Dinamik Biçimde Oyunlar. Murat Donduran

Transkript

1 Dinamik Biçimde Oyunlar Murat Donduran Mart 18, 2008

2 2

3 İçindekiler 3

4 4 İÇINDEKILER

5 Bölüm 1 Tam Bilgi İle Dinamik Oyunlar Şimdiye kadar oyuncular stratejileri aynı anda seçtiğinden statik bir durum analiz edilmektedir. Ardışık olarak oyuncuların hareket etmesi dinamik oyunların ortaya çıkmasına neden olmuştur. Statik oyun teorisinde oyunların sunuluşu normal biçim kullanılarak yapılmıştır. Normal biçim ödeme matrisi (kesikli strateji uzayı) ya da en iyi cevap fonksiyonu (sürekli stratejiler uzayı) ile gösterilebilir. Dinamik oyunlar ise genişleyen biçimde (extensive form) oyun ağaçları sayesinde gösterilmektedir. Oyunların arasındaki fark sunuş yönteminin altında yatmaktadır. Kullanılan çözüm yöntemleri farklıdır. 1.1 Genişleyen Biçimde Oyunlar Oyuncular 0,..., n olarak tanımlanmaktadır. Oyuncu 0 birçok oyunda doğa olarak kabul edilmektedir. Diğer n oyuncu karar alıcılardır. Doğa raslantısal olayların modellenmesinde uygunluk açısından oyuncu olarak kabul edilmektedir. Tanım 1.1. Genişleyen Biçimde Oyunlar. 1. oyuncuların kümesini 2. hareketlerin düzenini 3. her harekette bir oyuncunun olanaklı eylemleri ve hareketler için olanaklı eylemler üzerine olasılık dağılımının atanmasını 5

6 6 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 4. bir oyuncunun her hareketteki bilgiyi ve 5. her olanaklı hareketlerin kombinasyonu için oyuncuların skorlarını göstermektedir Oyun Ağacına Giriş Yönlendirilmiş bir grafik (directed graph) karar noktası adı verilen noktaların sonlu bir kümesi ile, bazı farklı nokta ikilileri arasındaki kenar denilen yön doğrularının kümesidir. Yönlü bir grafiği tahtada veya kağıt üzerinde karar noktaları için küçük daireler ve kenarların doğruları için çizgiler çizerek hazırlanmaktadır. Şekil (??) de bir örnek verilmiştir. Bu örnekte beş karar noktası ve beş kenar vardır. Grafikler teorisi (hem yönlü, hem de yön belirtilmemiş grafikler) geniş ve ilginç bir konudur. a b c d e Şekil 1.1: Yönlü Bir Grafik Yönlü grafikleri göstermek için G, H veya T gibi büyük harfler kullanılmaktadır. Böyle bir grafiğin karar noktaları u veya v gibi küçük harflerle, kenarlar (u, v) şeklinde gösterilecektir. Burada, kenar u noktasından v noktasına gider. Yönlü G grafiği için tüm karar noktaları kümesi V (G) ile gösterilmektedir.

7 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 7 Tanım 1.2. Yönlü bir T grafiği, kök adı verilen ve kendisine giden hiçbir kenarı olmayan ve T ağacının her farklı bir v noktası için r noktasından v noktasına tek bir yol olan özel bir r noktası varsa, T ağaçtır. kök a b c d e f g h i j Şekil 1.2: Yönlü Bir Grafik Şekil (??) deki örnek açıkça görülüyor ki bir ağaç değildir. Tek bir noktaya bağlı olan ve hiçbir kenarı olmayan yönlü bir grafik (basit) ağaçtır. Her zaman olmamak kaydıyla, genellikle, ağaçları kök yukarıda olacak şekilde çizilmektedir. Şekil (??) de bir örnek verilmiştir; bütün karar noktaları etiketlenmiştir. Ancak, oyun teorisinde karar noktalarına oyuncuların yerleştirildiği ve yönlere de stratejilerin konduğu durumlar daha yaygındır. İleriki bölümlerde analiz bu şekilde yapılacaktır. Bu ağacın 11 karar noktası ve 10 kenarı vardır. Şimdi, T bir ağaç olsun. (u, v) bir kenar ise, v noktası u noktasının bir çocuğudur. Ayrıca, bu durumda denilebilir ki u noktası v noktasının ebeveynidir. Şekil (??) deki ağaçta, f noktası b noktasının bir çocuğu, g noktası c noktasının bir çocuğu, a hem d hem de e noktasının ebeveyni, ve kök a, b ve c noktasının ebeveynidir. Herhangi bir ağaçta, u çocuklarının kümesi Ch(u) ile gösterilir. Bir noktanın birden çok çocuğu olabilir. Kök ebeveyni olmayan tek noktadır. Hiçbir çocuğu olmayan bir noktaya terminal nokta denir. Bu örnekte, terminal noktalar d, e, f, i, j ve h noktalarıdır. Ne kök ne de terminal olmayan noktaya ara nokta denir. Örnekteki ara noktalar a, b, c ve g noktalarıdır. u noktasından v noktasına

8 8 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR bir yol varsa, v noktasına u noktasının bir torunu denir. Bu durumda, u; v noktasının atasıdır. Böylece, kök diğer her noktanın atasıdır. Bir yolun uzunluğu içerdiği kenar sayısıdır. Ağaçlardaki yollar birbirlerini kesmezler; bu da demektir ki farklı karar noktalarına bağlıdırlar. Böylece, bir ağaçtaki bir yol en fazla karar noktası sayısının bir eksiği kadar uzunlukta olabilir. Bir ağacın derinliği, içindeki en uzun yolun uzunluğu demektir. Şekil (??) de (c, g, i) 2 uzunluğunda bir yoldur, tıpkı (kök, b, f) gibi. Açıktır ki bir ağaçtaki en uzun yol kökte başlamakta ve terminal noktasında son bulmaktadır. Bu doğru olmasaydı verilen yolu uzatılabilirdi. Bir T ağacının derinliği De(T ) şeklinde gösterilmektedir. Şekil (??) teki ağacın derinliği üçtür, çünkü (kök, c, g, j) en büyük uzunluktaki yoldur. Ağaçlar hakkındaki bazı genel kurallar aşağıdaki gibidir: Teorem 1.1. T bir ağaç olsun. O halde: 1. Hiçbir noktanın birden fazla ebeveyni olamaz. 2. Eğer u ve v, T ağacının noktaları ise ve u noktasından v noktasına bir yol varsa, bu durumda v noktasından u noktasına hiçbir yol yoktur. 3. Terminal olmayan her noktanın terminal bir torunu vardır. Proof. (1) w, u ve v şeklinde iki üretece sahip bir nokta olsun. Ağaç tanımından, kökten u noktasına bir yol vardır. Bu yola (u, w) kenarını eklemek kökten w noktasına bir yol yaratır. Benzer şekilde, kökten v noktasına giden yola (v, w) kenarını eklemek kökten w noktasına başka bir yol yaratır. Bu iki yol aynı değildir, çünkü birindeki son kenar (u, w), diğerindeki (v, w) olmaktadır. Bu, ağaç tanımı ile çelişir. Bu yüzden, w iki ebeveyne birden sahip olamaz. (2) v noktasından u noktasına bir yol olduğunu varsayalım. Şimdi kökten u noktasına giden yolla başlayıp ona önce u noktasından v noktasına giden yolu, sonra da v noktasından u noktasına geri dönen yolu ekleyelim. Bu işlem kökten u noktasına ikinci bir yol yaratır. Bu, ağaç tanımı ile çelişir. Böylece, v noktasından u noktasına bir yol olamaz. (3)u terminal olmayan bir nokta olsun. u noktasından başlayan en büyük uzunluktaki yolu düşünelim. Bu yolun sonundaki nokta terminaldir, çünkü olmasaydı, yol uzatılabilirdi. Bu durum, seçilen yolun en büyük uzunlukta olmasıyla çelişir. Şimdi, T bir ağaç ve u; T ağacının herhangi bir noktası olsun. T ağacının u ile belirlenen kesilişi, T u ile gösterilir ve şu şekilde tanımlanır: T u kesilişinin karar noktaları u noktasının kendisi ve u noktasının tüm

9 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 9 torunlarını toplamıdır. T u kesilişinin kenarlarının hepsi T ağacının T u kesilişinin bir noktasında başlayan kenarlarıdır. Dikkat edilmelidir ki u; T ağacının kökü olsaydı T u = T olurdu, terminali olsaydı T u basit bir ağaç olurdu. Şekil (??) deki ağacın T c kesilişi c, g, h, i, j karar noktalarına ve (c, g), (g, i), (g, j), (c, h) kenarlarına sahiptir (q.e.d). Teorem 1.2. Herhangi bir T ağacı ve herhangi bir u noktası için, T u kökü u olan bir ağaçtır. Proof. Öncelikle, u kendisine giden hiçbir T u kenarına sahip değildir, çünkü böyle bir kenarın başlangıç noktası u noktasının bir torunu olamaz. İkincisi, v; T u kesilişinin bir noktası diyelim. O halde v; u noktasının bir torunudur ve böylelikle T u kesilişinde u noktasından v noktasına bir yol vardır. T bir ağaç ve u; T ağacının bir noktası olsun. T/u bölüm ağacı şu şekilde tanımlanır: T/u ağacının karar noktaları u noktasının torunları ile taşınan T ağacının karar noktalarıdır; T/u ağacının kenarları T/u ağacının karar noktalarında başlayıp son bulan T ağacının kenarlarıdır. Böylelikle, u; T/u ağacının bir terminalidir. Örneğin, şekil (??) deki ağaçta, bölüm ağacı T/a; (a, d) ve (a, e) kenarları ile d ve e karar noktalarının silinmesiyle elde edilmiştir. Unutulmamalı ki u; T ağacının kökü olsaydı T/u basit ağaç, terminali olsaydı T/u; T olurdu. Sıradaki teoremin ispatı ihmal edilecek kadar açıktır (q.e.d). Teorem 1.3. Eğer T bir ağaç ve u, T ağacının bir noktası ise, T/u kökü T ağacının kökü olan bir ağaçtır. Proof. T bir ağaçsa, o halde S; T ağacının bir alt ağacıdır; öyle ki karar noktaları T ağacının karar noktalarının, kenarları T ağacının kenarlarının, terminal noktaları T ağacının terminal noktalarının bir altkümesidir ve kökü T ağacının köküdür. Şekil (??) deki ağaçta, kökü c, h, g, j karar noktaları ve (kök,c), (c, h), (c, g), (g, j) kenarları ile bağlayan ağaç bir alt ağaçtır. Sıradaki teorem alt ağacın alternatif bir tanımını vermektedir. İspat alıştırma olarak bırakılmıştır. Teorem 1.4. S, T ağacının bir alt ağacı olsun. O halde S kökten başlayıp kendi terminal bir noktasına varan tüm yolların birleşimidir. Tersine, eğer U, T ağacındaki tüm terminal noktaların kümesinin boş olmayan bir altkümesi ise, o zaman kökten U kümesinin bir elemanına giden tüm yolların birleşimi bir alt ağaçtır. Bu alt ağacın terminal noktalarının kümesi kesin olarak U kümesidir.

10 10 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Örneğin, şekil (??) deki ağaçta, terminal noktaları U = d, f, j olarak düşünülsün. O zaman U ile tanımlanan alt ağaç (kk, a, d), (kk, b, f), (kk, c, g, j) yollarının birleşimidir. Şimdi oyun ağaçları olarak basit şekilde bir oyun tasarlama aşaması incelensin. İlk olarak bir oyunculu oyunda, iki seçim olsun. Noktaları (node) gösteren doğrular aslında çıktılara ya da karar noktalarına giden yolu belirtmektedir. Şekil (??) tek oyunculu oyun ağacını göstermektedir. İki olanaklı seçim vardır: sol (L) ve sağ (R). Başlangıç noktası 1 ile gösterilmektedir. Oyuncu için karar noktasıdır. Doğrularla gösterilen (L) ve (R) oyuncu için alternatiflerdir. Aşağıdaki noktalar terminal noktalar olarak adlandırılmaktadır ve çıktıları π L ve π R ile göstermektedir. Bu oyundaki denge daha yüksek skorun oyuncu tarafından seçilmesi ile bulunmaktadır. π L L 1 R π R Şekil 1.3: Tek Oyunculu Oyun Ağacı Aynı yöntemle iki oyunculu oyunlar şekillenebilir. Bir yatırım kararı oyununu düşünelim. Her iki firmada piyasaya giriş için yatırım yapma kararını alsın. Firma piyasaya girmeyerek sıfır kar elde edecektir. Seçimler ardışıktır. Firma 1 kararını almakta, ve birinci olarak işlem yapmaktadır. Daha sonra Firma 2 Firma 1 in ne yaptığını öğrenmekte ve yatırım kararını almaktadır. Şekil (??) bu oyunun ağacını göstermektedir. E piyasaya giriş ve S piyasaya girmemektir. π firmanın karını L zararını belirtmektedir. İlk sayı 1. firmanın ödemesini, 2. sayı diğer firmanın ödemesidir. 1 E S 2 2 E S E S L, L π, 0 0, π 0, 0 Şekil 1.4: Yatırım Oyunu

11 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 11 1 E S 2 2 E S E S π, 0 0, π Şekil 1.5: Kısaltılmış Oyun Ağacı Bu oyun nasıl çözülecektir? Bir denge bulmak için geriye-doğru tümevarım (backward induction) tekniği kullanılmaktadır: 1) Oyunda en son karar noktası incelenir. 2) Oynanmayan eylem elenir. 3) Bu eylemler silinir. 4) Oyun ağacı tekrar çizilir. 5) Süreç tekrarlanır. Örneğimizde son karar noktaları 2. Firmamızındır. Oyun ağacının sol tarafında (1. Firmanın piyasaya girdiği taraf) 2. Firmanın en iyi cevabı ( L < 0 olduğundan) piyasaya girmemektir. Sağ tarafta (π > 0 olduğundan) 2. Firmanın optimal seçimi piyasaya girmektir. Şekil (??) 2. Firmanın mahkum eylemleri olmaksızın kısaltılmış oyun ağacını göstermektedir. Şimdi oyunu çözmek kolaydır. İki oyuncunun da rasyonel olduğu ve bu rasyonelliğin ortak bilgi olduğu varsayılsın. 1. Firma, 2. firmanın rasyonel seçimini tahmin ederek, 2. Firmanın piyasaya girmemesinden karlar elde edecektir. Böylece, denge 1. firmanın piyasaya girip kar elde etmesidir. n-oyunculu olarak nasıl tasarlanacaktır? T basit olmayan bir ağaç olsun. T ağacı n-oyunculu ve şansa dayalı olmayan bir oyun tanımlamak için kullanılsın. Öncelikle, P 1, P 2,..., P n oyuncuları göstermektedir. Şimdi, terminal olmayan her nokta bu harflerden biriyle isimlendirilsin. P i harfiyle belirtilmiş bir nokta P i oyuncusuna aittir veya P i, o noktaya sahiptir. Sonra her terminal v noktasını n-boyutlu bir vektör ile gösterilsin. Oyun şimdi tanımlanmıştır ve şu şekilde oynanır. Köke sahip olan oyuncu kökün çocuklarından birini seçmekte ve bu çocuk ortadaki bir nokta ise, onun ait olduğu oyuncu onun çocuklarından birini seçmektedir. Oyun bu şekilde, bir v terminal noktasına ulaşıncaya kadar devam etmektedir. Oyuncular daha sonra bu son noktanın n-katına göre ödemeler almaktadırlar. Bu demektir ki, P i oyuncusu ödemesini buna göre almaktadır. Şekil (??) buna üç oyunculu bir örnektir. Bu oyunda, bir noktadan çıkan üçten fazla kenar olamaz. Bu kenarlar sol(l), sağ(r), orta(m) olarak gösterilebilir. Örneğin, P 1 oyuncusunun ilk hareketi b noktası ise, o zaman kenarı M ile gösterip, hareket ettiririz. Eğer P 3 buna karşılık g noktasına hareket

