ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KUANTUM NOKTALARINDA POLARON ETKİLERİNİN SIKIŞTIRILMIŞ DURUMLARLA KURAMSAL İNCELENMESİ Nazmiye KERVAN FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA 4 He hakkı saklıdı
Pof. D. Tacettin ALTANHAN danışmanlığında, Nazmiye KERVAN taafından hazılanan bu çalışma 13/1/4 taihinde aşağıdaki jüi taafından Fizik Anabilim Dalı nda doktoa tezi olaak kabul edilmişti. Başkan : Pof. D. Asın AYDINURAZ Pof. D. Tacettin ALTANHAN Pof. D. Hamit YURTSEVEN Pof. D. Basi ÜNAL Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR Yukaıdaki sonucu onaylıyoum Pof. D. Metin OLGUN Enstitü Müdüü
ÖZET Doktoa Tezi KUANTUM NOKTALARINDA POLARON ETKİLERİNİN SIKIŞTIRILMIŞ DURUMLARLA KURAMSAL İNCELENMESİ Nazmiye KERVAN Ankaa Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman : Pof. D. Tacettin ALTANHAN Bu tez çalışmasında, paabolik kuantum noktasında hapisli bi elekton için polaonik etkile ve optiksel soğuma, LLPH yöntemi ve sıkıştıılmış duumla yadımıyla incelenmişti. Bu çalışmada, üç boyutlu malzemede gömülü bi kuantum noktası düşünülmüştü ve nokta elektonu paabolik bi potansiyelde hapsedilmişti. Elektonu sıfı boyuta sınılayan ve böylece kuantum noktasını oluştuan hapisleyici potansiyelin eklenmesiyle elde edilen Föhlich Hamiltoniyenini çözmek için, önce LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm geçekleştiilmişti. Bu kanonik dönüşümleden sona otaya çıkan kuadatik teimle, sıkıştıılmış duum dönüşümüyle köşegenleştiilmişti ve buada sıkıştıma açısı ek bi vayasyon paametesi olaak kullanılaak, LO-fononlala etkileşen elektonun taban ve ilk uyaılmış duum enejilei için polaonik düzeltmele elde edilmişti. Böylece sıkıştıılmış fonon duumlaının, kuantum noktasında polaonik etkilede önemli bi atışa sebep olduğu göülmüştü. Yine bu tez çalışmasında, paabolik kuantum noktasında hapisli bi elekton için optiksel soğuma iki faklı şekilde incelenmişti. Optiksel soğuma katsayısını hesaplamak için ilkinde, önce aa duumla elenmişti. Daha sona, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm ve sıkıştıılmış duum dönüşümü geçekleştiileek, tüm bağlaşım şiddeti bölgesini kapsayan sonuçla elde edilmişti. Sonakinde ise, LO-fononlala etkileşen elektonun taban ve ilk uyaılmış duumlaı aasındaki geçişleden doğan soğuma katsayılaını hesaplamak için, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm geçekleştiilmişti. Ayıca, optiksel soğuma katsayısının sıfı ve bi-fonon katkılaı, salınıcı şiddeti oanlaı ile beabe hesaplanmıştı. LO-fononlala etkileşen elektonun taban ve ilk uyaılmış i
duumlaı aasındaki geçişten doğan soğuma katsayısı bu defa, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm ve sıkıştıılmış duum dönüşümü yadımıyla teka hesaplanmıştı. Böylece, vayasyon paameteli Huybechts dönüşümünün ilavesi tüm bağlaşım şiddeti bölgesi için çalışma sağlamıştı ve sıkıştıılmış fonon duumlaının, paabolik kuantum noktasında hapisli bi elekton için optiksel soğumada iyileştime sağladığı göülmüştü. 4, 85 sayfa ANAHTAR KELİMELER : Polaonla, kuantum kuyulaı, kuantum tellei, kuantum noktalaı, paabolik potansiyel, LLPH yöntemi, sıkıştıılmış duumla, optiksel soğuma a n ii
ABSTRACT Ph. D. Thesis A THEORETICAL STUDY OF POLARON EFFECTS IN QUANTUM DOTS WITH SQUEEZED STATES Nazmiye KERVAN Ankaa Univesity Gaduate School of Natual and Applied Sciences Depatment of Physics Supeviso : Pof. D. Tacettin ALTANHAN In this thesis, polaonic effects and optical absoption fo an electon confined in a paabolic uantum dot ae investigated by means of the LLPH method and sueezed states. In this wok, it is consideed that a uantum dot is embedded in a thee dimensional mateial, whee the dot electon is confined in a paabolic potential. In ode to solve the Föhlich Hamiltonian including the dot potential which esticts the electon to zeo dimension, fist the two canonical tansfomations ae used in the LLPH appoach. The uadatic tems aising afte these canonical tansfomations ae then diagonalized by a sueezed state tansfomation, whee the sueezing angle has been used as an exta vaiational paamete, and the polaonic coections to the gound and the fist-excited state enegies of an electon inteacting with LO-phonons have been obtained. Thus, it is shown that the sueezing of the phonon state leads to a significant incease in the polaonic effects in a uantum dot. Futhemoe, optical absoption fo an electon confined in a paabolic uantum dot is investigated with two diffeent ways. At fist, the intemediate states ae eliminated, then the two canonical tansfomations used in the LLPH appoach and a sueezed state tansfomation ae pefomed to obtain the optical absoption coefficient fo all coupling stength. Secondly, the two canonical tansfomations ae used in the LLPH appoach to calculate the optical absoption coefficients aising fom the tansitions between the gound and fist excited states of an electon inteacting with LO-phonons fo all coupling stength. In addition, the zeo and one-phonon contibution to the optical absoption coefficients has been calculated togethe with oscillato stength atios. The optical absoption iii
coefficient aising fom the tansition between the gound and fist excited states of an electon inteacting with LO-phonons has been calculated by means of the two canonical tansfomations used in the LLPH appoach and a sueezed state tansfomation. Thus, the inclusion of the Huybechts tansfomation with a vaiational paamete makes the study fo all coupling stength and then it is shown that the sueezing of the phonon state leads to an impovement in the optical absoption fo an electon confined in a paabolic uantum dot. 4, 85 pages Key Wods : Polaons, uantum wells, uantum wies, uantum dots, paabolic potential, LLPH method, sueezed states, optical absoption a n iv
TEŞEKKÜR Doktoa tez çalışmalaım sıasında göstediği büyük ilgi ve yadımlaından dolayı değeli danışmanım Sayın Pof. D. Tacettin ALTANHAN a, yaalı tatışmalaından dolayı Sayın Pof. D. Beki Sıtkı KANDEMİR e ve teknik ve moal destekleinden dolayı Ankaa Ünivesitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü nün tüm pesoneline teşekküleimi sunaım. Ayıca, çalışmalaım sıasında ilgisini ve desteğini esigemeyen ve tez yazımı esnasındaki yadımlaı için eşim Selçuk KERVAN a ve yeteince ilgilenemediğim kızım Elif e de teşekkü edeim. Nazmiye KERVAN Ankaa, Ekim 4 v
