3. BASINÇ VE AKIŞKAN STATİĞİ Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ (Ağustos 2011) 3.1. Basınç Bir akışkan tarafından birim alana uygulanan normal kuvvete basınç denir Basınç birimi N/m 2 olup buna pascal (Pa) denir. 1 kpa = 10 3 Pa 1 MPa = 10 6 Pa 1 bar = 10 5 Pa 1 psi = 0.069 bar Binek otomobil lastiği yaklaşık 30 psi = 2 bar MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 2 1
Etkin, Mutlak, Vakum Basıncı Örnek 3-1 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 3 Bir Noktadaki Basınç Akışkan içerisinde herhangi bir noktadaki basınç her yönde aynıdır. Basıncın büyüklüğü var, ancak yönü yoktur. Dolayısıyla skaler bir büyüklüktür. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 4 2
Basınç derinlikle nasıl değişir? Basınç, akışkan ağırlığının bir sonucudur ve yerçekimi bulunan bir ortamda sadece düşey yönde değişir. Basıncın derinlikle değişimi için yandaki akışkan kütlesine denge şartı uygulanırsa, Fz = maz = 0 PΔx PΔx ρgδxδ z = 0 2 1 Δ P= P P = ρgδ z = γ Δz 2 1 s O halde basınç derinlikle doğrusal olarak artar. Basınç yatay yönde değişmez. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 5 Basıncın derinlikle değişimi Bir sıvı içerisindeki basınç kabın şeklinden bağımsızdır. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 6 3
Pascal İlkesi Kapalı bir kaptaki akışkana uygulanan dış basınç, akışkan içerisinden her noktadaki basıncı o oranda artırır. Pistonları aynı seviyede alırsak: F F F A P1 = P2 = = A A F A 1 2 2 2 1 2 1 1 Burada A2/A1 oranına ideal mekanik fayda adı verilir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 7 3.2. Manometreler P1 = P2 P = P + ρgh 2 atm Akışkan içerisinde z kadarlık bir yükseklik farkı P/ρg büyüklüğüne karşılık gelir. Bu ilkeye göre tasarlanmış düzenek veya cihazlara manometre denir. Tipik bir manometre yandaki gibidir. Büyük basınçlar için yükseklikten tasarruf etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar kullanılır. Örnek 3.2 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 8 4
Çok Tabakalı Akışkanlar Her bir sütunun basıncı P = ρgh ifadesinden hesaplanır. Basınç aşağı inildikçe artar (+), yukarı çıkıldıkça azalır (-). Aynı akışkanın iki noktası aynı seviyedeyse, bu iki noktanın basınçları aynıdır. Böylece bir noktadan başlayıp ρgh terimini aşağı inildikçe ekleyerek, yukarı çıkıldıkça çıkararak istenen noktanın basıncı hesaplanabilir: P + ρ gh + ρ gh + ρ gh = P 2 1 1 2 2 3 3 1 Örnek 3.3 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 9 Basınç Düşüşünün Hesaplanması Basınç düşüşünün ölçümü en iyi manometre ile yapılır. 1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu esnada inerken (+) çıkarken (-) işaret kullanılarak P 1 -P 2 hesaplanır. Borudaki akışkan gaz ise, ρ 2 >> ρ 1 ve P 1 -P 2 = ρgh olur. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 10 5
3.3. Barometre ve Atmosferik Basınç Barometreler atmosferik basıncı ölçmede kullanılır. Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da denir. C noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir. Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olur: pişirme süresi, burun kanaması, motor performansı, uçakların performansı P + ρgh= P C atm Örnek 3-5 Örnek 3-6 Patm = ρgh Örnek 3-7 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 11 vb.. 3.4. Akışkan Statiği MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 12 6
3.5. Düz Yüzeyler Düz yüzeye gelen hidrostatik kuvvetler bir paralel kuvvetler sistemi oluşturur. Amacımız bu tür yüzeylere gelen hidrostatik kuvvetleri ve etki noktalarını (basınç merkezi BM) belirlemektir. Yüzeyin her iki yanına da etkimesi halinde atmosfer basıncının etkisi dikkate alınmaz. Böylece sadece etkin basınçla çalışmış oluruz. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 13 Düz Yüzeye Gelen Kuvvet ğ : 1 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 14 7
Bileşke Kuvvet Homojen (sabit yoğunluğa sahip) bir sıvıya tamamen daldırılan düz bir yüzey üzerine etki eden bileşke kuvvet, yüzeyin kütle merkezindeki basınç ile yüzeyin alanının çarpımına eşittir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 15 Bileşke Kuvvetin Yeri Bileşke kuvvetin etki çizgisi ile yüzeyin kesişme noktasına BM denir. Yüzeyin kütle merkezi ile BM, alan yatay olmadıkça üst üste çakışmaz. BM, moment alınarak bulunur:, Alan 2. momenti veya alan atalet momenti MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 16 8
BM nin hesabı Çeşitli kaynaklarda verilen atalet momentleri alanın kütle merkezinden geçen eksene göre tanımlıdır (burada ise eksen takımı alanın kütle merkezinden geçmemektedir) Ancak Paralel Eksen Teoremi ile bu sorun da kolaylıkla aşılabilir: Böylece BM,, Ancak P 0 =0 ise;, /, MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 17 Bazı düz yüzeyler ve özellikleri MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 18 9