12 12 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 1 a c b d e f g h i 1 j k (0, 1, 1) ( 1, 1, 1) (0, 0, 1) (1, 0, 1) ( 1, 0, 2) ( 2, 1, 0) (0, 2, 2) Şekil 1.6: Üç Oyunculu Oyun Ağacı ederse, bu oyunun bu karşılaşmasının geçmişi (M, R) olarak gösterilecektir. İkinci bir örnek olarak, diğer bir muhtemel geçmiş (L, L, R) dir. Bu durumda ödeme vektörü (0,-2,2) dir. Bu şekilde (oyuncu tanımlamaları ve ödeme vektörleri dahil edilerek) tanımlanmış bir ağaç bir oyun ağacıdır ve buna bağlı olan oyun bir ağaç oyunudur. Kurulan bu şekildeki bir oyunun şansa dayalı olmadığı açıktır. Daha sonraki bir bölümde, şansa dayalı olma fikri eklenecektir. Bu mümkün olduğunda, bütün oyunları ağaç oyunu olarak düşünebilmek de mümkün olacaktır. Unutulmamalıdır ki kökten terminal bir noktaya her yol, oyunun geçmişinin gelişeceği farklı bir yolu temsil etmektedir. Satranç gibi komplike bir oyunda dahi oyun ağacının nasıl kurulacağını görmek zor değildir. İlk hareket eden oyuncu köke sahip olacaktır. Muhtemel her başlangıç hareketi kökün bir çocuğu ile bağdaşmalı olacaktır. Bu çocukların her biri ikinci hareket eden oyuncuya bağlı ve o oyuncu için her mümkün harekete bağlı olan bir çocuğa sahip olacaktır. Bir terminal nokta şah mat ve berabere kalma gibi bir şekilde son bulan bir oyun durumuna bağlı olacaktır. Elbetteki böyle bir ağaç çok büyüktür. Bu kadar örnekten sonra oyun ağacı tanımı yapılabilir; Tanım 1.3. Oyun Ağacı. Ağacın her terminal-olmayan noktası tam olarak oyunculardan biri tarafından sahiplenmiş ise; ve ağacın her v terminal noktasında bir n-boyutlu ödeme vektörü π(v) = (π 1 (v), π 2 (v),..., π n (v)) atanmış ise; T ağacı n-oyunculu oyun ağacıdır.. İki nokta önemlidir: 1. Hiçbir terminal nokta herhangi bir oyuncu tarafından sahiplenilmemiştir ve her oyuncunun ağacın en az bir terminal-olmayan noktasına sahip

13 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 13 olacağının garantisi yoktur. Yani, n-kişili bir oyunda, terminal-olmayan noktaya sahip olmayan oyuncular olabilir 2. i oyuncusu tarafından sahiplenilen N noktası i oyuncusuna aittir. Terminal olmayan noktalar karar noktalarıdır Haberalma Kümesi Son örnekte 2. firma kararını vermeden önce 1. firmanın seçimini bilmektedir. Fakat 2. firma bu kararı bilmeseydi ne olurdu? Eşanlı karar oyunlarında oyun ağacı çizmek için haberalma kümesine ihtiyaç vardır. Bu konuya geçmeden önce bir örnekle irdelemekte fayda vardır. n-kişili oyun ağacı oyunun kökünden başlayan ve terminal noktalarında sonlanan oyuncular tarafından alınmış kararların ardışık sürecini temsil etmektedir. Oyun şöyle başlamaktadır. Köke sahip oyuncu karar sürecini bir diğer noktaya götüren kararı alarak (bir patika 1 hareket ederek) oyunu başlatmaktadır. Nokta terminal değilse, nokta, patikayı seçme sırasının olduğu oyuncuya aittir. Tekrar, nokta terminal değilse, nokta, patikayı seçmek için gelinen oyuncuya aittir. Bu ardışık karar süreci terminal noktaya ulaşıncaya kadar devam edecektir. Örneğin şekil (??) de gösterilen üç-kişili oyunda, a noktası 2. oyuncuya aittir. (ad) patikasını seçtiğini düşünelim ve böylece kararı 1. oyuncuya ait olan d noktasına ulaşacaktır. 1. oyuncu bir patika seçerek sonraki (next) kararını almak zorundadır. (dk) köşesini seçsin. k terminal nokta olduğundan, oyun k noktasında sonlanacaktır. Bu durumda, oyuncular tarafından seçilen karar politikası a d kolacaktır. k terminal noktasında ödeme vektörü (0,-2,-2) görünmektedir. 1. oyuncu 0, 2. oyuncu -2 ve 3. oyuncu 2- birim ödeme alacaktır. i oyuncusu tarafından sahip olunan oyun ağacının iki N 1 ve N 2 noktaları aşağıdakiler olduğunda eşdeğerdir. 1. N 1 ve N 2 noktalarından başlayan patikaların sayısı aynı ise, örneğin k, 2. {e 1 1, e 1 2,..., e 1 k } ve {e2 1, e 2 2,..., e 2 k } ile verilen N 1 ve N 2 noktasından olan köşeler her x patikası için e 1 x ve e 2 x patikalarının i oyuncusu tarafından özdeş olarak görülmesi yoluyla düzenlenebilirse, e 1 x e 2 x tarafından eşdeğerliği belirlenecektir. 1 İki nokta arasındaki yol olarak tanımlanmaktadır

14 14 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Bu bizi doğal olarak enformasyon kümesi kavramına götürmektedir. 1 E S 2 E S E S L, L π, 0 0, π 0, 0 Şekil 1.7: Eş-anlı Durum Tanım 1.4. Haberalma Kümesi. Bir haberalma kümesi bir oyuncu için karar noktalarının bir koleksiyonudur. (Bu noktalara karşılık gelen hareketlerde) Bu kümede oyuncu tarafından hangi noktanın oyunun sonucuna ulaşacağının bilinemediği hareketlerin olmasıdır. Alternatif olarak şu şekilde tanımlanabilir, Tanım 1.5. Bir oyun ağacında, I = {N 1,..., N e } noktalar kümesi i oyuncu için enformasyon kümesidir: 1. I kümesinin bütün noktaları terminal-olmayandır ve i oyuncusuna aittir. 2. I kümesinin hiçbir noktası I kümesinin bir başka noktası ile ilgili değildir; yani, N I ve N J, I kümesinde boğumlar olduğunda, N I ve N J noktasının ne atası ne de torunudur. 3. I kümesinin bütün noktaları i oyuncusu için eşdeğerdir. Yani, bütün i, j ve r değerleri için e i x e r x olduğu her N I noktasından başlayan k köşelerinin {e i 1, e i 2,..., e i k } tekrar düzenlenmesi vardır. I enformasyon kümesi kavramının altındaki sezgi şöyledir. n-kişili oyunun karar sürecinin bazı safhalarında, i oyuncusunun sonraki kararı almak zorunda olduğunu varsayın. Oyunun tarihçesinin enformasyonunun eksikliğinden dolayı, oyuncu kararı alacağı yerin I enformasyon kümesinin bir noktası olduğunu bildiğini varsayalım, fakat hangisinin olduğunu bilmemektedir. Bundan başka, i oyuncusuna aynı sayıda seçim (diyelim ki k) kümesinin her noktasında, i oyuncusu 1, 2,..., k ile gösterilen k özdeş seçim olduğunu anlamaktadır. Bu durum i oyuncusuna sadece k seçimine dayalı olmayan

15 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 15 P P N 1 N P 2 N Şekil 1.8: Enformasyon Kümesine Örnek 1, 2,..., k arasında karar almaya zorlamaktadır. Enformasyon kümesine bir örnek Şekil (??) de gösterilmektedir. I = {N 1, N 2, N 3 } enformasyon kümesinin P 2 oyuncusuna ait olduğu görülmektedir. Aynı enformasyon kümesine ait olan N 1, N 2, N 3 noktalarını kesikli çizgi ile bu noktalara katarak belirtilmektedir. I kümesinin her noktasında P 2 oyuncusunun üç seçimi 1, 2 ve 3 ile gösterilmektedir. Tanım 1.6. Ardışık oyun ya da genişleyen biçimdeki oyun oyunculara ait olan enformasyon kümelerine dönülmüş olan karar noktalarına sahip olan n-kişili oyun ağacıdır. Stratejik biçimdeki oyun durumunun tersine, ardışık oyundaki strateji kavramı biraz daha kapsamlıdır. Ardışık oyunlarda stratejiyi tanımlamak ve anlamak için, birkaç yeni kavram göstermeye ihtiyacımız vardır. Bir oyun ağacında N noktasına sahip bir oyuncu için seçim basitçe N noktasından başlayan bir köşedir. Bir oyun ağacında I noktalarının kümesine sahip bir oyuncu için seçim fonksiyonu V noktalar kümesini belirttiği ve f(n); I kümesinin her N noktası için N noktasının çocuğu olduğu bir f : I V fonksiyondur. N noktasının C çocuğu N C patikası tarafından tam olarak belirlendiğinden, N noktasında başlayan ağacın patikalarıyla f(n) fonksiyonunu özdeşleştirilmektedir. I kümesinin her durumunda ortaya çıkan patikayı içeren f kümesi olduğunda patikaların kümesi tarafından f seçim kümesini belirtmek de oldukça yaygındır. P oyuncusunun f seçim kümesi f(n 1 ) f(n2) her N 1, N 2 I noktalar

16 16 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR çifti için gerçekleştirmek, bir I enformasyon kümesine uyduğu söylenmektedir. Yani, aynı enformasyon kümesine ait noktalardaki seçimler özdeştir. Tanım 1.7. I; bir oyun ağacında i oyuncusuna ait noktaların kümesi olsun ve I kümesinin i için enformasyon kümesine bölündüğü varsayılsn. O zaman s : I V seçim fonksiyonu her enformasyon kümesine karşılık geldiğinde, i oyuncusu için bir stratejidir. Böylece, ardışık oyunda stratejinin ustaca hazırlanmış bir kavram olduğu görülmektedir. Kısacası, ardışık bir oyunda bir oyuncu için strateji, sahip olduğu her enformasyon kümesinde alacağı (yapacağı) seçimi tanımlamaktadır. Bundan dolayı, ardışık oyunda bir oyuncu için strateji oyunu nasıl oynayacağının tam bir planıdır ve her enformasyon kümesinde seçimini belirtmektedir. Diğer bir deyişle, oyuncunun stratejisi, oyunu oynaması durumu boyunca erişilen enformasyon kümesi durumundan önceki (örneğin, oyun başlamadan önce) yapılması planlanmış seçimleri belirtecektir. n-kişili ardışık oyun için strateji profili basitçe her s i değerinin i oyuncusunun stratejisi olduğu bir n-tuple (s 1, s 2,..., s n ) ardışık oyunda verildiğinde, oyun ağacının terminal noktası otomatik şekilde erişileceğini belirtmek elverişlidir. Diğer bir deyişle, daha önceden anlatıldığı gibi, ardışık oyun aşağıdaki şekilde oynanıldığı anlaşılmaktadır. R çatısına sahip olan oyuncu (diyelim ki P j ) s j seçilmiş stratejisine bir nokta seçmektedir, burada s j (R) noktasını seçmektedir. O zaman, s j (R) noktasına sahip oyuncu stratejisine göre seçim yapmakta ve oyun v terminal noktasına erişilinceye kadar bu tarzda devam etmektedir. Sonradan, her i oyuncusu π i (v) ödemesini almaktadır. Strateji profili (s 1, s 2,..., s n ) tek başına erişilen v terminal noktasını belirlemektedir. Buradan, her oyuncunun ödemesi (ya da fayda) strateji profilinin (s 1, s 2,..., s n ), u i fonksiyonudur. Yani genel olarak u i (s 1, s 2,..., s n ) = π i (v) yazılmaktadır. Yukarıda şekilleri olan oyunları incelediğimizde, Şekil (??) giriş oyununun eşanlı versiyonudur. Bu genel biçimde kusurlu haberalmalı statik bir oyundur. Noktalı doğru 2. Firmanın haberalma kümesini belirtmektedir. Yani, noktalı doğru 2. Firmanın girip girmeme seçimini bilmekte, 1. Firmanın ne seçtiğini bilmemektedir. Şekil (??), bu oyunun farklı bir sunumudur. 2. Firma ilk hareket etmekte ve 1. Firma 2. Firmanın hareketini görmemektedir. Yukarıda anlatılan kavramları bir oyun içerisinde görmek olanaklıdır.

17 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 17 2 E S 1 E S E S L, L π, 0 0, π 0, 0 Şekil 1.9: Eş-anlı Ters Durum Ele Geçirme Oyunu Bir yatırımcı, I oyuncusu olarak ifade edilecektir, Fortune F olarak adlandırılan bir şirkete teklif vermektedir. Fiilen, F şirketinin hisseleri 100$ olarak değerlidir. I şirketi ele geçirebilirse, yeni yönetim altında F şirketinin hisse başına değeri 110$ olacağı bilinmektedir. I yatırımcısı F şirketinin toplam hisselerinin %50 sini alarak ele geçirmek için hisse başına b kadar (> 100) teklif edebilir. Ne kadar etmedir? Bir teklif yaptıktan sonra, F şirketinin hisse sahipleri ne yapmalıdır? 1. safhada I oyuncusu F şirketi için teklif yapacağı ve 2. safhada F oyuncusu ya teklifi kabul edeceği ya da red edeceği iki-kişili ardışık oyun tarafından tanımlanabilir. Oyunun ödemeleri aşağıdaki şekilde anlaşılmaktadır. Yatırımcı hisse başına b kadar teklif ettiğinde, ya F şirketi teklifi kabul edebilir ve hisselerini yatırımcıya hisse başına b dolardan satabilir ya da hisse başına b dolardan hisselerini geriye satın alarak teklifi ret edebilir. Teklifi kabul ederse, F şirketi hisse başına b 100 dolar kar yapacaktır. Yatırımcı, bununla beraber, yeni yönetim altında hisse başına 110$ alan hisse senedinin değerinden sonra, hisse başına 110 b kadar kar yapacaktır. F şirketi teklifi red ederse, o zaman şirket hisse başına b dolardan hisse senetlerini geri almak zorunda olacak ve hisse senedi başına b 100 dolar kaybedecektir. Bu durumda yatırımcı sıfır elde edecektir. Ele geçirme oyununda, her oyuncu seçimini yapmak zorunda olduğu noktayı tam olarak bilmektedir. Birçok ardışık oyun bu durumu sağlamaktadır. Böyle oyunlarda, her oyuncu seçimini yapmak zorunda olduğu noktayı tanımlamak için gerekli geçmiş ile ilgili bütün enformasyonu bilmektedir. Bu özellikle ardışık oyunlar kusursuz enformasyonlu oyunlar olarak adlandırılır. Bu koşullarda karşılaşmayan oyunlara kusurlu enformasyonlu oyunlar denir. Tam tanımları aşağıdaki gibidir. Tanım 1.8. Her enformasyon kümesi singleton ise; ardışık oyun kusursuz

18 18 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR (110 b, b 100) Kabul F T eklif Red (0, 100 b) I T eklif Etmeme (0, 0) enformasyonlu bir oyundur. oyundur. Şekil 1.10: Ele Geçirme Oyunu Aksi takdirde, bu kusurlu enformasyonlu bir Kusursuz enformasyonlu bir ardışık oyun, bundan dolayı, oyuncu seçim yapmak zorunda olduğunda yapılan seçimlerin ne olduğunu bildiği ardışık oyundur. Bu her durumda doğru değilken, bir çok durumda doğrudur. Diğer taraftan, kusursuz enformasyonlu ardışık oyunlar oyuncuların oyunun önceki safhalarında yapılan seçimlerin bazılarını gözlemleyemediği ya da önceki safhalarda oynayan oyuncular ilerleyen enformasyonlu oyunlarda olduğu kadar birçok bağlamda doğal olarak ortaya çıkmaktadır. Aşağıdaki örnek kusursuz enformasyonlu ardışık oyunun kusurlu enformasyonlu ardışık oyun nasıl kolayca dönüştüğünü göstermektedir. Ele Geçirme Oyunu - Kusurlu Enformasyon Durumu Ele geçirme oyununda, F şirketi gelişmekte olan bir projeye sahiptir. Başarılı olursa fiili yönetimde hisse başına 125 dolar. I yatırımcısının yönetimi altında 140 dolar fiyatı olacaktır. I yatırımcısı b teklifini yaptığında, sadece F şirketi projenin başarılı olup olmayacağını bilmektedir. Böylece kusurlu enformasyon vardır, I yatırımcısı kararını aldığı zaman projenin geleceğini bilmemektedir. Ele geçirme oyununda yeni durumu tanımlamanın bir yolu Şekil (??) de gösterilen üç-kişili ardışık oyun tarafından yapılmaktadır.