İÇİNDEKİLER ÖZET..........i ABSTRACT.......iii TEŞEKKÜR........v SİMGELER DİZİNİ......viii ŞEKİLLER DİZİNİ.....x ÇİZELGELER DİZİNİ....xii 1. GİRİŞ......1. KURAMSAL TEMELLER......5.1. Koheent ve Sıkıştıılmış Duumla...5.1.1. Koheent duumla...5.1.. Sıkıştıılmış duumla...1.1..1. Tek-kip sıkıştıılmış duumla...1.1... İki-kip sıkıştıılmış duumla...13.. Kuantum Noktalaının Yapısı ve Deneysel Olaak Oluştuulması...14.3. Pola Katılada Elekton-LO Fonon Etkileşmesi...3.1. Föhlich Hamiltoniyeni...3.. Polaonlaın uyaılmış duumlaı... 3 3. MATERYAL ve YÖNTEM...5 4. ARAŞTIRMA BULGULARI 6 4.1. Paabolik Kuantum Noktalaında Polaonik Etkile. 6 4.1.1. Kuantum noktalaında polaonik etkile için sıkıştıılmış duumla ile vayasyon hesabı 6 4.1.. Nümeik sonuçla ve tatışma....33 4.1..1. Taban duum....33 4.1... İlk uyaılmış duum.....36 4.. Paabolik Kuantum Noktalaında Polaonlaın Optiksel Soğuması 4 4..1. Aa duumla yokken paabolik kuantum noktasında polaonlaın optiksel soğuması...41 4..1.1. Aa duumlaın elenmesi....41 4..1.. Aa duumla yokken sıkıştıılmış duumla ile soğuma katsayısının hesabı.. 43 4... Aa duumla vaken paabolik kuantum noktasında polaonlaın optiksel soğuması.53 4...1. Aa duumla vaken LLPH yöntemi kullanılaak soğuma katsayısının hesabı...53 4... Aa duumla vaken sıkıştıılmış duumla kullanılaak soğuma katsayısının hesabı...64 5. SONUÇ...68 KAYNAKLAR....71 vi
EKLER....76 EK 1..77 EK..8 EK 3..8 EK 4..84 ÖZGEÇMİŞ....85 vii
SİMGELER DİZİNİ â â + a n c D ˆ () z e ef(t) ( n) Yokedici işlemci Yaatıcı işlemci Vayasyon paametesi Işık hızı Glaube yedeğiştime işlemcisi Sebest elekton yükü Hata fonksiyonu f Vayasyon fonksiyonu J1/( x) Bessel fonksiyonu a l Boyutsuz hapsedilme uzunluğu µ Elektonun kütlesi µ Taban duum vayasyon paametesi µ İlk uyaılmış duum vayasyon paametesi 1 n Foton sayı duumu ˆN Sayı işlemcisi Vakum duumu P( Ω ) ˆp ˆ S ˆ( ϕ ) U 1 U U 3 V V( ) z ω Geçiş olasılığı Momentum işlemcisi Konum işlemcisi Elektonun konumu Zayıf bağlaşımlı polaon yaıçapı Ünite sıkıştıma işlemcisi Biinci LLP dönüşümü İkinci LLP dönüşümü Sıkıştıma dönüşümü Elekton fonon etkileşme genliği Polaizasyon potansiyel enejisi Koheent duum Hapisleyici paabolik potansiyelin fekansı viii
α ε ε ( ) Elekton fonon bağlaşım sabiti Sebest uzayın geçigenlik sabiti Yüksek fekans dielektik sabiti ε () Statik dielektik sabiti ( n) ϕ Sıkıştıma açısı Ψ ( ) Taban duum dalga fonksiyonu Ψ ( ) 1 İlk uyaılmış duum dalga fonksiyonu ΓΩ ( ) Soğuma katsayısı ix
ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.1. Koheent duum için ve kuadatü işlemcilein otalama değeleinin ve belisizlikleinin faz uzayı çizimi...9 Şekil.. Sıkıştıılmış duum için ˆX ve Ŷ kuadatü işlemcileinin otalama değeleinin ve belisizlikleinin faz-uzayı çizimi.1 Şekil.3. Kuantum noktasının kazıma yöntemi ile elde edilmesi...17 Şekil.4. Kazıma yöntemi ile elde edilmiş olan kuantum noktalaının elekton mikoskobu ile çekilen esimlei....18 Şekil.5.a Kuantum kuyusundan kuantum telleinin elde edilmesi 19 Şekil.5.b Tek bi tel ve elekton haeketinde tek sebestlik deecesinin büyütülmüş hali.....19 Şekil.5.c Bi kuantum nokta içeen tek bi sebest sütun ve elekton momentumu için bütün sebestlik deeceleinin yok olduğu büyütülmüş şekil.... Şekil.6. Coulomb etkileşmesiyle etafını polaize eden iyonik bi kistalde bi elekton........1 Şekil.7. Polaonla için kuvvetli bağlaşım potansiyelleinin şekli 4 Şekil 4.1. l nin fonksiyonu olaak taban duum için polaonik düzeltmele...34 Şekil 4.. nin fonksiyonu olaak taban duum polaizasyon potansiyel enejisi..... 36 Şekil 4.3. l nin fonksiyonu olaak ilk uyaılmış duum için polaonik düzeltmele.......39 Şekil 4.4. l nin fonksiyonu olaak taban duum (kesikli çizgile) ve ilk uyaılmış duum (düz çizgile) için polaonik düzeltmele.. 39 Şekil 4.5. Bağlaşım sabiti α = 1 ve hapsedilme uzunluğunun üç değei (l=.4,.5,1) için Ω nın fonksiyonu olaak Γ( Ω ) soğuma katsayısı...5 Şekil 4.6. Bağlaşım sabiti α = 3 ve hapsedilme uzunluğunun üç değei (l=.4,.5,1) için Ω nın fonksiyonu olaak Γ( Ω ) soğuma katsayısı...51 Şekil 4.7. Hapsedilme uzunluğu l=1 ve bağlaşım sabitinin değişik değelei için Ω nın fonksiyonu olaak Γ( Ω ) soğuma katsayısı 5 Şekil 4.8. Bağlaşım sabitinin üç değei ( α = 1, 3, 5 ) için hapsedilme uzunluğu l nin fonksiyonu olaak Γmak ( Ω ) soğuma katsayısının maksimum değelei......5 Şekil 4.9. l hapsedilme uzunluğunun çeşitli değelei için, α nın x
fonksiyonu olaak J G nin değişimi.....58 Şekil 4.1. α bağlaşım sabitinin çeşitli değelei için, l nın fonksiyonu olaak J G nin değişimi.... 59 Şekil 4.11. l hapsedilme uzunluğunun çeşitli değelei için, α nın fonksiyonu olaak 3 ( / ) f z i π nin değişimi...6 Şekil 4.1. α bağlaşım sabitinin çeşitli değelei için, l nın fonksiyonu olaak 3 ( / ) f z i π nin değişimi... 6 Şekil 4.13. l hapsedilme uzunluğunun çeşitli değelei için, α nın fonksiyonu olaak 3 ( 1 / ) f z i π nin değişimi...61 Şekil 4.14. α bağlaşım sabitinin çeşitli değelei için, l nın fonksiyonu olaak 3 ( 1 / ) f z i π nin değişimi.... 61 Şekil 4.15. l hapsedilme uzunluğunun çeşitli değelei için, α nın fonksiyonu olaak f1 f nin değişimi... 63 Şekil 4.16. α bağlaşım sabitinin çeşitli değelei için, l nın fonksiyonu olaak f1 f nin değişimi......64 Şekil 4.17. l hapsedilme uzunluğunun iki değei (l=1 ve 4) için, α nın fonksiyonu olaak J G nin değişimi....67 xi
ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge.1. Döt temel boyutta sistemle için D c hapisli yönlein sayısı ile beabe elektonlaın haeketinde D f sebestlik deecesi sayısı....16 Çizelge.. Bazı bilinen malzemelein bağlaşım sabitlei ve LO-fonon enejilei....3 xii
