7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ

Transkript

1 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 SAYISAL İNTEGRASYON YÖNTEMLERİ Syısl itegrsyo vey itegrl lm işlemi, litik olrk ir itegrli lımsıı çok zor vey olksız olduğu durumlrd vey ir işlevi değerlerii sdece elirli oktlrd ilimesi durumlrıd öem kzır. Ayrıc itegrsyo işlemlerii içere vey gerektire prolemleri ilgisyrl çözümüde kullıl progrmlrd syısl itegrsyo yötemlerii kullılmsı kçıılmzdır. Gerçekte litik itegrl, syısl itegrle göre çözüleilme kolylığı ve soucuu kesiliği ile üstülük gösterir. Uzuluk, l, hcim, eeri,... gii pekçok üyüklüğü hesıd tek ve çok ktlı itegrsyod yrrlılır. Bu ölümde u gii mçlr içi kullılilecek tek ve çok ktlı elirli itegrlleri syısl çözüm yötemleri çıklmıştır. Geel olrk ir f() işlevii rlığıdki elirli itegrli I, I f()d (7.1) şeklide gösterilir. Bu tek ktlı elirli itegrl deir. Bu itegrsyo işlemi ile, Şekil 7.1'de gösterildiği gii geometrik olrk, itegrli hespl f() eğrisii ltıd kl rlığıdki trlı l hesplmış olur. f() I f() d f() f() f() I f() d Şekil 7.1. İtegrl hesı Şekil 7.1'deki trlı lı dolyısıyl itegrli hesıd geellikle rlığı, Şekil 7.'deki gii, klılığıd dilime ölüür. Bu hespt klılığı (7.) olur. Burd itegrli lt sıır değeri, üst sıır değeri ve dilim syısıdır. Eğer dilim klılığı iliiyors dilim syısı (7.) işlemi ile hesplır. İtegrl hesı u yrıklştırm işlemi ile, dilimleri llrıı tek tek, ikişer dilimli, üçer dilimli,... hesı döüşmüş olur. Bu şekilde hespl llr toplrk toplm l vey itegrli değeri hesplır.

2 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER f() f() Şekil 7.. İtegrl hesıd dilimleme (yrıklştırm) Dilimleri llrıı vey itegrli hesıd ir okt, iki okt, üç okt ve dört okt yklşımlrı yygı olrk kullıl yklşımlrdır Bir Nokt Yklşımı (Dikdörtge Yötemi) Bir okt yklşımıd vey dikdörtge yötemide, Şekil 7.'te de görüleceği gii, = içi f() oktsıd ekseie prlel doğru çizilerek irici dikdörtge dilim elde edilir. = + içi f( + ) oktsıd d ekseie prlel doğru çizilerek ikici dikdörtge dilim elde edilir. Bu şekilde devm edilerek her oktd ekseie prlel doğrulr çizilir ve dikdörtge dilimler elde edilir. İtegrli değeri, u dikdörtge dilimleri llrıı toplmı yklşık eşittir. f() f() f( ) Şekil 7.. Bir okt yklşımı (dikdörtge yötemi) +1 Dikdörtge S =.f( ) Eğer dilimler frklı klılıklrıd ise itegrl 1 I f()d f( ) S (7.) olur. Geelde dilimler eşit klılıklrıd olur. Bu durumd itegrl olur. Bu deklemde dilim syısı, = ( - )/ dir. 1 1 I f()d f( ) (7.5)

3 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7.. İki Nokt Yklşımı (Ymuk (Trpez) Yötemi) Ymuk yötemi olrk tı iki okt yklşımıd iriri rdıd gele her iki okt ir doğru ile irleştirilerek Şekil 7.'teki gii ymuk şekilli dilimler elde edilir. Böylece itegrl, ymuklrı llrıı toplmı döüştürülmüş olur. f() f() f( ) f( +1 ) Şekil 7.. İki okt yklşımı (ymuk yötemi) +1 Ymuk S = (/). [f( )+ f( +1 )] Ymuğu lı, prlel kerlrıı uzuluklrıı toplmıı u iki ker rsıdki uzklığı yrısı ile çrpımı eşittir. Şekil 7.5'te, ymuk yötemi itegrsyo ğıtısıı elde etmek içi Şekil 7.'te iki dilim yrı olrk üyütülerek yeide çizilmiştir. f() f -1 f f +1 f() Şekil 7.5. İki ymuk dilimi Şekil 7.5'te herir dilim içi 1 f() d (f 1 f ) 1 f() d (f f1) yzılır. İki dilim içi f() d f()d f()d (f 1 f) (f f 1) 1

