1 Ksm I TOPOLOJ SORULARI 1 Topological Notions 1. Her açk aralk salt topolojiye göre R uzaynda açktr. Gösteriniz. 2. n Z olmak üzere (n, n + 1) aralklarnn bile³imi açktr. Gösteriniz. 3. {0} = ( 1 n, 1 n ) (1) n=1 e³itli ini kullanarak sonsuz sayda açk kümelerin arakesitinin açk olmayabilece ini gösteriniz. 4. Q rasyonel saylar kümesinin, salt topolojiye göre R uzaynda ne açk ne de kapal oldu unu gösteriniz. 5. Salt topolojiye göre R uzaynda bir (a, b) açk aral nn her x (a, b) ö esi için bir kom³uluk oldu unu gösteriniz. 6. (0, 1) =, 1 1n] oldu unu gösterinz. Buradan ³u sonucu çkarnz: Sonsuz sayda kapal n=2 [ 1 n kümelerin bile³imi kapal olmayabilir. 7. Daha ince topolojiye göre yo un bir alt-küme daha kaba topolojiye göre de yo undur. Ba³ka bir deyi³le, topoloji inceldikçe yo un alt-kümeler azalr, topoloji kabala³tkça yo un alt-kümeler ço alr. 8. Hiç bir yerde yo un bir kümenin kaplamnn da hiç bir yerde yo un oldu unu gösteriniz. 9. Her gerçel saynn rasyonel saylar kümesinin bir y lma noktas oldu unu; yani her x R için x Q oldu unu gösteriniz. 10. R üzerindeki salt topolojiye göre N do al saylar kümesinin hiç bir y lma noktas olmad n gösteriniz. 11. R üzerindeki salt topolojiye göre S = (0, 1) {3} kümesinin y lma noktalarn bulunuz. 12. R üzerindeki salt topolojiye göre, bir a saysnn bir S alt kümesinin y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, S kümesi içinde a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl dr. Bunu simgesel olarak, a S (a n ) S : (n m (a n a m ) biçiminde yazabiliriz. 13. Bir kümenin içlemi, kapsad açk kümeler arasnda en büyük olandr. Gösteriniz. 14. Bir kümenin açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, hiç bir kenar noktasn içermemesidir. Ba³ka bir deyi³le, (X; T ) uzaynda T T T T = dir. 15. (X; T ) uzaynnn AX alt kümesi için olur. 16. Topolojik Toplam Uzay: Ā = A A = A A
2 BASIS 2 17. Topolojiler Toplam: (X ı, T ı ) uzaylar verilsin. ı j X ı X j = olsun. Bu ko³ulu sa layan uzaylar ailesine ayr³k (dijoint) uzaylar denir. bile³imi üzerinde T ailesini ³öyle tanmlayalm: S = T ı = {T : ( ı I) T T ı } U T U X ı T ı, (ı I) (S, T ) bir topolojik uzaydr. Gösteriniz. (Bu uzaya (X ı, T ı ) uzaylarnn topolojik toplam uzay denilir.) 18. Hiç bir has alt kümesi yo un olmayan uzay ayrk bir uzay mdr? 19. Saylabilir her alt kümesi kapal olan uzay ayrk bir uzay mdr? 2 Basis 3 Neigborhoods 1. (X, ) tam sralanm³ bir küme olsun. Her a, b X ö e çiftine kar³lk {x X : x > a}, {x X : x < b} ve {x X : a < x < b} kümeleri tanmlanyor. a, b ö eleri bütün X kümesini tarad nda elde edilecek bütün bu kümelerden olu³an ailenin X kümesi üzerinde bir topoloji taban oldu unu gösteriniz. Bu tabann üretti i topolojiye sra topolojisi denir. Bu topolojik uzayn kapal kümelerinin nasl oldu unu belirleyiniz. 