ÖLÜM ĐÇĐNDEKĐLER -sayı sistemleri 2-kodlama ve kodlar 3-boolean kuralları 4-lojik kapılar,lojik devreler 5-karnaugh haritaları 6-sayısal entereler 7-birleşik mantık devreleri 8-multi vibratörler ve flip-floplar 9-ardışıl devreler -sayıcılar -kaydediciler 2-bellek devreleri 3-programlanabilir lojik elemanlar
ÖLÜM 2 SYI SĐSTEMLERĐ (NUMER SYSTEMS) Giriş Sayma ve sayı kavramının yeryüzünde ilk olarak nerede ve ne zaman doğduğu bilinmemekle beraber, bazı buluntular Sümer lerin saymayı bildiklerini ve bugün kullandığımız onluk sayı düzeninin MS 4 dolaylarında, Hindistan da geliştirildiğini göstermektedir. Onluk sayı düzeni daha sonra Đslam bilginleri tarafından geliştirilmiş, MS 8 yıllarında onlu sayı sistemine Sıfır () sayısı eklenmiş ve sayı düzenindeki rakam biçimleri değiştirilerek yeni bir şekil kullanılmaya başlanmıştır. Onluk sayı düzeni, Endülüs üzerinden 2 lü yıllarda vrupa insanına aktarılmış ve sonuçta bugün bizim ve çoğu vrupa ülkesinin kullandığı rakam biçimleri ortaya çıkmıştır. Onluk sayı düzeninin bulunması ve yaygın kullanılmasında büyük olasılıkla insanın iki elinde toplam on parmağın bulunmasının etkisi olmakla beraber, insanlar tarih boyunca onluk sayı düzeninin dışında başka sayma düzenlerinde kullanmışlardır. Örneğin, zaman ölçmede kullandığımız gün, saat, dakika ve saniye gibi birimler birbirinin 2 ve 5 katı biçimindedir.
Sayı Sistemleri Onluk sayı düzeni insan kafası için yatkın olmasına rağmen, günümüz bilgisayar teknolojisi için uygun değildir. u nedenle günümüz bilgisayar teknolojisinde değişik sayı düzenleri kullanılmaktadır. unlar; ikili (binarydual), sekizli (octal), onaltılı (hexadecimal) sayı sistemleridir. u bölümde, bilgisayar teknolojisinde kullanılan sayı sistemlerini genel özellikleri ile inceledikten sonra, incelenen sayı sistemleri arasındaki ilişkileri açıklayacağız. 2.. Sayı Sistemlerinin Đncelenmesi Sayı sistemlerini incelerken göz önünde bulundurmamız gereken ilk kavram; sayı sistemlerinde kullanılan rakam, işaret, karakter veya harfleri ve bunların temsil ettikleri anlamları açıklamaktır. Sayı sistemlerinde kullanılan rakamın/harfin/karakterin, sayı içerisinde bulunduğu yere (basamağa) bağlı olarak temsil ettiği anlamı değişir. nlam değişikliğini belirleyen unsur, bulunan basamağın sayı sistemine bağlı olarak taşıdığı kök/taban değeridir. u durumda sayı sistemine bağlı olarak değişen ikinci kavram; sayı sistemlerinde kullanılan taban değeridir. ir sayı sistemini S, sayı sisteminde kullanılan rakam/karakterleri d ve kökü de R ile gösterir ve genel olarak S ile gösterilen sayı sistemini formülle ifade edersek; S= d n R n +d n- R n- +...+d 2 R 2 +d R +d R eşitliği elde edilir. Formülde d n -d ; sayı değerlerini, R n - R ise; köke bağlı olarak oluşan basamak değerlerini temsil eder. Kesirli kısmı bulunan sayıları ifade etmek için; S = d n R n +d n- R n- +...+d 2 R 2 +d R +d R, d R - +d 2-2 +d 3 R -3 +... eşitliği kullanılır. Genel olarak ifade edilen eşitlikleri bu bölümde inceleyeceğimiz sayı sistemlerine uyarlayarak sırası ile onlu, ikili, sekizli ve onaltılı sayı sistemlerini inceleyelim. 2... Onlu (Decimal) Sayı Sistemi Günlük hayatımızda en çok kullandığımız onluk sayı sisteminde on değişik rakam vardır ve bunlar sırasıyla;,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dur.
Sayı Sistemleri u durumda d n - d sayı değerleri;,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sayıları ile ifade edilir ve R; taban değeri olan ile gösterilir. u durumda daha önce ifade edilen denklem; D = d n n +d n- n- +...+d 2 2 +d +d şeklini alır. Kesirli kısmı bulunan onlu sayıları ifade etmek için; D= d n n +d n- n- +... +d 2 2 +d +d, d. - +d 2. -2 +d 3. -3 +. eşitliği kullanılır. Denkleme göre en sağdaki basamak en düşük ve en soldaki en yüksek anlamlı basamak olarak; 985 sayısı, 985 =. 3 +9. 2 +8. +5. şeklinde yazılabilir. 2..2. Đkili (inary-dual) Sayı Sistemi ve rakamları ile temsil edilen, taban değeri 2 olan ve iki olasılıklı durumları ifade etmek amacıyla kullanılan sayı sistemi Đkili veya inary sayı sistemi olarak adlandırılır. Đkili sayı sisteminde her bir basamak ĐT olarak (inary DigiT) adlandırılır. En sağdaki basamağa en Düşük nlamlı it - D (Least Significant it- LS), en soldaki basamağa en Yüksek nlamlı it-y (Most Significant it-ms) denir. una göre ikili sayı sistemindeki basamak değerleri; = d n 2 n +d n- 2 n- +... +d 2 2 2 +d 2 +d 2 eşitliği ile ifade edilebilir. Örnek olarak ikili sayısının basamak değerlerini yazarsak; =.2 8 +.2 7 +.2 6 +.2 5 +.2 4 +.2 3 +.2 2 +.2 +.2 eşitliği bulunur. u onluk sistemde; sayısına eşittir. D = 256+64+32+8+4+ = 365
2 Sayı Sistemleri ynı şekilde kesirli kısım bulunan ikili sayıların basamak değerleri: = d n 2 n +d n- 2 n- +... +d 2 2 2 +d 2 +d 2, d 2 - + d 2 2-2 +...+ d n 2 -n şeklinde olur. Tam sayı kısmı Kesirli sayı kısmı En anlamlı it (MS) Đkili sayı sistemi bilgisayarlar için uygun ve bu sistemde sayıların ifade edilmesi kolay olmasına rağmen, sayıların ifade edilmesi daha çok sayıda basamak ile mümkün olmaktadır. Onlu olarak ifade edilen bir sayıyı, ikili sistemde ifade etmek için ortalama üç katı daha fazla basamağa ihtiyaç vardır. uda ikili sayı sisteminde yapılacak işlemlerin zaman alması, zorlaşması ve hata ihtimalinin yükselmesi sonucunu doğurur. u sakıncaları ortadan kaldırmak için, ikili sayı sisteminin tam katları olan ve işlemlerin daha az zamanda yapılmasına imkan tanıyan (ikili sayı sistemine dönüştürülmeleri veya ters işlemi çok kolay olan) sekizli ve onaltılı sayı sistemleri kullanılır. ununla beraber, ikili sayı sistemi bilgisayarlarda aşağıdaki amaçlar için kullanılmaktadır: i. Gerçek sayısal değeri ifade etmek için, ii. Veri ile ilgili bellekteki adresi belirtmek için, iii. Komut kodu olarak, iv. lfabetik ve sayısal olmayan karakterleri temsil etmek için bir kod olarak, v. ilgisayarda dahili ve harici olarak bulunan devrelerin durumlarını belirlemesi için bir sayı grubu olarak. 2..3. Sekizli (Octal) Sayı Sistemi En anlamsız it (LS) Đkili sayı sistemindeki sayıların daha kolay gösterilmesini sağlayan sayı sistemlerinden birisi, sekizli (octal) sayı sistemidir. Sekizli sayı sisteminde taban 8 ve kullanılan sayılar;,, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dir. Genelde yetmişli yıllarda mini bilgisayarlarda çokça kullanılan sekizli sayı sistemindeki basamak değerlikleri;
Sayı Sistemleri 3 O = d n 8 n +d n- 8 n- +...+d 3 8 3 +d 2 8 2 +d 8 +d 8, d 8 - + d 2 8-2 + formülü ile ifade edilir. Onlu Đkili Sekizli Onaltılı 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 2 3 2 4 C 3 5 D 4 6 E 5 7 F 6 2 7 2 8 22 2 9 23 3 2 24 4 Tablo 2.. -2 arası sayıların ikili, sekizli ve onaltılı sistemlerdeki karşılıkları. 2..4. Onaltılık (Hexadecimal) Sayı Sistemi Đkili sayı sisteminin daha kolay gösterilmesini sağlayan ve günümüz bilgisayarlarında yaygın olarak kullanılan sayı sistemi onaltılık (hexadecimal) sayı sistemidir. Onaltılı sayı sisteminde ile 9 arasındaki rakamlar ile,, C, D, E, F harfleri kullanılır.