19 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 19 (140 b, b 125) K F T R (0, min(125 b)) I BASARILI T E (0, 25) N (110 b, b 100) K BASARISIZ F T R (0, 100 b) I T E (0, 0) Şekil 1.11: Ele Geçirme Oyunu - Kusurlu Enformasyon Durumu I yatırımcısının enformasyon kümesi ne teklif edeceğine karar verdiğinde, P projesi hakkında karar veren N doğasına bağlı olan iki nokta içermektedir. Bundan dolayı, I oyuncusu, veri enformasyonuyla, iki nokta arasında ayrım yapmak imkanı yoktur. Bununla beraber, F şirketinin b teklifini kabul edip etmeyeceği kararını verdiğinde, projenin çıktısını bilmektedir. I yatırımcısının enformasyon kümesi birden fazla nokta içermektedir, bu oyun kusurlu enformasyonlu oyunlara bir örnektir. Şekil (??) de gösterilen ardışık oyunun genişlemesi olan bu oyun, proje başarılı ise ve I yatırımcısı hisse başına b dolar teklif ederse ve F teklif kabul ederse, F şirketi hisse başına b 125 dolar elde edecektir. Bu durumda

20 20 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR I yatırımcısı hisse başına 140 b dolar elde edecektir. F şirketi teklifi ret ederse, hisse başına b dolardan hisseleri geri almak zorundadır ve hisse başına 125 b dolar kaybedecektir. Bu durumda yatırımcı hiçbir şey olamaz. Diğer taraftan, proje başarılı olmazsa; I yatırımcısı b dolar teklif eder ve F şirketi teklifi kabul eder, o zaman F şirketi hisse başına b 100 dolar alır. F şirketi teklifi red ederse, yatırımcı sıfır elde edecek ve F şirketi hisse başına b 100 dolar kaybedecektir. Kusurlu ve kusursuz enformasyonlu ardışık oyunlar diğer bölümde daha detaylı incelenecektir Belirsizlik ve Doğanın Hareketi Potansiyel tüketici talebi hakkında belirsizlik olsun. Basitlik için, büyük (L) ve küçük (S) piyasa büyüklüğü olsun. L olduğunda iki firma piyasaya girip kar elde etmektedirler. S olduğunda sadece bir firma kar elde edecektir. q, L olma olasılığı olsun. (1 q) da S olma olasılığı olacaktır. Doğa q 1 q 1 1 E S E S E S E S E S E S +, + +, 0 0, + 0, 0, +, 0 0, + 0, 0 Şekil 1.12: Rastlantısal Bilinen Talep Durumu Şekil (??) dan (??) a kadar dört olanaklı sunum gösterilmektedir. İlk ikisi ardışıktır. (1.firma hareket etmekte ve kararını açıklamaktadır). Son ikisi eşanlıdır. + ve - işaretleri kolaylaştırmak amacıyla kullanılmıştır. Şekil (??) daki oyunda, (1) doğa (N) rastlantısal olarak piyasa büyüklüğüne karar vermektedir. (2) Firmalar piyasa büyüklüğünü öğrenmektedir. (3) 1.firma piyasaya girmekte (E) veya girmemektedir (S). (4) 2.firma bu kararı öğrenmekte ve piyasaya girmekte (E) veya girmemektedir (S).

21 1.1. GENIŞLEYEN BIÇIMDE OYUNLAR 21 Doğa q 1 q 1 E S E S E S E S E S E S +, + +, 0 0, + 0, 0, +, 0 0, + 0, 0 Şekil 1.13: Rastlantısal Bilinmeyen Talep Durumu Şekil (??) deki firmaların seçimleri ardışıktır. Ancak, firmalar fiili piyasa büyüklüğünü önemsemeyerek seçim yapmaktadır. Böylece 1. firmanın her iki noktası bir haberalma kümesi iken, 2. firmanın iki haberalma kümesi vardır. 2. firma 1. firmanın piyasaya girdiğini öğrendiğinde bir tane haberalma kümesi vardır. Fakat piyasa büyüklüğünü bilmemektedir. İkinci haberalma kümesi 1. firmanın piyasaya girmediği anda oluşmaktadır. Doğa q 1 q E S E S 2 2 E S E S E S E S +, + +, 0 0, + 0, 0, +, 0 0, + 0, 0 Şekil 1.14: Eş-anlı Hareket ve Bilinen Talep Durumu Şekil (??) ve (??) da eşanlı hareket oyunudur. Şekil (??) de talep bilinmekte, şekil (??) da bilinmemektedir.

22 22 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Doğa q 1 q 1 E S E S 2 E S E S E S E S +, + +, 0 0, + 0, 0, +, 0 0, + 0, 0 Şekil 1.15: Eş-anlı Hareket ve Bilinmeyen Talep Durumu 1.2 Genişleyen Biçimdeki Oyunlarda Denge Dinamik oyunlarda da Nash dengesi vardır. Nash dengesi zayıf olduğundan dinamik oyunları çözmede Nash dengesi kavramı kullanılamaz. Bazı Nash dengeleri mantıksızdır. Bu noktada mantıklı ve mantıksız Nash dengelerini ayırmak için altoyun kavramı tanımlanmalıdır. Ancak başlangıçta Nash dengesi kavramını ardışık oyunlarda tartışmak konunun anlaşılmasına katkı sağlayacaktır. Kusursuz enformasyonlu ardışık oyunlarda, her oyuncu tam olarak oyunun önceki safhalarında oyuncuların yaptığı hareketleri bilmektedirler. Ele geçirme oyunu bu sınıf oyunlara aittir, F oyuncusu I oyuncusunun ilk safhada yaptığı teklifi tam olarak bilmektedir. Bu noktada ortaya çıkan problem ardışık oyunun çözme yolları hakkındadır. Ardışık oyunların nasıl çözüldüğünü tartışmadan önce, böyle oyunlar için çözüm kavramının altındaki rasyonelliği açıklamak gerekmektedir. n-oyunculu ardışık bir oyunda, S i, i oyuncusunun bütün stratejilerinin kümesini belirtsin. Genel olarak, bir strateji profili s 1 S i (örneğin S i ; i oyuncusu için bir stratejidir) olduğundan bir n-tupledir (s 1, s 2,..., s n ). Her strateji profili (s 1, s 2,..., s n ) tek bir v terminal noktasını belirtmektedir (her oyuncu s i stratejisini oynarsa, oyunun çıktısı). v terminal noktasında, π(v) = (π 1 (v),..., π n (v)) ödeme vektörü vardır. Bunu fayda fonksiyonları terminolojisine çevirirsek, i oyuncusunun fayda fonksiyonu u i : S 1 S 2... S n R tanımlanmaktadır:

23 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 23 u i (s 1, s 2,..., s n ) = π i (v) (1.1) Tekrar π(v) = (π 1 (v),..., π n (v)); (s 1, s 2,..., s n ) strateji profili tarafından (tek başına) belirlenmiş v noktasında bir ödeme vektörüdür. Stratejik biçimindeki oyunlardan olduğu gibi ardışık oyunun çözümü Nash dengesi olması olarak anlaşılmaktadır ve aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır. Tanım 1.9. n-oyunculu ardışık bir oyunda (kusursuz ya da kusurlu enformasyon ile), her oyuncu için aşağıdaki maksimizasyon geçerliyse; u i (s 1, s 2,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n) = max u i (s 1, s 2,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n) (1.2) strateji profili (s 1, s 2,..., s i 1, s i, s i+1,..., s n) Nash dengesidir (ya da basitçe dengedir) denir. Diğer bir deyişle, önceki durumlardaki gibi, Nash dengesi öyle bir strateji profilidir ki, diğer oyuncular stratejilerini değiştirmese bile hiçbir oyuncu stratejisini değiştirerek ödemesini iyileştirmez. Şimdi Nash denge strateji profilini ardışık oyunlar için tartışalım. Bir T ağacının her terminal N noktası için R çatısından başlayan N noktasında sona eren tek bir patika olsun. Böylece, T ardışık oyunun oyun ağacı ise, her strateji profili (s 1, s 2,..., s n ) tarafından desteklenmiş patika olarak adlandırılacaktır. Nash dengesi tarafından desteklenmiş bir patika denge patikası olarak çağrılacaktır Altoyunlar Altoyun bir oyunun içinde bir oyundur. Tanım Altoyunlar. Altoyun bir oyunun bir kısmıdır, a) uygun haberalma kümesi olan ve bir noktada başlayan b) başlangıç noktasından sonra bütün noktaları ve dalları içeren c) orijinal oyunun herhangi bir haberalma kümesini kesmeyendir. Bu kavram bir önceki örneğe uygulanabilir. Tanım gereği, bütün oyunların bir altoyunu vardır - kendisi. Örneklerdeki altoyunları sayalım. Şekil (??) da altı tane altoyun vardır. Şekil (??) de iki tane altoyun vardır. Şekil (??) ve (??) da uygun karar noktası olmadığından altoyun yoktur.

24 24 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Stratejiler Eşanlı oyunlarda bir strateji bir eylemdir. Örneğin, Cournot duopolü oyununda firmanın stratejisi çıktı düzeyini seçmesidir. Dinamik oyunlarda, oyuncular basitçe eyleme geçmezler: tekrar tekrar eylemde bulunmaktadırlar. Bundan başka oyunda oluşabilecek bütün durumlar için nasıl tekrar eylemde bulunacaklarını planlamaktadırlar. Bu gerçekler ışığında genel biçimdeki bir oyun için bir strateji tanımlanabilir. Tanım Genel Biçimdeki Bir Oyunda Bir Strateji. Bu strateji oyundaki bütün karar noktalarında oluşan eylemlerin koleksiyonunun bir planıdır. Böyle bir plan oyunun geçmişine bağlı olup karma stratejileri de kapsayabilir. Farklı bir giriş oyunu ile strateji kavramını inceleyelim. 1. firma piyasada olsun ve 2. firma piyasaya girip girmeme kararını alsın. 2. firmanın piyasaya giriş kararına göre, 1. firma fiyat stratejisi seçsin. Yüksek fiyat (H), düşük fiyat (L). H durumunda pozitif, L durumunda negatif kar söz konusudur. 2. firma piyasaya girmezse sıfır kar elde edecektir. 2 E S 1 1 H L H L +, + +, 0,, 0 Şekil 1.16: Giriş Oyunu 2. firmanın bir karar noktası ve iki olanaklı eylemi vardır. (E) ve (S). 1. firmanın iki olanaklı eylemi ve iki karar noktası vardır. Buna göre, dört olanaklı stratejisi (iki nokta çarpı iki eylem) vardır. 1. firmanın stratejisi koşullu eylemler çiftidir. Birinci eleman 2. firma girdiğindeki eylemi, ikinci eleman 2. firma girmediğindeki eylemleri belirtmektedir. 1. firmanın olanaklı stratejiler kümesi, S 1 = {(H, H), (H, L), (L, H), (L, L)} dır Altoyun-Kusursuz Nash Dengeleri Tanım Ortak pür strateji s, genişleyen biçimdeki Γ oyununun her altoyununda Nash dengesine neden oluyorsa, Γ oyununun altoyun kusursuz dengesine ulaşılan bir pür stratejisidir.

25 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 25 Herhangi bir genişleyen biçimdeki Γ oyunu için, oyunun kendisi altoyun olduğundan, Γ oyununun pür stratejili altoyun kusursuz dengesi de Γ oyununun pür stratejili Nash dengesidir. Sonuçta, altoyun kusursuz denge kavramı Nash denge kavramının saflaştırılmasıdır. Şekil (??) de görüldüğü gibi, saflaştırma kesindir. GiR 1 CIK (1, 2) 2 L R 1 l r l r (0, 0) (3, 1) ( 1, 3) (0, 0) Şekil 1.17: Altoyun Kusursuz Olmayan Nash Dengesi - Eksik 2 L R 1 l r l r 0, 0 3, 1 1, 3 0, 0 Şekil 1.18: Altoyunda 2. Oyuncunun En iyi Cevabı Şekil (??) de pür strateji Nash dengesi CIK ve GiR-Rr dir çünkü hiçbir oyuncu diğer oyuncunun veri stratejisinde stratejisini değiştirerek ödemesini düzeltemez. Bununla beraber, bu altoyun kusursuz dengesi değildir. Çünkü 2. oyuncunun başlangıç noktasındaki altoyunda varolan stratejiler altoyunun Nash dengesi değildir. Şekil (??) de altoyun izole edilmiştir ve L stratejisinden hareket altoyunda 2. oyuncunun ödemesini kesinlikle iyileştiren sapmayı belirtmektedir. Teorem 1.5. (Altoyun Kusursuz Dengesi Geriye-Doğru Tümevarım): Her sonlu genişleyen biçimdeki kusursuz enformasyonlu oyun için,geriye doğru tümevarım stratejiler kümesi pür strateji altoyun kusursuz dengeleri ile kesişmektedir.

26 26 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Proof. Her geriye doğru tümevarım stratejisinin altoyun kusursuz olduğu gösterilmelidir. s, geriye-doğru tümevarım stratejisi olsun. Kusursuz enformasyonlu bir oyunda her nokta bir altoyun tanımladığından, bütün x değerleri için x tarafından tanımlanan altoyunda s stratejisinin bir Nash dengesine neden olduğu gösterilmelidir. Burada, her x için, x ile tanımlanan Γ x altoyunu kusursuz enformasyonlu oyundur ve s ile oluşan strateji açıkça altoyun için geriye-doğru tümevarım stratejisidir. Sonuçta, Kuhn teoremi uygulanarak, s stratejisinin Nash dengesi oluşturdurğu gösterilebilir. Daha sonra, her pür stratejili altoyun kusursuz dengenin geriye-doğru tümevarım stratejisi olduğu gösterilmelidir. s; alyoyun kusursuz olsun. s stratejisinin geriye-doğru tümevarım algoritması ile türetildiğini doğrulamak yeterlidir. Sondan önceki karar noktasında bir oyunculu altoyun tanımlanmaktadır çünkü s altoyun kusursuzdur ve oyuncu için ödemesini maksimize eden seçimi atamalıdır. Sonuçta, s tarafından belirlenen eylem geriye-doğru tümevarım algoritması ile tutarlıdır. Sondan önceki karar noktasını takip eden herhangi bir x karar noktasında, onu takip eden bütün noktalardaki aştoyunlar için s stratejisi geriye-doğru tümevarım eylemini belirlemektedir. s, bu altoyundaki Nash dengesine neden olduğundan, ι(x) oyuncusu için x noktasında ödemeyi maksimize eden seçimi belirtmek zorundadır. Sonuçta, herhangi bir x noktasında belirlenen eylem de geriye-doğru tümevarım algoritması ile tutarlıdır. Bazı stratejik biçimdeki oyunlarda pür stratejili Nash dengesi varolmayabilir, pür stratejili altoyun kusursuz dengesinin her zaman varolmasına gerek yoktur. Şekil (??) deki örnek söz konusudur. Oyundaki tek altoyun oyunun kendisi olduğundan, pür stratejili altoyun kusursuz denge kümesi pür strateji Nash dengeleri kümesi ile kesişmektedir. Bununla beraber, dört olanaklı ortak pür strateji arasından hiçbirinin Nash dengesi olmadığını doğrulamak kolaydır. 2 L R 1 l r l r (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) Şekil 1.19: Pür Stratejili Altoyun Kusursuz Dengenin Olmaması En azından bir tane altoyun kusursuz dengenin varlığını garanti etmek

