ε buluur. Öerme3: Bir gerçel syı dizisii lt limiti, bu dizii tüm yığılm oktlrıı e küçüğüdür, üst limiti ise e büyüğüdür. Kıtlm: Bilidiği gibi, bir y R gerçel syısı, ck ve ylız ε >, N, N >, y ε < N < y + ε koşuluu sğlrs, yi her y ε, y + ε rlığıd, { } dizisii, verile her N doğl syısıd büyük umrlı e z bir terimi buluuyors { } dizisii bir yığılm oktsı deir. Bu krşılık, ck ve ylız M >, N, N >, < M koşulu gerçeklediğide bu dizii yığılm oktsıdır deir. + u yığılm oktsı olm koşuu beze biçimde verilir. { } dizisii tüm yığılm oktlrıd oluş küme Yığ{ } ile yzılır, bu kümede, dikkt edilirse, e z bir gerçel syı y d y d + yer lır. Dim lim mi Yığ{ }, lim m Yığ{ } geçerlidir. Öreği lim l R olsu. O hlde l supif{, +,...} olduğud, ε > verildiğide l ε < if{ ε, ε+, ε+,...} olck biçimde bir ε N vrdır. Şimdi keyfi N verilsi. Eğer N + ε, N < l + ε koşulu geçerli olmsydı her N + ε içi l + ε N olur, l + ε if{ +ε, +ε+, +ε+,...} lim l < l + ε çelişkisi buluurdu, demek ki N + ε içi, üstelik N > ε edeiyle l ε < if{ ε, ε+,...} N gözleyip l ε < N < l + ε bulrk l lim gerçel syısıı { } dizisii bir yığılm oktsı olduğu lşılır. Üstelik y < lim gerçekleye hiçbir y R gerçel syısı, { } dizisii yığılm oktsı olmz çükü δ >, N, y + δ < lim δ < if{, +,...} olur. Tım 6: sbit bir gerçel syı ise leri sosuz tesi sıfır olmmk koşulu geçerli olmk üzere foksiyo serisie bir kuvvet serisi deir,,., + + kuvvet serisi örekleridir, bulrd sırsıyl,, lıdığı dikkt ediiz. Kuvvet serileri- 87

92 i temel teoremi şudur: Teorem3: kuvvet serisi verilsi. Bu durumd şğıdkileri gerçekleye bir R + vrdır: Bu kuvvet serisi < R gerçekleye ler içi mutlk ykısr, R < gerçekleyeler içi ırksr. R sup{r [, : sup r < + } geçerlidir. 3 < R R ise R lim geçerlidir. 4 lim ise, her R içi kuvvet serisi mutk ykısr. Kıtlm: Öce iddisıı gösterelim, kıscsı iddisıd belirtile itelikteki R içi R sup{r [, : sup r < + } gösterelim. Kıslık mcıyl A {r [, : sup r < + } [, yzılırs A gözleir. Şimdi iddisıd sözü edile R içi R sup A gösterelim. Öce R R olsu. O hlde r R r A ve ε >, r ε A, R ε < r ε iddilrıı kıtlylım. Eğer R < r gerçekleye bir r A vrolsydı sup r M < + ve her N içi r M yi M r gözleyip ede r > olur? ξ + ρ tımlyıp burd R < ρ < r lımıştır ξ ρ > R edeiyle ξ + olmycğıd çükü R syısı iddisıdki özelliklere shiptir souçt + ξ ξ M. r M. ρ r < + çelişkisi bulucğıd, R < r gerçekleye hiçbir r A syısıı vr olmdığı lşılır, böylelikle r R r A iddisı gösterilmiş olur. Şimdi ε >, r ε A, R ε < r ε iddisıı gösterelim, eğer R r < ise, zte her r A içi r olduğud R ε < r buluur, yok eğer R ε ise r ε R ε içi R ε < R ε r ε ve < r ε A olur çükü ε + r ε > ve ε ε r ε R ε < R ve R i de belirtile iteliği gereği ε serisi mutlk ykısr, dolyısıyl ε < + olur, bu ykısk serii geel terimi sıfır ykısr, kıscsı lim ε olur, oys her ykısk gerçel syı dizisi sıırlı olduğud r ε ε ε M ε < + edeiyle r ε A soucu buluur. Şimdi iddisıdki R içi R + olsu. Bu durumd sup A + R gösterelim. Buu içi, hiçbir pozitif 88

93 gerçel syıı A kümesii bir üst sıırı olmdığı yi r >, ρ > r, ρ A gösterilmelidir. Gerçekte her r > içi r A göstermek kolydır, çükü r + r içi r r r < + R olduğud, R i iteliği gereği r mutk ykısr ve yukrd ypıdığı gibi sup r sup r < + bulrk r A ve böylelikle sup A + R buluur. Şimdi de tersie R sup A syısıı, ister R R isterse R + olsu, de belirtile özelliğe ship olduğuu gösterelim. Öce R R olsu ve < R koşuluu gerçekleye herhgi bir R lısı. O hlde δ >, +δ < R δ ve supremum tımı gereği r A, R δ < r ve böylelikle < δ +δ < R δ < r edeiyle r pozitif ve üstelik r A edeiyle < M sup r < + olur, dikkt: sosuz te N içi, kuvvet serisii tımı gereği yi < ve souçt < r M olduğud kesilikle < M olduğu dikkt ediiz. Souçt.r M N ve M r N edeiyle. M. r M. r < + olur çükü < + δ < R δ < r yi r < edeiyle r geometrik serisi ykısr, kıscsı < R sup A gerçekleye herbir içi kuvvet serisi mutlk ykısmktdır. Bu krşılık R < y gerçekleye her y R içi y kuvvet serisi ırksr, çükü lim y olur, böylelikle geel terimi sıfır ykısmy y serisi kesilikle ykısymz, burd lim y olmsıı edei sup y + olmsıdır, çükü eğer sup y < + olsydı δ y y yzrk ve R < y δ y ve δy < + gözleyerek δ y A bulup δ y sup A R < δ y çelişkisi doğrdı. Dikkt: bir {b } sup dizisi içi sup b + oluyors, bu dizii ykısmsı söz kousu olmz, çükü ykıssydı bu dizi sıırlı olur ve b M N gerçekleşir ve + sup b M < + çelişkisi doğrdı. Demek ki sup A R R içi deki itelikler geçerlidir. sup A + ise, siz her R içi serisii mutk ykısklığıı gösteri. So olrk sup A R > ise R lim yi R if sup{, + +, + +,...} olduğuu gösterelim. Bulr içi şulr gösterilmelidir: i ii R sup{, + +, + +,...} N ε > ε N, sup{ ε ε, ε+ ε+,...} < R + ε 89

94 Gerçekte eğer i doğru olmsydı, uygu bir N içi sup{, + +, + +,...} < R buluur ve uygu bir δ > rcılığıyl < δ sup{, + +,...} + δ < R δ < R+δ olurdu, burd < R δ Rδ R gözleyip < δ < R δ Rδ seçilmiş, δ < R δ Rδ R ve R+δ < R Rδ ve böylelikle R δ < R+δ bulumuştur. sup{, + +,...} < R+δ ve böylece sup{, + +,...} < R+δ edeiyle.r + δ < ve Rδ R.R+δ < ve böylece sup R+δ m R+δ sup R+δ < < + bulurk souçt R + δ A ve R + δ sup A R < R + δ çelişkisi buluurdu! Demek ki i doğrudur. Şimdi ii gösterilmelidir. ε > verilsi. Oys syf7 deki gibi R sup A if{ r : r A R+ } olduğud R + ε if{ r : r A R+ } + ε > r ε gerçekleecek biçimde bir r ε A R + vrdır. Şimdi < δ ε < εrε seçilirse +δε r ε r ε + δε r ε < r ε + ε < R + ε + ε R + ε ve yrıc r ε A edeiyle l olduğud l ε < + δ ε ε geçerlidir. < sup rε l ε < + olur, oys lim.rε l ε N ve.r ε l ε gözleyip, her ε içi l r ε < +δε r ε yi sup{ ε ε, ε+ ε+,...} + δ ε r ε < R + ε kıscsı ii koşuluu geçerli olduğu görülür. 4 Size ödevdir. Not: R sup A geişletilmiş gerçel syısı kuvvet serisii ykısklık yrıçpı deir. Dikkt: Teorem.4 edeiyle lim ise, bu kuvvet serisi herbir R içi mutlk ykısr, e öemlisi, bu üst limit pozitif ise eşitliği geçerlidir. Şimdi somut öreklerle uğrşlım. Örekler:, R lim!, kuvvet serilerii ykısklık yrıçplrıı buluuz.,. Çözüm: Hepsi içi gözleyiiz. Birici kuvvet seriside her N içi ve 9

95 ve souçt lim Ayrıc lim! lim gösterişğıy bkıız: lim olur, çükü bilidiği gibi lim geçerlidir.! e geçerlidir, so iki limiti hesplmk içi şu temel ve yrrlı bilgiyi Bilgi: Pozitif terimli { } dizisi e olurs olsu şu sıkıştırm geçerlidir: Böylelikle eğer lim + lim + lim lim lim + l oluyors l lim lim l bulrk lim bilgiyle yukrdki iki limiti hesplmk kolyıdır, çükü sözgelimi b! N ise b + b + e edeiyle lim! e buluur. O hlde birici kuvvet serisi içi lim + l elde edilir. Bu + olduğud Öerme de gösterildiği lim ve böylece R buluur. İkici seri içi lim!. lim! lim!. e. olduğud bu seri heryerde mutlk ykısr. Üçücü seri içi R ve soucusu içi R olur. Dikkt, dördücü seride N ve idisi tm kre olmy tüm ktsyılrı sıfırdır ve Öerme de so iddid belirtildiği gibi lim lim lim lim lim geçerlidir. Yukrdki Bilgi i kıtlmsı: Ylızc lim + < ve < böylelikle lim olduğud, eğer lim + yok eğer < l lim + lim eşitsizliğii gösterelim. Her N içi ise gösterilecek birşey yoktur; ise bu kez l lim gösterilmelidir. Buu içise, herbir < ε < l içi l ε + lim göstermek yeterlidir, ede?, oys supremum tımı gereği ε N, A ε { ε+, ε+, } ε+3,... ε ε+ ε+, < l ε < if A ε + ε ve böylece l ε + ε olur, souçt l ε ε. ε ε yi M ε ε l ε ε pozitif sbiti syeside M ε l ε ε ve dolyısıyl M ε.l ε ε buluur, lt limit lırsk istee l ε l ε. lim Mε l εlim M ε lim l ε M ε lim soucu kolyc buluur. Şimdi yie kuvvet serilerie döelim., +, + kuvvet serileri içi yı soruyu çözüüz Çözüm: Birici kuvvet serisi içi ve R olur, çükü bu seride ktsyılr ve. 3 N, böylece lim lim lim. 3. lim 3/ Dikkt, birici seri, + rlığıd mutlk ykısr, fkt uç oktlrd d mutlk ykısr, sözgelimi içi, pozitif terimli serisi ykısktır, souçt birici

96 seri [, + ] kplı rlığıd mutlk ykısr.ikici seri içi R 3, üçücü seri içi R 4 3 gözleyiiz, üçücü seride ktsyılr + 5+ ve souçt 3 4, 6, lim lim lim buluur. Üçücü seri 4 3, 4 3 rlığıı her kplı lt rlığıd mutlk ykısr, sözgelimi [, b] 4 3, 4 3 ise < 4 3 ve < + 4 çükü y y edeiyle ve böylece ve < 3 4 < geçerlidir. 3 +, + +, serilerii ykısdığı kümeleri belirleyiiz. Çözüm: Bilidiğiy d kolyc görüleceği gibi 4 3, t.y kuvvet serisii ykısklık yrıçpı R olduğud, birici seri, + + < yi < + < kıscsı < < ve souçt, ve slıd, ] gerçekleye ler içi ykısktır. Bezer şeyler so seri içi ypılır ve bu seri A { R : t < } π 4 + π, π 4 + π kümeside ykısr. Ötekiler size ödevdir. 4 Eğer edir? kuvvet serisii ykısklık yrıçpı < R < + ise, şğıdki kuvvet serileriiki,,,!. Çözüm: Birici serii ykısklık yrıçpı R olur, çükü lim.lim R olmktdır. Öte yd ikici seri ylızc gerçel syısıd ykısr, çükü lim lim + olduğud şğıy bkz. ikici serii ykısklık yrıçpıı pozitif bir R> olmsı olksızdır,öyle olsydı + lim R kullılrk şu temel gerçek kullılmıştır: < + çelişkisi doğrdı. Burd, şğıd yer l Bilgi ve Bilgi Bilgi3: Negtif olmy terimli {b } ve {c } dizileri içi eğer < limc l < + lim b ise limb c + olur. Gerçekte M > e olurs olsu M N, M içi doğru olduğud M + içi limit olrk + l.limb c + ve böylelikle < l R olduğud, istee limb c + soucu buluur. 9

97 Yukrd kullıl temel bilgiler şulrdır: Bilgi: Her { } gerçel syı dizisi ve herhgi sbit N içi dim şu eşitlik geçerlidir: lim if sup{, +, +,...} olur. Gerçekte lim üst limit değeri tüm sup{, +, +,...} supremum değerlerii ltt sıırldğıd, özel olrk her N içi lim sup{ N, N+, N+,...} bulrk lim if N sup{ N, N+, N+,...} eşitsizliği elde edilir. Ters eşitsizlik zte geçerlidir, çükü kıslık mcıyl A {, +, +,...} yzılırs {sup A, sup A +, sup A +,...} {sup A, sup A, sup A 3,...} R {, } olduğu, üstelik kpsy kümei ifimumu kpsıkide dim eşit y d küçük olduğud ede? if sup{, +, +,...} if sup A if{sup A, A +,...} if{sup A, sup A,...} if N sup A if N sup{, +, +,...} lim ters eşitsizliği elde edilir, böylece istee eşitlik buluur. Bilgi: { } ve {y } dizileri içi eğer, N, y oluyors hem lim limy hem de lim limy olur. Gerçekte hipotez edeiyle, her içi sup{, +, +,...} sup{y, y +, y +,...} bulup ifimum lrk ve Bilgi kullılrk lim if sup{, +,...} if sup{y, y +,...} limy elde edilir. Bilgi ve Bilgi i Bilgi3 ü kıtlmsıd erede kullıldığıı belirleyiiz. 5 i Uygu l R + ve α R içi lim α l ise, ii Uygu l, α R + içi α R içi lim α l ise, kuvvet serisii ykısklık yrıçpı edir, ede? Çözüm: Ar ykısklık yrıçpı i içi R ve ii içi R α olrk kolyc belirleir, çükü öreği i geçerliyke ε N, l ε < α l ε < l + ε yi α l+ε buluup, 4 şıkkıı α çözümüdeki Bilgi yrdımıyl, kolyc şğıdki buluur: lim α. l ε lim lim l ε α lim l + ε α 93 lim α. l + ε

98 6 Bir kuvvet serisi, ykısklık rlığıı her kplı lt rlığıd düzgü ykısr, gösteriiz. Çözüm: Gerçekte kuvvet serisii ykısklık yrıçpı R ise, bu seri, olduğud R, R R, + R ykısklık rlığıı, herhgi bir [, b] R, R kplı lt rlığıd düzgü ykısr, çükü [, b] R, R edeiyle R < < R ve bezeriyle R < < b < R ve souçt hem < R hem de b < R bulrk b M içi kolyc < M < R yi M, R R, R bulrk M serisii mutlk ykısdığı, yi.m < + elde edilerek r k+ k.m k ve tüm bulrd herhgi bir [, b] içi R < M b b b b M < R ve souçt R k+ k k k+ k k k+ km k r N ve böylece sup R r edeiyle istee buluur. olmk üzere kuvvet serisi [,b] içi bezer souç geçerlidir. 7 kuvvet serisii ykısklık yrıçpı R > ise, kuvvet serileriiki de yie R olur, gösteriiz., Çözüm: Gerçekte { } ve {b } pozitif terimli dizileri içi, eğer l lim ise lim b l.limb olur, çükü ε > verildiğide ε N, l ε < < l + ε ε gerçekleştiğide, l ε + ε ve b ler pozitif olduğud lb εb + b ε bulrk l.limb liml.b limεb + b limεb + lim b ε.limb + lim b eşitsizlikleri herbir ε > içi doğru olduğud istee buluur, çükü eğer eğer limb + ise lim b + l.limb olurede? limb < + ise so eşitsizliklerde ε içi limit lıp l.limb lim b ve ters eşitsizlik bulurk istee çıkr. Oys lim. lim. lim.lim. R soucu birz öce gösterile bilgide elde edilerek kuvvet serisii ykısklık yrıçpı R lim olrk buluur. Öte yd soucu seri +. + olup, buu ykısklık yrıçpı lim + + lim lim + lim + + lim R edeiyle istee çıkr. Okuyucu ve eşitliklerii gösterebilmelidir. 8 f kuvvet serisi R, R rlığıd ykısrs f geçerlidir lim +.lim + R, R

