KAOTİK YAKLAŞIMLA KISA VADE RÜZGAR HIZI ÖNGÖRÜSÜ Evren ÖZGÜR, Kasım KOÇAK İstanbul Teknik Üniversitesi, Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi Meteoroloji Mühendisliği Bölümü, 34460, Maslak, İstanbul ozgurev@itu.edu.tr, kkocak@itu.edu.tr ÖZET Son yıllarda temiz enerjiye doğru ciddi bir yönelim yaşanmaktadır. Rüzgar gücü, rüzgar hızının kübü ile doğru orantılı olduğundan, rüzgar hızının minimum hata ile belirlenmesi gerekmektedir. Dolayısı ile rüzgar hızının doğru bir şekilde ölçümü veya tahmini önemlidir. Lineer olmayan dinamik sistem yaklaşımına göre, bir sistemin zamansal gelişimi faz uzayındaki yörüngeleri ile temsil edilebilir. Faz uzayının koordinatları, sistemin zamansal gelişimini tam olarak belirleyebilmek için gerekli olan durum değişkenlerinden meydana gelmektedir. Bu çalışmada bir noktada ölçülen saatlik ortalama rüzgar hızı verileri kullanılarak, faz uzayı yeniden kurulmuştur. Bu faz uzayı bir model kullanılarak rüzgar verilerinin öngörüsü gerçekleştirilmiştir. Anahtar Kelimeler: Faz uzayı, Kaos, Lokal öngörü, Rüzgar hızı. SHORT TERM PREDICTION OF WIND SPEED VIA CHAOTIC APPROACH ABSTRACT In recent years, there has been growing interest in clean energy. Wind power is proportional to the third power of the wind speed thus it is important to determine the wind speed with minimum error. Therefore, it is important to measure or to predict the wind speed correctly. According to nonlinear dynamical system approach, it is possible that the time evolution of a system can be represented by its trajectories in phase space. This phase space is spanned by the state variables which are necessary to determine the time evolution of the system. In this study, the phase was reconstructed by using hourly average wind speed values measured at one point. This phase space was utilized as a model to predict wind speed. Key Words: Phase space, Chaos, Local prediction, Wind speed.
1. GİRİŞ Dinamik sistemler teorisine göre, bir sistemin zamansal evrimi faz uzayındaki yörüngeleri ile temsil edilebilir. Faz uzayının koordinatları, sistemin evrimini tam olarak gösterebilmek için gerekli olan durum değişkenlerinden meydana gelir. Faz portreleri, geçici bir durumdan sonra bütün yörüngeleri kendi üzerine çeken ve çekici (attractor) olarak adlandırılan özgün paternlere sahiptir. Deterministik gelişim gösteren sistemler nokta, limit çevrim ve tor gibi düşük boyutlu çekicilere sahiptirler. Bu tip çekiciler tam sayı bir boyutla karakterize edilebilirler. Bu çekicilerin önemli bir özelliği, üzerlerine yakınsayan yörüngelerin birbirlerinden sabit bir mesafede kalmasıdır. Bu özellik, sistemin uzun bir süre için öngörülebilir olmasını garanti eder. Pek çok dinamik sistem için, yörüngelerin üzerinde kaldığı çekicinin boyutu tam sayı değildir. Bu tür çekiciler fraktal küme olarak adlandırılır ve tam sayı olmayan bir boyutla karakterize edilirler. Bahsedilen özelliğe sahip çekiciler garip veya kaotik çekici olarak adlandırılır. Kaotik çekicilerin en önemli özelliği, başlangıç olarak birbirlerine yakın yörüngelerin zamanla göstermiş oldukları ıraksamadır. Bu özelliğin en önemli sonucu, öngörüye getirmiş olduğu sınırdır, bu durumda uzun süreli öngörü mümkün değildir (Koçak, 1996). Bununla birlikte pek çok meteorolojik değişkenler durumunda kısa vade öngörü başarıyla yapılabilmektedir. Bu çalışmada bir noktada ölçülen saatlik ortalama rüzgar hızı verileri kullanılarak, faz uzayı yeniden kurulmuştur. Bu faz uzayı bir model kullanılarak rüzgar verilerinin öngörüsü gerçekleştirilmiştir. 