AKIM, İLETKENLİK, AKIM YOĞUNLUĞU ve ELEKTRİK ALAN

Transkript

1 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi AKIM, İLTKNLİK, AKIM YOĞUNLUĞU e LKTRİK ALAN Bu bölüme kada çıkaılan bağıntıla boşluk için geçelidi. Bu bağıntıla hehangi bi malzeme olması duumunda değişikliğe uğaması geeki. Bu bölümde elektik alanı bu tü malzemelede inceleyeceğiz. Malzemele kabaca yalıtkanla e iletkenle olaak iki kısımda incelenebili. Boşlukta oluşan elektik alan gibi malzemelede de elektik alan oluşu. Malzemele, iletkenlik özellikleine göe sınıflandıılabilile. Bi malzemenin iletkenliği σ ile gösteili. Biimi ise Siemens/m eya (mhos/m). Yüksek iletkenlikli malzemele σ >>. metal olaak isimlendiilile. Metallede elektik iletkenliği yüksekti ( ) Malzemelein özdiençlei ( ρ ) c σ, sıcaklık atmasıyla bilikte ata. Bazı malzemele, cia gibi, düşük sıcaklıkta (yaklaşık 4 K de) süpe iletken özellik göstei. Bu sıcaklıkta malzemele elektik akışına sıfı dienç göstei. Biz bu bölümde klasik iletkenle e yalıtkanla üzeinde duacağız. lektik Akımı Koneksiyon akımlaı ( conection cuent) lektik akımı yüklü paçacıklaın haeketinden dolayı oluşu. Şekil. deki gibi bi malzemenin kesitinden biim zamanda geçen yük miktaı akımı ei. ΔS ρ u Δl Şekil. Hacimsel yük yoğunluğunda akım. Buada ilk önce koneksiyon akımlaı tanıtılacaktı. Koneksiyon akımlaı yalıtılmış sıılada eya gazlada meydana gelen akımla olaak bilini. İzole edilmiş metalik bi iletkende, öneğin bakı bi telde elektonlaın haeketi, bi kap içinde bulunan gaz molekülleinin haeketi gibi tamamen gelişigüzeldi (Şekil ). Tel içeisinde belili bi haeket doğultusuna sahip değildi. Şayet telden enine dik bi kesit dikkate alınısa, bu KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit

2 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi kesitten sağa doğu geçen yüklein miktaı sola doğu geçenlein miktaına eşitti. Yani kesitten geçen net yük sıfıdı. Şekil deki gibi kesitte akım dq I () dt ile eili. Buada dq biim zamandaki yük miktaının değişimini göstei. Yük C e zaman s alınısa akımın biimi Ampe (A) di. Yine Şekil e bakasak, yük yoğunluğu ρ (hacimsel yükün aktığını düşünelim), bu duumda süüklenme hızı u u y a ile eili. () denkleminden y ΔI ΔQ Δt Δl ρ ΔS ρ ΔSu () y Δt yazılabili. ğe akım yoğunluğunu eilen bi nokta için yüzey nomaliyle tanımlasak, olu. Sonuç olaak J y ΔI ρ u (3) y ΔS J ρ u yazılı. Buada I (A) akım, J ( A / m ) ise akım yoğunluğudu. ğe akım yoğunluğu (3) deki gibi yüzeye nomal değilse bu duumda ΔI J ΔS yazılabili. Böylece toplam akım I J ds (4) S ifadesinin S yüzeyi boyunca integaline eşitti. Şekil (a) da yüke etki eden elektik alanı sebebiyle yük elektik alan doğultusunda sabit olaak hız kazanı. Fakat Şekil (b) deki gibi duumlada eya + yüklü paçacık sıı eya gaz molekülleiyle gelişigüzel çapışıla e dolayısıyla otalama bi süüklenme hızlaı ile ilele. İşte iletkenlede, önek olaak bakı bi telde sebest olaak bulunan elektonla aynen gaz moleküllei gibi gelişigüzel daanış gösteiile. Bakı bi iletken telde elektonlaın otalama süüklenme hızı yaklaşık 8 saniye de cm kadadı. İlginç değil mi? Bi iletken içinde süüklenme hızı ile iletken içinde elektik alanda oluşan olgula aynı değildi. Alanda oluşan değişiklein iletim hızı ışık hızına yakındı. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit

