14.12 Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 2005 Ders 8: Geriye Doğru tümevarım Yol haritası 1. Maliyetli aramalı Bertrand rekabeti 2. Ufak sınav 3. Geriye doğru tümevarım 4. Ajanda seçimi 5. Stackelberg rekabeti 6. Sıralı pazarlık 1
Maliyetli aramalı Bertrand rekabeti N = {F 1, F 2, B}; F1,F2 firmalar, B de alıcı B nin, 6 değerindeki, 1 birim mala ihtiyacı var. Firmalar malı satıyorlar; marjinal maliyet=0. Muhtemel fiyatlar P = {3, 5}. Alıcı c 0 gibi bir maliyette fiyatlara bakabilir. Oyun 1. Her firma i fiyatını p i seçer; 2. B fiyatlara bakıp bakmamaya karar verir; 3. (Verili) Eğer fiyatlara bakarsa ve p 1 p 2 ise ucuz olandan alır; aksi durumda 1/2 olasılıkla herhangi bir firmadan alır. 45( 46( 7-8/( 9*.(!"#$#%&'()*+,"$-$-*&(.-$/(0*1$23( Maliyetli aramalı Bertrand rekabeti 1"%#0/ 7-8/( 9*.( 45( :;6( :;6( 5<0( >( =( ><0( =( >( ><0( >;6( >;6( ><0( 46( 7-8/( 9*.( 7-8/( 9*.( :;6( :;6( 5( >;6( :;6( 6( :;6( >;6( 6( >;6( >;6( >( )/"0?( @*&A$()/"0?... Fiyatlara bak... Fiyatlara bakma... (Resimde High yüksek, Low da düşük fiyat demek) 2
Karma strateji dengesi Simetrik denge: her firma yüksek fiyatı q olasılıkla seçer. Alıcı fiyatlara r olasılıkla bakar U(fiyatlara bak;q)=q 2 1 + (1 q 2 )3 c = 3 2q 2 c; U(fiyatlara bakma;q)=q1 + (1 q)3 = 3 2q; Kayıtsızlık: 2q(1 q) = c; U(yüksek;q,r)=(1 r(1 q))5/2; U(düşük;q,r)=qr3 + (1 qr)3/2; Kayıtsızlık: r = 2/(5 2q). 3
. Kusursuz Bilgili Dinamik Oyunlar ve Geriye Doğru Tümevarım 4
Tanımlar Kusursuz bilgili oyun tüm bilgi kümelerinin tek elemanlı olduğu bir oyundur. Sıralı Rasyonellik: Bir oyuncu sıralı rasyoneldir ancak ve ancak, her oynaması gereken noktada, oyuncu o noktada olma koşulu altındaki beklenen değeri maksimize eder - bu nokta kendi stratejisi tarafından dışta bırakılsa bile. Sonlu bir kusursuz bilgili oyunda, sıralı rasyonelliğin ortak bilgi olması geriye doğru tümevarım sonucunu verir. Bir oyun!"#$%& '"!" ( '" $" *'+,-." )" /" *0+0." *-+(." *1+1. 5
Geriye Doğru Tümevarım!"#$%&'()*(#)+,&)&,-.%)%/0& )10#%+0)'"/"&),23&432%)"&)25-+"-)-%6%&40 )7"#"&)*(#)-%6%&8)7"-.9#5&5)+"8(& :3)-%6%&40)"/;"-()&,-.%2%)%.%20& @7". :3)&,-.%20).%-(<)";"&).5=)"2/"=/"#( 7")+,&)&,-.%/%#0)"/"2(& :%>-%)-%#%#)&,-.%+0)7%#)=0?!%20# 1"8(/=(>)"2/"=/"# 6
Kusursuz bilgili Cinsiyetler SAvaşı!"##$%&'(&)*%&+%,%-&./#*&0%1(%2#&/3('14"#/'3 6& )&!& 5& 5& 7& 8& 7 8& 95:6;& 9<:<;& 9<:<;& 96:5; Not Geriye doğru tümevarım sonucundan farklı Nash dengeleri vardır Geriye doğru tümevarım her zaman Nash dengesi verir Sıralı rasyonellik rasyonellikten daha kuvvetlidir. 7