2. Salt topolojiye göre R uzaynda herhangi farkl iki noktann birbirleriyle kesi³meyen birer kom³ulu u vardr; yani x, y R x < y noktalar için U V = olacak biçimde U B(x) ve V B(y) kom³uluklar vardr. 4 Seperation Axioms 1. R 2 düzleminde [a, b) [c, d) = {(x, y) a x < b, c y < d} yar-açk diktörtgenlerinin do urdu u topolojiyi T ile gösterelim. Y = {(x, y) x + y = 1} do rusu üzerindeki rasyonel koordinatl noktalarn olu³turdu u küme A olsun ve B = Y A diyelim. (i) A ve B kümeleri (R 2, T ) uzaynda kapaldr; (ii) de ildir. A ve B nin birbirinden ayrk birer kom³ulu u olamaz; yani (R 2, T ) normal bir uzay 2. Bir T 1 uzaynda sonlu bir kümenin hiç bir y lma noktas yoktur. Gösteriniz. 3. T 0 uzaynn her alt uzay da T 0 dr. Gösteriniz. 4. T 1 uzaynn her alt uzay da T 1 dr. Gösteriniz. 5. T 2 uzaynn her alt uzay da T 2 dr. Gösteriniz. 6. T 0 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 0 uzaydr. Gösteriniz. 7. T 1 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 1 uzaydr. Gösteriniz. 8. T 2 uzaynn bire-bir-örten (BBÖ) ve açk bir fonksiyon altndaki resmi de T 2 uzaydr. Gösteriniz. 9. X = {a, b, c} kümesi üzerinde T = {, X, {a}, {b, c}} topolojisi veriliyor. (X, T ) nn normal bir uzay oldu unu ama Hausdor olmad n gösteriniz. 10. X = {x R 0 < x < 1/2, 1/2 < x < 1} kümesi veriliyor. Sabit bir α [0, 1/2] ve sabit bir β [1/3, 1] gerçel saysna kar³lk T αβ = {x X α < x < β} kümesini olu³turalm. T = {T αβ 0 a 1/2, 1/2 β 1} ailesinin X üzerinde bir topoloji olu³turdu unu gösteriniz. Bu uzay normaldir, ama Hausdor de ildir. Neden?
5 FUNCTIONS 3 11. Tamamen düzenli (X, V ) uzay üzerinde tanml bütün sürekli fonksiyonlar kümesi olsun. C(X) uzaynn noktalar ayrd n gösteriniz. C(X) = {f : X (R, T ) f sürekli (2) 12. X = (R {0}) (R {1}) R 2 kümesi üzerinde (x, 0) (x, 1) x 0 ba nts veriliyor. Gösteriniz ki; (a) Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. (b) X/ bölüm uzay yerel Öklidyendir. (c) X/ bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa lar. (d) X/ bölüm uzay Hausdor de ildir. 13. Ayr³k (disjoint) Hausdor uzaylarn topolojik toplam da Hausdor uzaydr. Gösteriniz. 5 Functions 1. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 2. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 3. Topoloji inceldikçe sürekli fonksiyonlar artar, topoloji kabala³tkça sürekli fonksiyonlar azalr. 4. f(x) = tan( π 2 x) dönü³ümünün ( 1, 1) den R ye bir e³yap dönü³ümü oldu unu gösteriniz. 5. (X, T ) uzaynn ayrk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, X uzayndan her Y uzayna tanml fonksiyonlarn sürekli olmasdr. 6. Bo³ olmayan bir X kümesi veriliyor. X üzerinde öyle bir T topolojisi kurunuz ki, her (Y, S ) uzayndan (X, T ) uzayna tanml her fonsiyon sürekli olsun. Bu topolojiyi belirleyiniz. 