1. GİRİŞ Nanomete metebesindeki düşük boyutlu sistemle, son yimi yıldı yoğun madde fiziğinde yeni bi aaştıma alanı oluştumaktadı. Kuantum kuyulaı, kuantum tellei ve kuantum noktalaı gibi bu düşük boyutlu sistemlein üetimindeki son teknolojik ilelemele, bu sistemlein yalnız çeşitli özellikleinin altında yatan temel fizikten dolayı değil, aynı zamanda cihaz teknolojisinde, öneğin, çok hızlı bilgisayalada uygulanmalaından dolayı hem deneysel ve hem de teoik aaştımalaa teşvik etmektedi (Demel et al. 199, Loke et al. 199, Johnson 1995). Atomlala benzeliğe sahip böyle sonlu femiyon sistemlei, insan yapımı yapıladı ve laboatuvalada tasalanıp üetilmektedile. Bütün uzaysal yönleden yük taşıyıcılaının kuantum mekaniksel hapsedilmesiyle çok küçük yaıiletken yapılaı anlamak mümkün olmaktadı. Bu yapılada doğal uzunluk ölçeği bikaç nanomete metebesindedi ve çoğunlukla sıfı-boyutlu cisimle veya daha teknik olaak kuantum noktalaı olaak adlandıılıla. Bu sistemlei yeteince ilginç yapan, bu uzunluk ölçeğinde kuvvetli kuantum etkileinin otaya çıkmasıdı. Geçekten, kuantum noktalaı hacimsel (bulk) benzeleinden oldukça faklı yeni fiziksel etkile göstemektedi (Liu et al. 1989, Hansen et al. 1989, Loke et al. 199, Tewodt et al. 199, Haison 1999, Bodone et al. 1999). Bu nedenle son zamanlada, teoik ve deneysel aaştımalaın çoğunda özellikle elektonik özelliklei olmak üzee bu sistemlein çeşitli fiziksel özellikleini incelemek ve anlamak için çalışılmaktadı (Reimann and Manninen ). Bugün elde edilebili olan kuantum noktası yapılaının çoğu pola yaıiletkenleden yapılmaktadı ve bu yüzden bu sistemlede optik polaonlaın oluşumu bekleni. Hacimsel malzemelein elektonik ve optik özellikleinde önemli bi ol oynayan elekton-fonon etkileşmesi, düşük boyutlu sistemlede özellikle de kuantum noktalaında beligin etkilee sahipti ve bu nedenle bu sistemlede teoik ve deneysel olaak yaygın bi şekilde çalışılmaktadı. Geçekten son yıllada, biçok aaştımacı taafından pola yaıiletken kuantum noktalaında polaonik etkile dikkatle incelenmektedi (Schmitt-Rink et al. 1987, Roussignol et al. 1989, Bockelmann and Bastad 199, Klein et al. 199, Nomua and Kobayashi 199, Yeung et al. 1994, Chen et al. 1997, Deveese 1999). Öneğin, küesel bi kuantum noktasında (Klimin et al. 1994, Oshia et al. 1998, Pan and Pan 1998) ve paabolik potansiyelli bi kuantum noktasında (Degani and Faias 199, Mukhopadhyay and Chattejee 1995, Mukhopadhyay and 1
Chattejee 1996, Lépine and Bunean 1998) taban duum enejileinin ve aynı zamanda küesel (Sahoo 1998) ve paabolik (Zhu and Gu 199, Mukhopadhyay and Chattejee 1998, Mukhopadhyay and Chattejee 1998, Kandemi and Altanhan 1999) potansiyelde hapsedilmiş bi polaonun uyaılmış duumlaının hesabı yapılmıştı. Polaonlala ilgili diğe bi çalışmada da eliptik kuantum noktasında hapisli bi paçacığın haeketi nümeik ve vayasyonel olaak incelenmişti (Cantele et al. ). Pola yaıiletken kuantum noktalaının taban duumuna ait polaonik özelliklei biçok aaştımacı taafından incelenmesine ağmen, kuantum noktalaının polaonik uyaılmış duumlaı için çok az aaştımaya ulaşılmaktadı. Oysa uyaılmış duum hesaplaı bu sistemlein optiksel soğuma özellikleini anlamak için önemlidi. Bu aaştımalada, elekton-fonon bağlaşım şiddetine bağlı olaak çeşitli teknikle kullanılmaktadı. Son yıllada, elekton-fonon bağlaşım sabitinin tüm değelei için Feynman-Haken yol integali yöntemi (Mukhopadhyay and Chattejee 1996) ve Lee-Low-Pines- Huybechts (LLPH) (Mukhopadhyay and Chattejee 1999) yaklaşımlaı ile çalışılmaktadı. Feynman-Haken yol integali yaklaşımı LLPH yönteminden daha doğu sonuçla vemesine ağmen uyaılmış duumla için uygun bi yöntem değildi. LLPH yöntemi taban ve uyaılmış polaonik duumlaın he ikisi için oldukça makul doğulukta sonuçla vemektedi ve aynı zamanda deneme dalga fonksiyonu için daha uygun seçim yapılaak bu yöntem geliştiilebili. Diğe yandan, optiksel soğuma deneyleinin polaonik etkilein otaya çıktığı ilginç bi saha oluştuduğu iyice bilinmektedi. Hacimsel pola malzemelede kızılötesi optiksel soğuma biçok aaştımacı taafından oldukça fazla çalışılmış ve çok sayıda ilginç gözlemle yapılmıştı (Katheuse 1969, Deveese et al. 197, Goovaets et al. 1973, Eagles 1984). Hacimsel malzemelede polaonlaın optiksel soğuma davanışı, zayıf bağlaşımda iki kanonik dönüşümden sona kuadatik teimlein bıakıldığı Lee-Low-Pines (LLP) yöntemiyle incelenmişti (Deveese 197). Kuantum noktalaının optiksel özelliklei de deneyle doğudan bağlantı kuulabilen bi saha oluştumaktadı. Pola yaıiletken bi kuantum noktasında optiksel soğuma davanışında elekton-lo (boyuna optik) fonon etkileşmesinin etkisi de biçok aaştımacı taafından incelenmişti (Mukhopadhyay and Chattejee 1999, Deveese et al., Fomin ). Kuantum noktasında optiksel soğuma adyabatik yaklaşımla hesaplanmıştı ve bu çalışmada kuantum noktasının hapis potansiyelinin, uzak kızılötesi optik spektoskop ölçümleine (Sikoski and Mekt 1989, Meue et al. 199) ve genelleştiilmiş Kohn s teoemine (Maksym and Chakabothy
199, Peetes 199, Yip 1991, Li et al. 1991) uygun olaak paabolik olduğu fazedilmişti (Kishna et al. ). Bu tez çalışmasının amacı, fonon sistemi için taban duum olaak sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanaak paabolik kuantum noktalaında polaonik etkilei ve optiksel soğuma davanışını kuamsal olaak incelemekti. Aslında elektomanyetik alan için tanımlanan sıkıştıılmış duumla (Loudon and Knight 1987) son zamanlada ögü dalgalaı için yoğun madde fiziğinde de yaygın biçimde kullanılmaktadı (Dodonov ). Sıkıştıılmış duumla aynı zamanda hacimsel polaon poblemleine de başaıyla uygulanmıştı (Altanhan and Kandemi 1993, Kandemi and Altanhan 1994, Bilge and Altanhan ). Bu tez çalışmasında, bütün uzaysal yönleden simetik hapisli pola yaıiletken bi kuantum noktasında haeket eden ve LO-fonon sistemi ile etkileşen elekton sistemi ile çalışılmıştı. Buada, üç boyutlu malzemede gömülü bi kuantum noktası düşünülmüştü ve nokta elektonu paabolik bi potansiyelde hapsedilmişti. Fakat fononlaın büyüklük kuantizasyonundan dolayı ilgili fonon kiplei, uygun hacimsel kiple ile modellenmişti. Bu tez çalışmasının ikinci bölümünde kuamsal temelle olaak önce, koheent ve sıkıştıılmış duumla kısaca açıklanmıştı. Sona, kuantum noktalaının yapısı ve deneysel olaak nasıl elde edildiği anlatılmıştı. Polaonla ve polaonlaın uyaılmış duumlaı hakkında kısa bilgi ile Föhlich Hamiltoniyeni bu bölümün sonunda veilmişti. İki alt bölümden oluşan dödüncü bölümün ilk kısmında ise önce, fonon taban duumu olaak sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanılaak, paabolik kuantum noktalaında polaonik etkile için elde edilmiş olan Mukhopadhyay ve Chattejee (1999) nin LLPH sonuçlaı geliştiilmiş ve iyileştiilmişti. Bunun için, öncelikle LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm geçekleştiilmişti. Bu kanonik dönüşümleden sona çıkan kuadatik teimle, sıkıştıılmış duum dönüşümüyle köşegenleştiilmişti ve buada sıkıştıma açısı ek bi vayasyon paametesi olaak kullanılaak, paabolik kuantum noktasında polaonun taban ve ilk uyaılmış duum enejilei için polaonik düzeltmele ile taban duum polaizasyon potansiyel enejisi elde edilmişti (Kevan et al. 3). Sıkıştıılmış duumla genelde, işlemcilein kuadatik teimleini içeen hehangi bi Hamiltoniyeni köşegenleştimek için kullanılı. Eneji için bazı iyileştimele elde etmekten başka bu yöntem, kuantum noktalaında polaonlaın optiksel soğuması için de uygulanabili. Bu amaçla dödüncü bölümün ikinci kısmında, paabolik 3