3 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi Bu şekilde olmasaydı, hehangi bi odanın elektik düğmesini açtığımızda lambanın ışık eebilmesi için uzun süe beklememiz geekecekti. Bu duum şu şekilde açıklanabili: içinde su akan bi bou içinde suyun akış hızıyla, basıncın bou içinde yayılma hızı aynı değildi. +Q. u +Q. u (a) (b) Şekil. (a) Boşluk (b) Sıı eya gas. İletim Akımlaı (conduction cuent) e Ohm yasası ğe bi tel, bi pile bağlanacak olusa, telin içindeki he noktada bi elektik alan oluşu. Önek olaak uzunluğu 9 m olan bi telin uçlaına 9 V luk bi potansiyel fakı oluştuulusa, telin he noktasında elektik alan değei V/m olu. Bu elektiksel alan iletim elektonlaına etkiyeek, onlada doğultusunda bi haeket oluştuu. I l + Şekil 3. Uygulanan elektik alan altında bi iletkenin kesiti. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 3

4 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi Uygulanan elektik alan altında hehangi bi iletkende elektik akımı, elektik yükleinin haeketinden oluşu. Yükle otalama bi süüklenme hızına sahipti. Yüklein e yüklein haeketliliğinin çapımı iletkenlik olaak bilini. Bu duumda akım yoğunluğu e elektik alan aasında aşağıdaki bağıntıla adı. J ρu u μ J ρμ e J σ (5) ohm yasası olaak bilinen bağıntı yazılabili. Buada μ elektonlaın haeketliliğini göstei e biimi m V / s di. İletkenliğin bie bölünmüşü özdienç olaak tanımlanı. Özdiencin biimi ohmm di e ρ ile gösteili. c Önek: A Akım yoğunluğu J ( cosθa + sinθa ) 3 θ ile eilmişti. m a) Yaıçapı 0 cm olan bi yaı küe yüzeyinden geçen akımı hesaplayınız? b) Yaıçapı 0 cm olan bi küe yüzeyinden geçen akımı hesaplayınız? Çözüm: a) I J ds d S sinθdφdθa σ ( cosθa + sinθa ) ( sinθdφdθ ) θ I a 3 π π I a 3 θ θ 0 φ 0 π π ( cosθa + sinθa ) ( sinθdφdθ ) cosθ sinθdθ π θ 0 φ 0 π θ 0 cosθ sinθdθ dφ KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 4

5 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi π π θ 0 sinθd(sinθ ) π 4π sin θ 0π A b) Poblemin bu şıkkı a şıkkı ile aynıdı sadece integal sınılaı değişi e yaıçap 0. alınısa. π π I a 3 θ θ 0 φ 0 π π θ 0 4π sin 0. ( cosθa + sinθa ) ( sinθdφdθ ) sinθd(sinθ ) π θ 0 0 Bu aynı zamanda diejans teoeminden göülebili. I J ds Jd 0 J 0 İntegali alınan kapalı yüzey içinde yük yoktu. Önek: 7 mm çapında bi telin iletkenliği 5 0 (Siemens /m) eya(mhos/m) di, bu teldeki 9 3 sebest elektonlaın yoğunluğu 0 (elekton/ m ) tü. Bu tele 0 mv elektik alan m uygulanıyo, bu duumda a) yük yoğunluğunu, b) akım yoğunluğunu, c) teldeki akımı, d) elektonlaın süüklenme hızını hesaplayınız. Çözüm: KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 5

6 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi a) ρ ne 0 (.6 0 ).6 0 C 3 m 7 3 b) J σ ( 5 0 )( 0 0 ) 500kA m c) ( ) d I JS 5 0 π π A 4 5 J m d) J ρ u u negatif yüklü elektonla 0 ρ.6 0 s uygulanan elektik alanın tesi yönünde oldukça düşük bi süüklenme hızına sahipti. Dielektik malzemelede kutuplanma Dielektik e iletkenle aasındaki temel fak, sebest elekton sayılaıdı. Geçi dielektiklede elektonla sebest olaak haeket etmezle. Ama elektik alan uygulandığında dielektiklede de değişiklik olu. Şekil 4 te bi atom eya molekülde elektik alan uygulamadan önce e sona yüklein daanışı basitçe gösteilmişti. + + q + q q + q (a) (b) Şekil 4. lektik alan uygulanmadan önce (a) e sona (b) atom e molekülün duumu. Buada atomdan kasıt, elektik alan uygulanmadan önce dielektik özellik göstemeyen hidojen, nitojen atomlaı önek olaak eilebili. Dielektik moleküle en güzel önek sudu. Su molekülleinin elektik alan uygulanmadan öncesinde de dielektik özelliği adı. Yani molekül, dipol momenti sayesinde kutuplanabili. Şimdi bu duuma biaz KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 6