27 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 27 için, oyuncuların raslantısal olarak uynadığı kabul edilmelidir. Genişleyen biçimdeki oyunlarda raslantısallaşma basit şekilde modellenmektedir. Karma Stratejiler, Davranışsal Stratejiler ve Kusursuz Recall Stratejik biçimdeki oyunlarda, bir oyuncunun davranışı tek doğal yolla rastlantısallaştırılmaktadır - her pür stratejiye olasılık atamak ve her strateji atanmış olasılığı ile seçen raslantısallaşmış öneriler oluşturmaktadır (Karma stratejili oyunlar). Ancak, genişleyen biçimdeki oyunlarda davranışların raslantısallaşması hakkında iki yol vardır. Birincisi, stratejik biçimdeki oyunlarda kullanılandır. Her pür stratejiye olasılık atama ve oyun başlamadan önce pür stratejilerin birini seçmek için uygun raslantısal bir araç oluşturmaktır. Bu yöntemle, bir kere raslantısallaşmak yeterlidir. Bir kere pür strateji seçildiğinde, oyunun tamamı için davranış pür strateji ile belirlenmektedir. Başka raslantısallaşmaya gerek yoktur. İkinci yöntem, herhangi bir oyuncunun hareket zamanı geldiğinde raslantısallaşma aracı oluşturmasıdır. Bir kere raslantısallaşma yerine, her noktada elverişli eylemlerin kümesi üzerinde raslantısallaşılmaktadır. Birinci tip raslantısallaşmaya stratejik biçimdeki oyunlarda söylendiği gibi karma strateji denmektedir. İkinci tip raslantısallaşma davranışsal strateji olarak adlandırılmaktadır. Biçimsel olarak, i oyuncusu için m i karma stratejisi önceden olduğu gibi, s i pür stratejiler kümesi üzerinde olasılık dağılımıdır. Yani, her s i S i pür stratejisi için m i (s i ) [0, 1] ve s i S i m i (s i ) = 1 olduğu açıktır. Diğer taraftan, b i davranışsal stratejisi, her i oyuncusunun enformasyon kümesi için burada elverişli eylemler üzerinde olasılık dağılımı sağlamaktadır. Yani, b i (a, I) [0, 1] ve a A(I) b i(a, I) = 1, i oyuncusuna ait her enformasyn kümesi için, olacaktır. A(I); I enformasyon kümesinde elverişli eylemler kümesini belirtmektedir. Bir oyun ağacında, davranışsal stratejiler olasılıklar parantezler içinde verilerek gösterilmetkedir. 1. oyuncu için davranışsal stratejiler 1/2 olasılıkla L ve R seçimi olarak gösterilmektedir. Basit şekilde, her davranışsal strateji için buna denk gelen bir karma strateji vardır. Örnek: Şekil (??)a ve (??)c 1. oyuncu için üç pür strateji göstermektedir; LL, RL ve RR. Bu pür stratejilere sırasıyla 1/2, 1/3 ve 1/6 olasılık değerleri yerleştirilerek karma strateji durumuna getirilsin. Bu durumda karma

28 28 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR q 2 q 1 Şekil 1.20: Şekil 7.24 Jehle p. 304 strateji davranışsal stratejiye denk midir? Bulmak için, ulaşıldığında elverişli olan enformasyon kümesinde koşullu eyleme atanmış olasılıkları hesaplamak kolaydır.örneğin, 1. oyuncunun ilk enformasyon kümesine ulaşıldığından dolayı, L eylemini seçme olasılığı 1/2 olacaktır. 1. oyuncunun ikinci enformasyon kümesi için, sadece Rl ve Rr pür stratejileri ile ulaşılabilir. Sonuçta, seçilen pür stratejilere koşullu olduğundan, 1. oyuncunun ikinci enformasyon kümesinde L stratejisinin seçilme olasılığı 2/3 dür ve R stratejisininki 2/3 olacaktır. Bunlarla veraber, düşünüldüğünde, davranışsal stratejiye denktir. Karma stratejinin ve davranışsal stratejinin denk olduğu oyunlarda, bu özelliklğe kusursuz recall denmektedir. Tanım 1.13 (Kusursuz Recall). : Herhangi iki nokta x ve y = (x, a, a 1,..., a n ) tek bir oyuncuya ait ise, genişleyen biçimdeki oyunun kusursuz recall durumu vardır. O zaman aynı enformasyon kümesinde y gibi her noktada x gibi aynı enformasyon kümesinde bazı z noktaları için z = (w, a, a 1,..., a n) biçimi vardır. Kusursuz recall; oyunun tarihçesi hakkında her oyuncu geçmişte ne biliyorsa her zaman hatırlayacağını söylemektedir. Tanım gereği, hiç bir oyuncu geçmişte oynadığı eylemi hiçbir zaman unutmayacaktır. Şekil (??) kusursuz recall olmaksızın genişleyen biçimdeki bir oyunu göstermektedir. Ll ve Rr pür stratejilerinin herbirine yerleştirilen 1/2 olasılıklı

29 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 29 karma stratejiye denk olan davranışsal strateji yoktur çünkü herhangi bir davranışsal strateji 1. oyuncunun ilk enformasyon kümesinde hem L hem de R seçimlerine pozitif olasılıklar atamak zorundadır ve 1. oyuncunun ikinci enformasyon kümesinde hem l hem de r seçimlerine de pozitif olasılık atamak zorundadır fakat orjinal karma stratejinin yapamadığı (L, r) ve (R, l) terminal noktalarına da pozitif olasılıklar atanacaktır. 1 x L R 1 l y r l w r Şekil 1.21: Kusursuz Recall Olmadan Oyun Kusursuz recall olan oyunlarda karma ve davranışsal stratejilerin denkliğinden dolayı, hangisi uygunsa o kullanılmaktadır. Sonuçta, her oyuncunun davranışsal stratejiler kümesine odaklanılmalıdır. Tanım 1.14 (Altoyun Kusursuz Dengesi). Γ oyununun her altoyununda ortak davranışsal strateji b Nash dengesine neden oluyorsa, bu; sonlu genişleyen biçimdeki oyunun altoyun kusursuz dengesidir. Davranışsal ve karma stratejiler denk olduğundan, davranışsal strateji Nash dengesi oluşturacaktır. Teorem 1.6 (Selten(1965)). Her sonlu genişleyen biçimdeki kusursuz recall olan oyun altoyun kusursuz dengeye sahiptir. Proof. İspat geriye-doğru tümevarım tekniğini anımsatmaktadır. Oyunun sonundan başına doğru safhalarda çalışarak istenen davranışsal strateji oluşturulmalıdır. Kendinden başka altoyunu olmayan bir altoyun olsun. Bu, oyun sonlu olduğundan her zaman olanaklıdır. Karma stratejilerde altoyunun her zaman Nash dengesi olduğundan ve oyun kusursuz recall olduğundan, oyunun karma stratejiye denk olan davranışsal stratejisi vardır. Denk olduğundan davranışsal strateji de Nash dengesi oluşturacaktır. İspat süreci şekil (??) de gösterilmektedir. Nash dengesini bulmak için, önceki örneği normal biçimde gösterelim. Altı çizili oyuncuların en iyi cevaplarıdır. Buna göre;

30 30 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR q 2 q 1 Şekil 1.22: Şekil 7.26 Jehle p. 30? 2. Oyuncu E S H, H ±, ± ±, 0 1. Oyuncu H, L ±, ±, 0 L, H, ±, 0 L, L,, 0 Çift altı çizili skorlar Nash dengesidir. Buna göre Nash dengeleri aşağıdaki gibi olacaktır. Firma 2 Firma 1 E1 (H, H) E E2 (H, L) E E3 (L, H) S Görüldüğü gibi, üç Nash dengesi vardır. Ancak E2 ve E3 dengeleri problemlidir. Şekil (??) de sol taraftaki noktada, 2. firma girdiğinde, 1. firma için H en iyi altoyun eylemidir. Aynı şekilde 2. firma girmediğinde de H en iyi altoyun eylemidir. H eylemi her iki altoyun için de egemendir. L ile ilgili problem mahkum eylemin oynanması ile ilgilidir. E2 ve E3 dengeleri kredibilitesi olmayan eylemleri barındırmaktadırlar.

31 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 31 Tanım Altoyun-Kusursuz Nash Dengesi. Genel biçimdeki bir oyunda stratejiler kümesi yalnızca ve yalnızca bu stratejilerle oluşmuş eylemler bütün altoyunlarda Nash dengesi oluşturuyorsa altoyun-kusursuz Nash dengesidir. Nash dengesi statik, altoyun-kusursuz Nash dengesi dinamik oyunlar için kullanılmaktadır. Geriye-doğru tümevarım yöntemi ve altoyun-kusursuz Nash dengesi kusursuz bilgi altındaki oyunlarda aynıdır. Yani, geriye-doğru tümevarım ile bulunan denge altoyun-kusursuz Nash dengesidir. Herhangi bir altoyunkusursuz Nash dengesi geriye-doğru tümevarım argumanını taşımaktadır. Altoyun kusursuzlaşması daha geneldir. Kusurlu bilgi altındaki oyunlara da uygulanabilir ancak geriye-doğru tümevarım argumanı kullanılamaz. Örnek: Şimdiye kadar kesikli eylemli ve strateji uzaylı oyunları incelenmiştir. Şimdi sürekli fonksiyonlarla iki oyunculu bir oyun incelenecektir. Oyunun yapısı basittir. 1. oyuncu x 1 eylemini seçer, 2. oyuncu seçimi gözlemler ve x 2 eylemini seçer. Oyuncular π 1 (x 1, x 2 ) ve π 2 (x 1, x 2 ) fonksiyonları ile tanımlı skorları elde ederler. Bu oyunu çözmek için, 2. oyuncunun oynadığı altoyunla başlanmaktadır. 2. oyuncunun birinci-dereceden koşulu aşağıdaki şekilde olacaktır; π 2 (x 1, x 2 ) x 2 = 0 (1.3) 2. oyuncunun x 1 değişkenine en iyi cevabı olarak x 2 = R 2 (x 1 ) yazılacaktır. Altoyunda 2. oyuncunun stratejisi için, 1. oyuncunun kararını incelendiğinde, ortak rasyonellikten hareketle, 1. oyuncunun ödemesi, π 1 = π 1 (x 1, R 2 (x 1 )) olacaktır. 1. oyuncunun en iyi cevabı için aşağıdaki şekilde olacaktır, π 1 (x 1, R 2 (x 1 )) x 1 = π 1 x 1 + π 1 x 2 R 2 x 1 (1.4) Eşitlik (??) da hem direk hem de indirek etkiler vardır. Indirek etki, x 1 deki değişimin x 2 seçimini değiştirmesinden böylelikle değişimini etkilemesinden doğmaktadır. Stratejik etki statik ile dinamik oyun dengesi arasındaki farktır. Sayısal bir örnek ile bu fark daha rahat görülmektedir. π 1 = 10x 1 x 2 1 x 1 x 2 3x 1 (1.5) π 2 = 10x 2 x 2 2 x 1 x 2 3x 2 (1.6)

32 32 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Statik oyunda en iyi cevaplar şu şekilde olacaktır, x 1 = R 1 (x 2 ) = 1 2 (7 x 2) ve x 2 = R 2 (x 1 ) = 1 2 (8 x 1) (1.7) Eşanlı olarak çözüldüğünde, statik denge x 1 = 2; π 1 = 4 ve x 2 = 3; π 2 = 9 bulunacaktır. Şimdi 1. oyuncunun hareket ettiği dinamik oyunu düşünelim. Eşitlik (??) deki en iyi cevapla birinci oyuncunun ödemesinde yerine konduğunda aşağıdaki eşitliğe ulaşılacaktır, π 1 = π 1 (x 1, R 2 (x 1 )) = 10x 1 x (8 x 1) 3x 1 = 3x x2 1 (1.8) Birinci-dereceden kosullar aşağıdaki şekilde olacaktır, π 1 (x 1, R 2 (x 1 )) x 1 = 3 x 1 (1.9) Eşitlik (??) 2i çözüp, 2. oyuncunun cevap fonksiyonunda yerine konduğunda; ve sonuçlar ödeme fonksiyonlarına geçirildiğinde, dinamik oyunun dengesi, x 1 = 3; π 1 = 4.5 ve x 2 = 2.5; π 2 = 6, 25 olacaktır. Görüldüğü gibi, dinamik oyunda 1. oyuncu ilk hareket eden avantajından yararlanmıştır. Ancak, her ilk hareket eden avantajlıdır diye bir durum söz konusu değildir. Genellikle oyunun yapısı ödemeler de değişime bağlı olduğundan dolayı hareket sırasına göre de avantajlar değişmektedir Geriye-Doğru Tümevarım ve Altoyun Kusursuzluğunun Eleştirisi Bu bölüm mantıklı bir oyun için gerekli olan geriye-doğru tümevarım ve altoyun kusursuzluğu kısıtlamalarını tartışmaktadır. Bu kavramlar basit iki safhalı kusursuz enformasyona sahip oyunlarda zorlayıcı görünmektedir (Stackelberg Duopolü). Ancak, bir çok oyuncunun olduğu yada her oyuncunun çeşitli kereler oynadığı durumlarda daha da karmaşıklaşmaktadır. Böyle durumlarda denge saflaştıması daha az zorlayıcıdır.

33 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 33 Geriye-Doğru Tümevarım Eleştirisi Şekil (??) deki I-oyunculu oyun incelensin. Her oyuncu i < I; D oynayarak oyunu bitirmekte ya da A oynayarak i + 1. oyuncuya hareketi devretmektedir. 1 A 2 A 3 I-1 A I (2,2,...,2) D D D D D (1,1,...,1) (1/2,...,1/2) (1/3,...,1/3) (1/(I-1),...,1/(I-1)) (1/I,...,1/I) Şekil 1.23: Tirole Örnek i oyuncusu D stratejisini oynarsa, her oyuncu 1/i ödemesini alacaktır, bütün oyuncular A stratejisini oynarsa, her oyuncu 2 ödemesini alacaktır. Birkerede sadece tek oyuncu hareket ettiğinden, bu kusursuz enformasyonlu bir oyundur ve geriye doğru tümevarım algoritması kullanılabilir ve kestirim olarak bütün oyuncuların A stratejisini oynayacağı sonucuna varılmaktadır. I küçükse, bu mantıklı bir kestirim olarak görülmektedir. I çok büyükse, 1. oyuncu olarak dayanıklılık (robustness) argümanı temelinde D oynanacaktır. Birincisi, 2 ödemesi I 1 oyuncusunun A oynamasını gerektirmektedir. Diğer oyunculardan bağımsız olarak, A oynamanın olasılığı p < 1 ve diğer oyuncuların A oynamasının olasılığı ise, p I ise, p yeterince büyük olsa bile, p I çok küçük olacaktır. İkincisi, 2. oyuncu da aynı şeylerle ilgilenecektir, yani 2. oyuncu gelecekteki oyuncuların hatalarına karşı korunmak için D oynayabilir ya da 3. oyuncu kasıtlı olarak D oynayabilir. 1. oyuncu 2. oyuncunun o da 3. oyuncunun... o da I. oyuncunun ödemesini bildiği hipotezinin daha uzun zinciri geriye-doğru tümevarım uzun zincirince varsayılmaktadır. Şekil (??) de I = 2 en azından 2. oyuncunun optimal seçiminin A olduğunu bildiği varsayılmaktaadır, I = 3 ise, sadece 1. ve 2. oyuncu 3. oyuncunun ödemesini bilmek zorunda değildir, ek olarak 1.

34 34 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR oyuncu 2. oyuncunun 3. oyuncunun ödemesini bildiğini bilmek zorundadır, böylece 1. oyuncu 3. oyuncunun oynamasınını 2. oyuncunun tahmininden tahmin edebilir. 1. oyuncu, 2. oyuncunun 3. oyuncunun oynamasını yanlış şekilde tahmin edeceğini düşünürse, 1. oyuncu D stratejisini seçebilir. Geleneksel olarak, denge analizi ödemelerin ortak bilgi olduğu varsayımı ile yapılmaktadır; böylece keyfi şekilde uzun zincirler k oyuncusunun bildiğini j; j oyuncusunun bildiğini i bilmektedir geçerlidir, fakat bu biçimdeki çok uzun zincirleri gerektiren sonuçlar ortak bilgi varsayımını daha az gerektiren sonuçlardan daha az zorlayıcıdır. 1 A 2 1 A 1 2 A A A 4 5 (5,5) D 1 D 2 D 3 D 4 D 5 (1,0) (0,1) (3,0) (2,4) (6,3) Şekil 1.24: Tirole Örnek I çok büyükse şekil (??) deki örnek çok sorunludur. Geriye-doğru tümevarım ile ikinci komplikasyon ardıl şekilde hareket eden aynı oyuncularda da çıkabilir. Şekil (??) deki oyun buna örnektir. Oyundaki geriye-doğru tümevarım çözümü her enformasyon kümesinde hareket sırası gelen oyuncunun D oynamasıdır. Çözüm zorlayıcı mıdır? Beklentilerin aksine, 1. oyuncu ilk hareket olarak A 1 stratejisini oynasın. 2. oyuncu ne oynayacaktır? Geriye-doğru tümevarım, D 2 stratejisinin oynanacağını söylemektedir çünkü 1. oyuncu D 3 stratejisine şans verilirse seçecektir fakat geriye-doğru tümevarım 1. oyuncunun D 1 oynaması gerektiğini de söylemiştir. Bu oyunda, 2. oyuncunun en iyi eylemi 1. oyuncu kestirilen A 1 oynamasından saparsa, kendisinin 1. oyuncunun gelecekteki oynaması hakkındaki beklentilerine dayalıdır: 2. oyuncu 1. oyuncunun A 3 oynama şansının en az yüzde 25 olduğunu düşünüyorsa, o zaman 2. oyuncu A 2 oynamalıdır. 2. oyuncu bu inanışı nasıl biçimlendirmektedir ve hangi inanışlar mantıklıdır? A 1 oynama kararını veren 1. oyuncu geriye-doğru tümevarımın zıtlığına rağmen nasıl oynadığını 2. oyuncu nasıl kestirmelidir? A 2 oynama iyi bir bahis olarak görünmektedir.