. Ajanda Seçimi Sabit ajanda ile oy kullanımı 1. 2n+1 oyuncu 2. Alternatifler: x 0, x 1,..., x m 3. Her oyuncu i alternatifler üzerine sabit kesin tercihlere sahip: x i0 > i x i1 > i... > i x im 4. Sabit bir ikili ajanda var. 5. Varsayım: yukarıdaki herşey ortak bilgi. 8
Ikili ajanda!"#$%&'("&)*%+&"!"0'*1*'*%2*"0'31$4*", -",.", -", /",.", /",.", /", -", /"." / 5, -", /,.,.", -, /, /",., - Naif oy kullanma!"#$%&'("&)*%+&" Bir tercih vektörü 6&78*"93:$%)"!"0'*1*'*%2*"0'31$4*" ;30<$=:$2&:*+"93:*'=" ", -",.", /",.", /", /", -", /"." / 5, -", /,.,.", -, /, /",., - 6&78*"93:$%)" Sofistike oy verenler ;30<$=:$2&:*+"93:*'=" 9
17. yasa değişikliği x 0 =statüko +, -%.%/#0#1/%213% +,!%.%!" #$% 0'()*'()#% +, 4%.%5(6(7% &'()*'()#% 68(9(8():(%;839<=(!% 4% >%, -%, 4%,!%, 4%,!%, -% x 1 =17. yasa değişikliği x 2 =DePew yasası!" #$% &'()*'()# Tercih vektörü,!%, -%, 4%, 4%,!%, -%, 4%,!%, -% +, -%.%/#0#1/%213% +,!%.%!" #$% 0'()*'()#% +, 4%.%5(6(7% &'()*'()#% 68(9(8():(%;839<=(!% 4% >%, -%, 4%,!%, 4%,!%, -%,!%, -%, 4%!" #$% &'()*'()#, 4%,!%, -%, 4%,!%, -% 10
Stackelberg Duopolü Oyun: N={1,2} firma Marjinal Maliyet=0; 1. Firma 1 q 1 birim üretir 2. q 1 i gören Firma 2 q 2 üretir 3. Her iki firma da malı P = max{0, 1 (q 1 + q 2 )} fiyatından satarlar.!"#$%&'(&)*+,-./.'0 Game: 1+2+34567+89):;+<+=>+2+?@ 4B C9):+4+/).D-$&;+E 4+ -F9";+ 6B G(;&)H9F*+E 4 5+C9):+6+/).D-$&;+ E 6+ -F9";+ IB J#$K+;&'';+"K&+*..D+#"+/)9$&+ A+2+:#L3?54MNE 4 OE 6 P7B+ 9 NE 4 5+E 6 P+2+E 9 R4MNE 4 OE 6 PS+98+E 4 O+E 6+ T+45+?+."K&)<9;&B+ 4+ A q i [1 (q 1 + q 2 )] eğer q 1 + q 2 < 1 π i (q 1, q 2 ) = 0 aksi durumda 4+ Q 11
Eğer q 1 > 1 ise, q 2(q 1 ) = 0 Stackelberg Dengesi!"#$%&'()'*+,'-./(/)*/.01 Eğer q 1 1 ise, q 2(q 1 ) = (1 q 1 )/2 3 45,- 6, 7,68,- 9 :;- 6 <,=,>?, 3 45,- 6, 68,- 9 :;- 6 <,=,;6@- 6 <A9?, 6 3 B/C'D,#E',5.D%#/FD,- 9 :8,/5,- 6, 6 q 2 veriliyken, eğer q 1 1 ise 6 ;- 6 G- 9 :;- 6 <<,=,- 6 H6@;- 6 I,;6@- 6 <A9<J, 2, >,F#E'*K/L'? 3-6 :,=,M?, 3-9 :;- 6 :<,=,N?, aksi durumda 0. q 1 = 1/2 =,- 6, ;6@- 6 <A9G 6!"#$%&'(&)*+,-./.'0 q2(q 1) = 1/4 Game: 1+2+34567+89):;+<+=>+2+?@ 4B C9):+4+/).D-$&;+E 4+ -F9";+ 6B G(;&)H9F*+E 4 5+C9):+6+/).D-$&;+ E 6+ -F9";+ IB J#$K+;&'';+"K&+*..D+#"+/)9$&+ A+2+:#L3?54MNE 4 OE 6 P7B+ 4+ A Q 9 NE 4 5+E 6 P+2+E 9 R4MNE 4 OE 6 PS+98+E 4 O+E 6+ T+45+?+."K&)<9;&B+ 4+ 12