7. f : (X, T ) (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise, X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmeder; yani olur. Gösteriniz. Ā = X f(a) = Y (3) 8. f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek, olmas f fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden? Ā = X f(a) = Y (4) 9. f : (X, T ) (Y, S ) sürekli ve örten bir fonksiyon ise T topolojisinin bir tabann S topolojisinin bir tabanna resmeder mi? Simgelerle söylersek, B ailesi T topolojisinin bir taban oldu unda f(b) ailesi S topolojisinin bir taban olur mu? Neden? 10. I : (X, T ) (X, T ) özde³lik (birim) fonksiyonu her x X için I(x) = x olan fonsiyondur. I özde³lik dönü³ümünün bir topolojik e³yap dönü³ümü (homeomorphism) oldu unu gösteriniz. 11. f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu bire-bir-içine (injective) olsun. E er f ve f 1 fonksiyonlarnn her ikisi de sürekli iseler, f fonksiyonuna bir gömme dönü³ümüdür, denilir. Bu durumda, her x X için g : X f(x) diye tanmlanan g fonksiyonu bir topolojik e³yap dönü³ümüdür (homeomorphism). Gösteriniz
6 LIMIT 4 6 Limit 1. A³a daki dizilerin herbirisinin, varsa, limit ve y lma noktalarn bulunuz: (a) Her n N için (n = 3) diye tanmlanan (a n ) sabit dizisi. (b) Belli bir n 0 indisinden sonra terimleri sabit olan dizi; yani { n, n n 0 a n = a, n > n 0, a sabit (5) biçiminde tanmlanan (a n ) dizisi. (c) Genel terimi a n = 5 5 n olan (a n) dizisi. (d) Genel terimi a n = 7 + 7 n olan (a n) dizisi. (e) Genel terimi a n = ( 1) n 1 n olan (a n) dizisi. (f) Genel terimi a n = n olan (a n ) dizisi. (g) Genel terimi a n n (mod 3) olan (a n ) dizisi. (h) f : N Q [0, 1] fonksiyonu f(n) = 1 n diye tanmlanan bire-bir-içine bir fonksiyon olmak üzere, a n = f(n) dizisi. [Böyle bir fonksiyonun varl n gösteriniz.] 2. Dizileri, genellikle, genel terimini belirten bir ifade ile yazarz. Örne in, (1/n), (n 2 ), (1/(n 2 +1)),.... Bazen de genel terimi belirli klmaya yetecek kadar terimi ard arda yazarak diziyi belirleyebiliriz Örne in, (0, 2, 4, 6, 8,...) dizisinin genel teriminin (2n) oldu u hemen görülüyor. Ama baz dizilerin genel terimini bulmak için snama-deneme yolundan ba³ka bir yöntem olmayabilir. A³a daki dizilerin genel terimlerini snama-deneme yoluyla bulunuz: (1, 4, 9, 16,...) (6) (2, 5, 10, 17, 26,...) (7) (1, 3, 6, 10, 15,...) (8) Çözümler, srasyla, a³a dadr: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Fibonacci dizisi (9) (n 2 ), (n 2 + 1), (n(n + 1)/2), (a n+2 = a n+1 + a n ) 3. Genel terimi recursive olarak (a n+2 = a n+1 + a n ) biçiminde tanmlanan Fibonacci dizisinin salt topolojiye göre raksayan bir dizi oldu unu gösteriniz. 4. Yaknsak bir dizinin her alt dizisinin de yaknsak ve ayn limite sahip oldu unu gösteriniz. 5. R üzerindeki salt topolojiye göre, bir a saysnn bir S alt kümesinin y lma noktas olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, S kümesi içinde a saysna yaknsayan ve sabit olmayan bir dizinin varl dr. Bunu simgesel olarak, a S (a n ) S : (n m (a n a m ) biçiminde yazabiliriz. Gösteriniz. 7 Compactness 1.
