KATEGOR TEOR S. Yüksek Lisans Ders Notlar Prof. Dr. smet KARACA

Transkript

1 KATEGOR TEORS Yüksek Lisans Ders Notlar 2010 Prof. Dr. smet KARACA

2 1

3 çindekiler 1 KATEGORLER Somut Kategori Soyut Kategori Di er Kategori Tanm Yeni Kategoriler Bölüm Kategorileri Kategoriler Çarpm Kategoriler Toplam Zt(Dual) Kategoriler Duallik Prensibi Ok (Arrow) ve Üçgen (Triangle) Kategorileri Virgül (Comma) Kategorileri ÖZEL MORFZMLER VE ÖZEL NESNELER Kesit (Section), Retraksiyon (retraction) ve zomorzm Kesit Retraksiyon zomorzm Monomorzm, Epimorzm ve Bimorzm Monomorzm (Monomorphsim) Epimorzm Bimorzm Alt Nesneler ve Bölüm Nesneleri Ba³langç, Biti³ ve Sfr nesneleri Ba³langç nesnesi Biti³ nesnesi Sfr nesnesi Sabit Morzmler, Sfr Morzmler ve Noktal Kategoriler

4 3 FUNKTORLAR VE DO AL DÖNÜ ÜMLER Funktorlar Hom Funktoru Hom-Tipi Funktor Örnekleri Kategoriler Kategorisi Funktor Özellikleri Funktorlarda Duallik Somut Kategori Tanm Do al Transformasyonlar ve Do al zomorzmler Yldz Çarpm (Star Product) Funktorlar zomorzmas ve Kategoriler Denkli i Funktor Kategorileri KATEGORLERDE LMT E³itleyici (Equalizer) ve E³e³itleyici (Coequalizer) Regüler Monomorzmler Çekirdek Arakesitler ve Çarpanlar Arakesitler Çarpanlar ve Ekstrem Morzmler Çarpm ve E³-çarpm Kaynaklar (Source) ve Batrmalar (Sink) Mono-Kaynaklar Epi-batrmalar Ayrclar (Seperators) ve E³-ayrclar (Co-Seperators) Daha kuvvetli küçüklük art Kaynaklar ve Batrma Çarpanlar Limit ve E³limit Geri Çekilim (Pullback) ve leri tme (Pushout) Geri Çekilimlerin Özel Morzmlerle Ba nts Kongrüanslar Ters ve Direkt Limitler Tam (Complete) Kategoriler Tamlk Karakterizasyonu EVRENSEL DÖNÜ ÜMLER ADJONT FUNKTORLAR Adjointlerin Varl

5 7 KÜME DE ERL FUNKTORLAR Hom Funktorlar TEMSL EDLEBLEN FUNKTORLAR ALT NESNELER, BÖLÜM NESNELER VE FAKTORZASYONLAR (E,M) Kategoriler (EPI,EKSTREM MONO) VE (EKSTREM EPI, MONO) KATEGORLER

6 Bölüm 1 KATEGORLER Kategori teorisi bütün gruplarn snf ve homomorzmlerle bütün topolojik uzaylarn snf ve sürekli fonksiyonlar, ve üstelik yap kümelerinin di er snar ve yap koruyan fonksiyonlar kar³la³trr. Kategori çal³mamzn esas nedeni, di er soyut matematik derslerindeki gibi kategori teorisinin de yeni bir dil üretmesi- dü³ünce ve ifade bakmndan ekonomik oldu u kadar farkl alanlarda çal³anlar arasndaki ileti³imi kolayla³tran; genel temel kirler altnda yatan çe³itli ba lantsz teorem ve yaplar yüzeye çkaran; ve böylece eski problemlere yeni bir anlam kazandran bir dil olmasdr. A³a daki ifadeler arasndaki benzerlikleri göz önüne aldktan sonra, böyle yeni bir dile duyulan ihtiyaç açkça görülebilir. 1) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 izdü³üm fonksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 kümelerinin kartezyen çarpm a³a daki özelli e sahiptir: C herhangi bir küme ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 fonksiyonlar ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 yani; A 1 π 1 A 1 A 2 f 1 f C π 2 A 2 diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 fonksiyonu vardr. f 2 5

7 b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir küme P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2, yani; A 1 π 1 A 1 A 2 ρ 1 g P π 2 A 2 ρ 2 diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 bijeksiyonu vardr. 2) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 izdü³üm homomorzmleri ile birlikte A 1 ve A 2 gruplarnn A 1 A 2 direkt çarpm a³a daki özelli e sahiptir: C herhangi bir grup ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 homomorzler ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 homomorzmi vardr. b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 homomorzmleri ile birlikte herhangi bir grup P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2 olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 izomorzmi vardr. 3) a. π 1 : A 1 A 2 A 1 ve π 2 : A 1 A 2 A 2 sürekli izdü³üm fonksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 topolojik uzaylarnn A 1 A 2 topolojik çarpm a³a daki özelli e sahiptir : C herhangi bir topolojik uzay ve f 1 : C A 1 ve f 2 : C A 2 sürekli fonksiyonlar ise, bu takdirde π 1 f = f 1 ve π 2 f = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : C A 1 A 2 sürekli fonksiyonu vardr. b. π 1 ve π 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelliklere sahip ρ 1 : P A 1 ve ρ 2 : P A 2 sürekli fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir topolojik uzay P ise, bu takdirde π 1 g = ρ 1 ve π 2 g = ρ 2 olacak ³ekilde bir g : P A 1 A 2 homeomorzmi vardr. Snandrma yaplrsa; 6

8 Genel nesneler Küme Grup Topolojik Uzay Morzmler Fonksiyon Homomorzm Sürekli Fonksiyon zomorm Bijeksiyon zomorzm Homeomorzm Çarpm Kartezyen Çarpm Direkt Çarpm Topolojik Çarpm 4) a. µ 1 : A 1 A 1 A 2 ve µ 2 : A 2 A 1 A 2 injeksiyonlar ile birlikte A 1 ve A 2 kümelerinin A 1 A 2 ayrk birle³imi a³a daki özelliklere sahiptir: C herhangi bir küme ve f 1 : A 1 C ve f 2 : A 2 C fonksiyonlar ise, bu takdirde f µ 1 = f 1 ve f µ 2 = f 2 olacak ³ekilde bir tek f : A 1 A 2 C fonksiyonu vardr, yani; A 1 µ 1 f 1 A 1 A 2 f C µ 2 A 2 f 2 b. µ 1 ve µ 2 ile birlikte A 1 A 2 için (a)'da tanmlananla ayn evrensel özelli e sahip v 1 : A 1 P ve v 2 : A 2 P fonksiyonlar ile birlikte herhangi bir küme P ise, bu takdirde g µ 1 = v 1 ve g µ 2 = v 2 olacak ³ekilde bir tek bijektif g : A 1 A 2 P fonksiyonu vardr,yani; A 1 µ 1 v 1 A 1 A 2 g P µ 2 A 2 v 2 7

9 1.1 Somut Kategori Tanm O nesneler snf, U morzm snf ve bu morzmler arasndaki hom i³leminden olu³an ve a³a daki özellikleri sa layan C(O, U, hom) üçlüsüne somut kategori denir: (i) Elemanlar C-nesneler olarak adlandrlan O snf; (ii) Her bir C-nesnesi A için A nn underlying cümlesi U(A), küme de- erli bir fonksiyon U : O U; (iii) Her C-nesneler ikilisi (A, B) için hom : O O U küme de- erli fonksiyon, A domain ve B codomain olmak üzere hom(a, B), tüm C- morzmlerinin kümesi iken: 1) Her C-nesneler ikilisi (A, B) için hom(a, B), U(A) dan U(B) ye tüm fonksiyonlarn bir alt kümesidir. 2) Her bir C-nesnesi A için U(A) kümesi üzerindeki özde³lik fonksiyonu 1 U(A), hom(a, A) nn bir elemandr. 3) Her C-nesneler üçlüsü (A, B, C) için, f hom(a, B) ve g hom(b, C) ise, g f hom(a, C) (burada, fonksiyonlarn bile³kesini gösterir). Örnek (1) Kümeler Kategorisi (Set) Nesneler : Kümeler Morzm : U : U(A) U(B) fonksiyonlar 8

10 hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye fonksiyonlarn kümesi i) 1 U(A) : U U birim fonksiyondur. ii) hom(a, B) U(B) U(A) (2) Gruplar Kategorisi (Grp) Nesneler: Gruplar Morzm: Homomorzm hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye homomorzmlerin kümesi (3) Topolojik Uzaylar Kategorisi (Top) Nesneler: Topolojik uzaylar Morzm: Sürekli fonksiyonlar hom: O O U (A, B) hom(a, B) A dan B ye sürekli fonksiyonlarn kümesi (4) Di er Kategoriler Mod-R R-modüller ve modül homomorzmleri POS Ksmi sral kümeler ve monoton fonksiyonlar Lat Kafesler ve kafes homomorzmleri BooAlg Boolean cebirleri ve boolean homomorzmleri Ab Abel gruplar ve grup homomorzmleri Mon Monoidler ve birimi koruyan yar grup homomorzmleri Rng Halkalar ve halka homomorzmleri Field Cisimler ve cisim homomorzmleri 9

11 R-Alg R-cebirleri ve R-cebir homomorzmleri TOP 2 Hausdor uzaylar ve sürekli fonksiyonlar CRegT 2 Tamamen regüler Hausdor uzaylar ve sürekli fonksiyonlar TopGrp Topolojik gruplar ve sürekli homomorzimler LinTop Lineer topolojik Hausdor uzaylar ve sürekli lineer dönü³ümler NLinSp Normlu lineer uzaylar ve snrl lineer dönü³üm BanSp 1 Kompleks Banach uzaylar ve snrl lineer dönü³ümler BanSp 2 Kompleks Banach uzaylar ve normlu lineer dönü³ümler CBanAlg De i³meli kompleks Banach cebirleri(birimli) ve normlu cebir homomorzmleri (5)Nesnelerinin snf U olan kümeler ve injektif (srasyla sürekli,bijektif) fonksiyonlar kategorisi. U : U U özde³lik fonksiyonudur ve hom(a, B) A dan B ye bütün injektif (srasyla sürekli,bijektif) fonksiyonlarn kümesidir. (6) A ve B uzaylar için hom(a, B), A dan B ye bütün açk fonksiyonlarn kümesi olmak üzere nesneleri topolojik uzaylar olan topolojik uzaylar ve açk fonksiyonlar kategorisi. (7)pSet kategorisi, A bir küme ve a A olmak üzere nesneleri bütün (A, a) ikilileri olan; U((A, a)) = A ve hom((a, a), (B, b)) = {f f : A B ve f(a) = b} olan kategoridir. pset genellikle baz noktal kümeler kategorisi ya da seçilmi³ nokta kümeler kategorisi olarak adlandrlr. Benzer ³ekilde noktal topolojik uzaylarn kategorisi olan ptop ve; a 0, a 1 A ve morzmler ayrk elemanlar koruyor, yani f(a 0 ) = b 0 ve f(a 1 ) = b 1 olmak üzere nesneleri (A, a 0, a 1 ) üçlüleri olan bi-noktal küme kategorisi elde edilebilir. 10

12 1.2 Soyut Kategori Tanm Bir kategori; (i) O, elemanlar C-nesneler olarak adlandrlan bir snf, (ii) M, elemanlar C-morzmler olarak adlandrlan bir snf, (iii) dom ve cod, M den O ya fonksiyonlar ((dom(f), f nin domaini ve cod(f) f nin codomaini olarak adlandrlr) olmak üzere a³a daki ³özellikleri sa layan bir (O, M, dom, cod, ) be³lisidir: 1) E³leme Özelli i: f g tanml ise, bu takdirde dom(f g) = dom(g) ve cod(f g) = cod(f). 2) Birle³me Özelli i: f g ve h f tanml ise, bu takdirde h (f g) = (h f) g. 3) Birim Varlk Özelli i: Her bir C-nesnesi A için dom(e) = A = cod(e) ve a) f e tanml ise, f e = f b) e g tanml ise, e g = g olacak ³ekilde bir e : A A C-morzmi vardr. 4) Morzm Snfnn Küçüklük Özelli i: C-nesnelerinin herhangi bir (A, B) ikilisi için; hom C (A, B) = {f f M, dom(f) = A ve cod(f) = B} snf bir kümedir. 11

13 Önerme C bir kategori ve A bir C-nesne olsun. A³a daki özellikleri sa layacak ³ekilde bir tek e : A A C-morzmi vardr: a) f e tanml olmas durumunda f e = f. b) e g tanml olmas durumunda e g = g. spat: Yukardaki özelli i sa layan iki morzm e ve ê olsun. Bu takdirde (a)'dan ê e = ê ve (b)'den ê e = e. Böylece ê = ê e = e ê = e elde edilir. Tanm C-kategorisinde bir nesne A olmak üzere yukardaki iki özelli i sa layan bir tek e : A A C-morzmine A nn C-birimi denir ve 1 A ile gösterilir. Tanm C bir kategori olsun. 1) C kategorisinin nesneleri kümeler ise, C katogorisine küçük(small) kategori denir. 2) C kategorisine ait bütün morzmler birim morzm ise, C kategorisine discrete kategori denir. 3) her bir C-nesneler ikilisi (A, B) için hom C (A, B) ise, C kategorisine ba lantl(connected) kategori denir. Örnek (1) Somut(concrete) Kategori Nesneleri: O nesneler snf Morzmleri: hom(a, B) ³lem: Fonksiyonlarda al³lm³ bile³ke i³lemi Bundan sonra somut ve soyut kategori arasnda ayrm yapmayaca z. (2)Kümeler ve Ba ntlar Kategorisi 12

14 Nesneleri: Bütün kümelerin snf Morzmleri: A dan B ye bütün ba ntlarn kümesi ³lem: Ba ntlardaki al³lm³ bile³ke i³lemi (3)TopBun : Topolojik demetler (Topological bundles) Kategorisi Nesneleri: (X, p, B) (X ve B topolojik uzay, p : X B sürekli dönü- ³üm) Morzmleri: (X, p, B) den (X, p, B ) ye morzmleri, r : X X ve s : B B sürekli dönü³ümler ve p r = s p olmak üzere (r, s) ikililerinden olu³ur. (4)R-Matris Kategorisi Nesneleri : pozitif tamsaylar Z + Morzmleri : Katsaylar R de olan tüm n m matrislerinin hom(m, n) kümesi ³lem: Matrislerdeki al³lm³ çarpma i³lemi (5) Abel Gruplar Zincir Kompleksler Kategorisi Her bir i Z için G i bir abel grup, d i : G i G i 1 Ab'deki bir morzm ve d i 1 d i = 0 olacak ³ekilde, Z tam saylar tarafndan indislenen (G i, d i ) i Z ailesine abel gruplarnn bir zincir kompleksi denir. Nesneleri : Tüm Abel gruplarnn zincir kompleksler snf Morzmleri : f : (G i, d i ) i Z (G i, d i) i Z, her bir i Z için f i : G i G i 13

15 Ab'deki bir morzm ve d G i i G i 1 f i G i d i f i 1 G i 1 kare diagram de i³meli olacak ³ekilde f = (f i ) i Z indisli ailesi ³lem: (f i ) (g i ) = (f i g i ) (6) Quasi-sral (Quasi-Ordered) Snar Kategorisi; Nesneleri: G ksmi sral olmak üzere G nin elemanlar Morzmleri: A B ise, bir eleman içerir, aksi halde bo³ kümedir. hom C (A, B) = {f f : A B morzmi tektir,a B} hom C (B, A) = Benzer ³ekilde, ksmi-sral snf (ya da toplam-sral snf ) n bir kategori belirtmesi için gerek ve yeter ko³ul her bir C-nesneler ikilisi (A, B) için hom C (A, B) hom C (B, A) en fazla (ya da sadece) bir eleman içermesidir. (7) Monoid Nesneleri : Sadece bir G nesnesi vardr Morzmler : G nin elemanlar ³lem: Yar gruptaki bile³ke i³lemi Tersine, sadece bir nesnesi olan herhangi bir kategori monoid olarak ifade edilebilir. (8) Bir kategori sadece birkaç morzme sahip ise, nesnelerin tümünü noktalar ve birim olmayan morzmleri oklarla göstererek kategoriyi bir diyagramn terimleriyle ifade edebiliriz. 14

16 ve kategoriler olarak göz önüne alnabilirdir, fakat; ne ne de kategori olamaz. (9) n-kategorisi Her bir n do al says için {0, 1, 2,..., n 1} kümesi, al³lm³ sralama ile birlikte bir kategoridir. Böylece özel küçük kategorilere sahip oluruz. 0=Bo³ kategori 1= 2= 0 1 3= =

17 1.3 Di er Kategori Tanm Herhangi bir C-kategorisinde C-nesneleri ve C-birim morzmleri arasnda A 1 A birebir e³leme olmas nedeniyle önceki tanmmza denk, fakat nesnelerden ba msz olan a³a daki tanm verece iz. Önerme (Birim Karakterizasyonu) Bir C kategorisindeki herhangi bir e morzmi için a³a daki özellikler denktir: 1) e bir C-birimdir. 2) f e tanml olmas durumunda f e = f. 3) e g tanml olmas durumunda e g = g. spat: C-birimin tanmndan (1) (2) ve (1) (3) vardr. (2) (1) : (2)'nin do ru oldu unu varsayalm. Kategorinin tanmndan h : cod(e) cod(e) birim morzminin var oldu unu biliyoruz. Dolaysyla (2)'den h birimdir. Üstelik e = h e = h. Bu da bize (2) (1) oldu unu verir. Benzer ³ekilde (3) (1) vardr. Tanm i) Bir M snf üzerindeki ksmi i³lem, M M nin bir alt kümesinden M nin içine giden bir σ fonksiyonudur: σ:m M M (f, g) σ(f, g) = fσg ii) g M için (g, e) ikilisinin σ nn domainine ait olmas durumunda (yani, gσe tanml iken) gσe = g ve eσg tanml iken eσg = g ise, e M ye birim morzm denir. 16

18 Not Herhangi bir C = (O, M, dom, cod, ) kategorisi için bile³ke i³lemi M üzerinde bir ksmi i³lemdir. Tanm Bir C-kategorisi, M morzmler snf, ve M üzerinde bir ksmi i³lem olmak üzere (M, ) ikililierinden olu³ur. Buradaki ksmi i³lem a³a daki özellikler sa lamaldr: 1) Çak³ma (Matching) Özelli i: Her f, g, h M için f g ve g h tanml ise, bu takdirde f (g h) ve (f g) h tanmldr. 2) Birle³me Özelli i: Her f, g, h M için f g ve g h tanml ise (f g) h = f (g h). 3) Birimin Varlk Özelli i: f M morzmi için, e C f ve f e D tanml olacak ³ekilde e C ve e D birim morzmleri vardr. e C f = f ve f e D = f. 4) Morzm Snfnn Küçüklük Özelli i: e C, e D M birimleri için snf bir kümedir. ALI TIRMALAR {f M e C f ve f e D tanml} 1. Bir C kategorisi dicretedir ancak ve ancak her A, B Ob(C) için, A B; hom(a, B) = {1 A }, A = B. spatlaynz. 2. Hem ba lantl hem de discrete olan tüm kategorileri belirleyiniz. 3. C = (O, M, dom, cod, ) bir kategori olsun. A³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) C small'dur. (b) O bir kümedir. 17

