1.B BÖLÜM 11 MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKNİĞİ:DİNMİK Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Phillip J. Cornwell Lecture Notes: Brian P. Self California Polytechnic State Uniersity Parçacık Kinematiği Çeiri: Mühendisler için Vektör Mekaniği: Dinamik kitabından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Cihan MIZRK Karabük Üniersitesi Mekatronik Mühendisliği Bölümü 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered.
Contents Giriş Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme Parçacığın Hareketinin Belirlenmesi Örnek Problem 11. Örnek Problem 11.3 Düzgün Doğrusal Hareket Sabit İmeli Doğrusal Hareket Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket Örnek Problem 11.4 Birden Fazla Parçacığın Hareketi : Bağımlı Hareket Örnek Problem 11.5 Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri Diğer Grafik Yöntemleri Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme Vektör Fonksiyonlarının Türeleri Hız e İmenin Dik Bileşenleri Ötelenen Bir Çerçeeye Göre Hareket Teğetsel e Normal Bileşenler Radyal e Enine Bileşenler Örnek Problem 11.1 Örnek Problem 11.1 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11 -
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. ÖNEMLİ HTIRLTMLR Ders, sınıfın kapısı kapandığı andan itibaren başlayacaktır. Kapıyı kapalı görenler bir sonraki derse gelebilir. Ders süresince kendi aranızda konuşmak yasaktır. Bir sorunuz olursa bana yöneltin. Ders süresince telefonlar sessiz konumda olmalıdır. Ders dahil tüm soru e görüşleriniz için; Eposta: cihanmizrak@karabuk.edu.tr http://web.karabuk.edu.tr/cihanmizrak/
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. ÖNEMLİ HTIRLTMLR Ders Kitabı (Türkçe) : Beer, Johnston, Cornwell-Mühendisler için Vektör Mekaniği: Dinamik Çeirisi (Ömer Gündoğdu, Osman Kopmaz) Yaşar Pala-Mühendislik Mekaniği Dinamik
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. ÖNEMLİ HTIRLTMLR Temel matematik bilgilerinizi tazeleyin (trigonometrik dönüşümler, türe, integral) Bunun yanında Mühendislik Mekaniği-STTİK (Birim ektör, Serbest Çizim Diyagramı)
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. DİNMİK NEDİR Türk Dil Kurumu na göre; Mekaniğin KUVVET, HREKET, ENERJİ arasındaki ilişkilerini inceleyen dalı. Diğer bir deyiş ile; HREKET e sebep olan e hareketi değiştiren unsurlar ile HREKETin sonuçlarını inceler. Öyle ise HREKET olmasaydı
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered.. MEKNİK NEDİR KUVVETlerin etkisi altındaki cisimlerin HREKET li e DURĞN hâllerini inceleyen bilim dalıdır. MÜHENDSİLİK MEKNİĞİ STTİK Katı Elastik kışkan MÜHENDSİLİK MEKNİĞİ DİNMİK KİNETİK HREKETin sebebi KİNEMTİK HREKETin sonucu
HREKET NEDİR Sebep Sonuç ENERJİ Dönme T=Iα YER DEĞİŞTİRME KUVVET MOMENTUM KİNETİK HREKET 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Öteleme F=ma Yada; Dönme+Öteleme Şeklindedir. İVME HIZ KİNEMTİK
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. HREKET NEREDE GERÇEKLEŞİR Üç Boyutta (Uzay) Tek Boyutta (Doğrusal) HREKET İki Boyutta (Düzlemsel) Dört Boyutta
ÜÇ z BOYUTT KOORDİNT SİSTEMLERİ z y k j. i Kartezyen KOORDİNT SİSTEMLERİ y θ r. z Silindirik z y 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered.. r ϕ θ Küresel
Ne hareket Eder KÜTLESİ OLN HERŞEY O zaman; Peki IŞIK Parçacık: Cismin kütlesinin bir noktada toplandığı arsayılarak işlem yapılan cisimlerdir. Bu cisimlerin ataleti Katı Cisim: İç e dış etkilerle şeklini değiştirmeyen (Kabul. N.Ş. da böyle değildir), yani esnemeyen e ataleti olan cisimdir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered.