4 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER (f 1 f f ) 1 uluur. Bu eşitlik geelleştirilecek olurs, ir f() işlevii ymuk yötemie göre rlığıdki syısl itegrsyo eşitliği vey I f()d f() f( ) f( ) f( (1) ) f() (7.6) 1 I f()d f() f() f( ) (7.7) 1 elde edilir. Burd dilim syısıdır. Dilim klılığı ise olur. Geel olrk itegrl kousuu geometrik olrk lmk koly olmkl erer, yötemi, soucu doğruluğu ve uu iyileştirilmesi içi ypılmsı gerekeler hkkıd ilgi vermez. Ack görüldüğü gii, dilim klılığı küçük vey dilim syısı üyük seçildikçe itegrsyo soucuu doğruluğu rtmktdır. Ymuk yötemide yötemi htsıı zltmk vey doğruluğuu rttırmk içi uç düzeltmesi dı verile işlem ypılır. Bu göre uç düzeltmeli ymuk yötemi ğıtısı, I f()d f() f() 1 1 ( ) f( ) 1 [f() f()] (7.8) olur. Burd so terime uç düzeltmesi terimi deir. Syısl örek 7.1: I ( 5) d itegrlii =,5 lrk ) Ymuk ve ) Uç düzeltmeli ymuk yötemleri ile hesplyıız. İtegrli litik çözümü: Ymuk yötemi ile çözüm: =, =, =,5 I ( 5) d 5 9,75

5 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 5 6,5,5 I f() f() f(,5) I,5 f() f() [f(,5) f(1) f(1,5) f() f(,5)] I,5 5 1 [5, ,65 7 6,75] 95,6875 Ht = 95,6875 9,75 1,975 Uç düzeltmeli ymuk yötemi ile çözüm: I ucd f() 5 (,5) I 1 f'() 9 (9 Ht = 9,75 9,75 ) 9, Üç ve Dört Nokt Yklşımlrı (Simpso Yötemi) 7..1 Üç Nokt Yklşımı (1/ Simpso Yötemi) Bu yötemde çözüm rlığı çift syıd dilim syısı ölüdükte sor herir iki dilime ilişki üç oktd geçe eğrii ltıdki l yi itegrl hesplır. Bu göre 1/ Simpso kurlı vey iki dilim içi Simpso kurlı X 1 1 I f()d (f 1 f f 1) 1 (7.9) yzılır. Geel olrk 1/ Simpso itegrsyo ğıtısı vey diğer ilie dıyl ikişer dilimli itegrsyo ğıtısı olur. Burd d 1 I f() d f() f() f( ) f( ) (7.1) 1 tek çift (7.11) olup itegrl rlığı çift syıd dilime ölümüş olmlıdır, yi dilim syısı çift syı olmlıdır.

6 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 6 Syısl örek 7.: / si I d itegrlii 1/ Simpso yötemi ile = 8 lrk hesplyıız. cos =, = /, 8 si I f() f( / ) 96 cos 81 8 / I f() f( / ) f( ) f( ) 1 tek çift ( / ) si ( / ) si (5 / ) si (7 / ) ( / ) cos ( / ) cos (5 / ) cos (7 / ) si ( / ) si ( / ) si (6 / ) cos ( / ) cos ( / ) cos (6 / ) I 1 (,97,9,857,6751) (,956,17157,66) 96 I,16 / si cos / / İtegrli litik değeri: I d t d / / (sec 1)d / = sec d d t, 16 Ht =,16,16, Syısl örek 7.: I e d itegrlii 1/ Simpso yötemi ile =,5 ve =,5 lrk hesplyıız. =, =, =,5 içi 6,5,5 I f() f() [f(,5) f(1,5) f(,5)] [f(1,) f(,)] 19,9 İtegrli litik değeri, I = e e 1 19,855 Ht = 19,9 19,855, 66 =, =, =,5 içi