35 1.2. GENIŞLEYEN BIÇIMDEKI OYUNLARDA DENGE 35 İktisat yazını dinamik oyunların analizinde geriye-doğru tümevarım ve onun saflaştırılmış halini kullanmaya devam etmektedir. Son zamanlarda, şüpheci yaklaşımlar söz konusudur. Birçok yazar 0 olasılık atandığında mantıklı oynayışların bu tip davranışları (stratejileri) denemeyeceğini belirtmektedir çünkü teori bu olaylara koşullu kestirimlerini biçimlendirmek için oyunculara bir yöntem sağlamamaktadır. Ödeme belirsizliği tam bir teori elde etmenin tek yolu değildir. Bazen oyuncuların küçük hata yada titreme yaptığı genişleyen biçimdeki oyunlarda yorumlanarak bu alana ait teoriler oluşturulabilir. Altoyun Kusursuzluğun Eleştirisi Altoyun kusursuzluğu geriye-doğru tümevarımın bir uzantısı olduğundan, tartışılan eleştiriler burada da geçerlidir. Bundan başka, altoyun kusursuzluğu, oyuncuların hepsinin altoyunda oynadığını kabul etmesini gerektirmektedir (Bu oynama geriye-doğru tümevarım argümanı tarfından kestirilse bile). Bu durum Rabin (1988) tarafından vurgulanmıştır, altoyunun denge dışı patikasında hangi Nash dengesinin olacağı ile uyuşmayan oyunculara izin veren daha zayıf denge saflaştırması söz konusudur. Bu durumun yarattığı farkı görmek için, üç-oyunculu oyun düşünülsün. Birinci safhada, 1. oyuncu L oynayarak oyunu sonlandırıp (6,0,6) ödemeleri alınacak ya da R oynayarak 2. oyuncuya hareket imkanı verecektir. 2. oyuncu ya R oynayarak oyunu sonlandırıp (8,6,8) ödemeleri alınacak ya da L oynayarak 1. ve 3. oyuncunun oynayacağı eş-anlı koordinasyon oyununa girilecektir. Koordinasyon oyununda F ve G stratejileri seçilecektir. Farklı seçimlerde her ikisi 7 alıp, 2. oyuncu 10 alacaktır. Seçimler eşleştiğinde bütün oyuncular 0 elde edeceklerdir. Bu oyun şekil (??) de gösterilmektedir. Üçüncü safhadaki 1. ve 3. oyuncu arasındaki koordinasyon oyununun üç Nash dengesi vardır. İkisi pür stratejidir (7,10,7) ödemesiyle biri karma stratejidir ve ödemesi 3 1, 5, 3 1 dir. 1. ve 3. oyuncunun başarılı şekilde 2 2 koordine olduğu bir denge belirlenirse, 2. oyuncu 7 beklenen ödemesiyle L oynayacak ve 1. oyuncu R oynayacaktır. Bu durumda beklenen ödeme 8 olacaktır. Böylece, bütün altoyun kusursuz dengelerinde 1. oyuncu R stratejisini oynamaktadır. Rabin (1988) in söylediği gibi, 1. oyuncu için L oynamak yine de mantıklı olabilir. Üçüncü safhada koordine edilen bir durumu görmezse ve ulaşılan bu safhaya koşullu 3 1 beklenen ödemesi ile L oynanabilir. 2

36 36 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 1 L R 2 (6, 0, 6) L R 3 F G (8, 6, 8) 1 F G F G (0, 0, 0) (7, 10, 7) (7, 10, 7) (0, 0, 0) Şekil 1.25: Örnek (Fudenberg ve Tirole(1991) s.100) 1.3 İki-safhalı Oyunlar İki safhalı oyunlar, oyunların birbirini takip ettiği durumları içeren oyunlardır. Birçok iktisadi uygulamada, birinci oyun çevreyi (ikinci oyunun oynandığı) tanımlamaktadır. Örneğin, birinci oyun firmaların ürün kalitesini (ya da üretim kapasitesini) seçtiği, ikinci safha ise, fiyatı seçtikleri oyunlar olabilir. İlk safha seçimi ikinci safha fiyatlandırma kararının kar sonuçlarını belirleyecektir. Bu bölümdeki analizler oyunların eşanlı olduğu ancak ardışık geldiği durumlara odaklanacaktır. Birinci safhada 1. ve 2. oyuncu x 1 ve x 2 eylemini eşanlı seçmektedir. 3. ve 4.oyuncu bu seçimi gözlemleyip ikinci safhada x 3 ve x 4 eylemlerini eşanlı seçmektedirler. π 3 = π 3 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (1.10) π 4 = π 4 (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (1.11) Birinci-dereceden koşullar aşağıdaki gibi olacaktır. π 3 x 3 = 0 ve π 4 x 4 = 0 (1.12) Eşanlı çözüm ile ikinci safha dengesi birinci safha eylemine koşullu bir fonksiyon olacaktır. Yani, x 3 = R 3 (x 1, x 2 ) ve x 4 = R 4 (x 1, x 2 ) yazılacaktır. 3. ve 4. oyuncuların reaksiyon fonksiyonlarında ikinci safhadaki oyuncularin stratejileri bulunmaktadır. Burada 1. ve 2. oyuncularin da optimal stratejilerini bulmak gerekmektedir. Buna göre; ödemeler aşağıdaki şekilde

37 1.3. İKI-SAFHALI OYUNLAR 37 yazılacaktır; Birinci-dereceden koşullar, π 1 = (x 1, x 2, R 3 (x 1, x 2 ), R 4 (x 1, x 2 )) (1.13) π 2 = (x 1, x 2, R 3 (x 1, x 2 ), R 4 (x 1, x 2 )) (1.14) π 1 = π 1 + π 1 R 3 + π 1 R 4 = 0 x 1 x 1 x 3 x 1 x 4 x 1 (1.15) π 2 = π 2 + π 2 R 3 + π 2 R 4 = 0. x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 x 2 (1.16) İlk safha dengesi (x 1, x 2) strateji çiftinin birinci dereceden koşullarının eşanlı çözülmesi ile bulunmaktadır. Oyunun bütün çözümü altoyun Nash dengesidir ve dört oyuncunun da birinci-dereceden koşulları sağlanmaktadır. Bu denge aşağıdaki şekilde bulunacaktır, E = (x 1, x 2, x 3 = R 3 (x 1, x 2 ), x 4 = R 4 (x 1, x 2 )) (1.17) Stackelberg Duopolü Stackelberg duopol oyunu şöyledir. Özdeş ürünler üreten iki firma vardır: firma 1 ve firma firma q 1 0 miktarı seçmekte ve 2. Firma q 1 miktarını gözlemlemekte ve daha sonra q 2 miktarını seçmektedir. i firmasının sonuçlanan ödemesi yada karı aşağıdaki şekildedir; π i (q 1, q 2 ) = q i (p(q) c i ) (1.18) q = q 1 + q 2 ve p(q) = A q piyasayı süpüren fiyatlardır. q toplam çıktı ve c i ; i firması tarafından ürünün üretilmesinin marjinal maliyetidir. Yani, her i firmasının karı aşağıdaki gibi olacaktır; π i (q 1, q 2 ) = q i (A q 1 q 2 c i ) (1.19) Oyunun iki-kişilik iki safhalı ve kusursuz enformasyonlu bir ardışık oyun olduğunu belirtelim. Oyunu çözmek için geriye tümevarım yöntemi kullanıldığında, ilk olarak 1. firmanın her çıktı seviyesine karşılık gelen 2. firmanın reaksiyonu bulmak gerekmektedir. Buradan, 1. firmanın q 1 çıktısı veriyken 2. firmanın karını maksimize eden q2 çıktısı bulunmalıdır. Yani, q2 = q2(q1) aşağıdakini çözmektedir.

38 38 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR π 2 (q 1, q 2) = max q i 0 π 2(q 1, q 2 ) (1.20) π 2 = (q1, q 2) = (q 2 ) 2 + (A q 1 c 2 )q 2 olduğundan, birinci ve ikinci türevlerini q 2 çıktısına göre alındığında aşağıdaki değerler bulunacaktır; ve π 2 (q 1, q 2 ) q 2 = 2q 2 + A q 1 c 2 (1.21) 2 π 2 (q 1, q 2 ) q 2 2 = 2 < 0 (1.22) Böylece, birinci ve ikinci testlere göre π 2(q 1,q 2 ) q 2 = 2q 2 + A q 1 c 2 = 0, eşitliğinin çözümüdür. q 2 için çözüldüğünde aşağıdaki tepki fonksiyonu bulunacaktır; q2 = A q 1 c 2 (1.23) 2 1. firma q 1 miktarını seçerse 2. firmanın q2 miktarını seçeceğini beklemelidir. Bundan dolayı, 1. firma aşağıdaki fonksiyonu maksimize etmek için q 1 miktarını q 1 kısıtına göre seçmek isteyecektir. π 1 (q 1, q 2) = q 1 (A q 1 q 2 c 1 ) = q 1 (A q 1 A q 1 c 2 2 c 1 ) (1.24) Birinci ve ikinci testlerini tekrar kullanarak aşağıdaki eşitlikler elde edilecektir; ve π 2 (q 1, q2) = q 1 + A + c 2 2c 1 q 1 2 (1.25) 2 π 2 (q 1, q 2 ) q 2 2 = 1 < 0 (1.26) Bundan dolayı, π 1 (q 1, q2) fonksiyonunu maksimize eden q1 = A+c 2 2c 1 2 eşitliğidir. Bu değeri (??) de yerine konulduğunda, q2 = A 3c 2+2c 1 bulunur. 2 Bu, Stackelberg oyununun geriye-doğru tümevarım yöntemi ile çözümüdür. 1. firmanın denge stratejisi q1 = A+c 2 2c 1, 2. firmanınki q 2 2 = A 3c 2+2c 1 olur. 2

39 1.3. İKI-SAFHALI OYUNLAR 39 Bu sonuçları Cournot duopolü oyunundaki denge sonuçlarıyla karşılaştırmalıdır. 1. firmanın karının Stackelberg duopol oyununda Cournot duopol oyunundan daha fazla olduğu bulunacaktır. Aynı zamanda, 2. firmanın karı Stackelberg duopol oyununda Cournot duopol oyunundan daha azdır. Stratejik şekilde oynamanın gereği, ilk olarak hareket etme 1. firmaya belirli bir avantaj verdiği görülmektedir. Bu, ardışık oyunlarda sık sık olan bir gerçektir ve ilk hareket edenin avantajı olarak ifade edilmektedir. Buradaki sezgi, 2. firmanın 1. firmanın yaptığı taahhüde (commitment) göre hareket ettiğidir ve ilk hareket ederek, 1. firma kendisine en avantajlı stratejiyi taahhüt etmekte, ve böylece kendisini bir köşeye götürmektedir Optimal Sözleşmeler: Kusursuz Enformasyon Durumu Bu örnek iktisatta ahlaki davranış üzerine yazının kalkış noktasıdır. Formüle edilen yolda ahlaki davranış yoktur, fakat bu yazında temel sonuçları göstermek için aynı modelin bir versiyonu kullanabilir. Bu, A vekiline iş yaptırmak için olanaklı sözleşmeler düşünen P amirinin (principal) olduğu iki kişi ardışık bir oyundur. Vekilin teklif edilen sözleşmeyi kabul edip etmeme seçimi vardır. Vekil sözleşmeyi kabul ederse, o zaman ya çok çalışabilir (H) ya da tembellik (L) edebilir. H ve L dolarla ölçüldüğü varsayılsın. Vekil çok çalıştığında, proje 0.9 olasılıkla amire 100$ getirecektir 0.1 olasılıkla 10$ getirecektir. Vekil tembel ise, amir 0.1 olasılıkla 100$ yüksek değeri ve 0.9 olasılıkla 10$ düşük değeri alacaktır. Bu oyunda, amir, vekilin en çok çalışıp ya da tembellik yapmasını gözlemlesin. Böylece oyun kusursuz amir vekilin çok çalışıp az çalışmasına koşullu olan bir sözleşme teklif edebilir; böylece sözleşme W ( ) ücret fonksiyonu ile sunulmuştur. Bu fonksiyon iki değer alır, W (H) ve W (L). Anlatılan amir-vekil oyunu şekil (??) de gösterilmiştir. İşçinin çok çalıştığı ve yüksek değer olduğu durumda, amire ödeme, 100$ - W (H) ve vekil W (H) H alacaktır H > L olarak varsayılsın. Açıkçası, vekile ödeme amirin teklif ettiği sözleşmeye bağlıdır. Amir bunu bilmekte ve işçinin alacağı sözleşmeyi teklif etmektedir. Bununla beraber, amir hem işçinin çok hem de az çalışacağı sözleşmeyi teklif etmek zorundadır. Amir işçinin çok çalışmasını isterse aşağıdaki koşulu sağlamak zorundadır. W (H) H W (L) L ve W (H) H 0 (1.27) W (H) H W (L) L koşulu işçinin çok çalışmasını garanti etmektedir.

40 40 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR (100 W (H), W (H) H) 0.9 N H 0.1 (10 W (H), W (H) H) A (100 W (H), W (H) H) Kabul L 0.1 N A 0.9 (10 W (H), W (H) H) Red (0, 0) Şekil 1.26: Giriş Oyunu (böyle yaparak yüksek ödemeyi alacağından). Diğer koşul vekilin (işçinin) sözleşmeyi kabul ederek daha iyi olacağını belirlemektedir. Bunu yapan bir sözleşme aşağıdaki gibidir. W (H) > H, W (H) = H ve W (L) = L (1.28) W (H) sembolü W (H) değerinin H değerine eşit kadar çok yakın olduğu anlamına gelmektedir. Tanımlana sözleşme vekili çok çalıştırmaya neden olacak bir sözleşmedir. Amirin beklenen ödemesi (yaklaşık) olarak hesaplanabilir. 0.9 [100 W (H)] [10 W (H)] = 91 W (H) (1.29) Vekil bu durumda küçük bir miktar vermektedir - hemen hemen sıfıra eşittir. Bu sözleşme vekilin daha çok çalışmasına neden olmaktadır ve amir vekilin çok çalışmasına koşullu maksimumu elde etmektedir. Diğer sözleşme amir işçinin daha tembel olabileceği bir tane teklif ettiğidir. Bu durumda, sözleşme aşağıdaki koşulu sağlamalıdır: W (L) L W (H) H ve W (L) L 0 (1.30)

41 1.3. İKI-SAFHALI OYUNLAR 41 Önceki gibi, bu koşullar işçinin tembel olarak en yüksek ödemeyi almasını garanti etmektedir ve sözleşmeyi kabul etmeyi seçecektir. Bunu yapan bir sözleşme W (H) = H ve W (L) = L olan bir sözleşmedir. Amirin beklenen ödemesi aşağıdaki gibi olacaktır; 0.1 [100 W (L)] [10 W (L)] = 19 W (L) (1.31) Bu işçi tembelse, amirin kabul edebileceği maksimumdur. Böylece, amir, 91 H > 19 L ya da H L < 72 olduğunda amirin çok çalışmasını tercih etmektedir. Aksi takdirde, amir işçinin tembel olmasını isteyecektir. Böylece, 0 < H L < 72 varsayılarak, ardışık oyuna geriye-doğru tümevarım yöntemi aşağıdaki çözümü oluşturmaktadır. 1. Amir W (H) > H, W (H) = H ve W (L) = L sözleşşmesini teklif eder, 2. Vekil kabul eder ve çok çalışır H L > 72 ve L = W (L) < 19 durumunda, amir vekilin sözleşmeyi kabul edip tembel olacağı sözleşmeyi W (H) = H ve W (L) = L teklif edecektir Banka İflasları İki yatırımcı D kadar bir miktarı bankaya yatırmışlardır. Banka da bu mevduatı uzun dönemli bir projeye yatırım olarak kullanmıştır. Proje sona ermeden önce banka yatırımını tasviye etmesi için zorlanırsa, 2r kadarı kurtarılabilir (D > r > D/2). Banka yatırımın sona ermesini beklerse, proje R > D olarak, 2R kadar geri dönüş gerçekleştirecektir. Yatırımcıların bankadan paralarını çekmeleri için iki tarih vardır. 1. tarih bankanın yatırımının son ermeden önceki, 2. tarih sona erdikten sonraki bir tarihtir. Basitlik için, iskonto olmasın. Her iki yatırımcı da 1. tarihte paralarını çekmek isterlerse, herbiri r kadar elde edip oyun sona ermektedir. Sadece bir yatırımcı 1. tarihte parasını çekerse, bu yatırımcı D kadar diğeri 2r D kadar elde edip oyun sona erecektir. Son olarak, hiçbir oyuncu 1. tarihte parasını çekmezse, proje sona erecek ve yatırımcılar paralarını 2. tarihte çekebileceklerdir. Her ikisi de 2. tarihte paralarını seçerse, R ödemesini alacaklardır ve oyun sona erecektir. 2. tarihte sadece bir tane oyuncu parasını çekmek isterse, bu oyuncu 2R D kadar alacak ve diğeri D elde edecektir ve oyun sona erecektir. Sonuçta, her ikisi de paralarını çekmezlerse, banka her yatırımcıya R kadar verecek ve oyun sona erecektir. Bu oyunu oyun ağaçları

