MATEMATİK Üslü Syılr Öğr.Gör. Esrin PALAS BOZKURT Öğr.Gör. Muhsin ÇELİK 5.Hft Hedefler Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Gerçel syılrd üslü işlemler ypbilecek, Üslü denklem ve üslü eşitsizlikleri çözebileceksiniz.
MATEMATİK İçindekiler ÜSLÜ SAYILAR Giriş Üslü Syılr Üslü İfdelerde Dört İşlem Üslü İfdenin Kuvveti Negtif Üs Üslü Denklemler Üslü Eşitsizlikler İnsnlr syılr gibidir, o insnın değeri ise o syının içinde bulunduğu syı ile ölçülür. Isc Newton
MATEMATİK Giriş Strncın ilk kez M.S. 570 yıllrınd Hindistn'd oynndığını biliyoruz. Rivyete göre bunu buln Brhmn rhibi Şh' bir ders vermek istemiş. "Sen ne kdr önemli bir insn olursn ol, dmlrın, vezirlerin, skerlerin olmdn hiçbir işe yrmzsın, hiçbir önemli iş ypmzsın" demek istemiş. Şh durumdn memnun görünmüş, "Peki, oyunu ve dersini beğendim. Dile benden ne dilersen" demiş. Rhip bu oly üzerine Şh'ın lmsı gereken dersi hâlâ lmdığını düşünerek "Bir miktr buğdy istiyorum" demiş. "Sn bulduğum bu oyunun birinci kresi için bir buğdy istiyorum, ikinci kresi için iki buğdy istiyorum. Üçüncü kresi için dört buğdy istiyorum. Böylece her krede, bir önceki krede ldığım buğdyın iki misli buğdy istiyorum. Sdece bu kdrcık buğdy istiyorum" demiş. Şh, kendisi gibi yüce ve kudretli bir şhtn isteye isteye üç beş tne buğdy isteyen bu rhibin, küsthlığ vrn lçkgönüllülüğüne sinirlenmiş ve on bir ders vermek istemiş. "Hesplyın. Hk ettiğinden bir tne fzl buğdy vermeyin" demiş. Ypıln hesplr göre, 64.kreye 64 18.446.744.07.709.551.616 tne buğdy yni tm olrk 18 kentilyon 446 ktrilyon 744 trilyon 7 milyr 709 milyon 551 bin 616 tne buğdy demektir. (Mtemtiğin Aydınlık Dünysı ndn lıntıdır) Bu bölümde hemen her konud krşımız çıkbilecek oln üslü syı kvrmını tnıycğız.
4 MATEMATİK Üslü Syılr Çrpıln syılrın ynı olduğu çrpm işleminin kıs yzılışın üslü syı denir.,nn olmk üzere... n tne n Üs (kuvvet) Tbn Biçiminde n olrk gösterilir ve üssü n şeklinde okunur. Örneğin;. 4 5 5.5.5 15 4 7 7.7.7.7 401 5 10 10.10.10.10.10 100000 Özel olrk sıfırdn frklı bir reel syının sıfırıncı kuvvetini 1 olrk tnımlrız. Yni 0 1 dir, 0. Ayrıc bütün reel syılrın birinci kuvveti yine kendisine eşittir. Örneğin; 0 0 1, 5 1, 145 1 1 1 1, 5 5, 145 145 Pozitif syılrın tüm kuvvetleri pozitiftir. Negtif syılrın ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negtiftir. Örneğin sıfırdn küçük oln - syısının kuvvetleri 1 4 8 4 16 5 6 64 Biçiminde çift kuvvetler rtı, tek kuvvetler eksi olrk sonsuz kdr gider. 0
MATEMATİK 5 Üslü İfdelerde Dört İşlem Toplm-Çıkrm: Üslü syılrın toplnbilmesi vey çıkrılbilmesi için tbnlrı ve üsleri ynı olmsı gerekir. Tbnlr ynı fkt üsler frklı ise en küçük üslü syının prntezine de lınbilir. Örneğin; 4. 5. 7. 4 5 7. 6. 5 5 5 5 5 5. 8.. 5 8. 0. 0 5 7 5 5 5 5 5 5.. 4. 1 4... 96 Çrpm: Üslü syılrın çrpılbilmesi için y tbnlrının y d üslerinin ynı olmsı gerekir. Eğer tbnlr ynı üsler frklı ise.. b c bc biçiminde üsler toplnır. Eğer üsler ynı tbnlr frklı ise biçiminde tbnlr çrpılır. Örneğin; 4 5 45 1... y. z.y.z 7 8.... 7 7 7 8 7 7 8 6 5 5 5 5 5..4..4 4 Örnek: ve 5 b olduğun göre 00 syısının ve b cinsinde eşiti nedir? Çözüm: 00 8.5...5.5... 5. 5...b.b. b b b Alıştırm: ve 7 b olduğun göre 98? Alıştırm:, b ve 5 c olduğun göre 900?
