BÖLÜM 8 BORULARDA DEĞİŞKEN AKIMLAR

BÖLÜM 8 BORULARDA DEĞİŞKEN AKIMLAR

8. BORUDA DÜZENLİ AKIM OLUŞUMU Bir boru hattının sonunda bulunan vananın aniden açılmasıyla borudaki akım hızının sıfırdan 0 düzenli akım hızına ulaşması için geçen sürede boruda oluşan akım zamana bağlı bir değişken akımdır. Bu akımın analizi ve düzenli akımın teşekkül etmesi için geçecek sürenin tespiti Euler hareket denklemi ile yapılabilir. K Düzenli akım

Enerji kaybını içerecek şekilde Euler hareket denklemi: = 0 s h + g s z + g s p + s + t k ρ Sıkışmayan akım kabulü ile (8.) denklemi Şekil deki () ve () noktaları arasında integre edilirse: (8.) = 0 ) h - + g (h ) z - + g (z p - p + - + ) - s (s t k k ρ burada s -s L, 0, =(t), p =p =0, z -z =-H s ve h k -h k =h k. Buna göre hareket denklemi aşağıdaki duruma indirgenir:

L d L = Hs - - hk, hk = K + λ g dt g g D g L = Hs g d dt - + K + λ L D g, + K + λ L D = ξ L d = Hs - ξ g dt g dt = g H L s - ξ d =0 ve arasında integre edilirse: t = L g H s ξ ln g H ξ s g H ξ s + - (8.)

Düzenli akım teşekkül etmesi halinde ve noktaları arasında Bernoulli denklemi: g + p γ + z = g + p γ + z + K 0 g + λ L D 0 g 0, = 0, p = p = 0, z - z = H s H s = + K + λ L D 0 g = ξ 0 g g H ξ s 0 = (8.3)

(8.3) ifadesi (8.) denkleminde yerine konursa: L 0 0 + t = ln (8.4) g H - 0 0 0 + - = e e = e g H L g Hs L s g H L 0 s 0 t t s 0 - + t 0 (8.5) denklemi Şekil 8. de grafik olarak çizilmiştir. (8.5) denklemine göre = 0 olabilmesi, yani düzenli akımın teşekkülü için teorik olarak t= olması gerekir. Ancak akımda =0,99 0 şartlarının oluşması için geçen süre pratik bakımdan düzenli akımın teşekkül ettiği süre sayılabilir. (8.5)

Şekil 8. Hızın zamana göre değişimi

8. DENGE BACASI SALINIMI Denge bacası, hidroelektrik tesislerde türbine giden suyun azaltılması veya artırılması amacıyla kontrol vanalarının kumandasından kaynaklanan darbe basınçlarının etkisini azaltmak için baraj ile santral binası arasında inşa edilen bir yapıdır. Şekil 8.3 de görüldüğü gibi türbine giden suyun aniden kesilmesiyle tünelden gelen su denge bacasına doğru yönelir ve baca içindeki su seviyesi sönümlü bir salınım hareketi yapar.

b Hazne Denge bacası b Tünel Basınçlı boru Şekil 8.3 Denge bacası salınımı

Hazne, tünel ve denge bacası arasında salınım yapan suyun hareketi bir değişken akımdır ve bu akımın analizi için de (8.) denklemi kullanılabilir: t + s + ρ p s + g z s + g h s k = 0 ve noktaları arasında integre edilirse: t (s -s ) + - + p -p ρ +g(z -z ) +g(h k -h k )=0 burada s -s L, =, h k -h k =h k =h s ve tünelde =(t) yazılırsa:

L g d dt + p γ + z - p γ + z + h s = 0, p γ + z - p γ + z = z L g d dt L + z + λ = 0 (8.6) D g t Bu ifade lineer olmayan bir diferansiyel denklemdir ve son terimi nin yönüne göre işaret almaktadır. Ani bir tam kapanma sonrasında bacadaki hız b =dz/dt dir ve tünel ile baca arasında süreklilik denklemi aşağıdaki gibi yazılır: A t = b A b = A b dz dt

Buradan, herhangi bir anda tüneldeki akım hızı: = Ab dz (8.7) A dt t (8.7) ifadesi değişken dönüşümü için (8.6) denkleminde kullanılırsa denge bacası içindeki su seviyesi salınımının hareket denklemi aşağıdaki gibi bulunur: d dt λ z + g dz dt dz dt + g A L A t b z = 0 (8.8)