2. FAZ UZAYININ YENİDEN OLUŞTURULMASI Kaotik yaklaşımın ilk aşaması, mevcut zaman serisini üreten dinamiğin faz uzayının yeniden oluşturulmasıdır. Atmosferde meydana gelen süreçlerin bir çoğu, çok sayıda bağımsız değişken tarafından meydana getirilen bir faz uzayında cereyan ederler. Diğer bir deyişle, bazı istisnalar dışında bir dinamik sistem şeklinde ifade edilebilmeleri oldukça zordur. Düzenli Δt zaman aralıklarında örneklenmiş tek bir durum değişkenine ait zaman serisinden hareketle faz uzayının yeniden kurulması mümkündür. Bunun için önce çekici ile ilgili bilgilerin zaman serisinden tahmin edilmesi gerekir (Koçak, 1996). Çekici ile ilgili bu bilgiler embedding parametreleri olarak adlandırılan zaman gecikmesi ( ) ve embedding boyutudur (m). 2.1 Faz Uzayının Yeniden Oluşturulması Eğer elimizde herhangi bir süreçten örneklenmiş bir zaman serisi (ya da durum değişkenlerinden birisi) varsa, boyutların hesaplanabilmesi için her şeyden önce faz uzayının yeniden oluşturulması gerekmektedir. Bu şekilde oluşturulmuş faz uzayının boyutu embedding boyutu olarak adlandırılır. Bu şekilde oluşturulan yeni faz uzayının boyut sayısı, orijinal faz uzayının boyut sayısından daha az olabilecektir. Whitney embedding teoremi olarak bilinen bu teorem hemen hemen bütün diferansiye edilebilir dinamik sistemler için geçerlidir. Bu teorem, orijinal faz uzayındaki d boyutlu bir geometrik nesnenin örneğin bir çekicinin m = 2d+1 (2.1)
boyutlu bir faz uzayına embed olabileceğini ifade etmektedir. Tek bir durum değişkeninden çekici boyutunun elde edilebilmesi için m-boyutlu bir uzay içerisine (zaman serisinin kendisi ve (m-1) tane türevi) embed edilmesi yeterlidir: Şekil 2.1. Bir durum değişkeninden hareketle faz uzayının kurulması. (Bergé vd., 1984). X(t) = [x(t), x (t),, x (m-1) (t)] (2.2) Bu durumda eğer m yeterince büyük seçilirse, orijinal faz uzayının boyutunu bilmeye gerek yoktur. x(t) sürekli değişkeni ile onun (m-1) e kadar olan türevlerinin yerine Şekil 2.1 de gösterildiği gibi x(t) ayrık zaman serisi ile onun (m-1) e kadar olan (m-1)τ şeklinde kaydırılmış durumları dikkate alınabilir (Koçak, 1996): X(t) = {x(t), x(t+τ),, x[t+(m-1)τ]} (2.3) 2.2. Zaman Gecikmesinin (τ) Seçilmesi Genellikle sınırlı sayıda skaler değerden oluşan zaman dizileri ile uğraşıldığından gecikme parametresi τ nun seçimi büyük önem taşımaktadır. Gecikme değerinin seçiminde karşımıza temel olarak iki tür problem çıkmaktadır. Küçük gecikme değeri: τ parametresi zaman dizisinin tipik periyotlarına göre küçük seçildiği takdirde x[n] ile x[n+τ] değerleri neredeyse birbirine eşit olur. Bu durumda sistem dinamiğini değiştirmek için yeterli zamanı bulamamış olur. Büyük gecikme değeri: τ parametresi zaman dizisinin Lyapunov zamanına göre büyük seçilirse x[n] ile x[n+τ] değerleri arasındaki fark büyük olur ve vektör değerleri birbirinden bağımsız özellik kazanırlar. Bu da faz uzayında rastgele dağılmış durumlara yol açar. 2.2.1. Otokorelasyon Fonksiyonu Faz uzayının yeniden kurulması aşamasında zaman gecikmesi τ nun seçimi büyük önem taşımaktadır. Zaman gecikmesinin hesaplanmasında kullanılan klasik
