Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü

Bilim ve Bilimsel Felsefe Çevresi Etkinliği Bilimsel Felsefe ve Bilimler Hans Reichenbach ın Ölümünün 50.yılı Anısına 12 Aralık 2003 Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Olasılık ve İstatistik Giriş Yaşamın her anında insan bilinçli ya da bilinçsiz olarak içinde veya dışında bulunduğu olayları, süreçleri gözlemleyerek bunların akışı hakkında bilgilenip bu doğrultuda kendi durumuna uygun kararları alır ve davranış biçimleri ortaya koyar. Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabası içinde olan insan, ilgilendiği olay ve süreçler ile ilgili çeşitli modeller kurarak bu modeller üzerinde gelecekte ne gibi 1

durumlar ortaya çıkabileceğini bilmeye ve eğer süreç denetim altına alınabiliyorsa buna uygun tasarımları yapmaya çalışır. Newton'un Mekaniği ile doruk noktasına ulaşan Laplace anlamında belirlenimci dünya görüşü (determinizm-gerekircilik, saat gibi tıkır-tıkır işleyen evren modeli) 19.yy'da kuantum fiziğinin gelişimi ile beraber yerini olasılıkçı dünya görüşüne bırakmak zorunda kalmıştır. Psikologlar kesinlik arayışını, çocukluğun ilk günlerine, kişinin henüz kuşku duygusundan tedirgin olmadığı, anababanın sağladığı güven içinde rahat olduğu günlere bir dönüş arzusu olarak açıklamaktadırlar. Kesinlik arayışı, hataya yol açan en tehlikeli kaynaklardan biridir; çünkü, bu eğilim üstün bilgi edinme çabası ile birlikte gider. Doğanın akışının düzenli olduğu inancı bize ayrıca güvenlik vermektedir; bu inanç, bir noktaya kadar, geleceği önceden kestirmemize ve hoşa gitmeyecek durumları önlememize yarar. Dikkatli bir şekilde bakıldığında içinde yaşadığımız dünyanın olasılıklı özelliklere sahip olduğu görülebilir. Günlük konuşmalarda geçen "sık sık", "bazen", "ara sıra", "çok sık", "çok az"...vb. sözcükler olasılıklı dünyanın dilimize yansımalarıdır. 2

Olasılık kavramı, bilgi problemlerinin en önemlileri ile ilgilidir. Olasılık her şeyden önce doğa yasalarında kendini gösterir. Doğa bilimi, ileriye dönük olayları kestirme işine ne zaman koyulursa, olasılık kavramı hemen kendini gösterir. Olasılık teorisi doğa yasalarının biçimini olduğu kadar, öndeyici bilginin aracını da belirleyici güçtedir. İnceleme konusu, bilimsel metodun özünü oluşturur. Matematiksel Modelleme Gerçek dünyadaki bir olayın, sürecin veya birimlerden oluşan ve birimleri arasındaki iç ilişkiler yanında çevre ile dış ilişkilere göre işleyen bir sistemin belli bir anlatımına model denir. Anlatım sözle, çizimle, belli bir ölçekte fiziki benzer oluşturmak veya başka bir şekilde yapılmakla birlikte en geçerli anlatım, bilimin ortak dili olan matematik ile yapılmaktadır. Model, gerçek dünyadaki bir olgunun veya sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle 3

modeller, anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir ürünüdür. Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir. Soyutlama süreci, gerçek dünyadaki olguların ayrıntılardan arındırılmış görüntülerinin insan düşüncesine aktarılmasıdır. Modeli kurabilmek ve seçebilmek için söz konusu olgu veya sistemin temel özelliklerini, birimleri arasındaki iç ilişkilerini ve çevre ile olan dış ilişkilerini bilmek gerekir. Modelin başarısı, pratik ve bilimsel yararlılığı, olgu veya sistemin esasını soyutlamadaki doğruluğun derecesine ve gözönüne alınan özelliklerin ne denli temel nitelikte olup olmadıklarına bağlıdır. Bir ölçme sonucu, ölçülen özelliğin modeldeki karşılığı olan değişkenin aldığı değer olarak ele alınmaktadır. Ölçülen özellik rasgelelik içerdiğinde modelde karşılık gelen değişken doğal olarak rasgele değişken olacaktır. Herhangi bir deneysel bilimin ilgi sahasına giren olguları modellemede düşünce tarzı aşağıdaki şekildeki gibidir. 4