Bacada su yükselmesidurumunda : dz dt > 0 d dt z + λ g dz dt + g A L A t s z = 0 dz d z λ dz g At Bacada su alçalması durumunda < 0 - + z = 0 dt dt g dt L A (8.8) denklemi t=t 0 için z=z 0 ve dz/dt=0 başlangıçşartlarına göre (8.8) denklemi t=t 0 için z=z 0 ve dz/dt=0 başlangıçşartlarına göre sayısal yöntemlerle çözülebilir. b

8.. Sürtünmesiz Çözüm (8.8) denkleminde sürtünme terimi ihmal edilirse hareket denklemi: d dt z + ga L A t b z = 0 (8.9) Bu ifade lineer, homojen, sabit katsayılı ikinci mertebeden bir adi diferansiyel denklemdir. ga t /LA b =k yazılırsa: d z + k dt z = 0 (8.0)

(8.0) denkleminin genel çözümü: z = C cos k t + C sin k t Akım sürtünmesiz kabul edildiğinden t=0 için z=0 başlangıç şartına göre C =0 dır ve z = C sin k t bulunur. Denge bacasındaki akım hızı: dz b = = C k cos kt = dt A A b t Buradan t=0 için = 0 başlangıç şartına göre C = 0 A t /ka b bulunur ve salınımın denklemi aşağıdaki gibi elde edilir:

0 A z = k A b t sin k t = 0 L A g A t b sin kt (8.) (8.) denklemine göre su seviyesinin denge bacası içindeki salınımı sinüzoidal bir hareket olup Şekil 8.4 te görülmektedir. Salınımın periyodu: k = g A L A t b = T T = π L A π b (8.) g A t b Hazne seviyesi Şekil 8.4 Sürtünmesiz durumda denge bacası salınımı

8.3 SU DARBESİ Borulardaki değişken akımlarda, kısa sürede aşırı hız değişiminin oluşturduğu atalet kuvvetlerinden kaynaklanan ani basınç artması olayına su darbesive buna bağlı olarak meydana gelen basınca darbe basıncıdenir. ana kumandalarından veya başka şekillerde oluşması muhtemel ani hız değişimlerine bağlı su darbesi basınçları hidroelektrik tesislerde türbinlere su ileten basınçlı borular ile terfi hatlarına zarar verebilecek ölçüde etkili olabilmektedir. Su darbesinin analizi için aşağıda iki teori hakkında bilgi verilecektir:rijit teori ve elastik teori.

8.3. Rijit Teori Su darbesinin analizi için en basit yaklaşım suyun sıkışmayan ve borunun da rijit bir malzemeden olduğunun kabul edilmesidir. Bu durumda, borunun bir ucundaki ani hız değişimi ve buna bağlı basınç artması rijit bir çubuğun bir yüzeye çarpması gibi borunun her noktasında aynı anda hissedilecektir.

Enstantane basınç çizgisi h s p d γ γ ana Şekil 8.5 Rijit teoriye göre darbe basıncı

Rijit teoriye göre, Şekil 8.5 deki borunun sonunda bulunan vananın kapanması sırasında ortaya çıkan değişken akım durumu için borudaki su kütlesine akım doğrultusunda Newton un ikinci kanunu uygulanabilir: F = m a burada su kütlesi m=ρal ve ivme a=-d/dt dir. Suyun yavaşlaması sırasında suya gelen dinamik kuvvet su darbesi basıncının doğurduğu vana ucuna etkiyen kuvvettir, yani. Bu değerler yerine konursa:

- pd A = - ρ A L d dt buradan, rijit teoriye göre darbe basıncı: p d = ρ L d dt ve darbe basıncı yüksekliği: p d γ = L g d dt (8.3)

şeklinde bulunur. (8.3) denklemi, darbe basıncının hazneye doğru doğrusal biçimde azaldığını göstermektedir. ananın kapanması sırasında herhangi bir andaki akım hızı ve akım ivmesi d/dt nin bilinmesiyle borunun vana ucundaki toplam basınç yüksekliği aşağıdaki gibi ifade edilir: p L = - Hs λ γ D g + L g d dt

Eğer borudaki düzenli akım hızı 0 ın t k kapanma süresi içinde doğrusal hız değişimi(yani sabit bir negatif ivme) ile sıfıra gittiği düşünülürse kapanma anında vanada oluşacak maksimum toplam basınç aşağıdaki gibi olur. p ma k γ = H s + L g t 0 k Pratik bakımdan, hız değişiminin doğrusal ve t k >L/60 (t k =s, L=m) olması halinde rijit teorinin gerçekçi sonuçlar verebileceği görülmüştür.