8 PRODUCT SPACES 5 8 Product Spaces 1. (X i, T i ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir K i X i kümesi veriliyor. K 1 K 2 K 3 K n kümesinin X 1 X 2 X 3 X n çarpm uzaynda kapal oldu unu gösteriniz. 2. A saylamayan bir küme olsun. Her α A için X α = {0, 1} kümesini tanmlayalm ve her birisi üzerinde ayrk topoloji var olsun. X = Π α A X α = {0, 1} A (10) kartezyen çarpm kümesi üzerinde X α uzaylarnn çarpm topolojisi konulmu³ olsun. imdi p = (p α ) X noktasn her α A için p α = 1 olacak biçimde seçelim. q = (q α ) X noktasn ise saylabilir saydaki α indisi d³nda q α = 0 olacak biçimde seçelim; yani ancak saylabilir saydaki bile³eni 1 e e³it olsun. Bu durumda, gösteriniz ki, (a) p noktasnn saylabilir bir kom³uluklar taban yoktur. (b) Kapsama ba ntsna göre sralanm³ bir kom³uluklar taban yoktur. (c) K = X ve H kümesi K nn saylabilir bir alt kümesi ise H K olur. (d) K içinde p noktasna yaknsayan bir a bulunuz. (e) Her λ Λ için bir X λ uzay ile bunun bir A λ X λ alt-kümesi verilmi³ olsun. A = ΠA λ, λ Λ kartezyen çarpmn dü³ünelim. i. E er A λ kümeleri açk ve hemen her λ Λ için A λ = X λ ise A kümesinin çarpm uzayda açk oldu unu biliyoruz. Bunun kar³tnn da do rulu unu gösteriniz. ii. A kartezyen çarpmnn kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A λ çarpanlarnn herbirisinin kapal olmasdr. Gösteriniz. Buradan e³itli ini çkarnz. Ā = ΠĀλ, λ Λ iii. A kümesi ne zaman çarpm uzay içinde yo un olur? (f) Her n do al says için X n kümesi 0 ile 1 ö elerinden olu³an kümeye e³it olsun; yani X n = {0, 1} olsun. Bu kümeler üzerinde ayrk topolojiyi varsayalm. imdi X = ΠX n, n N çarpm uzayn dü³ünelim. Her n do al says için V n = {0} kümesi çarpan uzaylarda açktr. Ama V = ΠV n, n N, kartezyen çarpm, çarpm uzay içinde açk bir küme de ildir. Gösteriniz. (g) X ile Y iki topolojik uzay ve A B ile B Y kapal iseler A B nin çarpm uzayda kapal oldu unu gösteriniz. (h) X ile Y iki topolojik uzay ve W X Y çarpm uzayda açk ise i. π 1 (W ) X ile π 2 (W ) Y izdü³ümlerinin açk kümeler oldu unu gösteriniz. ii. Yukardaki özeli in kapal kümeler için genel olarak sa lanmad n bir örnekle gösteriniz. (i) (X i, T i ) uzaylarnn herbiri içinde kapal olan bir K i X i kümesi veriliyor. K 1 K 2 K 3 K n kümesinin X 1 X 2 X 3 X n çarpm uzaynda kapal oldu unu gösteriniz. (j) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn örten oldu unu gösteriniz. (k) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn sürekli oldu unu gösteriniz. (l) Çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlarnn açk oldu unu gösteriniz. (m) f : (X, T ) (Y, S ) fonksiyonu X uzaynn yo un alt kümelerini Y uzaynn yo un alt kümelerine resmederse, sürekli midir? Simgelerle söylersek, olmas f fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir mi? Neden? Ā = X f(a) = Y (11)
9 QUOTIENT SPACES 6 9 Quotient Spaces 1. ϕ : X Y bir bölüm dönü³ümü ise, ϕ nin bir doymu³ açk ya da kapal alt kümeye kstlanm³ da bir bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 2. X bir topolojik uzay ise = {(x, x) : x x} X X (12) kö³egeninin X X çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul X uzaynn Hausdor olmasdr. 3. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani (X i, T i ) uzaylar verilmi³se pi i : X 1 X 2 X 3 X n X i (i = 1, 2, 3,..., n) dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 4. X bir topolojik uzay ise = {(x, x) : x x} X X (13) kö³egeninin X X çarpm uzaynda kapal olmas için gerekli ve yeterli ko³ul X uzaynn Hausdor olmasdr. 5. Bir çarpm uzaydan bile³en uzaylara tanml izdü³üm fonksiyonlar birer bölüm dönü³ümüdür; yani (X i, T i ) uzaylar verilmi³se π i : X 1 X 2 X 3 X n X i (i = 1, 2, 3,..., n) dönü³ümleri birer bölüm dönü³ümüdür. Gösteriniz. 6. X = (R {0}) (R {1}) R 2 kümesi üzerinde (x, 0) (x, 1) x 0 ba nts veriliyor. (a) Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. (b) X/ bölüm uzay yerel Öklidyendir. (c) X/ bölüm uzay kinci saylabilme Aksiyomu'nu sa lar. (d) X/ bölüm uzay Hausdor de ildir. oldu unu gösteriniz. 7. Sonlu sayda açk dönü³ümlerin çarpm açk bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 8. Sonlu sayda kapal dönü³ümlerin çarpm kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 10 Connected Spaces 1. X ba lantl bir uzay ve C ba lantl bir alt uzay olsun. A X kümesi için A C ve A C ise, A C oldu unu gösteriniz. 2. A³a daki kümelerin R içinde,salt topolojiye göre, tamamen ba lantsz olduklarn gösteriniz: (a) Cantor kümesi.