kuantum noktalaının optiksel soğuma davanışı iki faklı şekilde incelenmişti. İlkinde, aa duumla elendikten sona, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm ve sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanılaak bağlaşım sabitine bağlı olaak soğuma katsayısı elde edilmişti ve bağlaşım sabitinin bütün değelei için hapsedilme uzunluğuna bağlı olaak inceleme yapılmıştı. LLP yönteminde bıakılan teimle sıkıştıılmış duum dönüşümüyle köşegenleştiilmişti ve a n vayasyon paameteli Huybechts dönüşümünün ilavesi incelemeyi kuvvetli bağlaşım bölgesine doğu taşımıştı. İkincide ise, LO-fononlala etkileşen elektonun taban ve ilk uyaılmış duumlaı aasındaki geçişleden doğan soğuma katsayılaını hesaplamak için, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm geçekleştiilmişti. Ayıca, optiksel soğuma katsayısının sıfı ve bi-fonon katkılaı, salınıcı şiddeti oanlaı ile beabe hesaplanmıştı. a n vayasyon paameteli Huybechts dönüşümünün ilavesiyle tüm bağlaşım şiddeti bölgesi için çalışma yapılmıştı ve sonuçla Landau-Peka adyabatik yaklaşımı (Chattejee 1984, Mita et al. 1987, Mukhopadhyay and Chattejee 1996) kullanılaak elde edilen Kishna et al. () nın sonuçlaı ile kaşılaştıılmıştı. Son olaak, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşümle beabe sıkıştıılmış fonon duumlaı da kullanılaak soğuma katsayısı teka elde edilmişti. Beşinci bölüm olan sonuç bölümünde de bu aaştımaladan çıkan sonuçla özet olaak sunulmuştu. 4
. KURAMSAL TEMELLER.1. Koheent ve Sıkıştıılmış Duumla Bu kesimde, koheent duumladan başlayaak sıkıştıılmış duumla hakkında kısaca bilgi veilecekti. Aslında elektomanyetik alan için tanımlanan sıkıştıılmış duumla, tek-kip sıkıştımaya uygundu ve bu duumla geliştiileek çok-kip sıkıştımaya genelleştiilebili. Bu tez çalışmasında kullanılan sıkıştıılmış duumla, üstel biçimde kanonik dönüşümle sağlanı ve elektomanyetik alan için çok-kip duuma genelleştiili (Lo and Sollie 1993). Bu sonaki yaklaşım uyalanı ve son zamanlada ögü dalgalaı için yoğun madde fiziğinde yaygın biçimde kullanılı. Sıkıştıılmış duumla, aynı zamanda hacimsel polaon poblemleine başaı ile uygulanmıştı. Sıkıştıılmış duumla genellikle, işlemcilein kuadatik teimleini içeen hehangi bi Hamiltoniyeni köşegenleştimek için kullanılı. Böylece sıkıştıma yöntemiyle daha kaalı duumla elde edilmiş olunu..1.1. Koheent duumla Buada, ışınım alanlaının duumlaı olan ve kuantum optiğinde sık sık kaşılaşılan koheent duumla kısaca tanıtılacaktı. Aslında, koheent duumun minimum belisiz bi dalga paketi duumu olduğu gösteilecekti. Hamonik salınıcı, moden fizikte biçok faklı amaç için kullanılmaktadı. Buada koheent duumla, biinci kuantizasyon olaak bilinen konummomentum belisizlik bağıntısıyla belitilen eşit aalıklı eneji seviyeli bağlı duumu tanımlayan ve aynı zamanda, paçacıklaın yaatılması ve yokedilmesi için kuamsal bi yapı olduğu bilinen ikinci kuantizasyon için temel bi dil olan, hamonik salınıcıdan başlayaak ele alınacaktı. ˆ konum ve ˆp momentum işlemcilei ile tanımlanan bi boyutlu biim kütleli bi hamonik salınıcı için Hamiltoniyen 1 1 = ˆ + ˆ (.1) H p ω 5
şeklindedi. ˆ ve ˆp işlemcilei, [ ˆ, pˆ] = ih sıadeğişme bağıntısına uya. ˆ ve ˆp nin Hemityen olmayan bileşimlei aˆ = 1 ( ωˆ+ ip ˆ) hω (.) aˆ = 1 ( ωˆ ipˆ) hω (.3) şeklinde yazılabili. Buada, â yokedici işlemci â + yaatıcı işlemcidi. Uygun sıadeğişme bağıntısı aa ˆ, ˆ + = 1 ile veili. Yaatıcı ve yokedici işlemcile, n foton sayı duumlaı üzeine etki ede (Loudon 1983): an ˆ = nn 1 (.4a) + aˆ n = n+ 1 n+ 1 (.4b) öyle ki n sayı duumu, vakum duumunun cinsinden 1/ + n n = ( n!) ( aˆ ) (.5) şeklinde yazılabili. ˆN n = n n ifadesi ile Nˆ = aˆ aˆ sayı işlemcisi tanımlanabili. Vayans ile taif edilen Ô gözlenebiliindeki dalgalanmala ˆ O = O Oˆ (.6) ( ) ile tanımlanı. Buada, ψ Oˆ ψ için Ô kısaltması yapılmıştı ve vayansın duuma bağlı nicelik olduğuna dikkat etmelidi. Aynı ψ duumu için, iki gözlenebili niceliğin ( ) A ve ( B) vayanslaı 6
1 ( A) ( B) Aˆ, Bˆ 4 (.7) ile veilen belisizlik bağıntısına uya ve eğe eşitlik sağlanısa, ψ duumlaı minimum belisizlik duumlaı olu. Koheent duumla bibiine eşdeğe şu üç tanımdan başlayaak oluştuulu: (1) z, koheent duumla â yokedici işlemcinin tam özduumlaıdı: âz = zz, (.8) buada z kompleks bi genlikti, z = z exp( iφ ). () Koheent duumla Glaube ünite yedeğiştime işlemcisinin (Glaube 1963, Knight and Allen 1983) etkisiyle vakum duumundan üetilebili z = D ˆ ( z). (.9) Buada, D ˆ () z yedeğiştime işlemcisi Dz ˆ = zaˆ zaˆ + * ( ) exp( ) (.1) şeklinde tanımlanı. Koheent duumla, z = * zaˆ z aˆ e + z zaˆ = e e + z n z z = e n (.11) n n=! şeklinde foton sayı duumlaının cinsinden yazılabili. (3) Koheent duum için konum ve momentum işlemcileinin beklenen değelei 7
ˆ = h + h z ( aˆ+ aˆ ) z = ( z+ z*) ω ω (.1a) pˆ = i h ω hω z ( aˆ aˆ) z = i ( z* z) (.1b) sıfıdan faklıdı ve işlemcilein kaeleinin beklenen değei h + (.13a) ω hω pˆ = ( z* + z z 1) (.13b) ˆ = ( z* + z + z 1) şeklinde elde edili. Böylece vayansla ( ) z = h ω (.14) ω ( p) z = h (.15) şeklinde bulunu ve koheent duumla minimum belisizlik duumlaıdı (MBD): h z p z = ( ) ( ) Minimum belisizlik duumu, konum uzayında. (.16) ψ = = (.17) ( ) z Cexp( /4 ( ) z ) ve aynı zamanda momentum uzayında ψ = = (.18) ( p) p z C exp( p /4 ( p) z ) Gaussiyen bi dalga paketidi. Buada, C ve C nomalizasyon sabitleidi. 8
ˆ ve ˆp faklı boyutlaa sahip olduklaı için, onlaı ˆ 1 + ω X = ( aˆ+ aˆ ) = ˆ h ˆ 1 + 1 Y = ( aˆ aˆ ) = pˆ i hω (.19) (.) kuadatü işlemcilele ye değiştimek uygun olmaktadı. Kuadatü işlemcilein vayanslaı da belisizlik bağıntısına uya: ( X) ( Y). (.1) 16 1 Koheent duum için kuadatü işlemcilein vayanslaı eşitti: ( X) = ( ) =. (.) 4 1 z Y z Şekil.1. de mekezi kompleks genlik vektöü z de ye almış hata çembei ile, koheent duum için otalama genlik ve buna eşlik eden belisizlikle Y 1/ 1 ( X ) = Y µ = Im z 1/ 1 ( Y) = z φ µ X = Re z X Şekil.1. Koheent duum için ˆX ve Ŷ kuadatü işlemcilein otalama değeleinin ve belisizlikleinin faz uzayı çizimi 9