Gerçek dünya Olgu Ölçme veri data sonuç çıkarma Soyut Dünya Model Matematik İstatistik Olasılık Teorisi Olasılık terorisi, soyut bir matematiksel disiplin olarak ele alındığında Ölçü Teorisinin bir parçası, rasgelelik olgusunun modellenmesinde uygulamalı bir disiplin olarak ele alındığında İstatistik Teorisinin bir parçasıdır. İstatistik, "rasgelelik" içeren olaylar, süreçler, sistemler hakkında matematiksel modeller kurmada özellikle bu modellerin geçerliliğini sınamada ve bu modellerden sonuç çıkarmada gerekli bilgi ve yöntemleri sağlayan bir bilim dalıdır. Rasgelelik, çevremizin belirgin niteliğidir. Olasılık ve İstatistik teorisine kısaca rasgeleliğin bilimi demek yanlış olmaz. 5

Pagels "rasgelelik nedir?" sorusuna cevap vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın önemine değinmiştir. Matematiksel problem, sayılar veya fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayların rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir dizisinin gerçekten rasgele olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız: Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir tanımını verme ya da onunla bağlantılı bir iş olan olasılığı tanımlama işinde hiç bir zaman başarı sağlayamamıştır... Tarihsel Gelişim İlk olasılık problemleri ile matematikçiler ciddi şekilde XVII yüzyılda, kumar oyunlarını incelerlerken karşılaşmışlardır. Bu yüzyılın üç büyük matematikçisi, B.Pascal (1632-1662), P.Fermat (1601-1665) ve C.Huygens 6

(1629-1695) bilimsel çalışmalarında olasılığın temel kavramlarını basit şekilde ele almışlardır. P.Fermat ve B.Pascal'ın bilimsel yazışmaları olasılık teorisinin temel kavramlarının oluşmasında önemli rol oynamıştır. 1654 yılına ait olan bu yazışmaların birinde B.Pascal "Ben çok mutluyum, çünkü matematiğin yeni bir dalı meydana gelmektedir" diye yazmaktadır. C.Huygens, 1655 yılındaki Paris gezisinde Fransız matematikçilerden Fermat ve Pascal'ın yeni bir bilim dalı hakkında yazışmalar yaptıklarını duyar ve 1658 yılında "Kumar oyunlarında şansların hesaplanması" adlı bir eser yazar. Yazıldıktan kısa bir süre sonra kitap ikinci, üçüncü,... baskılarını yaparak devrin bilim adamlarını önemli derecede etkilemiştir. Olasılık teorisinin bir bilim dalı şeklinde oluşmasında, şüphesiz, en büyük rolü Jacobi Bernoulli'nin (1654-1705) yazdığı "Ars Conjectandi" (Varsayımlar Sanatı) adlı eseri oynamıştır. J. Bernoulli bu eserinde olasılık teorisinin temel teoremi olan büyük sayılar kuramını ifade ederek ispatlamıştır. Bernoulli'nin bu kitabından sonra olasılık teorisi matematiksel bir kuram olarak hızla gelişmeye başlamıştır. De Mouvre (1667-1754), D.Bernoulli (1700-1782), P.S.Laplace (1749-1827), K.F.Gauss (1777-1855), S.D.Poisson (1781-1840), P.L.Chebişev (1821-1894), A.A.Markov (1856-1922) olasılık teorisinin gelişmesinde 7