19 (c) M bir kümedir. (d) dom bir kümedir. (e) cod bir kümedir. (f) bir kümedir. 4. Objelerinin snf sonlu olmayan bir small kategori örne i veriniz. 5. C kategorisinin objelerinin snf, morzmlerinin snf, domain ve codomain fonksiyonlar D kategorisininkilerle ayn olacak ³ekilde C ve D kategorilerini olu³turunuz. 1.4 Yeni Kategoriler Tanm E er a³a daki özellikler mevcutsa B kategorisine, C-kategorisinin alt kategorisi denir: 1) Ob(B) Ob(C) 2) Mor(B) Mor(C) 3) B kategorisindeki domain, codomain ve bile³ke fonksiyonlar C kategorisindekilerin kstlanm³dr. 4) Her B-birim, bir C-birimdir. Not (2) ve (3) ko³ullar, B-nesnelerin her bir (A, B) ikilisi için, hom B (A, B) hom C (A, B) olmasn gerektirir. Tanm Bir C-kategorisinin bir alt kategorisi B olsun. Tüm A, B Ob(B) için, hom B (A, B) = hom C (A, B) ise, B kategorisine C kategorisinin dolu (full) alt kategorisi denir. 18

20 Örnek (1) Her kategori, kendisinin bir dolu alt kategorisidir. (2)B = F initesets kategorisi, C = Sets kategorisinin dolu alt kategorisidir. i) Ob(B) Ob(C) ii) Mor(B) Mor(C) iii) A, B sonlu kümeler olmak üzere; cod : M O f cod(f) Ob(B) iv) A sonlu bir küme olmak üzere 1 A : A A B-birim iken ayn zamanda A Ob(B) A Ob(C) oldu undan 1 A C-birimdir. (3) B-kategorisinin, nesneleri: Kümeler Morzmleri: njektif Fonksiyonlar ³lem: Bilinen Bile³ke ³lemi ve C = Sets olmak üzere B-kategorisi, C = Sets kategorisinin bir alt kategorisidir, fakat dolu de ildir. Çünkü hom B (A, B) hom C (A, B). (4) B =Ab, C =Grp olsun. Her abel grup ayn zamanda grup oldu undan Ab, Grp un alt kategorisidir. Ayrca hom B (A, B) = hom C (A, B) e³itli i var oldu u için Ab, Grp kategorisinin dolu alt kategorisidir. hom B (A, B) hom C (A, B) zaten sa lanr. Tersinin mevcut olup olmad n inceleyelim: Abel grup ve Grup durumlarndaki homomorzmler çak³t ndan istenen e³itlik sa lanr. Grp, Mon kategorisinin dolu alt kategorisidir. Mon, SGrp kategorisinin alt kategorisidir, ama dolu de ildir. R-Mod, Grp kategorisinin alt kategorisidir, ama dolu de ildir; çünkü hom R Mod (A, B) hom Grp (A, B). (5) Grp, Top, pset, Pos, Lat kategorilerinin hiçbiri Sets kategorisinin 19

21 alt kategorisi de ildir. Neden?(Fakat, her somutla³trlabilir kategori Sets kategorisinin bir alt kategorisine izomorktir.) 1.5 Bölüm Kategorileri Tanm C bir kategori, C kategorisindeki morzmler snf üzerinde bir denklik ba nts olsun. A³a dakiler mevcut ise, denklik ba ntsna C üzerinde kongrüans denir: 1) A, B Ob(C) için altndaki her denklik snf hom(a, B) tarafndan içerilmelidir. 2) f f ve g g g f g f. Önerme , C kategorisi üzerinde bir kongrüans olsun. A³a da tanmlanan i³lemi ile birlikte C kategorisindeki morzmlerin denklik snarnn D snf bir kategoridir; Burada; g f = g : altnda g nin denklik snf, f : altnda f nin denklik snf, g f g f : altnda g f nin denklik snfdr. Tanm , C kategorisi üzerinde bir kongrüans olsun. Yukarda tanmlad mz (D, ) kategorisine 'ya göre C'nin bölüm kategorisi denir. C/ ile gösterilir. Not i) Bir C kategorisinin bölüm kategorisi, C kategorisindeki nesnelere sahiptir. 20

22 ii) Denklik ba nts ile farkl nesneler olu³turuldu unda bölüm kategorisi olu³maz. Örnek (1) C herhangi bir kategori olsun ve ba ntsn a³a daki gibi tanmlayalm: f g dom(f) = dom(g) ve cod(f) = cod(g). Bu durumda C/ bir ksmi sral snftr. (2) C = Top olsun ve ba ntsn a³a daki gibi tanmlayalm: f g f, g ye homotoptur., C nin morzmler snf üzerinde bir kongrüanstr. Top/ bir bölüm kategorisidir. htop Top/. 1.6 Kategoriler Çarpm Tanm C 1, C 2,..., C n kategoriler olsun. f i, g i Mor C i, i = 1, 2,..., n morzmleri için bile³ke i³lemi: (f 1, f 2,..., f n ) (g 1, g 2,..., g n ) = (f 1 g 1, f 2 g 2,..., f n g n ) ³eklinde tanmlansn. Tanmlanan bile³ke i³lemi ile; Mor C 1 Mor C 2... Mor C n morzmler snfnn çarpmna C 1, C 2,..., C n kategorilerin çarpm denir. Önerme Kategorilerin çarpm da kategoridir. 21

23 1.7 Kategoriler Toplam Tanm C 1, C 2,..., C n kategoriler olsun. f ve g morzmleri için bile³ke i³lemi, (f, i) (g, j) = (f g, i) i = j ³eklinde tanmlansn. Morzmler snfnn Mor C 1 Mor C 2... Mor C n ayrk birle³imine C 1, C 2,..., C n kategorilerinin toplam denir ve C 1 C2... Cn ³eklinde ifade edilir. Önerme Kategoriler toplam da kategoridir. Tanm Snarn bir (A 1, A 2,..., A n ) ailesinin A 1 A 2... A n ayrk birle³imi; (A 1 {1}) (A 2 {2})... (A n {n}) snfdr. 22

24 1.8 Zt(Dual) Kategoriler Tanm C = (O, M, dom, cod, ) herhangi bir kategori olsun. i³lemi, f g = g f ³eklinde tanml olmak üzere C op = (O, M, dom, cod, ) kategorisine C kategorisinin zdd (ya da duali) denir. C op ile gösterilir. Önerme Herhangi bir kategorinin duali de kategoridir. Önerme Herhangi bir C kategorisi için (C op ) op = C. 1.9 Duallik Prensibi P, bir C kategorisinin morzm ve nesnelerini içeren bir özellik ise onun duali olan P op özelli i C op kategorisinin özelli ine kar³lk gelir; di er bir de i³le, oklar tersine çevirerek P den elde edilen özelliktir. Örne in; C deki bir X nesnesinin P (X) özelli i a³a daki gibi olsun: "C nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : Y X C-morzmi vardr." Buna C op de kar³lk gelen özellik ³u ³ekilde olacaktr: "C op nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : Y X C op -morzmi vardr." Bu özelli i C için bir özelli ie çevirirsek, P op yi elde ederiz: 23

25 "C nin herhangi bir Y nesnesi için bir tek f : X Y C-morzmi vardr." Örne in; Set kategorisinde yukardaki P (X) özelli i geçerlidir X bir tek nokta kümesidir ve P op (X) geçerlidir X bo³ kümedir. Bir P kavramnn P op dual kavram genellikle "co-p " ile gösterilir. Bir P kavram için P = P op ise, self dual olarak adlandrlr. Bir kategorinin morzm ve nesnelerini içeren bir ifade S ise, bu takdirde S op dual ifadesi C de geçerlidir S, C op de geçerlidir. "S, bütün kategorilerde geçerli bir kategori ifadesi ise, bu takdirde S op de bütün kategorilerde geçerlidir." 1.10 Ok (Arrow) ve Üçgen (Triangle) Kategorileri Tanm C herhangi bir kategori olsun. C için bir ok (arrow) kategorisi, nesnelerinin snf C kategorisinin morzmleri olan; C 2 ile gösterilen ve A f B a b A f B kare daigram de i³meli oldu u kategoridir. Burada a : A A ve b : B B C-morzmlerdir. C 2 deki bile³ke ile tanmldr. (â, ˆb) (a, b) = (â a, ˆb b) 24

26 Tanm C herhangi bir kategori olsun. C için (C 3 ile gösterilen) üçgen (triangle) kategorisi, nesnelerinin snf C kategorisinin komütatif üçgenlerinin snf ve bir üçgeninden A f B h g C A f B h g C üçgenine a : A A, b : B B ve c : C C üzere bir (a, b, c) üçlüsüdür. Burada; C-morzmler olmak A f B h a C g c b A f B C h g ³eklindeki diyagramda her kare diagram de i³melidir. C 3 teki bile³ke i³lemi de (â, ˆb, ĉ) (a, b, c) = (â a, ˆb b, ĉ c) ³eklindedir Virgül (Comma) Kategorileri Tanm C herhangi bir kategori ve A Ob(C) olsun. C üzerinde birgül (comma) kategorisi, domaini A olan C-morzmlerin (A, C) kategorisidir. Burada f : A B den f : A B ne morzmler C-morzmler 25

27 olup, g : B B olmak üzere; A f f B g B üçgeni de i³melidir. Tanm C herhangi bir kategori ve A Ob(C) olsun. A üzerinde C kategorisinin virgül (comma) kategorisi; nesneleri, codomaini A olan C- morzm ve f : B A dan f : B A ne morzmleri g : B B iken; B g B üçgenini de imeli klan (C, A) kategorisidir. f A f ALI TIRMALAR 1. A³a daki ifadeleri ispatlaynz: (a) B, C kategorisinin bir alt kategorisi, ve C, B kategorisinin bir alt kategorisi ise, bu takdirde B = C dir. (b) B, C kategorisinin bir (full) alt kategorisi, ve C, D kategorisinin bir (full) alt kategorisi ise, bu takdirde B, D kategorisinin bir (full) alt kategorisidir. 2. A, B kategorisinin bir bölüm kategorisi, ve B, C kategorisinin bir bölüm kategorisi ise, bu takdirde A, C kategorisinin bir bölüm kategorisidir. Gösteriniz. 3., B kategorisi üzerinde bir kongrüans ve A, B kategorisinin bir full alt kategorisi ise, bu takdirde A/ A, B/ nin bir alt kategorisi olacak ³ekilde nin bir A kongrüansn indirgedi ini gösteriniz. 26

28 4. Her kategorinin, bir quasi-ordered snf olan bir bölüm kategorisine sahip oldu unu gösteriniz. 5. (C i ) i I, small kategorilerin bir küme-indeksli ailesi olsun. Bile³ke i³lemi ile π i (F G) = π i (F ) π i (G) ³eklinde tanmlanan morzm snarnn Π(MorC i ) i I çarpmnn bir kategori oldu unu gösteriniz. 6. Herhangi C 1 ve C 2 kategorileri için, Ob(C 1 C 2 ) = Ob(C 1 ) Ob(C 2 ) oldu unu ve, A 1, B 1 Ob(C 1 ) ve A 2, B 2 Ob(C 2 ) ise, bu takdirde hom C1 C 2 [(A 1, A 2 ), (B 1, B 2 )] = hom C1 (A 1, B 1 ) hom C2 (A 2, B 2 ) oldu unu gösteriniz. 7. Her i = 1, 2,..., n için A i, C i nin bir (full) alt kategorisi ise, bu takdirde A 1 A 2... A n, C 1 C 2... C n nin bir(full) alt kategorisidir. Gösteriniz. 27

29 Bölüm 2 ÖZEL MORFZMLER VE ÖZEL NESNELER 2.1 Kesit (Section), Retraksiyon (retraction) ve zomorzm Kesit Önerme A bo³tan farkl bir küme ve B bir küme olmak üzere f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f injektiftir. 2) g f = 1 A olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tanm C bir kategori ve f C de bir C-morzm olsun. g f = 1 A olacak ³ekilde C de bir g : B A C-morzmi varsa f ye kesit (section) denir. Örnek (1) Sets kategorisinde bir morzmin kesit olmas için gerek ve yeter ³art bu morzmin injektif olmas ve bo³ kümeden bo³ olmayan bir kümeye bo³ fonksiyon olmamasdr. 28

30 (2) R-Mod kategorisinde f : A B morzmi kesittir f injektif ve f[a] B nin direkt toplam terimi olmaldr. (B = f[a] C) (3) Top kategorisinde f : X Y morzmi kesittir f gömme ve f(x), Y nin retrackt olmaldr. Önerme Bir C kategorisinde iki kesitn bile³keside bir kesittir. spat: C kategorisinde iki kesit f : A B ve g : B C olsun. Bu durumda f 1 f = 1 A olacak ³ekilde f 1 : B A C-morzmi ve g 1 g = 1 B olacak ³ekilde g 1 : C B C-morzmi vardr. (f 1 g 1 ) (g f) = f 1 g 1 g f = f 1 1 B f = f 1 f = 1 A g f nin sol tersi mevcut oldu undan kesittir. Önerme f ve g, C kategorisinde morzmler ve g f kesit ise, f kesittir. spat: g f kesit olsun. Bu durumda h (g f) = 1 olacak ³ekilde h dönü³ümü vardr. f : A B, g : B C, h : C A olmak üzere h (g f) = 1 (h g) f = 1 A. Bu durumda h g, f nin sol tersi oldu undan f kesittir Retraksiyon Önerme f : A B bir fonksiyon olsun.a³a daki ifadeler denktir: 1) f : A B surjektiftir. 2) f g = 1 B olacak ³ekilde bir g : B A fonksiyonu vardr. Tanm C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. f g = 1 B olacak ³ekilde bir g : B A C-morzmi varsa f ye retraksiyon (retraction) denir. 29

31 Örnek (1) Sets kategorisinde f : A B retraksiyondur f surjektiftir. (2) R-Mod kategorisinde f : A B retraksiyondur S A alt modül olmak üzere p : A S izdü³üm dönü³ümü ve f = h p olacak ³ekilde h : S B izomorzmi vardr. 3) Top kategorisinde f : X Y retraksiyondur f = h r olacak ³ekilde bir r retraksiyonu ve h homeomorzmas vardr. Önerme Kesit ve retraksiyon birbirlerine dual kavramlardr. spat: S(C) a³a daki önerme olsun: "f Mor(C) ve g C f C-birim olacak ³ekilde bir g Mor(C) vardr." Bu takdirde S(C op ) önermesi a³a daki gibidir: "f Mor(C) ve g C op f C op -birim olcak ³ekilde bir g Mor(C op ) vardr." Bunu C ile ilgili önermeye çevirirsek a³a daki ifadeyi elde ederiz: "f Mor(C) ve f C g bir C-birim olacak ³ekilde bir g Mor(C) vardr." Bu, f nin C kategorisinde bir retractiom olmasna kar³lk gelir. Önerme ) ki retraksiyonun bile³kesi de retraksiyondur. 2) f ve g C kategorisinde birer morzm ve g f retraksiyon ise, g retraksiyondur zomorzm Önerme f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bijektiftir. 30

32 2) g f = 1 A ve f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tanm C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. g f = 1 A ve f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A C-morzmi varsa f ye izomorzm denir. Yani f kesit ve retraksiyon ise, f izomorzmdir. Örnek (1) Herhangi bir kategoride birim morzm, izomorzmdir. (2) Sets kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu morzm bijektiftir. (3) Grp kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu morzm grup izomorzmasdr. (4) Top kategorisinde bir morzm, izomorzmdir bu mozm homeomor- zmdir. Önerme ) zomorzm kendisinin dualidir. 2) Herhangi bir kategoride izomorzmlerin bile³kesi izomorzmdir. Önerme f bir C-morzm olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bir C-izomorzmdir. 2) f nin bir tane sa tersi ve bir tane sol tersi vardr. spat: (2) (1) : f nin sol tersi var oldu undan f kesit, f nin sa tersi oldu undan f retraksiyondur. Dolasyla f C-izomorzmdir. (1) (2) : f bir C-izomorzm oldu undan f kesit ve retraksiyondur. O halde f nin sol tersi ve sa tersi vardr. imdi bunlarn tekli ini gösterelim; f nin h ve k gibi iki tane sa ve sol tersi olsun. Bu durumda olur. k f = 1 A ve f h = 1 B 31

33 k = k 1 B = k (f h) = (k f) h = 1 A h = h. Önerme f bir C-izomorzm ise, f 1 de bir C-izomorzmdir ve f = (f 1 ) 1. Tanm C bir kategori ve, A ve B C kategorisinin iki nesnesi olsun. A ve B arasnda bir f : A B C-izomorzmas varsa, A nesnesi B nesnesine C-izomorktir denir ve A B ile gösterilir. Önerme C herhangi bir kategori olsun. " " izomorzma ba nts, nesneler snf üzerinde bir denklik ba ntsdr. spat : i) Yansma: A A Birimler izomorzm oldu undan yansma sa lanr. ii) Simetri: A B B A f bir izomorzm iken f 1 de izomorzm oldu undan simetri sa lanr. iii) Geçi³me: A B B C A C zomorzmler bile³ke altnda kapal oldu undan geçi³me sa lanr. Tanm B, C kategorisinin bir alt kategorisi olsun. 1) Herhangi bir C Ob(C) için C ye C-izomork olacak ³ekilde bir B Ob(B) varsa, B kategorisine C kategorisinin yo un (dense) alt kategorisi denir. 2) Her C-nesnesi ayn zamanda B-nesnesi ve B kategorisindeki bir nesneye izomorf ise B kategorisine C kategorisinin izomorf kapal alt kategorisi denir. Örnek (1) Tüm kardinal saylar kategorisi, Sets kategorisinin yo un alt kategorisidir. (2) PerGrp, Grp kategorisinin yo un alt kategorisidir. 32

34 ALI TIRMALAR 1. f ve g, bir C kategorisindeki iki izomorzm ise, bu takdirde (f g) 1 = g 1 f 1 oldu unu gösteriniz. 2. Genelde bir section'n birkaç sol inverse ve bir retraction'nn birkaç sa inverse sahip olabilece ini gösteriniz. 3. f, en az iki elemana sahip olan tüm kümelerin kategorisindeki bir morzm olsun. A³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (a) f bir izomorzmdir. (b) f sadece bir sa inverse sahiptir. (c) f sadece bir sol inverse sahiptir. Ayn denklikler en az iki elemana sahip olan tüm topolojik uzaylarn kategorisi için de sa lanr m? 4. f ve g C-morzmler olsun. g f bir izomorzm ise, bu takdirde f nin bir section ve g nin bir retraction oldu unu fakat tersinin do ru olmad n gösteriniz. 5. Do al saylarn toplamaaltnda monoidi bir kategori olarak göz önünealnrsa, bu durumda sfrn sadece section, sadece retraction ve böylece sadece izomorzm oldu unu gösteriniz. 2.2 Monomorzm, Epimorzm ve Bimorzm Monomorzm (Monomorphsim) Önerme f : A B kümeler üzerinde bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 33