göülmektedi. Gölgeli alanın çapı kuadatü işlemcinin belisizliğinin ölçüsüne uygundu. Belisizlik çembeinin mekezi ( Xˆ + iyˆ) z = z ile veili..1.. Sıkıştıılmış duumla.1..1. Tek-kip sıkıştıılmış duumla Yaygın kullanışta, iki eşdeğe fakat faklı tanım ve notasyon vadı. İkifoton koheent duumlala ilgili Yuen (1976) in çalışmalaında, uygun tanım ˆb β = β β (.3) şeklindedi. Yuen sıkıştıılmış duum paametesi bˆ µ aˆ+ ν aˆ + (.4) ile veili. Buada, µ ve ν kompleks sayıla olup sıadeğişme bağıntısı bb ˆ, ˆ + = 1 şeklindedi. µ ν = 1 ve uygun Caves (1981) sıkıştıılmış duumlaı z, ϕ = Dˆ ( z) Sˆ ( ϕ) (.5) şeklinde tanımlamıştı. Buada D ˆ () z, denklem.9. ile veilen koheent yedeğiştime işlemcisi, tek-kip vakum duumu, S ˆ( ϕ ) ünite sıkıştıma işlemcisidi (Stole 197, Stole 1971, Lu 1971, Lu 197, Yuen 1976, Hollenhost 1979, Caves 1981) ve ˆ 1 1 S( ϕ) = exp( ϕ* aˆ ϕ a ˆ + ) (.6) 1
ile veili. Bu ifadede ϕ, sıkıştıma paametesidi: ϕ = s exp( iθ ), s <, θ π. (.7) Sıkıştıılmış vakum duumu, ϕ = Sˆ ( ϕ) (.8) s şeklinde tanımlanı. S ˆ( ϕ ) sıkıştıma işlemcisini ˆ 1 iθ s + + s + 1 S( ϕ) = exp e tanh aa ˆ ˆ exp ln cosh aa ˆ ˆ+ 1 iθ s exp e tanh aˆˆ a (.9) şeklinde yazmak daha uygundu (Fishe et al. 1984, Tuax 1985). Bu işlemci vakum duumuna uygulanısa 1/ iθ ˆ s e s + + S( ϕ) = cosh exp tanh aˆ aˆ (.3) ifadesi elde edili. Bu ifade 1/ iθ s ( n)! e s Sˆ( ϕ ) = cosh tanh n (.31) n n! n şeklinde Taylo seisine açılabili. Böylece, sıkıştıılmış vakum duumu foton duumlaının çift sayılaının üst üste binmişi olaak yazılabili. Bundan dolayı, sıkıştıılmış duum iki-foton koheent duum olaak da adlandıılı (Yuen 1976). Koheent duum, minimum belisizlik duum olduğu için dalga fonksiyonu Gaussiyendi. z nin değei değiştiğinde Gaussiyen şekil, değişmeden kalı. Genişliği değişse bile, Gaussiyen şekil hala minimum belisizlik vei. Genelleştiilmiş bi duum olan sıkıştıılmış duum bi vayans, diğe 11
vayansın uzatılması pahasına sıkışısa minimum belisizlik duumu olaak kalabili. Değiştiilmiş vayansla ( X ) 1 exp( s) = (.3) 4 ( Y) 1 exp( s) = (.33) 4 ifadesi ile uygun bi şekilde yazılı. s= olduğunda bu ifadele, koheent duum için denklem.. deki sonuçlaı vei. Sıkıştıma dönüşümü Xˆ Xˆ ˆ s = X exp( s ) (.34a) Yˆ Yˆ = Yˆexp( s ) (.34b) şeklinde yazılabili. s Y ' Y s > z θ / Şekil.. Sıkıştıılmış duum için ˆX ve Ŷ kuadatü işlemcileinin otalama değeleinin ve belisizlikleinin faz-uzayı çizimi Denklem.6. ile veilen Ŝ sıkıştıma işlemcisi, ˆX ve Ŷ eksenleinin açıyla döndüğü yönde kanonik değişkenlein sıkıştıılmasına ve uzatılmasına uygundu. Şekil.1. de göülen koheent duum hata çembei, 1 X ' X θ
şimdi şekil.. de göülen sıkıştıılmış duum hata elipsine dönüşmüştü..1... İki-kip sıkıştıılmış duumla Buaya kada, yaatıcı ve yokedici işlemcile taafından üetilen foton duumlaı incelendi. Bu işlemcilein, yalnız tek çeşit foton için uygulanabili olduğu fazedildi. Fakat laboatuva deneyleinde iki fotonun faklı olduğu duumlaa astlanı. İki-kip sıkıştıılmış duum (Milbun 1984, Caves and Schumake 1985) z, z, ϕ = Dˆ ( z ) Dˆ ( z ) Sˆ ( ϕ ) (.35) 1 1 1 1 şeklinde tanımlanı. Buada iki-kip için koheent yedeğiştime işlemcisi Dˆ ( z ) = exp( z aˆ z a ˆ ) (.36a) + * 1 1 1 1 1 1 Dˆ ( z ) = exp( z aˆ z aˆ ) + * (.36b) şeklinde ve ünite iki-kip sıkıştıma işlemcisi S ˆ( ϕ ) exp( ϕ a + a + ϕ * = aa ) 1 1 1 1 1 (.37) şeklinde veili. iki-kip vakum duumudu. İki-kip sıkıştıma işlemcisi için S ϕ1 S ϕ1 S ϕ ( ) ( ) ( ) ifadesi geçelidi (Loudon and Knight 1987). Bu ünite sıkıştıma işlemcilei özellikle kuamsal poblemlein çözümünde yaygın olaak kullanılmaktadı. Öneğin, kuadatik işlemcile içeen H = f aˆ aˆ+ f aˆ + f aˆ + f aˆ+ f aˆ + * + * 1 3 3 + (.38) böyle bi Hamiltoniyeni köşegenleştimek için denklem.37. ile veilen S ˆ( ϕ 1 ) sıkıştıma işlemcisi aacılığıyla ünite dönüşüm geçekleştimek ve bununla eneji ve diğe ilgili büyüklüklei hesaplamak mümkündü. Son yıllada, elektomanyetik alanlaın sıkıştıılmış duumlaı kuantum 13
optiğinde yaygın olaak kullanılmaktadı. Benze tatışmala katılada ögü titeşimlei için de geçelidi (Zheng 1988, Jayannava 1989, Nagy 1991). Böylece, sıkıştıılmış duumlaın kullanılması deneye daha yakın sonuçlaın bulunmasına yadımcı olmaktadı... Kuantum Noktalaının Yapısı ve Deneysel Olaak Oluştuulması Kuantum noktalaı, üç uzay boyutunda kuantum mekaniksel olaak hapsedilmiş sıfı boyutlu sistemle olaak bilini. Bu yapılada doğal uzunluk ölçeği, dev atomlala benze ölçülede bikaç nanomete metebesindedi. Kuantum noktalaı, doğal atomla gibi istenildiğinde değiştiilebilen kesikli elekton sayısı içei ve eneji seviyelei kaalı olup kesikli spektuma sahipti. Bu yüzden kuantum noktalaı bazen yapay atomla olaak anılı. Doğal bi atomdaki gibi, bi kuantum noktasında elektonla bi mekezi yee doğu çekime uğa. Başka deyişle, bu kuantum noktasında elektonla aslında potansiyel bi kuyuda hapsedilmişti. Kuantum noktalaına olan ilgi son yimi yıldı iki sebepten dolayı azalmayaak sümektedi. Biincisi, bu yapılada doğal uzunluk ölçeğinin bikaç nanomete metebesinde olmasıdı. Geçekte, kuantum noktası, kuantum mekaniğinin çalışıldığı küçük bi laboatuva gibi düşünülebili. Bu nedenle kuantum nokta sistemlei kuantum mekaniğini test etmek için mükemmel bi saha sağlayabili. İkincisi, belki de daha önemlisi, kuantum nokta sistemlei çok ilginç ve aynı zamanda hacimsel benzeleinden oldukça faklı biçok yeni fiziksel etkile göstemektedi. Ayıca kuantum nokta yapılaını iki ve üç boyutta anlamak mümkündü ve bu yapıla faklı şekil ve ölçülede üetilebilile. Bu model esnekliği ve yeni fiziksel etkile kuantum nokta yapılaını çok hızlı sistemle olan miko elektonik cihazlada teknolojik olaak çok umut veici yapa. Kuantum noktalaı üç yönde hapsedilmiş nanoyapıla olduğu için, kuantum kuyusu ve kuantum telleinden mantıksal ilelemeyi göstei. 197 lein başlaında boyutu ikiye sınılandıılmış kuantum kuyulaı olaak isimlendiilen sistemlein elektonik yapılaı üzeinde aaştımala başladı (Chang et al. 1974, Dingle et al. 1974). Bi kuantum kuyusunda elektonla sadece iki uzaysal yönde haeket edebili ve diğe yöndeki haeketlei ise yasaklanmıştı. Bu yüzden bi kuantum kuyu yapıda elektonla iki 14
