Parametrik Olmayan İstatistik

Parametrik Olmayan İstatistik

2 Anakütlenin Karşılaştırılması İki Anakütlenin Karşılaştırılması Bağımsız Örnekler Eşleştirilmiş Örnekler Wilcoxon Mertebe Toplam Testi İşaret Testi Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi (İkili Verilerin Farklarının Dağılışı Simetrik olduğunda)

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi Tek Yönlü Test H 0 : M A = M B (Anakütle dağılışları aynıdır. ) H 1 : M A > M B (A nın dağılışı B nindağılışının sağındadır. ) [ H 1 : M A < M B (A nın dağılışı B nindağılışının solundadır. )] Test İstatistiği: İki örnek birlikte sıralanır. Mertebe toplamı T, daha az sayıda ölçüm alınan örnek (A örneği) için hesaplanır (Eğer gözlem sayıları eşit ise herhangi biri kullanılabilir). Ret Bölgesi: Eğer T T u ise H 0 reddedilir. [Eğer T T L ise H 0 reddedilir.] Varsayımlar: - Her iki örnek şans örneği ve birbirinden bağımsızdır. - Örneklerin alındıkları anakütlenin dağılışı süreklidir. Çift Yönlü Test H 0 : M A = M B H 0 : M A M B Test İstatistiği: İki örnek birlikte sıralanır. Mertebe toplamı T, daha az sayıda ölçüm alınan örnek (A örneği) için hesaplanır (Eğer gözlem sayıları eşit ise herhangi biri kullanılabilir). Ret Bölgesi: Eğer T T u veya T T L ise H 0 reddedilir. Varsayımlar: - Her iki örnek şans örneği ve birbirinden bağımsızdır. - Örneklerin alındıkları anakütlenin dağılışı süreklidir.

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi - Örnek Örnek: 6 bürokrat ve 7 üniversitede çalışan ekonomist seçilmiş ve gelecek yıl için hayat pahalılığındaki artış hakkındaki tahminleri sorulmuştur. Veriler tablodadır. %5 önem seviyesinde üniversitede çalışanların tahminlerinin daha yüksek olduğu söylenebilir mi? Bürokratlar (A) Ekonomistler (B) 3,1 4,4 4,8 5,8 2,3 3,9 5,6 8,7 0 6,3 2,9 10,5 10,8 Üniversite ekonomistleriyle bürokratların tahminlerinin aynı olduğu söylenebilir mi?

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi - Örnek H 0 : M A = M B H 1 : M A < M B Her iki grup tek bir grup gibi düşünülerek sıra numaraları verilir. Bürokratlar (A) Mertebe A Ekonomistler (B) Mertebe B 3,1 4 4,4 6 4,8 7 5,8 9 2,3 2 3,9 5 5,6 8 8,7 11 0 1 6,3 10 2,9 3 10,5 12 10,8 13 T A =4+7+2+8+1+3=25 ve T B =6+9+5+11+10+12+13=66 Küçük örnek olan A seçilir. Tablodan T L =30 bulunur. T L > T A olduğundan H 0 reddedilir.

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi Büyük Örnekler Her iki örnek için örneklem büyüklükleri 10 a eşit veya büyük olduğunda büyük örnek yaklaşımı kullanılabilir. n 1 10 ve n 2 10. Test Prosedürü T A değeri hesaplanır. T A ~N n 1(n 1 +n 2 +1), n 1n 2 (n 1 +n 2 +1) 2 12 olur. z h = T A n 1(n 1+n 2+1) 2 n 1n 2(n 1+n 2+1) 12 değeri ile tablo değeri karşılaştırılır. H 1 : M A > M B iken z h > z α olursa H 0 reddedilir. [H 1 : M A < M B iken z h < z α olursa H 0 reddedilir.] H 1 : M A M B iken z h > z α/2 veya z h < z α/2 olursa H 0 reddedilir.

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi Büyük Örnekler Örnek: 2 semtteki kira fiyatlarının benzer olup olmadığı test edilmek istenmektedir. Örnek olarak seçilen kira fiyatları tablodadır. %10 önem seviyesinde 2 semtteki kira fiyatlarının aynı olup olmadığını test ediniz. Karşıyaka Bornova 850 911 1060 770 910 815 813 748 737 725 880 700 895 835 844 800 965 793 875 796 795 710

2 Bağımsız Anakütle Medyanının Karşılaştırılması Wilcoxon Mertebe Toplam Testi Büyük Örnekler H 0 : M A = M B H 1 : M A M B Karşıyaka Mertebe Bornova Mertebe 850 15 911 20 1060 22 770 6 910 19 815 12 813 11 748 5 737 4 725 3 880 17 700 1 895 18 835 13 844 14 800 10 965 21 793 7 875 16 796 9 795 8 710 2 T A = 157 elde edilir. μ TA = 10(10+12+1) =115 ve σ 2 2 TA = 10.12(10+12+1) 12 = 230 bulunur. Buradan z = 157 115 230 = 2,7 elde edilir. z 0,05 = 1,645 < 2,7 olduğundan H 0 reddedilir.

Rastgelelik (Run) Testi İstatistikte verilerin rastgele olup olmadığını test etmek amacıyla kullanılan testtir. Hipotezler; H 0: Sembol dizisi rastgeledir. H 1: Sembol dizisi rastgele değildir. Test İstatistiği; r= seri (run) sayısı n 1 = Bir sembolün meydana geliş sayısı n 2 = Diğer sembolün meydana geliş sayısı Ret Bölgesi; Eğer r üst kritik değer veya r alt kritik değer ise H 0 reddedilir.