4 Sayı Sistemleri u sayı sistemindeki sayıların genel denklemi; H = d n 6 n +d n- 6 n- +...+d 6 +d 6 + d 6 - + d 2 6-2 + d 2 6-3 + şeklinde oluşur. Tablo 2. de -2 arasındaki onlu sayıların ikili, sekizli, onaltılı sayı sistemlerindeki karşılıkları gösterilmektedir. uraya kadar sayı sistemlerini açıklandı. Şimdi bu sayı sistemlerinin birbirlerine dönüşümlerini açıklayalım. 2.2. Sayı Sistemlerinin irbirlerine Dönüştürülmeleri Sayı sistemlerinin birlikte kullanılması, sayı sistemlerinden herhangi birisi ile ifade edilen bir büyüklüğün diğer sayı sistemlerine dönüşüm ihtiyacını ortaya çıkarır. Sayı sistemlerini tek-tek ele alarak diğer sayı sistemlerine dönüşüm prensiplerini ve yöntemlerini açıklayalım. 2.2.. Onlu Sayıların Đkili, Sekizli ve Onaltılı Sayılara Dönüşümü Onlu bir sayı başka bir sayıya dönüştürülecekse; onlu sayı, yeni oluşacak olan sayı sisteminin taban değerine sürekli bölünür. ölüm sonucunda elde kalanların tersten sıralanmasıyla yeni sayı sistemindeki sayı bulunur. Onlu sayıların Đkili Sayılara Dönüşümü: Onlu bir sayı ikili bir sayıya dönüştürülecekse, onlu sayı sürekli 2 ye bölünür. Örnek : (39) sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. ölünen ölüm Kalan 39/2 9 + LS 9/2 9 + 9/2 4 + 4/2 2 + yazım yönü 2/2 + MS MS: En büyük değerlikli sayı. (Most Significant it) LS: En küçük değerlikli sayı. (Least Significant it) Sonuç olarak; eşitliği bulunur. (39) =() 2
Sayı Sistemleri 5 Örnek 2: (27) sayısını ikili sayıya dönüştürelim. Đşlem ölüm Kalan 27 / 2 = 635 635 / 2 = 37 37 / 2 = 58 58 / 2 = 79 79 / 2 = 39 39 / 2 = 9 9 / 2 = 9 9 / 2 = 4 4 / 2 = 2 2 / 2 = Sonuç olarak; eşitliği bulunur. (27) = () 2 Kesirli onlu sayılar ikili sayılara dönüştürülürken kesir kısmı 2 ile çarpılır. Çarpım sonucunda elde edilen sayının tam kısmı kaydedilerek, kesirli kısım 2 ile yeniden çarpılır. u işleme kesirli kısım değerine (veya a çok yakın bir değere) ulaşıncaya kadar devam edilir. Örnek 3: (.65) sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Sonuç; Tam Kısım.65 * 2 =.3 a -.3 * 2 =.6 a -2 Sıralama.6 * 2 =.2 a -3 yönü.2 (.65) (.) 2 olarak bulunur. u örnekte görüldüğü gibi kesirli kısım değerine varmayabilir. u gibi durumlarda işlem sonlandırılarak yuvarlatma yapılabilir. Örnek 4: (4.6875) sayısını ikili sayıya çevirelim. Tam sayı ve kesirli kısmı bulunan bir sayıyı ikili sayıya çevirmek için, tam sayı ve kesir kısımları ayrı-ayrı dönüştürülür ve bulunan sayılar birleştirilir.
6 Sayı Sistemleri Önce tam sayı kısmını çevirelim: Đşlem ölüm Kalan 4 / 2 2 2 / 2 / 2 5 5 / 2 2 2 / 2 (4) = () 2 Daha sonra kesirli sayı kısmının çevirimini yapalım; Tamsayı.6875 * 2 =.375.375 * 2 =.75.75 * 2 =.5.5 * 2 =. (.6875) = () 2 Sonuçta, iki sayıyı birleştirirsek; eşitliği bulunur. (4.6875) = (.) 2 Onlu Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi : Onlu sayı sistemindeki bir sayıyı, sekizli sisteme dönüştürmek içinde yukarıda açıklanan yöntemler kullanılır. Örnek 5: (53) sayısını sekizli sisteme çevirelim. Verilen sayının devamlı 8 ile bölünmesi şeklinde işlem yapılır: Đşlemler sonucunda, Đşlem ölüm Kalan 53 / 8 9 9 / 8 2 3 2 2 eşitliği bulunur. (53) = (23) 8
Sayı Sistemleri 7 Örnek 6: (.53) sayısını sekizli sayı sistemine çevirelim. Verilen sayı devamlı 8 ile çarpılarak oluşan tam sayılar yazılır. Oluşan tam sayı.53 x 8 = 4.4 4.4 x 8 =.832 yazım yönü.832 x 8 = 6.656 6.656 x 8 = 5.248 5.248 x 8 =.984 Sonuç olarak; (.53) (.465) 8 eşitliği bulunur. Tam sayı ve kesirli kısmı bulunan onlu sayıları 8 li sayılara dönüştürme işleminde; tam sayı ve kesir kısımları ayrı ayrı dönüştürülür ve bulunan sonuçlar birlikte yazılır. Örnek 5 ve Örnek 6 daki işlemlerden, (53.53) sayısının (23.465) 8 sayısına eşit olduğu söylenebilir. Onlu Sistemdeki Sayıların Onaltılı Sayılara Dönüştürülmesi: Onlu sistemdeki bir sayıyı onaltılık sisteme dönüştürmek için, onluk sistemin ikili ve sekizli sisteme çevrilmesindeki yöntem uygulanır. ncak onaltılık sistemde taban 6 olduğundan, 6 ya bölme ve kalanı yazma şeklinde işlem yapılır. Örnek 7: (24) sayısını onaltılık sayı sistemine çevirelim. Verilen sayının devamlı 6 ya bölünmesi ve kalanının yazılması şeklinde işlem yapılır: Đşlem ölüm Kalan 24 / 6 3 6 6 3 / 6 3 D Sonuç olarak; eşitliği yazılabilir. (24) = (D6) 6
8 Sayı Sistemleri Örnek 8: (423) = (?) 6 dönüşümünü gerçekleştirelim. Kalan 423 / 6 7 26 / 6 ölme işlemi sonucunda elde edilen sayısının onaltılı sistemdeki karşılığı olan değerinin yazılaması ile; eşitliği elde edilir. (423) = (7) 6 Kesirli ondalık sayıların onaltılı sayı sistemine dönüştürülmesi; kesirli sayının 6 ile çarpımından oluşan tam sayı kısmının alınıp, yeni sayının kesirli kısmının çarpılmaya devam etmesi şeklinde yapılır. Örnek 9: (.975) sayısını onaltılık sisteme çevirelim. Verilen sayı devamlı 6 ile çarpılıp, oluşan tam sayılar yazılır: Kalan.975x6 = 5.6 5 F.6x6 = 9.6 9 yazım.6x6 = 9.6 9 yönü Sonuç olarak; (.975) = (.F99) 6 eşitliği bulunur. Örnek : (24.375) = (?) 6 dönüşümünü yapalım. Tam sayı ve kesirli kısımların dönüşümü ayrı ayrı yapılacağından, tam sayı kısmını Örnek 7 den alabiliriz: Kesirli kısım ise; olarak elde edilir. u durumda kesirli kısım için; (24) = (D6) 6 (.375) = (?) 6.375 x 6 = 6. eşitliği yazılabilir. (.375) = (.6) 6
Sayı Sistemleri 9 Sonuç olarak; (24.375) = (D6.6) 6 eşitliği bulunur. 2.2.2. Đkili Sayı Sistemindeki Sayıların Onlu, Sekizli ve Onaltılı Sayı Sistemlerine Dönüştürülmesi Đkili sistemdeki bir sayı, her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp, bulunan değerlerin toplanması ile ilgili sayı sistemine dönüştürülür. Đkili Sayıların Onlu Sayılara Dönüştürülmesi: Đkili sistemdeki bir sayı, her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp, bulunan değerlerin toplanması ile Onlu sayı sistemine dönüştürülür Örnek : () 2 sayısının onluk sayı sistemindeki karşılığını bulalım. Her bir basamakta bulunan sayı basamak değeri ile çarpılır ve bulunan sayılar toplanırsa; x2 4 + x2 3 + x2 2 +x2 + x2 = 6 + 8 + + + olur. u durumda; () 2 = (25) = 25 eşitliği yazılabilir. Kesirli ikili sayının onluk sayı sistemine dönüştürülmesi; kesirli kısmın soldan sağa doğru ikinin negatif kuvvetleri şeklinde yazılıp, bu sayıların basamaklarda bulunan sayılarla çarpılması ve bulunan çarpımların toplanması şeklinde gerçekleştirilir. Örnek 2: (.) 2 sayısını onluk sayı sistemine dönüştürelim. Tamsayı ve kesirli kısmın basamak değerleri ile basamaklarda bulunan sayılar çarpılırsa;. =.2 2 +.2 +.2 2,.2 - +.2-2 =.4 +.2 +.,./2 +./4 = 4 + +, + /4 = (4.25) sayısı bulunur. u durumda; eşitliği elde edilir. (.) 2 = (4.25)