boyutumsu elekton gazı oluştuuyo deni. Kuantum kuyusu yüksek iletkenlik bant enejisine sahip iki yaıiletken tabaka aasına yeleştiilmiş çok ince düz bi yaıiletken tabaka olup, iki malzemenin iletkenlik bandı enejilei aasındaki fak, elektonlaı ince bi tabakaya kısıtla. Genel olaak kuantum kuyulaı oluştumak için kullanılan malzeme GaAs dı ve baiye olaak kullanılan da Al 1-x Ga x As dı. Kuantum kuyulaı çeşitli cihazlada kullanılmaktadı. CD çalalada kullanılan laze diyotla ile uydu televizyonlaında kullanılan mikodalga alıcıla bunlaa önekti. 198 lein başlaında teknolojideki hızlı ileleme elektonlaı kuantum tellei olaak adlandıılan bi boyutlu yapılaa hapsetmeyi mümkün kılmıştı (Petoff et al. 198). Kuantum tellei, kuantum kuyusu içeen bi numunede kazıma yapaak minyatü çizgile şeklinde üetili. Kuantum telinde elektonla tek bi yönde özgüce haeket edeken, diğe iki yöndeki haeketlei sınılandıılmıştı. Elektonlaın böyle bi sistemi bi boyutumsu elekton gazı olaak adlandıılı. Bi kuantum noktasında elektonla hiç sebest yöne sahip değildi ve elektonlaın de Boglie dalga boyu bu sistemlein kuantum etkileini şaşıtıcı yapan hapsedilme uzunluğu ile aynı uzunluk ölçeğindedi. Bi kuantum noktasının hapsedilme uzunluğu üç yönde de aynı metebede ise üç boyutumsu kuantum noktası veya basitçe üç boyutlu kuantum noktası olaak adlandıılı. Eğe özel bi yönde hapsedilme uzunluğu diğe iki yön ile kaşılaştııldığında daha küçük olusa bu sistem iki boyutumsu kuantum noktası olaak adlandıılı. Özetle, elektonlaın (veya boşluklaın) ince yaıiletken bi tabakaya hapsedilmesi ile sağlanan boyuttaki azalmanın, elektonlaın haeketinde önemli değişikliğe yol açtığı göülü. Bu temel kual elektonlaın etafındaki boyutu iki boyutlu kuantum kuyusundan bi boyutlu kuantum teline ve en sonunda sıfı boyutlu kuantum noktasına azaltmakla geliştiilebili. Bu duumda boyut, elektonlaın momentumunda sebestlik deecesi sayısını göstei. Genellikle, bi kuantum kuyusunda elektonla bi yönde hapisli olduğu halde, bi kuantum telinde iki yönde hapislidi ve böylece sebestlik deecesi bie inmişti. Bi kuantum noktasında ise elektonla bütün üç yönde hapislidi ve böylece sebestlik deecesi sıfıa inmişti. Sebestlik deecesi sayısı D ve hapisli yönlein sayısı ile gösteilise bütün katıhal sistemlei için f 15 D c
D f + D = 3 c (.39) ifadesi yazılabili. Bu değele çizelge.1. de göülen döt olasılık için belitilmişti. Azaltılmış boyutlu sistemlei, hapisli yönlein sayısından ziyade, elekton haeketinde gei kalan sebestlik deecesi sayısı adlandımak adet olmuştu (Haison 1999). D c D f ile Çizelge.1. Döt temel boyutta sistemle için beabe elektonlaın haeketinde D c hapisli yönlein sayısı ile D f sebestlik deecesi sayısı Sistem D c D f Hacimsel 3 Kuantum kuyusu 1 Kuantum teli 1 Kuantum noktası 3 Kuantum noktalaı biçok teknik kullanılaak üetilebili. Ancak, başlıca amaç elektonlaı küçük bi bölgeye hapsetmekti (Jacak et al. 1998). Bu hapsi yapmanın bi yolu, öneğin metal plakayı yalıtıcı ile kaplayaak malzemenin sınılaını kullanmaktı. Aynı zamanda, elektik alan uygulayaak elektonlaın haeketini yaıiletken içinde küçük bi bölgeye hapsetmek de mümkündü (Kastne 1993). Kuantum noktalaını üetmek için kullanılan tekniklein çoğunda başlangıç noktası, öneğin GaAs gibi yaıiletken bi kuantum kuyusunda iki boyutlu elekton gazının oluştuulmasıdı (Heitmann and Kotthaus 1993). Bi kuantum nokta yapı, şimdi ilave yanal bi hapis kullanılısa böyle bi sistemden oluşu. Moleküle demet epitaksi gibi moden üetim teknikleinin gelişmesiyle, GaAs gibi yaıiletken bi kistalin atomik tabakasını üetmek mümkündü. İki boyutlu elekton gazı, GaAs dakinden daha geniş bant aalıklı bi yaıiletkenin daha kalın tabakalaı aasına GaAs gibi bi yaıiletkenin ince tabakası (~1nm) sıkıştıılaak oluştuulabili. Kistal yapısı aynı ve ögü sabiti hemen hemen GaAs inki ile aynı olduğundan bu amaç için AlGaAs seçili. Bu iki malzemenin ögüsü bibiine uyduğu için, iç yüzeyde çok az bi geginlik olacak ve adeta kususuz iç yüzeylee sahip olunabilecekti. GaAs da elektonla sebestçe haeket edebiliken, AlGaAs bi yalıtıcı 16
olaak göev yapa. GaAs/AlGaAs iç yüzeyleinde eneji basamaklaının potansiyel kuyulaa ve böylece iletkenlik ve valans bantlaının he ikisinde kesikli eneji seviyeleine neden olduğu göülebili. GaAs kuantum kuyusunda hapisli elekton gazı aslında iki boyutludu. Kuantum kuyusu öyle incedi ki, düşük sıcaklıkta yalnız en düşük kuantum eneji duumu veya daha teknik olaak en düşük alt bant elektonla taafından işgal edilmişti. Elektonla kuyuda dikey yönde haeket etmek için sebest değildi fakat yalnız yanlamasına haeket edebilile. Kuantum noktalaı şimdi bu kuantum kuyu tabakalı yapıdan elde edilebili. Kuantum noktalaı ilk olaak Reed ve çalışma akadaşlaı taafından (Reed et al. 1986) iki boyutlu elekton gazı içeen bi yapıda kazıma yapılaak elde edilmişti. Bu yöntemin aşamalaı şekil.3. de gösteilmişti. Bi veya daha fazla kuantum kuyusu içeen bi numunenin yüzeyi polime bi maske ile kaplanı ve kısmen ışığa tutulu (şekil.3.a). Işığa tutulan kalıp, oluştuulacak olan nanoyapının şekline kaşılık geli. Yüksek çözünülük geektidiğinden dolayı, maske göünü ışıkla kesilmez, fakat elekton veya iyon demetine mauz bıakılı. Kesilen bölgede maske kaldıılı (şekil.3.b). Daha sona, tüm yüzey ince metal tabaka ile kaplanı (şekil.3.c). Özel bi çözücü 17
Şekil.3. Kuantum noktasının kazıma yöntemi ile elde edilmesi kullanılaak, polime film ve kouyucu metal tabaka kaldıılı. Metal tabakanın bıakıldığı ye olan daha önce kesilen bölge dışında numunenin temiz bi yüzeyi elde edili (şekil.3.d). Sona, maskeyle kounmayan bölgenin kimyasal olaak kazılmasıyla (şekil.3.e), kuantum kuyulaının kesildikten sona çıkan paçalaını içeen ince sütunla oluştuulu (şekil.3.f). Bu yolla, ilk olaak kuantum kuyusunun düzleminde hapsedilmiş elektonlaın haeketi, çapı 1-1 nm metebesinde olan küçük sütunlaa kısıtlanmıştı. Şekil.4. de bu yöntem kullanılaak elde edilen geçek kuantum noktalaının elekton mikoskobu ile çekilen esimlei göülmektedi. Şekil.4. Kazıma yöntemi ile elde edilmiş olan kuantum noktalaının elekton mikoskobu ile çekilen esimlei Şekil.5. de kuantum kuyusundan kuantum telin ve bi kuantum noktasının nasıl elde edildiği, elektonlaın haeketinde sebestlik deecesi sayısı ile beabe ayı ayı göülmektedi. 18
Ga 1-x Al x As GaAs z y x Şekil.5.a Kuantum kuyusundan kuantum telleinin elde edilmesi Ga 1-x Al x As GaAs k y z y x Şekil.5.b Tek bi tel ve elekton haeketinde tek sebestlik deecesinin büyütülmüş hali 19