35 1) f injektiftir. 2) f h = f k e³itli ini sa layan tüm h ve k fonksiyonlar için h = k dr (yani, f h = f k h = k; yani f, fonksiyonlarn bile³kesine göre sol sadele³tirmedir). Tanm C bir kategori ve f : A B bir morzm olsun. f h = f k olacak ³ekilde C kategorisindeki tüm h ve k morzmleri için h = k ise, f ye monomorzm (monomorphism) denir. Not Underlying set, küme de erli fonksiyonlardan olu³an kümedir. 34

36 Örnek (1) Somut kategorilerdeki injektif olan her morzm monomorzmdir. (2) Set, Grp, SGrp, Ab, R Mod,Rng, POS, Top, Top 2, ComT 2, LinTop, BanSp 1 kategorilerinden alaca mz injektif fonksiyonlar monomorzm te³kil eder. (3) Bölünebilir abel gruplar ve grup homomorzmlerinin A kategorisinde, underlying kümeler üzerinde injektif olmayan monomorzmler vardr. (4) f nin f : X Y homotopi snf htop kategorisindeki (topolojik uzaylarn homotopi kategorisi) bir monomorzm olmayacak ³ekilde Top kategorisinde f : X Y monomorzmi vardr. (5) Field kategorisinde ve ksmi-sral snfn herhangi bir kategorisindeki her morzm bir monomorzimdir. Önerme ) ki C-monomorzmann bile³kesi de C-monomorzmadr. 2) f ve g, C-morzm ve g f C-monomorzm ise, f de bir C-monomorzmdir. 3) Her C-kesit bir C-monomormdir. spat: 1) f : A B ve g : B C, C-monomorzmler olsun. f : A B C-monomorzm : f h 1 = f k 1 h 1 = k 1 g : B C C-monomorzm : g h 2 = g k 2 h 2 = k 2 (g f) h = g (f k) f h = f k h = k. 2) g f C-monomorzm olsun. Bu taktirde (g f) h = (g f) k h = k dir. imdi f h = f k iken h = k oldu unu gösterelim. g (f h) = g (f k) (g f) h = (g f) k h = k. 35

37 3) f : A B bir kesit olsun. Bu durumda g f = 1 A olacak ³ekilde g : B A vardr. f h = f k olsun. Her iki tarafa g yi uygularsak; g (f h) = g (f k) (g f) h = (g f) k 1 A h = 1 A k h = k. Not Her monomorzm bir kesit de ildir. Örne in Top kategorisinde bir açk aral n bir kapal aral a gömmesi (embedding) bir monomorzmdir fakat bir kesit de ildir. Önerme Herhangi bir kategoride a³a daki ifadeler denktir: 1) f bir izomorzmdir. 2) f bir monomorzm ve retraksiyondur. spat: (1) (2) : Bir izomorzm bir kesit ve bir retraksiyon oldu undan, izomor- zm hem bir monomorzmdir hem de retraksiyondur. (2) (1) : f bir monomorzm ve bir retraksiyon, g de f nin bir sa tersi olsun. f bir retraksiyon ve C-monomorzm oldu undan f g = 1 B (f g) f = 1 B f f (g f) = f 1 A g f = 1 A, böylece f bir kesittir. Ayrca f bir retraksiyon oldu undan izomorzmdir Epimorzm Önerme f : A B kümeler üzerinde bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f surjektiftir. 2) h f = k f e³itli ini sa layan tüm h ve k lar için h = k dr, yani f fonksiyonlarn bile³kesine göre sa sadele³tirmedir. 36

38 spat: (1) (2) : f sürjektif olsun. O zaman f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A fonksiyonu vardr. Tüm h, k için h f = k f olsun. h f g = k f g h 1 B = k 1 B h = k olur. (2) (1) : f : A B surjektif olmasn ve h, k : B {1, 2} fonksiyonlarn a³a daki gibi tanmlayalm: h[b] = 1, k[f[a]] = 1 ve k[b f[a]] = {2}. Bu takdirde h f = k f, fakat h k. Tanm C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. h f = k f e³itli ini sa layan tüm h ve k C-morzmleri için h = k oluyorsa f ye C-epimorzm denir. Örnek (1) Somut kategoride surjektif olan her morzm bir epimor- zmdir. (2) Set, Grp, Ab, R Mod, POS, Top, CompT 2 kategorilerindeki epimor- zmler, underlying kümeler üzerindeki surjektif morzmlerdir. (3) f nin f : X Y homotopi snf htop kategorisindeki bir epimorzm olmayacak ³ekilde Top kategorisinde bir f : X Y epimorzmi vardr. (4) Rng ve SGrp kategorilerindeki her epimorzm surjektif de ildir; yani, surjektif olmayan epimormler vardr. Örne in; f : Z Q, Rng ve SGrp kategorilerinde epimorzm olan bir gömmedir. h f = k f olacak ³ekilde homomorzmler h, k olsun ve n/m Q 37

39 alalm. h(n/m) = h(n).h(1/m).h(1) = k(n).h(1/m).k(1) = k(n).h(1/m).k(m).k(1/m) = k(n).h(1/m).h(m).k(1/m) = k(n).h(1).k(1/m) = k(n).k(1).k(1/m) = k(n/m). (5) Top 2 kategorisinde epimorzmler, görüntüleri yo un olan surjektif fonksiyonlardr. (6) Torsion-free abel grup kategorisinde f : A B morzmi epimorzmdir B/f(A) torsion gruptur. Önerme Monomorzm ve epimorzm dual kavramlardr. spat: S(C) yi a³a daki gibi ifade edelim: "f Mor(C), ve tüm h, k Mor(C) için f h = f k h = k." Bu takdirde S(C op ) de a³a daki ³ekilde ifade edilir; "f Mor(C), ve tüm h, k Mor(C) için h f = k f h = k." Önerme ) C-epimorzmlerin bile³kesi bir C-epimorzmdir. 2) g f bir C-epimorzm ise, bu takdirde g bir C-epimorzmdir. 3) Her C-retraksiyon, bir C-epimorzmdir. spat: 1) f : A B ve g : B C birer C-epimorzm olsun. h (g f) = k (g f) olsun. (h g) f = (k g) f f, C epimorfizm g, C epimorfizm = h g = k g = h = k 38

40 dr. g f, C-epimorzmdir. 2) g f C-epimorzm olsun. h g = k g olsun. (h g) f = (k g) f = h (g f) = k (g f) dr. g, C-epimorzmdir. g f, C epimorfizm = h = k 3) f : A B C-retraksiyon olsun. O zaman f g = 1 B olacak ³ekilde g : B A morzmi vardr. h f = k f olsun. (h f) g = (k f) g h (f g) = k (f g) h 1 B = k 1 B h = k dr. f, C-epimorzmdir. Önerme Herhangi bir kategoride a³a daki ifadeler denktir: 1) f bir izomorzmdir. 2) f bir epimorzm ve bir kesittir. spat: (1) (2) : f bir izomorzm olsun. O zaman f bir kesit ve retraksiyondur. Bir retraksiyon epimorzm oldu undan f bir epimorzmdir. (2) (1) : f bir epimorzm ve kesit olsun. f nin retraksiyon oldu unu göstermeliyiz. f kesit ise g f = 1 A olacak ³ekilde bir g : B A morzmi vardr. f (g f) = f 1 A = f = 1 B f f epimorfizm = f g = 1 B dir. f retraksiyondur. 39

41 2.2.3 Bimorzm Tanm C bir kategori olsun. C-morzmi hem monomorzm hem de epimorzm ise, bu C-morzmine bimorzm denir. Örnek (1) C herhangi bir kategori olsun. Her C-izomorzm bir C- bimorzmdir. (2) Set, Grp, Ab, R Mod, POS, Top kategorilerinde bimorzm bijektif. (3) Top ve POS kategorilerinde bimorzmler, izomorzm olmak zorunda de ildir. Tanm C bir kategori olsun. C kategorisindeki her bimorzm bir izomorzm ise, C kategorisine balanced (ayarl,balansl) kategori denir. Örnek (1) Set, Grp, Ab, R Mod ve CompT 2 kategorileri balansl kategorilerdir. (2) Rng, SGrp, Top 2, Top, LinTop ve POS kategorileri balansl de ildir. Çünkü her epimorzm, surjektif olmak zorunda de ildir. (3) Ksmi sral snar kategorisi balansldr bu kategoriler discretetir. Önerme C-bimorzmlerin bile³kesi bir C-bimorzmdir. spat: Monomorzm ve epimorzmler bile³ke altnda kapal oldu undan C-bimorzmlerin bile³kesi de bir C-bimorzm olur. Önerme g f bir C-bimorzm ise, bu takdirde f bir monomorzm ve g bir epimorzmdir. Not Son önermenin tersi do ru de ildir. 40

42 2.3 Alt Nesneler ve Bölüm Nesneleri Tanm C bir kategori ve A, B Ob(C) olmak üzere f : A B bir C-monomorzm olsun. B nesnesinin alt nesnesi (A, f) ikilisidir. E er f kesit ise, (A, f) ikilisine B nin sect'i denir. Tanm C bir kategori ve A, B Ob(C) olmak üzere f : B A bir C-epimorzm olsun. B nin bir bölüm nesnesi (f, A) ikilisidir. E er f retraksiyon ise, (f, A) B nin bir retraktdr. Tanm ) (A, f) ve (C, g), B nin alt nesneleri olsun. A³a daki diyagram komütatif klacak ³ekilde h : A C morzmi varsa, (A, f) alt nesnesi (C, g) alt nesnesinden daha küçüktür denir ve (A, f) (C, g) ile gösterilir. A h f C g B 2) (A, f) (C, g) ve (C, g) (A, f) ise, (A, f) ve (C, g) alt nesneleri B nin izomork alt nesneleridir denir ve (A, f) (C, g) ile gösterilir. Tanm ) (f, A) ve (g, C), B nin bölüm nesneleri olsun. E er a³a- daki diyagram komütatif klacak ³ekilde bir h : A C morzmi mevcut ise, (f, A), (g, C) den daha büyüktür denir ve (f, A) (g, C) ile gösterilir. B g C h 2) (f, A) (g, C) ve (g, C) (f, A) ise, (f, A) ve (g, C) bölüm nesneleri izomorftur denir. Önerme B nesnesinin (A, f) ve (C, g) alt nesneleri izomorftur g h = f olacak ³ekilde bir tek h : A C izomorzmi vardr. f 41 A

43 spat: ( :) (A, f) ve (C, g) nin izomorf alt nesneler oldu unu kabul edelim. (A, f) (C, g) oldu undan g h = f olacak ³ekilde bir h morzmi vardr. f bir monomorzm oldu undan h da bir monomorzmdir. Ayrca (C, g) (A, f) oldu undan f k = g olacak ³ekilde bir k morzmi vardr. g (h k) = (g h) k = f k = g = g 1 C. g bir monomorzm oldu undan, h k = 1 C. Böylece h bir retraksiyon ve bir monomorzmdir, o halde izomorzmdir. h nin tekli i, g nin bir monomorzm olmasndan elde edilir. ( :) h : A C, g h = f olacak ³ekilde bir izomorzm ise, bu taktirde (A, f) (C, g) oldu u açktr. Benzer ³ekilde f h 1 = g oldu undan (C, g) (A, f). Böylelikle alt nesneler izomorktir. Sonuç Alt nesnelerin izomorzm ba nts bir denklik ba ntsdr. Tanm C bir kategori olsun. Her bir C-nesnesi küme olacak ³ekilde alt nesne snf temsiline sahip ise, bu kategoriye iyi kuvvetlendirilmi³(wellpowered) kategori denir. Her bir nesnesi, bir küme olan bölüm nesnelerinin bir gösterim snfna sahip olan kategoriye e³-iyi kuvvetlendirilmi³(e³-iyi güç) kategori denir. ALI TIRMALAR 1. B, C kategorisinin bir (full) alt kategorisi olsun. (a) Bir B-monomorzmin (srasyla B-epimorzm, B-bimorzm) bir C- monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmas gerekmez. Gösteriniz. 42

44 (b) Bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olan her B-morzmin bir B-monomorzm (srasyla B-epimorzm, B-bimorzm) olmas gerekti ini ispatlaynz. 2. C, C nin bir bölüm kategorisi olsun. (a) f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) ise, bu takdirde f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmal mdr? (b) f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) ise, bu takdirde f bir C-monomorzm (srasyla C-epimorzm, C-bimorzm) olmal mdr? 3. (f, g), C 2 arrow kategorisinde birmonomorzm ise, bu takdirde f, C kategorisinde bir monomorzmdir. Gösteriniz. 4. f bir C-epimorzm ve g f bir C-section ise, bu takdirde g bir C-sectiondr. Gösteriniz. 2.4 Ba³langç, Biti³ ve Sfr nesneleri Ba³langç nesnesi Önerme Bo³ kümeden herhangi bir kümeye bir tek fonksiyon vardr. Tanm C bir kategori ve X bir C-nesne olsun. Her B Ob(C) için hom C (X, B) nin bir tek eleman varsa, X nesnesine ba³langç nesnesi (initial object) denir. 43

45 Örnek (1) Set, SGrp ve Top kategorilerinde bir tek ba³langç nesnesi vardr ve bu nesne bo³ kümedir. (2) Z halkas Rng de bir ba³langç nesnesidir. Önerme Herhangi iki X ve Y ba³langç nesneleri izomorftur. spat: f : X Y ve g : Y X morzmler olsun. g f = 1 X (kesit) f g = 1 Y (retraksiyon) Biti³ nesnesi Tanm C bir kategori, X bir nesne olsun. Her B nesnesi için hom C (B, X) in sadece bir eleman varsa, X nesnesine biti³ nesnesi (terminal object) denir. Örnek (1) Set, SGrp, Mon, Grp, Ab, R Mod, Rng, Top, LinTop kategorilerindeki tek noktal (tek elemanl) nesne biti³ nesnesidir. (2) Field kategorisinde biti³ nesnesi yoktur. Önerme ) Ba³langç ve biti³ nesneleri birbirlerinin dual kavramlardr. 2) Herhangi iki biti³ nesnesi izomorftur Sfr nesnesi Tanm C bir kategori olsun. Bir X nesnesi hem ba³langç hem de biti³ nesnesi ise, bu X nesnesine sfr nesne (ya da bir C-sfr nesnesi (zero object)) denir. Örnek (1) Grp, Mon, Ab, R Mod, TopGrp, LinTop, BanSp 1, BanSp 2, pset ve ptop kategorilerinin sfr nesnesi vardr. 44

46 (2) Set, Top, SGrp, Rng, R Alg, BooAlg, POS ve Lat kategorilerinin sfr nesnesi yoktur. Önerme Herhangi iki C-sfr nesnesi izomorktir. ALI TIRMALAR 1. Sayfa 7 ve Sayfa 10'daki örneklerde verilen kategorilerin (varsa) ba³langç, biti³ ve sfr objelerini belirleyiniz. 2. X, bir C-ba³langç (srasyla C-biti³, C-sfr) obje ise, bu takdirde hom C (X, X) = {1 X } oldu unu ispatlaynz. 3. f : X A bir C-morzm olsun. (a) X bir biti³ objesi ise, bu takdirde f bir monomorzmdir. spatlaynz. (b) C ba lantl ve X bir ba³langç objesi ise, bu takdirde f bir monomorzmdir. spatlaynz. (c) E er C kategorisinin ba lantl olma ko³ulu kaldrlrsa, (b)'nin yanl³ oldu unu gösteriniz. 4. X bir C-ba³langç objesi ve Y bir C-biti³ objesi ise, bu takdirde a³a dakiler denktir: (a) C bir sfr objeye sahiptir. (b) X ve Y izomorktir. (c) hom C (Y, X). (d) C ba lantldr. 2.5 Sabit Morzmler, Sfr Morzmler ve Noktal Kategoriler Önerme A bo³tan farkl bir küme, B herhangi bir küme ve f : A B bir fonksiyon olsun. A³a daki ifadeler denktir: 45

47 1) f bir sabit fonksiyondur, yani f[a] tek noktaldr. 2) C kümesi ve r, s : C A fonksiyonlar için f r = f s dir. 3) f, tek noktal küme üzerinde "çarpanlarna ayrlr." (f = g h, f nin çarpanlarna ayrlmasdr.) Tanm C bir kategori ve f : A B bir C-morzm olsun. 1) Herbir C-nesnesi ve tüm r, s hom C (C, A) için f r = f s ise, f morzmine C kategorisinde bir sabit (constant) morzm denir. 2) E er f, C op ta bir sabit morzm ise, f ye C kategorisinde bir e³-sabit(e³constant) morzm denir. 3) E er f hem sabit hem de e³-sabit ise, f ye C kategorisinde bir sfr (zero) morzmi denir. Örnek (1) Set ya da Top kategorilerinde f : A B sabittir A = ya da f[a] tek noktaldr. (2) Grp, R Mod, Mon, LinTop, BanSp 1 ya da BanSp 2 de f : A B bir sabit mozmdir f[a], B nin birim elemandr. (3) X ve Y sonsuz ayrk kümeler, Ob(C) = {X, Y }, hom C (X, X) = {1 X }, hom C (Y, Y ) = {1 Y }, hom C (Y, X) = ve hom C (X, Y ) = Y X olsun. Bu taktirde X ten Y ye her C-morzm ayn zamanda hem bir bimorzmdir hem de bir sfr mor- zmidir. Önerme f bir C-sabit (srasyla C-e³sabit, C-sfr) morzm olsun. h f g tanml ise, h f g C-sabittir (srasyla C-e³sabit, C-sfr). spat: g r ve g s tanml olacak ³ekilde r ve s ayn domaine sahip C-morzmler ise, bu taktirde f sabittir ve f (g r) = f (g s). Böylece (h f g) r = (h f g) s olup h f g bir sabittir. 46