7 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi daha yakından bakalım. Şekil 4 deki gibi bi e + yüklü molekül düşünelim. lektik alan uygulandığında daha önceki desleimizden hatılayacağımız üzee yüke F Q + e F Q kuetlei etki ede. Bu duumda molekül elektik alan yönünde dönmeye zolanı, tabii ki aynı zamanda kendi dipol momenti bu kuete kaşı koymaya çalışı çünkü molekülle denge duumundan ayılmaya zolanıla. Şimdi teka üst iste gelebilme (supeposition) ilkesini hatılayalım. N adet molekül için dipol momenti bunlaın toplamına eşit olacaktı. Daha önceki desleimizde dipol momentini yük ile aalaındaki uzaklığın çapımı olaak tanımlamıştık. Şimdi bu bilgileimizi kullanaak N adet molekül için küçük bi hacimde dipol momentini hesaplayalım. p Qd Q d + Qd Q Polaizasyon ya da kutuplanma eya uçlaşma yoğunluğu N d N N k Q d k k N Q d k k P lim Δ 0 Δ k (6) ile hesaplanabili. lektik alan otadan kalktığında tahmin edebileceğiniz gibi molekülle eski denge halini alı. Şimdi daha önce tanımladığımız D ektöüne yeni bi teim yani polaizasyonu ekleyeceğiz. D 0 + P (7) (7) bağıntısı bi dielektikte toplam elektik alan yoğunluğunu ei. Polaizasyon e elektik alan aasında P χ e (8) 0 ilişkisi adı. Buada χ elektiksel duyalılıktı. ise daha önceden öğendiğimiz gibi e 0 boşluğun di elektik sabitidi. ğe (8) i (7) de yeine koyasak D + χ 0 e 0 elde edili. İşlemlee deam edelim D 0 ( + χ e ) (9) + (0) ( ) χ e KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 7

8 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi D 0 () e D () olduğu hatılanısa, 0 (3) olu. Ve (0) e (3) ten + ( ) χ e 0 göecel elektiksel geçigenlik eya göecel di elektik sabiti elde edili. Bu biimsiz bi büyüklüktü. Kaışıklığa meydan ememek için şu ana kada olan di elektik sabitleini teka edelim. (4) bağıntısı hehangi bi dielektik malzemenin boşluğun di elektik sabitine oanıdı. e 0 paametelein biimlei F/m di. e χ paametelei e biimsizdi. Önek olaak su için 8 olup oldukça yüksek bi değee sahipti. (4) Süeklilik denklemi e yüklein teka düzenlenmesi zamanı (continuity equation and elaxation time) Yüklein kounumu pensibine göe, eilen bi hacimdeki yüklein zamanla değişim oanı bu hacmi çeeleyen kapalı alandan geçen toplam akıma eşitti. Bu duumda I dıı dqic J. ds (5) dt yazılabili. Daha önce gödüğümüz diejans teoemini yazasak S J ds Jd (6) e (5) denklemini düzenleyip diejans teoeminden yaalanaak V dq dt ic d dt V ρ ρ d d (7) t V KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 8

9 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi yazılabili. (7) e (6) bibileine eşitleni. V ρ J d d (8) t ρ J (9) t ρ J + 0 t ifadesi akımın süeklilik denklemi olaak bilini. ğe yüklede zamanla bi değişim yok ise bu duumda (9) şeklindedi. J 0 (0) Şimdi (9), Gauss yasası e J σ bağıntılaından yaalanalım J σ () () bağıntısının iki taafını iletkenlikle çapasak e () geeğince ρ σρ σ (3) olu. Böylece (9) e (4) e göe J σρ (4) yazılabili. ρ σρ t Bu denklem homojen e linee bi difeansiyel denklemdi e şu şekilde basitçe çözülebili. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 9