99 Çözüm: Bu, Öerme7 ve yukrdki 7 de elde edilir, souçt f ve bezerleri yüksek mertebede türevler içi geçerlidir. ede?. 9 f + +!! kuvvet serisii heryerde mutlk ykısdığıı ve f + f gerçeklediğii gösteriiz, burd kıslık mcıyl +!! N yzılmktdır. Çözüm: Her N içi + +!!!! gözleyerek ve 8 kullılrk f + +!! +!! + f olur, çükü f + +!!!! olur. Dikkt: + +!! kuvvet serisi lim + +!! böylelikle lim + +!! edeiyle heryerde, yi tüm R kümeside mutlk ykısr çükü her N içi < + +!! < geçerlidir, çükü < +!! ! +! < + olur, oys lim + + g Çözüm: g + + olduğudede? istee buluur. 3 3! heryerde mutlk ykısr ve g + g + g e gerçekler, gösteriiz. 3 3! + 3 3! ! ve g 3! +! + 3 3!, g! + 3 3! + 4 4! + 5 5! ! edeiyle bulrı toplmı 6! +... e olur. Geelleştirilmiş Devşirim syılrıı tımlyıp, her α R N sbiti içi α kuvvet serisii ykısklık yrıçpıı R olduğuu gösteriiz. Çözüm: Mtemtikte her α R içi α ve yrıc α αα...α! N biçimide tıml gerçel syılr α ı geelleştirilmiş devşirim syılrı deir. Öreği! !!.!!!!...!! 3!!!! 95

100 buluur. α N ise bu lışılgele devşirim syısıdır. Şimdi lim gözleyerek lim α ve böylelikle α kuvvet serisii ykısklık yrıçpı şğıdkidir. α + α lim αα...α +! lim α + ve!. αα...α lim α + α α α lim lim lim α + α α lim Kıscsı, içi f R lim α düzgü ykısr, böylelikle, ilerde gözleeceği gibi + α α foksiyo serisi, çık rlığıı her kplı lt rlığıd α R N e olurs olsu geçerli olduğu lşılcğıd, özel olrk α, çılımı α ve souçlrı buluur. + +!!!!,!! +!!, Ykısklık yrıçpı < R ol f kuvvet seriside, her içi ktsyılrı f! olduğuu gösteri. Çözüm: Tıpkı 8 çözümüde olduğu gibi, her k içi f k... k k... k k k!. k + g k+ k... k k R, R ve... k k k +!. k+ + k +!. k+! +... edeiyle g olduğud f k k!. k buluur. 3 Ykısklık yrıçplrı yı R > ol ve b kuvvet serilerii eşit olmlrı yi her R, R içi b gerçekleebilmesi içi gyk b N olmsıdır. 4 Her, içi f ise f <, olur. Çözüm: f + edeiyle f < bulrk iddiı içi doğru olduğu görülür. 96

101 Şimdi < < olsu. Bu durumd Teoremide yrrlrk. f < bilgisiyle ve şğıd kıtlmsı verile ülü Mertes < < göstermek güç değildir. Çözümü sğlıklığı çısıd öce şulrı görelim: Öerme 4: Pozitif terimli olmlrı gerekmeye ve b serilerii biricisi mutlk ykısk, ikicisi ykısks, r k+ b k olmk üzere, şğıdki geçerlidir: Kıtlm: B b olmk üzere r B lim r + r r. b k ve r olduğud {r } dizisi sıfır ykısr, her ykısk dizi gibi sıırlıdır, kıscsı M >, r M olur. S k serisi ykısk olduğud S gerçeklediğide, ykısk {s } olur, böylece her > ε içi serisi mutlk böylece < + olur ve s k S k dizisi bir Cuchy dizisi olur ve lim r edeiyle, souçt ε N, m, ε içi s s m < k ε+ edeiyle r < S+,..., r ε < ε r + r r k ε M ve r < ε S + k s s ε < ε M ve yrıc her ε içi ε ε ε S+ bulrk, souçt k r k k ε ε < S +. k + M. buluur, çükü ε k k k ε+ k ε k r k + S geçerlidir, bu souç isteedir. ε<k k r k k < ε.s S + + ε.m M < ε ε Teorem4 Mertes Teoremi: Öceki öermedeki seriler içi şğıdki eşitlik geçerlidir: b k b k k Kıtlm: B b ve her içi B b k ve r k k+ b k yzılıp B B + r yi 97

102 B B r gözleyerek her N N içi N N k b k k b k + k b k k b N k k k k k b + b + b b N + b N N b b + b b N + b + b b N N b B N + B N N B B r N + B r N N B r B. ve souçt istee souç, bir öceki Öerme kullılıp buluur: k.b k lim k N k.b k B. N k B. N k r N + r N N r k lim N r N + r N N r B.A. b. Örekler 3: ve yrıc eşitliklerii gösteriiz.! e 5! R.!! Çözüm: kuvvet serisi her R içi mutlk ykısr, çükü bu seride!,! N ve lim lim lim! olur. O hlde Mertes Teoremi kullılrk ve üstelik k k N eşitliğide yrrlrk eşitliğide leri ktsyılrıı eşitleyerek bu soucu 98

103 elde edebilirsiiz şğıdki Bilgi ye bkz. şulr elde edilir:!! k k k k!. k k! k. k! k! k!.! k! k! k!. k k! R İkici eşitlik içi, yie Mertes Teoremi kullılrk.!! ve üstelik 5 + e 5 buluur. k k k k k! k k! k edeiyle k!!. [ k ] k k k!! 5 e 5 Bilgi: k bğıtısıı kıtlmsı şöyle verilebilir: k N R içi + + olduğud, kolyc şğıdki poliomlr eşit olur: k k k k k k k k k k. k k i k+i k i k i i i 99

104 ve her iki yd i ktsyılrıı eşitleyerek k+i k i + k k k + k k buluur, çükü bilidiği gibi devşirim syılrı her k içi k! k! k eşitliğii gerçekler. < < içi <. gösterelim. Dikkt: Çrpım ktıl pozitif terimli her iki seri de ykısr, çükü biricisi ykısk olduğud, ikicisi ülü Cuchy Sıklştırm Teoremi ile ykısktır. Şimdi Mertes Teoremii uygulmk içi, b ve tüm öteki b N ktsyılrı b N lısı. Herhgi N içi, öcelikle [log ] k k < göstermek yeterlidir. N [log ] tm kısmı N log < N +, N < N+ ve souçt + N+ yi N+ edeiyle N+ < gerçekler, çükü eğer N+ OLSAYDI N < N+ böylelikle N+ N N < N olurdu, oys N bilimektedir. O hlde [log ] k k N k k N N+ N+ < N buluur. b gerçel syılrıı ylızc m idislileri sıfırd frklı olduğud k b k k k.b m b + b N b N k+m N kb k N N k k k. k < k k k ve böylelikle Mertes Teoremi ile. k k k.b k <. k

105 buluur, çükü iyi bilidiği gibi, edeiyle, bu kuvvet serisi ykısklık rlığıd terim terime türetilerek,, + 3 eşitliklerii, her, içi geçerli olduğu lşılır. Dikkt: Yukrd k+m k.b m toplmı ktıl b m syılrıı idislerii elbette m k + m kıscsı m olmsı gereke i türüde özel doğl syılr olmsı gerektiğide, bu m leri,,..., N olduklrı özellikle dikkt edilmiştir. 3 Örek.4 ü çözümüü tmmlyıız. Çözüm: Sözü edile örekte f ve böylece f olduğud f ve souçt her < < içi, bir öceki örekte eldeedile souç kullılırs. f istee souç buluur.. f < 4 Mertes Teoremi, birisi mutlk ykısk ol, iki ykısk seriye uyguldığıd, özellikle ykısklık yrıçpıı belirlediği rlıkt mutlk ykısk ol kuvvet serilerie uygulır. Sözgelimi e.e y y!! k k k! y k k! + y! e +y buluur, çükü her içi şğıdki geçerlidir: k k y k k! k!! k k.y k k! + y. Ayrıc si si cos özdeşliğii de Mertes Teoremide elde etmek güç değildir, çükü ülü k k!. k! k bğıtısı kullılırs k + k + + k k k k

106 ve böylece, ülü + k k k N eşitliğiyle [ k + k + k [ + + k k +. + k k ] + k + ] + k + k k + bulrk bu souç şğıd eşitliğide kullılırs şğıdkiler buluur: si. cos +.!! si. cos +. +!! k k+ k k +!. k k! k +. k +! k! k + +!. +! k +! k! k ! k ! k.!. + si.! Sod bir öceki dımd + N gerçeği kullıldı. Siz, Mertes Teoremide yrrlrk cos + si ve cos si cos özdeşliklerii gösteriiz. Bilgi:

107 eşitlikleri her N içi geçerlidir, çükü böylece S k + k k k k k k k + k k k k k k k k k. Dikkt: iddisı içi ylıştır! k k Örek: Mertes Teoremii kullrk ülü si cos R özdeşliğii gösterelim. k k+ k+ k +! k k +! k + +! +! k +! k +! k ! k + k + +!.! cos buluur. Bilgi edeiyle + k+ k + + yrıc.! !! + +. cos!! Bu bölümde so olrk; çok-sık rstlıl kuvvet serileri ol Tylor serileri yle ilgileelim. Öerme 5: f kuvvet serisii ykısklık yrıçpı R > ve R, R ise δ 3

108 R > olmk üzere, şğıdkiler geçerlidir: δ, + δ içi f f.! Kıtlm: Riem ı ülü bir teoremi, bilidiği gibi, eğer çift idisli m,m serisi mutlk ykısks, m,m m,m gerçekleştiğii söyler. Oys herbir δ, + δ içi m m m m çift idisli serisi mutlk ykısr, yi m m m olur, çükü m içi m olduğud m < + m m m m m ve m m m m + < + m m m buluur, çükü herbir δ, + δ içi < δ R ve böylelikle < y + < R olur ve y < R ise y serisi mutlk ykısk yi y < + olmktdır. Böylelikle, herbir δ, + δ içi Riem ı sözü edile teoremiyle f +. m m m m m m m m m m m m olur, burd her m N içi b m m m m m yzıp f b m m ve m m dolyısıyl Örek. de yzıldığı gibi f m m!.b m m bulrk şğıdki istee souç elde edilir: f m m! b m m m, f m m f m m, m! 4

109 Teorem 5: Bir Tylor serisii ykısybilmesi içi şğıdkileri herbiri bir yeter koşuldur: f C [, b], M >, f M [, b], f C, b ve f,, b, 3 f C, b ve, b, c > M >, δ > f M! c δ, + δ ise < δ < δ c içi f f δ, + δ! Kıtlm: Bilidiği gibi f C [, b] ve [, b] ise, her N ve her [, b] Tylor çılımı f k f k k + R k! geçerlidir. Verile yeterlik koşullrıı herbirii R soucuu verdiği gözleebilir, burd rtık terim y d kl terim deile R içi, e bğlı uygu bir ε, rcılığıyl Lgrge yzılışı: R f + + ε. + +! Cuchy yzılışı: R f + + ε. ε +! Tümlevli yzılış: R! yzılışlrı geçerlidir. Şimdi yeter koşulu geçerliyse f + t. t dt R f + + ε. + +! M. + +! y buluur, çükü her y R içi lim! geçerlidir.ede?. Eğer yeter koşulu geçerliyse, her [, b] ve her içi f ve f olduğud, b edeiyle k olduğud, öcelikle R b R b + k f k b k fb N k! f k k! b k olur, yrıc f f k k k!. k + R olup uygu değişke döüşümüyle, t [, ] edeiyle 5

110 uygu bir u [, ] syeside t u + olduğud, tümlevli kl terim içi R! +.! f + t. t dt f + u +. u du olur, oys hipotez gereği f + [, b] edeiyle, türevii işreti egtif olmdığıd f + foksiyou tekdüze zlmydır, böylelikle her t [, ] içi t + b t + ve f + t + f + b t + ve yrıc R b b +! + R! +! f + b t +. t dt, f + t +. t dt f + b t +. t dt + b +.R b ve böylece R b +.R b b +.fb N elde edilip yie istee lim R soucu ulşılır. 3 koşulu ltıd yı soucu bulmk size ödevdir. Kıscsı tüm bu koşullrı herbiri, ı uygu bir komşuluğud, R edeiyle Tylor serisi elde edilir. f Örekler 4: Her, ] içi l + f l + tımlırs, her N içi f! + geçerlidir, çükü her, içi d d.! ve f d d! + + buluur. O hlde f! ve f! + buluur. Ayrıc herhgi bir, lıdığıd uygu bir δ > rcılığıyl < δ < + δ < yi δ, + δ, olur ve herbir δ, + δ içi < c + + δ < + ve + < c ve f! + <! c bulurk, Teorem3 deki 3 yeter koşuluu gerçekleştiği ve souçt f l + foksiyouu, oktsıı uygu bir komşuluğud geçerli ol l + f! + + çılımı buluur, özel olrk lırk l + oktsıd ykısdığıı gözleyiiz. + elde edilir. Bu serii, rlığıd mutlk ykısdığıı ve 6

111 Her, ve α R N içi + α α olur, çükü her, içi < + gözleyip f + α tımlırs, her N içi f αα...α + α α.! + α ve böylece f α.! + α M α. α! buluur, çükü [α] + doğl syısı tımlıp α < [α] + gözleip, M α αα...α! yzılırs her > içi α M α. α + α... α +... M α α α... α < M α + ve pçık biçimde + α < α < α gözleyerek f α M α.! buluup Teorem3 deki so yeter koşul kullılır. 3 Aşğıdki ülü çılımlrı elde ediiz: l si cos + +. R, +!. R,! si. +. R,! + +,, + +,, e! sih e e R + +! R Burd, üçücüsü içi cos si +, dördücüsü içi l l+ l beşiciside ise. özdeşliğide yrrlıız. 4 Aşğıdki toplmlrı hesplyıız: +, + +, 7 +!, +

112 Çözüm: Her, içi rct. + + olduğu bilidiğide, syf 73 deki Abel Toplbilme Teoremi edeiyle, birici serii + rct π 4 olduğu görülür. İkici toplm l 4 olrk buluur, çükü l ve souçt + + l böylece ikici toplm l l. l l 4 > olrk hesplır. Üçücü toplm, her N içi! +! +! ve +! [! +! ] edeiyle +!! cos +! olrk belirleir. Soucusu içi + 3 l 4 + gözleyip toplmı sıl? cos si! olrk hesplyıız. 5 f C R olup f f! eşitliğii ylızc oktsıd geçerli olduğu f foksiyolrıı vr olduğuu gösteriiz. Çözüm:f ve içi f e g cos e biçimide tıml f foksiyou ile her R içi biçimide tıml g foksiyou isteile iteliktedir. f foksiyou her içi f gerçekler, öreği her α R + içi y lim α y + e y bilgisiyle f fh lim h h lim h h e h y lim y e y gözleyerek f 3 e ; ; ve dolyısıyl f içi f lim h. h 4 e h elde edilir. Tümevrıml içi, derp y lim y e y bulurk f 4 6 e ; 6 4 ; 3 gerçekleye uygu bir p poliomu rcılığıyl her N içi f p.e ve f görülür. O hlde her içi f e > olduğu ve fkt f! edeiyle, f foksiyou her oktd sosuz mertebede türetildiği hlde içi f f! gerçekleşmesi söz kousu olmz. g foksiyou ise g 8

113 e si R ve slıd g, g. olurede?. O hlde her m N içi g e. m m e m m k m k 4 e k m 4 e m N m4 e m ve g! > g > eşitsizlikleri her m N ve her içi geçerli olduğud, [ e ] + tm syısı ve yukrdki eşitsizlikler olmk üzere m içi yzılırs g! > e. > > e e olur, böylece g! g! serisi ırksr, çükü geel terimi sıfır ykısmmktdır. Bu iki krşıt örek Teorem3 ü öemii çığ çıkrtır, ede? 9