48 Önerme f : A B bir C-morzm ve T bir C-biti³ nesnesi olsun. i) f, T üzerinde çarpanlarna ayrlr ise, f sabit morzmdir. ii) hom C (T, A) olsun. f nin, T üzerinde çarpanlarna ayrlmas için gerek ve yeter ³art f nin sabit morzm olmasdr. spat: i) f : A B, g : A T, h : T B birer C-morzm ve f = h g olsun. r, s : C A morzmler ise, C den T ye sadece bir morzm varoldu undan; g r = g s h g r = h g s f r = f s f sabittir. ii) f sabit ve hom C (T, A) olsun. f nin çarpanlarna ayrlabilir oldu unu gösterelim. T biti³ nesnesi oldu undan bir u : A T morzmi vardr. f sabit oldu undan, g Hom C (T, A) olmak üzere f = f 1 A = f (g u) = (f g) u. Böylece f, T üzerinde iki morzmin bile³kesi olarak yazld ndan çarpanlarna ayrlabilir. Önerme f bir C-morzm, X C için bir sfr nesnesi olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) f bir sfr morzmdir. 2) f bir sabit morzmdir. 3) f bir e³sabit morzmdir. 4) f, X üzerinde çarpanlarna ayrlabilir. 47

49 spat: (1) (2) ve (3) tanmdan söylenebilir. (2) (4), bir önceki önermenin (ii) ³kkndan elde edilir. (3) (4) X ba³langç nesnesi oldu undan hom C (X, A). Lemma f : A B bir C-sabit morzm ve g : A B bir C-e³sabit morzmi var olsun. hom C (B, A) ise, f = g. spat: h : B A bir morzm olsun. Sabit ve e³sabit tanmndan f = f 1 A = f (h g) = (f h) g = 1 B g = g. Teorem C herhangi bir kategori olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) bir sfr morzmini içerir. 2) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir sfr morzmini içerir. 3) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir sabit morzm içerir. 4) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) sadece bir e³-sabit morm içerir. 5) Tüm A, B Ob(C) için hom C (A, B) en az bir sabit morzm ve en az bir e³-sabit morzm içerir. 6) Herhangi bir morzm ile seçilmi³ bir morzmin bile³kesi yine seçilmi³ morzm olacak ³ekilde bir "seçilmi³ fonksiyon" vardr (buradaki fonksiyonu her bir hom C (A, B) kümesinin d³ndan seçiyoruz). spat: (1) (2) (6) (5) (3) (1) oldu unu gösterece iz. (1) kendisinin duali ve (3), (4)'e dual oldu undan bütün ko³ullarn denk oldu unu göstermi³ olaca z. (1) (2) : Lemma 2.5.1, (1) sa land ndan hom C (B, A). (2) (6) : "Seçilmi³" morzm tek sfr morzm olsun. Önermer bir sfr morzmin herhangi bir morzm ile bile³kesi bir sfr morzmdir. (6) (5) : f : A B "seçilmi³" morzm ve r, s : C A olsun. Bu 48

50 takdirde f r ve f s, hom C (C, A) da "seçilmi³" morzmlerdir. Seçimin tekli inden f r = f s. Böylece f bir sabit morzmdir. Dual kavramndan, f bir e³-sabit morzmdir. (5) (3) : f, g hom C (A, B) sabit morzmler olsun. (5)'ten, C ba lantldr ve bir h : A B e³-sabit morzmi vardr. Böylece lemmadan f = h ve g = h. (3) (1) : f : A B bir sabit morzm olsun. C-morzmlerin bir ikilisi r, s : B C ise, bu takdirde r f ve s f, A dan C ye sabit morzmlerdir ve özde³tirler. Böylece f bir e³-sabit ve bir sfr morzmdir. Tanm E er bir C-kategorisi yukardaki ³artlardan birini sa lyor ise, bu kategoriye noktal (pointed) kategori denir. Önerme ) Bir sfr nesnesine sahip bir kategori noktaldr. 2) Bir noktal kategorinin her dolu alt kategorisi noktaldr. Örnek (1)Grp, R Mod, Mon, LinTop, pset, ptop ve sonlu olmayan gruplarn kategorisi noktal kategoridir. (2) Set, Top, SGrp, POS, Lat ve binoktal kümelerin kategorisi noktal kategori de ildir. ALI TIRMALAR 1. Bir ba lantl kategoride a³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) Domaini A olan bir bir sabit monomorzm vardr. (b) Domaini A olan her morzm bir sabit monomorzmdir. (c) A bir biti³ objesidir. 2. C ba lantl ve h : Z X, f, g : X Y olsun. f ve g, f g olacak ³ekilde C-sabit morzmler ise, bu takdirde f h g h oldu unu ispatlaynz. 3. f : X Y bir ba lantl kategoride bir sabit morzm ise, bu takdirde h f = f olacak ³ekilde bir tek h : Y Y sabit morzminin var oldu unu 49

51 gösteriniz. 4. C bir ba lantl kategori ve W, X, Y Ob(C) ise, bu takdirde hom C (W, Y ) deki C-sabit morzmlerin kolleksiyonu ile hom C (X, Y ) deki C-sabit morzmlerin kolleksiyonu arasnda bire bir e³leme var oldu unu gösteriniz. 5. C bir noktal (pointed) kategori ise, a³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) A, C kategorisi için bir sfr objedir. (b) hom C (A, A) = {1 A }. 50

52 Bölüm 3 FUNKTORLAR VE DO AL DÖNÜ ÜMLER 3.1 Funktorlar Tanm C ve D birer kategori olsun. C kategorisindeki nesneleri D kategorisindeki nesnelere, C kategorisindeki morzmleri D kategorisindeki mor- zmlere götüren ve a³a daki özellikleri sa layan özel fonksiyona funktor denir: 1) F (g f) = F (g) F (f); (F bile³keyi korur). 2) F (1 A ) = 1 F (A) ; (F birimi korur). Domaini bir küçük kategori olan bir funktora küçük (small) funktor denir. Tüm C-nesneleri A ve B için F [hom C (A, B)] hom D (F (A), F (B)). Örnek (1) 1 A : A A bir funktordur.(birim funktor) 51

53 (2) C, D nin bir alt kategorisi ve E : Mor(C) Mor(D) bir kapsama fonksiyonu ise, bu takdirde E : C D bir funktordur ve C den D ye kapsama funktoru olarak adlandrlr. (3) C, C kategorisinin bir bölüm kategorisi ve her bir f morzmini f denklik snfna götüren kanonik fonksiyon Q : Mor(C) Mor( C) ise, bu takdirde Q : C C bir funktordur ve C den C ye bir kanonik ya da do al funktor olarak adlandrlr. (4) C ve D iki kategori olsun. F : Mor(C) Mor(D) f F (f) ³eklinde tanmlanan F funktonuna C den D ye bir sabit funktor denir. (5) C bir somut kategori olmak üzere U : C Set funktoru bir unutkan funktordur. Örne in; Rng Mon (toplam unutur) ve Rng Ab (çarpm unutur). (6) F, C kategorisinden D kategorisine bir funktor olsun. F op : C op D op, F nin dual (opposite) funktorudur. (7) A herhangi bir grup olmak üzere A, A nn komütatör grubu olsun, yani; A = {ghg 1 h 1 g, h A} F : Grp Grp A F (A) = A f F (f) = f A f(a) = A f F (f) B f(b) = B 52

54 ³eklinde tanmlanan funktora komütatör alt grup funktoru denir. (8) H : Grp Ab A H(A) = A/A f H(f) A H(A) = A/A f H(f) B H(B) = B/B h ve g kanonik dönü³ümler olmak üzere; A h A/A f H(f) B g B/B H funktoruna abelle³tirme funktoru denir. (9) π : ptop Grp (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) f π 1 (f) = f (X, x 0 ) π 1 (X, x 0 ) f π 1 (f) (Y, y 0 ) π 1 (Y, y 0 ) ile tanmlanan π 1 funktoruna temel grup funktoru denir. (10) H n : Top Ab X H n (X) f H n (f) 53

55 X H n (X) f H n(f) Y H n (Y ) ile tanml H n funktonuna homoloji funktoru denir. (11) C abel grup zincir kompleksi olsun.... G i d i Gi 1 d i 1 G i 2... i için G i abel grup ve d i 1 d i = 0. H n : C Ab G H n (G ) = Ker d i Im d i+1 f H n (f ) Burada f = G C. H n funktoruna homoloji grup funktoru denir. Önerme F : A D ve G : B C birer funktor ise, G F : A C bir funktordur. G F funktoruna, F ve G funktorlarnn bile³kesi denir. Tanm F : C D bir funktor olsun; yani (C, F, D). E er (C op, F, D) bir funktor ise (ya da (C, F, D op ) bir funktor ise) F funktoruna kontravaryant funktor denir. Not F : C D kontravaryant funktor ise; i) F (g f) = F (f) F (g) ii) F (1 A ) = 1 F (A) F : C D kovaryant funktor ise; i) F (g f) = F (g) F (f) ii) F (1 A ) = 1 F (A) 54

56 Örnek (1) F : Top op BooAlg X F (X) f F (f) : F (Y ) F (X)(burada f : X F (X)) Burada; F (f)(a) = f 1 [A]. (2) H n : Top op Ab X H n (X) f H n (f) : H n (Y ) H n (X)(burada f : X Y ) H n : Top op Ab funktor ise, H n : Top Ab kontravaryant funktordur. (3) F, F cismi üzerinde sonlu boyutlu vektör uzay kategorisi olsun. f : V W olmak üzere ( ) : F op F V ˆV hom(v, F ) f ˆf : Ŵ ˆV ˆf : hom(w, F ) hom(v, F ) g ˆf(g) = g f Tanm Bir funktorun tanm kümesi, iki kategorinin kartezyen çarpm ise, bu funktora bifunktor denir. Örnek (1) ( ) : Set Set Set (A, B) A B (f, g) f g : A B C D Kartezyen çarpm funktoru bir bifunktordur. Burada; (f g)(a, b) = (f(a), g(b)). 55

57 (2)( ) : Ab Ab Ab (A, B) A B (f, g) f g : A B C D Tensör çarpm funktoru bir bifunktordur. (3) ( ) : Set Set Set (A, B) A B (f, g) f g : A B C D. Burada f(x), (f g)(x, i) = g(x), Ayrk birle³im funktoru, bir bifunktordur. i=1; i=2. Teorem F : A B C bir bifunktor olsun. 1) Her bir A Ob(A) için; F (A, ) : B C B F (A, B) h F (1 A, h) ³eklinde tanml bir funktor vardr. 2) Her bir B Ob(B) için; F (, B) : A C A F (A, B) g F (g, 1 B ) ³eklinde tanml bir funktor vardr. spat: 1) F nin bir funktor oldu unu gösterece iz: 56

58 i) F (A, )(h k) = F (1 A, h k) = F (1 A 1 A, h k) = F ((1 A, h) (1 A, k)) = F ((1 A, h) F ((1 A, k)) ii) F (A, )(1 B ) = F (1 A, 1 B ) = 1 F (A,B) (funktor tanmndan) Tanm Teoremdeki F (A, ) funktoruna F ve A ya göre sa ba - lantl funktor ve F (, B) funktoruna F ve B ye göre sol ba lantl funktor denir. ALI TIRMALAR 1. Objeler (özde³likler) üzerinde çak³an funktorlarn ayn olmas gerekmedi ini gösteriniz. 2. C ve D, herbiri sadece bir objeye sahip kategoriler ise, bu takdirde f : C D nin bir funktor olmas için gerek ve yeter ³art bir monoid homomor- zmi olmasdr. spatlaynz. 3. Uzaylarn herhangi ikilisindeki de eri, onlarn topolojik çarpm olan bir ( ) : Top Top Top (bi)funktoru tanmlaynz. 4. (G, +) (bir objeli bir kategori olarak göz önüne alnan) bir abel grup ise, G G direkt çarpm bir çarpm kategorisidir ve (f, g) = f +g ile tanmlana : G G G bir bifunktordur. Gösteriniz. 5. F : A B ve G : C D ise, bu takdirde (F G)(h, k) = (F (h), G(k)) ile tanml bir F G : A C B D funktorunun var oldu unu ispatlaynz. 57

59 3.2 Hom Funktoru Önerme C herhangi bir kategori olsun. hom C : C op C Set (A, B) hom C (A, B) = A dan B ye giden C-morf kümesi. (f, g) hom C (f, g) = hom C (A, B) hom C (A, B ) ³eklinde tanml bir funktor vardr. spat: A h B f g A g h f B hom(f,g)(h) i) hom C (1 A, 1 B )(h) = 1 B h 1 A = h. A 1 A A B 1B B ii) hom C ((f, g) (k, l))(h) = hom C (k f, g l)(h) h h hom C (f, g) = g h f = (g l) h (k f) = g (l h k) f = g hom C (k, l)(h) f = hom C (f, g)(hom C (k, l)(h)) Tanm C herhangi bir funktor olsun. hom C : C op C Set funktoruna C kategorisi için küme de erli funktor (ya da morzm funktoru) denir. 58

60 hom C ye göre sa ba lantl funktora, yani hom C (A, ) : C Set, A ya göre C nin kovaryant hom-funktoru denir; sol ba lantl funktora, yani hom C (, B) : C op Set, B ye göre C nin kontravaryant homfunktoru denir. Not hom(a, )(f) = hom(a, f); yani hom(a, f)(x) = f x hom(, A)(f) = hom(f, A); yani hom(f, A)(x) = x f Önerme C herhangi bir kategori ve A Ob(C) olsun. hom C (, A) = hom C op(a, ) e³itli i mevcuttur. Örnek (1) Hom : Ab op Ab Ab (2) Hom : Top op : Top op Top Top; burada Hom(A, B) kompakt-açk topolojidir. (3) Hom : R Mod op R Mod R Mod; buradaki R halkas de i³melidir. (4) Hom : NLinSp op NLinSp NLinSp (A, B) Hom(A, B). f = sup{ f(x) x = 1 } üzerinde tanmlanan vektör uzayna normlu vektör uzay denir. Vektör uzaynn duali: V = hom(v, F ) Modülün duali: M = hom(m, R) Tanm B bir somut kategori olmak üzere U : B Set unutkan funktor olsun. hom(, A) = U F olacak ³ekilde bir A Ob(A) varsa, F : A B kontravaryant funktoruna hom-tipi funktor denir. 59

61 3.3 Hom-Tipi Funktor Örnekleri A B A(nesne) Hom(X, A) (1) R Mod Mod R op R X modülünün duali; Hom(X; R) (2) LinTop C Mod C X top.vek.uz.nn adj.modülü (3) Ab CompAb R/Z X ab.gr. karakteristik grubu (4) Top Rng R X üzerine reel-de erli sür.fonk.halkas A Hom(,A) B hom(,a) U Set 60

62 3.4 Kategoriler Kategorisi Önerme O= tüm küçük kategoriler snf. M= küçük kategoriler arasndaki tüm funktorlarn snf. dom : Mor Ob; dom(f )= küçük kategori cod : Mor Ob; cod(f )= küçük kategori = iki funktorun bile³kesi olmak üzere (O, M, dom, cod, ) kategorisi vardr. spat: küçük kategoriler arasndaki her funktor bir kümedir. Böylece istenen snar ve fonksiyonlar olu³turulabilir. Funktorlarn bile³kesi, fonksiyonlarn bile³kesi oldu undan matching(çak³ma), birle³me ve birimin varl ko³ullar sa lanr. Sadece; C = (O C, M C, dom C, cod C, C ) ve D = (O D, M D, dom D, cod D, D ) küçük kategoriler iken; {F C'den D'ye bir funktordur.} ifadesinin bir küme oldu unu göstermeliyiz. C ve D küme oldu undan,m C ve M D de küme olmaldr, böylece F = {g g, M C 'den M D 'ye bir fonksiyondur}, bir kümedir. Böylelikle {C} F {D} ye bir kümedir. Funktor tanmndan C den D ye her funktor {C} F {D} ye aittir. O halde {F F, C'den D' ye bir funktordur} bir kümedir. Not ) küçük kategorilerin kategorisini 'Cat' ile gösterece iz. 2) Cat, oldukça büyük bir kategoridir. 3) Set Cat Grp Cat 61

63 Pos Cat; bir funktor olu³turabiliriz. Bir kategorinin küçük olmas için gereken iki ko³ul; i) Ob(C) ve Mor(C) snf olmaldr; ii) C-nesnelerin her (A, B) ikilisi için hom C (A, B) bir küme olmaldr. A³a da daha genel bir kavramn tanmn verece iz: Tanm Bir quasikategori, a³a daki ko³ullar sa layan bir C = (O, M, dom, cod, ) be³lisinden olu³ur: i) O ve M konglomeratedir. ii) dom ve cod, M'den O'ya giden fonksiyonlardr. iii) : D M bir fonksiyondur: D = {(f, g) M M dom(f) = cod(g)} 1) f g tanml ise; dom(f g) = dom(g); cod(f g) = cod(f) 2) f g ve h f tanml ise; (h f) g = h (f g) 3) A O için dom(e) = A = cod(e) olacak ³ekilde e M vardr: a) f e = f (f e tanml ise) b) e g = g (e g tanml ise) Önerme Her kategori, bir quasikategoridir. ALI TIRMALAR 1. Small kategoriler arasndaki her funktorun bir küme oldu unu gösteriniz. 62

64 3.5 Funktor Özellikleri Tanm F : C D bir funktor olsun. i) C kategorisindeki P özellikli her C-morzmi (ya da nesnesi, ya da diyagram) F funktoru altnda D kategorisinde P özelli ine sahip ise, F funktoruna P özelli ini koruyor denir. ii) A³a daki önerme mevcut ise, F funktoru P kategori özelli ini yanstyor denir: C kategorisindeki bir C-morzminin (ya da nesnesinin,ya da diyagramnn) F funktoru altndaki görüntüsü D kategorisinde P özelli ine sahip iken C-morzmi (ya da nesnesi,ya da diyagram) C kategorisinde P özelli ine sahip ise F funktoruna P kategori özelli ini yanstyor denir. Önerme Her funktor birimi, izomorzmay, kesit, retraksiyon ve de- i³meli diyagram korur. spat: F : C D bir funktor ve f,g C kategorisinde g f = 1 A özelli ine sahip olan iki morzm olsun. 1 F (A) = F (1 A ) = F (g f) = F (g) F (f) O halde F (f) bir D-kesit, F (g) bir D-retraksiyondur. Böylece F kesit ve retraksiyonlar korur. Sonuç olarak F izomorzmay korur. Önerme C ve D ba lantl kategoriler, C bir X biti³ nesnesine sahip ve F : C D bir funktor olsun. A³a daki ifadeler denktir: 1) F, sabit morzmi korur. 2) F, biti³ nesnesini korur. 63

65 spat: (1) (2) : F nin sabit morzmi korudu u ve h, g : D F (X) oldu unu kabul edelim. 1 X : X X sabit morzm oldu undan F (1 X ) = 1 F (X) sabit olmaldr. Böylece; 1 F (X) h = 1 F (X) g h = g. Bu da bize F (X) in terminal nesne oldu unu gösterir. (2) (1) : f : C C bir sabit morzm olsun. Bu durumda f, X üzerinde faktorizelidir. f = h g olmak üzere F (f) : F (C) F (C ) F (g) : F (C) F (X) F (h) : F (X) F (C ) F (f) = F (h) F (g) (funktor özelli inden) ve hom D (F (X), F (C )) olup F (X) biti³ nesnesi oldu undan F (f) sabittir. 3.6 Funktorlarda Duallik C op ve D op ba lantl kategoriler ; C op bir X biti³ nesnesine sahip ve F op : C op D op bir funktor ise, bu takdirde a³a daki ifadeler denktir: i) F op, sabit morzmleri korur. ii) F op, biti³ nesnesini korur. Bu ifadeyi C ve D için uyarlarsak; C ve D ba lantl kategoriler ; C bir X ba³langç nesnesine sahip ve F : C D bir funktor ise, bu takdirde a³a daki ifadeler denktir: i) F, e³sabit morzmleri korur. 64