yöntemlerden bir otokorelasyon fonksiyonudur. Bir zaman serisine otokorelasyon analizi uygulanırken şu varsayımlar daima göz önünde bulundurulmalıdır: - Ele alınan verilerin dağılımı normaldir, - Otokorelasyon fonksiyonu, aynı bir seriden τ zaman farkıyla elde edilen iki seri arasındaki lineer bağımlılığı ölçer. Uygulamalar pek çok verinin dağılımının normal olmadığını göstermektedir. Otokorelasyon fonksiyonu iki seri arasındaki lineer ilişkiyi ölçtüğünden, nonlineer bir ilişki ile hiç ilişkili olmaması durumlarını birbirinden ayırma imkanı vermez. Bu yöntem sadece doğrusal korelasyonları hesaba katmaktadır. Otokorelasyon fonksiyonunun ilk sıfırı τ olarak alınır. Seçimin bu şekilde yapılmasının nedeni, iki koordinatın lineer bağımsız hale geldiği zamanı tespit etmektir (Shuster, 1995). 2.2.2 Karşılıklı Bilgi Fonksiyonu Fraser ve Swinney (1986) τ nun seçimi için, otokorelasyondan daha iyi sonuç veren karşılıklı bilgi (mutual information) yöntemini önermiştir. Karşılıklı bilgi fonksiyonu, otokorelasyon fonksiyonunun aksine nonlineer korelasyonları da hesaba katar. Karşılıklı bilgi, iki rastgele değişken arasındaki karşılıklı bağımlılığı ölçen bir büyüklük olarak tanımlanmaktadır. Karşılıklı bilgi fonksiyonunu, τ nun çok büyük ya da çok küçük seçilmemesi amacına yönelik olarak kullanıyoruz. Bir başka deyişle amacımız, orijinal faz uzayına bakmadan optimum olan zaman gecikmesi belirlemektir. Karşılıklı bilgi fonksiyonun ilk lokal minimumuna denk gelen değer zaman gecikmesi (τ) olarak kabul dikkate alınır. 2.3. Minimum Embedding Boyutunun Belirlenmesi 2.3.1. Yanlış En Yakın Komşu Yöntemi Faz uzayında bir çekici eğer daha düşük boyutlu bir uzay içerisine gömülmüşse, bu durumda söz konusu çekicinin gerçekte komşu olmayan noktaları sanki komşuymuş gibi bir birlerine yakın düşeceklerdir. Ancak boyutun adım adım arttırılmasıyla bu yanlış komşulukların yüzdesi de giderek azalacaktır. Eğer yanlış en yakın komşulukların yüzdesini, embedding boyutuna göre çizersek, minimum yüzde değerine karşı gelen değer, aranan embedding boyutunu gösterecektir (Mathew vd., 1992). 2.3.2. Grassberger Procaccia Algoritması (GPA) Grassberger Procaccia (1983) algoritması kaotik bir sisteme ait korelasyon boyutunun (d G ) tahmini için kullanılan bir algoritmadır. Bu boyut değerinin hesaplanabilmesi için her şeyden önce korelasyon integralinin (C(ε)) hesaplanması gerekmektedir. Korelasyon integralinin uygulamada sağladığı yararları aşağıdaki şekilde özetlemek mümkündür: Korelasyon boyutu d G nin hesaplanmasında kullanılır. Korelasyon boyutu, lnc(ε)-ln(ε) grafiğinin eğimidir. Deterministik kaotik bir süreç durumunda d G belli bir m değerinde doymaya ulaşmaktadır. Bu eğrinin eğiminin sıfır olduğu noktanın apsisi, çekicinin kaç boyutlu bir uzay içerisine embed edileceğini gösterir.