11 COMPARISONS OF TOPOLOGIES 7 (b) Rasyonel saylar kümesi. (c) rrasyonel saylar kümesi 3. X uzaynn ba lantl bile³enlerinin kümesini X ile gösterelim. X üzerinde bölüm topolojisi var olsun. X bölüm uzaynn tamamen ba lantsz oldu unu gösteriniz. 4. Tamamen ba lantsz uzayn her alt uzay da tamamen ba lantszdr. Gösteriniz. 5. Tamamen ba lantsz uzaylarn çarpm uzay da tamamen ba lantszdr. Gösteriniz. 6. R n içinde,salt topolojiye göre, açk ve ba lantl iki alt kümenin arakesiti ba lantl olmayabilir. Bir örnekle gösteriniz. 11 Comparisons of Topologies 1. Bir X kümesi üzerideki T 1 ve T 2 topolojileri arasnda T 1 T 2 ba nts var ise T 1 T 2 ba ntsnn da oldu unu gösteriniz. 2. kinci Saylabilme Aksiyomunu sa layan uzay, Birinci Saylabilme Aksiyomunu da sa lar. Gösteriniz. 3. 12 Metric Spaces 1. 13 Nets 1. Do al saylar kümesinin ba ntsna göre yönlenmi³ bir küme oldu unu gösteriniz. 2. Tanm?? deki (iii) ko³ulu yerine daha güçlü olan a³a daki ko³ulun konulabilece ini gösteriniz: Sonlu sayda λ 1, λ 2,..., λ n Λ ö elerine kar³lk e³itsizlikleri sa layan bir λ Λ ö esi vardr. λ 1 λ, λ 2 λ,..., λ n λ 3. X, T ) uzaynda x noktasnn B(x) kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir sistem oldu unu gösteriniz. 4. Kapal [a, b] aral nda bir f fonksiyonunun Riemann integrali tanmlanrken [a, b] aral nn a = a 0 < a 1 < a 2 < a 3 <... < a n = b (14) bölüntüleri kurulur ve en büyük [a i 1, a i ] alt aral nn uzunlu u sfra giderken, Riemann toplamlarnn inf ve sup de erlerinin olup olmad na baklr. Alt aralklar iç-içe olan (??) bölüntülerinin yönlenmi³ bir sistem olu³turduklarn gösteriniz. 5. X kümesi üzerinde T 1 T 2 ko³ulunu sa layan T 1 ve T 2 topolojileri varsa, bir a n bu topolojilere göre yaknsamalar arasndaki fark nedir? 6. çindeki her a her noktasna yaknsyorsa, uzay ayrk de ildir. Gösteriniz. 7. Ayrk bir uzay a larn yaknsamas ile belirleyebilir misiniz? 8. (x λ ) a x limitine yaknsyorsa, her alt a nn da ayn noktaya yaknsad n gösteriniz. 9. X kümesi üzerinde T 1 ve T 2 topolojileri veriliyor. T 1 T 2 olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, T 2 topolojisine göre yaknsak olan a n T 1 topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz. 10. X kümesi üzerinde T 1 ve T 2 topolojileri veriliyor. T 1 T 2 olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, T 2 topolojisine göre yaknsak olan a n T 1 topolojisine göre de yaknsak olmasdr. Gösteriniz.