42 42 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR yerine matrislerle göstermek daha kolaydır. Buna göre, iki yatırımcının 1. ve 2. tarihlerdeki ödemeleri iki matris ile gösterilebilir. 2. Yatırımcı CEK BIRAK CEK r,r D,2r D 1. Yatırımcı BIRAK 2r D,D Diger Safha Tablo 1.1: 1. Tarih (Ilk Safha) 2. Yatırımcı CEK BIRAK CEK R,R 2R D,D 1. Yatırımcı BIRAK D,2R D R, R Tablo 1.2: 2. Tarih (Diger Safha) Oyunu analiz etmek için geriye doğru gitmek gerekmektedir. 2. tarihte normal biçimdeki oyunda, R > D olduğundan (ve böylece 2R > D olacağından, çek ; bırak stratejisini kesinlikle bastırmaktadır. Bundan dolayı oyunda tek bir tane Nash dengesi vardır. İki yatırımcı da parasını çekecektir ve ödemeleri (R, R) olacaktır. İskonto olmadığından, bu ödeme normal biçimdeki oyuna rahatlıkla aktarılabilir. Ödeme aktarılmış yeni normal biçimdeki oyun için çdeme matrisi şekil (??) gösterilmektedir. r < D olduğundan, (ve böylece 2r D < r olacağından), iki-periyotlu oyunun bu tek-periyotlu versiyonunda iki tane saf Nash dengesi vardır. 2. Yatırımcı CEK BIRAK CEK r,r D,2r D 1. Yatırımcı BIRAK 2r D,D R, R Tablo 1.3: Ödeme Aktarılmış Oyun Birincisi, her iki yatırımcı da paralarını çekerler ve (r, r) ödemesini alırlar ve ikincisi, her ikisi de paralarını bankada bırakırlar, böylece (R, R) ödemesini

43 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 43 elde ederler. Orjinal iki-periyotlu banka-iflası oyunu iki adet altoyun-kusursuz dengesine sahiptir. Bu dengelerden birincisi bankanın iflası ile sonuçlanacak durumları göstermektedir. 1. yatırımcı 2. yatırımcının 1. tarihte parasını çekeceğine inanıyorsa, o zaman 1. yatırımcının en iyi cevabı parasını çekmektir. Halbuki paralarını bırakarak daha iyi bir noktaya geçebilirler. Banka-iflası oyunu mahkumlar çıkmazı oyunundan daha farklıdır. Ancak, her iki oyunun da Nash dengeleri sosyal olarak optimal olmayan noktalardır. Farklı olarak mahkumlar çıkmazında sosyal açıdan optimal olmayan bu nokta bir tanedir. Banka-iflası oyununda etkin olan ikinci bir denge söz konusudur. Böylelikle, banka iflasının ne zaman gerçekleşeceği bilinememekle birlikte, bir denge fenomeni olarak oluşabilme olasılığının varlığı söz konusudur Tarifeler ve Kusurlu Uluslararası Rekabet İki özdeş ülke olsun. 1.4 Tekrarlı Oyunlar Tekrarlı oyunlar da dinamik oyunların önemli bir tipidir. Mahkumlar çıkmazı veya Cournot oligopol modeli incelenebilir. Bu modellerde oyuncular statik oyunda bir kere eyleme geçmektedirler. Ancak birçok iktisadi uygulamada oyuncular belirli bir zaman periyodunda oynamaktadırlar. Ardışık zaman periyotlarında oyun tekrarlanmaktadır. Yani, dinamik oyun statik oyunun tekrarlı durumlarından oluşmaktadır. Bu tekrar önemli midir? Tekrarlı oyunun dengesi statik dengenin bir tekrarı mıdır? Tekrarlama tehdit ve söz olanağı olarak görülebilir mi?. Örneğin, statik mahkumlar çıkmazında her oyuncu iki strateji arasında seçim yapmaktadır; itiraf ya da inkar. Tekrarlı mahkumlar çıkmazında strateji uzayı daha karmaşık bir hal almaktadır. Bir oyuncu diğer oyuncunun geçmiş eylemleri üzerine koşullu eylemler oluşturmaktadır. Bir oyuncu oyunun geçmişinde diğer oyuncular itiraf etmişse itiraf için söz verebilir ya da geçmişte inkar edilmişse, inkar tehdidi verilebilir. Altoyun kusursuzlaştırması tekrarlı oyunların dengesini tanımlamada önemlidir. G statik bir oyun olsun. G(T ), G oyununun T kere tekrarlanmasıyla oluşan bir dinamik oyundur. Oyunun ödeme matrisi aşağıdaki şekildedir, C itiraf, D inkardır. Ödemeler R ödül, L kayıp, W kazanç, ve P cezalandırmadır. Aşağıdaki eşitsizlikler varsayılmaktadır:

44 44 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 2. Oyuncu C D C R,R L,W 1. Oyuncu D W,L P,P Tablo 1.4: Mahkumlar Çıkmazı W > R > P > L (1.32) ve R > W + L (1.33) 2 İlk eşitsizlik mahkumlar çıkmazı oyununu tanımlamaktadır. İkincisi ödülün her iki skoru de geçtiğini söylemektedir. Bildiğimiz gibi statik oyunun tek Nash dengesi inkardır. Oyun tekrarlanırsa denge değişir mi? Oyun T kere sonlu sayıda oynansın. Son oyunu düşünelim. Gelecek davranışıyla ilgili söz verme ve tehdit etme önemsizdir. Son periyottaki altoyun basit statik mahkumlar çıkmazıdır. Böylece, son altoyun için yalnızca denge her iki oyuncu için de inkardır. (T 1) periyodunu düşünelim. T zamanında işbirliği sözü her iki oyuncu da inkar edeceğinden anlamsızdır. Böylece (T 1) periyodunda tek denge inkardır. Buradan hareketle ilk oyuna kadar inildiğinde denge inkar olacaktır. Teorem 1.7. Sonlu Tekrarlı Oyunda Altoyun Nash Dengesi. G(T ) statik G oyununun T kere tekrarlı hali olsun. G oyununun tek bir Nash dengesi varsa, her oyuncu için G(T ) oyununun Altoyun Nash Dengesi her T periyotta G oyununun statik denge stratejisini oynamaktır. Sonsuz sayıda tekrarlı oyunlara bakıldığında ıskonto kavramı öne çıkmaktadır. Gelecekteki parasal ödemelerin bugünkü değeri söz konusudur. Bu eşdeğerler bugünkü değerde anlamını bulmaktadır. Sonsuz tekrarlı mahkumlar çıkmazının dengesini bulmak için, öncelikle geriye-doğru tümevarım argümanı kullanılmalıdır çünkü oyunun sonu yoktur. Bu oyunda oyuncunun stratejisi her t zamanında ne yapacağını belirtmektedir. Bu noktaya kadar oyunun bütün geçmişine koşullu eylemler söz konusudur. Bu noktada tetikleyici (trigger) stratejisi kullanılmaktadır. Tanım Tetikleyici Stratejiler. Sonsuz tekrarlı bir oyunda tetikleyici stratejisi aşağıdaki biçimdedir:

45 1.4. TEKRARLI OYUNLAR t = 0 zamanında işbirliği, 2. t > 0 zamanında bütün oyuncular bütün önceki periyotlarda işbirliği yaptıysa işbirliği, aksi takdirde inkar etmedir. Mahkumlar çıkmazından başka oyunlarda, işbirliği stratejisi statik Nash dengesinden daha yüksek skorlu bir strateji ve inkar stratejisi statik Nash dengesi stratejisidir. Teorem 1.8. Sonsuz Tekrarlı Oyunlarda Denge. G( ), G statik sonsuz tekrarlı oyunu ıskontolu olarak göstersin. O zaman, (a) Her oyuncu için G( ) oyununda statik denge stratejisini her periyotta oynayan en azından bir denge vardır. (b) Bugünkü değer yaklaşımından dolayı, G( ) dengesi statik Nash dengesinden daha büyük skorlara sahiptir. Teoremin ilk bölümü statik Nash stratejisinin tekrarlanması G( ) oyununun bir dengesidir. İkincisi, inkarın gelecekteki getirisi işbirliğinden az olduğundan, inkar optimal olmayabilir. Buna Folk teoremi denmektedir. Şimdi daha detaylı olarak tekrarlı oyunlar aşağıda incelenecektir. 2. Oyuncu t 1 t 2 s 1 5,5-3,8 1. Oyuncu s 2 8,-3 0,0 Tablo 1.5: Mahkumlar Çıkmazı Tablo (??) deki oyun mahkumlar çıkmazıdır. Yukarıda hikayesi anlatılmıştır. Tekrar etmek gerekirse, 1. ve 2. oyuncu polis tarafından ayrı iki hücreye konmuştur. Polis ikisinin de suç işlediğini bilmekte fakat yeterli kanıtı bulamamaktadır. Bundan dolayı polis şu teklifi yapacaktır; herbirine ortağını ispiyonlaması teklif edilecektir. Hiçbiri bunu yapmazsa hapise girmeyeceklerdir, herbiri diğerini ispiyonlarsa her ikisi de hapse girecektir. Birinin ispiyonlayıp diğerinin ispiyonlamadığı durumda birincisi hapse girmeyecek diğeri daha fazla hapiste kalacaktır. Her oyuncu olanaklı dört çıktıyı sıralamaktadır; en iyisi birinin ispiyonlayıp diğerinin ispiyonlamamasıdır. İkinci en iyi iki tarafında ispiyonlamamasıdır ve diğeri her ikisinin de ispiyonlamasıdır, en kötüsü ispiyonlanmışken ispiyonlamamaktır. s 1 ve t 1 ispiyonlamama ve s 2 ve

46 46 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR t 2 ispiyonlamadır. Böylece, tablo (??) deki oyun bu hikayeye uyacaktır. s 1 ve t 1 oyuncuların birbirleriyle işbirlikçi; s 2 ve t 2 işbirliksiz stratejileridir. Bu model iktisatta çokça kullanılmaktadır. Bu temel yapıda oyuncular daha fazla veya az işbirliği yapabilirler. Oyunculardan biri işbirliğinin seviyesini azalttığında, faydalanacak ve rakibi zor duruma düşecektir. Fakat ikisi birden işbirliği seviyesini düşürdüğünde, her ikisi de bundan zarar görecektir. Örneğin, Cournot oligopolünde, (bağımsız olarak) herbir firma piyasaya götürecekleri miktar seviyelerini seçmektedir. Tipik olarak bir firma üretimini arttırdığında, (daha fazla işbirliği) stratejisi karı artacak ve rakibininki düşecektir. Fakat her iki firmada üretimini arttırdığında zarar edeceklerdir. Yukarıda bulunduğu gibi, oyunun denge noktası (s 2, t 2 ) çiftidir. Denge kesinlikle baskın stratejilerin elenmesi yöntemiyle bulunmuştur ve aynı zamanda Nash dengesidir. Daha iyi bir çıktı seviyesi olduğundan, (s 1, t 1 ), denge etkin değildir Tekrarlı Oyunlar İşbirliğine Neden Olabilir: Folk Teoremi Hapishane zamanı kısa olsun ve iki mahkum tekrar tekrar suç işlesinler. Yani, oyuncular oyunu tekrarlı şekilde oynasınlar ve ödemeler beraber toplansın. Bu durum deney konusudur. Tekrarlı oyunlarda kısa dönem optimalitesi yerine uzun-dönem optimalitesi söz konusudur. 1. oyuncu s 1 yerine s 2 oynayarak kısa dönemde 2. oyuncunun avantajını almayı denesin, 2. oyuncu t 1 yerine t 2 oynayarak buna cevap verecektir. 1. oyuncu kısa dönemde optimize ederek daha az elde edeceğini hissedip uzun dönem kazancı için işbirliğini seçecektir. 2. oyuncu aynı yolla, işbirliğini seçecektir. Buradaki işbirliği altruism yada fondness den çıkmamaktadır, kaynağı polite davranıştan oluşan fayda ve zararların kendi-çıkarlarına uygun şekilde hesaplanmasından oluşmaktadır. Tekrarlı oyunlarda (mahkumlar çıkmazı örneğinde), iki oyuncu olsun. Sonsuza dek oynanan oyunda ödemler her safhada alınan ödemelerin ortalaması olsun. Yani, 1. oyuncunun ödemesi {u 1 (1), u 2 (2), u 3 (3),...} tarafından verilen bir dizidir. Altsimge oyuncunun kimliğini parantez içindeki sayı oyunun roundunun sayısını belirtmektedir. Dizinin limiti lim t 1 t t i=1 u 1(i) olacaktır ya da oyuncular sonsuza dek oynamaktadır ve ödemeler akımının değeri ödemelerin iskontolu toplamıdır. Yani, bazı α (0, 1) sayılar vardır ve 1. oyuncuya ödeme dizisinin değeri i=1 αi 1 u 1 (i) olacaktır. Ya da, üçüncü bir yol olarak, sonlu şekilde fakat tanımsız defa oynanan oyun ol-

47 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 47 sun. Örneğin, oyunun her roundundan sonra bir rulet çevrilsin. 0 ve 00 gelirse (38 de 2 şans)oyun bitsin, aksi takdirde oyun devam etsin. Daha genel olmak gerekirse, 1 q olasılık oyunun bitmesi ve q olasılık oyunun bir round daha devam etmesi olsun. O zaman, ödemeler dizisinin beklenen değeri {u 1 (1), u 2 (2), u 3 (3),...} aşağıdaki gibi olacaktır; q i 1 u 1 (i) i=1 q (0, 1) için, oyuncuların beklenen ödemelerin toplamını maksimize ettiği varsayıldığında, α ile q yerine yazıldığı görülecektir. Bunlar, süperoyun kavramının bütün varyasyonlarıdır. Belirli bir oyun olarak safhalı oyun da vardır. Tek roundlu mahkumlar çıkmazından tekrarlı duruma geçildiğinde ne olacaktır? İşbirliği denge çıktısı olacaktır. 1. oyuncu s 1 stratejisini 2. oyuncu t 1 stratejisi oynadıkça oynayacağını anons etsin. 2. oyuncu t 2 stratejisini oynarsa, 1. oyuncu sonsuza dek s 2 stratejisini oynayacaktır. 2. oyuncu buna inanıyorsa, en iyi cevabı bulmak kolaydır. t 1 oynandıkça, 5 değerindeki ödeme her periyotta gelecektir. Bu geleceğe yayılan bir ödemedir ve beklenen 5 değeri olacaktır. Fakat 2. oyuncu t 1 q 2 stratejisi ile başlarsa, ilk olarak 8 elde edecek daha sonra 0 elde edecektir. Mantıklı q değerleri için 2. oyuncunun t 2 oynama teşviği yoktur. Aynı yöntemle 1.oyuncu da benzer davranış sergileyecektir. Oyunun dengesi budur. Böylece, tekrarlı oyunlarda bir Nash dengesi bulunmaktadır. Herbirininki birbirlerine en-iyi cevaptır. Bu basit hikayenin dört problemi vardır; Çok Fazla Denge Çıktısı Nash dengesi bulunmasına rağmen, oyunun birçok Nash dengesi olabilir. Örneğin, 1. oyuncu şu stratejiyi oynayacağını anons etsin; 2. oyuncu her zaman t 1 stratejisini oynadığında, 1. oyuncu stratejisini s 1 ve s 2 arasında sürekli değiştirecektir. Fakat 2. oyuncu t 2 olarak değiştirdiğinde, 1. oyuncu daima s 2 oynayacaktır. Böylece, 2. oyuncuya 5 ödemesi yerine daima -3 ya da 8 ile 0 arasında ödemeler teklif edilecektir. Yeterince yüksek q için, işbirliği daha iyi bir cevaptır. Böylece, 2. oyuncu 1. oyuncu dürüst olsun diye bir tehdit oluşturup denge kurabilir. Örneğin, 2. oyuncu 1. oyuncu s 1 ve s 2 stratejilerini değiştirerek oynarsa t 1 stratejisini oynayacağını fakat değiştirme işini bitirdiğinde t 2 stratejisini oynayacağını söyleyebilir. Ya da

