PAMUKKAE ÜİVERSİTESİ MÜHEDİ SİK FAKÜTESİ PAMUKKAE UIVERSITY EGIEERIG COEGE MÜHEDİSİK B İ İ MERİ DERGİSİ JOURA OF EGIEERIG SCIECES YI CİT SAYI SAYFA : 00 : 0 : : -00 DİFERASİYE QUADRATURE EEMA METODU (DQEM) İE YAPI EEMAARII STATİK AAİZİ Zekeriya GİRGİ, Ersin DEMİR, Cem KO Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 007/Çamlık/Denizli Geliş Tarihi :.0.00 ÖZET Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Metodu (GDQM); fen ve mühendislik alanındaki diferansiyel denklemlerin direkt çözümü için geliştirilmiş alternatif bir metottur. Bu çalışmada ise, GDQM nun yeni bir versiyonu olan DQEM tanıtılmış ve yapı elemanlarının statik analizine uygulanmıştır. Önceki çalışmalarda fiziksel sistem tek bir eleman olarak göz önüne alınıyordu. Bu metotla, incelenen sistem, sonlu elemanlar metodundaki gibi, elemanlara ayrılarak, sistemin incelenmesi sağlanmıştır. Metot daha önce geliştirilmiş olan GDQM nun sağladığı tüm avantaları kullanmakla birlikte programlama kolaylığı ve hesaplama süresinin kısalığı ile etkinlik sağlamaktadır. Metot detaylı olarak ele alınmış, verilen sayısal örneklerle elde edilen sonuçların, önceki çalışmalarla uyumlu olduğu gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler : Diferansiyel quadrature eleman metodu, Statik analiz STATIC AAYSIS OF STRUCTURA EEMETS BY USIG DIFFERETIA QUADRATURE EEMET METHOD (DQEM) ABSTRACT The Generalized Differential Quadrature Method (GDQM) is an alternative method to direct solution of differential equations on the field of engineering and science. In this study, DQEM which is a new version of GDQM, is presented and applied to static analysis of mechanical elements. In the previous studies, the physical system is considered as a single element. In this method, analyzed system is divided into elements as in the Finite Element Method. The method has all of the advantages of GDQM and is an effective method with the easy programmability and short computational time. The method considered in details and with the given numerical examples, it is shown that the results are in good agreement with the pervious studies. Key Words : The differential quadrature element method, Static analysis. GİRİŞ Mühendislikte, yapı problemlerinin çözümü için birçok metot geliştirilmiştir. Bunlar Sonlu Elemanlar, Sonlu Farklar, DQM (Diferansiyel Quadrature Metot vb. dir. Yapının bazı noktalarındaki sonuçlar hesaplanması istendiğinde en kullanışlı metot, DQEM (Diferansiyel Quadrature Eleman Metot) dir. Bu metotta iyi sonuçlar elde etmek için, sistemde birçok düğümün kullanılmasına ihtiyaç yoktur. Bu yüzden DQEM, yapı elemanı üzerindeki istenilen noktaların çözümü için kullanışlıdır. GDQ (Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature) da sistemin bir eleman olması zorunluydu (Bert et al., 88; Du et al., ). Bu çalışmada, bir eleman yerine daha fazla eleman kullanıldı ve sonuçların Sonlu Elemanlar Metodu ile uyumlu olduğu görüldü. Ayrıca DQEM ile sonuçları elde etmede daha az hesaplama zamanı
gerekmektedir. Quadrature Eleman Metodu (QEM) de olduğu gibi, uç düğüm noktalarını birbirine yaklaştırma gerekmediğinden, bu zorluk ortadan kaldırılmıştır (Striz et al., ; 7; Chen et al., 000). DQEM yapı problemlerinin çözümünde kullanılan alternatif bir metottur. Bu metot sadece diferansiyel denklemlerin çözümünde değil aynı zamanda integral denklemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.. DQEM İ YAPI EEMAARIA UYGUAMASI.. Çubuk Elemanlardan Oluşan Kafes Yapıları İkinci dereceden denklem modeli için, Şekil de gösterildiği gibi x-ekseninde yönlenmiş narin çubuklarda sistemi