2 Sayı Sistemleri Örnek 3: (.) 2 = (?) dönüşümünü yapalım. Sayının tam ve kesirli kısmında bulunan rakamlar ile basamak değerleri çarpılır. (.) 2 =.2 3 +.2 2 +.2 +.2,.2 - +.2-2 +.2-3 Đkili sayı sistemindeki sayıların sekizli ve onaltılı sayılara dönüştürülmeleri bilgisayarlarda önemli bir yere sahiptir. 2 3 = 8 ve 2 4 = 6 olduğundan, her bir sekizlik sayı üç bit ikili sayıya karşılık gelirken, herbir onaltılık sayı 4 bit ikili sayıya karşılık gelir. Đkili Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi: Đkili sistemdeki bir sayıyı sekizli sistemde ifade etmek için, ikili sistemdeki sayılar sağdan sola doğru üçerli kümeler halinde ayrılır ve en sondaki kümedeki bitlerin sayısı üçten az ise sola doğru eklenerek üçe tamamlanır. Örnek 4: () 2 sayısını sekizli sayı sistemine dönüştürelim. Üçerli kümelere ayırma ve eksik bitleri tamamlama sonucunda, kümeleri elde edilir. Her kümedeki sayının onluk karşılığı yazılırsa; ( ) 2 = (3 7 3 5) 8 şeklinde sekizli sistemdeki sayı bulunur. u durumda, eşitliği yazılabilir. = 8 + + 2 +,.5 + +.25 = (.625) Dönüştürme işlemi sonucunda; (.) 2 = (.625) eşitliği bulunur. () 2 = (3735) 8
Sayı Sistemleri 2 Örnek 5 : () 2 = (?) 8 Kesirli ikili sayıların sekizli sayılara dönüşümü aynı yöntemle gerçekleştirilir. Yalnızca, kesirli kısımdaki gruplandırma soldan sağa doğru yapılır. Đkili Sayıların Onaltılı Sayılara Dönüştürülmesi: dönüşümünü yapalım. Verilen sayı üçerli gruplara ayrılır ve herbir grubun temsil ettiği sekizli sayı yazılırsa; = (2653) 8 2 6 5 3 u durumda () 2 = (2653) 8 eşitliği elde edilir. Örnek 6: (.) 2 = (?) 8 dönüşümünü yapalım. Sayı, (. ) 2 şeklinde gruplandırılıp, her grubun karşılığı olan ikili sayı yazılırsa; 5 5 5. 7 4 6 = (555.746) 8 sonucu elde edilir. Sonuçta; (.) 2 = (555.746) 8 eşitliği bulunur. Đkili sistemdeki bir sayı, her basamağının ağırlık katsayısı ile çarpılıp, bulunan değerlerin toplanması ile Onaltılı sayı sistemine dönüştürülür. Đkili sayı sisteminden onaltılık sayı sistemine dönüştürme işlemi, ikili sistemdeki sayının dörderli gruplara ayrılıp, her bir gruptaki sayıların karşılıklarının yazılması şeklinde gerçekleştirilir. Gruplama işlemine sağdan başlanır ve en sondaki grup eklenerek dört bite tamamlanır. Gruplardaki sayıların karşılıkları olan sayılar yazılınca, onaltılık sistemdeki sayı elde edilir. Örnek 7: () 2 dönüştürelim. sayısını onaltılık sayı sistemine Verilen sayı dört bitlik gruplar halinde yazılırsa; şeklini alır. u gruplardaki sayıların onaltılık sistemdeki karşılıkları yazılırsa;
22 Sayı Sistemleri D C 3 D sayıları elde edilir. Sonuç olarak; eşitliği bulunur. () 2 = (DC3D) 6 Örnek 8: (.) 2 çevirelim. Grupların karşılıkları olan sayılar sırası ile yazılınca; onaltılık sistemdeki sayı; (.) 2 = (2C6.F2) 6 olarak elde edilir. sonucu elde edilir. 2.2.3. Sekizli 3 Sistemdeki 6 D Sayıların 4 Đkili, Onlu Ve Onaltılı Sistemlere Dönüştürülmesi Sekizli sistemdeki sayıları diğer sayı sistemlerine dönüştürmek için dönüştürülecek sayı sisteminin özelliğine uygun yöntem kullanılır. Sekizli Sayıların Đkili Sayılara Dönüştürülmesi: sayısını onaltılık sayı sistemine Çevirme işlemi için önce sayının tam sayı ve kesirli kısımları 4 erli gruplara ayrılır. Herbir grubun onaltılı sistemde karşılığı olan sayı yazılır.. 2 C 6 F 2 Örnek 9: (.) 2 = (?) 6 dönüşümünü yapalım. Gruplandırma yapılıp, herbir gruptaki sayıların karşılığı yazılırsa;. = (36.D8) 6 3 6 D 8 Sekizli sistemdeki bir sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürmek için, her bir basamaktaki sayının karşılığı olan ikili sayı 3 bitlik gruplar şeklinde yazılır. Gruplar halinde yazılan sayılar bir araya getirilmesi ile ikili sistemdeki sayı ortaya çıkar.
Sayı Sistemleri 23 Örnek 2: (673.24) 8 sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Önce her bir sayının karşılığı olan ikili sayı 3 bit olarak yazılır: 6=, 7=, 3=, =, 2=, 4=. Yazılan sayılar bir araya getirilirse; eşitliği bulunur. (673.24) 8 = (.) 2 Sekizli Sayıların Onlu Sayılara Dönüştürülmesi: Sekizli sayılar, her bir basamaktaki rakamın basamak ağırlığıyla çarpılması ve daha sonra çarpımların toplanması yoluyla onluk sayı sistemine dönüştürülür. Örnek 2: (372) 8 sayısını onluk sayı sistemine çevirelim. Herbir basamaktaki sayı basamak değerleriyle çarpılıp, bulunan sayılar toplanırsa; sayısı bulunur. u durumda; (372) 8 = 3x8 2 + 7x8 + 2x8 = 3x64 + 7x8 + 2x = 25 eşitliği elde edilir. (372) 8 = (25) Örnek 22: (24.6) 8 = (?) dönüşümünü gerçekleştirelim. asamaklardaki sayılar basamak değerleriyle çarpılır: (24.6) 8 = 2x8 + 4x8. 6x8 -. Çarpımından bulunan değerler toplanırsa; = 6 + 4.75=2.75 sayısı bulunur. Sonuçta; (24.6) 8 = (2.75) eşitliği oluşur.
24 Sayı Sistemleri Sekizli sistemdeki bir sayıyı onaltılık sayı sistemine dönüştürmenin en pratik yolu, sekizlik sayıyı önce ikilik sayı sistemine dönüştürmek ve daha sonra ikili sayıyı onaltılık sayıya çevirmektir. Örnek 23: (543) 8 sayısını onaltılık sayıya dönüştürelim. Sekizlik sayı önce ikili sayıya çevrilir. (543) 8 = () 2 Daha sonra bulunan sayı dörderli gruplara ayrılıp, her bir grubun karşılığı olan onaltılı sistemdeki ifade yazılırsa; eşitlikleri bulunur. =, =, = 9 ulunan sayılar bir araya getirilirse; (9) 6 sayısı elde edilir. u durumda; eşitliği yazılabilir. (543) 8 = (D9) 6 2.2.4. Onaltılık Sistemdeki Sayıların, Đkili, Sekizli ve Onlu Sayı Sistemlerine Dönüştürülmesi Onluk sayı sistemlerinde ifade edilen bir büyüklüğü diğer sayı sistemlerine dönüştürmek için uygun yöntemler kullanılır. Onaltılı Sayıların Đkili Sayılara Dönüştürülmesi: Onaltılı sistemdeki bir sayıyı ikili sayı sistemine dönüştürmek için; her basamaktaki sayının karşılığı olan ikili sayı 4 bit şeklinde yazılır. 4 bitlik gruplar bir araya getirilerek ikili sayı bulunur.