114 Bölüm Fourier Serileri Öce gerektiği içi C[, b] vektör uzyı ile ilgileelim. C[, b] kümesi, tüm gerçel değerli ve sürekli f : [, b] R foksiyolrıı kümesidir. f, g C[, b] ve α, β R e olurs olsu αf + βg αf + βg [, b] biçimide tıml αf + βg foksiyou d sürekli olduğud, souçt αf + βg C[, b] buluur ve C[, b] kümesi bu işlemler ltıd R cismi üzeride bir vektör uzyı olur. Toplm işlemii etkisiz elemı ise sıfır sbit foksiyou olup f [, b] biçimide tımlır. f C[, b] elemıı toplm işlemie göre tersi, pçık biçimde f f [, b] şeklide tıml f C[, b] elemıdır. Öte yd [, b] rlığıd sürekli her foksiyo Riem tümlevleebiliritegrlleebilir olduğud, her f C[, b] içi b fd gerçel syısı iyi tımlıdır. Öte yd f, g C[, b] içi f.g f.g [, b] biçimide tıml f.g y d kısc fg foksiyou d gerçel değerli, sürekli olduğud f, g iyi tımlıdır ve üstelik b fgd R b b α f + α f, g α f gd + α f gd α f, g + α f, g, f, g ve souçt b fgd b gfd g, f f, β g + β g β g + β g, f β g, f + β g, f β f, g + β f, g buluur. f, g gerçel syısı, C[, b] vektör uzyıd f ve g elemlrıı iç çrpım değeri ve yrıc f t f, f b f d b f d

115 gerçel syısı ise f C[, b] elemıı tümlev ormu deir. Dim f [, b] olduğu ve [, b] rlığıd egtif olmy değerler l sürekli bir foksiyou Riem tümlevi sl egtif olmdığıd f d ve böylece f t b b f d buluur. Dikkt: f C[, b] ise f t içi g.y.k. f yi f [, b] olmsıdır. çükü eğer f t ike [, b], f olsydı, < f olur ve ε >, < f ε buluur ve f sürekli olduğud, uygu bir δ, + δ [, b] rlığıdki dikkt: bu kesişim bir rlıktır ede? tüm gerçel syılrı içi < f ε < f buluur, souçt f uutmd, uygu bir c < d ve [c, d] [, b] rlığıd f ε < f [c, d] edeiyle < d cf ε d c f d b f d f t çelişkisi doğrdı. Ayrıc f f [, b] edeiyle f t f t olur. Dikkt edilirse f C[, b] elemıı supremum ormu, her [, b] içi b f f sup ve böylelikle f f sup ve f d f sup d b. f sup gerçeklediğide, M b b yzılmk üzere f t f d M f sup kıscsı M >, f t M f sup f C[, b] b buluur; oys her f C[, b] içi f sup M f t olck biçimde bir M > sbiti kesilikle belirleemez, çükü eğer belirleebilseydi lim f f t olduğud f f sup M f f t N vrsyıldığıd, zorulu olrk lim f f sup olmsı gerekirdi. Oys şğıd yer l öermede kıtlcğı gibi, buu gerçekleşmediği bir {f } sürekli foksiyolr dizisi ve f C[, b] vrdır. Bu edele bu ormlr eşdeğer değildirtopoloji diliyle söylersek, yı metrik topolojiyi belirlemezler!. Öerme : C[, ] üzeride tımlı tümlev ve supremum ormlrı içi gerçekleye bir {f } lim f t ve lim f sup dizisi vrdır. Kıtlm: Öce [, ] rlığıı her N içi [, ] [, ] [, ] [ ]..., [ k, k + ] k< olrk yzıldığıı gözlemleyelim. [, ] [ k k<, k+ ] [ ve bezer biçimde, ] [ k k<, k+ ] pçıktır. Şimdi herhgi bir, içi < < ve k [ ] tm kısmı

116 k < k + ve k < ve k < k+ yi [ k, k+ [ k, k+ ] bulurk kolyc [, ] [ k k<, k+ ] kpsmsı elde edilir. Ters kpsm kolydır, çükü her [ k k<, k+ ] k < içi k < k+ geçerlidir. Şimdi {f } dizisi şğıdki gibi tımlsı. Dikkt edilirse tüm doğl syılr,, +,, +, +, + 3, 4, 4 +,... olduğud, her N N içi, N +k gerçekleecek biçimde tek türlü belirli bir N ve k < tm syı ikilisi vr olduğud, f N foksiyou [, ] rlığıd ; [, k + ] [ k+3 +, ] + k ; [ k, k f N f +k + ; [ k, k+ + + k + 3 ; [ k+ ], k+3 + biçimide tımlsı. f N süreklidir, çükü sözgelimi f N k fn k f N k + geçerlidir, çükü k f N lim f N lim + k + k k k k geçerlidir. Şimdi kıslık mcıyl r k, k + ve p k, k k + rsyoel syılrıı tımlyrk < N N, f N t f N t f N d gözlemek kolydır, çükü f N ve ylızc [r k,, r k+, ] rlığıd f N olduğud f Nd rk+, r k, f Nd rk+, buluur. < N içi f N f +k foksiyouu grfiği şğıddır. r k, d r k+, r k, 4 + O hlde N + k + içi g.y.k. olduğud ede?, souçt lim N f N t lim f N t lim yi lim N f N t soucu buluur. Oys pçık biçimde,

117 Şekil : I k, [r k,, r k+, ] yzılırs f N sup f N sup sup [,] f N m Ik, f N her N N içi geçerli olduğud, lim N f N sup buluur, bitti! Uyrı : Yukrıdki {f N } N sürekli foksiyolr dizisii lim N f Nd lim N f N d gerçeklemesie krşı, hiçbir [, ] içi {f N } N gerçel syı dizisi ykısymmktdır, çükü limf N < limf N, [, ] gerçekleir, çükü her 4 içi f, f +,..., f + gerçel syılrıd e z birisi ve e z birisi ise olduğu dikkt ediiz, çükü [ k, k+ ] olck biçimde bir k < vr ve böylelikle f +k, bu krşılık / [, k + ] edeiyle, e z bir i k içi f +i olur. Dolyısı ile {f N } N dizisii sosuz te terimi ve sosuz terimi ise ve yrıc pçık biçimde f N, N N olmktdır, isteile iddi elde edilir. Siz, C[, b] vektör uzyıd b lim f f d ve [, b] içi limf < limf koşullrıı ikisii de gerçekleye {f } dizisi ve f elemıı tımlyıız. Demek ki tümlev ormu 3

118 göre ykısm, oktsl ykısm soucuu vermeyebilmektedir. Bu, tümlev ormuu güçsüz ylrıd birisidir. Yukrıd tıml iç çrpım ve tümlev ormu rsıd şğıdki ülü ve yrrlı bğıtı geçerlidir: Cuchy-Schwrz Eşitsizliği : f, g C[, b] içi f, g f t g t Gerçekte f t y d g t ike f, g f t g t olur, sözgelimi f t ise, birz öce gözlediği gibi f [, b] b b edeiyle f, g fgd.d buluur, şimdi hem < f t hem de < g t olsu. Bu durumd, her, y R içi zte y + y olduğud f. g f t g t f. f + t g. g [, b] t buluur, her iki yı tümlevi lııp b f t f d b f edeiyle yi b f t g t b f g d f t f g d f t g t ve böylece istee f, g b b fgd soucu elde edilir. Bu souç kullılırs şğıdki kıtlır: Öerme : f d + g t b b f g d f t g t Eğer lim f f t ise, her g C[, b] içi lim f, g f, g gerçekleşir. İspt: f, g f, g f f, g f f t. g t g d + Ödev: Hem lim f f t hem de lim g g t ise lim f, g f, g olur, gösteriiz. Tım : C[, b] kümeside f ve g elemlrı ck ve ylız f, g koşuluu gerçeklerlerse dh geel olrk üzeride bir iç çrpım işlemi tımlmış herhgi bir X vektör uzyıd, koşuluu gerçekleye, X vektörlerie dik elemlr dik vektörler deir. Sıfır sbit foksiyouu tüm f C[, b] elemlrı dik olduğuu gözleyiiz. Öte yd C[, b] vektör uzyıd bir {g } dizisie, ck ve ylız iher N içi g, ii m içi g, g m koşullrıı gerçekliyors bir dik dizi deilir. 4

119 Herhgi bir f C[, b] elemı içi c f, g g t R N gerçel syılrı f i bu diziye göre tımlmış Fourier ktsyılrı deilir. Bu ktsyılrı her N içi c b b fg d g d R olduğu, pydı kesilikle pozitif bir syı olduğu, çükü her N içi g edeiyle, g [, b] olmdığıd girişte ltıl gerekçelerde ötürü < ediiz. Bu ktsyılr içi şğıdki ülü souç geçerlidir. Teorem : b c g t f t f d f C[, b] b g d bulucğı dikkt Not : Burd yzıl eşitsizliğe Bessel Eşitsizliği deilir. İspt : Her N içi s c k g k [, b] biçimide tıml kısmi toplm foksiyolrı- ı, s c k g k edeiyle k k f s t f s, f s f, f f, s + s, s f t f, s + s t ve her bir i k içi g k, g i ve k i içi g k, g i g k, g k g k t ve böylelikle her bir k idisi içi g k, s g k, c i g i i c i g k, g i c k g k t i olduğu dikkt edip, her N içi s t s, s f, s f, c k g k, s c k g k, s c k g k t k k k c k g k c k f, g k k k k 5 c k g k t

120 buluur çükü her k idisi içi geçerlidir: Böylelikle kıscsı f, g k c k g k t f s t f t c k g k t + c k g k t f t c k g k t k k k c k g k t f t N buluur, bu isteei kolyc verir. k Uyrılr : Eğer {g } dik dizisi üstelik g t N koşuluu d gerçeklerse, ck bu durumd, birim dik dizi dıı lır. Bu durumd Fourier ktsyılrıı c f, g N olduğu ve Bessel Eşitsizliğii c b f d biçimie geldiğie özellikle dikkt edilmelidir. Mtemtikte { } l { } Cω : < + diziler kümesi e ülü Bch Uzylrı d birisidir ve herhgi f C[, b] elemıı, herhgi bir birim dik diziye göre tıml Fourier ktsyılrı dizisii, böylelikle {c } l gerçeklediği lşılır. Fourier Serileri Teorisi, slıd temel olrk, bir f C[, b] hgi sırdışı iteliklere ship olduğud i [, b] içi c g f, g g.g R, t ii c g f, g g.g C[, b], t iii lim f f, g k k g k.g k, t t iv f f, g g.g yi f c.g [, b] t koşullrıı gerçeklediğii, yrı yrı belirlemeyi görev ediir. Öreği, şğıdki Teorem 3 te [, b], f, g g.g / R t olbildiğii örekleye f C[, b] elemlrı vr olduğu lşılcktır. Bu ve bezeri sorulrı çözmek 6

121 içi 85-9 yıllrı rsıdki çblr soucud bulu kvrm ve yötemler Foksiyoel Aliz i temellerii oluşturmuştur. Bu teorii temel gözlemlerii 87 yılıd Frsız fizik ve mtemtikçisi Je Bptiste Joseph Fourier bulmuştur. 3 Uygulmlrı çık biçimde gösterdiği gibi, R cisimi üzeride C[, b] vektör uzyı yerie P C[, b] htt P C[ π, π] vektör uzyı ile çlışmk dh kıllıcdır. P C[, b] vektör uzyı, [, b] rlığıd tımlı gerçel değerli ve prçlı sürekli piecewise cotiuous ol tüm foksiyolrd oluşur. Bilidiği gibi bir f : [, b] R foksiyou, ck ve ylız, bir [, b] oktsıd, şğıdki koşullrı gerçeklerse, oktsıd, birici türde süreksizliği vrdır, deilir: i f R ve f + R ii y f f + y d f f + f Bu krşılık f sol limiti y d f + sğ limiti bir gerçel syı değilse, kıscsı f y d f y d bezerleri f + içi geçerli ise, [, b] oktsıd f foksiyouu ikici türde süreksizliği vrdır deilir. Sözgelimi f, f, ] biçimide tıml f içi f+ + ve bezer olrk g, g l [, biçimide tıml g içi g gerçekleştiğide, bu foksiyolrı sırsıyl ve oktlrıd ikici türde süreksizliği vrdır. Bu krşılık f [] R foksiyou, her bir k Z tmsyısıd fk k fk < k + fk+ gerçeklediğide birici türde süreksizliğe shiptir. Bu krşılık [, ] F +, ] foksiyou içi F F < F +gerçeklediği içi, F foksiyouu [, ] rlığıd oktsıd birici türde süreksizliği vrdır. Bir f : [, b] R foksiyou, ck ve ylız [, b] rlığıd hiç ikici türde süreksizliği yoks ve ylızc bu rlığı solu te oktsıd birici türde süreksizliği vrs, [, b] rlığıd prçlı süreklidir deilir. Aşğıd bu türde foksiyo örekleri verilmektedir. Öerme 3: f, g P C[, b] ise α, β R e olurs olsu αf + βg P C[, b] olur. İspt : f foksiyou,,..., [, b] oktlrıd g foksiyouu ise ξ, ξ,..., ξ [, b] oktlrıd birici türde süreksizlikleri vrs, bulrd frklı her oktd αf + βg foksiyouu sürekli olduğu dikkt ediiz. Bu krşılık,...,, ξ,..., ξ oktlrıı hiç birisi öreği oktsı αf + βg foksiyou içi kesilikle ikici türde süreksizlik oktsı değildir, çükü lim gerçekleye her bir { } dizisi içi sl lim αf + βg olmz, çükü hem lim f l hem de lim g l gerçel syılrı iyi tımlıdır ede?. Dolyısıyl αf + βg foksiyouu [, b] rlığıd 7

122 Şekil 3: hiç ikici türde süreksizliği yoktur ve olsı solu te okt dışıd [, b] rlığıd hiç ikici türde süreksizliği yoktur ve olsı solu te okt dışıd [, b] rlığıd her yerde süreklidir, bu ise αf +βg P C[, b] soucuu verir. Uyrılr 3: Riem tümlevie ilişki bilgimiz, her f P C[, b] foksiyouu [, b] rlığıd Riem itegrlleebildiğii söylemektedir, bkz. Aliz Dersleri, dolyısıyl her f P C[, b] içi fd R iyi tımlıdır. Fkt f, f [,, ] biçimide tıml f P C[, ] içi o derslerde, f olmmsı krşı fd gerçeklediği kıtlır, gerçekte ε > e olurs olsu, f foksiyouu [, ] rlığıı uygu bir { ε, ε,..., ε} prçlışı krşılık gele S f ε,..., ε üst Riem toplmıı b S f ε,..., ε li k. sup fi k < ε k gerçeklediği kıtlrk burd her k idisi içi I k [ k ε, k ε ve li k k ε k ε olrk tımlmktdır souçt, şğıdki supremum ve ifimum [, ] rlığıı tüm prçlış- 8

123 lrı üzeride lımk üzere ve böylelikle sup s f ε,..., ε if S f ε,..., ε {,..., } {,..., } fd soucu buluur. Tümüyle bezer biçimde g [, b] {,..., } ve g c,..., g c biçimide tıml g P C[, b] içi f, g P C[, b] içi b gd kıtlır. Şimdi eskide olduğu gibi, herhgi b f, g fgd R b yzılırs, f olduğu hlde f, f f d gerçekleye f P C[, b] elemlrıı vr olduğu lşılır sıl?. Bu edele, bu yei iç çrpım sözde iç çrpım ve f t + b f d gerçel syısı d sözde tümlev ormu deilmelidir, oys pek çok mtemtikçi bulr içi sözde sıftıı kullmd, bulr iç çrpım ve orm demektedir. P C[ π, π] vektör uzyıd, e ülü dik dizi ol ve her [ π, π] ve her N içi ϕ, ϕ cos, ψ si biçimide tıml {ϕ, ϕ, ψ, ϕ, ψ,...} ile ilgileelim. Bilidiği gibi f P C[ π, π] foksiyou ck ve ylız f f [ π, π] koşuluu gerçeklerse tek foksiyo, ck ve ylız f π π f [ π, π] koşuluu gerçeklerse çift foksiyo deilir ve f tek foksiyo ise, t değişke döüşümü ile fd ftdt fd olduğud fd fd+ fd, π π π π π π π π π bu krşılık f çift foksiyos fd fd ve böylece fd fd olur, yrıc f çift g tek ise f.g çrpımı tek ve ve böylece fgd buluur. Bu gözlemler edeiyle π {ϕ, ϕ, ψ, ϕ, ψ,...} diziside, frklı idisli herhgi iki üye P C[ π, π] vektör uzyıd birbirie diktir, yi 9 π π