3. LOKAL ÖNGÖRÜ YÖNTEMİ İlgilenilen zaman serisinin m boyutlu bir faz uzayında d G boyutlu bir çekiciye sahip olduğunu varsayalım. Diğer bir deyişle (3.1) eşitliği ile verilen bu zaman serisi kaotik bir dinamik sistem tarafından üretilmiş olsun. x i R, i = 1, 2,., N (3.1) Bu durumda faz uzayının yeniden kurulması işlemi; X i = (x i, x i-1,., x i-(m-1)τ ) R m i = 1 + (m-1)τ, 2 + (m-1)τ,, N-1, N (3.2) şeklinde tanımlanır. Burada X, m boyutlu bir vektördür. Faz uzayının boyutu m 2d G + 1 koşulunu sağlaması durumunda (3.2) eşitliği ile verilen dönüşümün, çekicinin orijinal faz uzayındaki özelliklerini yeni faz uzayına da taşıyacağı Takens tarafından gösterilmiştir. Yeni oluşturulan m boyutlu faz uzayında öngörü X i nin zamanla değişimi tahmin edilerek yapılır. Çekici üzerinde bulunan X t ve bu noktanın yörünge üzerinde p kadar zaman sonra gelmiş olduğu durum X t+p, X t+p F(X t ) (3.3) şeklinde bir F fonksiyonu ile bulunabilir. Lokal öngörü yönteminde X t nin çekici üzerinde zamanla değişiminin bu noktaya komşu noktaların (X t, h=1, 2,, n) değişimi ile aynı olduğu varsayılır. X t+p aşağıda verilen d. mertebeden bir polinom ile belirlenir (Itoh, 1995). Şekil 3.1. Lokal öngörü yönteminin mekanizması (Koçak vd., 2004). Aldığı değerler önceden bilinen n adet X Th ve X Th+p değerleri kullanılarak f katsayıları aşağıdaki denklem çözülerek elde edilebilir: x Af (3.4)
Bu denklemde geçen x ve f vektörleri; x = ( x T1+p, x T2+p,, x Tn+p ) (3.5) f = ( f 0, f 10, f 11,, f 1(m-1), f 200,, f d(m-1)(m-1)-(m-1) ) (3.6) eşitlikleri ile verilir. A matrisi ise n*(m+d)!/(m!d!) boyutlu Jacobian matrisini göstermektedir. (3.5) eşitliği ile verilen denklem sisteminin kararlı bir çözümünü elde edebilmek için Jacobian matrisi A nın satır sayısı n (m+d)! / m!d! (3.7) eşitsizliğini sağlaması gerekmektedir. 4. UYGULAMA Çalışmada Bandırma meteoroloji istasyonuna ait günlük ve saatlik rüzgar hızı değerleri kullanılmıştır. Günlük rüzgar hızı verileri 1987-2006 yıllarına ait toplam 7300 veriden ibarettir. Saatlik rüzgar hızı verileri ise 2009 yılına ait toplam 8760 adettir. Çalışmada gerekli işlemleri yapmak amacıyla TISEAN (Hegger ve Kantz, 1999) programı ve Fortran programlama dilinden yararlanılmıştır. Karşılıklı bilgi fonksiyonu ve otokorelasyon fonksiyonu yardımıyla zaman gecikmeleri tespit edilmiş, elde edilen zaman gecikmesi zamanları kullanılarak en yakın yanlış komşu yöntemi ile embedding boyutları belirlenmiştir. Daha sonra öngörüler yapılmış ve sonuçlar AR modeli ile karşılaştırılmıştır (Özgür, 2010). 4.1. Günlük Rüzgar Hızı Verileri Kullanılan 7300 veri kullanılarak TISEAN programı ile hesaplanan karşılıklı bilgi fonksiyonunun ilk lokal minimum değerine karşılık gelen =4 değeri zaman gecikmesi olarak dikkate alınmıştır (Şekil 4.1). Şekil 4.1. Bandırma günlük verilere ait karşılıklı bilgi ve otokorelasyon fonksiyonu.