Sayı Sistemleri 25 Örnek 24: (5DD69) 6 sayısını ikili sisteme çevirelim. Herbir basamaktaki onaltılık sayının karşılığı olan ikili sayı yazılırsa; 5=, D=, =, D=, 6=, 9= değerleri elde edilir. Yazılan ikili sayıların bir araya getirilmesi ile, sonuç olarak; eşitliği bulunur. (5DD69) 6 = () 2 Örnek 25: (E7F.C) 6 sayısını ikilik sayıya çevirelim.herbir basamaktaki sayının karşılığı olan ikili sayı 4 basamaklı olarak yazılırsa;. sayıları bulunur. u durumda; (E7F.C) 6 = (.) 2 eşitliği elde edilir. Onaltılı Sayıların Onlu Sayılara Dönüştürülmesi: Onaltılı sayıyı onlu sisteme çevirmek için, her basamaktaki değer ile basamak ağırlığı çarpılır. ulunan değerlerin toplanması ile onaltılı sistemden onlu sayı sistemine dönüşüm yapılmış olur. Örnek 26: (E7FC) 6 sayısını onlu sisteme dönüştürelim. Herbir basamaktaki sayıyı basamak değerleriyle çarpıp, bulunan sayıların toplanması ile; E7FC = Ex6 5 + 7x6 4 + x6 3 + Fx6 2 + Cx6 + x6 = 84479 + 458752 + + 384 + 92 + = (23753) sayısı bulunur. Sonuçta; (E7FC) 6 = (23753) eşitliği yazılabilir.
26 Sayı Sistemleri Örnek 27: (5D.D9) 6 = (?) dönüşümünü yapalım. asamak değerlerinin basamaklardaki sayılarla çarpılıp, bulunan sayıların toplanması ile; 5D.D9 = 5x6 2 + 3x6 + x6. 3x/6 + 9x/256 = 28 + 28 + 6. 3/6 + 9/256 = (54.8476) sayısı bulunur. u durumda, eşitliği yazılabilir. (5D.D9) 6 = (54.8476) Onaltılı Sayıların Sekizli Sayılara Dönüştürülmesi: Onaltılık sayıyı sekizli sisteme çevirmek için en pratik yöntem; onaltılık sayının ikili sisteme ve daha sonra ikili sistemdeki sayının sekizli sisteme çevrilmesidir. Örnek 28 : (EC) 6 sayısını sekizli sisteme çevirelim. Önce onaltılı sayı ikili sisteme çevrilir. Onaltılı sistemdeki sayının ikili sisteme çevrilmesi için, her bir basamaktaki sayının ikili karşılığı dört bitlik olarak yazılırsa; E =, =, C =, = sayıları bulunur. ulunan sayılar birleştirilirse; (EC) 6 = () 2 sayısı elde edilir. Elde edilen ikili sayı, her grubun karşılığı olan sekizli sayının üçerli gruplar halinde yazılması şeklinde sekizli sayıya dönüştürülürse; eşitliği bulunur. () 2 = (632) 8 Not: ütün sayı sistemlerinde negatif sayıların dönüşümleri aynı şekilde, yalnızca sonuca (-) işareti eklenmek suretiyle yapılır.
Sayı Sistemleri 27 2.3. Sayı Sistemlerinde Hesaplama Tüm sayı sistemlerinde sayılarda işaret kullanılabilir. Yani pozitif ve negatif sayılarla hesaplama yapılabilir. u gerçek göz önünde bulundurularak, onluk sayılarda hesaplama yaparken aşağıdaki ilişkiler kullanılabilir. u ilişkiler bütün sayı sistemleri için geçerlidir. a) +a + (+b) = a + b b) +a + (-b) = a - b c) +a - (+b) = a - b d) +a - (-b) = a + b Đkili, sekizli ve onaltılı sistemlerdeki hesaplamalarda da 4 temel işlem (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) kullanılır. ncak, dijital bilgisayarlarda kullanılan temel sayı sistemi ikili sayı sistemi olduğundan, ikili sayı sistemindeki dört işlemi detaylı olarak inceleyelim. 2.3.. Đkili Sayı Sisteminde Toplama Đkili sayı sisteminde yapılan toplama işlemi, onlu sayı sisteminde olduğu gibi aynı basamaktaki sayıların toplanması şeklinde yapılır. Đkili sayı sistemindeki toplama kuralları aşağıdaki şekilde sıralanabilir. + =, + =, + =, + = veya + = Elde (C=). + toplama işleminde sonuç olarak ve bir soldaki basamağa aktarılmak üzere elde ortaya çıkar. u onluk sayılarla yapılan toplama işlemindeki 9+ rakamlarının toplamından ortaya çıkması ve eldeki in bir soldaki basamağa aktarılmasına benzer. Örnek 29: Đkili sayı sistemine göre aşağıdaki toplama işlemlerini gerçekleştirelim. + + + Not: Çok sayıda sayıların alt alta toplanmasında, iki adet in elde oluşturduğu bilinerek, toplanacak birlerin sayısı tesbit edilir. Her bir çift değeri için, elde değeri bir soldaki basamağa aktarılır.
28 Sayı Sistemleri Örnek 3 : şağıda verilen toplama işlemlerini yapalım. + 2.3.2. Đkili Sayı Sisteminde Çıkarma + + Đkili sayılarda çıkarma işleminde özetlenen kurallar uygulanır: - =, - =, - =, - = (borç ), - = u kuralların uygulandığı yöntem, doğrudan çıkarma yöntemi olarak adlandırılır. na sayının çıkarılan sayıdan büyük olması durumunda, yani sonucun veya dan büyük olması durumunda doğrudan çıkarma yöntemi kullanılabilir. Örnek 3: yapalım. şağıdaki çıkarma işlemlerini doğrudan çıkarma yöntemi ile - - Çıkarma işlemi sonucunun dan küçük olması durumunda doğrudan çıkarma yöntemi kullanılamaz. u nedenle, sonucun dan küçük çıktığı işlemleri gerçekleştirmek ve bilgisayarlarda mantıksal uyumlaştırma işlemini kolaylaştırmak amacıyla, tümleyen aritmetiğine göre çıkarma olarak adlandırılan çıkarma yöntemi kullanılır. Tümleyen aritmetiği ile çıkarma yönteminde tüm çıkarma işlemleri yapılabilmekte ve bu nedenle bilgisayarlarda bu yöntem kullanılmaktadır.
Sayı Sistemleri 29 2.3.3. Tümleyen ritmetiği Tümleyen aritmetiği, sayısal bilgisayarlarda çıkarma işlemini gerçekleştirmek amacıyla kullanılan matematiksel bir yöntemdir. Tümleyen aritmetiğini anlamanın en pratik yolu, taşıtlarda kullanılan kilometre sayacını göz önünde bulundurmaktır. Onlu sayı sisteminde çalışan kilometre sayaçları genelde beş basamaklıdır. başlangıç değerinden ileri doğru gidildiğinde, 2 gibi artarken, geriye doğru gidildiğinde sayacın değerleri 99999, 99998 gibi azalır. u sayaç örneğinde, bir adım ileri gidildiğinde ve bir adım geriye gidildiğinde 99999 değerine ulaşıldığından bu sayılara birbirinin tümleyeni denmektedir. una göre 2 sayısının tümleyeni 99998 değeridir. raçların kilometre sayaçları üzerinde açıklanan tümleyen aritmetiğinin ikilik sayılarda uygulamasıyla iki çeşit tümleyen aritmetiği ortaya çıkar: tümleyeni ve 2 tümleyeni. edilir. tümleyeni; (2 n -N-) ve 2 tümleyeni; (2 n -N) formülleri ile ifade Formüldeki 'n' değeri verilen N sayısındaki basamak sayısıdır. Formüllerin incelenmesinden; 2 tümleyeninin, tümleyenine eklenmesi ile oluştuğu görülür. ve 2 tümleyeni mantıkları, onluk sistemde 9 ve tümleyenler şeklinde temsil edilir. Tümleyen aritmetiği çeşitleri, daha genel tabir ile, r tabanlı bir sayı sisteminde r tümleyeni ve r- tümleyeni olarak ifade edilebilir. u açıklamalar ışığında tümleyen aritmetiğini iki kısımda inceleyebiliriz: r tümleyeni ve r- tümleyeni. 2.3.3.. r Tümleyen ritmetiği r tabanlı bir sayı sisteminde, n basamaklı pozitif bir tamsayı N ile temsil edilirse, N sayısının r tümleyeni r n -N (N ) olarak tanımlanabilir. şağıdaki örnekler, r tümleyeni terimini anlamaya yardım edecektir.