13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered.. Göreceğİmİz konular TOPRLYCK OLURSK; Parçacıkların KİNEMTİK nalizi KİNETİK Katı Cisimlerin
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme Doğrusal hareket: Bir doğru boyunca parçacığın hareketi. Konum koordinatı: Bir doğru üzerinde parçacığın orijinden pozitif yada negatif olan uzaklığı belirtir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Bir parçacığın yer koordinatı her t zamanı için biliniyorsa, parçacığın hareketi biliniyordur deriz. Hareketin zaman tablosu e t cinsinden mesela; 3 6t t gibi bir denklem yada yandaki şekilde e t ye bağlı grafik olarak erilebilir. 11-13
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Parçacığın t zamanında işgal ettiği P yerini e buna karşılık gelen koordinatını göz önüne alalım. ynı zamanda parçacığın t+dt, zamanında bulunduğu P yerini düşünelim. Buna göre; D Ortalama hız Dt D nlık hız lim Dt Dt nlık hız pozitif yada negatif değer alabilir. ni hızın şiddeti ise parçacığın süratini erir. Türein tanımından; D lim Dt Dt e.g., 6t d dt t 3 1t d dt 3t 11-14
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme Parçacığın t anındaki hızı e daha sonraki bir t+dt anındaki hızı +D ise parçacığın; D nlık imesi a lim Dt Dt nlık ime; - Pozitif: Pozitif hız artabilir yada Negatif hız azalabilir. - Negatif: Pozitif hız azalabilir yada Negatif hız artabilir. Türein tanımından; D a lim Dt Dt e.g. 1t 3t d dt d dt a d dt 1 6t 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-15
İçerik Quiz Parçacığın kinematiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) Parçacığın hızı daima pozitiftir. b) Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı erir. c) Parçacığın konumu sıfır ise hız sıfır olmak zorundadır. d) Parçacığın hızı sıfır ise imesi sıfır olmak zorundadır. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 16
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme Örneğimizden, 6t t d dt 3 1t 3t a d d 1 t dt dt 6 t = s için,, e a nedir? - at t = s, = 16 m, = ma = 1 m/s, a = Dikkat edilirse a= olduğunda ma olur. Bu nedenle hız-zaman eğrisinin türei bu noktada sıfırdır. t = 4 s için,, e a ne olur? - at t = 4 s, = ma = 3 m, =, a = -1 m/s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-17
Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız e İme İme genellikle uygulanan kuetten yola çıkarak elde edilmektedir. (Bu konu kinetik kısmında detaylı anlatılacaktır) Generally hae three classes of motion - ime, zamanın bir fonksiyonu olarak, a = f(t) - ime, konumun bir fonksiyonu olarak, a = f() - ime, hızın bir fonksiyonu olarak, a = f() ifade edilebilir. Kuetin pozisyonun bir fonksiyonu olduğu fiziksel bir örnek düşünebilirmisiniz? yay 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. sürtünme 11-18
İme, zamanın, konumun e hızın birer fonksiyonu ise; Eğer Kinematik ilişki İntegral a a t d () dt at d t a t dt a a dt d d and a dt d a d d a d a a d () dt a d a d 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. d a d t dt d a - 19
Örnek Problem 11. Bir top yerden m yukarıdaki bir pencereden düşey olarak yukarı doğru 1 m/s lik bir hızla atılıyor. Topun imesinin sabit e aşağı doğru 9.81 m/s olduğu bilindiğine göre; Herhangi bir t anında e herhangi bir yükseklikteyken hızını e y yüksekliğini, Topun ulaştığı maksimum yüksekliği e buna karşılık gelen t zamanını, Topun yere çarptığı zamanı e bu sıradaki hızı belirleyip -t e y-t eğrilerini çiziniz. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. SOLUTION: (t) e y(t) değerleri için sabit imeden yola çıkılarak integre edilecek Hızın sıfır olduğu noktada maksimum yükseklik olur e buradan bu noktaya çıkmak için gerekli olan t süresi e y mesafesi bulunur. Top yere çarptığında ise y= olur e buradan gerekli süre ile topun hızı bulunur. 11 -