124 m ise ϕ, ϕ m ϕ, ψ m ψ, ψ m olur, çükü R sbiti e olurs olsu g cos foksiyou çifttir ve h si foksiyou tektir, souçt ϕ, ψ m π π π π cos si md ve yrıc ϕ, ϕ m cos m + cos + m d si m m π π π π + cos cos md si + m + m olur, çükü iyi bilidiği gibi her k Z içi si kπ si k π geçerlidir, bezer biçimde m ise π π π π ψ, ψ m si si md buluur. Bu krşılık, her N içi π π cos m cos + m ϕ t π π cos d π π + cos d π + si 4 π π π bulrk ϕ t π ve ψ t π ve ϕ t π elde edilir. Herhgi bir f P C[ π, π] içi, bu elemı bu dik diziye göre Fourier serisi olup yukrıdki bilgilerle f, ϕ f, ϕ ϕ + t ϕ ϕ + f, ψ t ψ ψ t f, ϕ ϕ t π π π fd ve her N içi f, ϕ ϕ t π π π f cos d b f, ψ ψ t π π π f si d olmk üzere, bu seri dh çık biçimde ϕ + ϕ + b ψ olrk yzılır. Fkt ve değerlerii uyum göstermesi kıscsı ktsyısıı içi π π π f cos d değerie eşit

125 olmsı isteir, böylelikle yei olrk lıırs f, ϕ ϕ t π π π π π π fd fd bulucğıd yukrıdki seri + cos + b si olrk yzılır. Fkt Uyrı. içide belirtildiği gibi, bu trigoometrik foksiyo serisii f C[ π, π] olduğud bile her [ π, π] içi ykısmsı gerekmediği gibi, bu seri bir [ π, π] içi ykısdığıd, ykısdığı toplm değerii f olmsı gerekmez! Bu krşı Dirichlet i şğıdki çok kullışlı teoremi geçerlidir. Teorem Dirichlet Teoremi: Eğer f P C[ π, π] elemıı foksiyouu türevi, [ π, π] rlığıd solu okt dışıd prçlı sürekliyse, özel olrk f periyodik ise toplmıı değeri, her π, π içi şğıdkidir, yrıc şu eşitlikler geçerlidir: f + f+ P C[ π, π] ise ve f foksiyou π periyoduyl f π f π + + fπ Kıtlm: İlerde Öerme6 d sor verilecektir. Örekler : f ; π, ; π,, π ;, π foksiyouu Fourier çılımıı buluuz. Çözüm: Bu foksiyou pçık biçimde π,, π oktlrıd birici türde süreksizliği vrdır, bu bir tek foksiyodur, yi her [ π, π] içi f f gerçekler ve birici türde süreksizlik oktlrıı dışıd her yerde türetilebilirdir, kıscsı Dirichlet Teoremideki tüm koşullrı yerie yerie getirir. Bu tek foksiyou Fourier ktsyılrı, her içi ve her N içi f. si çift foksiyo olduğud

126 π π π b f si d f si d si d π π π π cos π π ve souçt b π π π bulurk, istee çılım f si d π. N edeiyle b 4 π ve b 4 π. si f + f+ olrk belirleir. Fkt f foksiyou her π, π içi f gerçekler, sözgelimi f lim f ve f+ ve souçt f f + f+ buluur. Eğer f foksiyouu tımıı π periyotlu olrk tüm R kümesie geişletirsek f i grfiği şğıdki şekilde çizilidir: Şekil 4: Kolyc her [ π, π] içi f souc ulşılır: f + f+ bulurk Dirichlet Teoremi edeiyle şğıdki f 4 π. si 4 si + π si si [ π, π] Bu serii kısmi toplmlrıı grfikleri syf 8 de çizilmiştir öreği, biricisi s 4 π grfiğidir. si + si 3 3

127 Şekil 5: Şekil 6: Şekil 7: 3

128 Özel olrk π, π [ π, π] içi üstelik si π + N bilgisii kull- ırsk π f 4 π. si π 4 π. + ve souçt ülü Leibiz bğıtısı ol π elde edilir, bu krşılık π 4 oktsıdki çılımd ve yrıc si π [ 4 ]. N 4 bilgiside yrrlılırs şğıdki şşırtıcı bğıtı buluur: π π; π, ] f ;, π Bu foksiyou periyodik ypılmış grfiği şğıd çizilidir: Dikkt edilirse f π π π π. cos d + π π si d π. cos d + π. si d π cos π π 4 π

129 böylece f, f b f π buluur. Bezer biçimde π π cos π π. si d π. cos d π π cos π π ve f 3π bulurk, her π, π içi f + + f 3π 4 π cos si ve böylece içi hesplıp şu ülü çılım buluur: π Her [ π, π] içi f biçimide tıml ve pçık biçimde çift ol foksiyo f C[ π, π] P C[ π, π] gerçekler ve oktsı dışıd [ π, π] rlığıd her yerde türetilebilirdir ve Fourier ktsyılrı, her N içi b, π π si π π π π π si d π f cos d π π cos d cos π π 4 edeiyle ve π ve yrıc π Teoremi edeiyle şğıdki gibi elde edilir. π d π bulrk istee çılım Dirichlet π 4 π. Grfikler şğıdki Şekil 6 dki gibidir: cos [ π, π]. Üstelik içi π 4 π bğıtısı elde edilir. ve dolyısıyl, ülü π

130 Şekil 8: 3 Her π, π ii şğıdkii gösteriiz:. + si., π cos. Öreği biricisi içi f π fπ ve f π, π foksiyolrıı Fourier çılımlrıı buluuz. 4 Her π, π içi şğıdkii gösteriiz: burd e eπ e π π + cos si + e cos bd e cos b + b si b, + b e si bd e si b b cos b + b kullı. 5 Her [ π, π] içi gösteriiz: si π 4 π. cos 4 cos içi çılımı siz buluuz. 6

131 6 Her [ π, π] içi gösteriiz: Dikkt: Yukrdki 3 de yrrlıız!. 7 f foksiyou π π + π cos. + π; [ π, ] f ; π ;, π] ise gösteriiz. f k 8 f foksiyou si. Burd elde ediiz: si < π [ π, π]. ; π, π π, π f ; π, π ; π, π, π, π ise f çift foksiyo, fkt ve souçt f 4 π. +. cos [ π, π] 9 ; [ π, ] ve π f ; [, π ise gösteri: f π 4 + π cos + +. si π, π 7

132 Bu çılımd yrrlrk π 8 elde ediiz. + ; [ π, ] ve π f ; [, π ise gösteri: f π 6 + cos + π 3 π si π, π Bu çılımd yrrlrk π + bğıtısıı buluuz. Aşğıd yer l Ek Bilgi de verile bilgilerde yrrlrk gösteri cot α π α α α α R Z α ve özellikle, her m N içi cotm + π cosm+ π sim+ π kullcğımız yrrlı bğıtıyı elde ediiz: edeiyle Teorem3 ü kıtlmsıd m + m + m + m N Ek Bilgi: Bölüm de elde edile ve her R içi geçerli ol şu ülü Euler Özdeşliği, si. π π π 3 π... dikkt edilirse şğıdki biçimde Fourier Açılım bilgisiyle kolyc elde edilebilir. Öcelikle / Z e olurs olsu cos π si π cos [ π, π] çılımıı gözlemek kolydır, çükü f cos foksiyou [ π, π] rlığıd kedisi ve türevi sürekli 8

133 ol bir çift foksiyo olduğud, her N içi b f ve π π f cos. cos d π π si π + π si π π + π + si π π + π cos + d + cos d si π. π ve f π si π kolyc hesplrk yukrdki çılımı buluur. Böylece / Z yerie t / Z değişkei yzılrk ve π lırk kolyc π cot πt t t t t / Z buluur. Sğ ydki seri < < olmk üzere [, ] kplı rlığıd düzgü ykısk olduğud < ε < < olmk üzere, sol ve sğ y [ε, ] [, ] rlığıd terim terime tümlevleerek ve gerçeği kullılırs π. ε cot πt dt l si π si πε l l π πε ve ε içi limit lıırs, kolyc < < içi, si π l π si π si πε l ε l l buluur. Dikkt: Her < < içi l < l + < gözleyip gerek l ve gerekse l ε Serileri Weierstrss-M Ölçütü ile [, ] rlığıd düzgü ykısdıklrıd, yukrd lim ε + yzılbilmiştir. Böylece l ε lim l ε + ε l 3 si π π., 9

134 buluur. Kolyc 3 eşitliğii herbir [, ] içi geçerli olduğu gözleir. Aslıd bu eşitlik her R içi geçerlidir, çükü her N ve her R içi tımlı ol p π. poliomu dikkt edilirse k k π! p p N, R + gerçeklediğide + içi limit lrk şu şşırtıcı eşitlik elde edilir: g π. içi g + g. Böylelikle si π g yi 3 eşitliğii gerçekte her R içi doğru olduğu çıkrsır, öreği 3 eşitliği, rlığıdki her gerçel syı içi doğru ve, 3, ξ,, ξ + böylece si π si π + πξ si πξ g ξ g ξ + g π. buys isteei verir. Evet, şimdi sırd şğıdki şşırtıcı souç gelmektedir: Teorem 3: Fourier serisi bzı oktlrd ırksy π periyotlu sürekli foksiyolr vrdır. İspt: Öce gerektiği içi şulrı hesplylım: her k N ve içi buluur, A k, π si k + π [ cos d si k si k + ] d cos + k + π k cos k + π k + k k + k + > ; k k + < ; > k olur, kıscsı A k,, A k,,..., A k,k rsyoel syılrı pozitif, bu krşılık A k,k+, A k,k+,... rsyoel syılrı hep egtiftir ve yukrdki so ödevde 3

135 A k, + A k, k + + k + k + k + k + k + eşitlikleri her k N içi elde edilir. Dolyısıyl bu so ykısk serii kısmi toplmlrı içi S k,m A k, m + A k, > k, m N buluur, çükü zte < S k, < S k, <... < S k,k olur ede? ve üstelik lim S k,m A k, + A k, edeiyle S k,k > S k,k + A k,k+ S k,k+ > S k,k+ + A k,k+ S k,k+ >... > lim m S k,m olmktdır, kıscsı gerçekte her k, m N içi S k,m > buluur. Özel olrk, her k N ve S k,k A k k, + A k, > + k A k, > k k + > k k + S k,k > k k + k i i > buluur, çükü her R + içi l+ < olduğud kolyc k lk + > lk gözleir. Bu gerekli gözlemleri rdıd, şimdi k i l + > lk i i l + k + k l i k k... si 3 + f [ π, π] biçimide tıml foksiyou gözöüe llım. Topllr sürekli ve sözü edile foksiyo serisi [ π, π] rlığıd mutlk ve düzgü ykısdığıd Weierstrss M-ölçütüü uygulyı f foksiyou süreklidir, pçık biçimde çift foksiyodur ve her N içi f cos si k3 + cos [ π, π] k k foksiyo serisi de, sözü edile rlıkt düzgü ykısr, böylelikle terim terime itegrlleebilir. Her içi 3 + doğl syısı 4N + biçimide ve π 6 olduğud 3

136 f π π f π si 3 + si 3 π + π 6 < buluur. f foksiyouu tımı π periyotlu olrk [ π, π] rlığıı dışı geişletilir. Böylelikle f foksiyou, tüm R kümeside sürekli ol π periyotlu bir foksiyo olur. f foksiyouu gerçekleye gerçel syılrd türetilemediğii, çükü + h si 3 + si h cos ξ,h ırksk gerçeğii, herhgi bir > içi geçerli olduğuu gözleyiiz. Apçıktır ki bu çift foksiyou Fourier serisi + cos olup, bu seri içi oktsıd + cos. + ırksk gerçekleşir. Gerçekte, her N içi π π π ve dolyısıyl π f. cos d k k f. cos d π k k π si k3 + cos d k k A k3, si k3 + cos d k πk A k3, bulurk, serisii kısmi toplmlrı içi, her m N içi şğıdkiler elde edilir: s m m + k k A k3, πk + k πk A k3, πk A k3,m [ ] A k 3, πk + A k 3, A k3,m 3 k

137 k πk S k3,m > πk S k3,m çükü pozitif terimli ykısk bir serii toplmı, her terimide büyüktür, özellikle l k < S k,k k N soucu kullılırs, böylelikle s k 3 > πk S l k3 k3, k3 > πk k3 l k k N, π l s k 3 > k. k π buluur. Demek ki f foksiyouu oktsıdki Fourier serisii {s m } m kısmi toplmlr dizisii sıırlı olmdığı ve dolyısıyl ykısk olmdığı lşılır, bu isteedir. Siz tümüyle bezer hesplmlrl, < α < sbiti e olurs olsu si 3 + g α [ π, π] foksiyouu sürekli olduğuu, π periyotlu geişlemesii bezer itelikte bir foksiyo olduğuu; htt β > sbiti e olurs olsu, bu tımlrd kullıl 3 yerie m β [β] + doğl syısıı ve pydd β lrk bezer itelikte foksiyolr tımlbileceğie dikkt ediiz. Şimdi Fourier serilerii oktsl ykısm problemiyle ilgileelim. Öce şğıdki gerekli ülü lemmyı kıtlylım: Riem-Lebesgue Lemmsı: f P C[, b] ise α R e olurs olsu şğıdki geçerlidir: b lim λ + f. si λ + α d b lim λ + f. cos λ + α d İspt: λ + edeiyle λ [, lısı. Siüslü iddiyı gösterelim, çükü cosiüslü iddi tümüyle b bezer biçimde ypılır. Her λ [, içit λ f. si λ + α d deirse lim T λ ve lim λ + λ + T λ iddilrıı eşdeğer olduğu dikkt ediiz, Eğer f sbit bir foksiyo yi f c [, b] ise kolyc b T λ c. si λ + α d c cos λ + α cos λ + α λ. c λ edeiyle iddi pçıktır, dolyısıyl iddi f bir bsmk foksiyou ise kolyc elde edilir sıl?. Şimdi bsmk foksiyou olmsı gerekmeye bir f P C[, b] lısı. f foksiyou [, b] rlığıd Riem 33

138 itegrlleebilir olduğud, ε > verildiğide, burlığı uygu bir { ε, ε,..., ε} prçlışı içi S f ε,..., ε s f ε,..., ε < ε olur. Her bir < k idisi içi I k [ k ε, k ε ve yrıc m k if fi k ve M k sup fi k ve I [ ε, ε [ ε, b] g m k I k, k,,..., h M k I k, k,,..., biçimide tıml foksiyolr, krekteristik foksiyolr yrdımıyl dikkt: ülü χ A krekteristik foksiyou bilidiği gibi χ A biçimide tımlır. g ; A <k m k.χ Ik ve h <k M k.χ Ik ; / A ve g f h yi g f h [, b] gerçekler, çükü [, b] <k I k birleşimie ktıl rlıklr ikişerli yrıktırlr ve herbir [, b] içi I k gerçekleye tek bir < k idisi vr ve f fi k edeiyle olur, üstelik ve b b g m k if fi k f sup fi k M k h gd <k m k k ε k ε s f ε,..., ε hd S f ε,..., ε ve f g f g [, b] edeiyle b b f g. si λ + α d f g.d b h g.d S f s f < ε ve yrıc yukrıd gözlediği gibi g bsmk foksiyou içi f. si λ + α d edeiyle lim λ + b b f g.d M ε >, b g. si λ + α d < ε λ [M ε, olduğud, souçt her λ [M ε, içi 34

139 T λ b f g. si λ + α d + b g. si λ + α d b itegrl değerleri, T λ < ε + g. si λ + α d < ε gerçekler bu isteedir. π Souç: f P C[ π, π] ise lim f. si + d olur. + π Dikkt: Bu e so souç, her f P C[ π, π] içi, Teorem de kıtl ülü Bessel eşitsizliğii bezerii kıtlyrk elde edilecek ol f, ϕ + f, ψ π. f t eşitsizliğide de çıkrsır, çükü ordki c leri yerie bu kez f, ϕ ϕ π f, ϕ ve f, ψ t ψ π f, ψ t ve dolyısıyl c. g t syılrıı yerie π f, ϕ ve π f, ψ gelir. O hlde hem f, ϕ hem de f, ψ serisi ykısr ede?, böylelikle lim f, ϕ + π π lim f. cos.d lim f. si.d + π + π buluur ede?. Böylelikle her f P C[ π, π] içi şulr buluur: lim f, ψ kıscsı + π lim f. cos. si π + π d lim f. si. cos + π d çükü iki stır üstte bululr, bu kez g f. cos ve h f si böylece her f P C[ π, π] içi istee souç kolyc elde edilir: foksiyolrı uygulır, π lim f. si + d + π Dikkt : f, ϕ serisii ırkst f C[ π, π] elemlrıı vr olduğu uutulmmlıdır. Öerme 4 : f P C[ p, p] ve üstelik f foksiyou tüm R kümeside p periyotlu ise, her R sbiti içi şulr geçerlidir: +p f.d p p fd p fd İspt: f foksiyouu, öcelikle, her R ve her k Z içi f f + p gerçeklediğii çükü tümevrım kullıp kolyc, her N, her R içi f f + p gösterip souçt f p f p + p f elde edilir. Şimdi R rcılığıyl, k 35 [ p] Z tm kısım değeri