3 Sayı Sistemleri Örnek 32 : (5252) sayısının r tümleyenini (onlu sayı sistemi olduğundan tümleyenini) bulalım. Verilen sayıda basamak sayısı: n=5 ve taban: r= olduğundan; sayının r tümleyeni: olarak bulunur. r n -N = 5-5252 = 4748 Örnek 33: (.3267) sayısının tümleyenini bulalım. Verilen sayıda tam sayı kısmı bulunmadığından basamak sayısı; sayısı bulunur. n = = olarak alınır ve sonuç olarak; r -N = -.3267 = (.6733) Örnek 34 : (25.639) sayısının tümleyenini bulalım. Tam sayı kısmı 2 basamaklı olduğundan sayının r tümleyeni; olarak bulunur. r=, n=2 ve N=25.639 değerleri ile; r n - N = 2-25.639 = 74.36 Örnek 35 : () 2 sayısının 2 tümleyenini bulalım. Sayı ikili sistemde olduğundan, r=2 ve sayı 6 basamaklı olduğundan n=6 değerleri bulunur. u değerler formülde yerine konulursa, verilen ikili sayının r tümleyeni olarak; değeri bulunur. (2 6 ) - () 2 = ( - ) 2 =
Sayı Sistemleri 3 Örnek 36 : (.) 2 sayısının 2 tümleyenini bulalım. Verilen ikili sistemdeki sayının tam sayı kısmı bulunmadığından; sayının 2 tümleyeni; olarak bulunur. 2 -N= -. = (.) 2 Yukarıdaki açıklamalardan ve örneklerden, ikili sayı sistemindeki bir sayının 2 tümleyenini bulmanın en kolay yolunun; sayıya sağdan bakarak ilk e kadar olan sayıları olduğu gibi bırakmak ( dahil), diğer bitlerdeki değerlerin tersini almak ( ise, ise yazmak) olduğu söylenebilir. r tümleyeni, bütün sayı sistemleri için yukarıda verilen eşitlikten çıkartılabilir. urada açıklanan ve 2 tümleyenleri, en çok karşılaştığımız sayı sistemleri olduklarından detaylandırılmıştır. 2.3.3.2. r tümleyen aritmetiği ile çıkarma Onluk sayı sisteminde alışkın olduğumuz ve komşuya git borç al olarak isimlendirebileceğimiz doğrudan çıkarma yöntemi bilgisayarlar için çok kullanışlı değildir. Elektronik elemanlar ile çıkarma söz konusu olduğunda daha kullanışlı (etkin) olan yöntem, sayıların tümleyenini alarak toplama işlemi yapmaktır. u yöntemde, r tabanındaki iki pozitif sayının M-N işlemi aşağıdaki gibi özetlenebilir:. Đki sayıyı çıkarma yerine M sayısının kendisi ile N sayısının r tümleyeni toplanır. 2. Toplama sonucunda elde edilen değer incelenir: a) Eğer en soldaki basamakların toplanması sonucunda elde değeri oluşursa (işaret biti), bu değer atılır. ulunan sonucun (+) pozitif olduğu kabul edilir. b) Eğer elde değeri oluşmazsa, toplama sonucunda elde edilen değerin r tümleyeni alınır ve bulunan değerin önüne (-) eksi işareti konulur.
32 Sayı Sistemleri Örnek 37: tümleyenini kullanarak, (72532 325) =? işlemini yapalım. M=72532 72532 N=325 tümleyeni N=9675 + 9675 işaret biti elde 69282 Đşaret biti dir ve bu durumda sonuç; (+69282) olarak bulunur. Örnek 38: (325) (72532) =? işlemini r tümleyen aritmetiği yöntemi ile yapalım. N = 325 325 M = 72532 tümleyeni = 27468 + 27468 elde yok 378 u durumda 378 sayısının r tümleyeni alınır. Sonuç olarak; (-69282) değeri bulunur Örnek 39: M N işlemini aşağıdaki verilen sayılarla r' tümleyenini kullanarak yapalım. M = N = 2 tümleyeni + Sonuç olarak; değeri bulunur. () 2 elde
Sayı Sistemleri 33 Örnek 4 : M = göre yapalım. N = olduğuna göre M N işlemini 2 tümleyenine N = ise 2 tümleyeni = bulunur. + ulunan sonucun r tümleyeni alınır. Sonuç ; (- ) 2 olarak bulunur. elde yok Örnek 4: (5) - (2) işlemini ikili sayı sisteminde 2 tümleyeni yöntemi ile yapalım. (5) = () 2 = N (2) = () 2 = M 2 tümleyeni + elde yok Đşaret biti olduğundan, bulunan sayının 2 tümleyeni alınır. Sonuç; - () 2 olarak bulunur. u sayı (-5) sayısının karşılığıdır. Örnek 42: (29) - (233) işlemini 2 tümleyeni yöntemiyle yapalım. (29) = () 2 (233) = () 2 2 tümleyeni + ulunan sayının 2 tümleyeni alınırsa sonuç ; (-) 2 olarak bulunur. elde yok Örneklerden şöyle bir sonuç çıkarılabilir: r tümleyeni ile çıkarma işleminde işaret biti olarak adlandırılan bite bakılır. Đşaret biti ise sonucun (+), işaret biti ise sonucun (-) olduğu bulunur. Đşlem buna göre sonuçlandırılır.
34 Sayı Sistemleri 2.3.3.3. r- Tümleyen ritmetiği r tabanına göre verilen ve yalnızca tam sayı kısmı bulunan pozitif bir sayısının r- tümleyeni; 2 n -N- formülüyle, n basamaklı tam sayı ve m basamaklı kesirli kısmı bulunan bir sayının r- tümleyeni; r n -r -m -N formülü ile bulunabilir. Örnek 43: (5252) sayısının r- tümleyenini ( 9 tümleyenini) bulalım. Sayının yalnızca tam sayı kısmı bulunduğundan, 2 n -N- formülü uygulanabilir. Taban = ve basamak sayısı n = 5 olduğuna göre ilgili formülden sonuç; olarak bulunur. R n -N- = 5-5252-=47479 Örnek 44: (.3267) sayısının 9 tümleyenini bulalım. Sayının tam sayı ve kesirli kısmı bulunduğundan ilgili formül uygulanırsa; değeri bulunur. r n -r -m N = - -4 -.3267 = -.-.3267 =.9999 -.3267 =.6732 n Örnek 45: () 2 sayısının r- tümleyenini ( tümleyeni) bulalım. Verilen sayı ikili sistemde olduğundan r=2 ve sayıda 6 basamak bulunduğundan n=6 dır. u durumda, değeri bulunur. 2 n -N-=2 6 --=-- = () 2
Sayı Sistemleri 35 Örnek 46: (.) 2 sayısının tümleyenini bulalım. Đkili sistemdeki sayıda tamsayı kısmı bulunmadığından n= ve kesirli kısım 4 basamaklı olduğundan m=4 dür. Đlgili formülün uygulanması ile sonuç; olarak bulunur. (2 n - 2-4 -.) = (-. -.) = (.-.) 2 = (.) 2 Örneklerden görüleceği gibi onluk sistemdeki bir sayının r- tümleyeni (9 tümleyeni); her basamağın 9 dan çıkarılması ile elde edilir. Đkili sistemdeki bir sayının r- tümleyenini ( tümleyenini) bulmak daha basittir. Verilen sayıdaki ler, lar yapılınca ortaya r- tümleyeni çıkar. Đkili sayı sisteminde tümleyeni kolayca bulunduğundan, 2 tümleyeninin istenildiği durumlarda; tümleyenine, işleme göre '' veya r -m değerinin eklenmesiyle tümleyeninin üretilmesi işlemi tercih edilebilir. Örnek 47: tümleyeni () 2 olan sayının 2 tümleyenini bulalım. Verilen sayıya eklenmesi ile sayının 2 tümleyeni; olarak bulunur. + Örnek 48: 'tümleyeni (.) 2 olan sayının 2 tümleyenini bulalım. Verilen sayının 2 tümleyeni bulmak için önce eklenmesi gereken sayı bulunur. Eklenmesi gereken sayı; olarak bulunur. r -m = 2-4 =. olduğundan 2 tümleyeni;. +..