Örnek Problem 11. ÇÖZÜM: (t) e y(t) için integrasyon işlemleri d dt t d dy dt yt dy y a 9.81m t 9.81dt s 1 9.81t t t t 9.81t m 1 s m 9.81 t s 1 1 9.81t dt y t y 1t 9.81t y m s t m 1 t 4.95 t m s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-1
Örnek Problem 11. Hızın sıfır olduğu noktada t; m s m s t 1 9.81 t t 1.19s Bu zaman süresince topun aldığı mesafe e pozisyonu; y t y m 1 m 1 m s m s t m 4.95 t s m s 1.19s 4.95 1.19s y 5.1m 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11 -
Örnek Problem 11. Topun son pozisyonu sıfır olduğundaki t; y m s m s t m 1 t 4.95 t Bu noktadaki hızı; m m t 1 9.81 t s s m s t 1.43s t 3.8s m s 3.8s 1 9.81 3.8s m. s manasiz 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-3
Örnek Problem 11.3 ÇÖZÜM: a k Belli tipteki silahlarda geri tepmeyi azaltmak için kullanılan bu fren mekanizması, esas itibari ile namluya bağlı e yağla doldurulmuş sabit bir silindir içinde hareket eden bir pistondan ibarettir. Namlu hızı ile geri teptiğinde piston hareket eder e yağ, piston e namlunun hızlarıyla orantılı yaaşlamasına neden olacak tarzda, pistondaki deliklerden geçmeye zorlanır. Yani a=-k dir. Buna göre yi t cinsinden, i t cinsinden, yi t cinsinden ifade ediniz e hareket eğrilerini çiziniz. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. (t) yi bulmak için; Integrate a = d/dt = -k () yi bulmak için; Integrate a = d/d = -k (t) yi bulmak için; Integrate (t) = d/dt 11-4
Örnek Problem 11.3 ÇÖZÜM: (t) için Integrate a = d/dt = -k t d d t a k k dt ln kt dt t e kt (t) için Integrate (t) = d/dt. t d e dt kt t kt 1 d e dt t e k kt t k kt t 1 e 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-5
Örnek Problem 11.3 () için Integrate a = d/d = -k. a d d k k d k d d k d k lternatif, with and then t t k kt t 1 e kt e or 1 k e t kt t k 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-6
Group Problem Çözümü +y Bir boling topu, bir bottan gölün yüzeyine 8 m/s lik hızla çarpacak şekilde bırakılıyor. Su içindeyken topun aşağıya doğru a=3-.1 imesine sahip olduğunu kabul ederek topun gölün tabanına urduğundaki hızını bulunuz. Hangi integrasyonu kullanmak gerekir? (a) t d a t dt (c) d ad (b) d d a (d) d a t dt 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 7
Group Problem Çözümü Durgun pozisyondan harekete geçen otomobil hızla orantılı olarak ÇÖZÜM: Uygun kinematik ilişkileri kullanarak zamana, konuma yada hıza bağlı ime ifadesini belirleyin. racın yolun yarısına kadar olan kat ettiği mesafeyi bulun. Hızı bulmak için integrasyon yapın. a 3.1 eşitliği ile imelenmektedir. m yarıçapa sahip dairesel bir yol üzerinde ilerleyen aracın yolun yarısına geldiği andaki hızı ne olur? 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-8
Grup Problem Çözümü Verilen: a3.1 o =, r = m Bulunacak:, ½ yol Maimum hız Uygun kinematik ilişkiyi seç. İme hızın bir fonksiyonu olduğundan katedilen mesafe, aşağıdaki kinematik ilişki yardımıyla elde edilir. Onun için zamana bağlı kinematik ilişkileri kullanmaya gerek yoktur. d d a d d a Yolun yarısına kadar olan toplam yerdeğiştirme r 3.14() 68.3 m 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 9