140 tımlıp, kıslık mcıyl p fd itegrl değeri T ile yzılırs, öcelikle t + k p döüşümü ypılıp ft + k p ft edeiyle, üstelik k p < k + p + p < k + 4p ve k +p k p f.d p ft + k pdt p ftdt k +4p k +p f.d T olduğud şğıdkiler elde edilir: +p ve k +p buluur. T f.d T k +4p k +p k +4p k +p +p f.d f.d +p f.d + k +p k +p f.d T k +p k +4p +p f.d f + p.d T +p f.d + f.d T k +p k +p f.d Öerme 5: Herhgi bir f P C[ π, π] elemıı Fourier serisii kısmi toplmlrı, şğıdki Dirichlet bğıtısı ı gerçekler: s + k cos k + b k si k π k π π f + t. si + t si t dt [ π, π] İspt: Öcelikle f foksiyouu tımıı π periyotlu olrk tüm R kümesie geişletelim. Sözü edile Fourier ktsyılrıı değerlerii yzrsk ve yrıc π π π k cos k b k si k π cos k π π π π π π ft. cos kt.dt π ft. si k. si ktdt k π π ft. cos k. cos ktdt, ft dt olduğud, souçt toplm lrk s [ ] π ft π + cos k cos kt + si k si kt dt buluur, oys her y R içi π π π [ ] ft + cos k t dt k 36

141 si y. cos ky k k si k + y si k y si + y si y + cos ky si + y k si y y / {, π, 4π,, 6π,...} olduğud kolyc s π π π π π π π π π π π π ft si + si t t fu + si + si u u dt u fu + si + si u du t ft + si + si t istee soucu buluur, burd * eşitliği yzılırke hem f foksiyouu hemde g si + si foksiyouu π periyotlu olduğu gözleerek bir öceki öerme kullılmlıdır, gerçekte, hem cos + π hemde cos π edeiyle geçerli olmktdır. g + π si + si + π si +. cos + π si cos π g dt + + π du Öerme 6: π π π si + t si t dt İspt: π π si + t si t dt π π [ ] + cos kt dt π + k k si kt k π π π Dirichlet Teoremii Kıtlmsı Şimdi öce, teoremi ifdesideki f P C[ π, π] içi, 37

142 f f+ + f [ π, π] koşuluu gerçeklemesi durumud bir kıtlm verelim, çükü f foksiyouu bu özel koşulu gerçekleşmesi durumud bir kıtlm verilebilirse, geel durumd kıtlmyı bşrmk çok kolydır. Şimdi f foksiyou f P C[ π, π] ve f P C[ π, π] koşullrıı ve yısır, yukrıd yzılı koşuluu gerçeklerse, Riem-Lebesgue Lemmsıı rdıd gele soucu kullrk, f foksiyouu oktsıdki Fourier serisii kısmi çılımlrıı lim s f gerçeklediğii gösterelim. Öce f i tımıı π periyotlu olrk tüm R kümesie geişletelim. Dikkt edilirse so iki öerme yrdımıyl s f π π π π π π π π π π π π f + t si + t si t dt π π π f + t f si + t si t dt [ f + t f t ] si t si t g t si + t dt f si + t si t dt + t dt buluur, burd pçık biçimde, e so tümlev içide köşeli prtez içide yzılı foksiyo g t deilmiş ve g f + + f lımıştır. Amcımız g i t değişkeii prçlı sürekli foksiyou olduğuu göstermektir. Öcelikle f P C[ π, π] edeiyle hem f f + h f + lim sğ limiti h + h ve bezer biçimde hem de f sol limiti vr olduğud, souçt f + h f g + lim h +g h lim.lim h + h h si h h f +. f + ve bezer biçimde g f limitleri vr tımlıdır. Eğer f foksiyouu, hepsi birici türde olmk üzere tüm süreksizlik oktlrı,,..., ise, bulrd frklı herhgi bir içi g foksiyou t değişkeii prçlı sürekli foksiyoudur, çükü bu foksiyo + t / {,..., } gerçekleye herbir t [ π, π] oktsıd pçık biçimde süreklidir çükü sözgelimi g t+ g t g t geçerlidir, çükü f + t + h f lim h +g t + h lim h + t + h f + t f t olur, çükü + t oktsıd f foksiyou sürekli olduğud 38 t.lim h. si t g t t+h si t+h lim h +f + t + h f + t geçerlidir.

143 Eğer + t ise t gözleyerek g t+ f + t + f si t R sğ limitii ve bezer biçimde g t sol limitii tımlı olduğu lşılır. O hlde g P C[ π, π] olur. Tümüyle bezer biçimlerde g,..., g foksiyolrı d [ π, π] rlığıd prçlı süreklidir. Demek ki her [ π, π] içi g P C[ π, π] olmktdır, souçt Riem-Lebesgue Lemmsı kullılrk şğıdki buluur: lim s f π π lim g t si + t dt. π Şimdi kıtlmı so şmsıd f P C[ π, π] ve f P C[ π, π] olsu, bu f foksiyou yukrıd yzılı koşuluu gerçeklemese bile, her [ π, π] içi f+ sğ ve f sol limitlerii vr tımlı olduğu uutulmd, bu f rcılığıyl [ π, π] rlığıd bu kez f f+ + f [ π, π] biçimide bir f foksiyou tımlsı. Eğer oktsı f içi bir süreklilik oktsı ise f+ f f edeiyle f f bulucğı, eğer oktsı f içi. türde bir süreksizlik oktsı ise, uygu bir, + δ rlığıdki her oktd f sürekli olduğud ede?, kıscsı her, + δ içi f f olduğud f + f + bulucğı dikkt ediiz. O hlde her [ π, π] içi f + + f f+ + f f bulurk hem f P C[ π, π] olur, hemde f foksiyou yukrdki koşuluu ve yrıcf P C[ π, π] gerçeklediği lşılır. Üstelik f ve f foksiyolrıı, solu te dışıdki tüm oktlrd değerleri eşit ve souçt yı itelikler, her N içi sözgelimi f cos ve f cos foksiyolrı içi geçerli olduğud π π f cos d π π f cos d olur ede?, bu edele f ve f foksiyolrıı Fourier ktsyılrı eşittir, tüm bulrd ve birici şmd bulu souç gereği f+ + f f + cos + b si [ π, π] istee soucu buluur. Şimdi de Dirichlet Teoremide çıkrs şu ilgiç soucu görelim. 39

144 Öerme7: si d π. İspt:f C[ π, π] foksiyou şğıdki gibi tımlsı. Dikkt edilirse lim +f ve bezeriyle si ; [ π, π] ve f lim f +, π lim +, π si. lim si + f f+ f ve zte gerçekleye tüm [ π, π] oktlrıd f sürekli olduğud f C[ π, π] buluur. Üstelik fh + f lim h + h si h fh f lim lim h h + h h + h 8. lim h + si h lim h fh + f h h lim cos h si h h h gerçeklediği L Hopitl kurlı kullrk bulurk f i oktsıd türetilebildiği ve içi f cos si bulrk f i hem türetilebilir hem de türevii tüm [ π, π] rlığıd sürekli olduğu lşılrk sıl? f C[ π, π] buluur. Dirichlet teoremi edeiyle, f foksiyouu Fourier serisi her bir π, π oktsıd π π π f + t si + t si t dt s değerie ykısr, özellikle içi + k cos k + b k si k k f+ + f f π π ft si + t si t dt π.f π ykısmsı gerçekleşir. Dikkt: bğıtısıd tıml f foksiyou f f [ π, π] gerçeklediği içi çifttir, ht ft si + t si t foksiyou d çifttir, t, π içi ft si t olduğud t π π ft si + t π si t dt si t t. si + t π si t dt si + t dt π t ve dolyısıyl + π si π d si + t dt π t 4

145 buluur, oys bu si d lim + π si d π verir. Teorem 4: f foksiyou tüm R kümeside sürekli ve π periyotlu ve üstelik f P C[ π, π] olsu. Bu durumd f i Fourier serisi tüm R kümeside mutlk ve düzgü ykısr. İspt: f foksiyouu Fourier ktsyılrı,.b ve b. N gerçekler, burd ve b ler sırsıyl f foksiyouu Fourier ktsyılrıı göstermektedir, sözgelimi π f cos d π fπ cos π f π cos π + f si d π π π fπ f π cos π +.b π π buluur, çükü f foksiyou π periyotlu olduğud f π f π + π fπ ve böylelikle fπ f π geçerlidir. Bezer biçimde π f fπ f π d ve b. π π π buluur. Oys herhgi bir f P C[ π, π] içi, ou Fourier ktsyılrıı + b f t < + gerçeklediği syf 49d? gösterilmişti. dikkt: f, ϕ ve b f, ψ π π böylelikle f foksiyouu Fourier ktsyılrı içi bu souç yzılırs olduğuu uutmyıız, + b + b < + ve böylece f i ktsyılrı içi ülü Cuchy-Schwrz eşitsizliğide yrrlılrk ve S yzrk + b 4

146 + b π S 6 < + soucu buluur, çükü Cuchy-Schwrz eşitsizliği: k. b k olduğud her N içi k k k b k k k k + b k k k k k + b k k + b k k π 6 k k + b k S π yi k + bk S N bulup içi limit lrk istee buluur. O hlde k 6 içi CS eşitsizliğiyle b + b. b +. b +. b + b olduğud, souçt her R içi + cos + b si + + b. cos + si + + b edeiyle, f foksiyouu Fourier serisii Weierstrss M-ölçütü kullılrk, tüm R kümeside mutlk ve düzgü ykısk olduğu lşılır. Teorem 5: f C[ π, π] ve F olur. F b + ftdt [ π, π] ise b cos si [ π, π] İspt: F l foksiyou süreklidir, türetilebilir ve Teorem 4 edeiyle, üstelik f + trigoometrik serisi düzgü ykısk olduğud, terim terime itegrlleebilir, souçt 4 cos + b si

147 F ftdt + si t b cos t + si b cos b + olur, oys her π, π içi + si olduğud F b + + si si b cos. + b + b cos si π, π istee soucu buluur. Örek: π, π içi ve + si, 4 π + cos gösteri. 3 π si 3 Çözüm: f içi, f i Fourier çılımı f + si olduğu ve souçt ve b + N olduğud 4 b ftdt b cos öceki teorem ile buluur, oys + + cos π, π çılımı, bir π 8 π 4 π 43

148 olduğud burd π 6 Diğeri ödevdir. içi şğıdki öreklere bkıız, souçt 4 π + cos π, π Tım. Fourier Siüs ve Fourier Cosiüs Açılımlrı [, π] rlığıd tımlmış gerçel değerli bir f foksiyouu [ π, π] rlığı çift geişlemesi ve tek geişlemesi f ; [, π] Ã f f ; [ π, f ;, π ve T f ;, ±π f ; π, biçimide tıml foksiyolr deilir. Bulrı gerçekte sırsıyl çift ve tek foksiyolr olduklrıı gözleyiiz, yi her [ π, π] içi Ç f Ç f ve T f T f geçerlidir, sözgelimi [ π, ise, π] ve böylece Ç f foksiyouu tımı gereği Ç f f Ç f buluur. Dikkt: Apçık biçimde f P C [, π] ise hem Ç f P C [ π, π] hem de T f P C [ π, π] gerçekleir. Aşğıd bsit bir örek yer lmktdır. Şekil 9: Örekler: 44

149 f [, π] foksiyouu Fourier siüs ve Fourier cosiüs çılımlrıı buluuz. Ç f ve T f foksiyolrıı grfikleri şğıddır. Şekil : Ç f π cos, T f π si 8 π si 3 f cos, π ise şğıdki trigoometrik bğıtıd yrrlrk gösteriiz: cos. sib si + b si b, b R T f 8 π 4 si, π bu soucu cos 8 π 4 si, π demek olduğuu gözleyiiz. 3 e + + e π π si, π gösteri. + si 4 π, π gösteri. 5 π π 6 cos, π 8 π si [, π] gösterip elde ediiz: π 6, π

150 6 3π gösteri. 7 e foksiyouu cosiüs, si foksiyouu cosiüs çılımlrıı buluuz. 8 Yukrdki bilgilerle şğıdki şşırtıcı eşitlikleri gösteriiz: 3., + Ek: PC [, ] vektör uzyıd Fourier Serileri > olmk üzere P C [, ] vektör uzyıd dikkt edilirse ϕ cos π, Ψ si π N olmk üzere {ϕ, ϕ, Ψ, ϕ, Ψ,...} ilesi bir dik iledir, yi şğıdkiler gerçekleşir:, m N içi ϕ, Ψ m ve m içi ϕ, ϕ m Ψ, Ψ m Öreği cos mπ cos mπ olduğud ϕ, Ψ m buluur, üstelik sözgelimi 4mπ π cos. si mπ d si cos mπ cos mπ ϕ t ϕ, ϕ cos π d + si π si π + cos mπ π d d ve ϕ t olduğud f f, ϕ ϕ t b f f, ϕ ϕ t π f cos π f. si d d 46

151 ve souçt f P C [ π, π] elemıı Fourier Serisi f + π f. cos + b f. si π olur. Bu vektör uzyıd d bu bölümdeki Dirichlet Teoremi i geçerli olduğuu gözleyip, şğıdki foksiyolrı çılımlrıı elde ediiz: f ;, ;, f 4 + π π cos + π π si,, g ;, g π. + si π 47

152 Bölüm 3 Özge Olmy Tümlevler Bilidiği gibi bir [, b] rlığıd tımlı ve Riem tümlevleebilir ol f gerçel değerli foksiyou içi b f d Riem tümlevie özgeig:proper tümlev deir. Türkçe mtemtik dersleride özge tümlev yerie belirli tümlev de deilmektedir. Bu krşılık şğıdki tım dikkt edilmelidir: Tım : f foksiyou [, rlığıd sürekli ise M lim f d biçimide tım- M lır ve ck bu limit bir gerçel syı ise f d f d tümlevie birici türde ykısk özge olmy tümlev y d birici türde ykısk geelleştirilmiş tümlev deilir. Bu limit bir gerçel syı değilse y d tımsız ise, ck bu durumd Örekler e + d, ırksr. e e + d, f d tümlevie ırksk deilir. + d, 4 d tümlevleri ykısr, d Gerçekte e + d e + e d l + e e + l e e l e + böylece e + d e e + d + d lim M M M lim M M lim M M e + d e e + d 4 + d e M lim l M e M + l l l, lim rct e M rct π M π 4 π 4, + d lim rct M rct π M, l M e y l M e y + dy e y e y + dy ve M içi limit lrk 4 + d e e + d π 4 48

153 buluup 4 d tümlevii ykısk olduğu lşılır. Şimdi dikkt edilirse her M > içi d M d + 3 d, + b > ise M d + + b + M b rct b M +, lim rct π M b ve rct 3 π 3 bilgileri kulılırs kolyc M + içi limit lıp d M buluur. Çükü d l M + M + + ve M 3 + d + π 6 3 geçerlidir. + d, Dikkt edilirse lim l + d, si d, cos tımsız olduğu içi limiti tımsızdır, böylelikle si d + d l M d tümlevleri ırksr. + M lim si d lim cos M M M si d ırksktır. Ötekiler lim M M M edeiyle lim d +, M l + + d M lim M buluur, burd t u > ike M d + d lim l M + +, M M l + d d t u döüşümüyle + lim cos u + si u cos u. cos u + si u p e d, p d < ykısklıklrıı icele- e bilgileri kullılmıştır erede? 3 e α d < α, d < ve p yiiz. l + si u cos u l M + M + + M 49

154 < α edeiyle e α d, ve so üç tüm- αeα levde < olduğuu uutmd p d M lim p d M M lim e α d M lim M M p p p lim M αe α αe αm p p + ; p > ; p < Dikkt: p ise yie p d lim l M l + buluur, demek ki < ise M p d geelleştirilmiş tümlevi ck ve ylız p > içi ykısmktdır. Öte yd < ise, p R e olurs olsu so iki tümlev ykısktır, çükü p e d ve p d ykısktır. Gerçekte [, e olmk üzere, Arşimet İlkesi gereği p < gerçekleye bir doğl syısı vr ve + +! yi < e M ister < olsu + ve p e d l R olur, çükü p d tümlevi, her p R içi e Bu krşılık dikkt edilirse ise Gerçekte p e d M. + d M p e d ykısk olur, çükü öreği < ise M! e < + böylelikle ister p e d p e d + p e d belirli Riem tümlevidir, bir gerçel syıdır. O hlde p e d tümlevidir ve z öce gözlediği gibi ykısktır. e p d buluur, çükü şu geçerlidir: p e p d pe p M e p d tümlevi ykısktır. p pe pm. e p d p gerçeği 3 öreğide gözlemişti, e p d e p d + M lim M + e p d ykısktır, biricisi belirli Riem tümlevidir ve ikicisi içi yrıc e p d e p d M lim p M +. e p M M d olur ve f g d f g M f g d edeiyle M p lim M + Me M e + d e pe + d < + < + olur, çükü e pe M d e d lim M + d lim geçerlidir. Souçt her M + M içi Örek: e p d 3 + d Çözüm: Kesirlerie yırırsk e p d < + gözlemelidir. 5π 6 3 ve 3 + d 5 π 3 3 gösteriiz.