36 Sayı Sistemleri 2.3.3.4. r Tümleyen Yöntemi ile Çıkarma r tümleyeni ile çıkarma işlemi tamamen r tümleyeni ile çıkarma işleminin aynısıdır. Yalnızca sonucun pozitif olduğu durumlarda, düzeltme biti denilen sayısının eklenmesi işlemi yapılır. r tabanında iki pozitif sayının M- N işlemi (r- tümleyeni yöntemi ile) aşağıdaki şekilde özetlenebilir: - M sayısının kendisi ile N sayısının r- tümleyeni toplanır. edilir. 2- Toplama sonucunda bulunan değerin taşma (işaret) biti kontrol a- Eğer taşma biti oluşursa (işaret biti ), bulunan değere değeri eklenir. b- Eğer taşma biti oluşmazsa (işaret biti ), toplama sonucunda elde edilen sayının r- tümleyeni alınır ve önüne (-) işareti konur. Örnek 49: M=72532, N=325 ise M-N işlemini r- tümleyenine göre yapalım. Đşlemi yapabilmek için önce çıkarılan sayının r- tümleyeninin bulunması gerekir. ulunan bu değer ile M sayısı toplanır. 72532 N nin 9 tümleyeni 96749 + 96749 (taşma /işaret biti) 6928 işaret biti olduğundan sonuca eklenir. u durumda, değeri bulunur. 6928 + 69282
Sayı Sistemleri 37 Örnek 5: M = 325 N = 72532 ise M-N işlemini 9 tümleyenine göre yapalım. Çıkarılan sayının 9 tümleyeni alınıp, toplama işlemi yapılırsa; 325 N sayısının 9 tümleyeni 27467 + 27467 (taşma yok) 377 Đşaret biti değeri olduğundan, sonucun 9 tümleyenini alıp, önüne (-) işareti koymamız gerekir. Sonuç ; olarak bulunur. (- 69282) Örnek 5: M= ve N= olduğuna göre M-N işlemini (r-) tümleyenine göre yapalım. N nin tümleyeni olduğundan; + taşma var sayısı elde edilir. Sonuca eklenmesi gerekir. u durumda sonuç; olarak bulunur. () 2 +
38 Sayı Sistemleri Örnek 52: M =, N = ise M-N işlemini tümleyenine göre yapalım. N nin tümleyeni + u durumda sonuç (-) dir ve cevap; olarak bulunur. işaret biti = dır. (-) 2 Örnek 53: (5) - (2) =? işlemini tümleyenine göre yapalım. Sayılar onlu sistemde verildiğinden, sayıların ikili sisteme dönüştürülmesi gerekir. Sayılar ikili sisteme dönüştürülür ve çıkarılan sayının tümleyeni alınarak toplama işlemi yapılırsa; (5)= (2) = + ulunan sayının tümleyeninin alınması ile sonuç; (- ) 2 olarak bulunur. 2.3.4. Đkili Sayı Sisteminde Çarpma Đkili sayı sisteminde çarpma işleminde onluk sistemde kullanılan işlem sırası takip edilir ve ve değerlerinin çarpılması söz konusu olduğundan aşağıdaki kurallar geçerlidir. x =, x =, x =, x =.
Sayı Sistemleri 39 Örnek 54: () 2 * () 2 ve () 2 * () 2 işlemlerini yapalım. x x + + 2.3.5. Đkili Sayı Sisteminde ölme Đkili sayılarda bölme işlemi, onluk sayı sisteminde olduğu gibi bölünenden bölenin çıkarılması işlemine sonuç sıfır kalıncaya kadar devam edilmesiyle gerçekleştirilir. Örnek 55: () 2 () 2 =? işlemini yapalım. -, - - Sonuç = (.) 2 bulunur. Örnek 56: () () =? işleminin sonucunu bulalım. - - - Sonuç = () 2 olarak bulunur.
4 Sayı Sistemleri Tekrarlama ve Çalışma Soruları. Sayı sistemlerinin tarihsel gelişimini açıklayınız. 2. ilgisayar teknolojisinde kullanılan sayı sistemlerini sıralayınız. 3. Sayı sistemlerinin taban değerine göre sahip olacakları denklemleri yazınız. 4. Onaltılı sayı sisteminde kullanılan harflerin temsil ettikleri anlamları açıklayınız. 5. inary sayı sistemini tanımlayınız. 6. IT, en düşük anlamlı bit en yüksek anlamlı bit terimlerini açıklayınız. 7. Sekizli sayı sisteminin özelliklerini özetleyiniz. 8. - 2 arasındaki sayıları, ikili, sekizli ve onaltılı sistemde yazınız. 9. (47) =(?) 2 işlemini yapınız.. (57,57) =(?) 2 dönüşümünü yapınız.. (346,25) =(?) 8 işlemini yapınız. 2. (45,35) =(?) 6 işlemini yapınız. 3. (453,45) =(?) 6 işlemini yapınız. 4. ilgisayarlarda ikili sayı sistemi ile birlikte sekizli ve onaltılı sayı sistemlerinin tercih edilme sebepleri nelerdir? 5. () 2 = (?) 8 ve (.) 2 =(?) 8 dönüşümlerini yapınız. 6. () 2 = (?) 6 ve (.) 2 = (?) 6 işlemlerini yapınız. 7. (3526) 8 = (?) 2 ve (25.36) = (?) 2 çevrimlerini yapınız. 8. (246) 8 = (?) 6 ve (42.37) 8 = (?) 6 dönüşümlerini yapınız. 9. () 2 = (?) ve (.) 2 = (?) çevrimlerini yapınız.
Sayı Sistemleri 4 2. (264) 8 =(?) ve (42.37) 8 = (?) dönüşümlerini yapınız. 2. (5E3) 6 = (?) 2 ve (F2.4E9) 6 = (?) 2 işlemlerini yapınız. 22. (3F) 6 = (?) 8 ve (2.3) 6 = (?) 8 çevrimlerini yapınız. 23. (2) 6 = (?) ve (F2.3) 6 = (?) dönüşümlerini yapınız. 24. şağıdaki toplama işlemlerini yapınız. + + (?) (?) + (?) 25. şağıdaki çıkarma işlemlerini doğrudan çıkarma yöntemi ile yapınız. - - - (?) (?) (?) 26. (5522) ve (2745) sayılarının r tümleyenlerini bulunuz. 27. () 2 ve () 2 sayılarının r tümleyenlerini bulunuz. 28. Đkili sistemdeki bir sayının r tümleyenini bulmanın pratik yöntemini açıklayınız. 29. (5522-2745) işlemini tümleyenine göre yapınız. 3. (2745-5522) işlemini tümleyenine göre yapınız. 3. (-) 2 işlemini 2 tümleyenine göre yapınız. 32. (-) 2 işlemini 2 tümleyenine göre yapınız. 33. (49262) ve (3623) sayılarının r- tümleyenlerini bulunuz. 34. () 2 ve () 2 sayılarının r- tümleyenlerini bulunuz.
42 Sayı Sistemleri 35. (49262-3623) işlemini 9 tümleyeni kullanılarak yapınız. 36. (3623-49262) işlemini 9 tümleyeni kullanılarak yapınız. 37. ( ) 2 işlemini r- tümleyeni kullanılarak yapınız. 38. ( - ) 2 işlemini r- tümleyeni kullanılarak yapınız. 39. şağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. () * () = (?) 2 () * () = (?) 2 () * () = (?) 2 4. şağıdaki bölme işlemlerini yapınız. () () = (?) 2 () () = (?) 2 () () = (?) 2
ÖLÜM 3 KODLM VE KODLR (CODING ND CODES) Giriş Kodlama, iki küme elemanları arasında karşılıklığı kesin olarak belirtilen kurallar bütünüdür diye tanımlanabilir. Diğer bir deyişle, görünebilen, okunabilen yazı, sayı ve işaretlerin değiştirilmesi işlemine kodlama denir. aşka bir bakış açısı ile, sonlu elemana sahip bir kümenin her bir elemanına bir kod verilmesi, kodlama olarak tanımlanır. Morse alfabesi kodlamaya iyi bir örnektir.kodlama işlemine diğer bir örnek, bilgisayarın çevresel birimleri ile merkezi işlem ünitesi arasındaki bilgi iletişimidir. ilgisayarlarda, bir alfabetik-sayısal kaynak olan klavyeden gönderilen bilgi, 7 veya 8 bitlik ikili sayılar şeklinde kodlandıktan sonra ilgili birime gönderilir. Kodlama işlemi yalnızca onluk sistemdeki sayıları (,, 2,...,9) içerebileceği gibi, alfabetik ve alfasayısal bilgilerin kodlanmasını içerebilir. Farklı bilgileri kodlama ihtiyacı ve değişik alanlarda kodlama gereksinimi çeşitli kodlama yöntemlerini doğurmuştur.