Group Problem Çözümü Verilenlere göre integral e sınırları d d a 68.3 d 3.1 d İntegralin hesaplanması e hızın elde edilmesi 1 68.3 ln 3.1. 68.3(.) ln 3.1 ln 3.1() ln 3.1 1.566 1.986=.158 Her iki taraf e tabanında yazılmasıyla 3.1 e.158 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 3
Group Problem Çözümü Buradan 3.1 e.158.158 e 146. 46.368 m/s.1 3 Maksimum hız nasıl hesaplanacak? Hızın maksimum olduğu yerde ime sıfırdır. a 3.1 Buradan.1 3 ma 3.1 ma 54.77 m/s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 31
Düzgün Doğrusal Hareket Serbest düşüş esnasında paraşütlünün sahip olduğu maksimum hız, paraşütlünün ağırlığının haanın direnç kuetine eşit olduğu zaman gerçekleşir. Bu hareket düz bir çizgi boyunca deam ederse buna düzgün doğrusal hareket denir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Düzgün doğrusal hareket yapan parçacık için hız sabit e bu nedenle de ime sıfıra eşittir. d dt d t dt t t constant BU DURUM SDECE DÜZGÜN DOĞRUSL HREKETTE GEÇERLİDİR. 11-3
Sabit İmeli Doğrusal Hareket Eğer cisim üzerine uygulanan kuet sabit ise bu cisim için sabit imeli doğrusal hareket yapıyor denir. Sürtünmenin ihmal edildiği durum için serbest düşme hareketi. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-33
Sabit İmeli Doğrusal Hareket Sabit imeli doğrusal hareket yapan bir parçacığın imesi sabittir. Gördüğünüz Fizik I dersinden tanıdık gelecek ifadeler; t d constant dt a d a dt at t 1 d at d at dt t at dt d a constant d a d a d BU DURUM SDECE SBİT İVMELİ DOĞRUSL HREKETTE GEÇERLİDİR. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-34
Birden Fazla Parçacığın Hareketi Birden fazla parçacığın hareketini düşünecek olursak, bu parçacıklar birbirinden bağımsız yada bağımlı olarak hareket edebilmektedirler. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 35
Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket İki parçacığın aynı doğru üzerindeki hareketi için zaman aynı başlangıç anından itibaren kaydedilmeli e yer değiştirmelerde aynı orijinden e aynı doğrultuda ölçülmelidir. B B B B B nin ya göre bağıl yer değiştirmesi B B B B B nin ya göre bağıl hızı a a B B a a B a a B B nin ya göre bağıl imesi 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-36
Örnek Problem 11.4 Bir top asansör boşluğunda 1 m den düşey doğrultuda 18 m/s lik bir başlangıç hızıyla yukarıya fırlatılıyor. ynı anda açık platformlu bir asansör, yukarı doğru m/s lik sabit hızla hareket halinde 5 m yükseklikten geçiyor. (a) Topun ne zaman e nerede asansöre çarpacağını (b) top asansöre çarptığı anda topun asansöre göre bağıl hızını bulunuz 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. ÇÖZÜM: Topun hareketin sabit imeli doğrusal bir hareket olduğu görülüp, başlangıç anındaki konum, hız e ime değerlerinin belirlenmesi sansörün hareketinin sabit hızla doğrusal hareket olduğu e buradan yer değiştirmesinin belirlenmesi Top asansöre çarptığında birbirlerine göre bağıl yer değiştirmelerinin aynı olduğu e buradan çarpma zamanının belirlenmesi Topun asansöre göre bağıl hızını bulmak için topun hızı e asansörün hızının bağıl hız ifadesinde yerlerine konulması 11-37
Örnek Problem 11.4 ÇÖZÜM: 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. O orijini yer seiyesinde yerleştirip pozitif yönü yukarı doğru seçersek, topun başlangıç konumu, y =+1 m, başlangıç hızı =+18 m/s e ime a=- 9.81 m/s den; B at m 18 s m 9.81 t s 1 m m yb y t at 1m 18 t 4.95 t s s Tekrardan O orijini yer seiyesinde yerleştirip pozitif yönü yukarı doğru seçersek, asansörün başlangıç konumu, y =+5 m, başlangıç hızı =+ m/s den; m E s m ye y Et 5m t s 11-38