155 M d M d M 3 + d M M 3 l + 6 l + M + d + 3 l M + + M M M + 3 d + 3 l M + M M rct 3 böylece M içi limit lıp lim rct M M 3 π 3 ve rct 3 π 3 htırlırs istee M, 3 + d lim M lim M M [ 3 l 3 + d M + M M + 3. l + 3 π + π 3 5π ] M rct + rct soucu buluur. İkicisi şğıdki yzılış kullılrk bezer yötemle ypılır: Örek: Gösteriiz: t Çözüm: Herşeyde öce lim si l si d tümlevi ykısktır. l +. si + l+ lim si + l+ foksiyouu oktsıd birici türde süreksizliği vrdır. Her N içi t π si l + d k k+π kπ.. > gözlemelidir yi f si l + d belirli tümlevleri tımlırs, y kπ yi y + kπ döüşümü ypılırs siüs foksiyou [, π] rlığıd egtif değer lmdığı ve her y [, π] ve her k > içi < l kπ + l kπ + + y olduğud k k+π kπ π π si l + d si y l kπ + + y dy l kπ + si y + kπ dy k l kπ + + y π si ydy π l kπ + si y l kπ + + y dy, k,,..., 5

156 böylece t k N olur ve şğıdki istee souç k t si d lim l + t ykısk buluur, çükü her N ve her y [, π] içi e < 3 < 4 < π++y π++y ve < l π + + y < l + π + + y ve + π si y π l + π + + y dy < k si y l π + + y dy l π + N edeiyle + gözleirse so seri ülü Leibiz Teoremi edeiyle ykısktır, bitti. Siz bu krşılık d p-ölçütü kullrk tümlevii ırksk olduğuu gösteriiz. l + Kıyslm Ölçütü: Her [, içi f ve g sürekli foksiyolrı f g gerçeklesi. Eğer g d ykısk ise tümlevi de ırksktır. f d tümlevi de ykısk; eğer f d ırksks g d Kıtlm: g d ykısk olsu ve f foksiyouu l foksiyou F f t dt [, biçimide tımlsı. f sürekli olduğud F f [, gerçeklediği, böylelikle F foksiyouu türetilebilir ve souçt sürekli olduğu lşılır, üstelik her [, içi F g t dt g t dt f t dt g d l R geçerlidir, burd eşitsizliği yzılırke f g [, yi her t [, ] içi f t g t eşitsizliği kullılmıştır. O hlde F l [, ve üstelik f egtif olmy değerler ldığı ve F f olduğud F tekdüze zlmydır bu gerçek, f [, edeiyle < < içi F de sıl? f t dt f d f t dt F gözleyerek de bulubilir böylelikle lim + f t dt lim F hem vrdır hem + lim F l gerçekleştiği lşılır. İkici iddi biricide çıkr + Ödev: cos d özge olmy tümlevi ykısk mıdır, ırksk mıdır? Nede? l + Yol gös: cos π/ l + d cos l + d + +π π cos d gözleyiiz. l + 5

157 Or Ölçütü: Her [, içi f ve g olsu. f Eğer lim g l > ise Eğer lim f Eğer lim g f g ve + ve f d ile g d ykısk ise g d ırksk ise g d yı krkterdedir; f d ykısktır; f d ırksr. f Kıtlm: Bir öceki Kıyslm Ölçütü de kolyc elde edilir. Öreği lim g l > oluyors, < ε < l gerçekleye her ε R + içi l ε < f g < l + ε [M ε, olck biçimde M ε > vrdır ve Kıyslm Ölçütü kullılır. Öteki seçeekler içi bezer kıtlm ypılır. Mutlk Ykısm: f foksiyou [, rlığıd sürekli ve tümlevi de ykısktır o mutlk ykısk tümlev deilir. Kıtlm: l f d f d + f d ykısk ise f d f d eşitlikleri < gerçekleye her N içi geçerli olduğud f d tümlevlerii kıslık mcıyl T ile yzrsk l f d T bulurk kolyc lim T lim l f d ve pçık biçimde < < M gerçekleye M pozitif syılrı içi M f d T M f d tümlevi- böylelikle ülü Sıkıştırm Lemmsı ile lim i ykısk olduğu kolyc lşılır. f d M f d T > f d bulrk M + içi limit lıp f d soucu buluur. Artık p-ölçütü: f foksiyou [, rlığıd sürekli ve f gerçeklesi. Eğer lim p f l R ve p > ise Eğer lim p f ve p ise f d ykısktır lim p f + bile ols f d ırksktır. Kıtlm: g p lıp,yukrd kullıl Or Ölçütüü kullı! Örekler: d tümlevlerii ykı d, sklıklrıı iceleyiiz d, d, Çözüm: lim lim olduğud p-ölçütü kullılrk birici tümlev ykısktır. Bu 53

158 souç < d d + π gerçekte her R içi gerçeklediği gözleyerek de bulubilirdi. İkici ve dördücü tümlev ırksk, üçücüsü ykısktır, çükü lim , lim lim bu krşılık lim. ve yrıc d geçerli olduğud üçücü tümlev ykısr d d e pm d < p, e + d, l + d <, + ykısklıklrıı iceleyiiz, ilkide, m N geçerlidir. Çözüm: Üçücüsü ırksk, ötekiler ykısktır. Biricisi, m N e olurs olsu e pm d + e pm d olup, burd e pm d tümlevi ykısktır, zte belirli bir Riem tümlevi olup bir pozitif gerçel syıdır, burd şulrı gözlemeliyiz: Her [, içi p p m ve e pm e p olduğud d cos d tümlevlerii e pm d e pm d ise < p+ +! k p k k! e p edeiyle p+ +! e p geçerlidir. O hlde +! p + M yzrsk e pm M [, eşitsizlikleriyle lim e pm buluur, özel olrk her, m N içi geçerli ol bu soucu + ve doğl syı çifti içi yzrk lim e pm lim + e pm buluup p-ölçütü gereği olrk e pm d tümlevii böylece e pm d tümlevii ykısk olduğu lşılır. O hlde özel olrk e d ykısr, böylece e + d e d Kıyslm Ölçütü ü gereği olrk ikici tümlev ykısr. Ayrıc < 3/. cos e d < + edeiyle cos R + edeiyle lim 3/. cos olduğud p-ölçütü edeiyle soucu tümlev ykısr. Bu krşılık lim tümlev ırksktır.. l+ + si d tümlevlerii ykı- si 3 + d, sklıklrıı rştırıız. Çözüm: lim +. l + + olduğud, yie p-ölçütü ü gereği olrk üçücü cos + d, si + d, si + + [, edeiyle 54 si d, si + d + d π bulrk

159 si d tümlevii mutlk ykısk dolsıyl ykısk olduğu lşılır. Öte yd, her M > içi + M cos M + d + si d si M M + + M si + si + 3/ d M M + si + 3/ d si M ve M + içi limit lıp lim gözleyerek çükü si M M + M + M + M + M M edeiyle lim si M cos M + M olmktdır souçt + + d si d buluur ve bu 3/ + si tümlev her [, içi. si si edeiyle + 3/ + 3/ + 3/ + 3/ d d gözleerek mutlk ykısktır dolyısıyl ykısktır, burd 3/ + d lim 3/ + M + M d lim 3/ + M + M + M dikkt edilmiştir, + 3/ d tümlevii hesplmk içi + u döüşümü ypmk yeride olur. Bu krşılık üçücü tümlev ırksktır, çükü M si M + d + cos d M cos M M M + + M cos M M + + M cos + 3/ d cos. d + cos ve sğ yı M + içi limiti tımsızdır, çükü lim d M + 3/ + l R limiti vrdır, çükü bu so tümlev mutlk ykısk dolyısıyl ykısktır, oys lim M + cos M M iyi bilidiği M + M M. cos M limiti tımsızdır, çükü eğer γ M + lim M cos M M edeiyle lim + lim M + lim cos M M + cos M limiti TANIMSIZDIR. O hlde lim M M + M + M + M + M M M + cos d 3/ + lim M + M cos M M + cos M limiti tımlı olsydı.γ γ tımlı olurdu, oys si d limiti tımsız olduğu + si içi üçücü tümlev ırksktır. Dördücü tümlevi d π olduğu Bölüm, Öerme7 de gösterilmişti. Şimdi frklı bir yötemle bu tümlevi ykısdığıı gösterelim. si π d si π d + si 3π π d + π 55 si d π π si d

160 +π ve dikkt edilirse u+π döüşümü yprk π π si π d si u + π π du u + π si u. cos π du u + π π si u. u + π du bulup si u du > gerçek syılrıı tımlrsk dikkt: siüs foksiyou [, π] rlığıd egtif olmy değerler ldığı ve h u si u u+π u + π u [, π] foksiyou [, π] π π si u rlığıd sürekli olduğud h u du du belirli Riem tümlevi iyi tımlıdır ve pozitifdir, çükü h foksiyou uç oktlrı dışıd hep pozitif değerler lır, souçt bu syılrı u + π syeside bu tümlev şğıdki seriye eşittir: si d ve bu seri ykısktır, çükü her u [, π] içi < u + π < u + + π ve böylece < u+π ve si u edeiyle h + u π si u u++π si u π h u du ve üstelik her N içi u++π < π olduğud { } dizisi, tekdüze rtmy ve sıfır ykısy dikkt: π u+π h u böylelikle < + h + u du si u π u + π du si u π du π si udu π π N eşitsizlikleri edeiyle lim geçerlidir bir dizi olduğud Leibiz Teoremi edeiyle + lmşık serisi ykısktır. Bu krşılık, bezer yötemle si d +π si π π d si u. cos π du u + π π si u u + π du π + π + buluur, çükü cos ve si u u [, π] edeiyle si u si u ve < u + π < π si u π π + π π + u [, π] edeiyle u + π du si u + π du + π geçerlidir. si d tümlevi ise ırk- si Demek ki d geelleştirilmiş tümlevi ykısmkt, bu krşılık si smktdır, kıscsı d tümlevi koşullu ykısktır. 4 Aşğıdki tümlevleri hesplyıız: e α cos bd < α, d < b, + + b d + N + Çözüm: Kısmi tümlevleme kullrk e α cos bd e α b si b + α cos b α + b 56

161 olduğud kolylıkl e α cos bd M lim e α cos bd M α α + b buluur, çükü < α e olurs olsu hem lim si M bme αm si bm lim M e αm geçerlidir. Öte yd, < b koşulu geçerliyke d + + b d + + b + gerçeklediğii görmek içi, öcelikle şğıdki temel bilgiyi b si bm + α cos bm e αm + α lim M α + b d + + b cos bm hem de lim M e αm π b d + + b d + + b b. rct + b ımsyıp, kolylık mcıyl α b > sbitii tımlyıp, kolyc d + + b d + + b M lim M π α α rct α d lim M M α rct α d + + α lim M ve + + α lim M α π α rct α rct α + π α α rct α M + α α rct α α M α rct α bulup, toplm lırk istee souc ulşılır. Dikkt: b olduğud b edeiyle b d bulurk + + b d + d + + d tümlevleride birisi üçücü türde geelleştirilmiş tümlev + d olur, öreği ise üçücü türdedir, çükü, oktsıd h foksiyouu ikici türde süreksizliği vrdır, kıscsı h + + h gerçekleşir ve d d + d olup 57 d tümlevi ırksktır. Öte yd

162 M d M +. + d M M M + + M M + + ve souçt M + içi limit lrk M M M M d M d + + d M + M d + M d + + d +. d + + ve idirgemeye devm edilirse, souçt d + d + d + + ve böylece 3 d + π uutmd.... d d + soucu ve böylelikle t u döüşümü ypılrk şğıdki buluur: d +!!. π!! d + + π/ cos u du!!. π!! Şimdi de ikici ve üçücü türde geelleştirilmiş tümlevleri tıylım: Tım : Eğer f foksiyou, b] rlığıd sürekli ve f + ise, kıscsı f foksiyouu sol uç oktsıd ikici türde süreksizliği vrs, bu durumd d özge olmy tümlevi, ck ve ylız, şğıdki b b b f d lim f d l R ε + +ε f d ikici türde geelleştirilmiş y limitii bir gerçel syı ol koşulu gerçekleirse ykısktır deilir, sözü edile limit tımsız ise y d ise, bu durumd b f d geelleştirilmiş tümlevie ırksktır deilir. Tümüyle bezer tıml f foksiyou [, b rlığıd sürekli ve f b ise ypılır. b b f d lim ε + b ε f d limiti içi Öreği, p R + d d olmk üzere, gerek p gerekse b p tümlevleri ikici türde geelleştirilmiş tümlevlerdir, çükü sözgelimi h p, b] foksiyou süreklidir ve h + 58 b

163 lim p,b] + geçerlidir, yrıc p d p p bilgisi kullılrk b d b p lim p b p ε p d lim ε + +ε ε + p p lim ε b p b p p ; p < ε + p + ; p > buluur, çükü p > yi p > ike lim p ε + ε + geçerlidir, yrıc p ike l bilgisi kullılırs b d b lim ε + +ε d lim ε ε + + l b l ε lim d l b + l + ε buluur, çükü ε + içi hem ε + hem de l b d ε + olmktdır. Bezer işlemleri b p tümlevi içi siz ypıız! Öte yd eğer f foksiyouu bir, b oktsıd ikici türde süreksizliği vrs, kıscsı f + y d f oluyors, bu durumd şğıdki tım geçerlidir: b f d lim ε + ε b f d + lim f d δ + +δ ve ck ve ylız sğ ydki her iki limit de birer gerçel syı ise f d ikici türde geelleştirilmiş tümlevie ykısktır ksi hlde ırksktır deilir. Öreği geçerlidir: b d ε lim ε + d + lim δ + +δ b d ırksktır, çükü şğıdkiler d lim ε + ε + lim δ + δ + İkici türde geelleştirilmiş tümlevler içi, birici türde tümlevlerdeki Kıyslm ve Or Ölçütlerii bezerleri geçerlidir. Dolyısıyl şğıdki p-ölçütü kolyc elde edilir: lim p f l R ve < p < ise + b f d ykısk lim p f l ve p ise l + böyle ols + b b f d ırksk d Bu souçlr elde edilirke p ikici türde geelleştirilmiş tümlevii ykısk yp p R + değerleri ımsmıştır. Bezer şeyler lim b b p f limit değerlerii irdeleyerek elde edilir. Ayrıc 59

164 ikici türde geelleştirilmiş tümlevler içi de Mutlk Ykısklık Teorem de geçerlidir, kıscsı b f d ykısk ise b f d ykısktır çükü f + f f bilgisi, Kıyslm Ölçütü kullılırs f d ykısk olduğud b f + f d ykısktır, dolyısıyl tümlevi ykısktır. Örekler 3: Aşğıdki tümlevleri ykısklıklrıı iceleyiiz: b f d b b f + f d b f d d p, d p e, l e d, e l + d, d l b d d Çözüm: Biricisi p olup, bu p biçimidedir yukrd icelemiş olup, ck ve ylız p < içi ykısktır. İkicisi içi f p e lıırs lim p f lim + p f + lim e olduğud, ikici türde tümlevler içi p-ölçütü bilgisi kullılırs, + ck ve ylız p < içi ykısdığı lşılır. Üçücüsü içi l l l + e e < e < e ve l e d d p e tümlevii d e < + l l kıscsı Kıyslm Ölçütü ile e d d ykısk olur, dolyısıyl üçücüsü ykısktır. Öte yd dördücü tümlev ırksktır, çükü lim e l+ gerçeğii L Hospitl kurlı uygulyrk y d + + l + sıkıştırmsıyl + l+ yi l+ + R+ göz-. e + l+ lim e + l+ lim e lim + + leyerek elde edebileceğimiz içi, lim bulup p-ölçütü kullılrk l böylelikle lim / d l+ e d tümlevii ırksdığı lşılır. Öte yd l + l + l d < + edeiyle so tümlev ykısktır, çükü olduğud lim b b p.f l R ve < p < ise tümlevii ykısklığı bilgisi kullılır. Aşğıdki tümlevleri ykısklıklığıı iceleyiiz: b f d d +, l d 3 3, d 8 3 3, cos d, π/ cos.e d 6