Ga 1-x Al x As GaAs z y x Şekil.5.c Bi kuantum nokta içeen tek bi sebest sütun ve elekton momentumu için bütün sebestlik deeceleinin yok olduğu büyütülmüş şekil.3. Pola Katılada Elekton-LO Fonon Etkileşmesi.3.1. Föhlich Hamiltoniyeni Pola bi ögüde elekton haeket edeken çevesini polaize ede ve etafındaki polaizasyon bulutunu da haeketi esnasında kendisi ile bilikte süükle (şekil.6.). Elekton ve polaizasyon bulutu beabe bi paçacığımsı yapı oluştuu. Çevenin polaize olması, ögünün bozulması ve böylece optik fononlaın uyaılması anlamına geli ki optik fonon bulutu ile çevilmiş bu elektona, yani bu paçacığımsı yapıya polaon deni (Deveese 1996). Polaonun fiziksel özelliklei bant elektonunun özellikleinden faklıdı. Özellikle polaon, bağlanma enejisi ve etkin kütlesi ile kaakteize edili. Sebest bi polaon için, pola yaıiletkenin optiksel kiplei ile etkileşen iletkenlik elektonu p H = + hω b b + V b e + V b µ + i * + i ( e ) (.4)
Şekil.6. Coulomb etkileşmesiyle etafını polaize eden iyonik bi kistalde bi elekton şeklindeki Föhlich Hamiltoniyeni ile tanımlanı. Bu Hamiltoniyende biinci teim elektonu, ikinci teim fononu ve üçüncü teim ise elekton-fonon etkileşmesini temsil ede. Buada p = h k, µ bant kütleli elektonun momentumu, + elektonun konumudu. b ( b ), dalga vektölü ve h ω dağınımsız enejili LO-fonon için yaatıcı (yokedici) işlemcidi. Elekton fonon etkileşme genliği ise V 1/ 4πα 1/ = h i ω ( ) (.41) V ile veili. Bu ifadede V sistemin hacmi, yaıçapıdı ve = ( h / µω) bağlaşım sabitidi ve 1/ zayıf bağlaşımlı polaon şeklinde tanımlanı. α ise elekton fonon e 1 1 1 α = (.4) ε ( ) ε() hω 1
ile veili. Bu ifadede ε ( ) ve ε () ayı ayı pola kistalin yüksek fekans ve statik dielektik sabitleidile. Denklem.4. ile veilen Föhlich Hamiltoniyeninin tam çözümü şimdiğe değin yapılamadığından incelemele genelde çeşitli yaklaşıklık yöntemlei ile yapılı. α <1 olduğu zayıf bağlaşım bölgesinde çözüm bulmak için petübasyon teoisi en basit yöntemdi (Föhlich et al. 195, Lasen 1987, Senelius 1987). Zayıf bağlaşımda elektonun davanışının iyi bi taifini veen diğe yaklaşım ise Lee, Low ve Pines (1953) taafından geliştiilmişti. Bu vayasyonel bi yöntem olup, bu yöntem kullanılaak elde edilen sonuçla petübasyon teoisi sonuçlaı ile aynıdı. Ancak, bu yaklaşım bağlaşım sabitinin daha geniş bi bölgesi için de geçeli olduğundan dolayı, genellikle bu yaklaşıma aa bağlaşım teoisi olaak bakılı. Hamiltoniyenden elekton koodinatlaını eleyen kanonik bi dönüşüm olan LLP yaklaşımı, oldukça etkili olmuştu ve biçok yayında önemli bi aaç olaak kullanılmıştı (Goss 1955, Pines 1963, Lasen 1968, Huybechts 1977, Tokuda 198). Kuvvetli elekton-fonon etkileşmesi duumunda elekton, bağlantılı vitüel fononlaın alanlaıyla otaya çıkan indüklenmiş potansiyelde lokalize olmuş dalga fonksiyonu ile bağlı bi duumun içine gie (Peka 1954). Eğe elekton geçekten bağlı ise, ögü defomasyonunun gei tepki göstemesi ve elektonik dalga fonksiyonunda bazı yapılaa yol açması bekleni. Elektonun valığı defomasyonun ölçüsünü ve şeklini belile ve devam ettii. Bu tatışma ile sunulan bu göüş kuvvetli bağlaşım teoisi olaak bilini. Yöntem, temelde taban duum polaon özellikleini hesaplamak amacıyla bazı paametele ile elekton için dalga fonksiyonunun öneilmesini ve vayasyon pensibinin kullanılmasını içei. Liteatüde kuvvetli bağlaşım teoisiyle ilgili çok fazla çalışma vadı (Bogolubov 195, Allcock 1956, Whitfield and Platzman 197, Miyake 1975, Goss 1976, Adamovski et al. 198, Altanhan and Kandemi 1993, Kandemi and Altanhan 1994, Chen 1994). Denklem.4. ile veilen Föhlich Hamiltoniyeni h ω ile bölüneek boyutsuz yapılı ve paametelee bağlı bütün malzemele boyutsuz α sabiti içinde toplanı. Bu elekton-fonon bağlaşım sabitinin nümeik değelei, çeşitli malzemele için :.1 den : 1 a kada faklılık gösteebilile. Çizelge.. de bilinen çeşitli malzemele için α ve h ω eneji değelei listelenmişti (Deveese 197).
Çizelge.. Bazı bilinen malzemelein bağlaşım sabitlei ve LO-fonon enejilei Malzeme α h ωlo (mev) KCl 5.6 6.7 NaCl 5.5 33.6 AgB 1.56 17.1 CdTe.4.8 InP.11 43.3 GaAs.76 36.7 InAs.5 3..3.. Polaonlaın uyaılmış duumlaı Esas itibaiyle, polaonlaın uyaılmış duumlaı bağlaşım şiddetinin bütün değeleinde vadı. Fakat genel duumda ve basitlik için p = alındığına, süekli duumla polaonun taban duumu üzeinde h ω da başla. Fiziksel olaak bu süeklilik, polaon üzeinde sebest fononlaın saçılmasına uygundu. Bu saçılmış duumla yalnızca polaonun uyaılmalaı değildi, aynı zamanda kendi kendine oluşan potansiyelde elektonun uyaılmalaına uygun iç uyaılmış duumla vadı. Bu iç uyaılmalaın iki çeşidi vadı: a) Ögünün taban duum konfigüasyonuna ait potansiyelde elektonun uyaılmalaı; b) Taban duuma ait olmayan fakat yeni elektonik konfigüasyona adapte olmuş ögü polaizasyonunda elektonun uyaılmalaı. Elektonun taban duum potansiyelinde uyaıldığı duumla Fank-Condon (FC) duumlaı ve ögünün gevşemiş olduğu duumla da gevşemiş uyaılmış duumla (GUD) olaak adlandıılı. Aa elekton-fonon bağlaşımlı pola malzemelede, elekton-fonon etkileşmesi optik fononla aasında güçlü bi koelasyona sebep olu. Bunun sonucu olaak, potansiyel bi kuyu bağlantılı vitüel fononlaın alanı ile kuvvetlendiili. Bu, elektonun bu potansiyelin daha yüksek seviyeleine uyaılabileceği anlamına geli. Yani, iyonik polaizasyonun yeni elektonik konfigüasyona teka adapte olması ile bilikte elekton potansiyel kuyusunda daha yüksek bi seviyeye uyaılı. Bu, uyaılmış duumu tanımlamak için kullanılan potansiyelin, fonon alanı taafından kuvvetlendiilen ilk potansiyele göe 3
E FC E GUD E Şekil.7. Polaonla için kuvvetli bağlaşım potansiyelleinin şekli gevşediği anlamına geli. Bu nedenle, son duum GUD olaak tanımlanı. Böylece GUD, eğe polaondaki elekton, ögü yeni elektonik dağılıma teka uyum gösteiken uyaılısa meydana gelmektedi. Aksine, eğe elekton uyaılıken, ögü elektonun taban duumuna uyasa FC duumundan söz edili (Deveese 197). Şekil.7. de polaonla için kuvvetli bağlaşım potansiyelleinin şekli göülmektedi. Taban duuma ait indüklenmiş potansiyelde, polaon taban duumda (E ) ve FC tipi uyaılmış duumda (E FC ) olabili. Son duumda, ögü aynı zamanda gevşeyebili (kesikli paabol) ve polaon GUD a gide. Dödüncü bölümün ikinci kısmında, paabolik kuantum noktalaında LOfononlala etkileşen elektonun taban ve ilk uyaılmış polaonik duumlaı aasındaki geçişlein hakim olduğu optiksel soğuma, elektomanyetik dalganın haeketi altında elektonun, önce E enejili taban duumdan FC uyaılmış duuma sona bu duumun ögü gevşemesinin sonucu olaak da E 1 enejili ilk GUD a geçişe uğadığı bi yöntem düşünüleek incelenecekti. 4