Basınç Prizması: Geometrik yol Düz bir yüzey üzerine etki eden kuvvetler, tabanı (sol yüz) yüzeyin alanı, yüksekliği de basınç olan bir hacim meydana getirir. Bu prizmanın hacmi, istenen bileşke kuvveti, kütle merkezinin yüzey üzerindeki izdüşümü ise bu kuvvetin etki noktasını verir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 19 Bazı Özel Durumlar Örnek 3-8 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 20 10
Eğrisel yüzeyler Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin yatay bileşeni, yüzeyin düşey izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvete eşittir (hem büyüklük hem de etki çizgisi olarak). Eğrisel yüzey üzerine etkiyen hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni, yüzeyin yatay izdüşümüne etki eden hidrostatik kuvvet ile akışkan bloğunun ağırlığının toplamına (zıt yönde etkiyorsa, farkına) eşittir. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 21 Eğrisel yüzeyler Eğrisel yüzey sıvı üzerinde kalıyorsa, sıvı ağırlığı ve hidrostatik kuvvetin düşey bileşeni zıt yönlerde etkir F H =F x F V =F y -W Basınç kuvvetlerinin yüzeye dik olması ve hepsinin de merkezden geçmesinden ötürü, dairesel bir yüzey üzerine etki eden hidrostatik kuvvet daima dairenin merkezinden geçer. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 22 11
Çok tabakalı akışkanların düz yüzey üzerine etkisi Çok tabakalı bir akışkan içerisinde dalmış bir yüzey üzerindeki hidrostatik kuvvet, farklı akışkanlar içerisinde kalan yüzeyleri ayrı ayrı göz önüne almak suretiyle belirlenebilir,, MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 23 Örnek 3-9 A noktasından mafsallı 0.8 m yarıçapında uzun bir silindir, Şekil 3 36 da görüldüğü gibi otomatik kapak olarak kullanılmakta olup su seviyesi 5 m ye ulaştığında kapak A noktasındaki mafsal etrafında açılmaktadır. (a) Kapak açıldığında silindir üzerindeki hidrostatik kuvveti ve etki çizgisini (b) silindirin 1 metre uzunluğunun ağırlığını belirleyiniz. MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 24 12
3-7 Yüzme ve Kararlılık ARCHIMEDES İLKESİ Bir akışkan içerisinde daldırılan cisim üzerine etki eden kaldırma kuvveti, cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca etkir. ü = MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 25 Örnek 3-10 Hidrometre a) Bir sıvının bağıl yoğunluğunu, saf suya karşılık gelen işaretten itibaren z mesafesinin fonksiyonu olarak veren bir bağıntı elde ediniz. b) 1 cm çapında ve 20 cm boyunda olan bir hidrometrenin saf su içerisinde yarısı batmış olarak yüzmesi için (10 cm çizgisinde) içerisine konulması gereken kurşun kütlesini belirleyiniz MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 26 13
Dalmış Yüzen Cisimlerin Kararlılığı http://tr.wikipedia.org/wiki/vasa_(gemi) MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 27 3.8. Rijit Cisim Hareketi Yapan Akışkanlar Bu tür bir harekette kayma gerilmesi oluşmaz. Dolayıyla akışkana etkiyen yalnızca kütle ve basınç kuvvetleridir. Sadece z yönü için bu kuvvetlerin gösterildiği diferansiyel hacim elemanı alalım ve Newton un 2. hareket yasasını uygulayalım:, 2, 2, MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 28 14
Rijit Cisim Hareketi Toplam yüzey basınç kuvveti:,,, Kütle kuvveti:, Temel Denklem: MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 29 Özel Durumlar Denklemin açık hali Özel Durum 1: Statik haldeki akışkanlar 0 Özel Durum 2: Serbest düşme 0 =-g 0 http://www.gozerog.com/ MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 30 15
Doğrusal Yörünge Üzerinde Sabit İvmeli Hareket Doğrusal bir yörünge üzerindeki hareketi xzdüzleminde inceleyeceğiz P=P(x, z)=?:, + MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 31 Doğrusal hareket Sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı: veya; Orijin (z= 0 ve x = 0) noktasındaki basınç P 0 alınırsa, herhangi bir noktadaki basınç; (Basınç dağılımı) Yüzeydeki düşey yükselme MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 32 16
Yüzeyin Eğiminin Belirlenmesi 1 ve 2 noktalarının her ikisi de serbest yüzeyde seçilirse dp = 0 olacaktır. 0 Buradan, Bu tür hareketlerde de sıvı kütlesinin korunduğu unutulmamalıdır. Örnek 3.12 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 33 Silindirik Kapta Dönme, 0,,, MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 34 17
Yüzeyin Şekli Serbest yüzeyde dp = 0 alınırsa, 0 2 Serbest yüzey paraboliktir!.. Şekilde r=0 için z=h=c olduğundan, 2 Örnek 3-13 MEK315-Akışkanlar Mekaniği Doç.Dr. Serdar GÖNCÜ 35 18