8.3. Elastik Teori Suyun basınç altında sıkışma özelliği nedeniyle akımdaki hız ve basınç değişimleri boru hattının her noktasını aynı anda etkileyemez ve su darbesi basıncı, basınç dalgası şeklinde C hızı ile boru boyunca yayılır (Şekil 8.6). Darbe basıncı dalgası boru üzerindeki herhangi bir noktaya ulaşıncaya kadar o noktadaki normal düzenli akım şartları bozulmaz. Bu durumu birbirine gevşek bağlı vagonlardan oluşan bir trenin durmasına benzetebiliriz. Böyle bir trenin lokomotifinin durmasıyla tüm vagonlar aynı anda duramaz. Durma olayı bir vagondan diğerine belli bir faz farkıyla yayılarak gerçekleşir.

p d γ 0 =0 ana C Basınç dalgası Şekil 8.6 Basınç dalgası

Ani Tam Kapanmada Darbe Basıncı Bir boru hattının sonundaki vananın aniden tamamen kapandığınıdüşünelim.oluşandarbebasıncınınbüyüklüğü p d ve yayılma hızı C olsun. Şekil 8.7 de görüldüğü gibi basınç dalgası 0 ile hareketli suya karşı yayıldığından sabit bir koordinat sistemine göre yayılma hızı C- 0 dır. Basınç dalgasının geçtiği yerlerde akımın hızı sıfır olur, yani akımın kinetik enerjisi elastik enerjiye dönüşerek basıncın p d, su yoğunluğunun ρ ve boru kesitinin A kadar artmasına sebep olur.

Basınç dalgasından doğan değişken akımı düzenli hale indirgemek için Şekil 8.7 de görüldüğü gibi C- 0 hızı ile hareketli kontrol hacmını gözönüne alalım; C- 0 Hareketli K.H. p,ρ,a C C- 0 0 p+p d pa ρ+ ρ A+ A C- 0 (p+p d )(A+ A) Şekil 8.7 Basınç dalgası için hareketli kontrol hacmı x

Hareketli K.H. na göre x doğrultusunda momentum denklemi: = ρ Q ( u - u Fx ) p A - (p + pd ) ( A + A) = ρ A C (C - 0 - C ) A değeri A nın yanında ihmal edilirse su darbesi basıncını veren ifade aşağıdaki gibi elde edilir: p = ρ C pd 0 897 yılında verilen bu ifade Joukowsky kanunu olarak bilinmektedir. (8.4) denkleminden darbe basıncı yüksekliği: pd C 0 = γ g (8.4)

Basınç Dalgasının Hızı Hareketli K.H. için süreklilik denklemi: ρ A C = ( ρ + ρ ) ( A + A ) ( C - 0 ) C = 0 ( ρ + ρ) (A + A) ( ρ + ρ) (A + A) - ρ A (8.4) denkleminden 0 =p d /ρc değeri yerine konursa: C = ρ pd (+ ) (A + A) ρ ( ρ + ρ) (A + A) - ρ A

C = ρ A pd + + ρ A A ρ A ρ + + A ρ A (8.6) (8.6) denkleminde parantez içindeki terimlerden A/A ve ρ/ρ in yanında ihmal edilebilir ve denklem aşağıdaki a gibi sadeleşir: C = ρ ρ ρ p + d A A

Suyun p d basıncı altında sıkışması ile Δρ/ρ=p d /K yazılırsa basınç dalgasının hızı: C = ρ p d K p + d A A (8.7) şeklinde elde edilir. (8.7) denklemindeki K suyun hacımsal elastisite modülüdür. Borunun rijit kabul edilmesi durumunda ( A=0) basınç dalgasının hızı:

C = K ρ olur. (8.8) denklemine göre, rijit bir borudaki basınç dalgasının yayılma hızı sonsuz bir sıvı ortamındaki sesin yayılma hızına eşittir. (8.7) denkleminde görüldüğü gibi borunun elastikiyeti C yi ve dolayısıyla (8.4) denklemine göre de p d yi küçültücü yönde etkilemektedir. Elastik borular için A/A değeri borunun malzemesine ve hareket serbestliğine bağlıdır. Boru hattının hareket kabiliyeti bakımından iki durum sözkonusudur: (a) Ankraj blokları ile boyuna uzamanın tutulu olması, (b) Genleşme derzleri ile boyuna uzamanın serbest olması.