14 FILTERS 8 11. Önerme?? yi ispatlaynz. 12. {X ı ı I} topolojik uzaylarnn çarpm uzay X = Π ı I X ı olsun. X içinde bir (x λ ), λ Λ, a verilsin. Tabii bu a n her x λ ö esi X = Π ı I X ı çarpm uzaynn bir ö esi oldu undan x λ = (x λı ), ı I, x λı X ı biçiminde olacaktr. Bu demektir ki, ı sabit klnd nda, her X ı bile³eni (çarpan uzay) üzerinde bir (x λı ), λ Λ a olu³ur. Gösteriniz ki (x λ ) a nn bir x = (x ı ) X noktasna yaknsamas için gerekli ve yeterli ko³ul her ı I için X ı bile³eni üzerindeki {(x λı ) : λ Λ} a nn x ı X ı noktasna yaknsamasdr. 14 Filters 1. Yalnzca iki ö esi olan X = {x, y} kümesi üzerinde ayrk olmayan topoloji var olsun. (a) S = {{x}, {x, y}} ailesinin bir süzgeç oldu unu gösteriniz. (b) S süzgecinin hem x, hem y noktasna yaknsad n gösteriniz. (c) Buradan, bir süzgecin limitinin tek olmayabilece i sonucunu çkarnz. 2. Sonlu bir X kümesi üzerindeki her U a³kn süzgeci için U = {A : A X, x A} olacak ³ekilde bir x X noktas vardr. Gösteriniz. 3. X kümesi içinde (x λ ), (λ Λ) a verilsin. Her ı için F ı = {x j : j ı} kümesi tanmlanyor. (a) F = {F ı : ı I} ailesinin X kümesi üzerinde bir süzgeç taban olu³turdu unu gösteriniz. (b) x ı p F p oldu unu gösteriniz. 4. F P(X) süzgeç taban verilsin. F üzerinde ba nts a³a daki gibi tanmlanyor: U V U V (a) (F, ) sisteminin tikel sral bir sistem oldu unu gösteriniz. (b) Her (x U ) U F Π U F U ö esinin X içinde (x U ) U F X a n belirledi ini gösteriniz. (c) Bu ³ekilde seçilen her (x U ) U F X a için oldu unu gösteriniz. F p x U p 5. Birinci saylabilme Aksiyomunu sa layan (X, T ) topolojik uzaynn bir A X alt kümesi veriliyor. x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A kümesi içinde x ö esine yaknsayan bir (x n, (n N) dizisinin olmasdr. Gösteriniz. 6. (X, T ) topolojik uzaynn bir A X alt kümesi veriliyor. (a) x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul A kümesi içinde x ö esine yaknsayan bir (x λ), (λ Λ) a nn olmasdr. Gösteriniz. (b) Yukarda "a " yerine "dizi" konulursa ne olur? (c) x Ā olmas için gerekli ve yeterli ko³ul P(A) içinde x ö esine yaknsayan bir F süzgecinin olmasdr. Gösteriniz. 7. X kümesi üzerindeki en küçük süzgeç hangisidir? 8. X kümesinin birden çok ö esi varsa, bu küme üzerindeki süzgeçler ailesinin en büyük ö esi yoktur.
15 COMPACT SPACES 9 15 Compact Spaces 1. X tkz ve Y Hausdor ise sürekli f : Y fonksiyonu kapaldr. Gösteriniz. 2. Y tkz ise π 1 : X Y Y izdü³ümü kapal bir dönü³ümdür. Gösteriniz. 3. Y tkz ve hausdor ise f : X Y dönü³ümünün sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul gra inin X Y içinde kapal olmasdr. G f = {(x, f(x)) : x X} 4. f : X Y dönü³ümü kapal, sürekli ve bire-bir-örten olsun. Y tkz oldu unda, her y Y için f 1 ({y}) X tkz ise, X uzaynn da tkz oldu unu gösteriniz. 5.