Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis Gültekin YEĞİN Fizik Bölümü Celal Bayar Üniversitesi Manisa 10 Mayıs 2012 Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 1 / 17
1 Rasgele Sayıların Üretilmesi Temel Kavramlar Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 2 / 17
Tanımlar Rasgele Sayı (Random Number) : Bir kümenin veya dizinin elemanlarından bir kısmının, istatiksel olarak rasgele seçilmesi yoluyla üretilmiş sayıya random sayı adı verilir. Random sayılar ξ sembolü ile gösterilecektir. Aralık (interval) : Rasgele sayıların örneklendiği sayı aralığı. (X min ξ X max ). Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 3 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri True Random Numbers : Gerçek bir mekanizma tarafından üretilen rasgele sayılardır. Parayı havaya atmak (Yazı/Tura) Zar atmak {1,2,3,4,5,6} Tombala çekmek v.b. Dezavantajı : Yukarıdaki seçimlerde insan faktörü sözkonusudur. İnsan çoğu zaman tarafsız olamaz bu nedenle gerçek sistemlerin simülasyonunda rasgele sayı üretimi insanlar tarafından yapılmamalıdır. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 4 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri İnsan faktörü içermeyen gerçek rasgele sayı üreteçleri Rulet Kumar makinaları Piyango çekilişlerinde kullanılan zıplayan toplar v.b. Dezavantajı : Yukarıdaki mekanizmalar kullanıldığında, küçük bir zaman diliminde sadece sınırlı sayıda rasgele sayı üretilebilir. Simülasyo sistemlerinde çoğu zaman bir kaç saniyelik bir sürede onbinlerce rasgele sayı üretmek gerekebilir. Bu gibi durumlarda yukarıdaki mekanizmaların yetersiz kalacağı açıktır. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 5 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri Gürültü (Noisy) : Herhangi bir elektronik sistemde taşınan sinyali etkileyen ve -kaynağı belirsiz- dış faktörler tarafından üretilen, çoğu zaman istenmeyen parazit sinyaller gürültü olarak adlandırılır. Şekil: Gürültü Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 6 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri Gürültü (Noisy) : Herhangi bir elektronik sistemde taşınan sinyali etkileyen ve -kaynağı belirsiz- dış faktörler tarafından üretilen, çoğu zaman istenmeyen parazit sinyaller gürültü olarak adlandırılır. Şekil: Gürültü Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 6 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri Bilgi : Hassas bir sensör tarafından üretilen nümerik sinyaller her zaman arka planda bir miktar gürültü içerir. Örnek : Oldukça hassas bir termometrede kısa aralıklarla ölçülen sıcaklık değerleri aşağıdaki gibi olsun. Sıcaklık( C) = 22.698279 22.652184 22.645318 22.616232 22.680449 Termometrenin gösterdiği değerlerin son bir kaç hanesi tamamen rasgele değişim gösteren sayılardan ibarettir ve gerçek rasgele sayı üreteci olmak için iyi bir adaydır. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 7 / 17
Gerçek rasgele sayı üreteçleri Bilgi : Hassas bir sensör tarafından üretilen nümerik sinyaller her zaman arka planda bir miktar gürültü içerir. Örnek : Oldukça hassas bir termometrede kısa aralıklarla ölçülen sıcaklık değerleri aşağıdaki gibi olsun. Sıcaklık( C) = 22.698279 22.652184 22.645318 22.616232 22.680449 Termometrenin gösterdiği değerlerin son bir kaç hanesi tamamen rasgele değişim gösteren sayılardan ibarettir ve gerçek rasgele sayı üreteci olmak için iyi bir adaydır. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 7 / 17
www.random.org Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 8 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Pseudo random number : Raqsgele sayılar, matematiksel bir fonksiyonun ard arda kullanılmasıyla suni olarak üretiliyorsa, bu yolla üretilen rasgele sayılara sanki rasgele sayı adı verilir. Sanki rasgele sayılar üretmek için önce kullanıcının herhangi bir ilk sayı vermesi istenir. Bilgisayar kodu, bu ilk sayıya bağlı olarak kullanıcı her istediğinde farklı bir rasgele sayıyı matematiksel olarak üretir. Matematiksel olarak bir seri halinde üretilen rasgele sayılar birbirinden bağımsızdır. Kullanıcı tarafından sağlanan ilk sayıya random sayı çekirdeği, random number seed adı verilir. her bir random sayı çekirdeği, ayrı bir rasgele sayı serisinin üretilmesine neden olur. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 9 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Örnek Bir Sanki Rasgele Sayı Üreteci x n+1 = (ax n c)mod a = 7 b = 10 ve c = 3 alacak olursak, yukarıdaki eşitlik, x n+1 = (7x n 3)mod 10 biçiminde yazılabilir. rasgele sayı çekirdeğini x 0 = 1 olarak kabul edelim. bu durmda yukarıdaki eşitlikten, {0,3,4,1,0,3,4,1,0,3,4,1,... } sayıları üretilmiş olur. burada serinin kendisini tekrarlamaması için b genellikle 2 32 gibi çok yüksel bir değer olarak seçilir. b Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 10 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Örnek Başka Bir Sanki Rasgele Sayı Üreteci x n+1 = (ax n c)mod b a = 263 b = 100 ve c = 71 alacak olursak, yukarıdaki eşitlik, x n+1 = (263x n 71)mod 100 biçiminde yazılabilir. rasgele sayı çekirdeğini x 0 = 79 olarak kabul edelim. bu durmda yukarıdaki eşitlikten, x1 : 79*263 + 71 (mod 100) = 20848 (mod 100) = 48, x1 : 48*263 + 71 (mod 100) = 12695 (mod 100) = 95, x1 : 95*263 + 71 (mod 100) = 25056 (mod 100) = 56, { 48, 95, 56, 99, 8, 75, 96, 68, 36, 39, 28, 35, 76, 59, 88, 15, 16, 79, 48,... } yazılabilir. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 11 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 12 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 13 / 17
Sanki Rasgele Sayılar (Pseudo Random Numbers) Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 14 / 17
Sanki Rasgele Sayıların Avantaj ve Dezajantajları Avantajları : Dezavantajları: Kısa bir sürede çok fazla sayıda rasgele sayı üretilebilir. Aynı rasgele sayı çekirdeğini ikinci kez vererek bir rasgele sayı dizisini yeniden üretmek mümkündür. Belli bir sayıda örneklemeden sonra dizi kendini tekrar edebilir. matematiksel fonksiyon yeterince iyi değilse, ard arda seçilen rasgele sayılar arasında korelasyon olabilir. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 15 / 17
Normalizasyon Fiziksel sistemlerin simülasyonunda rasgele sayılar genellikle [0-1] aralığında reel olarak örneklenir. 0 ξ 1 elde edilen rasgele sayı (ξ) daha sonra istenilen bir aralığa taşınabilir. Bu işlem için, Bunun için 0x = ξ 1 x = r (2ξ 1) + x aralık genişletme yöntemi uygulanabilir. Burada r aralığın genişliği, x ise aralık kaydırma miktarıdır. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 16 / 17
Normalizasyon x = r (2ξ 1) + x Örnek : [6, -4] aralığında rasgele sayı seçimi yapabilmek için, r = 5 ve x = 6 seçimi yapılırsa, x = 5 (2ξ 1) + 1 ifadesi her zaman istediğimiz aralıkta rasgele sayılar üretecektir. Doç.Dr.Gultekin Yeğin (C.B.Ü. Fizik) Rasgele Sayılar (Random Numbers) NUPAMC-2012 Bitlis 10 Mayıs 2012 17 / 17