165 Çözüm: İlk üç tümlevde, tümlevi lı foksiyolrı sğ uç oktlrd ikici türde süreksizlikleri vrdır. Dikkt edilirse lim /. + lim lim /3 l 3 l ++4 tümlev ise ırksktır, sözgelimi + +, lim /3 l olduğud p-ölçütü edeiyle ilk iki tümlev ykısktır. So üç cos lim. cos cos + lim +, lim +. cos +.e lim + e olduğud, ikici türde geelleştirilmiş tümlevler içi p-ölçütü kullılır. 3 Aşğıdki tümlevleri ykısdığıı rştırıız: d, e rct d, π/ l si d, α d α < Çözüm: Her > içi e l olduğud e l e l l e e l e böylelikle ykısktır. Öte yd e rct d ε d lim ε + gözlemek güç değildir, çükü sözgelimi ve e d < + buluur ede?, kıscsı birici tümlev e rct d + lim δ + δ e rct d + e rct δ lim δ + δ e rct d δ l d lim δ + l l e rct d l.e rct δ.e rct δ + δ.e rct δ + δ l buluur, çükü + erct d olurede? Bezer biçimde şu geçerlidir. δ l + erct d böylece l + erct d + e rct + d < + fkt lim δ l + erct d l δ + δ + ε e rct d ε dy y.e rct + ε + Öte yd < si, π ] ve l si l si l π l si d d < + olur, çükü lim. si + si lim + si olduğu- d ikici türde geelleştirilmiş tümlevi ykısktır, tüm bulrd ötürü si d, p-ölçütü edeiyle π π si l si si ve 6

166 π lim l si d tümlevi mutlk ykısktır, dolyısıyl ykısktır. Soucu tümlevse lim / α α + > gözleyerek p-ölçütü edeiyle ykısktır. 4 π Çözüm: T π π l si d π l ve π π l cos d ve T l si d. l si d π l, gösteriiz. l si d tümlevi içi π y döüşümü ypılırs T π π π l d π l si + l cos d π π l cos y dy. si. cos l d kıscsı T l si d π l olur. Oys u döümüyle T T π l π bulrk istee çıkr, çükü l si d l si u du l si v dv+ l si v dv π T + T π T geçerlidir. İkici tümlev içi, birz öce bulu l si d T π l soucu kullılıp üstelik π y döüşümü ypılırs, kolyc T π π. π gözleyerek kolyc T π 5. l si d π π y. l si y dy π π π. l si d. l si d T π. l T yi T π l l istee soucu buluur. p e d tümlevii, ck ve ylız p > içi ykısdığıı gösteri. Çözüm: Zte p içi f p.e p e π foksiyouu [, rlığıd sürekli, böylelikle p e d tümlevii belirli Riem tümlevi olrk pozitif bir gerçel syı olcğı çıktır. p < içi f p e foksiyouu oktsıd ikici türde süreksizliği vrdır ve lim p.e p f + lim p p e e olduğud, ikici türde özge olmy tümlevler içi p-ölçütü kullırs, ck + ve ylız p < yi p > içi f d öemli bilgi, şğıd Gm Foksiyou d kullılcktır. 6 si d ve cos d tümlevleri ikici türde değildir, gösteri. p e d tümlevii ykısk olduğu lşılır. Bu Çözüm: Her ikiside, tümlevi lı foksiyou oktsıd ikici türde değil birici türde süreksizliği vrdır, ede? 7 l + p d tümlevi, ck ve ylız p < içi ykısr, gösteri. 6

167 Çözüm: lim ε + l + p ε d lim ε + ε l + d lim p l + d. lim ε + ε ε + ε l + d d 4 lim ε + ε 4 böylelikle p olduğud her [ε, ] içi ε ve p edeiyle ε p ve < p olduğud, p içi l + p d lim ε + ε l + p d lim ε + ε l + buluur. Eğer < p < ise p + ε p ve p d l+ l+ çükü ε p p < ve lim εp lim + +εp + l + d tümlevi ykısr. Öte yd q ise lim +εp q. + + q + ve böylelikle p olduğud p + q q yzılışı geçerli olup ve souçt bulrk p içi ε l + p d ε l + p d lim ε + l + +q d ε ε l + p d lim ε + ε l + p d tümlevii ırksdığı lşılır. 8 B p, q tümlevii tımlyıp ykısklığıı iceleyiiz. l + d 4 l + d < + buluur, +εp edeiyle p-ölçütü ü gereği olrk edeiyle d +.+q ε d + q d + q d + q d + q + Çözüm: Bet foksiyou şğıdki gibi tımlır: B p, q p. q d Eğer p ve q ise h p. q foksiyou [, ] rlığıd süreklidir, souçt p. q d belirli Riem tümlevidir ve pozitif bir gerçel syıdır. Dikkt edilirse B p, q / p q d + p q d / olup p ise birici tümlev, q ise ikici tümlev ırksktır, gerçekte p ise 63 / h d p q d

168 / q p + d + olur, çükü lim p +. q lim + p + q ve p + + gözleyip, ikici türde özge olmy tümlevler içi p-ölçütü kullılır. Tümüyle bezer biçimde q içi p q d + buluur, çükü bu kez lim / q +. olmktdır. Demek q + ki bet foksiyou, ck ve ylız, hem p > hem de q > olduğud ykısktır, yi bir gerçel syıdır; p > ve q içi y d p ve q > içi y d p ve q içi B p, q + geçerlidir. 9 p > ve q > e olurs olsu, şğıdki eşitlik geçerlidir. B p, q B q, p. π/ p si p. cos q d. Çözüm: Kolylıkl, y döüşümü ypılırs, p > ve q > olduğud B p, q p. q d y p.y q dy Bu krşılık si u döüşümü ypılırs d si u. cos udu ve şğıdki buluur: B p, q π/ π/ y q. y p dy B q, p si u p. cos u π/ q si u cos u du si u p. cos u q du si p. cos q d. Her N içi B, B, gösteriiz. Çözüm: B, N ve p > ise π/ si. cos d π/.. si. cos d π/. si si π d p. l d.! + gösteriiz. p +. Çözüm: e y döüşümü ypılırs, e y içi y olmk zorud ve p. l d y.e p+y dy buluur, o hlde p + y u döüşümü ypılrk, so tümlev p + > edeiyle y.e p+y dy u p + u du.e p + p u e u du! p + +

169 bulurk istee elde edilir, burd içi M lıp M u.e u du! N soucu M u.e u du u. e u M M du e M +. u.e u du u.e u du. u.e u du. u.e u du...! buluur. Tım 3:, rlığıd sürekli olup sol uç oktsıd f + gerçekleye, kıscsı sol uç oktsıd ikici türde süreksizliği ol f foksiyou içi geelleştirilmişy d özge olmy Riem tümlevi deilir. f d tümlevie üçücü türde Öreği d, l e d, d 3 4 +, si d tümlevlerii herbirisi üçücü türdedir. Dikkt edilirse d d + d d M olur, çükü lim d M + lim d, bu krşılık M + M lim d ε + ε lim ε + ε l + geçerlidir. İkicisi ise e d l e d + l e d l + l R edeiyle ykısktır, çükü ilk tümlev Örekler3 de umrlı örekte gözlemiştir ve ikicisi ise her R + içi 3 3! e ve her [, içi l e < l+ e e 6 l edeiyle e d d 6. 6 gözleyerek ykısktır. Ötekileri siz iceleyeiz. Şimdi çeşitli örekleri görelim. Örekler 4: p d tümlevii her p R içi ırksdığıı gösteriiz. Çözüm: p d d p + d p + olur, çükü biricisi, ck ve ylız p < içi, bu krşılık ikicisi p > içi ykısktır, p içi ise her ikisi birde + olur ede?, kıscsı her p R içi bu tümlevlerde e z birisi + ötekisi ise y pozitif bir gerçel syı y d + olmktdır. Gm foksiyouu tımlyıp ykısklığıı iceleyiiz. Çözüm: Aşğıdki tümlev göz öüe lısı: Γ p p.e d p e d bu tümlev zte p içi birici türdedir ve ykısktır. Bu krşılık p ise bu tümlev ırksr, çükü 65

170 bu durumd p p olduğud Γ p d p +.e + p.e d + + l + geçerlidir, çükü < q ise, q R e olurs olsu, birici türde geelleştirilmiş q e d tümlevii ykısk olduğu Örekler deki 3 umrlı örekte gözlemiştir, üstelik p + ve lim edeiyle p +. + d p + + geçerli olduğu dh öce gözlemişti. Oys p > ise Γ p.e p +.e p.e d+ p.e d l + l R geçerlidir, burd ikicii ykısm gerekçesi yukrd belirtilmişti, biricisi içi < p ve souçt p < gözleyip lim + p p.e dikkt etmek yeterlidir, yie p-ölçütü kullılır. İşte gm foksiyou bu gözlemleri rdıd p, içi Γ p p.e d p e d biçimide tımlır. p içi bu tümlevi ırksdığı uutulmmlıdır. Gerçel değerli foksiyolrı değişkeii geellikle işreti ile yzmk geleek olmuştur, bu edele bu foksiyo biçimide de yzılır. Γ t.e t dt > 3 Gm foksiyouu idirgeme bğıtısıı elde ediiz. Çözüm: Söylee, her p R + içi, ülü Γ p + p.γ p bğıtısıı geçerli olduğudur. Gerçekte p > ise M p.e d M olduğud M + içi limit lıp p. e d M p M lim p M + e M e M + p. M p.e d M > bilgisi kullılırs kolyc istee buluur: Γ p + p.e d p. p.e d p.γ p 4 Gösteri: Her N içi Γ +! ve yrıc Γ π olur. 66

171 Çözüm: Biricisi, gm foksiyouu idirgeme bğıtısı ve Γ lim M + e d M lim M + M e M + e M e d lim Me M M + M + e d soucud Γ + Γ Γ!Γ! bulrk elde edilir. Öte yd u döüşümü ypılırs Γ.e d. e u du. π e d. π buluur, burd e d π soucu içi Aliz IV Ders otlrı bkılmlıdır. 5 p, q, pozitif sbitleri e olurs olsu, şğıdki geçerlidir. p.e q d Γ p+ q q. q. p+ Çözüm: q y yi q y q.y /q değişke döüşümü ypılırs d q. q.y q dy edeiyle şğıdkiler elde edilir: p.e q d y q. q p+ p/q.e y q. q.y dy q y y p+ q Γ.e y dy p+ q q. q p+ Özel olrk şğıdki kullışlı souç elde edilir: p.e d Γ p p > çükü, q ve p yerie p lrk eşitliğii kullmk yeterli olur. O hlde p > ve q > e olurs olsu şu buluur. Γ p.γ q 4. 4 p.e d p y q.e +y ddy. 67 y q.e y dy

172 6 Aşğıdki olğüstü eşitliği elde ediiz: Her p >, q > içi B p, q Γ p.γ q Γ p + q. Çözüm: Bir öceki örekte bulu so eşitlikte bulu iki ktlı tümlevi çözmek içi ρ cos φ, y ρ si φ kutupsl koordit döüşümü ypılırs bu döüşümü Jkobyei,y ρ,φ ρ olduğud Γ p.γ q 4 π/ φ 4 ρ ρ p+q.e ρ cos p φ si q φ dρdφ ρ p+q.e ρ dρ ρ p+q.e d Γ p + q.b p, q π/ cos p φ. si q φdφ φ π/. cos p y. si q ydy buluur, çükü her p > içi Γ p. olduğu yukrd gösterilmiştir. 7 d, 4 d, π/ Çözüm: Biriciside y döüşümü ypılırs, B p, q d 4. p.e d ve B p, q. si 4. cos 5 d hesplyıız. π/ cos p y. si q ydy p. q d uutmd y y / dy 4.B 3, 64 5 buluur, çükü idirgeme bğıtısı kullılırs şğıdkiler geçerlidir: 7 5 Γ Γ Γ 5 3 Γ + B 3, Γ 3 Γ Γ 7!Γ 5 8 Γ 6 5. İkiciside y döüşümü ypılırs 5 4 Γ Γ Γ 4 d 6 buluur, B 5, 3 Γ 5 Γ 3 Γ4 3! Γ 5 Γ 3 6 3/ / d 6 5.B, 3 π Γ 68 Γ π 6.

173 Soucusu içi π/ si p. cos q d B p, q Γ p.γ q Γ p + q p >, q > π/ eşitliği edeiyle si 4. cos 5 d 5 B, 3 Γ 5.Γ 3 Γ 8 35 olur. π/ π/ 8 si d cos!! d. π N gösteri.!! π/ Çözüm: p +, q lıırs si d B +, Γ +.Γ Γ + yrrlrk elde edilir, idirgeme bğıtısı kullılırs eşitliğide Γ + Γ Γ Γ 3... Γ 3 Γ 3... ve Γ +! bilgisi kullılrk buluur. Bu şıkkı bir bşk çözümüü Örekler içide 4 umrlı örekte verildiğie dikkt ediiz. 9 Her < p < içi Γ p Γ p π si πp gösteriiz. Bu bğıtıı kıtlmsı içi ciddi Aliz kitplrı bkılmlıdır. Dikkt: Γ ediiz. e d, l + soucu tümlevde < geçerlidir. Çözüm: e l + d π si π π elde d 3 4 +, e d tümlevlerii ykısklıklrıı iceleyiiz, sih e e d + d olup, sğ ydki tümlev- l + l + leri her ikisii de ykısdığı dh öce gösterilmişti. Bezer biçimde d d /3 + /3 + d l + l R geçerlidir, öreği birici tümlev içi lim /3 gözleyerek, birici tümlevi ykısdığı + /3 + /3 lşılır. Soucu tümlevi < içi ırksk, < içi ykısk olduğuu okuyucu gösterebilmelidir, burd bilidiği gibi sih e e R tımı geçerlidir. 69

174 Bölüm 4 Dik Poliom Serileri Bu bölümde çok ülü dik poliom dizileri rcılığıyl elde edile çılımlrd bhsedeceğiz. Bu tür poliomlrı e ülüleri Legedre ve Hermite poliomlrıdır. Bölüm boyuc, dereceleri ol tüm gerçel ktsyılı poliomlrı [, b] rlığı kısıtlışlr kümesi P ol [, b] ile yzılcktır. Apçıktır ki p, p P ol [, b] ve c, c R sbitleri e olurs olsu c p + c p gerçel ktsyılı bir poliom olup, ou [, b] rlığı kısıtlışı P ol [, b] gerçekler. Bu edele R üzeride bir vektör uzyı ol P ol [, b] üzeride, eskide olduğu gibi p, q b p.q d p, q P ol [, b] iç çrpımı tımlır ve eskide olduğu gibi, ck ve ylız p, q gerçeklediğide bulr dik poliomlr deir. Öerme : Eğer {p, p,.., p } kümesi P ol [, b] vektör uzyıd bir dik kümeyse, lieer bğımsızdır ve herbir q P ol [, b] içi q α p + α p + α p α p yi q α k p k k [, b] olck biçimde tek türlü belirleebile α k R ktsyılrı vrdır. Kıtlm: Sözü edile ktsyılr, her k,,.., içi α k q, p k p k t R gerçel syılrıdır, çükü sözgelimi her k içi p k, p olduğud, q α k p k ise q, p k α k p k, p α k p k, p α p, p + α. p t ve böylece α q,p buluur, öteki p k k t α k ktsyılrı bezer biçimde buluur. Artık {p, p,..., p } dik kümesii lieer bğımsız olduğu kolyc gözleir sıl?. Öerme : Her dik poliom dizisi, P ol [, b] vektör uzyıd lieer bğımsız bir doğury tkım shiptir. Kıtlm : {p, p, p,...} sözü edile dik poliomlr kümesi, üstelik derp gerçeklesi. q P ol [, b] içi, vr ol uygu α k R ktsyılrı rcılığıyl q k α kp k yi q α k p k [, b] olrk biçimde α k R ktsyılrıı, tek türlü biçimde belirleip α k q,p k p k t 7 k olduğu Öerme