4 Kodlama ve Kodlar Kodlama işlemi aşağıdaki avantajları sağlar:. ritmetik işlemlerde kolaylık sağlar. 2. Hataların bulunmasını kolaylaştırır. 3. Hataların düzeltilmesi işlemlerini basitleştirir. 4. ellek işlemlerinde verimliliği artırır. 5. ilgilerin işlenmesi işleminin insanlarca kolayca anlaşılmasını sağlar. Yalnızca sayısal karakterlerin kodlanmasıyla ortaya çıkan kodlara sayısal kodlar (CD kodları) denilirken, alfabetik ve sayısal karakterlerin kodlanmasını içeren kodlama yöntemlerine alfasayısal kodlar denir. u durumda kodlar iki grup altında incelenebilir: sayısal ve alfa sayısal kodlar. 3.. Sayısal Kodlar Onlu bir sayının ikili sayı sistemindeki karşılığının yazılması ile oluşan kodlama sistemi, yalın ikili kodlama (pure binary coding) olarak isimlendirilir. Sayısal sistemlerde kullanılan kodlama sistemleri yalın ikili sayı sisteminde olmayabilir. Yalnızca sayısal karakterlerin kullanıldığı sayısal kodlama sistemlerinin çok geniş uygulama alanı olması nedeni ile, çok farklı sayısal kodlama yöntemleri kullanılmaktadır. Sayısal kodlama yöntemlerine örnek olarak; i- CD kodu, ii- Gray kodu, iii- +3kodu, iv- iken kodu, v- 5 te 2 kodu, vi- ar kodu, kodlama yöntemleri verilebilir. Sayısal kodlama yöntemlerine örnek olarak verilen kodlama çeşitlerine genel özellikleri ile özetleyelim.
Kodlama ve Kodlar 4 3... CD Kodu (inary Coded Decimal Code) - 842 Kodu Onluk sistemdeki bir sayının, her bir basamağının ikilik sayı sistemindeki karşılığının dört bit şeklinde yazılması ile ortaya çıkan kodlama yöntemine, Đkili Kodlanmış Onlu Sayı Kodu - CD kodu (inary Coded Decimal Code) ismi verilir. Onluk sayı sistemi ile 9 arasındaki sayıları içerdiğinden, her basamaktaki sayının ikili sistemde kodlanması için 4 bite ihtiyaç vardır. Onlu bir sayıyı CD kodlu olarak yazmak için, onlu sayının herbir basamağı 4 bitlik ikili sayı grupları şeklinde yazılır. Yazılan gruplar bir araya getirilince CD kodlu sayı elde edilir. Örnek : (263) sayısını CD kodu ile kodlayalım. Herbir basamaktaki sayının ikili karşılığı 4 bit olarak yazılırsa; 2 6 3 sayıları bulunur. Sayıların birleştirilmesiyle; (263) = () CD eşitliği elde edilir. urada unutulmaması gereken, bulunan sayının (263) sayısının ikili sayı sistemindeki karşılığı olmadığıdır. Örnek 2: ( ) CD sayısını onlu sisteme çevirelim. Sayı dörderli gruplara ayrılarak her bir gruptaki ikili sayıların onlu karşılığı yazılırsa; ( ) CD 9 3 6 sayıları bulunur. ulunan sayıların bir arada yazılmasıyla sonuç olarak; () CD = (936) sayısı elde edilir. 3..2. Gray Kodu Gray kodlama yöntemi, basamak ağırlığı olmayan bir kodlama yöntemidir. asamak ağırlığının olmaması, her bir basamaktaki sayıların basamak ağırlıklarına göre karşılıklarının olmamasıdır. Sayısal elektronik ve bilgisayar giriş-çıkış işlemlerinde kullanılan Gray kodlama yöntemi, minimum değişimli kodlar sınıfı içerisinde yer alır. unun nedeni bir sayıdan diğerine geçerken yalnızca bir bitin konum değiştirmesidir.
42 Kodlama ve Kodlar Örneğin; yalın binary kodlamada (3) = () 2 değerinden (4) = () 2 değerine geçerken üç bitin değeri değişirken, gray kodlamada yalnızca bir bitin değeri değişir. Gray kodlanmış sayılarda basamak değeri olmadığından, bu kodlama yönteminin aritmetik işlemlerin olduğu yerlerde kullanılması mümkün değildir. ncak sütun esasına göre çalışan cihazlardaki hatayı azalttığından, giriş / çıkış birimlerinde ve analog - dijital çeviricilerde tercih edilirler. Yalnızca, 9 dan a geçişte çok sayıda bit konum değiştirir. Onlu sayıların karşılığı olan ikili sayıları Gray kodlanmış olarak ifade etmek için, bir sayıdan diğerine geçişte tek bir bitin değer değiştirmesi esas alınır. Tablo 3. de, -5 arasındaki onlu sayıların karşılığı olan ikili ve gray kodlanmış sayılar görülmektedir. Gray kodlu sayıların mahsuru; toplama, çıkarma ve diğer aritmetik işlemleri yapabilmek için ikili sayı sistemine dönüştürülme zorunluluğudur. u durumda ikili sayıları Gray koda çevirmek veya Gray kodlu bir sayının ikili karşılığını bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılır. Onlu Değer Đkili Değer 842 Gray Kodu asamak değeri yok 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 Tablo 3.. Yalın ikili kodlu ve gray kodlu sayılar.
Kodlama ve Kodlar 43 i- Đkili Sayıların Gray Koduna Çevrilmesi: Đkili sistemdeki bir sayıyı Gray kodlu sayı şekline dönüştürmek için, en yüksek basamak değerine sahip bitin solunda olduğu kabul edilip, her bit solundaki bit ile toplanarak yazılır. u işleme endüşük basamak değerlikli bite kadar devam edilir. Elde edilen sayı Gray kodlu sayıdır. Örnek 3: () 2 ikili sistemdeki sayıyı Gray koduna çevirelim. aşlama biti inary Sayı Gray kodlu sayı Sonuç olarak; eşitliği yazılabilir. () 2 = () Gray Örnek 4: () 2 inary sayısını Gray koduna çevirelim. inary Sayı Sonuçta; eşitliği bulunur. Gray kodlu sayı () 2 = () ii- Gray Kodlu ir Sayının Đkili Sayılara Çevrilmesi: Gray kodlu bir sayıyı ikili sistemdeki sayı şekline dönüştürmek için, en soldaki bit olduğu gibi aşağıya indirilir ve indirilen sayıyla bir sonraki basamakta bulunan sayı toplanarak yazılır. ulunan sayı ile bir sonraki basamaktaki sayı toplanır ve bu işleme en düşük değerlikli bite kadar devam edilir.
44 Kodlama ve Kodlar Örnek 5: () GRY sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Gray kodlu sayı Đkili sayı Sonuçta; () GRY = () 2 eşitliği bulunur. Örnek 6: () GRY sayısını ikili sayı sistemine çevirelim. Gray kodlu sayı Sonuç olarak; eşitliği bulunur. Đkili Sayı () GRY = () 2 3..3. rtı 3 (Excess 3) Kodu rtı 3 kodu (+3 Code), CD kodu ile ilgilidir ve belirli aritmetik işlemlerde işlem kolaylığı nedeniyle CD kodu yerine kullanılır. ir onlu sayının rtı 3 kodundaki karşılığı, onlu sayının karşılığı olan ikili sayıya 3 eklenmiş halidir. u nedenle bu kodlama yöntemi, 3 fazlalık kodu olarak ta isimlendirilir. rtı 3 kodundaki sayılar, CD kodunda olduğu gibi dört bitlik ikili sayılar şeklinde ifade edilir. Hesaplama yapmada ve hataları düzeltmelerde sağladığı kolaylıklara rağmen, tümleyenini almadaki güçlükler nedeniyle son zamanlarda nadiren kullanılmaktadır.
Kodlama ve Kodlar 45 Örnek 7: (48) sayısını rtı 3 koduna çevirelim. 4 8 + 3 + 3 her bir basamağa 3 eklenir, 7 bulunan sonuç 4 bitlik ikili sayıya çevrilir. ulunan sayılar yan yana yazılarak rtı 3 kodlu sayı elde edilir. una göre; (48) =() +3 eşitliği yazılabilir. Örnek 8: 3 fazlalık kodlu () +3 sayısının onlu sistemdeki karşılığını bulalım. Sayı dörder bitlik gruplara ayrılır ve herbir grubun karşılığı olan onlu sayı bulunur. u işlemlerle, () +3 = (2 6) +3 sayıları elde edilir. ulunan herbir sayıdan 3 çıkarılırsa; 2 6-3 - 3 9 3 (93) sayısı bulunur. u durumda, eşitliği yazılabilir. 3..4. 5 de 2 Kodu () +3 =(93) 5 de 2 kodunda, her onlu sayı, içinde mutlaka iki tane '' bulunan 5 bitlik ikili sayı ile temsil edilir. ütün sayılarda mutlaka iki tane '' bulunduğundan hataların kolayca bulunmasını sağlar. Sayılar ikili sistemde ifade edilirken basamak değerleri '7 4 2 ' şeklinde sıralanır. () sayısını 5 te 2 kodunda ifade etmek için () kombinasyonu kullanılır.