ve başka bilim dallarına uygulanmasında büyük rol oynamışlardır. XVIII yüzyıl ve XIX yüzyıl başları, olasılık teorisinin yoğun biçimde uygulama alanı gösterdiği bir dönemdir. Bu dönemde olasılık hesapları bilim adamları arasında adeta moda olmuştur. Hukuk problemlerine, tarih araştırmalarına, politikaya, hatta teolojiye bile uygulamaya girişilmişti. Tüm düşüncelerde belli olasılık kabulünden yola çıkılıyordu. Mesela, hukuk problemlerinde, kabul ediliyordu ki insanlar aynı olasılıkla yalan veya doğruyu söyler. Bir sosyal problem, basit bir aritmetik problemi gibi çözülüyordu. XX yüzyılda Olasılık Teorisi aksiyomatik bir yapıya kavuşturulmuştur. 1923 yılında Borel, olasılığı, şu kötümser sözlerle nitelemekteydi: "olasılığı, salt mantık açısından sağlam, uygulama alanları açısından kimseye yararı olmayan ve bilim adına layık olmaktan uzak bir konu sayabiliriz." Bu kötümser görüşe rağmen Borel (1924), Von Mises (1921-1931) ve Kolmogorov (1933) olasılığı, tıpkı geometri gibi, belli aksiyomlardan hareket eden mantıki bir yapıya sahip bir matematik dalı haline getiren çalışmalarda öncü oldular. Bugün kümeler teorisi üstüne kurulan aksiyomatik 8

olasılık teorisinin temelleri adı geçen bu yazarların çalışmalarıyla olmuştur. Olasılık Uzayları Cümle kavramı matematiğin temel bir kavramıdır. Boş olmayan bir kümenin alt cümlelerinden oluşan cümleye sınıf denir. Tanım : Bir Ω cümlesinin alt cümlelerinden oluşan sınıfı, U bir i) Ω U ii) iii) A U A U U ' da her ( A n ) dizisi için i= 1 A n U Özelliklerine sahipse U sınıfına Ω da bir σ cebir denir. Tanım : R deki açık aralıkların {( a, b) : a < b, a b R} Β =, 1 sınıfını kapsayan en küçük σ cebire Borel cebiri denir. Borel cebirinin bir elemanına Borel cümlesi denir. Benzer şekilde R de de Borel cebiri tanımlanabilir. n Olasılık Ölçüsü 9

Tanım : U, Ω da bir σ cebir olmak üzere P : U R A P(A) fonksiyonu; 1) A U için P( A) 0 2) P( Ω) = 1 3) U daki ayrık cümlelerin her (A n ) dizisi için P A i= 1 n = i= 1 P( A n ) özelliklerine sahipse P ye U üzerinde bir olasılık ölçüsü denir. P(A) değerine A'nın olasılık ölçüsü veya A'nın olasılığı denir. Tanım : Ω, boş olmayan bir cümle U, Ω da bir σ cebir ve P, U üzerinde bir olasılık ölçüsü olmak üzere ( Ω, U, P) üçlüsüne olasılık uzayı denir. Örnek : Ω = { w 1, w2,..., wn} sonlu elemana sahip olduğunda, σ cebir olarak N kuvvet kümesi alındığında, ve p i = P( wi ), p i = 1 olmak üzere i= 2 P : U R A P(A) = wi A olasılık ölçüsü tanımlanır. p i p = 1 = p2 =... pn olduğunda 10

n( A) " A' nıı P( A) = = n( Ω) " Ω' nıı eleman sayı" eleman sayı" olacaktır (klasik olasılık tanımı). Benzer biçimde sayılabilir sonsuz elemana sahip Ω cümlesi için de olasılık ölçüsü tanımlanabilir. Ω R, sonlu uzunluklu bir cümle olmak üzere da bir P olasılık ölçüsü, " A araliginin P( A) = " Ω araliginin uzunlugu" uzunlugu" olarak tanımlanır. Benzer biçimde, B Ω 2 Ω R sonlu alanlı bir cümle olmak üzere da bir P olasılık ölçüsü, " A ' nin alan olcusu" P( A) = " Ω ' nin alan olcusu" olarak tanımlanır. B Ω Örnek Uzaylar ve Olaylar Olasılık deneyi : Sonuçlarının cümlesi belli olan, ancak gerçeklendiğinde hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden bilinmeyen bir işleme Olasılık deneyi denir. Örnek Uzay : Bir olasılık deneyinin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. 11