48 48 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR birbaşka yolla, 1. oyuncu 2. oyuncu iki stratejisini değiştirerek oynadığında (stratejik deviasyon), kendisi de değiştireceğini bu işi bıraktığında daima s 2 stratejisini oynayacağını söyleyebilir. Aynı şey 2. oyuncu için de geçerlidir. Bire yakın q değerleri için, oyuncuların 5 ve 0 değiştirip alarak oluşturduğu bir denge vardır. Bu denge de iki tarafta kötüleşmektedir. Ancak, yine de denge söz konusudur (s 2, t 2 ). Tekrarlı oyunlarda formülasyon problemi dengelerin bolluğu problemidir. 1. ve 2. oyuncu sıfırdan daha az beklenen değere sahip olduğunda bir denge olmayacaktır. Çünkü s 2 veya t 2 oynayarak en az bundan fazla elde edeceklerini garanti altına alabilirler. Fakat rakibi daha fazla almaması için onu tutabilir ve bir ceza olarak bunu kullanıp tehdit elde edebilir. Yani, makul ve sıfırdan farklı olan herhangi bir ödeme çifti bir dengede sürdürülebilir. Bu durum sonsuz boyutta iskontosuz formülasyonda tam olarak doğrudur. Iskontolu ya da sonlu fakat tanımsız boyutta iyileştirmeye ihtiyaç vardır. Bir oyuncu sıfır değerine yakın bırakıldığında denge sürdürülemez. Bu sonuç genel tekrarlı oyunlar için geçerlidir. Kabaca söylemek gerekirse, diğer oyuncular asılmış olsa bile (gang on), en az garanti beklenen ödemesi olan her oyuncu için herhangi bir makul beklenen ödemeler dengede sürdürülemez. Her oyuncu diğerleri ile bir olarak ya anlaşmaya uyacak ya da herkes asılmış olacaktır. O zaman, hiçbir oyuncunun yalnız davranarak, stratejisinden sapma eğilimi yoktur. Bu koşul, Nash dengesi için gereklidir. Bu sonuç Folk Teoremi olarak bilinmektedir. Matemetiksel olarak, I oyunculu normal biçimde safhalı bir oyunda, i oyuncusunun S i sonlu strateji kümesi olsun ve (s 1,..., s I ) strateji profilinde i oyuncusuna ait olan ödeme u i (s 1,..., s I ) ile verilsin. Σ i ; i oyuncusunun karma stratejiler uzayı olsun ve u i (σ 1,..., σ I ), oyuncular (σ 1,..., σ I ) karma strateji profilini oynadığında beklenen ödemeleri tanımlasın. Her i oyuncusu için aşağıdaki maksimizasyon problemi olarak tanımlansın; v i = min max u i (σ 1,..., σ i 1, s i, σ i+1,...σ I ) (1.34) (σ 1,...,σ i 1,σ i+1,...σ I ) s i i oyuncusu hariç bütün karma stratejiler sabitlenmiştir ve buna göre i oyuncusunun en-iyi cevabı bulunacaktır. Daha sonra diğer oyuncuların seçilmiş stratejileri üzerinde i oyuncusunun ödemesi minimize edilecektir. Buna i oyuncusunun minmax değeri denmektedir. Bu oyun defalarca oynanmaktadır. Her oynayışta seçilen eylemler bilinmektedir. Kabaca, folk teoremi her oyuncuya minmax değeri ya da üzerindeki herhangi bir makul ödemede Nash dengesi sağlanabileceğini söylemektedir.

49 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 49 Daha detaylı olarak, 1. Herhangi bir Nash dengesinde oyuncuların minmax değerinden daha kötüsünü yapmayacaklarını göstermek kolaydır. Oyuncu her oynayışta en iyi cevabını rakibi ne yaparsa yapsın oynuyorsa, bunu her şekilde yapacaktır. 2. İskontosuz; ortalama ödül formülasyonunda oyuncular bazı pür stratejilerini seçerek minmax değerinden daha fazlasını elde edebilirler. Herhangi bir oyuncu bundan kaçarsa, herkes bu oyuncunun minmax stratejisine yüklenecektir. 3. Karma stratejiden oluşan ödemeler durumunda, gözlemlenmiş eylemlerden strateji değişikliği olup olmadığı anlaşılamaz. Iskontosuz, ortalama ödeül formülasyonlu oyunda zamanla yakınsayan (confexifies) pür stratejiyi kullanarak bu zorlukla başedilebilir. Bir pür strateji kombinasyonunun 2/3 ve bir diğerinin 1/3 ünden gelen ödemeler istendiğinde, birincisi 3n + 1 ve 3n + 2 oynayışlarında ikincisi 3n oynayışlarında oynanacaktır. Karma olasılıklar irrasyonel ise, bunu yapmak zordur. 4. Iskontolu formülasyonda, stratejide deviasyon oyuncuya dengede ne aldığına göreceli olarak karlı gelebilir. Minmax cezalandırması ile karşı karşıya kalsa bile, stratejide deviasyon gerçekleşebilir. Folk teoremi ifadesi şöyle olacaktır. Oyuncuların minmax değerlerinin üzerindeki her makul ödeme için, daha büyük devam etme olsılığı, iskontol faktörü için varolan yeterince bire yakın q değerleri vardır. Bu ödemeler Nash dengesi olarak yorumlanabilir. Stratejide deviasyon yapan oyuncuyu asma (gang on) diğer oyuncular iiçn maliyetli olabilir. Bir oyuncu diğerini ceaya çarptırabilir, fakat sadece kendine muazzam bir maliyet çıkaracaktır. Bu durumda, tehdit edilen cezayı taşımak istemeyebilir. Yani, cezalandırıcı stratejiler altoyun kusursuz Nash dengesi vermeyebilir. Örneğin, tablo (??) deki normal biçimdeki oyunda 2. oyuncu 1. oyuncuyu t 2 oynayarak sıfırdan fazla ödeme alamayacağı şekilde tehdit edebilir. Buradan, Nash dengesini takip ederek 1. oyuncu her zaman s 1 oynamaktadır. 2. oyuncu 1. oyuncu s 1 oynadıkça, t 1 oynayacaktır. Sadece 1. oyuncu s 2 stratejisini denerse, t 2 oynayacaktır. 1. oyuncu 2. oyuncunun bu tehditi yerine getireceğine s 2 stratejisine hareket etmek istemezken (q yeterince büyükse), tehdidi yerine getireceğine

50 50 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 2. Oyuncu t 1 t 2 s 1 5,5-1,-2 1. Oyuncu s 2 6,-1 0,-3 Tablo 1.6: Bimatris Oyunu inanmakta zorlanabilir. Bundan sonra, 2. oyuncu t 2 oynayarak daha fazla almayacaktır (t 1 oynayarak en az -1 alacakken). Böylece, 1. oyuncu ceza görmeden s 2 oynayabilir (onu cezalandırma tehdidi yerine getirilmeyeceği tahmini ile). Bununla beraber, altoyun kusursuz Nash dengesine kısıtlamalar varsa, folk teoreminin sonucu engellenecektir. Bunu göstermek çok karışıktır. Ancak denge çiftinin (s 1, t 1 ) nasıl bulunduğunu göstermek olanaklıdır. 1. ve 2. oyuncu takip eden stratejileri benimsesin. s 1 ve t 1 ile başlasınlar ve deviasyon olana kadar sürdürsünler. Her ikisi de saparsa bir oynayış için s 2 ve t 2 oynayacaktır. Her ikisi de bunu yaparsa, s 1 ve t 1 çiftine geri döneceklerdir.fakat her ikisi de ceza oynayışında saparlarsa, s 2 ve t 2 çiftini tekrar oynamak zorundadırlar ve s 1 ve t 1 stratejilerine dönene kadar bu böyle gidecektir. 2. oyuncunun veri böyle bir stratejisinde, 1. oyuncu hiç sapar mı? En azından yeterince yüksek q değerleri için cevap hayırdır. Oyun, 1. oyuncunu s 1 yerine s 2 oynadığı fazda ise, 5 yerine 6 elde edecektir, fakat diğer oyuncu 5 yerine 0 alacaktır. Ceza fazında, 1. oyuncu hem kısa dönemde hem de uzun dönemde işbirliği fazına geçmeyi tercih edecektir. 2. oyuncu ise, ikisi de işbirliği yaparken, t 2 stratejisine hareket etme güdüsü yoktur ve ceza oynayışını tetiklemektedir. Ona bu kadar maliyetliyken cezayı yerine getirecek midir? 1. oyuncunun stratejisi veriyken, cevap evettir. 2. oyuncu ya -3 alıp ve daha sonra 5 lere geri dönecek ya da -1 alıp bir oynayış erteleme ile işbirliğine geri dönecektir. Yeterince büyük q değerleri türetmek için, ve denge olduğunu göstermek için aşağıdaki teknik yeterli olacaktır. x ve y; 1 ve 2 olsun. (s x, t y ) çifti t 1 ardışıklığında ve t safhasının zamanını göstermek için h t yazılacaktır. Her zaman periyotu t = 1, 2, 3,... olacaktır. Oynanan oyun her periyotta iki durumdan biri olacaktır. φ işbirliği ve ψ ceza durumudur. Periyottan periyota bu durumların geçişliliği periyodun başlangıç durumuna ve periyottaki oynanana bağlıdır. Periyodun başlangıcında φ durumu varsa ve (s 1, t 1 ) çifti oynanıyorsa, o zaman diğer periyodun başlangıcında φ durumu olacaktır.

51 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 51 Periyottaki oyun ψ durumu ile başlıyorsa ve (s 2, t 2 ) oynanıyorsa, diğer periyottaki durumu φ olacaktır. Diğer bütün durumlarda, diğer periyotlar ψ durumunda başlayacaktır. Bu gelenekle, t periyodunda varsayılan denge stratejilerine göre oynama sadece fiili duruma dayalı olacaktır. 1. oyuncu φ durumunda s 1, ψ durumunda s 2 oynayacağı kabul edilmektedir ve 2. oyuncu için de durum aynıdır. Daha önceden söylendiği gibi, herhangi bir periyottaki durum sadece önceki periyottaki duruma ve bu periyottaki oynamalara dayalıdır. Böylece t periyıdundan oynayış, varsayılan stratejilere göre, sadece fiili durum boyunca önceki tarihçeye dayalıdır. Böylece, altoyun kusursuzlaştırma kontrolünde, her oyuncu φ durumu ve ψ durumu başlangıcına en iyi cevaplarını kullanacaklardır. Kontrol edilecek 4 şey vardır. φ durumunda 1. oyuncu s 1 stratejisini seçerek en iyi cevabı mı oynamaktadır? 2. oyuncu varsayılan stratejisine bağlı kalacğı denge hipotezi altında, 1. oyuncu φ durumunda başlayarak s 1 oynarsa ve bundan sonra buna bağlı kalırsa, durum φ olarak sonsuza dek kalacak ve 1. oyuncu sonsuza dek 5 elde edecektir (5+5q+5q /(1 q) beklenen bugünkü değer için). Diğer taraftan, 1. oyuncu bu periyotta s 2 oynarsa ve ona atanmış stratejiyi takip edip geriye doğru giderse, hemen 6 alacak ve durum ψ olacak ve diğer oynayış için 0 alacak, (φ sonrası) oyunun geri kalanında 5 leri elde edecektir. φ durumunda beklenen bugünkü değer 6 + 0q + 5q 2 + 5q = 6 + 5q 2 /(1 q) olacktır. 1. oyuncunun stratejisi için, yada 5 1 q 6 5q2 1 q q 1 5 (1.35) (1.36) Sonraki soru, ψ durumunda s 2 seçerek 1. oyuncu en iyi cevabı oynamaktadır? Bu oynayışta 0 alıp oyunun geri kalanında 5 elde edecektir. Önce varsayılan stratejilere bağlı kalmayarak, sonra bağlı kalarak, ilk önce -1 sonra 0 ve diğerlerinden 5 ler elde edecektir. Bütün q değerleri için, bağlılıktan daha kötüdür. Kısıt olarak q 0 yazılmalıdır. 2. oyuncu φ durumunda t 1 seçerek en iyi cevabı mı oynamaktadır? Bağlı kalma her zaman stratejide sapmalardan üstündür q oyuncu φ durumunda t 2 seçerek en iyi cevabı mı oynamaktadır. Stratejiye sonsuza dek bağlı kalma, ona -3 verip daha sonra 5 ler verecektir, (bek-

52 52 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR lenen bugünkü değer 3 + 5q/(1 q)). Birsafhada t 1 stratejisine sapma -1, sonra -3 ve hep 5 olarak geri dönecektir. Beklenen bugünkü değer (-1)+(- 3)+5q 2 /(1 q) olacaktır. q kısıtı için q 1/4 olacaktır. Böylece, q 1/4 oldukça, hiçbir oyuncunun stratejisinden sapma güdüsü olmayacaktır. Odak Noktalarının Eksikliği Her zaman çoklu Nash dengesi vardır, hangisinin çözüm olduğu bulunmalıdır. Yukarıda anlatılan hikayede, taraflardan biri stratejisini açıklamakta ve diğerini en iyi cevabını formüle etmesi için davet etmektedir. Bu, oyuncular arasında oyun-öncesi (pre-play) müzakere (negotiation) varsa, hoştur. Ancak, böyle bir durumdan neden birinin müzakere edebilir olduğu ilgi çekicidir. Folk teoremini yorumlamanın iyi bir yolu, oyuncular açık bir oyun-öncesi müzakere sağlayabildiğinde, oyuncuların gelebileceği kendilerine yaptırım gücü olan (self-enforcing) müzakereler kümesinin yinelemeler ile nasıl genişletilebileceğini göstermektir. Oyuncular mahkumlar çıkmazını bir kere oynuyorsa, (bir daha karşılaşmayacaklarsa), o zaman işbirliği için oyun-öncesi müzakere olmayabilir. İşbirliği için, tanımlanan oyunun dışında yaptırım gücü olan mekanizmalarla bağlayıcı müzakerelere ihtiyaç olacaktır. Bu durum tekrarlandığında gelinebilecek bir çok yaptırım gücü olan müzakereler olacaktır. Açık iletişim olanaklı değilse ne olacaktır? Nash dengesi oyunun oynanmasının açık yolu için gerekli koşulu vermektedir. Oyun-öncesi iletişim olmaksızın, geleneklere ya da öğrenilmiş davranışlara ya da odak noktaya ya da belirsiz şeylere güvenilmelidir. Mahkumlar çıkmazı durumunda, basit ve simetrik ve (s 1, t 1 ) çiftine karşılık gelen çıktı etkin noktaya adaydır.diğer oyunlarda, simetrik olmayan, durumlar için odak noktalara bakılmalıdır. Ya da dengeyi açıklamak için sosyal normlara veya geleneklere ihtiyaş vardır. Formal teorinin fiili durumu, yinelemenin odak noktaya veya geleneksel dengeye nasıl izin verdiğini tartışmaktadır. Denge-dışı Çok Fazla Tehdit Olması Aslında bu problem birinci problemle bağlantılıdır. Birçok denge-dışı durum söz konusudur. Dengede, örneğin, mahkumlar çıkmazı için, 1. oyuncu; 2. oyuncu hep t 2 oynarsa, daima s 2 oynayacağını 2. oyuncuya söylemiştir. Fakat, yeterince büyük q değerleri için, 1. oyuncunun 2. oyuncuya şu şek-