10 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi olu. Buada σ ρ σρ t ρ σ t ρ σt ln ρ + ln ρ ρ t T ρ e 0 T dı. T yeniden düzenlenme zamanı (elaxation time eya eaangement time) olaak bilini. 0 Hehangi bi iletkende öneğin bakıda yeniden düzenlenme zamanını hesaplayalım. 7 Siemens Bakı için σ e di. Bu duumda m T s (çok kısa bi süe) 7 σ σ 36π olaak bulunu. Yani iletken içine konulan yükle çok kısa bi süe içinde iletkende dağılıp dengeye ulaşıla. Siemens Aynı hesaplamalaı kuatz için yapalım. Kuatz için paametele σ 0 7 m 5 alınısa, T gün (çok uzun bi süe) σ σ π Bu aynı zamanda şu demekti: kuatz içine konulan yük needeyse hiç değişikliğe uğamıyo, koyduğumuz yede kalıyo. Sını Koşullaı Buaya kada, sadece homojen otamlala ilgilendik. Biden fazla otam olduğunda acaba elektik alan nasıl daanıyo. İki faklı duumlada elektik alan hesaplanmasını bu bölümde inceleyeceğiz. ğe Şekil 5 deki gibi iki faklı dielektik otam asa bu duumda acaba iki dielektik aasındaki sınıda elektik alan nasıl değişi? İlk önce elektostatik için Maxwell denklemleini hatılayalım. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 0

11 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi n Aa yüzey t a b Δh t n d c Δω Şekil 5. lektik alan için aa yüzeyde sını koşullaı.. d l 0 (5) D.dS Q kapalı (6) fomülleini hatılayalım. Buada (5) deki (dl) çizgi integalini (6) daki (ds) ise alan integalini göstemektedi. bileşeninin nomal (dikey) e tanjant (düşey) iki bileşeni adı (Şekil 5). e D ektölei nomal e tanjant bileşenleine ayılaak t + n (7) D D t + D n (8) yazılabili. İki faklı otam için (7) + + t n t n (9) (30) şeklinde yazılabili. Şekil 5 deki küçük dikdötgen şekle (5) çizgi integali değelei için uygulanısa e (9) e (30) bağıntılaı da düşünülüse Δh Δh Δh Δh Δw Δw (3) t n n t n n Δ h in küçük KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit

12 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi yazılı. Buadan t t (3) bulunu. Bu şu demekti: elektik alanın tanjant bileşeni sını boyunca süeklidi. Yani iki otamda da eşitti. Bi başka değişle elektik alanın tanjant bileşeni sınıda bi değişime uğamıyo. Diğe yandan D bağıntısından yaalanaak diğe bi sını koşulunu yazmaya çalışalım D n Δs Aa yüzey D D t Δh D t D n D Şekil 6. lektik akı yoğunluğu için aa yüzeyde sını koşulaı. D t D t t t (33) D D t t (34) lektik akı yoğunluğunun D nin tanjant bileşeni (46) dan göüleceği gibi sını boyunca süeksizdi. Başka bi değişle inci otamdan ikinci otama geçen elektik akı yoğunluğunun tanjant (yatay) bileşeninde sını boyunca bi değişim olacaktı. Benze şekilde denklem 6 Şekil 6 ya uygulanısa KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit

13 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi ΔQ ρ sδs Dn ΔS D Δh 0 ρ (35) s Dn Dn n ΔS olu. ğe sınıda hiç sebest yük yoksa bu duumda olu. D n D n (36) D sınıda süeklidi. lektik alan için n yazılı. n sınıda süeksizdi. (37) n n Önek: Şekilde eilen iki dielektik otam için elektik alanı hesaplayınız. Sını z0 da olup z 0 için 4 e z 0 için 3 dı. z 0 için düzgün elektik alan 5ax a y + 3a z ile eiliyo. (a) z 0? hesaplayınız. (b) αe α açılaını bulunuz? Çözüm: z 5ax ay + 3az θ α n θ t α n t Şekil 7. İki faklı di elektik otam. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 3

14 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi (a) a a 3 n 3a z n n z n + t + n t Buadan t n 5a a + 3a 3a 5a a x y z z x y yazılabili. Sınıda tanjant bileşeni süeklidi, böylece t t 5a x a y Benze şekilde D n D n n n 4 ( 3a z ) 4az n n 3 yazılı. Dolayısıyla + n t 5a a + 4a kv/m x y z olaak bulunu. (b) t 9 tanθ.795 θ 3 n α 90 θ o 9. o 60.9 t 9 tanθ.346 θ 4 n o 53.4 KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 4

15 lektomanyetik Teoi Baha Dönemi α 90 θ o 36.6 KAYNAKLAR Sadiku, M. N. O., 995, lements of lectomagnetics, Oxfod Uniesity Pess. KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit 5