Örnek Problem 11.4 Topun asansöre göre bağıl konumu çarpma anında aynı olduğundan; y 1 18t 4.95t 5 t B E t.39s meaningless t 3.65s Çarpma zamanı elde edildikten sonra asansörün som konumu e topun asansöre göre olan bağıl hızı; y E 5 3.65 y E 1.3m B E 18 9.81t 16 9.81 3.65 B E m 19.81 s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-39
Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağımlı Hareket Parçacığın konumu bir yada birden fazla parçacığın konumuna bağlı olabilir. B kütlesinin konumu kütlesinin konumuna bağlıdır. Halat esnemeyen sabit uzunlukta olduğu için her bir kütlenin referans düzlemine göre olan mesafelerinin toplamı sabittir. sabit (tek serbestlik dereceli) B, B e C kütleleri birlikte bağımlı hareket gerçekleştirir. sabit (iki serbestlik dereceli) B C Konumun doğrusal hareketi için hız e ime ifadeleri de benze şekildedir. d dt d dt d dt d dt B B d dt d dt C C or or a a B B C a C 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-4
Örnek Problem 11.5 bileziği e B bloğu şekilde gösterildiği gibi C, D e E gibi üç makaradan geçen bir kabloyla bağlanmışlardır. C e E makaraları sabittir. Buna karşılık D makarası 75 mm/s lik sabit bir hızla aşağıya doğru çekilen bir bileziğe tutturulmuştur. t= da bileziği K yerinden itibaren sabit bir imeyle e ilk hızsız olarak aşağıya doğru hareket etmeye başlamaktadır. L noktasından geçerken bileziğinin hızının 3 mm/s olduğu bilindiğine göre tam bu sırada B bloğunun yüksekliğindeki değişim, hız e imesini bulunuz. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. ÇÖZÜM: Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir e pozitif yönü aşağı doğru seçilir. bileziğinin sabit imeli doğrusal hareketinden L mesafesini alması için gerekli t bulunur. D makarasının sabit imeli doğrusal hareketinden t zamanındaki son konumu, B bloğunun hareketi bileziği e D makarasına bağlı olduğundan t zamanı için bloğun bağımlı hareketi, Konumun türelendirilmesi ile B bloğunun hızı e imesi elde edilmiş olur. 11-41
Örnek Problem 11.5 ÇÖZÜM: Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir e pozitif yönü aşağı doğru seçilerek bileziğinin sabit imeli doğrusal hareketinden sırasıyla ime e t zamanı; 3 a mm s a mm s mm a 5 a mm mm 3 5 s s t t t 1.333 s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-4
Sample Problem 11.5 D makarasının düzgün doğrusal hareketinden t zamanı için konumu; D D D t mm D D 75 1.333s 1 mm s B bloğunun e D ye göre olan bağımlı hareketinden, halatın boyu sabit olacağından t zamanı için orijine göre olan herbirinin konumları toplamı; D B 8in. 4in. D D B B B B D B B mm B 4 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-43
Örnek Problem 11.5 B bloğunun konum ifadesi türelendirilerek hız e ime; 3 mm s D D B B 75 sabit mm s B B 45 mm s a a 5 mm s D B a B a B 5 mm s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-44
Grup Problemi bloğu 6 m/s lik sabit hızla sola doğru hareket ediyor. Buna göre B bloğunun hızını bulunuz. Çözüm adımları Serbest çizim diagramı çizilir e koordinat ekseni tanımlanır. Kısıt eşitliği yazılır. Kısıt eşitliği türelendirilerek hız değeri elde edilir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 45
Grup Problem Çözümü y B Verilenler: = 6 m/s sol tarafa hareket Bulunacak: B Bloğun ne kadar hareket ettiği önemsiz. Çünkü halatın boyu sabit. Serbest Çizim diagramı çizilir e koordinat eksenleri tanımlanır. Kısıt eşitliğinden; 3y constants L B Kısıt eşitliğinin birinci mertebeden türei; 6 m/s + 3B B m/s Burada nın büyük, y B nin diğerine göre küçük değer aldığı görülmektedir. NEDEN 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 46
Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri Mühendisler genellikle konum, hız e ime değerlerini sensörler aracılığı ile eri şeklinde elde ederler. Grafik çözüm yöntemi bu erilerin analiz edilmesinde sıklıkla kullanılmaktadır. Data Fideltity / Highest Recorded Punch 18 cceleration (g) 16 14 1 1 8 6 4 47.76 47.77 47.78 47.79 47.8 47.81 Time (s) Boksörün uruş anında yumruğundan ime sensörü aracılığı ile alınmış zamana göre imelenme değerleri 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 47
Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri Verilen -t eğrisinin eğiminden elde edilen, -t eğrisi Verilen -t eğrisinin eğiminden elde edilen, a-t eğrisi 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-48
Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri Verilen a-t eğrisin t 1 e t zaman aralığı için altında kalan alanın hesaplanması ile elde edilen -t eğrisi Verilen -t eğrisin t 1 e t zaman aralığı için altında kalan alanın hesaplanması ile elde edilen -t eğrisi 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-49
Diğer Grafik Metodları Moment-alan metodu bir parçacığın her hangibir andaki yerini a-t grafiğinden elde etmek için kullanılır. 1 altıltınd alan t eğğisinin t 1 1 t t d = a dt eşitliğinden 1 1 t t 1 t ta dt 1 1 t abscissa 1 1 1 t 1 t d a dt a-t eğrisinin t = t 1 çizgisine göre birinci eylemsizlik momenti under. of under a-t cure t t area 1 centroid C 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-5
Diğer Grafik Metodları Parçacığın imesinin - eğrisi yardımıyla bulunması: a d d B tan BC subnormal to - cure 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-51
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme Bezbol e otomobilin eğrisel hareketi Parçacığın doğrusal hareketten farklı olarak bir eğri boyunca iki boyutta gerçekleştirdiği hareket eğrisel hareket. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-5
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme Parçacığın erilen bir t anında işgal ettiği P yerini tanımlamak için öncelikle, y, z gibi sabit referans sistemi seçilir e O orijiniyle P noktasını bağlayan r ektörü çizilir. Bu r ektörüne t zamanında parçacığın yer ektörü de denilir. Parçacığın t + Dt anında işgal ettiği P yerini tanımlayan r ektörünü ele alacak olursak 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-53
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme ni hız (Vektör) lim D t Dr Dt dr dt ni Sürat (skaler) lim D t Ds Dt ds dt 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-54
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme Parçacığın herhangi bir t anında sahip olduğu hız, e t+ t anında sahip olduğu hız ise; D d a lim anlık ime (ektör) D t Dt dt Parçacığın herhangi bir t anında e t+ t anındaki hızı düşünüldüğünde; İme ektörünün doğrultusu genellikle parçacığın yörüngesine e hızına teğet değildir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-55
Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız e İme Parçacığın hız ektörünün zamana göre değişiminden elde edilen yörüngeye parçacığın imesi her zaman teğettir. Bu yörüngeye hodograf denir. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-56