6 MATEMATİK Bölme: Üslü syılrın bölünebilmesi için çrpmdkine benzer şekilde y tbnlrının y d üslerinin ynı olmsı gerekir. Eğer tbnlr ynı üsler frklı ise b b biçiminde üsler çıkrılır. Eğer üsler ynı tbnlr frklı ise y y biçiminde ynı üs ltınd bölme ypılır. Örneğin; 8 85 8 5 1 5 114 114 5 5 5 5 14 5 45 45 9 15 15 Örnek: 4... 10 10 10 10? Çözüm: 4.... 10 10 10 10 10 4 4. 10 4 10 10 1010 10 10 4
MATEMATİK 7 Üslü İfdenin Kuvveti Üslü syının kuvveti lınırken bütün kuvvetler çrpılrk tek bir kuvvet ltınd yzılbilir. Örneğin; y z.y.z 1 1 1 1 4 4 4 4 8 4 7 9 9... 65. 0 8 7 65 0 145 145 145 1 0 Negtif Üs Eğer sıfırdn frklı bir reel syı ve pozitif bir tmsyı ise üssü negtif olnlr biçiminde tnımlnır. Örneğin; 1 1 1 1 1 1, 5, 7 5 7 49 1 1 1 1 1 b b b, b Örnek: 4 8. 16 işleminin sonucu kçtır? Çözüm: 4 4 4 7 7 5 8. 16..
8 MATEMATİK Örnek: 1 8 4 11? Çözüm: 11 1 8 1 11 1.11 11 111 111 1 4 4. 4 1 1 Alıştırm: 1 işlemin sonucu kçtır? Alıştırm: 14 1 1 11 7 8 9 10 işlemin sonucu kçtır? Üslü Denklemler Üslü denklemleri dört durumd inceleyebiliriz. I.Durum: n 1 ise şğıdki üç durum incelenmelidir. ) 1 ve n R olmlıdır. (Tbn 1 olduğund, üs ne olurs olsun 1 çıkr) b) 1 ise n çift olmlıdır. (Tbn -1 olduğund üs çift ise, sonuç 1 çıkr) c) n 0 iken 0 olmlıdır. (Üs sıfır olduğund, sonuç 1 olur. Fkt üssü sıfır ypn değeri tbnı sıfır ypmmlıdır; çünkü yptığı tktirde krşımız belirsizliği çıkr) 0 0 4 Örnek: 1 denklemini sğlyn değerleri toplmı kçtır? Çözüm: durumu yrı yrı inceleyelim. ) Tbn 1 ( 1 ise 4 olur) b) Tbn -1 ( 1 ise olur. Üssü çift yptığındn olur) c) Üs 0 ( 4 0 ise 4 olur. Tbnı sıfır olmdığındn -4 olur) Dolyısıyl denklemini sğlyn değerleri toplmını 4 4 buluruz.
MATEMATİK 9 II.Durum: y ve,yz durumund n m y ise n m 0 dır. Örnek:,yZ olmk üzere y y14 5 olduğun göre y toplmı kçtır? Çözüm: Üsler ve tbnlr eşitlenemez. Bu denklem sdece 0 0 5 1 1 durumund sğlr. Yni iki trfınd üssü 0 olmlıdır. Burdn, 6 y 0 y y 14 0 y 14 1 6 değerini her hngi bir denklemde yerine yzrsk bize soruln y 8 y. 6.8 1 4 1 olrk elde edilir. bulunur. Öyleyse n m III.Durum: 1, 0, 1 durumund ise n m dir. 5 Örnek: 0,15 8 olduğun göre, kçtır? 0,15 8 Çözüm: 5 15 1000 5 1 8 5 5-9 15 9 15 4 6 4
10 MATEMATİK IV.Durum: y eşitliğinde, ) tek syı ise y b) çift syı ise y ve y dir. (Yni y ) 7 7 Örnek: 1 9 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Verilen denklemde iki trfınd üssü ynı ve tek olduğundn, 1 9 10 Ç.K. 10 bulunur. Dolyısıyl çözüm kümesi olur. 8 8 Örnek: 1 9 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Verilen denklemde iki trfınd üssü ynı ve çift olduğundn, 1 9 ve 1 9 10 1 9 10 5 8 10 8 5 bulunur. Dolyısıyl çözüm kümesi 8 Ç.K., 10 5 olur.
MATEMATİK 11 Üslü Eşitsizlikler Üslü eşitsizlikleri iki durumd inceleyebiliriz. b I.Durum: 1 iken b dir. Örnek: 1 7 5 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Tbndki 5 syısı 1 den büyük bir syı olduğundn ynı eşitsizlik üsteki syılr içinde geçerlidir. 1 7 5 5 1 7 1 7 8 Ç.K 8, Örnek: 1 1 5 15 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Tbndki 15 syısını 5 in kuvveti olrk düzenlersek iki trft 1 den büyük ynı syı olmuş olcktır. 1 5 15 5 5 5 5 1 1 1 1 1 4 Ç.K,4 Örnek: 1 4 4 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Verilen eşitsizliğin sğ trfındki üslü syının tbnındki syıyı ters çevirirsek üssünü eksiyle çrpmmız gerekir. Dolyısıyl iki trfı d 1 den büyük syı hline getirmiş oluruz. 1 7 1 7 4 4 4 4 1 7 7 1 8 4 Ç.K 4,
1 MATEMATİK II.Durum: 0 1 b iken b dir. 1 7 1 1 Örnek: 5 5 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözüm: Tbndki syılr ynı ve 0 ile 1 rsınd bir syı olduğundn 1 7 1 1 5 5 1 7 1 7 8 Ç.K, 8 5 7 1 Örnek: 1,4 eşitsizliğini sğlyn en büyük tmsyı değeri kçtır? Çözüm: Öncelikle tbnlrı ynı ypmy çlışlım. 1 1 1 5 5 14 5 7 1,4 7 7 10 7 5 Burdn çözüme iki durumdki gibide gidebiliriz. Biz sğ trftkini ters çevirerek tbndki syıyı 0 ile 1 rsındki bir syı ypmy çlışlım. 1 1 5 7 5 5 7 5 7 7 1 1 Dolyısıyl bu eşitsizliği sğlyn en büyük tmsyı değeri -4 olur.