Rastgelelik (Run) Testi Bir sinema gişesinde kuyrukta bekleyen kişilerin cinsiyetleri; K K E E E K E K E E E (6 seri (run)) Bu dizideki K ve E ler acaba rastgele mi? Run testinde seri sayısına göre verilerin rastgele olup olmadığına karar verilir. Seri sayısı (r), eğer çok küçük ise veya çok büyük ise serinin rasgele olmadığını gösterir. EEEEEKKKK (r=2) veya EKEKEKEKE (r=9)

Rastgelelik (Run) Testi Örnek: Bir şehrin 32 yıl boyunca ortalama sıcaklıkları tabloda verilmiştir. Isının yıllara göre dağılımının rastgele olup olmadığını %5 önem seviyesinde test ediniz. Sıcaklık 51,6 52,2 54,2 50,6 53,9 55 50,2 54,1 53,8 51,4 50,1 51,3 48,6 50,2 54,4 50,5 54,2 54,1 54,2 50,1 54,2 53 50,3 53,9 53,8 52,3 54,3 51,3 52,3 53,9 49,8 54,1

Rastgelelik (Run) Testi H 0: Sıcaklığın yıllara göre dağılışı rastgeledir. H 1: Sıcaklığın yıllara göre dağılışı rastgele değildir. Sıcaklık 48,6 51,6 54,1 49,8 52,2 54,2 50,1 52,3 54,2 50,1 52,3 54,2 50,2 53 54,2 50,2 53,8 54,3 50,3 53,8 54,4 50,5 53,9 55 50,6 53,9 51,3 53,9 51,3 54,1 51,4 54,1 Öncelikle veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır ve medyan değeri bulunur. Verilerin medyan 16. ve 17. verilerin orta noktasıdır. Bu durumda medyan=(52,3+53)/2=52,65 elde edilir. Medyan değerine göre veriler 2 gruba ayrılır. Medyanın değerinin üzerinde ve altında kalanların oluşturdukları seri sayısına göre karar verilir.

Rastgelelik (Run) Testi Sıcaklık 51,6-50,2-5 (devam) 50,6-54,2 + 6 50,2-50,1-1 51,4-50,3-7 48,6-52,3-50,5-51,3-54,2 + 53,9 + 53 + 54,1 + 2 53,8 + 54,2 + 8 54,3 + 55 + 52,3-53,8 + 49,8-3 51,3-9 52,2-54,4 + 53,9 + 54,1 + 4 54,1 + 54,2 + 10 50,1-5 53,9 + r=10 ve n 1 (+)=16 ve n 2 (-)=16 bulunur. Tablodan üst kritik değer=23 ve alt kritik değer=11 elde edilir. r<11 olduğundan H 0 reddedilir.

Rastgelelik (Run) Testi Büyük Örnekler n 1 veya n 2 den herhangi bir tanesi 20 den büyük ise büyük örnek yaklaşımı kullanılır. N= n 1 + n 2 μ r = 2n 1n 2 N + 1 ve σ r = 2n 1 n 2 (2n 1 n 2 N) N 2 (N 1) Test İstatistiği: z = r μ r σ r hesaplanır. Eğer z<-z a/2 veya z>z a/2 ise H 0 reddedilir.

Rastgelelik (Run) Testi Büyük Örnekler Örnek: Bir sinema gişesinde kuyrukta bekleyen 50 kişinin cinsiyetlerine göre dizilişleri aşağıda verilmiştir. %1 önem seviyesinde bu dizilişin rastgele olup olmadığını test ediniz. E K E K E E E K KK E K E K E K E E E E E E K E K E E K K K K E K E K E K E E E E K E E E E K E K E E= Erkek K= Kadın

Rastgelelik (Run) Testi Büyük Örnekler E K E K EEE KKK E K E K E K EEEEEE K E K EE KKKK E K E K E K EEEE K EEEE K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 E K E 29 30 31 r=31 elde edilir. n E =30 ve n K =20 dir. μ r = 2.30.20 50 + 1 = 25 ve σ r = 2.30.20(2.30.20 50) 50 2 (50 1) = 3,356 bulunur. z = 31 25 3,356 = 1,78 dir. Z a/2=2,575 olduğundan H 0 reddedilemez.

Tablolar

Örnek : Aşağıdaki veriler bir bilgisayarın türettiği veri setidir. Verilerin rassal olup olmadığını 0.05 önem seviyesinde test ediniz. Sequence Number Code Sequence Number Code 1 0.34561-11 0.67201 + 2 0.42789-12 0.23790-3 0.36925-13 0.24509-4 0.89563 + 14 0.01467-5 0.25679-15 0.78345 + 6 0.92001 + 16 0.69112 + 7 0.58345 + 17 0.46023-8 0.23114-18 0.38633-9 0.12672-19 0.60914 + 10 0.88569 + 20 0.95234 +

OOOUOOUOUUOOUUOOOOUUOUUOOO UUUOOOOUUOOUUUOUUOOUUUUU OOOUOUUOOOUOOOOUUUOUUOOOU OOUUOUOOUUUOUUOOOOUUUOOO