66 ii) F, ba³langç nesnesini korur. C ve D ba lantl, X bir C-ba³langç nesnesi ve F : C D bir kontravaryant funktor ise, a³a daki ifadeler denktir: i) F, C-e³sabitleri D-sabitlere ta³r. ii) F (X), bir D-biti³ nesnesidir. C ve D ba lantl, X bir C-biti³ nesnesi ve F : C D bir kontravaryant funktor ise, a³a daki ifadeler denktir: i) F, C-sabitleri D-e³sabitlere ta³r. ii) F (X), bir D-ba³langç nesnesidir. Tanm F : A B bir funktor olsun: 1) F nin kstlan³ F hom(f (A),F (A )) hom(a,a ) denir. 2) F nin kstlan³ F hom(f (A),F (A )) hom(a,a ) funktor denir. surjektif ise, F ye dolu(full) funktor injektif ise, F ye güvendolu(faithfull) 3) F : M or(a) Mor(B) injektif fonksiyon ise, F ye gömme (embedding) funktor denir. 4) B Ob(B) için F (A) Bolacak ³ekilde A Ob(A) varsa, F ye yo- un(dense) funktor denir. Örnek (1) A³a dakilerin her biri unutkan funtkordur ve güvendoludur. Fakat gömme de ildir. Grp Set Mon Set Top Set R Mod Set 65

67 (2) Her F : D D/ kanonik funktoru hem dolu hem de yo undur. (3) Her kapsama funktoru gömmedir. (4) Her unutkan funktor güvendoludur. (5) Grp Set ve Ab Set funktorlarnn her ikiside unutkan ve yo undur, fakat dolu de ildir. 66

68 Set kategorisinden alaca mz her nesnenin ters görüntüsü ile Grp kategorisindeki i³lemle birlikte bir yap olu³tururuz. Benzer durum Ab için de geçerli oldu undan unutkan funktorladr. Ayrca F (A) = B oldu undan yo- undurlar. Faithdolu de ildirler, çünkü Set kategorisindeki nesneler arasndaki mor- zmlerin says, Grp ve Ab kategorilerindeki morzmlerin saysndan fazladr. Bunun nedeni, Set kategorisinde i³lemi korumayan morzmlerin de var olmasdr. (6) Top 2 Top kapsama funktoru doludur, fakat yo un de ildir. F kapsama funktoru oldu undan A Ob(T op 2 ) F (A) = A Ob(T op) olaca ndan doludur. Yo un de ildir; çünkü Top kategorisinden ald mz her nesnenin ters görüntüsü Top 2 nin ko³ulunu sa lamayaca ndan F yo un de ildir. 3.7 Somut Kategori Tanm Tanm A herhangi bir kategori olmak üzere U : A Set funktoru güven dolu ise (A, U) ikilisine bir somut kategori denir. Önerme Her F : A B güven dolu funktor, monomorzmi, epimorzmi, bimorzmi, sabit morzmi, e³sabit morzmi, sfr morzmi ve de- i³meli üçgen diyagram yanstr. spat: F : A B güven dolu olsun. F (f), B de monomorzm olsun. 67

69 F (f) : F (A) F (A ) bir B-monomorzm olsun. A h k A f A f h = f k olsun. F funktorunu uygularsak; F (f h) = F (f k) ; F funktor oldu undan F (f)) F (h) = F (f) F (k) ; F (f) mono oldu undan F (h) = F (k) ; F güven dolu oldu undan; h = k O halde F, monomorzmleri yanstr. Epimorzm benzer ³ekilde gösterilebilir. F (f) : F (A) F (A ), B de sabit morzma olsun. r, s : A A olacak ³ekilde iki morzma olsun. F (f) F (r) = F (f) F (s) F (f r) = F (f s); F güven dolu oldu- undan, f r = f s f sabittir. F (A) F (f) F (A ) F (h) F (g) F (A ) diyagram komütatif olsun. F (h) = F (g) F (f); F funktor oldu undan F (h) = F (g f); F güven dolu oldu undan h = g f. Önerme Her F : A B güven dolu ve dolu ise kesit', retraksiyon' ve izomorzmay yanstr. spat: 68

70 F : A B dolu ve güven dolu olsun. F (f) : F (A) F (B); B de kesit olsun. Yani; 1 F (A) = F (g) F (f) = F (g f) 1 F (A) = F (g f) ; F güven dolu oldu undan 1 A = g f olup f nin sol tersi var oldu undan f bir kesittir. O halde F kesit yanstr. retraksiyon benzer ³ekilde yaplabilirdir. Bu sebeple F retraksiyonu yanstr. F hem kesit hem de retraksiyonu yanstt ndan F izomorzmay yanstr. Teorem Her F : A B dolu, güven dolu, yo un ise; F monomorzmay, epimorzmay, bimorzmay, sabit morzmi, e³sabit morzmay, sfr morzmay, kesit, retraksiyonu, izomorzmay ve de i³meli üçgen diyagram yanstr ve korur. spat: Yukardaki iki önermeden ve duallikten, sadece F nin monomor- zm ve sabit morzmleri korudu unu göstermemiz gerekir. f : A A bir A-morzm olsun. g, h : B F (A) herhangi iki B- morzm olsun. 69

71 r, q : A A, f sabit morzm oldu undan f r = f q. A q r A F (A ) B s f g h A F (A ) F (f) F (A) F yo un oldu undan B Ob(B) için F (A ) B olacak ³ekilde A Ob(A) vardr. F dolu oldu undan F (q) = g s ve F (r) = h s olacak ³ekilde q ve r A-morzmleri vardr. F (f r) = F (f q) F (f) F (r) = F (f) F (q) F (f) (h s) = F (f) (g s) F (f) g = F (f) h elde edilir. f monomorzm olsun. F (f) de monomorzm mi? F (f) g = F (f) h F (f) (g s) = F (f) (h s) ; F dolu oldu undan F (f) F (q) = F (f) F (r) F (f q) = F (f r); F güven dolu oldu undan f q = f r; f monomorzm oldu undan q = r F (q) = F (r) (g s) = (h s); s bir epimorzm oldu undan 70

72 g = h Böylece F (f) bir monomorzmdir. f bir sabit morzm olsun. F (f) de bir sabit morzm mi? (f q) = (f r) F (f q) = F (f r) ; F funktor oldu undan F (f) F (q) = F (f) F (r) ; F dolu oldu undan F (f) (g s) = F (f) (h s) ; s epimorma old. F (f) g = F (f) s O halde F (f) bir sabit morzmdir. Önerme Dolu (güven dolu, gömme, yo un) funktorlarn bile³kesi de dolu (güven dolu, gömme, yo un)dur. Önerme Bir kategorinin bir alt kategorisinin dolu (srasyla, yo un) olmas için gerek ve yeter ³art kapsama funktorunun dolu (srasyla, yo un) olmasdr. spat: C A alrsak C A her zaman dolu C dolu. hom C (C, C ) hom A (C, C ) her zaman var. hom A (C, C ) hom C (C, C ) dolu olmasndan kstlan³nda da surjektiftir. Önerme Her kovaryant hom funktoru, yani hom(a, ) monomorzmay korur. spat: f : B C monomorzmas olsun. hom(a, )(f) monomorzma mdr? hom(a, f)(x) = hom(a, f)(y) f x = f y x = y. Yani, hom(a, )(f) bir injektif fonksiyondur. hom(a, ) : C Set oldu- undan kümelerde injektiik monomorzmi getirir. O halde hom(a, )(f) monomorzmdir. 71

73 Tanm ) C bir kategori ve P Ob(C) olsun. hom C (P, ) : C Set epimorzmay koruyor ise, P nesnesine C-projektif nesne denir. 2) E er hom(, Q) : C op Set funktoru epimorzmay koruyor ise, Q nesnesine C-injektif nesne denir. Önerme ) C bir kategori ve P, C nin bir nesnesi olsun. Her bir f : B C ve g : P C morzmleri için g = f h olacak ³ekilde bir h : P B morzmas varsa, P bir C-projektif nesnedir. P h B f C 2) Her bir f : C B ve g : C Q morzmleri için g = h f olacak ³ekilde bir h : B Q morzmas varsa, Q bir C-injektif nesnedir. C f B g g Q h Örnek (1) Bir sol R-modül kategorik olarak (R-Mod) projektif bir R-modüldür ve (R-Mod) injektiftir bir injektif R-modüldür. (2) Grp, BooAlg ve R Mod kategorilerindeki projektif nesneler srasyla serbest nesnelerin, yani serbest gruplarn, serbest Boolen cebirlerinin ve serbest modüllerin retraktdr. (3) Bir topolojik uzay Top-projektiftir discretedir ve Top-injektiftir indiscretedir. Tanm C bir kategori ve S Ob(C) olsun. hom(s, ) : C Set funktoru güven dolu ise S nesnesine ayrc (seperator) denir. 72

74 Önerme Bir C-nesnesi S nin ayrc olmas için gerek ve yeter ³art f, g : A B farkl morzmler iken f x g x olacak ³ekilde bir x : S A morzmasnn var olmasdr. spat: S nesnesi ayrc olsun. Tanmdan hom C (S, ) : C Set güven doludur. f, g : A B farkl morzmler olsun. Bu durumda f g hom(s, f) hom(s, g) olur. O halde; hom(s, f)(x) hom(s, g)(x) olacak ³ekilde bir x hom(s, A) vardr; yani f x g x. S x A f g B Örnek (1) Set kategorisinde ayrclar, bo³ olmayan kümelerdir. (2) Top, Top 2 ya da CompT 2 için ayrclar, bu kategorilerde bo³ olmayan uzaylardr. (3) (Z, +) grubu, Grp ve Ab kategorileri için bir ayrcdr. (4) (N, +) monoidi, Mon kategorisi içim bir ayrcdr. (5) Her R halkas için, R Mod kategorisi için R bir ayrcdr. (6) En az iki elemanl kümeler, Set kategorisi için e³ayrclardir. (7) A³ikar olmayan indiscrete alt uzaylar Top kategorisi için e³ayrclardir. (8) Discrete ve indiscrete olmayan iki elemanl uzay T 0 -uzay kategorisi için bir e³ayrcdr. ALI TIRMALAR 1. Monomorzmleri korumayan bir funktor örne i veriniz. 73

75 2. A ve B sfr objelere sahip ve F : A B ise, bu takdirde a³a daki ifadeler denktir: (a) F sabit morzmleri korur. (b) F e³sabit morzmleri korur. (c) F sfr morzmleri korur. (d) F sfr objeleri korur. 3. Surjektif olmayan bir funktor ve üzerinde surjektif olmayan bir yo un funktor örne i veriniz. 4. Funktorlarn F G bile³kesi full oldu unda, F nin full; ve güvendolu oldu unda G nin faithful oldu unu ispatlaynz. 5. F : A B, a³a daki özelliklerden birine sahip olan bir funktor olsun: (a) F doludur. (b) F objeler üzerinde bire birdir. F altnda "A nn görüntüsü"nün B nin bir alt kategorisi oldu unu ispatlaynz. 6. Dolu, güvendolu ve yo un olan her funktorun ba³langç objelerini, biti³ objelerini, izdü³üm(projektive) objeleri, injective objeleri, seperatörleri ve e³seperatörleri korudu unu ve yanstt n ispatlaynz. 3.8 Do al Transformasyonlar ve Do al zomor- zmler Tanm ) F : A B ve G : A B iki funktor olsun. F den G ye giden bir do al transformasyon, a³a daki özelli i sa layan bir (F, η, G) üçlüsüdür: (i) Her A Ob(A) için η(a) : F (A) G(A) bir B-morzmdir. 74

76 (ii) f : A A morzmi için; F (A) η(a) G(A) F (f) G(f) F (A ) G(A ) η(a ) diyagramnn komütatif olmasdr, yani; G(f) η(a) = η(a ) F (f). 2) (F, η, G) bir do al transformasyon olsun. Her bir A Ob(A) için η(a) B- izomorzm ise, (F, η, G) do al transformasyonuna do al izomorzm denir. 3) F ve G iki funktor olsun. F ve G arasnda do al izomorzm varsa, F ve G funktorlar do al olarak izomorftur denir. Örnek (1) 1 F : F F do al izomorzmdir. A 1 F (A) F (A) F (A) izomorzmdir. (2) η : π n (X, x 0 ) H n (X) do al transformasyondur. X η(x) : π n (X) H n (X) π n : Top Ab(n 2) H n : Top Ab (3) H : Grp Ab abelle³tirme funktoru ve K : Ab Grp kapsama funktoru olsun. Bu durumda 1 Grp : Grp Grp ve K H : Grp Grp olmak üzere 1 Grp K H 75

77 do al transformasyondur. (4) U : Grp Set, F : Set Grp olmak üzere U F : Set Set ve 1 Set : Set Set için η : 1 Set U F bir do al transformasyondur. Benzer ³ekilde ε : F U 1 Grp bir do al transformasyondur. (5) ( A) : Set Set bifunktor, hom Set (A, ) : Set Set olmak üzere ( A) hom Set (A, ) : Set Set ve 1 Set : Set Set için η : ( A) hom Set (A, ) 1 Set do al transformasyondur. Tanm η : F G, ε : G H birer do al transformasyon olsun. Bu iki transformasyonun bile³kesi, a³a daki özelli i sa layan (F, ξ, G) üçlüsüdür: A Ob(A) nesnesini ξ(a) = ε A η A götürmelidir. : F (A) H(A) morzmine Önerme Do al transformasyonlarn bile³kesi de do al transformasyondur. spat: F, G, H n domainindeki her f : A B için F (A) G(A) H(A) F (f) G(f) H(f) F (B) G(B) H(B) diyagramnn komütatii inden istenilen sonuç hemen görülür. 76

78 Önerme Do al transformasyonlarn bile³kesi birle³melidir; yani δ η ve η ε tanml olacak ³ekilde δ, η ve ε do al transformasyonlar ise, (δ η) ε ve δ (η ε) tanmldr ve (δ η) ε = δ (η ε). Önerme η : F G do al transformasyonunun do al izomorzm olmas için gerek ve yeter ³art δ η = 1 F ve η δ = 1 G olacak ³ekilde δ : G F do al transformasyonunun var olmasdr. spat: ( :) F : A B ve G : A B iki funktor olsun. η : F G do al izomorzm oldu unu varsayalm. δ : Ob(A) Mor(B) A δ(a) = η 1 A : G(A) F (A) ³eklinde tanmlansn. δ η = 1 F ve η δ = 1 G oldu u kolayca görülür. ( :) δ : G F do al transformasyonu var olsun. A Ob(A) alalm. η A : F (A) G(A) B-izomorzm midir? δ A η A = (δ η) A = 1 F (A) η A δ A = (η δ) A = 1 G(A) oldu undan η A izomorzmdir. O halde η do al izomorzmdir. 3.9 Yldz Çarpm (Star Product) Önerme F, G : A B ve H, K : B C funktorlar; ve η : F G ve δ : H K do al transformasyonlar olsun. Bu durumda her 77

79 bir A Ob(A) için; (H F )(A) H(η A) (H G)(A) δ F A δ GA (K F )(A) (K G)(A) K(ηA ) kare daigram de i³melidir. Üstelik µ : Ob(A) M or(c) µ A = δ GA H(η A ) = K(η A ) (δ F A ) olacak ³ekilde bir fonksiyon ise, bu takdirde (H F, µ, K G) bir do al transformasyondur. Tanm µ : H F K G, yukardaki önermede olu³turuldu u gibi bir do al transformasyon ise, bu takdirde µ, δ ve η nn yldz çarpm olarak adlandrlr ve δ η ile gösterilir. Önerme Star product birle³melidir; yani δ η ve η ε tanml ise (δ η) ε ve δ (η ε) tanmldr, ve (δ η) ε = δ (ς ε). spat: δ η ve η ε tanml ise, bu durumda; Star product tanmn birkaç defa uygularsak; ((δ η) ε) A = (K G)(ε A ) (δ η) SA = K(G(ε A )) (K(η SA ) δ (F S)A ) = K(G(ε A η SA ) δ (F S)A = (δ (η ε)) A. 78

80 Teorem Herhangi ϑ, µ, η ve ε do al transformasyonlar için (ϑ µ) (η ε) = (ϑ η) (µ ε); yani bir taraf tanml ise di er tarafta tanmldr ve ikisi birbirine e³ittir. 79

81 Sonuç (Godement'in 5 Kural) funktorlar ve do al transformasyonlar verilsin. A³a dakiler sa lanr: 1) (G F ) ξ = G (F ξ) 2) ξ (K L) = (ξ K) L 3) 1 U K = 1 U K 4) F 1 U = 1 F U 5) F (ξ K) = (F ξ) K 6) F (η ξ) K = (F η K) (F ξ K) 7) kare diagram de i³melidir. ALI TIRMALAR F U µ U F ξ F V µ V H U H ξ H V 1. Sayfa 63, Örnek 3 ve 4'teki do al transformasyonlarn ikisinin de do al izomorzm olmad n gösteriniz. 2. (F, η, G) bir do al transformasyon (srasyla, do al izomorzm) ise, bu takdirde (F op, η, G op ) bir do al transformasyon (srasyla, do al izomorzm)dir, gösteriniz. [(F op, η, G op ), bazen (F, η, G) nin zdd olarak da adlandrlr.] 80

82 3. F, G : A B funktorlar ve η : F G bir do al transformasyon ise, bu takdirde η nn A dan B 2 ye bir funktor olarak göz önüne alnabilece ini gösteriniz. (Burada B 2, B için arrow kategorisidir.) 4. F : Set Grp "serbest grup" funktorundan G : Set Grp "serbest abel grup" funktoruna en az iki do al transformasyonun var oldu unu gösteriniz. 5. F, G : A B funktorlar ve B pointed ise, bu takdirde bir η : F G do al transformasyonunun var oldu unu gösteriniz. 81