3. MATERYAL ve YÖNTEM Öncelikle, denklem.4. ile veilen Föhlich Hamiltoniyenine kuantum noktalaındaki hapisleyici bi paabolik potansiyelin eklenmesiyle elde edilen Hamiltoniyen, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm ve ikinci bölümde bahsi geçen iki-kip sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanılaak çözülecek ve taban duum ve ilk uyaılmış duum enejilei için polaonik düzeltmele elde edilecekti. Daha sona da, üç boyutlu malzemede gömülü paabolik simetik kuantum noktalaında elekton-lo fonon etkileşmesi sonucu oluşan sebest polaonlaın optiksel soğuması, ilkinde aa duumla yokken, sona taban ve ilk uyaılmış duumla aasındaki geçişten doğan soğuma olmak üzee iki faklı şekilde, LLPH yaklaşımında kullanılan iki kanonik dönüşüm ve sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanılaak incelenecekti. 5
4. ARAŞTIRMA BULGULARI 4.1. Paabolik Kuantum Noktalaında Polaonik Etkile 4.1.1. Kuantum noktalaında polaonik etkile için sıkıştıılmış duumla ile vayasyon hesabı Bu kesimde, paabolik kuantum noktasında hapisli bi elekton için polaonik etkile sıkıştıılmış duumla yadımıyla incelenecekti. Bu çalışmada, üç boyutlu malzemede gömülü bütün uzaysal yönleden simetik hapisli bi kuantum noktası düşünülmüştü ve nokta elektonu paabolik bi potansiyelde hapsedilmişti. Denklem.4. ile veilen Föhlich Hamiltoniyenine kuantum noktalaındaki hapisleyici bi paabolik potansiyelin eklenmesiyle elde edilen Hamiltoniyen p 1 H = + µω + ω b b + ( V b e + V b ) µ + i * + i h e (4.1) şeklinde yazılabili. Bu ifadede ikinci teim elektonu sıfı boyuta sınılayan ve böylece kuantum noktasını oluştuan hapisleyici potansiyeli göstemektedi. Buada ω hapisleyici paabolik potansiyelin fekansıdı. Denklem 4.1. ile veilen Hamiltoniyeni çözmek için bazı fiziksel temellee dayanan kanonik dönüşümle yapmak adet olmuştu. Bunun için de buada, öncelikle Lee-Low-Pines (LLP) (Lee et al. 1953) kanonik dönüşüm yönteminin Huybechts taafından değiştiilmiş hali olan Lee-Low-Pines- Huybechts (LLPH) (Huybechts 1977) yöntemi kullanılacaktı. LLPH yönteminde, a n vayasyon paametesi olmak üzee biinci LLP dönüşümü U1 = exp[ ian b + b] (4.) şeklinde değiştiilmişti. Bu ifadede a n, n= ve 1 için a taban duuma ve a 1 ilk uyaılmış duuma uygun vayasyon paametesini göstei. Öncelikle, bu 6
1 kanonik dönüşüm H = U1 HU1 Hamiltoniyene uygulanısa şeklinde denklem 4.1. ile veilen H = U HU 1 1 1 1 a h a h = + + + h n n + µω [ hω p ] b b µ µ µ a h + + + (1 ) [ i a n..] n + + Vbe Hc. bbbb µ (4.3) ifadesi elde edili. LLP taafından kullanılan ikinci dönüşüm ( n) + ( n)* = exp[ ( b )] U f b f (4.4) şeklindedi. Bu ifadede ( n) f, eneji fonksiyonu minimum yapılaak belilenecek olan vayasyon fonksiyonudu. Yine buada için () f taban duum ve f, n= ve 1 ( n ) (1) f ilk uyaılmış duum için uygun fonksiyondu. Bu ikinci dönüşüm fonon alanlaı için koheent duumla üetmektedi. Bu ikinci dönüşümün denklem 4.3. e uygulanması ile H = U H U 1 a h a h = + + + h 1 n n ( n) + ( n) µω [ hω p ] F F µ µ µ ( ) (1 ) [ i a n n VF e Hc..] + + a h + n ( n) + ( n) + ( n) ( n) F F F F µ (4.5) ifadesi elde edili. Bu ifadede H i, b + ve denklem 4.5. deki Hamiltoniyen sona otaya çıkmıştı. F = b + f teimi ikinci dönüşümden ( n) ( n) b ya göe i. metebeyi göstemek üzee 4 H = H (4.6) i= i 7
şeklinde yazılabili. Bu toplamdaki H i le, h 1 a h H p a h ( n n n) = + µω + [ hω + ] f µ µ µ anh + ( ) + [ µ ( ) ( ) i (1 a n ) n n f V f e H c +..], (4.7a) a h H h f V e b H c, (4.7b) ( )* (1 ) 1 {[( ) i a n n n = ω + + ] +.. µ } a h H b b n + = ( h ω + ) µ a h + n ( n) ( n) + + ( f f b b µ + +, (4.7c) ( )* ( ) ( )* ( )* n n + f n n f bb f f bb ) a h H = f b b b + H. c.), (4.7d) n ( n) + + 3 ( µ H 4 a h = n + + b b b b µ (4.7e) şeklinde tanımlanmıştı. LLPH yönteminde, H nin beklenen değee katkısı yalnızca denklem 4.7a. ile veilen H teiminden gelecekti. Ψ için deneme elektonik dalga fonksiyonu seçileek ve petübe olmamış sıfı fonon duumu kullanılaak, Ψn deneme dalga vektöüne göe H nin beklenen değei hesaplanı ve LLPH yaklaşımında polaon enejisi elde edili (Ek 1). a n =1 olduğunda, LLPH enejisi LLP açılımına indigeni ve genişletilmiş duum limitini temsil ede. a n = olduğunda ise bu yaklaşım Landau-Peka (Chattejee 199) yöntemine eşdeğedi ve lokalize olmuş duumu vei. Böylece, a n (< a n <1) vayasyon paametesi olaak ele alınaak tüm paamete uzayı için uygun bi teoiye sahip olunabili. n 8
Yukaıdaki yaklaşımın, yalnız denklem 4.5. deki köşegen teimlei hesaba kattığına ve b + ve b nun kuadatik ve daha yüksek metebeden teimleini bıaktığına dikkat etmelidi. Bu teimlein polaonun enejisine ve diğe özelliklee katkısını ilave etmenin yollaından bii, fonon sistemi için taban duum olaak sıkıştıılmış fonon duumlaı kullanmaktı. Geçekten, kuadatik teimle iki faklı fonon kipini içeen üçüncü bi kanonik dönüşüm kullanılaak köşegenleştiilebili. Bu yolla, at ada yayılmış vitüel fononla aasındaki koelasyon hesaba katılmış ve dolayısıyla daha kaalı sonuçla elde edilmiş olu. Böylece, daha yüksek metebeden teimlei ihmal edeek denklem 4.6. nın kuadatik teimleini köşegenleştimek için ( n) ϕ + + bb bb N U3 = exp[ ( )] (4.8) şeklindeki sıkıştıma dönüşümü (Altanhan and Kandemi 1993, Kandemi and Altanhan 1994, Bilge and Altanhan ) yapılı. Bu ifadede N, LOfonon kipleinin toplam sayısı ve vayasyonel olaak elde edilecek ( n) olan ϕ sıkıştıma açısıdı. U 3, Ψ fonon = U s 3 aacılığıyla fonon alt sistemi için sıkıştıılmış vakum üetmektedi. Yine buada taban duum ve (1) ϕ ( n) ϕ ϕ, n= ve 1 için () ilk uyaılmış duum için uygun sıkıştıma açısıdı. ϕ Deneme dalga fonksiyonu iki LO-fononu içediği ve ( n) sıfı köşegen elemanlı simetik matisin elemanı olduğu için fonon bulutunun bu özelliğini yansıtmanın bi yolu olaak dönüşümden önce denklem 4.5. ile veilen Hamiltoniyenin H ve H paçalaı teka düzenleni. Böylece H i, 1 1 Hi = Hi( ) + Hi( ) i = ve (4.9) şeklinde yazılabili. U 3 sıkıştıma dönüşümü uygulandıktan sona H () ve H (), 9
h 1 ( n) an h ( n) H ( ) = + µω + B f + ( f ) µ µ ( n) i(1 an ) + [ V f e + H. c.] (4.1a) ve ( n) an h ϕ ( n) H ( ) = [ B + f ] sinh ( ) µ N ( n) a nh ϕ ( n) ( n) ( n)* ( n)* + [ f f + f f ]sinh( ) 4µ N + + Ob (, b) (4.1b) haline geli (Ek ). Buada O, nomal sıada işlemcilein bi fonksiyonudu ve vakum duumu ile H nin beklenen değei hesaplandığında yok olmaktadı. Hamiltoniyen için vayasyon duum vektöü şimdi Ψn şeklinde alını ve böylece eneji fonksiyoneli 1 ω 1 ( n) n n n n 4ω E = Ψ Ψ + Ψ Ψ + B f ( n) ϕ + ρ + + ) N ( n) ( n) [ V f ( ) H. c.] B sinh ( a n + [ + ]sinh( ) ( n) ϕ ( n) ( n) ( n)* ( n)* f f f f N 1 + (4.11) { } 3