Zaman gecikmesinin belirlenmesinde kullanılan bir başka yöntem de otokorelasyon fonksiyonudur. Otokorelasyon fonksiyonu da yine TISEAN programı yardımıyla hesaplanmıştır. Otokorelasyon fonksiyonuna ait grafik Şekil 4.1 de gösterilmiştir. Otokorelasyon fonksiyonu sonucu elde edilen zaman gecikmesi değerleri ile karşılıklı bilgi fonksiyonu sonucu elde edilen değerler hemen hemen aynı çıkmaktadır. Zaman gecikmesinin bulunmasından sonra embedding boyutunun belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için ilk lokal minimumu yapan değere karşılık gelen zaman gecikmesi için TISEAN programı yardımıyla yanlış en yakın komşu yöntemi kullanılarak embedding boyutu belirlenmiştir (Şekil 4.2). Şekil 4.2. Embedding boyutunun belirlenmesi Elde edilen embedding parametreleri kullanılarak lokal öngörü yöntemi Bandırma günlük ortalama rüzgar hızı verilerine uygulanmıştır. Öngörü ile ilgili sonuçlar Şekil 4.3 de verildiği gibidir. Yapılan hesaplamalar sonucunda ölçüm değerleri ile tahmin değerleri arasındaki korelasyon katsayısı 0.65 olarak bulunmuştur. Şekil 4.3. Lokal öngörü yöntemi kullanılarak elde edilen tahminlerin ölçüm sonuçları ile karşılaştırılması (düz: gözlemler, kesikli: öngörüler).
4.2. Saatlik Rüzgar Hızı Verileri Kullanılan 8760 veri yardımıyla TISEAN programı ile hesaplanan karşılıklı bilgi fonksiyonu kullanılarak ilk lokal minimum değerine karşılık gelen 15 değeri zaman gecikmesi olarak görülmektedir (Şekil 4.4). Zaman gecikmesinin belirlenmesinde kullanılan bir başka yöntem de otokorelasyon fonksiyonudur. Otokorelasyon fonksiyonu da yine TISEAN programı yardımıyla hesaplanmıştır. Otokorelasyon fonksiyonuna ait grafik Şekil 4.4 de gösterildiği gibidir. Şekil 4.4. Bandırma saatlik verilere ait karşılıklı bilgi ve otokorelasyon fonksiyonu Şekil 4.4 den de görüldüğü gibi, iki farklı yöntem ile elde edilen zaman gecikmesi yaklaşık olarak aynıdır. Zaman gecikmesinin bulunmasından sonra embedding boyutunun belirlenmesi gerekmektedir. Bunun için bulunan zaman gecikme için TISEAN programı kullanılarak yanlış en yakın komşu yüzdesine karşı gelen embedding boyutu belirlenmiştir. Bandırma ya ait saatlik ortalama rüzgar hızları verileri ve daha önceden elde ettiğimiz zaman gecikmesi kullanılarak elde edilen yanlış en yakın komşuluk yüzdesi, embedding boyutuna karşı çizilmiştir (Şekil 4.5). Şekil 4.5. Embedding boyutunun belirlenmesi Elde ettiğimiz zaman gecikmesi ve embedding parametreleri kullanılarak, lokal öngörü yöntemi Bandırma saatlik ortalama rüzgar hızı verilerine uygulanmıştır. Öngörü ile ilgili sonuç Şekil 4.6 da verildiği gibidir. Ölçüm değerleri ile tahmin değerleri arasındaki korelasyon katsayısı 0.65 olarak bulunmuştur.