Olay : Örnek uzayın bir alt cümlesine olay denir. Bir olayın gerçekleşmesi deney sonucunun bu cümlenin bir elemanı olması demektir. Belli bir ( Ω,U, P) olasılık uzayını belli bir olasılık deneyinin modeli olarak kullandığımızda Ω cümlesi örnek uzayı, U, σ cebiri olayların cümlesini, P ise bu olasılık deneyi ile ilgili probleme "iyi bir yaklaşımda" bulunan bir olasılık ölçüsünü temsil edecektir. Belli bir ( Ω,U, P) olasılık uzayı belli bir olasılık deneyinin modeli olarak kullanıldığında U, σ cebirindeki cümleler deney ile ilgili olaylara karşılık gelecektir. Bir σ cebir sayılabilir birleşim, kesişim ve tümleme işlemine göre kapalı olduğundan, σ cebirdeki cümleler üzerinde bu işlemler sonucu elde edilen bir cümle bir olaya karşılık gelecektir. Rasgele Değişkenler Bir olasılık deneyinin sonuçlarının cümlesi olan örnek uzayın elemanları çok değişik türde olabilir. Rasgele değişkenler yardımıyla örnek uzayın elemanlarına reel 12

sayılar eşlenmekte, böylece olasılık ölçüleri Borel cebiri üzerindeki olasılık ölçülerine indirgenmiş olmaktadır. Tanım : ( Ω,U, P) bir olasılık uzayı ve X :Ω R w X (w) olmak üzere, a R için, { w Ω : X ( w) a} U ise X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. Bundan sonra gelen kavramlar; Dağılım fonksiyonu, Olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, Beklenen değer, vb. biçiminde sıralanabilir. Olasılığın anlamına ilişkin görüşler "Hilesiz bir zarla 6 atmanın olasılığı 1/6'dır" önermesi sayısal olasılık önermesine bir örnektir. Sayısal bir olasılık önermesi nasıl yorumlanacaktır? Popper, öznel yorumlamada bazı ruhbilimsel öğelerin olduğunu, buna göre olasılık derecesini kesinlik ya da belirsizlik inancının ölçütü olarak değerlendirmiştir. Reichanbach, rasyonalistler için, olasılık derecesi denen şey, nedenlerin yokluğunda aklın ürünüdür, değerlendirmesini yapmıştır. Popper, nesnel yorumlamayı ise, sayısal her olasılık önermesi, olaylar dizisi içerisindeki 13

belirli olayların göreli sıklığına ilişkin bir önerme olarak nitelemiştir. Böylece örneğin, "bir sonraki zar atışında 1 atmanın olasılığı 1/6 dır" biçimindeki bir önerme, bir sonraki zar atışının bir önermesi değil, atışlar kümesinin tamamının bir önermesidir; bir sonraki atış ile ilgili bir önerme de bu kümenin bir elemanıdır; bu önerme yalnızca, söz konusu kümede "1 atmanın" göreli sıklığının 1/6 olduğunu ileri sürmektedir. Bu yaklaşıma göre, sayısal olasılık önermeleri, ancak sıklığa ilişkin bir yorum yapılabildiğinde kabul edilebilir. Olasılıklar hesabındaki başlıca önermelerin geçerliliğini sağlayan bir sıklık kuramı R.V. Mises tarafından ortaya konulmuştur. Reichanbach, bu kuramı olasılığın deneysel felsefesi olarak adlandırmıştır ve rasyonalist yorumun bilimsel felsefede yer almaması gerektiğini söylemiştir. Bu kurama göre olasılıklar hesabı, belirli "rasgelelik" öğesi içeren olaylar dizisinin bir kuramıdır. Bu olaylar dizisini tanımlayan iki belitsel koşul vardır: Bunlar, "sınır-değer beliti" ve "gelişigüzellik belitidir". Bir olaylar dizisi bu iki koşulu doyurduğunda, Mises bunu, sonsuz biçimde yinelendiği düşünülen denemeler dizisi - yani "kolektif"- olarak tanımlamaktadır. Örneğin, yıpranmayan bir zarla yapılan atışlar dizisi bir kolektifdir. Bu tür her olayın belirli bir özelliği vardır; örneğin "beş atış" bir özelliktir. Olaylar dizisindeki her bir eleman için yeni bir dizi "göreli sıklıklar dizisi" karşılık 14