175 deki gibi kıtlır. Eğer k α k p k yi k α kp k [, b] ise α... α olduğu bezer biçimde gösterilir, sıl?, bu edele {p, p,..., p } lieer bğımsızdır. Tım: P ile yzıl ici derecede Legedre poliomlrı P ve P N, R biçimide tımlır, böylece her R içi ve bezer biçimde şulr buluur : P d,.! d P d.! d d,! d P , P Öerme3: P poliomu derp gerçekleye tek bir foksiyodur. Kıtlm: Kıslık mcıyl w yzılırs, ici türev içi ülü f + g f + g eşitliği edeiyle P.! w.! k ! olduğu ve üstelik i ktsyısı pozitif k k.! k ! ! 4!.!, rsyoel syısı olduğud derp buluur. Bu poliomd ylızc i kuvvetleri yer ldığıd pçık biçimde P P buluur. Siz şulrı gösteri: derp ve P P R, N. Öerme4: P Legedre poliomu, ikici derecede ülü y y + + y Legedre difersiyel deklemi i bir çözümüdür. Kıtlm: Bu kez w poliomu ile çlışrk ve P.! w gözleyerek, 7

176 sırsıyl w w, w w, bulucğıd, so soucu rd rd türeterek w w w, w 3 w [ + ] w, ve k + -ici dım gelidiğide w k+ k + w k+ [ k] w k * buluur, oys k k k k + k+k k+ k olduğud souçt w k+ k + w k+ k k + w k buluur ve k lıırs w + + w + + w olur, oys P.! w + ve P.! w + gözleyip, so bğıtıyı.! rsyoel syısı ile çrprk istee şğıdki bğıtı buluur: P P + + P Teorem : {P } Legedre poliomlr dizisi P C [, ] vektör uzyıd dik bir dizidir ve P, P,.., P poliomlrı ise P ol [, ] vektör uzyıd lieer bğımsız bir tbdır. Kıtlm: Amcımız m ise P, P m P.P m d göstermektir.oys, Öerme 4 edeiyle P ve P m Legedre poliomlrı P P + + P ve P m P m + m m + P m gerçeklediğide biricisii P m ikicisii P ile çrpıp trf t- 7

177 rf çıkrıp P m.p P.P m P m.p P.P m P.P m m m + + buluur,oys m içi + m m + olduğud [ P.P m P m P P P m m m + + P m P P P m ] c,m [ P m.p P P m ] bulurk, tümlev lıırs P P m d c,m [ P m.p P P m ] + buluur, çükü çrpı hem + hem de içi sıfır olur. Öerme5: P Legedre poliomu P ol [, ] vektör uzyıdki tüm elemlr poliomlr diktir. Kıtlm: Herhgi gerçel ktsyılı q P ol [, ] lıdığıd, Teorem edeiyle P ol [, ] vektör uzyı içi P, P,.., P Legedre poliomlrı bir doğury olduğud q α k P k yzılışı geçerli ve α k q,p k P k z k,.., olur. Kolyc k q, P α k P k, P α k P k, P k buluur, çükü tüm k idisler içi k < edeiyle k ve böylece P k, P geçerlidir. Örekler: q ikici derecede poliomu içi q q, P P t P + q, P P t k P + q, P P P t k olup, bu ktsyılrı hesplyıp ve q, P q 3 P + 3 P buluur P + 5 P 3 gösteriiz. q.p d 3 d gözleyerek, souçt 73

178 Teorem: Legedre poliomlrıı idirgeme bğıtısı şudur: P P + P N, R Kıtlm: q.p R biçimide tıml poliom pçık biçimde derq + sğldığıd Teorem edeiyle P,.., P, P + Legedre poliomlrı trfıd doğurulur, souçt q + α k P k yzılışı geçerli ve k içi.p k poliomuu derecesi k + < edeiyle, k bu k idisleri içi α k q, P k P k t P k. q.p k d t P k t P. P k d bulurk q.p α P + α P + α + P + R, N buluur, oys P bir çift foksiyo ve souçt.p kesilikle bir tek foksiyo olduğud ou [, ] rlığıd tümlevi sıfırdır. böylece α P. q.p d t P..P d t P α P + α + P + buluur, rtık ylızc α ve α + ktsyılrıı hesplmsı gerekecektir. Şimdi yukrdki so eşitliği sol ve sğ yıdki + i ktsyılrıı eşit olmsı gerekeceği ve üstelik P k k.! k.! k.!.! ! +....!!!.!.!!

179 böylece P P +!!.! +.!! +... ve +!! +. +! + +.!! +... edeiyle souçt sözü edile eşitlikte + i ktsyılrıı eşitleyerek!.! α +! ! α! + +..!. +! ve dolyısıyl kolyc α ve yrıc i her iki ydki ktsyılrıı eşitleyerek!.!.! + +.! +.!! + α!..! ve gerekli kısltmlrl α + bulurk istee elde edilir. Öerme6: Tüm Legedre poliomlrıı tüm ktsyılrı birer rsyoel syıdır. Kıtlm: P, P, P poliomlrı zte bilimektedir. 3 içi P poliomuu ktsyılrıı birer rsyoel syı olduğu, tümevrım kullılıp, Teorem de yrrlrk gösterilir, bu ödevdir. Teorem3: Her içi P, P ve yrıc P t + geçerlidir. Kıtlm: Zte P ve P R edeiyle P P buluur.p.. P vrsyımı ltıd, idirgeme bğıtısıı kullıp P P ilk iddi tümevrıml gösterilmiş olur. ikicisi tümüyle bezer biçimde ypılır ve ödevdir.şimdi, gerektiği içi q P.P R poliomuu derecesii derq olduğuu gösterelim. Dikkt edilirse P poliomud i ktsyısı!.! ve souçt q poliomud i ktsyısı sıfırdır, çükü bu ktsyı!.!!!.!..!.!.!.!! Öte yd, zte q poliomud hiç li terim bulumz ve i ktsyısı ise sıfırd frklı!.!! rsyoel syısıdır, o helde derq olur. Ayrıc, ülü idirgeme bğıtısı P ile 75

180 çrpılıp tümlev lıırs P +, P P + P d + +. P P d + P t ve souçt, derq < bilgisiyle, yukrdki eşitlikte bulu.p.p d P t + P t soucu birlikte kullılırs ve dolyısıyl istee soucu buluur. P, q P, P. P P d P t +. P t P t + P 3 t +. P t P t +. P t + Öerme7: k < ise k + k olur. Kıtlm: Bir çrpım foksiyouu -ici bsmkt türevii hesply şğıdki ülü Leibiz bğıtısı ol kullılırs, k < olduğud f.g k f k.g k k k k + k k i. + k i i i k k M,k,i k + k i i gerçekleir, çükü kolyc j i i i j i, + k i 76 k i j j + k+i

181 olduğud, bulrı çrpımıdki ktsyıy kıslık mcıyl M,k,i deilirse yukrdki eşitlik elde edilir. Oys toplmıd i k < edeiyle hem < i ve k i k < edeiyle k i k + i olduğud, toplm ktıl tüm terimlerde hem ve hem de + i pozitif kuvvetleri yer lır, böylece k + k buluur. Teorem4: Her N içi P poliomuu, hepsi, rlığıd bulu tm te gerçel kökü vrdır. Kıtlm: Dikkt edilirse, Öerme7 ve P poliomuu tımı gereği P.! b gerçeği kullılırs, yrıc f d f b f f b olduğud.! P d.!..!. [ ] [ d.!. ] [ ] [.!. ] kıscsı her N içi P d soucu buluur. Böylelikle, her N içi P Legedre poliomuu [, ] rlığıd e z bir köküü vr olduğu lşılır, ksi hlde ülü Ar Değer Teoremi ile bir [, b] kplı-sıırlı rlığıd sürekli bir f gerçel değerli foksiyou f ve f b rsıdki her c değerii e z uygu bir c [, b] oktsıd ldığı yi f c c gerçekleştiğide, özel olrk f f b < ise ξ [, b] içi f ξ olur, dolyısıyl ξ [, ], P ξ olmuyors, P poliomu [, ] rlığıd hiç işret değiştirmez, yi y < P [, ] olur ve souçt < olur, y d P < [, ] olur ve P d P d < olurdu, oys bu tümlevi değerii sıfır olduğu yukrd gösterilir. Demek ki P poliomuu [, ] rlığıd e z bir kökü vrdır. Şimdi, eğer P poliomuu bu rlıktki tüm kökleri, m < olmk üzere,,.., m olsydı bir çelişkiye vrılcğıı gösterelim. O hlde q.. m poliomu pçık biçimde derq m < derp gerçekler ve üstelik P p.q yzılışı geçerli olck biçimde, [, ] rlığıd hiç kökü olmy ve derp m gerçekleye bir p poliomu vrdır. Dolyısıyl p poliomu [, ] rlığıd hiç işret değiştirmez vey p > gerçekleşirse P.q p.q [, ] [, ] olur. Bu olur, üstelik hem p hem de P.q birer poliom olrk sürekli olduklrıd, ülü İtegrl Hesbı 77

182 Birici Ardeğer Teoremi kıllılırs vr ol uygu bir ξ [, ] rcılığıyl p P q d P ξ. P q d p ξ. P, q buluur, so eşitlik yzılırke derq m < yi q P ol [, ] gözleyip Öerme5 kullılmıştır. Tüm bulrds + P t P P d p. P q d çelişkisi doğrdı; bezer biçimde eğer p < [, ] olsydı P t P.P d p. P q d p ξ P, q çelişkisi doğrdı. Demek ki P poliomuu [, ] rlığıdki köklerii syısıı de küçük olmsı kesilikle olksızdır. Böylelikle P poliomuu [, ] rlığıd e z te köküü bulumsı gerektiği lşılır. Oys zte bir poliomu dereceside dh fzl köküü vr olmsı, ülü Cebiri Temel Teoremi edeiyle olksızdır, bulu bu kökleri P poliomuu tüm kökleri olduğu ve yrıc Teorem3 edeiyle P ve P bilidiğide, bu kökleri hepsii, çık rlığıd yer ldığı lşılır. Teorem5: Legedre poliomlrı şğıdki bğıtıyı gerçekler. P +.P + + P + N, R Kıtlm: Öerme7 deki Leibiz bğıtısı kullılırs P + + [ ! +. ] +.! ! !.! P + +.!.! + P. + P + 78.!

183 ve dolyısıyl bir kez dh türeterek P + + P. + P + + P + P + P + P P + + P buluur.ohlde bu bulu souç ve Legedre difersiyel deklemi edeiyle P + P P olduğud, tüm bu souçlrı kullrk istee bğıtı buluur: P + [ + P P ] P + + P P + + P N, R. Öerme8: lim P d geçerlidir. Kıtlm: Dikkt edilirse P t N olduğud, Cuchy-Schwrz Eşitsizliğiyle + < P.d P d. olduğud istee kolyc buluur. Ödevler d. P t < N Legedre poliomlrıı idirgeme bğıtısı ve Teorem5 de yrrlıp P P.P N, R gösteriiz Gösteriiz: P + P + P 3 Gösteriiz: P.P P 4 Her N içi gösteri: 5 Her içi 6 Her içi P P d 4 P.P + d P, P + gösteriiz. P P d + gösteriiz. 7 Her N içi P ve P!!.! gösteri. 8 Gösteri: P P + P N, R Yol gös:yukrdki 3 şıkkıd yrrlıız 9 Gösteri: P + P P + P N, R Yol gös:teorem5 deki bğıtı rcılığıyl P P + P gözleyip 8 şıkkıd yrrlıız. 79

184 Her N ve her [, ] içi gösteriiz: P + P. Her ve her [, ] içi P olduğuu gösteri. Her N içi şğıdki bğıtıyı kıtlyıız: P P + 5 P P Öerme9: Legedre poliomlrı şğıdki Christoffel Özdeşliğii gerçekler: k k + P k t.p k +. P + t P P t P + t t Kıtlm: Legedre poliomlrıı ülü idirgeme bğıtısı ile k +.P k k + P k+ + k.p k bu eşitliği P k t ile çrpıp, sot t ve i görevlerii değiştirerek k + P k t P k k + P k+ P k t + kp k t P k k + tp k P k t k + P k+ t P k + kp k P k t ve bulrı trf trf çıkrtrk [ ] k + t P k t P k k + P k+ t P k P k t P k+ [ ] k P k t P k P k t P k buluup, toplm lıırs sğ y teleskopik toplm olduğud t k + P k t P k k [ k + P k+ t P k P k t P k+ k P k t P k P k t P k ] k + P + t P P t P + bulurk, t edeiyle t ile bölerek istee elde edilir. 8

185 Teorem6: Her N ve her, içi P < M geçerli olck biçimde bir M > sbiti vrdır. Kıtlm: Uzu hesplmlr gerektire bu kıtlmyı ypmıyoruz. Öerme : f P C [, ] e olurs olsu lim. f, P olur. Kıtlm: {P } Legedre poliomlr dizisi C [, ] vektör uzyıd dik bir dizi olduğud, Bölüm, Teorem de kıtl ülü Bessel Eşitsizliğiyle, bu kez c f, P P R N olmk üzere t c P t f d < + buluur, yi c P t serisii ykısdığı lşılır böylelikle lim c P t buluur, oys dikkt edilirse c. P t f,p + P t f, P olduğud ve üstelik edeiyle istee buluur. Bitti!. f, P Şimdi bu bölümü teoremie geldik: + f, P. f, P Teorem 7: f P C [, ] olsu. f türevi [, ] rlığıd solu okt dışıd heryerde tımlı, solu oktd ise f i sol ve sğ türevleri tımlı ise,, rlığıd şğıdki çılım geçerlidir. Kıtlm: Kıslık mcıyl f f, P P.P, t c k f, P k P k t k +. f, P k k +. f.p k d R yzılırs s c k P k poliomlrıı her, içi k f lim s 8 c.p

186 gerçeklediği gösterilmelidir. Dikkt edilirse s c k P k k k +. f t.p k t.p k dt k [ ] k + P k t P k f t dt k olduğud, Christoffel özdeşliğii kullrk şğıdki buluur: s + P + t P P t P +.f t dt t oys + P + t P P t P + dt t gerçeklediğii görmek içi, her [, ] içi f gerçekleye f sbit foksiyou içi, yukrdki s yzılırs s. k buluur, çükü dikkt edilirse Teorem4 içide gösterile k k +. P k t.p k dt k +. P k t.p k dt P t.p dt +. k P t dt bilgisiyle k + P k. P k t.dt ve P t P [, ] edeiyle bğıtısı buluur ve dolyısıyl sbit bir [, ] içi P t.p dt.dt olur. O hlde f + P + t P P t P + t.f dt 3 8

187 geçerli olduğud ve 3 de yrrlrk s f + + P f f. P + t P P t P + dt t g t P + t dt + P + buluur, burd yei g t foksiyou t içi g t f f t g t P t dt ve g f + + f biçimide tımlmıştır. Dikkt edilirse g P C [, ] olurbu koly bir ödevdir, üstelik Teorem6 kullılrk +.P + M +. P < < M M. +. M buluur, burd + N gözleip M M/ yzılmıştır. O hlde, bu [, ] içi +.P M. ve +.P + M. gözleyip, g P C [, ] olduğu içi Öerme kullılıp s f M [ g, P + g, P + ] istee soucu elde edilir. Siz ede şğıdkii geçerli olduğuu gösteri. lim g, P+ Demek ki herhgi bir, içi f lim s olduğu kıtlmış olmktdır, bu isteedir. Örekler: Her N içi P d P + geçerlidir, çükü ülü idirgeme bğıtısıyl + P + P 83

188 olduğud P d +. P d P + + P.P + P + buluur, çükü Ödev3 kullılrk şğıdki yzılmıştır. P.P N f ve f buluuz. ;, ;, foksiyouu, Legedre poliomlrı rcılığıyl çılımıı Çözüm: Her N içi c f, P P + f, P olmk üzere, Teorem7 teki koşullrı yerie t getire f tek foksiyou içi,, e olurs olsu. f c.p c.p !! + P +. +! buluur, çükü f tek P poliomlrı çift ve souçt f.p çrpım foksiyolrı yie birer tek foksiyou olduğud c 4 + f, P 4 +. f P d N bu krşılık f.p çrpım foksiyolrı, iki tek foksiyou çrpımı olrk çift foksiyo ve böylece, bir öceki Örek kullılıp f, P yi f, P P ve c 3 f, P 3. f.p d f.p d N ve yrıc P.!!.! bilidiğide + + c +. f, P !! +. +! + P f.p d 3 bulurk istee çılım elde edilir. 84 P d P!!.!

189 3 Yukrdki çılımd lıırs şu buluur: !! + P + +! 85

Daha göster