(a) Boyuna Uzamanın Tutulu Olması: Boru hattı genellikle ankraj blokları (tespit kütleleri) yardımıyla zemine bağlanarak güvenlik altına alınır. Bu durumda boru malzemesinde sadece çevresel gerilmeler oluşur. İç basıncın p d kadar artması halinde, ince kesit kabulüyle borudaki çevresel gerilme ve birim deformasyon aşağıdaki gibidir(şekil 8.8): p d D = σ d σ = p d D d, ε = p d D d E σd d σd

burada d boru et kalınlığı ve E boru malzemesinin elastisite modülüdür. Dairesel boruda. π D π D da dd A D A =, da = dd, = = 4 A D A D ve çevresel birim deformasyon: ε = A A ( π π D = ε D) = p = d d E D D D bulunur ve bu değer (8.7) denkleminde yerine konursa basınç dalgasının hızı aşağıdaki gibi elde edilir: C = ρ K + D d E (8.9)

(b) Boyuna Uzamanın Serbest Olması: Boru hattının, genleşme derzleriyle boyuna uzamasına izin verildiği takdirde çevresel deformasyon, dik doğrultuda boyuna deformasyona sebep olur. Buşartlar altında p d artımından dolayı borudaki: pd D çevresel gerilme : σ =, boyunagerilme : σ d pd D = 4d ve A A = ε = σ σ p D d - ν = (- 0,5 ν ) E E d E şeklinde olur. Burada ν Poisson oranıdır. A/A değeri (8.7) ifadesinde yerine konursa: C = ρ K + D d E (- 0,5 ν) (8.0)

Basınç Dalgasının Yayılması ve Yansıması Şekil de görülen hazne boru sisteminde vananın aniden kapanması ile oluşan basınç dalgasının boru boyunca nasıl yayıldığını izlemek istiyoruz. Basitlik olması bakımından boru yatay alınacak ve sürtünme kayıpları ihmal edilecektir. Bu şartlarda, basınç dalgasının çeşitli zaman aralıklarındaki yayılma ve yansıma durumları aşağıda açıklanmıştır.

t = 0 - L/C : t=0 anında vana kapanmasıyla oluşan pozitif dalga hazneye doğru yayılır ve dalganın geçtiği boru kısmında akım hızı sıfır olur, su sıkışır ve boru genleşir. Yani suyun kinetik enerjisi tamamen elastik enerjiye dönüşür. t=l/c anında, mevcut basınç şartlarına tüm boru boyunca p d darbe basıncı eklenmiş olur. d

t = L/C - L/C : t=l/c anında, boru girişindeki basınç dengesi bozulduğundan hazneye doğru 0 hızı ile bir ters akım başlar ve bu akım ile birlikte borudaki basınç ve genleşme şartları normale döner. Bu zaman aralığında negatif dalga yayılarak t=l/c anında tüm boru boyunca basınç ve genleşme şartlarının normale dönmesini sağlar. d

t = L/C - 3L/C : t=l/c anında, borudaki 0 hızı hazneye doğru olduğundan ve vanadan da su temini sözkonusu olmadığından bu ters akım vanadaki basıncın düşmesine sebep olur ve hazneye doğru bir negatif dalga yayılmaya başlar. Negatif basınç dalgasının geçtiği yerlerde hız sıfır olur ve boru kesitinde normale göre daralma meydana gelir. t=3l/c anında tüm boru boyunca akım hızı sıfırdır ve basınç normalin altına düşmüştür. d

t = 3L/C - 4L/C : t=3l/c anında, negatif basınç dalgasından dolayı boru girişindeki basınç dengesi yine bozulduğundan bu kez hazneden boruya doğru 0 hızı ile akım başlar ve vanaya doğru bir pozitif dalga yayılarak borudaki basınç ve genleşme şartlarının normale dönmesini sağlar. t=4l/c anında, pozitif dalganın vanaya ulaşmasıyla t=0 (kapanma) anındaki şartlara dönülmüş olur. d