getirilebilir. Özellikler dizisi uzadıkça, sınır-değer belitine göre, göreli sıklıkların dizisi belirli bir sınır değere ulaşmalıdır. Mises'e göre "olasılık" sözcüğü, bir "kolektifin içinde bulunan göreli sıklığın sınır-değerinin" başka bir ifadesidir. Mises'e göre olasılık hesabının tek amacı şudur: Verilmiş olasılıklardan yola çıkarak, başka olasılıkların hesaplanmasıdır. Reichanbach, olasılığın sıklık yorumunun, bir olasılık önermesinin tek bir olaya uygulanması sırasında güçlük çıkaracağını, tek bir olayın olasılığının sıklık olarak belirtmenin bir anlam taşımadığını söylemiştir. Mises'in sıklık kuramı, Bernouilli Büyük Sayılar Kuralı ile matematiksel olarak daha iyi anlaşılabilir. Büyük Sayılar Kuralı kuramsal ve deneysel iki sayıyı birbirine bağlamaktadır. Bu kuralın aracılığı ile olasılık teorisi deneysel çalışma ile temas eder ve bu kuramın teorik olarak elde edilen sonuçları çeşitli deneysel bilim dallarına uygulanarak doğanın daha derin, ama kesin yasalarla ifade edilemeyen kanunlara uygunluklarını matematiksel olarak ifade etmeye olanak sağlar. Bernoulli Teoremi (Büyük Sayılar Kuralı): Bir deney n kez yapılsın ve yapılan her bir deneyin sonucunda A olayının gelme olasılığı, p=p(a), sabit olsun, m 15

de n denemede gelen A olayının sayısı olmak üzere; ε > 0 için lim n m P p n ε = 0 dır. Deneme saysı sonsuza gittiğine, lim n m = n p gibi düşünülmemelidir, yapılan deneyler sonucunda m p n > ε şeklinde bir sapma olabilir. Bernoulli teoremine göre deneme sayısı n yeterince büyük olduğunda m p > ε olayının olasılığının, olayın bir deneyde gelme olasılığından herhangi bir sapması olasılığı çok küçük olan bir olaydır. n Olasılık teorisi Kolmogorov Aksiyomları olarak bilinen matematiksel alt yapısı ve Mises'in sıklık kuramı (Bernoulli Büyük Sayılar Kuralı) ile birlikte ele alınmakta ve rasgelelik içeren süreçleri modellemede kullanılmaktadır. Geleceğe ilişkin her önerme, olasılık önermesini içinde barındırmaktadır. Doğada ve toplumda, bilmediğimiz veya hesaba katmadığımız nedenlerle değişen sonuçlar veren olaylarla çoğu zaman karşılaşılır. Gerçekliği ifade eden matematiksel fonksiyonlar değildir. Gerçekliği ifade eden, büyüklüklerin deneyle belirlendiği dağılım fonksiyonlarıdır. Bilim giderek katı belirlenimcilik anlayışını terk etmekte ve günlük yaşam ölçeğiyle belirlenmiş yasaları 16

değiştirmeden, olguların temelinde yatan daha esnek bir "istatistik belirlenimcilik" anlayışına yaklaşmaktadır. 17