83 3.10 Funktorlar zomorzmas ve Kategoriler Denkli i Tanm ) F : A B bir funktor olsun. G F = 1 A ve F G = 1 B olacak ³ekilde G : B A funktoru varsa F ye A dan B ye izomorzm denir. 2) A ve B kategorileri arasnda bir izomorzm varsa, A kategorisi B kategorisine izomorktir denir. Örnek (1) Her birim funktor bir izomorzmdir. (2) G : Rng Rng R G(R) = hom(r, F ) = R (3) F : Ab Z Mod bir izomorzmdir. (4) Herhangi bir C kategorisi için (C C) op = C op C op. (5) Bir kategorinin somutla³trlabilir olmas için gerek ve yeter ko³ul Set kategorisinin bir alt kategorisine izomork olmasdr. Önerme (zomorzmlerin Karakterizasyonu) F : A B bir funktor olsun. A³a dakiler denktir: 1) F bir izomorzmdir. 2) F : Mor(A) Mor(B) fonksiyonu bijektiftir. 3) F dolu, güven dolu ve F : Ob(A) Ob(B) bijektiftir. spat : (1) (2) : F izomorzm ise, F nin F G = 1 B ve G F = 1 A olacak ³ekilde sa ve sol tersleri mevcuttur. Bu da bize F nin bijektii ini verir. (2) (3) : F bijektif ise F nin kstlan³ da bijektif alaca ndan F dolu ve güven dolu olur. Tersine F dolu ve güven dolu oldu unda F nin kstlan³ 82

84 bijektiftir. Kstlan³ bijektif ise F nin kendisi de bijektiftir. Tanm ) C bir kategori olsun. C kategorisindeki izomorf nesneler özde³ ise C kategorisine iskelet(skeleton) denir. 2) Bir C kategorisinin iskeleti; C kategorisinin maksimal, dolu iskelet alt kategorisidir. Örnek (1) Kardinal saylarn dolu alt kategorisi, Set için bir iskelettir. (2) Herhangi bir F cismi için, tüm F I kuvvetlerinin dolu alt kategorisi F Mod için bir iskelettir. (3) Herhangi bir F cismi için, tüm sonlu F n kuvvetlerinin dolu alt kategorisi F üzerindeki tüm sonlu-boyutlu vektör uzaylarnn kategorisi için bir iskelettir. Önerme Her C kategorisi bir iskelete sahiptir. spat: A = B olacak ³ekilde A dan B ye bir C-izomorzm varsa, = Ob(C) üzerinde bir denklik ba ntsdr. Seçme aksiyomu (1.2(4))'ten S gösteriminin bir sistemine sahiptir. C nin S tarafndan üretilen dolu alt kategorisi B olsun. Bu durumda B iskeletdr ve C nin ba³ka hiçbir iskelet alt kategorisinde içerilmez. Önerme Bir kategorinin herhangi iki iskeleti izomorftur. Tanm A ve B iki kategori olsun. A ve B kategorileri izomorf iskeletlere sahipse, A kategorisi B kategorisine denktir denir. Önerme ) Bu ba nt bir denklik ba ntsdr. 2) Her iskelet kategori denktir bu kategoriler izomorftur. 83

85 Teorem F : A B bir fuktor olsun. A³a dakiler denktir: 1) F dolu, güven dolu ve yo undur. 2) F G 1 B ve G F 1 A olacak ³ekilde G : B A funktoru vardr. 3) F η = (ε F ) 1 ve G ε = (η G) 1 olacak ³ekilde G : B A funktoru ve η : 1 A G F, ε : F G 1 B do al izomorzmleri vardr. Tanm ) Bir F funktoru, yukardaki teoreme ait önermelerden birini sa lyorsa F funktoruna denk funktor denir. 2) F, G funktor ve η, ε do al transformasyon olsun öyle ki F η = (ε F ) 1 ve G ε = (η G) 1 özellikleri sa lasn. (F, G, η, ε) dörtlüsüne denk durum (equivalent situation) denir. Önerme ) Denk funktorlarn bile³kesi denktir. 2) F denk ise F duali de denktir. 3) (F, G, η, ε) denk durum ise (F, G, η 1, ε 1 ) denk durumdur. spat: 1) F : A B, G : B C birer denk funktor olsun. dolu, güven dolu, yo un funktorlarn bile³kesi yine dolu, güven dolu, yo un oldu undan denk funktorlarn bile³kesi yine denk funktordur. 2) Benzer dü³ünce ile gösterilir. 3) f herhangi bir izomorzm olsun. (f 1 ) 1 = f oldu unu biliyoruz. (F, G, η, ε) denk durum olsun. F : A B, G : B A, η : 1 A G F, ε : F G 1 B. (ε F ) 1 = F ε 1 F η = (η 1 F ) 1 G ε = (ε 1 G) 1 84

86 Önerme S, C kategorisinin iskeleti ve E : S C kapsama funktoru olsun. O zaman P E = 1 S olacak ³ekilde P : C S funktoru vardr. Ayrca p ve E denk funktorlardr. spat: E P = 1 C oldu unu göstermemiz yeterlidir. E P : C C A E P (A) = A = 1 C (A) f E P (f) = f = 1 C (f) ; dolu alt kat. old. morzm korunur ³eklinde tanmland ndan E P = 1 C. Teorem A ve B kategorilerinin denk olmas için gerek ve yeter ³art F : A B funtorunun denk olmasdr. Örnek (1) Her izomorzm bir denkliktir. Bir funktorun izomorf olmas denkli i verir. (2) E : S C ve P : C S birer denk funktordur. (3) F : C C, 1 C ye do al olarak izomorf ise F denk funktordur. Tersi do ru de ildir. η : F 1 C, η(c) : F (C) 1 C (C) C-izomorzmdir. Bu durumda retraksiyon ve kesit vardr. retraksiyon ise dolu, kesit ise güven doludur. Yo unluk ise retraksiyondan gelir. O halde F denk funktordur. (4) F bir cisim, A F cismi üzerindeki sonlu boyutlu vektör uzaylar kategorisi olsun. Hom(, F ) : A op A funktoru denk funktordur, fakat izomorzm de ildir. Tanm ) A ve B iki kategori olmak üzere A op ve B kategorileri denk ise A ve B kategorileri dual olarak denktir denir. 2) A kategorisi A op dualine denk ise A kategorisine dual olarak kendi kendine denktir denir. 85

87 Örnek (1) Herhangi bir C kategorisi için C ve C op dual olarak denktir. (2) A, sonlu boyutlu vektör uzaylar olsun. A dual olarak kendi kendine denktir Funktor Kategorileri Tanm A ve B kategoriler ise, nesneleri A dan B ye funktorlar olan FUN C un dolu alt quasi kategorisi [A, B] ya da B A ile gösterilir ve A dan B ye funktorlarn (quasi)kategorisi ya da [A, B] funktor (quasi)kategorisi olarak adlandrlr. Önerme A küçük ise, herhangi bir B kategorisi için [A, B] quasikategorisi bir kategoriye izomorftur. Önerme F, G : A B funktorlar ve η : F G bir do al transformasyon ise, η nn B A da bir izomorzm olmas için gerek ve yeter ³art onun bir do al izomorzm olmasdr. Önerme η, [A, B] deki bir morzm ise, a³a daki özelliklerden birine sahiptir: A Ob(A) için η "izomozm", "monomorzm", "epimorzm", "bimorzm", "sabit morzm", "e³sabit morzm" ya da "sfr morzm" ise η A da ayn özelli e sahiptir. Önerme B kategorisi a³a daki özelliklerden birine sahip ise, bu durumda herhangi bir A kategorisi için [A, B] de ayn özelli e sahiptir: "ba³langç nesnesine sahip", "biti³ nesnesine sahip", "sfr nesnesine sahip" ya da "noktal". Önerme Herhangi A ve B kategorileri için, a³a daki gibi tanml 86

88 bir E : B A A B (bi)funktoru vardr: E(F, A) = F (A) Herbir η : F G ve f : A A için E(η, f) = G(f) η A = η A F (f) B A için evaluation funktor olarak adlandrlr. Tanm Herhangi iki B ve A kategorileri için bir C:B B A "e³sabit funktoru" vardr ve a³a daki gibi tanmldr: Her bir B B-nesnesi, her bir A-nesnesindeki de eri B ve her bir A- morzmindeki de eri 1 B olan A kategorisinden B kategorisine bir C(B) sabit morzmi vardr. Her bir f : B ˆB B-morzmi için C(f), C(B) den C( ˆB) ye do al transformasyonu a³a daki gibi tanmldr: A Ob(A) için (C(f)) A = f dir. Teorem A, B ve C kategoriler ise, bu durumda (C B ) A ve C A B funktor (quasi) kategorileri izomorktir. 87

89 E e Bölüm 4 KATEGORLERDE LMT 4.1 E³itleyici (Equalizer) ve E³e³itleyici (Coequalizer) Önerme A ve B birer küme olmak üzere f, g : A B iki fonksiyon olsun. O zaman E = {a A f(a) = g(a)} kümesinin gömmesi e, a³a daki özelliklere sahiptir: i) e : E A bir foksiyon ii) f e = g e iii) f e = g e olacak ³ekildeki e fonksiyonu için a³a daki diyagram komütatif yapacak ³ekilde bir tek ē : E E fonksiyonu vardr: ē E e A Tanm f, g : A B iki C-morzm olsun. E er a³a daki özellikler mevcut ise (E, e) ikilisine f ve g morzmlerinin e³itleyicisi (equalizer) denir: 88

90 E e i) e : E A bir C-morzm ii) f e = g e iii) f e = g e olacak ³ekilde e morzmi için a³a daki diyagram komütatif yapacak ³ekilde bir tek ē : E E C-morzmi vardr. ē E e A Tanm f, g : A B iki C-morzm ve c : B C C-morzm olsun. A³a daki özellikler mevcut ise (c, C) ikilisine f ve g morzminin e³e³itleyicisi (coequalizer) denir: i) c : B C bir C-morzm ii) c f = c g iii) c f = c g olacak ³ekilde c morzmi için a³a daki diyagram komütatif olacak ³ekilde bir tek c : C C C-morzmi vardr: C c C c c B Örnek (1) C = Set, Grp, R Mod, Top f, g : A B morzm E = {a A f(a) = g(a)} e : E A kapsama fonksiyonu (E, e) ikilisi, f ve g morzmlerinin e³itleyicisidir. 89

91 (2) C=Yerel ba lantl topolojik uzaylar kategorisi; f, g : X Y ; X ve Y iki yerel ba lantl topolojik uzay, f ve g iki sürekli fonksiyon; E = {x X f(x) = g(x)} e : E X kapsama fonksiyonu sürekli (E, e), f ve g fonksiyonlarnn e³itleyicisidir. Not f, g : X Y ; Y Hausdor ise A = {x X f(x) = g(x)} X te kapaldr. Önerme (E, e), f, g : A B morzmlerinin e³itleyicisi ise, (E, e) A nn alt nesnesidir. spat: e : E A morzminin monomorzm oldu unu gösterelim. r, s : C E olmak üzere e r = e s olsun. C e r,s E f e,g e B e r = e s f e r = g e s r = s e monomorzm. Önerme (E³itleyicinin Tekli i) f, g : A B iki morzm olsun. Bu morzmlerin iki tane e³itleyicisi varsa, bu e³itleyiciler A nn izomork alt nesneleridir; yani (E, e) (Ê, ê). spat: (E, e) ve (Ê, ê), f ve g morzmlerinin iki e³itleyicisi olsun. E³itleyici tanmndan e = ê p ve ê = e q olacak ³ekilde bir tek p ve q morzmleri vardr. (E, e) (Ê, ê) ve (Ê, ê) (E, e) (E, e) (Ê, ê). 90

92 Notasyon: (E, e) Equ(f, g). Önerme (E, e) Equ(f, g) olsun. A³a dakiler denktir: i) f = g ii) e izomorzm iii) e epimorzm spat: (i) (ii): f = g olsun. f 1 = g 1 ve e s = 1 olacak ³ekilde bir s morzmi vardr. e retraksiyondur. e ayn zamanda monomorzmdir (e³itleyici tanmndan). O halde e izomorzmdir. (ii) (iii): Her izomorzm epimorzm oldu undan e epimorzmdir. (iii) (i): e epimorzm olsun. f e = g e f = g. Tanm C bir kategori olsun. Her C-morzm ikilisi e³itleyiciye sahip ise, C-kategorisi e³itleyiciye sahiptir denir. Not Bir kategoride e³okolizerin var olmas benzer ³ekilde tanmlanr. Örnek (1) C = Set, Grp, Top, R Mod kategorilerinde her C- morzm ikilisinin e³itleyicisi var oldu undan, bu kategoriler e³itleyiciye sahiptir. (2) En az iki elemanl tüm kümeler ve bunlar arasndaki fonksiyonlarn kategorisi ne e³itleyiciye ne de e³e³itleyiciye sahiptir. 91

93 Tanm ) (h i ) i I hom C (A, B) olsun. A³a daki özellikler mevcut ise (E, e) ikilisine (h i ) i I morzmlerinin çoklu e³itleyicisi denir: i) e : E A ii) i, j I için h i e = h j e iii) i, j için h i e = h j e olacak ³ekilde e : E A morzmi için e ē = e olacak ³ekilde bir tek ē : E E morzmi vardr. 2)C-kategorisindeki morzmlerin çoklu e³itleyicisi varsa, C kategorisinin çoklu e³itleyicisi vardr denir. Önerme ) Çoklu e³itleyici bir alt nesnedir. 2) ki çoklu e³itleyici, izomork alt nesnelerdir. 4.2 Regüler Monomorzmler Tanm ) e : E A bir C-morzm ise (E, e) ikilisine bir regüler alt nesne denir. 2) (E, e) Equ(f, g) olacak ³ekilde f, g morzmleri varsa e ye regüler monomorzm denir. 3) C bir kategori olsun. Her C-nesnesinin regüler alt nesnesinin temsili kümesi varsa, bu kategori regüler iyi-kuvvete sahiptir denir. Not Dual kavramlar benzer ³ekilde tanmlanr. Örnek (1) C = Set, Grp, R Mod, CompT 2 olmak üzere, bu kategorilerde; regüler monomorzmler monomorzmlerdir, regüler epimorzmler epimorzmlerdir. (2) C = Top kategorisinde regüler monomorzmler, gömmeler, regüler epimorzmler bölüm dönü³ümleridir (yani surjektif identikasyon dönü³ümleridir). 92

94 (3) Mon, SGrp ve Rng kategorilerinde regüler monomorzm olmayan monomorzmler vardr; örne in Z Q kapsama dönü³ümü. Önerme Bir C kategorisinde 1)Her C-kesit bir regüler monomorzmdr. 2) Her regüler monomorzm bir C-monomorzmdir. spat : 2) Tanmdan ve (E, e), A nn alt nesnesi oldu undan regüler monomorzm bir C-monomorzmdir. 1) f : A B bir kesit olsun. f kesit oldu undan g f = 1 A olacak ³ekilde g : B A morzmi vardr. (A, f) Equ(1 B, f g) oldu unu iddia ediyoruz. 1 B f = f 1 A = f g f 1 B r = f g r olacak ³ekilde r morzmi varsa r = f (g r). Dolaysyla bu, r nin çarpanlara ayrlmasdr. f monomorzm oldu undan r tektir. g r E r f g A f B 1B B Önerme Herhangi bir f morzmi için a³a dakiler denktir: i) f izomorzma ii) f regüler monomorzm ve epimorzm iii) f regüler epimorzm ve monomorzm. 4.3 Çekirdek Tanm C bir noktal kategori olsun. 1) f : A B C-morzm ve 0 AB : A B bir tek sfr morzm olsun. Equ(f, 0 AB ) ye f nin çekirde i denir, Kerf ile gösterilir. 93

95 2) E er C kategorisindeki her morzmin çekirde i varsa, kategorinin çekirde i vardr denir. 3) k : K A bir morzm olsun. (K, k) Kerf olacak ³ekilde bir f morzmi varsa, k morzmine normal monomorzm, (K, k) ikilisine A nn normal alt nesnesi denir. ALI TIRMALAR 1. f, g : A B C-morzmler ise, bu takdirde a³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (a) f = g. (b) (A, 1 A ) Equ(f, g). (c) Her h : C A izomorzmi için, (C, h) Equ(f, g). 2. m nin bir monomorzm, ve m f ve m g nin tanmland n kabul edelim. A³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (a) (E, e) Equ(f, g). (b) (E, e) Equ(m f, m g). 3. Herhangi bir a³ikar olmayan (bir kategori olarak göz önüne alnan) grubun e³itleyicilere sahip olmad n gösteriniz. 4. C kategorisinin e³itleyicilere sahip oldu unu kabul edelim. f nin bir C- epimorzm olmas için gerek ve yeter ³art f = m g ve m bir regüler monomorzm iken m nin bir izomorzm olmasdr. spatlaynz. 5. g f bir regüler monomorzm ve f bir epimorzm ise, bu takdirde f bir izomorzmdir. spatlaynz. 6. f, R Mod kategorisinde bir morzm ise, bu takdirde a³a daki ifadeler denktir: (a) f undelying kümeler üzerinde bir injektif fonksiyondur. (b) f bir monomorzmdir. (c) f bir regüler monomorzmdir. 94

96 (d) f bir normal monomorzmdir. 4.4 Arakesitler ve Çarpanlar Arakesitler Önerme i I için A i, B nin alt kümeleri; m i : A i B kapsama fonksiyonu olsun. i I A i ve d i : i I A i A i a³a daki özelliklere sahiptir: i) d : i I A i B bir fonksiyondur. ii) i I için m i d i = d olacak ³ekilde d i : i I A i A i fonksiyonu vardr. iii) g : C B bir fonksiyon ve m i g i = g olacak ³ekilde i I için g i : C A i fonksiyon olsun. O zaman d f = g olacak ³ekilde bir tek f : C i I A i fonksiyonu vardr. C f i I A i d g B Tanm B bir C-nesne, (A i, m i ) B nin alt nesnesi olsun. A³a dakiler mevcut ise, (D, d) ikilisine (A i, m i ) alt nesnelerinin arakesiti denir: i) d : D B bir C-morzm. ii) i I için m i d i = d olacak ³ekilde d i : D A i morzmi vardr. iii) g : C B bir morzm ve m i g i = g olacak ³ekilde i I için g i : C A i bir morzm ise d f = g olacak ³ekilde bir tek f : C D 95

97 morzmi vardr. C f g D d B Not E³arakesit kavram, bölüm nesnesi kullanlarak tanmlanr. Önerme Bir B nesnesinin alt nesneler ailesi (A i, m i ) nin her (D, d) arakesiti, B nin bir alt nesnesidir. Ayrca d monomorzm ve (D, d) en büyük alt nesnedir. (D, d), (A i, m i ) lerden küçüktür, yani (D, d) (A i, m i ). Sonuç Bir A nesnesine ait alt nesneler ailesinin iki arakesiti A nn izomorf alt nesneleridir. Tanm C bir kategori olsun. Her C nesnesine ait alt nesneler ailesinin bir arakesiti varsa, C kategorisinin arakesiti vardr denir. Örnek (1) B herhangi bir nesne olsun. B nin alt nesnelerinin bo³ ailesinin arakesiti vardr ve bu, (B, 1 B ) dir. (2) i I için A i, B kümesinin bir alt kümesi, m i : A i B kapsama dönü³ümü ve d : A i B kapsama dönü³ümü ise, ( A i, d) B nin alt nesnelerinin (A i, m i ) ailesinin Set kategorisindeki arakesitidir. Önerme Bir C kategorisi iyi-üslü, arakesiti ve e³itleyicisi var olsun. C kategorisine ait her nesnenin alt nesneler ailesinin bir arakesiti vardr. spat: B nin alt nesnelerinin bir ailesi (A i, m i ) I olsun. C iyi-üslü oldu- undan (A i, m i ) I nn bir küme indeksli alt ailesi vardr. Küme-indeksli alt ailelerin arakesitinin ayrca orijinal ailesinin arakesiti oldu u açktr. 96