7 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 7 1,5,5 I f() f() [f(,5) f(,75) f(1,5) f(1,75) f(,5) f(,75)] [f(,5) f(1,) f(1,5) f(,) f(,5)] 19, 86 İtegrli litik değeri, I = e e 1 19,855 Ht = 19,86 19,855, Dört Nokt Yklşımı (/8 Simpso Yötemi) Bu yötemde çözüm rlığı üç ve üçü ktı syıd dilim syısı ölüdükte sor herir üç dilime ilişki dört oktd geçe eğrii ltıdki l yi itegrl hesplır. Bu göre /8 Simpso kurlı vey üçer dilim içi Simpso kurlı X I f()d (f 1 f f 1 f ) 1 8 (7.1) yzılır. Geel olrk /8 Simpso itegrsyo ğıtısı vey diğer ilie dıyl üçer dilimli itegrsyo ğıtısı olur. 1 I f() d f() f() f( ) f( ) 8 (7.1) 1 1,,,5,7,8,...,6,9,... f p c d 1 f 1 f 1 p 1 c d f f p c d f 1 f 1 p 1 c d f f p c d

8 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER p d c d d c d Syısl örek 7.: 1 f f f f d f 9f 9f f I f f f f d 1 I f d f f f f 8 1 1,,,5,,6,9, I d itegrlii /8 Simpso yötemi ile = 9 lrk hesplyıız. 1 ( 1) = -1, =,, I,f( 1) f() f( 1,) f( 1,) 8 1,,,5,... 1,6,... I, f( 1) f() (f(,5556) f(,111) f(,7776) f(1,) 8 f(,118) f(,555)) (f(,) f(1,666)) İtegrli litik değeri = 5, 7.. Çok Ktlı İtegrsyo I 5,99 Ht = 5, 5,99, 966 Çok ktlı itegrsyod her kt ilie ir syısl itegrsyo yötemi ile hesplrk tüm itegrl hesplır. Öreği iki ktlı ir itegrl

9 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 9 ise urd d c I f(, y)d dy (7.1) g(y) f(, y)d (7.15) iç vey irici kt itegrl olur. Dolyısıyl tüm itegrli soucu I g(y) dy (7.16) d c itegrlii hesıd uluur. Öreği öyle ir itegrli çözümü dikdörtge yötemi ile ypılck olurs işlemi ypılır. Örek 7.5: d d ( I f(, y)d dy f(, y) ) dy g(y)dy g(y ) y (7.17) c c i1 i d c m 1 Şekil 7.6 içi I d c f(, y)d dy itegrlii ymuk yötemi ile çözüüz. g(y) f(, y)d ve I d c g(y) dy işlemi ypılcktır. Bu göre g(y) f(, y) f(, y) [f(, y) f(, y)] d y I g(y) dy f(, c) f(,c) [f(, c) f(, c)] c f(, d) f(,d) [f(, d) f(, d)] [f(, c y) f(,c y) f(, c y) f(, c y)] y d y y c Şekil 7.6.

10 Prof. Dr. Özc Klederli SAYISAL YÖNTEMLER 1 Syısl örek 7.6: 1 1 I y(1 ) d dy itegrlii ymuk yötemi ile 1 1, d c 1 y 1 m lrk hesplyıız. Bir öceki örekteki gii çözümle d y I g(y) dy f(, c) f(,c) [f(, c) f(, c)] c f(, d) f(,d) [f(, d) f(, d)] [f(, c y) f(,c y) f(, c y) f(, c y)] ğıtısı oluşturulurs 1, I f(1,1) f(,1) [f(1,;1) f(1.,; 1)] f(1, ) f(,) [f(1,; ) f(1.,; )] [f(1; 11) f(; 11) f(1,; 11) f(1.,; 11)] I = 15, İtegrli litik değeri = 15, Ht = 15, 15,, 7