ifade eden denge denklemi; d du 0 () şeklindedir (Chen, ; Chen et al., 000). Ayrıca lineer elastik çubuklarda sistemi ifade eden denklem ve denge denklemleri (Chen, ; Striz et al., ); d u du 0; p () Şekil de görüldüğü gibi çubuk eleman üç düğüm noktasına ayrılmıştır. Çubuğun uç noktalarından eksenel yük etki etmektedir. Denklem (), çubuğun düğüm noktalarına uygulandığında; şeklinde elde edilir (Chen, ; Striz et al., ). Denklem (), () ve () e DQEM uygulandığında (Chen, ); A A δ p ; δ p ; B δ 0; (6) ve p i uygulanan yük olmak üzere, denklem (6) matris formunda (Thomson, ); [ K ]{ } { F} δ (7) olarak yazılabilir. Denklem (7) deki {δ} ve {F} sırasıyla; {} δ u u u ; {} p F 0 (8) p olarak verilebilir. [K] matrisi elde edilirken, Denklem (6) daki kütle katsayıları matris şeklinde yazıldıktan sonra aşağıdaki biçimde düzenlenir (Wang and Gu, 7). K K ee ie K K ei ii δ δ e i Fe Fi () Denklem () daki e ve i harfleri sırasıyla elemanın iki dış düğüm noktasını ve tüm iç düğüm noktalarını ifade etmektedir. Denklem () açık ifadeyle; [K ee ]{δ e }+ [K ei ]{δ i }{F e } (0) [K ie ]{δ e }+ [K ii ]{δ i }{F i } () Şekil. Üç düğüm noktalı DQEM çubuk elemanı noktasında; du p () noktasında; d u 0 () noktasında; du p () olarak yazılabilir. Denklem () deki {δ i } ifadesi denklem (0) da yazıldığında; ( ) [ K ] [ ][ ] [ ]{ } ee + K ei K K ii ie δ e [ K] { F } [ ][ ] { } e K K F eiii i {} F () ifadesi elde edilebilir. Denklem () den elde edilen [K] matrisi ve {F}vektörü denklem (7) de yerine konularak çubuk elemandaki uzama miktarları bulunabilir. Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 0 () -00 6 Journal of Engineering Sciences 00 0 () -00
Şekil de verilen düğüm noktalı çubuk eleman için [K] matrisi DQEM uygulandığında; A A A K B B B () A A A [ ] olarak elde edilir ve Denklem (7) den sonuca ulaşılır... Kiriş Elemanlardan Oluşan Kafes Yapıları DQ metodunun önceki versiyonu olan DQM de, bir boyutlu problemler için çözüm fonksiyonu v(x); ( x) l ( x) v () v olarak alınmıştı (Wang and Gu, 7). () numaralı denklemde, hesaplama yapılacak olan elemanın, dış noktalarını da içeren düğüm noktalarının toplam sayısı, l ( x), agrange interpolasyon fonksiyonu ve v, noktasındaki çözüm fonksiyonudur. Çözüm fonksiyonunun i. düğüm noktasında k. dereceden türevi ise; i l i ( x ) v E v ( i,,..., ) v () i v(x) + (x )v h (x ( ) + )v (x ( ) )v (x )v + E i δ + (7) olarak elde edilir (Wang and Gu, 7). Denklem (7) de gösterilen E ifadesi daha önce ifade edildiği gibi k. dereceden türevi alınmış ağırlık katsayılarıdır. Bernoulli-Euler kirişi için, küçük deformasyonlarda sistemi ifade eden diferansiyel denklem ve denge denklemleri aşağıdaki biçimde ifade edilebilir (William, 7). d v EI q d v EI M x ( x) ; d v EI Q(x); ( ); ( x [ 0, ] ) (8) Denklem (8) de ifade edilen E, I, q(x), Q(x), M(x) sırasıyla elastisite modülü, z eksenine göre kesit atalet momenti, yayılı yük, enine kesme kuvveti ve eğilme momentidir. Şekil de, düğüm noktalı bir DQ kiriş elemanı görülmektedir. Denklem (8) e DQEM uygulandığında; şeklinde ifade edilmiştir (Wang and Gu, 7). Denklem () deki E, ağırlık katsayıları olarak ifade edilmiştir. Ancak bu çözüm fonksiyonu, çok boyutlu problemlerin sınır şartlarına uygulanırken yanlış ve elverişsiz sonuçlar vermektedir. Bunun için dördüncü dereceden diferansiyel denklem için çözüm fonksiyonu aşağıdaki şekilde göz önüne alınabilir (Wang and Gu, 7). v(x) + h (x)v( ) (x)v (x)v + (6) + (x)v Denklem (6) daki, hesaplama yapılacak olan elemanın, dış noktalarını da içeren düğüm noktalarının toplam sayısı, l ( x), agrange fonksiyonu ve v, noktasındaki çözüm fonksiyonudur. v ve v. ve. düğüm noktalarındaki çözüm fonksiyonlarının birinci dereceden türevleridir. Çözüm fonksiyonunun i. düğüm noktasında k. dereceden türevi ise; Q q M Şekil. Üç düğüm noktalı DQEM kiriş elemanı C δ ; D B δ ; δ M Q B δ ; C δ ; () Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 0 () -00 7 Journal of Engineering Sciences 00 0 () -00