98 4.5 Çarpanlar ve Ekstrem Morzmler Önerme Bir C kategorisi iyi üslü, arakesiti ve e³itleyicisi var olsun. O zaman her C-morzmi f : A B çarpanlara ayrlr, yani f = m e dir. (Burada e epimorzm, m monomorzmdir.) spat: (D i, m i ), B nesnesinin alt nesneler ailesi olsun öyle ki f = m i h i ; h i : A D i. Bir önceki önermeden (D i, m i ) nin arakesiti vardr. Bu arakesit (D, m) olsun. Arakesitin tanmndan f = m e olacak ³ekilde e : A D vardr. e nin epimorzm oldu unu gösterelim: r e = s e olsun ve (E, k) Equ(r, s) olsun. E³itleyicinin tanmndan e = k h olacak ³ekilde bir h : A E morzmas vardr. k monomorzm oldu undan (E, m k) alt nesnesi (D i, m i ) ailesine aittir. Böylece m k d j = m j d j = m = m 1. m monomorzma oldu undan k d j = 1 olur. Dolaysyla k retraksiyondur. O halde k izomorzmdir. Bu da bize e nin epimorzm oldu unu verir. A h h i Di e d i E k D m i m r,s B Tanm ) C bir kategori ve e, C de bir morzm olsun. E er e a³a daki özellikleri sa lyorsa e ye ekstrem epimorzm denir: i) e epimorzm ii) m monomorzm olmak üzere e = m f ise, m izomorzmdir. 2) e : A B epimorzm ise, (e, B) nesnesine A nn ekstrem bölüm 97

99 nesnesi denir. 3) C bir kategori olsun. Her C-nesnesinin en çok bir (izomorf olmayan) ekstrem bölüm nesnesi varsa, C ye ekstrem e³-iyi üslü kategori(exstreme co-well powered category) denir. Örnek (1) C = Set, Grp, R Mod kategorilerinde ekstrem epimor- zmler epimorzmlerdir, ekstrem monomorzmler monomorzmlerdir. (2) C = Top kategorisindeki ekstrem epimorzmler, bölüm dönü³ümleridir. ekstrem monomorzmler gömmelerdir. (3) Top 2 kategorisindeki ekstrem epimorzmler, topolojik bölüm dönü³ümleridir; ekstrem monomorzmler, kapal gömmelerdir. (4) SGrp ve Rng kategorilerinde ekstrem epimorzmler surjektif homomor- zmlerdir ve ekstrem olmayan monomorzmler vardr. Önerme Her regüler epimorzm bir ekstrem epimorzmdir. spat: e : A B regüler epimorzm olsun; burada e = m f, m monomorzmdir. (e, B) Coeq(r, s) olacak ³ekilde r ve s morzmleri vardr. m f r = e r = e s = m f s f r = f s. e³e³itleyicinin tanmndan, h e = f olacak ³ekilde h morzmi vardr. m h e = m f = e = 1 e m h = 1 m retraksiyondur. Tanmdan m nin monomorzm oldu unu biliyoruz. O halde m izomorzmdir. Önerme Herhangi bir f morzmi için, a³a dakiler denktir: 1) f izomorzmdir. 2) f bir ekstrem epimorzm ve bir monomorzmdir. 3) f bir ekstrem monomorzm ve bir epimorzmdir. 98

100 spat: (1) (2) : Her izomorzm, regüler epimorzm ve monomorzmdir. Her regüler epimorzm, ekstrem epimorzm oldu undan istenen sonuç elde edilir. (2) (1) : f ekstrem epimorzm ve monomorzm olsun. f = f 1, f monomorzmdir, ekstrem ko³ulundan f izomorzmdir. (1) (3) : (2), (3)'ün dualidir. Dolaysyla (1), (2)'ye denk oldu undan (1), (3)'e denktir. (Ayrca (1), kendisinin dualidir) Önerme Herhangi bir C kategorisi için, a³a dakiler denktir: 1) C-balansldr. 2) Her C epimorzm bir ekstrem epimorzmdir. 3) Her C monomorzm bir ekstrem monomorzmdir. spat: (1) (2) : e bir epimorzm, ve m bir monomorzm olmak üzere e = m f ise, m bir epimorzmdir. Böylece C balansl oldu undan m bir izomorzmdir. e ekstrem epimorzmdir. (2) (1) : Yukardaki önermeden elde edilir. Tanm E ve M, bir C kategorisinin morzmlerinin snar olsun. 1) A³a daki ko³ullar sa layan (e, m) ikilisi, bir f C-morzminin bir (E, M)- faktorizasyonu olarak adlandrlr: i) f = m e ii) e E iii) m M 2) Her bir C-morzmi bir (E, M)-faktorizasyonuna sahip olan C kategorisine, bir (E, M)-faktorizeli(çarpanlarna ayrlabilir) kategori denir. 3) C bir tek (E, M)-faktorizeli(çarpanlarna ayrlabilir) kategoridir (E, M) faktorizeli ve ayn f C-morzminin herhangi iki (E, M) çarpan 99

101 f = m e = m ē için; e ē m h m diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir h izomorzmi vardr. 4) M, monomorzmlerden olu³uyor ise f M olmas ko³uluyla (A, f) bir M-alt nesnesi olarak adlandrlr ve her bir C-nesnesi M-alt nesnelerinin bir gösterim kümesi varsa C ye M-iyi üslü denir. Önerme C iyi üslü ve, arakesit ve e³itleyiciye sahip ise C (ekstrem epi,mono)-faktorizelidir. Önerme A e B f g C m D kare diagram de i³meli, e bir regüler epimorzm ve m bir monomorzm ise, A e B f h C m D diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir h : B C morzmi vardr. spat: e bir regüler epimorzm oldu undan (e, B) Coeq(r, s) olacak ³ekilde r ve s morzmleri vardr. m (f r) = g (e r) = g (e s) = m (f s), böylece m bir monomorzm oldu undan, f r = f s dir. O halde e³e³itleyici tanmndan f = h e olacak ³ekilde bir h morzmi vardr. e bir epimorzm oldu undan, g = m h oldu u elde edilir. 100 g

102 Önerme Bir C-kategorisi (regüler epi, mono) faktorizeli ise, bu durumda; 1) C tek olarak (regüler epi, mono)-faktorizelidir. 2) C deki regüler epimorzmler, ekstrem epimorzmdir. ALI TIRMALAR 1. X objesinin alt objelerinin bir ailesi (X i, m i ) ve (a) her i için (D, d) (X i, m i ) ve (b) her i için (E, e) (X i, m i ) olacak ³ekilde X in bir alt objesi (E, e) ise, bu takdirde (E, e) (D, d) olacak ³ekilde X in bir alt objesi (D, d) olsun. (D, d) nin, (X i, m i ) I lerin kesi³imi olmas gerekmedi ini bir örnekle gösteriniz. 2. f bir extremal monomorzm ve f = h g ise, bu takdirde g nin bir extremal monomorzm olmas gerekti ini ispatlaynz. 3. Bir C kategorisinde, f f = f özelli ini sa layan bir f : A A C- morzmi bir idempotenttir. r s = 1 B olmak üzere A f A = A r B s A faktorizasyonu varsa, f idempotentine parçalanabilir denir. Herhangi bir C kategorisi ve C deki herhangi bir f : A A idempotent morzmi için a³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (a) f, C de parçalanabilirdir. (b) f, C de bir (retraction, section)-faktorizasyona sahiptir. (c) f ve 1 A morzmleri, C de bir e³itleyiciye sahiptir. (d) f ve 1 A morzmleri, C de bir e³e³itleyiciye sahiptir. 101

103 4.6 Çarpm ve E³-çarpm Önerme (A, B) kümelerinin kartezyen çarpm; bir P kümesi ile birlikte projeksiyon fonksiyonlar π A : P A, π B : P B ³u özellikleri sa lar: C herhangi bir küme ve f : C A, g : C B herhangi fonksiyonlar ise a³a daki diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek h : C P fonksiyonu vardr: f A π A C h P π A h = f ; π B h = g g B π B Tanm C kategorisinin nesnelerinin bir (A, B) çiftinin çarpm (P, π A, π B ) üçlüsüdür öyle ki P bir nesne, π A : P A, π B : P B C-morzmler (ki bunlara projeksiyon denir) olmak üzere a³a daki özellikleri sa lar: f : C A, g : C B rastgele C-morzmler ise; f A C <f,g> P π A π A < f, g >= f ; π B < f, g >= g g B π B diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek < f, g >: C P C-morzmi vardr. Not (P, π A, π B ) üçlüsünü ksaca A B ile gösterece iz. 102

104 Tanm C kategorisinin nesnelerinin bir (A, B) çiftinin bir C-e³çarpm, K bir C-nesne; µ A : A K, µ B : B K C-morzmler (ki bunlara injeksiyon denir) olmak üzere a³a daki ko³ullar sa layan (µ A, µ B, K) üçlüsüdür: C herhangi bir nesne f : A C, g : B C rastgele C-morzmler olmak üzere a³a daki diyagram de i³meli yapan bir tek [f, g] : K C C-morzmi vardr. A µ A µ B f K [f,g] C B g [f, g] µ A = f ; [f, g] µ B = g Not (µ A, µ B, K) e³çarpm üçlüsüne ksaca A B ile gösterece iz. Tanm C-nesnelerin bir (A i ) i I ailesinin C-çarpm, a³a daki özellikleri sa layan (Π(A i ) i I, (π i ) i I ) ikilisidir: i) Π(A i ) i I bir C-nesnedir. ii) Her bir j I için π j : Π(A i ) i I A j bir C-morzmdir. (Π(A i ) i I dan A j ye izdü³üm denir.) iii) Her bir (C, (f i ) i I ) ikilisi için (C bir C-nesne ve her bir j I için f j : C A j olmak üzere) her bir j I olmak üzere; C <f i> Π(A i ) i I f j π j A j 103

105 diyagramn de i³meli klan bir tek < f i >: C Π(A i ) i I C-morzmi vardr. Kategori A B A B (1) Set Kartezyen Çarpm Ayrk Birle³im (2) Grp Direkt Çarpm Serbest Çarpm (3) R Mod Direkt Çarpm Direkt Toplam (4) Top Topolojik Çarpm Topolojik (Ayrk) Toplam (5) ptop Smash Çarpm Topolojik Toplam (6) TopBun B Fibre Çarpm (7) R Alg Direkt Çarpm Tensör Çarpm (8) CatveyaCAT Kategori Çarpm Kategori Toplam (9) Ksmi Sral Küme infimum = A B supremum = A B Tanm C-nesnelerin bir (A i ) i I ailesinin bir C-e³çarpm, a³a daki özellikleri sa layan ((µ i ) i I, (A i ) i I ) ikilisidir: i) (A i ) i I bir C-nesnedir. 104

106 ii) Herbir j I için µ j : A j (A i ) i I bir C-morzmdir. (A j den (A i ) i I ya injeksiyon denir.) iii) Herbir ((f i ) i I, C) ikilisi için (C bir C-nesne ve herbir j I için f j : A j C olmak üzere) her bir j I olmak üzere; A j µ j Π(A i ) i I [f i ] C f j diyagramn de i³meli klan bir tek [f i ] : (A i ) i I C C-morzmi vardr. (Π i j A i, (π i )) ya da (ΠA i, π i ) yerine ksaca ΠA i ((µ i ), i I A i ) yerine ksaca A i ifadelerini kullanaca z. Ayrca i I için A i = B ise ΠA i B nin I. kuvveti olarak adlandrlr ve B I ile gösterilir. Bu durumda < (1 B ) i >: B B I tek türkü morzmine diagonal morzm denir ve B ya da ksaca ile gösterilir. Dualine de B nin I. e³kuvveti denir ve I B ile gösterilir. E³diagonal morzm B ya da ile gösterilir. Not I = {1, 2} olmak üzere (Π I A i, (π i )); (A 1 A 2, π A1, π A2 ) ile ayndr. Örnek (1) X bir biti³ nesnesidir (X, ) bir bo³ indislenmi³ C- nesneler ailesinin çarpmdr. (2) A bir C-nesne, (P, f) kendisi ile indislenmi³ {A} kümesinin çarpmdr f : P A bir C-izomorzmdir. 105

107 (3) Set, Grp, R Mod ve Top kategorilerinin rastgele ailelerinin çarpm ve e³çarpmlar daha önce tabloda gösterdi imiz gibi adlandrlr. (4) Abel burulma gruplar kategorisinde kategorik çarpm grup-teorik çarpm de ildir. Fakat grup-teorik çarpmn burulma alt grubudur. Halbuki e³çarpm direkt toplamdr. Önerme (E³ zamanl sadele³tirme) (ΠA i, π i ), (A i ) i I nn bir çarpm ve h, k : C ΠA i, i I için π i h = π i k ko³ulunu sa layan morzmler ise h = k dr. spat: Her i için f i = π i h = π i k ise çarpmn tanmndaki tek türlülükten h =< f i >= k dr. Önerme (Çarpmn Tekli i) (A i ) i I nn her (ΠA i, π i ) ve (ΠÂi, ˆπ i ) çarpmlar ise, her bir j I için; ΠA i s ΠA i π j ˆπ j A j diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek s : ΠA i ΠA i izomorzmi vardr. spat: Çarpm tanmndan her bir j için; ΠA i s t ΠA i ΠA i π j A j ˆπ j π j diyagram de i³meli olacak ³ekilde tek s ve t morzmleri vardr. Böylece j I için; π j (t s) = π j = π j 1 πai. 106

108 Sadele³me özelli inden t s = 1 πai. Benzer ³ekilde s t = 1 πai görürüz. Sonuç olarak s bir izomorzmdir. oldu unu Sonuç Bir kategorinin iki biti³ nesnesi varsa, bu nesneler izomorktir. Önerme C bir ba lantl kategori ise, C kategorisindeki her izdü³üm morzmi bir retraksiyondur (dual olarak her injection da bir kesittir). spat: π j : ΠA i A j projeksiyon olsun. i I, i j için f i : A j A i herhangi bir morzm ve f j : A j A j birim morzm olsun. Çarpmn tanmndan < f i >: A j ΠA i morzmi vardr öyle ki π j < f i >= 1 Aj dir; yani π j nin sa tersi vardr ve retraksiyondur. <f i > A j ΠA j f j =1 Aj π j A j Önerme (Çarpanlar terasyonu) (K i ) i I, kümelerin iki³erli ayrk bir ailesi olsun. i I için (P i, (πk i ) k K i ), (X k ) k Ki C-nesnelerinin çarpm ve (P, π i ), (P i ) i I ailesinin çarpm oldu unu kabul edelim. O zaman (P, (πk i π i) i I,k Ki ), (X k ) k I K i nin çarpmdr. spat: i I, k K i için πk i π i : P X k oldu u açktr. Varsayalm ki C bir C-nesne ve her i I, k K i için fk i : C X k olsun. Çarpmn tanmndan < fk i >: C P i tek morzmi vardr, öyle ki πk i < f k i >= f k i dir. Yine çarpmn tanmndan i I için πk i << f k i >>=< f k i > olacak ³ekilde bir tek << fk i >>: C P morzmi vardr. Böylece her bir i I ve 107

109 k K i için; <<f i k >> C P <f i k > P i π i f i k diyagram de i³melidir. Her bir (P i, (πk i )) bir çarpm oldu undan << f k i >> nin tek oldu u hemen elde edilir. Böylece (P, πk i π i), X k larn bir çarpmdr. X k π i k Önerme (ΠA i, π i ) ve (ΠB i, ρ i ), srasyla, (A i ) i I ve (B i ) i I ailelerinin çarpmlar olsun; her bir i I için bir f i : A i B i morzmi varsa, bu durumda; ΠA i π j Πfi ΠB i A j f j B j kare diagramn de i³meli yapan bir tek Πf i morzmi vardr. Tanm I = {1, 2,..., n} olmak üzere f i : A i B i bir morzm olsun. Yukardaki gibi tanmlanan Πf i morzmine (f i ) I morzmlerinin çarpm denir ve Πf i bazen f 1 f 2... f n ile gösterilir. Önerme Herhangi bir kategoride 1) retraksiyonlarn çarpm bir retraksiyondur. 2) kesitlarn çarpm bir kesittir. 3) zomorzmlerin çarpm bir izomorzmdir. 4) Monomorzmlerin çarpm bir monomorzmdir. 5) Sabit morzmlerin çarpm bir sabit morzmdir. ρ j 108

110 spat: i I için f i : A i B i ; (ΠA i, π i ), (A i ) I nn çarpm ve (ΠB i, ρ i ), (B i ) I nin bir çarpm olsun. Bu durumda j I için; Πf i ΠA i ΠB i π j A j B f j j komütatif diyagram vardr. 1) Her bir f j için f j g j = 1 Bj olacak ³ekilde bir g j varsa, bu takdirde her bir j I için; ρ j (Πf j ) (Πg j ) = f j g j ρ j = ρ j = ρ j 1 ΠBi. ρ i lerin e³ zamanl sadele³tirmesinden (Πf i ) (Πg i ) = 1 ΠBi, yani (Πf i ) bir retraksiyondur. 2) (1)'e benzer ³ekilde yaplabilir. 3) (1) ve (2)'den elde edilir. 4) (Πf i ) h = (Πf i ) k olacak ³ekilde iki morzm h ve k ise, bu durumda j I için; ρ j ρ i (Πf i ) h = ρ i (Πf i ) k f j π j h = f j π j k ; f j mono π i h = π i k ; π i sol sadele³tirilebilir h = k. Önerme Her bir i I için (E i, e i ) Equ(f i, g i ); ve Πe i, Πf i ve Πg i mevcut ise, bu takdirde (ΠE i, Πe i ) Equ(Πf i, Πg i ). spat: j I için π j, ρ j ve σ j izdü³üm morzmleri olmak üzere; Πe i ΠE i ΠA i Πf i Πg i ΠB i Π j ρ j f j E j e j Aj g j Bj σ j 109