Sıralı Pazarlık #$%&$'()*+",*-.*)')'. N={1,2}!" /" 0 1"2"3!456 0 7"2"8$*9):+$ " $;<$=($>?&()+)(@" <*)-9"A;4@" 7"B" 0 C ) A;4(B"2" )( ; )" 0 >"2"AD4DB" /" >)9*.-$$E$'(" <*@F889"! X= muhtemel beklenen fayda ikilileri (x, y X) U i (x, t) = δ t ix i d = (0, 0) D anlaşmazlık durumundaki kazançlar Zaman dizgesi - 2n periyot T = {1, 2,..., 2n 1, 2n} Eğer t tek sayıysa: 1. oyuncu (x t, y t ) önerir 2. oyuncu kabul eder ya da reddeder Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (x t, y t ) sonucu çıkar Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz. 13
Eğer t çift sayıysa: 2. oyuncu (x t, y t ) önerir 1. oyuncu kabul eder ya da reddeder Eğer kabul ederse, oyun biter, δ t (x t, y t ) sonucu çıkar Aksi durumda, t+1 gününe devam ederiz, t=2n olduğu gün hariç, ki o gün oyun biter ve d=(0,0) sonucu oluşur. %& /&!. /01% #2 /01% $ /&,)-)(+ '(()*+&!. /0 #2 /0 $!. /01% #2 /01% $& %&!"#"$,)-)(+ '(()*+&!. /0 # 2 /0 $& Accept: Kabul etmek anlamındadır. Reject: Reddetmek anlamındadır. '+&+&3&/01%#& t=2n-1 gününde, 4'(()*+&566. /01%& 4866)9&! Kabul et ancak ve ancak x 2n 1 δ (1 δ, δ) öner t=2n gününde, Kabul et ancak ve ancak y 2n 0 (0,1) öner '+&+&3&/0#& 4'(()*+&566&2 /0& "7& 4866)9&!"#%$7& 14
i t. t+1 gününde i için devam değeri= V i!"#$%#&'$%"#()'*&+(",(%('$($-.(/ V t+1. 56 $7. 89 $7. :( ;( ;( 3+4+1$ 011+2$( 56 $ 89 $ : 56 $7. 89 $7. :(..( V t. ; V t. 3+4+1$ 011+2$( 5 6 $ 8 9 $ :( Accept: Kabul etmek anlamındadır. Reject: Reddetmek anlamındadır.!" V n #" k!" #! #"! V #" n #" k!" $!! #! V #n #k %" #" $" &!!!! V #n #k '"... # $" #k!! #k!"!! 15
. Ön Müzakere Model Oyuncular: Davacı(P) Sanık (D) Mahkemede Sanık Davacıya T ödemek durumunda Mahkeme masrafları C P, C D, C = C P + C D Avukatın günlük maliyeti c P, c D, c = c P + c D 1. Oyuncular değisen sırayla {1, 2,..., 2n} günlerinde bir anlaşma miktarı, s, teklif ederler, D den P ye ödenecek şekilde. 2. 2n+1 gününde mahkemeye giderler. Varsayalım ki, oyuncular risk-kayıtsız olsunlar ve iskonto etmesinler. 16
Geriye doğru tümevarım!"#$%"&'()*+',#-./+ Gün...Teklifi veren...anlaşma 0"-1) 2&/3/(1&) 41--5161+-) 7+) 2) 7+89) 0) 7+87) 2) 7+8:) 0) 7+8;) 2) 7+8<) 0) =) 7) 2) 9) 0) Grafikte bakarsak: + -*!"#$%&'#(()* /, 40*.612.78' $ 4' 3* /, 40.12' $*./,.0.612.78' 3 4' $* + - 4+, 5*.' 3.' $* / - 4/,*./,.0.12' 3*./ - 40.12' $* ' $ 4' 3* ' $ 4' 3* +,* 17