denklemleri elde edilir (Chen, ). Denklem () daki B i, C i ve D i sırasıyla ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden türevlerin ağırlık katsayılarıdır. Ayrıca; {} [ v v v v ] T δ (0) v olarak elde edilir (Wang and Gu, 7). Denklem () matris biçiminde yazıldığında denklem (7) elde edilir. Denklem (7) deki {F}; {} [ Q M q Q ] T F () M şeklindedir (Wang and Gu, 7). Elde edilen kütle katsayıları, çubuk elemanda yapılan işleme benzer şekilde düzenlenir. Yani denklem () ve bunun sonucu olarak da, denklem () den yararlanılarak elde edilen direngenlik matrisleri ve kuvvet vektörü kullanılarak işlem devam ettirilir. Şekil de verilen düğüm noktalı kiriş eleman için eliminasyon yapılmamış [K] matrisine DQEM uygulandığında; C B EI C B C B C B C B [ K ] D D D D D () C B C B C B C B C B olarak elde edilir. Elde edilen [K] matrisi ve {F} vektörü, denklem (7) de yerine konulduğunda {δ} miktarları hesaplanır... Çerçeve Elemanlardan Oluşan Kafes Yapıları Çerçeve elemanlar, çubuk elemanlar ile kiriş elemanların birleşimi olarak düşünülebilir. Yani çerçeve elemanlar üzerinde, hem eksenel hem de radyal yönde yüklemeler bulunabilir. Buna bağlı olarak elemanda, hem x doğrultusunda hem de y doğrultusunda şekil değişimi söz konusu olur. Şekil de üç düğüm noktalı bir çerçeve elemanı görülmektedir. Çözümleme yapılırken çubuk elemanda ve kiriş elemanda kullanılan metot aynen tatbik edilir. Sistemin çözümünde kullanılacak genel denklem, denklem (7) dir. Denklem (7) deki direngenlik matrisi, çubuk ve kiriş elemanlar için yazılan direngenlik matrislerinin uygun biçimde dağıtılmasıyla bulunabilir. Denklem (7) deki şekil değiştirme vektörü ve yük vektörü sırasıyla; { } { u w θ u w u θ } T δ () w { } { p Q M p Q p Q } T F () M olarak elde edilir (Chen, ). Bundan sonra denklem () daki sıralama düzeni sisteme uygulanır. Bu işlemden sonra, denklem () kullanılarak denklem (7) de yerine konulduğunda sonuca kolaylıkla ulaşılabilir... Sayısal Örnek. UYGUAMAAR Şekil de ikinci elemanı üzerinde yayılı yük bulunan bir C - F kirişi görülmektedir. Burada;, E ve I sırasıyla kiriş boyunun yarısını, elastisite modülünü ve z eksenine göre atalet momentini ifade etmektedir ve değerleri m, E.*0 8 k/m ve I.*0 - m ve q 0 k olarak verilmiştir. Bu verilere göre, her bir eleman,, ve 7 düğüm noktasına ayrılarak sayısal sonuçlar aşağıdaki biçimde bulunmuştur (Tablo ). Tablo. İkinci Elemanı Üzerinde Yayılı Yük Tesiri Altındaki C F Kirişine Ait Sayısal Sonuçlar v (mm) -0.0088688-0.0088688 θ (rad) -0.008707-0.008707 v (mm) -0.008606-0.008606 θ (rad) -0.00678770-0.00678770 7 v (mm) -0.0088688-0.00886776 θ (rad) -0.008708-0.008700 v (mm) -0.008606-0.0086066 θ (rad) -0.0067877-0.0067876 Şekil. Üç Düğüm oktalı DQEM Çerçeve Elemanı Şekil. İkinci elemanı üzerinde yayılı yük tesiri altındaki C F kirişi Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 0 () -00 8 Journal of Engineering Sciences 00 0 () -00