Örnek. Kenar uzunluğu 20 br. olan kare marleyler ile döşeli bir odanın tabanına yarıçapı 2 br. olan bir tavla pulu rasgele atıldığında marleyin kenarları ile kesişmemesi olasılığı nedir? Model : Deney sonucunda, paranın merkez noktasının düştüğü (bulunduğu) marley üzerindeki konumu gözlensin. Gözlemleme işlemi, paranın merkez noktasının bulunduğu marleyi Şekil 1 deki gibi bir koordinat sisteminin başlangıç noktasına kaydırarak yapılabilir. Deney sanki bir tek marley üzerinde yapılıyormuş gibi düşünülebilir. Paranın merkez noktasının koordinatları sonuçların kümesi ( x, y) olmak üzere olabilir {( xy, ) R : 0 x 20, 0 y 20} Ω= R 2 2 dir. üzere R 2 A deki Borel cebirinin Ω'ya kısıtlanması B Ω olmak B için olasılık ölçüsü olarak Ω " A nıı alan ölçüsü" P( A) = " Ω nıı alan ölçüsü" alınırsa, deneyi, ( Ω, B Ω, P) olasılık uzayı ile modellemiş (anlatmış) oluruz. 18

y 20 18 A 2 0 2 18 20 Şekil -1 x A: Atılan pulun marleyin kenarları ile kesişmemesi olayı olsun. A = {( x, y) R 2 : 2 x 18, 2 y 18 } olmak üzere 16 20 P( A) = = 064. 2 2 olarak bulunur. Modelin verdiği sonucun "iyiliği" nasıl belirlenebilir? Deneyin bu model üzerinde simülasyonu yapılmak istendiğinde, örneğin bir koordinat sisteminin başlangıcına 20x20'lik bir kare çizilip rasgele rakamlar tablosu (RRT) yardımıyla x ile y koordinatları üretilebilir. Aynı işlemler bilgisayarda da yapılabilir. Örnek. 19

Yarıçapı 1 br. olan madeni bir para, taban yarıçapı 4 br. olan bir silindirin içine atıldığında tabanın merkez noktasını örtmesi olasılığı nedir? 1.Model : Para atıldığında deney sonucu, taban ile paranın merkez noktaları arasındaki uzaklık olarak belirlensin. Deney sonucunda bu uzaklık ölçülmüş (gözlenmiş) olsun. Bu uzaklık 1 br den küçük olduğunda bu olay gerçekleşmiş olur. d. Şekil-2 d :Tabanın merkezi ile paranın merkezi arasındaki uzaklık A: Paranın silindir tabanının merkezini örtmesi olayı olsun. Bu durumda, Ω= { d : 0 d 3} A = { d : 0 d 1} 20

dir. İki merkez arasındaki uzaklığı gösteren d sayısı deney sonucunda 0 ile 3 arasında bir değer olacaktır. Olasılık ölçüsü olarak, A B için Ω " A nin aralik uzunlugu" P( A) = " Ω nin aralik uzunlugu" alınırsa olasılık uzayı ( Ω, B Ω, P ) olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık P( A) = 1 3 olarak bulunur. 2.Model : Deneyin sonucu, başlangıç noktası silindirin tabanının merkezinde olan bir dik koordinat sistemine göre, paranın merkez noktasının bu koordinat sistemindeki konumu olarak belirlensin. y.(x,y) x Şekil -3 A : Paranın silindir tabanının merkez noktasını örtmesi olayı olsun. Bu durumda { xy R 2 : 0 x 2 y 2 9} Ω * = (, ) + 2 2 2 {(, ) : 0 1} A= x y R x + y P " A nin alanölçüsü" A) = " Ω nin alan ölçüsü" * ( * 21

ve olasılık uzayı ( Ω *, B Ω, P * ) olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık * P ( A ) = π 1 2 = π 2 3 1 9 olarak bulunur. Bu örnekteki deney iki farklı şekilde modellendi. Bu modellerden hangisi tercih edilecektir? İstatistik Bölümü öğrencileri ile istatistik laboratuvarında yapılan deneyler açık bir şekilde ikinci modeli desteklemiştir. Birinci modelin neresinde kusur olabilir? 22