Şekil de görüldüğü gibi, basınç dalgası hazneden zıt işaretle, vanadan ise aynı işaretle yansımaktadır. Teorik olarak, darbe basıncının yayılma ve yansıma süreci aynı şiddette ve 4L/C periyodu ile sonsuza kadar devam eder. Ancak, gerçekte sürtünme etkileri darbe şiddetinin hızlı bir şekilde azalmasına sebep olur.

Şekil 8.9 daki ani kapanma durumunda, akımın vana yakınındaki bir noktasında darbe basıncının teorik ve deneysel olarak zamanla değişimi Şekil 8.0 da görülmektedir. Teorik Deneysel d Şekil 8.0 Ani kapanmada vanadaki basıncın zamanla değişimi

Hızlı ana Kapanması (t k L/C) Bir vananın ani olarak t k 0 gibi bir sürede kapatılması fiilen mümkün değildir. Yani akım kontrol vanaları belli bir sürede kapatılabilirler (t k >0). 0<t k L/C olduğu sürece, yani vana kapanması en çok basınç dalgası etkisinin vanaya ulaşıncaya kadar geçecek sürede kapatılması halinde, vanadaki darbe basıncı olabilecek maksimum değerine kadar yükselir. Bu tür vana kapanma durumuna (ani kapanmayı da kapsamak üzere) hızlı kapanma denir. 0<t k L/C şeklindeki bir vana kapanmasından doğacak basınç dalgasının yayılması ve vanadaki basıncın zamanla değişimi Şekil 8. deki gibidir. Basınç dalgası ön yüzünün şekli vana kapanma sürecine (sabit hızla veya değişken hızla) ve vana tipinin akım hızını zamanla nasıl değiştirdiğine (doğrusal veya eğrisel) bağlıdır.

Hızlı kapanmada oluşacak darbe basıncının büyüklüğü (8.4) veya (8.5) formülleriyle elde edilen değerlerdir. C h d k k d Şekil 8. Hızlı kapanma durumunda vanada basıncın değişimi

Yavaş ana Kapanması (t k >L/C) ana kapanma süresi t k >L/C olması halinde bu tür kapanmaya yavaş kapanma denir. Böyle bir kapanma halinde, darbe basıncı t k =L/C anında maksimum değerine ulaşmakta ve t>l/c zamanlarında vanaya negatif olarak ulaşan ve negatif olarak yansıyan dalganın öncü kesimi, vanada halen yükselmekte olan pozitif dalganın şiddetini azaltıcı bir etki yapmaktadır. t k >L/C şeklindeki bir vana kapanmasından doğacak basınç dalgasının yayılması ve vanadaki basıncın zamanla değişimi Şekil 8. de görülmektedir. Şekil 8. de görüldüğü gibi doğrusal olmayan bir hız değişiminden kaynaklanan vanadaki basıncın zamanla değişimi, kısmi hız değişimlerinden doğan p basınç dalgalarının süperpozisyonu ile bulunabilir. Yavaş kapanma durumu için elde edilen deneysel bulgularda, vanada oluşan basıncın t=l/c zamanında maksimum değere ulaştığı ve bu zamandan sonra azaldığı görülmüştür.

Yavaş kapanma durumunda t=l/c anındaki akım hızı ise darbe basıncı: p = ρ C ( 0 d - ) (8.) k d Şekil 8. Yavaş kapanma durumunda vanada basıncın değişimi

Doğrusal Hız Değişimi : Eğer hız değişimi 0 dan sıfıra doğrusal olarak değişiyor ise: 0 - = p d = t t 0 k ρ k 0 L C L ve Doğrusal hız değişimine göre kısmi kapanma ( 0 ) olursa: p d = ρ ( 0 t - k ) L elde edilir. Acil durumlarda vana kapanmalarının L/C<t k <L/60 zaman aralığında gerçekleştirilmesi darbe basıncı açısından uygun işletme şartlarını oluşturmaktadır.