53 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 53 ilde tehdit savurması normaldir. Herhangi bir oynayışta t 2 oynarsan, takip eden oynayışta s 2 ile cevap veririm. q ne kadar büyüktürki 2. oyuncu 1. oyuncunun böyle davranıp her oynayışta t 1 oynasın? Gerçekte, 1. oyuncu bu tehdidi tüm stratejilerine kurabilir; Ben s 1 ile başlayacağım, sonraki her oynayışta 2. oyuncu öncekinde her ne yaparsa yapsın, bunu yapacağım. 1. oyuncu için bu belirli strateji tit-for-tat olarak bilinmektedir. Hiçbir zaman işbirliği yapmayacağı tehdidi 2. oyuncunun t 2 oynamasını engelleyecektir fakat tit-for-tat tehdidi ve diğerleri q 1 değerine ne kadar yakınsa böyle yapacaklardır. Tanımlı-sonlu Boyut ile Oyunlar Tekrarlı oyunların formülasyonunda sonlu ve tanımlı boyut olduğunda problem ortaya çıkmaktadır. Tekrarlı mahkumlar çıkmazı 100 kere oynansın oynayışa gelindiğinde 101. oynayış olmayacağından tanım gereği oyunun sonudur oynayışa gelindiğinde, iki oyuncu da oyunun sonu olduğunu bilmektedir ve böylece 1. oyuncu s 2 ve 2. oyuncu t 2 oynayacaktır. Kısa döneme ağırlıklı bir uzun-dönem kaybı olmayacaktır. 99. oynayışta ise, bir oynayış daha vardır. Fakat her iki taraf 100. oynayışda işbirliksiz şekilde oynayacaktır. Dolayısıyla, hiçbir tarafın 99. oynayışta işbirliği güdüsü yoktur. İşbirliksizlikten kısa-dönem kazancı sonrasından etkilenmeyecektir. Böylece, 99. ve 100. oynayışta işbirliksiz durum vardır. 98. oynayışta ne olacaktır? 99. ve 100. oynayışta işbirliksiz durum olduğundan, 98. ve diğerlerinde de işbirliksiz durum sürecektir Gürültülü Gözlemlenebilirler Dengede, işbirliğinden ayrılma diğer tarafa hemen ulaşmaktadır ve ilgilenilmektedir. Bu fikrin uygulamasında, diğer tarafın emin olamadığı durumlar da incelenebilir. Gözlemlenebilir veri diğer tarafa işbirliği düzenlemelerinin olmadığını bildirebilir, fakat gözlemlenebilir veri kusursuz şekilde şüpheleri ortadan kaldıran şekilde olmayabilir. Bu durum çeşitli yollarla modellenebilir. Örneğin, mahkumlar çıkmazında gürültü eklenebilir. Tablo (??) deki sayılar oyuncular için ödemelerin ortalamasını vermektedir. Fiili ödemeler bu ortalama ve 5 birim standart sapma ile normal dağılsınlar. Her iki taraf da ödemeleri görsün fakat diğer tarafın

54 54 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR seçtiği hareketi görmesin. Örneğin, bazı oynayışlarda 1. oyuncu s 2 ve 2. oyuncu t 1 seçtiyse, bu oynayışta 1. oyuncu 8 ortalama ve 5 standart sapma ile normal dağılmış ödeme alsın. 2. oyuncu -3 ortalamalı 5 standart sapmalı normal dağılmış ödeme alsın (Hata terimleri birbirlerinden bağımsızdır hem yatay kesit hem de serial olarak). 2. oyuncu oynadığında, 1. oynayışta t 1 seçip 6.2 ödeme almaktadır ve rakip 5.2 almaktadır. 2. oynayışta t 1 seçip 4.8 ve rakip 3.9 almaktadır. 3. oynayışta t 1 seçip -1.3 alıp rakip de 6.8 almaktadır. 2. oyuncu 1. oyuncunun ne oynadığından emin değildir. Dolayısıyla, maksimum olabilirlik tahmini yapmak gerekmektedir. 1. oyuncunun s 1, s 1 ve s 2 oynadığı tahmin edilsin. Fakat bu veri 1. oyuncunun s 1, s 1 ve s 1 seçimi ile tutarlı değildir. Böylece, 1. oyuncu cezalandırılmamıdır? Ceza nasıl olacaktır? -1.3 tetikleyici ceza için düşük ise, -3 için nedir? 1.3 için ne olacaktır? Ceza suça uyacak mıdır? -0.3 yerine -1.3 alındığında daha fazla ceza mı uygulanacaktır? 1. oyuncuyu unutma ve herhangi bir ceza oluşturma düşünülebilir. Böyle yapıldığında, 1. oyuncunun s 1 oynama güdüsü olmayacaktır. Her zaman s 2 oynayabilir ve 2. oyuncunun ödemesini kötü şansa bağlayabilir. Aynı zamanda, 2. oyuncu cezanın çok sık ve çok katı olmasını istememektedir. 1. oyuncu her zaman s 1 oynasa bile, 2. oyuncu şansla ara sıra kötü ödemeler görebilir. 2. oyuncu ödeme ne olursa olsun, tetikleyici ceza ile rakibini çok zaman harcayabilir. Böylece işbirliğinden kazanç ortadan kalkacaktır. Birazcık ceza ve tetikleme ile rakip işbirliksiz strateji tarafından atlatma güdüsü bulacaktır. Yeterince cezalandırılmalıdır ve dolayısıyla rakip s 2 yerine s 1 oynayacaktır. Fakat daha sık ceza daha az işbirliğinden kazanç anlamına gelmektedir. Tetikleyici Dengeler Başlangıçta, her oyuncu için, çok basit strateji biçimlerine odaklanacaktır. Her oyuncu işbirliği çerçevesinde oynayarak başlasın, yani (s 1, t 1 ). Bu durum her iki ödeme kritik tetikleyici değer seviyesine veya altına düşene kadar sürsün. Veri bir oynayışta her iki ödeme de T değerine eşit yada altında ise, o zaman gelecek N kadar oynayış işbirliksiz şekilde oynanacaktır, yani (s 2, t 2 ). N oynayış sonunda, bu oynayışlarda ne olursa olsun, her iki ödeme kritik tetikleyici değer seviyesine veya altına düşene kadar iki oyuncu işbirliğine döneceklerdir. Bu stratejilerde iki paramatre vardır, tetikleyici seviyesi (T ) ve cezalandırma fazının uzunluğu (N). Hangi (N) ve (T ) değerleri için veri stratejiler

55 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 55 dengedir? Soruyu cevaplamak için, bu stratejileri oynayan oyuncuların beklenen değerlerini hesaplamak gerekmektedir. (O zaman, stratejilerin iyileştirilemez olup olmadığını görmek için dinamik programlama teknikleri kullanılacaktır). N +1 durumlu bir durum uzayı olsun; {φ, ψ 1, ψ 2,..., ψ N }, φ oyuncuların işbirliği içinde olduğu durumu, ψ n işbirliği içinde olmadıkları durumları ve N n + 1 periyotluk işbirliğine kalan durumları göstersin, φ durumunda başlayarak ilk ödeme T değerine eşit ya da az olana kadar orada kalıp daha sonra ψ 1 durumuna geçip, deterministik şekilde ψ n durumuna kadar bekleyip, ψ N durumundan sonra φ durumuna geri dönecektir. İşbirliği durumunda, iki oyuncu (s 1, t 1 ) stratejilerini oynamaktadır. Ödülleri rastlantısaldır fakat beklenen değeri 5 dir. Belirsiz olan gelecek periyotta işbirliği yapıp yapmayacaklarıdır. ɛ 1 ; (i = 1, 2) standart sapması 5, ortalaması sıfır olan iki bağımsız normal rastlantısal değişken olsun, o zaman işbirliğinin devam etmesinin olasılığı aşağıdaki gibi olacaktır; π e = P (5 + ɛ 1 > T, 5 + ɛ 2 > T ) (1.37) Dolayısıyla, işbirliğinin sona erme olasılığı (1 π e ) olacaktır. Her iki oyuncuya antatılan stratejilerin oynamalarının değeri aşağıdaki gibi olacaktır; v = 5 + [π e v + (1 π e )q N v] (1.38) Eşitlikteki, 5 hemen gelecek olan beklenen ödüldür. q, gelecekteki beklenen ödemelere uygulanmış iskonto faktörü, gelecekteki beklenen ödemelerin işbirliğinde olma olasılığı (π e ) çarpı işbirliği fazında olmanın değeri (v) artı (1 π e ) çarpı işbirliksiz fazda başlayan değer (q N v). Son değerin açıklanması gerekmektedir. N periyot için, her oyuncu sıfır beklenen ödeme almaktadır ve işbirliğine geri dönmektedir. Buradan işbirliği değeri N periyot bekletilmektedir. Dolayısıyla, q N ile iskontolanmaktadır. Böylece; v = 5 1 q[π e + q N (1 π e )] (1.39) π e zimni şekilde T değerine bağlıdır. v, zimni şekilde T değerinin açık şekilde N değerinin fonksiyonudur. π e, T ile azaldığından, v; T ve N değerinde azalan olduğundan, daha hızlı tetikleyici ya da daha uzun cezalandırma fazı oyunculara daha düşük değer olarak dönecektir.

56 56 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR Genelde, her olanaklı durumda, oyuncuların beklenen değerlerini hesaplamak gerekmektedir. (ψ 1,..., ψ N olduğu gibi, φ durumunda da). Fakat bu örnekte, şu şekilde kullanılabilir; ψ 1 durumunda q N v, ψ 2 durumunda q N 1 v. Değerler hangi sırada alınmaktadır? q = 0.9 olsun. T = 0 ve T = 1, ve N = 1, 2, 3, 4 için karşılık gelen v değerleri aşağıdaki tablodaki gibidir. N T = 0 v T = 1 v Beklenen değerler T arttıkça ve N arttıkça düşecektir. Her strateji iyileştirilemez olarak diğerine veri midir? Ödemeler sınırsız olduğundan, sonuçlar optimale eşit olamaz. Ancak, geçerlidirler. Herhangi bir oynayıştaseçilmiş eyleme koşullu beklentilerle fiili ödemeler ve koşullu beklentiler sınırlıdır. Ceza fazında işbirliksiz şekilde oynamak optimaldir. Bu durumda, işbirliği yapmak daha az beklenen değere getirecektir. Ancak, işbirliği oynamak istendiğinde, gerçek bir çatışma söz konusudur. İşbirliksiz şekilde oynayarak, hemen beklenen ödül (5 den 8 e) arttırılmalıdır ve cezalandırma tetikleyici şansı da arttırılmalıdır. Bir periyotta işbirliksiz oynandığında, stratejinin değiştirilmesi ile beklenen ödeme aşağıdaki gibi hesaplanacaktır. π d = P rob(8 + ɛ 1 > T, 3 + ɛ 2 > T ) (1.40) π d, işbirliği yapılmadığında cezalandırma fazını tetikleyen ödemelere sahip olma şansıdır, v = 8 + q[π d v + (1 π d )q N v] (1.41) Bu hesaplama ile tanımlanan stratejilere göre oynama varsayılmaktadır. Sapmalı oynamanın tek etkisi artan beklenen ödemeyi arttırmak ve cezalandırmayı tetikleme ve tetiklememe olasılığı değiştirmektir. Sürüp-duran ödemeler için v ve q N v kullanılmaktadır. v ; v değerinden az yada eşitse, stratejiler birbirine karşı iyileştirilemez olduklarından, yani, optimalliklerinden, denge vardır. Tablo (???? - Kreps s. 519) de, q = 0.9, T = 0 ve N = 1, 2, 3, 4 için, v ve v verilmiştir. N = 3 ve N = 4 için denge vardır fakat N = 1 ve N = 2 için yoktur. T = 0 tetikleyici seviyesinde, işbirlikçi fazda, işbirliksiz şekilde oynamadan oyuncuların çıkması için üç oynayış cezalandırma gereklidir.

57 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 57 N ve T değerlerinin en-iyi kombinasyonu nedir? En-iyi kavramının burada açık bir anlamı vardır. Simetrik denge aranmaktadır. Her iki oyuncuya da en yüksek ödemeyi veren N ve T değerleri bulunmalıdır. Sayısal olarak, T sabitlenir ve N ve T değerleri aranırç N = 1 için, v ve v değerleri hesaplanmalıdır. v v bulunur. Yoksa, N = 2 için, denenir ve bu böyle devam edecektir - veri T için en küçük N değerini buluncuya dek - Böylece denge desteklenecekttir. N(T ) fonksiyonu olarak kabul edilsin. r a b c d e f g h i Şekil 1.27: Burada Kreps Sayfa 519 daki Tablo olacak Tablo (??) kısmi sonuçları vermektedir (q = 0.9 için). Her satır farklı bir T seviyesine karşılık gelmektedir. İlk sütun T, ikincisi N(T ) ve üçüncüsü T ve N(T ) değerlerinde beklenen v değerini göstermektedir. Dengeyi destekleyen N değeri N=100 de durdurulmuştur. T değerinin dışındaki (yani, T = 3 ve T = dışındaki) değerler ve N = 100 için denge yoktur. T küçüldükçe cezalandırmanın tetikleme şansı azalmaktadır. İki önemli nokta vardır. Birincisi N(T ), T değeri düşerken önce düşmekte daha sonra artmaktadır. T küçüldükçe artması cezalandırmanın tetiklemesi şansı çok küçüktür. Böylece, işbirliği fazında, oyuncuları işbirliksiz şekilde oynamada tutmak için daha çok ceza gereklidir. Büyük T değerleri için, T düştükçe düşen N(T ) şaşırtıcıdır. Buradaki sezgi, her iki durumda büyük T değerleri için, muhtemelen tetiklenmiş cezadır. Böylece, oyuncuları işbirliğinde tutmak için adil bir ceza miktarı olacaktır. İşbirliğinde ya da işbirliksizlikte tetikleyici ceza olabilirlik oranları büyük T değerleri için yüksektir. Böylece, işbirliksiz oynayarak tetikleyici cezanın üzerinde marjinal etki düşüktür. Buradan, oyuncuyu dürüst tutmak için ceza ciddi olmalıdır.

58 58 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR r a b c d e f g h i Şekil 1.28: Burada Kreps Sayfa 520 daki Tablo olacak İkinci nokta, T düşerken, v değeri artmaktadır. Fiili olarak, T sürekli şekilde düştüğünde, N(T ) bir ile zıplarken v değeri de zıplayarak düşecektir. Fakat bütüncül etki düşen T ile artan v olacaktır. Optimal T denge ile tutarlı olanaklı en düşük değerdir. Yani, N = olmalıdır. Daha Sofistike ve Etkin Dengeler Alıştırmalar Ağaçlar 1. Şekil (??) teki ağacın tüm kesilişlerini belirtiniz. 2. Şekil (??) teki ağacın tüm bölüm ağaçlarını belirtiniz. 3. Şekil (??) teki ağacın kaç alt ağacı vardir? 4. Şekil (??) teki ağacın tüm kesilişlerini belirtiniz. 5. Şekil (??) teki ağacın tüm bölüm ağaçlarını belirtiniz. 6. Şekil (??) teki ağacın kaç alt ağacı vardir? 7. Bir ağacın yalnız bir kökü olduğunu ispatlayınız.

59 1.4. TEKRARLI OYUNLAR 59 r a b c d e f g h i Şekil 1.29: Yönlü Bir Grafik 8. Yönlü bir grafikte aynı noktada başlayıp bitecek bir yol olacak şekilde bir döngü tanımlayınız. Ağaçların döngü içermediğini ispatlayınız. Ağaçlardaki yolların farklı noktalardan oluştuğunu gösteriniz. 9. G yönlü bir grafik olsun. G grafiğinin bir u noktası için, ρ(u), u eksi kenar sayısında başlayıp u noktasında son bulan kenarların sayısı olarak tanımlansın. Şu eşitliği ispatlayınız: u V ρ(u) = D yönlü bir grafik olsun. ρ(u) tek sayısı ile D grafiğinin u noktalarının sayısının çift olduğunu ispatlayınız. (ρ(u) tanımı için alıştırma (9) a bakınız.) 11. T bir ağaç, θ, T ağacındaki kenar sayısı ve v noktaların sayısı olsun. θ = v 1 olduğunu gösteriniz. 12. T basit olmayan bir ağaç olsun. Tüm çocukları terminal olan fakat kendisi terminal olmayan bir nokta olduğunu ispatlayınız. 13. T bir ağaç olsun. W ; T ağacının noktalarının bir kümesi olsun, öyle ki; her terminal nokta W kümesinde olsun ve W bir noktanın tüm çocuklarını içerdiğinde o noktayı da içersin. W kümesinin tüm noktaları içerdiğini ispatlayınız. 14. T bir ağaç, u ve v, T ağacının v noktası u noktasının torunu olacak şekilde noktaları olsun. u noktasından v noktasına giden tek bir yol olduğunu gösteriniz.

60 60 BÖLÜM 1. TAM BILGI İLE DINAMIK OYUNLAR 15. Yönlü bir G grafiğinde bir w noktasının tek yol özelliğine sahip olması, G grafiğinin farklı bir u noktası için w noktasından u noktasına bir tek yol olacak şekilde tanımlansın. Tek yol özelliğine sahip iki noktalı yönlü grafiğe bir örnek veriniz.