.. Sayısal Örnek Şekil de 7 noktasından P yükü tesiri altında bir çerçeve yapı görülmektedir. Burada;, E ve I sırasıyla çerçeve yapıya ait eleman boyunu, elastisite modülünü ve z eksenine göre atalet momentini ifade etmektedir ve değerleri m, E.*0 8 k/m ve I.*0 - m ve P 0 k olarak verilmiştir. Bu verilere göre, her bir eleman,, ve 7 düğüm noktasına ayrılarak sayısal sonuçlar aşağıdaki biçimde bulunmuştur (Tablo ).. EKER.. Çubuk Elemana Ait Direngenlik Matrisleri Üç düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, ] olan çubuk elemana ait [k] direngenlik matrisi; [ k] 8 () Dört düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, /, ] olan çubuk elemana ait [k] direngenlik matrisi; [ k] 0 8 8 0 (6) Şekil. Beş elemanlı çerçeve yapı Tablo. Beş Elemanlı Çerçeve Yapıya Ait Sayısal Sonuçlar θ (rad) -0.00000668-0.00000668 θ (rad) -0.00000677-0.00000677 0.0000807 u (mm) 0.0000807 v (mm) -0.0000070-0.0000070 θ (rad) -0.0000066777-0.0000066777 u 7 (mm) 0.000066776 0.000066776 v 7 (mm) 0.000000068 0.000000068 θ 7 (rad) -0.00000807-0.00000807 7 θ (rad) -0.00000668-0.00000668 θ (rad) -0.00000677-0.00000677 0.0000807 u (mm) 0.0000807 v (mm) -0.0000070-0.0000070 θ (rad) -0.0000066777-0.0000066777 u 7 (mm) 0.000066776 0.000066776 0.000000068 v 7 (mm) 0.000000068 θ 7 (rad) -0.00000807-0.00000807 Beş düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, /, /, ] olan çubuk elemana ait [k] direngenlik matrisi; [] k 6 80 6 6 6 8 0 8 6 6 6 80 6 (7).. Kiriş Elemana Ait Direngenlik Matrisleri Üç düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, ] olan kiriş elemana ait [k] direngenlik matrisi; 08 EI 8 0 0 8 8 8 0 8 [ k ] (8) 8 8 8 8 0 08 Dört düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, /, ] olan çubuk elemana ait [k] direngenlik matrisi; Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 0 () -00 Journal of Engineering Sciences 00 0 () -00
[ k] 6 EI 88 8 87 6 70 8 8 7 8 8 7 8 70 8 8 88 6 6 87 () Beş düğüm noktalı ve düğüm noktalarının koordinatı [0, /, /, /, ] olan kiriş elemana ait [k] direngenlik matrisi; [] k 0 0 8 6 7 0 EI 008 80 6 0 0 6 8 06 8 08 06 06 6 0 08 6 8 0 06 8 6 6. KAYAKAR 6 008 7 0 8 0 0 80 0 0 6 (0) Bert, C. W. 88. Jang, S. K. and Striz, A.G., Two ew Approximate Methods For Analyzing Free Vibration Of Structural Components, AIAA Journal Vol. 6, 6 68, o.. Chen, W... A ew Approach For Structural Analysis: The Quadrature Element Method, Ph. D. Dissertation the University of Oklahoma, orman, OK. Chen, W.., Striz, A. G., Bert, C. W. 000. High- Accuracy Plane Stress and Plate Elements in the Quadrature Elements Method, Int. J. of Solids and Struc. 7, 67 67. Du, H., im, M. K. and in, R.M.. Application of Generalized Differential Quadrature Method to Structural Problems, Int. J. For umer. Meth. In Eng., Vol. 7, 88 86. Jang, S. K. 87. Application of Differential Quadrature to the Analysis of Structural Components, Ph. D. Dissertation, The University of Oklahoma, orman, OK. Jang, S. K., Bert, C. W. and Striz, A. G. 8. Application of Differential Quadrature to Static Analysis of Structural Components, Int. J. For umer. Meth. In Eng., Vol. 8, 6 77. Striz, A. G., Chen, W.. and Bert, C. W.. Static Analysis of Structures by the Quadrature Element Method (QEM), Int. J. Solid Struc. Vol., o. 0, pp. 807 88. Striz, A. G., Chen, W.. and Bert, C. W. 7. Free Vibration of Plates by the High Accuracy Quadrature Element Method, J. of Sound and Vib. 00 (), 68 70. Thomson, W. T.. Theory of Vibration With Application, Prentice Hall, ISB 0---, ew Jersey. Wang, X. W. and Gu, H. Z. 7. Static Analysis of Frame Structures by the Differential Quadrature Elemant Method, Int. J. For umer. Meth. In Eng., Vol. 0,7 77. William, A.. 7. Strength Of Material (Çev.: Sacit Sümer), McGraw-Hill Book Company, Güven Kitabevi Yayınları, Ankara (7). Mühendislik Bilimleri Dergisi 00 0 () -00 00 Journal of Engineering Sciences 00 0 () -00