Şekil 4.6. Lokal öngörü yöntemi kullanılarak elde edilen saatlik tahminlerin ölçüm sonuçları ile karşılaştırılması (düz: gözlemler, kesikli: öngörüler). 4.3. Sonuçların AR modeli ile karşılaştırılması AR modeli zaman serilerinin modellenmesinde kullanılan klasik yöntemlerden bir tanesidir. Yapı olarak lokal öngörü yöntemine benzer özellikler gösterdiği için çalışmada bulunan öngörü sonuçlarının karşılaştırılması amacıyla klasik yöntemlerden AR modeline başvurulmuştur. AR modeli yardımıyla rüzgar hızı öngörüsü yapılarak, kaotik yaklaşımla elde edilen sonuçlarla kıyaslanmıştır. Sonuçta kaotik yaklaşımla elde edilen öngörülerin, AR modeli kullanılarak elde edilen öngörülerine göre daha iyi sonuçlar verdiği gözlenmiştir. Örnek olarak Bandırma saatlik rüzgar hızı verilerine uygulanan AR modelinin tahmin sonuçları Şekil 4.7 de verilmiştir. AR modeline ait tahmin edilen değerlerle ölçüm değerleri arasında 0.60 lık bir korelasyon olduğu bulunmuştur. Aynı verilere uygulanan kaotik yaklaşımla tahmin örneğinde ise tahmin değerleri ile ölçüm değerleri arasındaki korelasyon katsayısı 0.65 olarak bulunmuştu (Şekil 4.7). Bu durumda kaotik yaklaşımla yapılan rüzgar hızı öngörüsünün, AR modeli kullanılarak yapılan tahminlere göre daha iyi sonuçlar verdiği söylenebilir. Şekil 4.7. AR modeli kullanılarak elde edilen tahmin örneği
5. SONUÇLAR Bu çalışmada kaotik yaklaşımlardan lokal öngörü yöntemi kullanılarak Bandırma meteoroloji istasyonuna ait saatlik ve günlük ortalama rüzgar hızı verilerinin öngörüsü gerçekleştirilmiştir. Bunun için öncelikle faz uzayının yeniden oluşturulma işlemi gerçekleşmiştir. TISEAN programı yardımıyla karşılıklı bilgi fonksiyonu ve otokorelasyon fonksiyonu kullanılarak zaman gecikmesi belirlenmiştir. Daha sonra bu zaman gecikmesi için yanlış en yakın komşu yöntemi yardımıyla embedding boyut bulunmuş ve faz uzayları yeniden oluşturulmuştur. Lokal öngörü yöntemi kullanılarak iki istasyona ait saatlik ve günlük rüzgar hızları tahmin edilmiştir. Rüzgar verisinin karakteri dikkate alındığında sonuçlar oldukça ümit vericidir. Rüzgar verilerinin doğası gereği daha karmaşık ve ani değişimler göstermesi nedeniyle öngörülebilirlik kısıtlanmaktadır. Yöntemin uygulanması sonucunda Bandırma istasyonuna ait saatlik ve günlük ortalama rüzgar hızları kullanılarak yapılan öngörülerin her ikisinde de ölçülen ve tahmin edilen değerler arasında 0.65 lik bir korelasyon gözlenmiştir. Ayrıca AR modeli kullanılarak da aynı istasyonlara ait öngörüler yapılmıştır. Klasik yöntemlerle yapılan öngörülerde tahminlerle ölçümler arasında daha düşük bir korelasyon bulunmuştur. Bu sonuçlar kaotik yaklaşımla yapılan öngörülerde klasik yöntemlerle yapılan öngörülere nazaran oldukça başarılı sonuçlar alındığını göstermektedir. KAYNAKLAR Bergé, P., Pomeau, Y., Vidal, C., 1984: Order Within Chaos, John Wiley & Sons. Fraser, A.M., Swinney, H.L., 1986: Independent coordinates for strange attractors from mutual information, Physical Review A, 33(2): 1134-1140. Grasberger, P., Procaccia, I., 1983: Measuring the strangeness of strange attractors, Physica, 9D: 189-208. Hegger, R., Kantz, H., 1999: Practical implementation of nonlinear time series methods: The TISEAN package, Chaos, 9: 413-435. Itoh, K.I., 1995: A method for predicting chaotic-time series with outliers. Physical Review A, V.78, N.5, 44-52. Koçak, K., 1996: Kaotik davranış kriteri olarak fraktal boyut değişimi ve dinamik sistemlere uygulanması, İstanbul, İTÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü, 5-35. Koçak, K., Şaylan, L., and Eitzinger, J., 2004: Nonlinear Prediction of Near-surface Temperature via Univariate and Multivariate Time Series Embedding. Ecological Modelling, 173(1), pp:1-7. Mathew, B.K., Brown, R., Abarbanel, H.D., 1992: Determining embedding dimension for reconstruction using a geometrical construction. Physical Review A, V.45, N.6, 3403-3411. Özgür, E., 2010: Kaotik yaklaşımla rüzgar hızı öngörüsü, Meteoroloji Müh. Bölümü, Bitirme Çalışması. Shuster, H.G., 1995: Deterministic Chaos, An Introduction, Third Ed., VCH.