46 Kodlama ve Kodlar Örnek 9 : (6) sayısının 5 de 2 kodundaki karşılığını bulalım. asamak değerleri 742 olduğundan ve mutlaka 2 tane bulunması gerektiğinden; eşitliği bulunur. (6) = () 5 de 2 Örnek : ( ) 5 te 2 karşılığını bulalım. 5 te 2 kodlanmış sayının onlu sistemdeki Herbir basamaktaki sayı 5 bit ile ifade edildiğinden, sayı 5 bitlik gruplara ayrılıp herbir grubun karşılığı olan onlu sayı yazılırsa; ( ) 5 9 sayıları bulunur. u durumda, () 5 te 2 = (59) eşitliği yazılabilir. -9 arasındaki sayıların 5 te 2 kodunda ifade edilmesi ile Tablo 3.2 deki değerler elde edilir. Desimal Sayı 5 te 2 Kodlu Sayı 7 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 Tablo 3.2. Onlu sayıların 5 te 2 kodundaki karşılıkları
Kodlama ve Kodlar 47 3..5. Eşitlik (Parity) Kodu inary bilginin bir yerden başka bir yere taşınması dijital sistemlerde sıkça karşılaşılan bir olaydır. ilginin bir yerden başka bölgeye taşınması sırasında, değişik nedenlerden dolayı gürültü oluşması ve oluşan gürültünün iletilen bilgiyi bozması zaman zaman karşılaşılan hadiselerdir. ilgi iletimi sırasında bu şekilde oluşan hataları tespit etmek ve mümkünse düzeltmek sayısal sistemlerin özelliklerindendir. Hataları tespit etmede kullanılan en yaygın ve en kolay yöntem eşitlik biti kodlama (parity code) yöntemidir. u yöntemde, hataların ortaya çıkarılmasını sağlamak amacıyla CD kodlu sayının sağındaki veya solundaki basamağa eşitlik biti (parity bit) eklenir. Eşitlik biti, kodlanan veride yada ların tek mi, çift mi olduğunu belirtir. Đki türlü eşitlik biti yöntemi bulunmaktadır: Çift eşitlik (even parity) ve tek eşitlik (odd parity). Çift eşitlik yönteminde; eşitlik bitinin değeri, kodlanacak bilgideki lerin toplam sayısı (eşitlik biti dahil) çift olacak şekilde seçilir. Kodlanacak sayıdaki lerin sayısı tek ise, eşitlik biti olarak eklenir. Kodlanacak bilgideki lerin sayısı çift olması durumunda ise, eşitlik biti olarak eklenir. Örnek : () 2 sayısına çift eşitlik biti yöntemine göre eşitlik biti ekleyelim. Kodlanacak bilgide () üç adet bulunduğundan, bilgideki lerin sayısını çift yapmak için eşitlik biti olarak eklenir ve sonuç olarak; () sayısı oluşur. Örnek 2: () 2 sayısını çift eşitlik yöntemine göre kodlayalım. Verilen sayıda çift sayıda bulunduğundan, eşitlik biti olarak eklenir ve kodlama işlemi sonucunda; bilgisi oluşur. Tek eşitlik bit yöntemi; aynı mantığa göre düzenlenir. Tek fark kodlanan bilgideki lerin sayısı tek olmalıdır. Örnek 3: () 2 sayısına tek eşitlik biti yöntemini uygulayalım. sayısında çift sayıda bulunduğundan, eşitlik biti değeri olur ve
48 Kodlama ve Kodlar kodlaşmış bilgi; değerini alır. Örnek 4: () 2 sayısına tek eşitlik biti ekleyelim. Verilen sayıda tek sayıda bulunduğundan, eklenecek eşitlik biti olur ve sonuçta; sayı dizisi elde edilir. Eşitlik kodunda unutulmaması gereken nokta, çift veya tek eşitlik biti yönteminde eklenen bitin bilginin bir parçası olduğudur. Normalde 7 bit olarak ifade edilen bilgiler, eşitlik bitinin eklenmesiyle 8 bitlik bilgiler haline dönüşür. Eşitlik kodlama yönteminin avantajı, bilginin iletilmesi sırasında bir bitin değerinin değişmesi ihtimali olan yerlerde hatanın alıcı tarafından kolayca tespit edilebilmesidir. 3..6. iken Kodu iken kodu; 4 basamaklı ve basamak değerlerinin 242 şeklinde ifade edildiği bir kodlama şeklidir. Onlu sistemde 5 e kadar olan sayıları kodlamak için sağ taraftaki basamaklar kullanılırken, 5 den büyük değerleri ifade etmek için sol taraftaki bitler tercih edilir. u kodlama şekli simetrik kodlamaya bir örnektir. (-4) arasındaki sayılar için normal ikili sayılar kullanılırken, (5-9) arasındaki sayılar için başlangıçtaki sayıların simetriği kullanılır( Tablo 5.3). Sayı iken Kodu 2 3 4 5 6 7 8 9 Tablo 3.3 Onlu sayıların iken kodundaki karşılıkları
Kodlama ve Kodlar 49 Örnek 5 : (3) ve (7) sayılarını iken Koduna göre kodlayalım. (3) sayısı 242 basamak değerleri göz önünde bulundurularak yazılırsa; (3) = () iken değeri elde edilir. ynı şekilde, (7) sayısı basamak değerleri göz önünde bulundurularak yazılırsa; (7) = () iken eşitliği bulunur. 3..7.ar (Çubuk) Kodu Onlu sayıların farklı şekilde düzenlenmiş çubuklarla ifade edildiği kodlama sistemi 'bar kodu' olarak isimlendirilir. Diğer bir deyişle, Karakterlerin(rakam veya harf) farklı kalınlıktaki çizgiler ve boşluklar ile temsil edildiği kodlama sistemi barkod olarak adlandırılır. Klavye ye alternatif olarak kullanılan bar kodu yöntemi, veri giriş / çıkışının kolay olması nedeniyle özellikle stoklama işlemlerinde ve marketlerde yaygın olarak kullanılmaktadır. Karakterleri temsil etmek için kullanılan çizgilerin uygun araçlarla okunup çözümlenmesi ve bilgisayara aktarılması için çeşitli barkod yöntemleri ve barkodları okuyacak farklı teknolojiler bulunmaktadır. Şekil 3. de örnek bir barkod sisteminin yapısı görülmektedir. Şekil 3. arkod un genel yapısı
5 Kodlama ve Kodlar Şekil 3. de genel yapısı verilen barkod da bulunan bölgelerin temsil ettikleri anlamlar aşağıdaki şekilde özetlenebilir. aşlangıç/itiş Karakterleri: arkodun iki yanını tanımlayan özel karakterler, farklı barkod çeşitleri farklı başlangıç ve bitiş karakterleri kullanır. Kontrol Karakterleri: ir kodda bulunan değerlerden elde edilen ve barkod içerisine yerleştirilen değerdir. Kontrol Karakteri, kodun doğru olarak çözümlenip-çözümlenmediğinin kontrolü için kullanılır. Farklı barkod çeşitleri, farklı kontrol karakterleri hesaplama yöntemleri kullanılır. Kontrol karakterinin isteğe bağlı olarak kullanıldığı barkod yöntemlerinin yanında kontrol karakterinin zorunlu olarak kullanıldığı yöntemlerde bulunmaktadır. oş ölgeler: arkod başlangıç ve bitişinde bulunması gerekli boş alanlardır. Karakterleri ifade eden çubuk kombinasyonlarının oluşturulmasında iki farklı yöntem vardır: Đki seviyeli kod ve çok seviyeli kod. Đki seviyeli bar kodlama sisteminde; geniş çubuk veya aralık (boşluk) binary '' değerini, dar çubuk veya aralık '' değerini ifade eder. Dar ve geniş çubukları/boşlukları ifade etmek için kullanılan yaygın standart;,9 mm ve,38 mm genişliğidir. u şekilde gösterimin kullanıldığı çeşitli bar kod yöntemleri bulunmaktadır. Đki seviyeli kodlara örnek olarak; 39 bar kodu, 25 bar kodu ve HP4C bar kodu olarak isimlendirilen yöntemler verilebilir. 39 bar kodu, 9 da 3 kodu olarak tanımlanır ve 9 tane çubuk veya aralığı içerir. 9 çubuk veya aralıktan 3 tanesi geniştir. Örnek 6: Şekil 3. de gösterilen kombinasyon 39 bar koduna bir örnektir. u örnekte toplam 9 çubuk / aralık bulunmaktadır. unlardan. ve 8. sıralardaki çubuklar ile 3. sıradaki aralık lojik değerini, diğer çubuk ve aralıklar değerlerini temsil etmektedir. Şekil 3.. 39 ar koduna örnek gösterim. 25 ar kodu olarak isimlendirilen kod, 5 te 2 kodunun çubuklarla ifade edilen şeklidir. u kodda bilgiler yalnızca çubuklarla ifade edilir, aralıklar bir anlam içermez. Her bilgi 5 çubuk ile oluşturulur ve bunlardan yalnızca 2 tanesi geniştir. Đnce çubuklar '', kalın çubuklar '' anlamına gelir.