Vektör Fonksiyonlarının Türeleri P u u, skaler değişkenine bağlı ektör fonksiyonu olsun dp DP Pu Du Pu lim lim du Du Du Du Du Türelerin toplamı dp Q dp dq du du du Skaler e Vektörel fonksiyonların çarpımların türei d f P df dp P f du du du İki fonksiyonun skaler e ektörel çarpımlarının türeleri dp Q dp dq Q P du du du dp Q dp dq Q P du du du 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-57
Hız e İmenin Dik Bileşenleri P parçacığının r yer ektörünü dik bileşenlere ayırarak r i y j zk Hız ektörü, d dy dz i j k dt dt dt i j k y z i y j zk İme ektörü, d d y d z a i j k dt dt dt a i a j a k y z i y j zk 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-58
Hız e İmenin Dik Bileşenleri 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Mesela bir top mermisinin hareketi düşünüldüğünde haa direnci ihmal edildiğinde her bir eksen için ayrı ayarı ime ifadeleri düzenlenebilir. a a y g a z Başlangıç koşullarından, y z y,, y z İki kere integrasyon işleminden sonra, y y gt z t y y 1 gt z y Hareketin yatay bileşeni sabit hızlı doğrusal hareket Hareketin dikey bileşeni sabit imeli doğrusal hareket Eğik atış hareketinde dik bileşenler üzerindeki hareket dik bileşenler üzerinde ayrı ayrı değerlendirilir. z 11-59
Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: Yatay e dikey bileşenlerdeki hareketler ayrı ayrı düşünülür. y-yönündeki hareket denklemleri yazılır -yönündeki hareket denklemleri yazılır. Bir top mermisi 15 m yükseklikteki bir uçurumun kenarından yatayla 3 açıda 18 m/s lik bir başlangıç hızıyla ateşleniyor. Haa direncini ihmal ederek (a) Topla merminin yere düştüğü nokta arasındaki uzaklığı (b) merminin yerden itibaren ulaşabileceği en fazla yüksekliği bulunuz. 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. Yatay doğrultudaki mesafeden yola çıkarak merminin toplam uçuş süresi hesaplanır. y = anında merminin çıkabileceği azami yükseklik hesaplanır. 11-6
Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: Verilenler: () o =18 m/s (y) o =15 m (a) y = - 9.81 m/s (a) = m/s Dikey hareket sabit imeli Yatay hareket sabit hızlı: Choose positie to the right as shown 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-61
Örnek Problem 11.7 ÇÖZÜM: Yatay mesafe için, Merminin zeminde ulaşacağı son konumu () nolu denklemde yerine yazılırsa, Merminin toplam haada kalma zamanı t bulunur. (4) nolu denklemde bulunan t zamanı yerine yazıldığında zami yükseklik y = olduğu anda gerçekleşir. Merminin zeminden ulaşabileceği azami yükseklik= 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-6
Concept Quiz Eğer mermi 15 m yükseklikten tekrar ateşlenirse yatay yönde alabileceği mesafe aşağıdaki durumlardan hangisinde daha fazla olur? a) Fırlatma açısı 45 olma durumunda b) Fırlatma açısı 45 den küçükse c) Fırlatma açısı 45 den büyükse d) Başlangıç hızını dikey bileşeni artırıldığında 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 63
Grup Problem Çözümü 1. m 1.5 m Bir beyzbol makinesi, beyzbol toplarını yatay hızıyla fırlatıyor. h yüksekliğinin 788 mm olması istendiğine göre (a) bulunuz. ÇÖZÜM: Yatay e dikey bileşenlerdeki hareketler ayrı ayrı düşünülür. y-yönündeki hareket denklemleri yazılır -yönündeki hareket denklemleri yazılır Topun 788 mm deki pozisyonu için arış zamanı bulunur 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. 11-64
Grup Problem Çözümü Verilenler : = 1. m, y o = 1.5 m, y f = 788 mm. Bulunacak: o y-yönündeki hareketin analizi 1 y f y () t gt 1.788 1.5 gt.71 m 4.95t -yönündeki hareketin analizi ( ) t t 1. m ( ). 47s 5.96 m / s t. 47s 13 The McGraw-Hill Companies, Inc. ll rights resered. - 65