111 diyagramn göz önüne alalm. j için; f j e j π j = g j e j π j σ j Πf i Πe i = σ j Πg i Πe i Πf i Πe i = Πg i Πe i Πf i h = Πg i h olacak ³ekilde bir morzmin h : C ΠA i oldu unu kabul edelim. Bu durumda j için; f j (ρ j h) = g j (ρ j h). (E j, e j ) Equ(f j, g j ) oldu undan j için e j k j = ρ j h olacak ³ekilde bir tek k j : C E j morzmi vardr. Çarpm tanmndan, j için k j = π j < k i > olacak ³ekilde bir tek < k i >: C ΠE i morzmi vardr. C <k i > h k j ΠE i Πe i ΠA i π j E j e j Aj ρ j j için; ρ j Πe i < k i >= ρ j h Πe i < k i >= h. Πe i monomorzmlerin çarpm oldu undan ve Πe i de monomorzm oldu undan < k i > nin tek oldu u elde edilir. Tanm Her I kümesi (sonlu kümesi) için, I ile indislenen C-nesnelerinin her bir ailesi bir C-çarpm ise, C kategorisi çarpma (sonlu çarpma) sahiptir denir. Önerme Herhangi bir kategoride a³a dakiler denktir: 1) C kategorisinin bir biti³ objesi vardr. 2) C bir biti³ nesnesine ve C kategorisindeki nesnelerin her ikilisi için C bir çarpma sahiptir. 110

112 Önerme Çarpma sahip herhangi bir kategoride regüler monomor- zmlerin bir ailesinin çarpm da bir regüler monomorzmdir. Örnek (1) Set, Grp, R Mod, Top kategorileri hem çarpma hem de e³çarpma sahiptir. (2) Field kategorisi ne sonlu çarpma ne de sonlu e³çarpma sahip de ildir. Teorem (FREYD) Herhangi bir C küçük kategorisi için a³a dakiler denktir: 1) C çarpma sahiptir. 2) C e³çarpma sahiptir. 3) C kategorisi tam kafese denktir. spat: (3) (1) : C kategorisi bir tam kafese denk olsun, ve (A i ) I C-nesnelerin bir ailesi olsun. Bu durumda; Π I A i = inf I (A i ) ve I A i = sup I (A i ). Bir tam kafes, bir iskelet kategoriye denk oldu undan iki kategorinin izomorf iskeletleri varsa kategoriler birbirine izomorftur. (A i ) i I, C-nesneler snf ve Π I A i = inf I (A i ) oldu undan çarpm tanmndan C-kategorisi çarpmldr. (3) (2) : I A i = sup I (A i ) oldu undan benzer ³ekilde C kategorisi e³çarpmldr. (1) (3) : C bir küçük kategori ise, C kategorisini bir quasi-sral küme olarak göz önüne alalm. (3)'ün gerçeklenmedi ini kabul edelim, bu durumda g h olacak ³ekilde g, h : A B morzmleri vardr. I, Mor(C) nin kardinal says olsun ve her bir f : I {0, 1} fonksiyonu ve i I için; r f g, f(i)=0; i = h, f(i)=1. 111

113 ³eklinde tanmlansn. Çarpm tanmnan herbir f için, < r f i >: A B I dir. f ˆf ise, bir j I için f(j) ˆf(j) dir. Böylece g h oldu undan π j < r f i > π j < r ˆf i > < r f i > < r ˆf i >. Sonuç olarak A dan B I ya en az 2 I tane morzm vardr ki bu imkanszdr. Bu mümkün olmad ndan kabülümüz yanl³tr. Önerme Her bir i I için e i : D i D 0, f i, g i : D 0 A i nin e³itleyicisi, (A i ) I ailesinin çarpmnn (ΠA i, (π i )) ve f =< f i >: D 0 ΠA i ve g =< g i >: D 0 ΠA i nin çarpm tarafndan üretilen tek morzmler oldu unu kabul edelim. Bu durumda (C, d), f ve g nin e³itleyicisidir (C, d) ikilisi (D i, e i ) ailesinin arakesitidir. spat: ( :) (C, d) Equ(f, g) ise, bu durumda her bir i için, f i d = g i d d = e i I i olacak ³ekilde bir tek I i : C D i vardr. Her bir i için e i h i = k olacak ³ekilde morzmlerin h i : K D i ve k : K D 0 oldu unu kabul edelim. Bu durumda i için π i g k = g i e i h i = f i e i h i = π i f k g k = f k. (C, d), f ve g nin e³itleyicisi oldu undan d p = k olacak ³ekilde bir tek p : K C morzmi vardr. O halde (C, d), (D i, e i ) I ailesinin arakesitidir. p C K h i I i d f i e i D i f D0 g k g i A i π i ΠA i A i π i 112

114 ( :) (C, d), (D i, e i ) I ailesinin arakesiti ise i için d = e i I i olacak ³ekilde bir I i : C D i morzmi vardr. Böylece i için; π i f d = f i e i I i = g i e i I i = π i g d f d = g d. imdi k nn f k = g k olacak ³ekilde bir morzm oldu unu kabul edelim. O halde i için f i k = g i k dr. Böylece e i h i = k olacak ³ekilde h i morzmi mevcuttur. Fakat arakesit tanmndan d p = k olacak ³ekilde bir tek p morzmi vardr. O halde (C, d) Equ(f, g) dir. Sonuç C de kategori çarpm varsa, C deki regüler alt nesnelerin her arakesiti bir regüler alt nesnedir. Sonuç C çarpm (sonlu çarpm) ve e³itleyiciye sahip ise, C regüler alt nesnelerin arakesitine (sonlu arakesitine) sahiptir. ALI TIRMALAR 1. C-objelerinin küme indeksli bir ailesi (A i ) i I ise, a³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (a) (P, (π i )), (A) i nin bir C-çarpandr. (b) Her B Ob(C) için, (Π I hom(b, A i ), Set deki kartezyen çarpm ve (π i f) i I, kartezyen çarpmn i. koordinat π i f olan bir tek eleman olmak üzere) B f P (π i f) i I ile tanmlanan hom C (B, P ) Π I hom(b, A i ) fonksiyonu bijektiftir. 2. (P, (π i )) nin (A i ) ailesinin C deki çarpm ve f : B P oldu unu kabul edelim. (a) f nin bir sabit morzm olmas için gerek ve yeter ³art her i için π i f nin bir sabit morzm olmasdr. spatlaynz. (b) π i f bir monomorzm (srasyla, section) olacak ³ekilde bir i varsa, 113

115 bu takdirde f bir monomorzm (section)dir. Gösteriniz. 3. A nn bir C-obje, K ve L nin = K L olacak ³ekilde kümeler, ve A K ve A L nin, A nn kuvvetleri oldu unu kabul edelim. A K s A L r A K = 1 A K olacak ³ekilde s bir section ve r bir retraction göstermek üzere A K nn ayn zamanda hem A L nin bir alt objesi hem de A L nin bir bölüm objesi olarak göz önüne alnabilece ini gösteriniz. 4. Epimorzmlerin çarpmnn bir epimorzm olmas gerekmedi ini gösteriniz. 5. Çoklu e³itleyicilerin çarpmnn, çarpmn bir çoklu e³itleyicisi oldu unu ispatlaynz. 6. X bir C-biti³ objesi olsun. Her bir A C-objesi için X A çarpmnn var oldu unu ve A ya izomorf oldu unu gösteriniz. 7. X in Set kategorisindeki bir biti³ objesi olmas için gerek ve yeter ³art her bir Set-objenin X in bir e³kuvveti olmasdr. Gösteriniz. 8. Bir kategori olarak göz önüne alnan herhangi bir a³ikar olmayan grubun sonlu çarpmlara sahip olmad n gösteriniz. 4.7 Kaynaklar (Source) ve Batrmalar (Sink) Mono-Kaynaklar Epi-batrmalar Tanm ) X bir C-nesne (f i : X X i ) I, her birinin domaini X olan C-morzmlerin bir ailesi olmak üzere bir (X, (f i ) I ) ikilisine C de bir kaynak denir. Burada X e kayna n domaini ve (X i ) I ailesine kayna n codomaini denir. [ Kolaylk için (X, (f i ) I ) kayna n (X, f i ) ile gösteririz.] 114

116 2) f i soldan sadele³tirilebiliyorsa, yani i için f i r = f i s r = s olacak ³ekilde morzmlerin herhangi ikilisi r, s : Y X ise (X, f i ) kayna na bir mono-kaynak denir. 3) A³a daki ko³ullar sa layan bir (X, f i ) kayna na (ekstrem mono)- kaynak denir: i) (X, f i ) bir mono-kaynaktr. ii) (ekstrem ko³ulu): Her bir (Z, g i ) kayna ve her bir e epimorzmi için; X e f i Z Y i g i diyagram de i³meli olmak üzere e bir izomorzm olmaldr. Not (f i, X) ikilisine de C kategorisinde bir batrma (sink) denir. Örnek (1) (X, ) bir mono-kaynaktr Y deki her nesne için Y den X e en çok bir tane morzm vardr. (2) (X, f) bir mono (ekstrem mono)-kaynaktr f bir monomorzmdir (extramal monomorzm). (3) Her bir (ΠX i, π i ) çarpm bir mono-kaynaktr. (4) Grp, SGrp ya da R Mod kategorilerinde (f i, X) bir sink olsun. Bu durumda (f i, X) in bir extramal epi-sink olmas için gerek ve yeter ³art f i homomorzmalarnn küme-teorik görüntülerinin cebirsel anlamda X i üretmesidir. (5) (X, f i ), Top kategorisinde bir kaynak olsun. (X, f i ) bir (extramal mono)- kaynak ise, bu takdirde X, f i sürekli fonksiyonlarna göre zayf topolojiye sahiptir. Tersine, (X, f i ) bir mono-kaynak ve X, f i fonksiyonlarna göre zayf topolojiye sahip ise, (X, f i ) bir (ekstrem mono)-kaynaktr. (6) (f i, X) Top kategorisinde bir sink olsun. (f i, X) bir (ekstrem epi)-sink 115

117 ise, bu takdirde X, f i sürekli fonksiyonlarna göre güçlü topolojiye sahiptir. Tersine (f i, X) bir epi-sink ve bir (ekstrem epi)-sink ise, bu takdirde X, f i fonksiyonlarna göre güçlü topolojiye sahiptir. Önerme (X, f i ) bir kaynak, kayna n (X i ) codomainlerinin çarpm (ΠX i, π i ) ve tüm X f=<f i> ΠX i f i π i X i diyagramlar de i³meli olmak üzere üretilen tek morzm f : X ΠX i olsun. Bu takdirde; (1) (X, f i ) bir mono-kaynak f bir monomorzm. (2) (X, f i ) bir (extramal mono)-kaynak f bir ekstrem monomorzm. spat: (ΠX i, π i ) bir mono-kaynak oldu undan (1) hemen elde edilir. Ayrca (X, f i ) bir (ekstrem mono)-kaynak ise, f nin bir ekstrem monomorzm oldu u açktr. Tersini göstermek için, f nin bir ekstrem monomorzm, (Y, g i ) nin bir kaynak ve i için X e f i Y X i g i diyagram de i³meli olacak ³ekilde e nin bir epimorzm oldu unu kabul edelim. Çarpmn tanmndan i için g i = π i g olacak ³ekilde bir tek 116

118 g : Y ΠX i morzmi vardr. (ΠX i, π i ) bir mono-kaynak oldu undan X f ΠX i g π i X i e Y diyagram de i³melidir. f bir ekstrem monomorzm oldu undan e bir izomorzm olmaldr. g i Önerme C e³e³itleyiciye sahip ve C kategorisindeki (X, f i ) kayna tanmn (ii) ³kkndaki ekstrem ko³ulunu sa lyorsa, (X, f i ) bir (ekstrem mono)- kaynak olmaldr Ayrclar (Seperators) ve E³-ayrclar (Co-Seperators) Önerme Herhangi bir C C-nesnesi için, a³a dakiler denktir: 1) C bir e³-ayrcdr. 2) Her bir X C-nesnesi için (X, hom(x, C)) kayna bir mono-kaynaktr. Önerme C kategorisi, C nesnesinin key kuvvetlerine sahip ise, bu takdirde a³a dakiler denktir: 1) C bir e³-ayrcdr. 2) Her bir C-nesnesi X için çarpm tarafndan üretilern tek X C hom(x,c) morzmi bir monomorzmdir. 3) Her bir C-nesnesi, C ye ait bir C I kuvvetinin bir alt nesnesidir. spat: (1) (2) : C bir e³-ayrc ise, bir önceki önermeden (X, hom(x, C)) bir mono-kaynaktr, bu sebeple X C hom(x,c) üretilen morzmi bir monomorzm olmaldr. 117

119 (2) (3) : C, C kategorisindeki nesnelerin key kuvveti oldu undan açktr. (3) (1) : X herhangi bir C-nesne olsun. Hipotezden bir I indeks kümesi vardr ve f : X C I bir monomorzmdir. Fakat f =< π i f > oldu undan Önerme den (X, π i f) bir mono-kaynaktr. Her bir π i f, hom(x, C) ye ait oldu undan (X, hom(x, C)) bir mono-kaynaktr. Bu sebeple yukardaki önermeden C, C kategorisi için bir e³-ayrcdr. Tanm C bir çarpml kategori ve M, C kategorisindeki monomor- zmlerin bir snf olsun. Her bir C-nesne C nin bir C I kuvvetinin bir M-alt nesnesi olmak ko³uluyla C ye C kategorisinin bir M-e³-ayrcs denir. Özel olarak; (ekstrem monomorzm)-e³-ayrclar ekstrem e³-ayrc ve (regüler monomorzm)- e³-ayrclar regüler e³-ayrc olarak adlandrlr. Dual olarak C e³çarpml kategori ve E, C kategorisindeki epimorzmlerin snf olsun. Benzer ³ekilde E-ayrc, ekstrem ayrc ve regüler ayrc tanmlanabilir. Örnek (1) Kapal birim aralk, CompT 2 için hem bir ekstrem ayrc hem de ekstrem e³-ayrcdr. (2) ki elemanl bir discrete uzay, sfr-boyutlu kompakt Hausdor uzaylarn kategorisi için hem ekstrem ayrc hem de ekstrem e³-ayrcdr. (3) CRegT 2, ekstrem e³-ayrcya sahip de ildir. (4) Grp, R Mod ve Set kategorileri için e³-ayrclar ile ekstrem e³-ayrclar ayndr. 118

120 4.8 Daha kuvvetli küçüklük art Tanm C-nesnelerin her bir indeksli (X i ) I ailesi için X ten (X i ) I ya bir mono-kaynak var olacak ³ekilde X C-nesnelerinin izomork olmayan ikililerinin en fazla bir kümesinin var olmas ko³uluyla C kategorisine kuvvetlice iyi üslenmi³ (strongly well-powered) denir. Örnek Set, Top ve Grp kategorileri hem kuvvetlice iyi üslenmi³ hem de kuvvetlice e³-iyi üslenmi³dir. Önerme Her kuvvetlice iyi üslenmi³ kategori iyi güçdür. 119

121 iyi güç ve kuvvetli iyi güç kategoriler genelde farkldr. Fakat kategori çarpml ise, bu iki özelli in birbirine denk oldu unu a³a daki önerme ile görürüz. Önerme C bir çarpml kategori ise, bu takdirde C kategorisinin iyi üslenmi³ olmas için gerek ve yeter ³art kuvvetlice iyi üslenmi³ olmasdr. spat: C kategorisinin iyi güç oldu unu ve C-nesnelerin indeksli bir ailesinin (X i ) I oldu unu kabul edelim. (X i ) I ailesinin çarpm (ΠX i, π i ) olsun. Çarpm tanmndan (X i ) I codomainli her (A, f i : A X i ) mono-kaynak için i I olmak üzere f i = π i f olacak ³ekilde bir tek f : A ΠX i morzmi vardr. Önerme 19.3'ten f bir monomorzmdir. Burada (X i ) I codomainli her (A, (f i )) mono-kaynak için ΠX i nin bir (A, f) alt nesnesi vardr. C iyi güç oldu undan ΠX i nin iki³erli izomork olmayan alt nesnelerinin bir ba³ka kümesi yoktur. Böylece A dan (X i ) I ya bir mono-kaynak mevcut olacak ³ekilde A dan ba³ka bir küme yoktur. O halde C kuvvetlice iyi üslenmi³dir. 4.9 Kaynaklar ve Batrma Çarpanlar Tanm (f i : X i X, X), C kategorisinde bir batrma olsun. Bu durumda X i g i Y m X bile³kesine (f i, X) in bir (epi-batrma, mono) faktorizasyonu denir : 1) (g i, Y ) bir epi-batrmadr. 2) m : Y X bir monomorzmdir. 3) i için f i X i g i X = Xi Y m X. 120

122 Benzer olarak [(ekstrem epi)-batrma, mono]-çarpan ve (epi-batrma,ekstrem mono)-çarpan tanmlar elde edilir. Dual olarak (epi, mono-kaynak)-faktorizasyon; [epi, (ekstrem mono)-kaynak] faktorizasyon; (ekstrem epi, mono-kaynak)-faktorizasyon tanmlanabilir. Önerme C iyi üslenmi³, arakesitli ve e³itleyiciye sahip ise, bu takdirde C kategorisindeki her batrma bir [(ekstrem epi)-batrma, mono]-çarpana sahiptir. spat: (f i, X), C kategorisinde bir batrma ve (D j, m j ), X in tüm alt nesnelerinin ailesi olmak üzere (f i, X) batrmasnn baz çarpanlar; f i (h X i i ) j m X = Xi j Dj X ; fi = m j (h i ) j (D j, m j ) J ailesi, X in bir alt nesnesi olan (D, m) arakesitine sahiptir. Arakesit tanmndan her bir i ve j için a³a daki diyagram komütatif yapan bir tek e i : X i D morzmi vardr. X i f i X (h i ) j m j e i D j d j D m (e i, D) nin bir (ekstrem epi)-batrma oldu unu göstermeliyiz. Bunun için tanmdaki ekstrem ko³ulunun dualinin sa land n göstermek yeterlidir. (g i, Z) nin bir batrma ve i için a³a daki diyagram de i³meli olacak ³ekilde ˆm bir monomorzm olsun. X i e i D Z Bu durumda (Z, m ˆm), (D j, m j ) J ailesine aittir; yani g i ˆm 121

123 m ˆm d j = m = m 1 olacak ³ekilde bir j J vardr. m bir monomorzm oldu undan ˆm d j = 1 dir. O halde ˆm bir retraksiyondur (ve bir monomorzmdir), böylece bir izomorzmdir. Sonuç olarak (e i, D) bir (ekstrem epi)-batrmadr. ALI TIRMALAR 1. (f i, X) in bir sink ve her i için f i = f oldu unu kabul edelim. (f i, X) in bir epi-sink olmas için gerek ve ³art f nin bir epimorzm olmasdr, ispatlaynz. 2. (A, f i ) kayna nn A (f i) Bi = A h C (g i) Bi faktorizasyonuna sahip oldu unu kabul edelim. A³a dakileri ispatlaynz: (a) (A, f i ) bir mono-kaynak (srasyla, bir (extremal mono)-kaynak) ise, bu takdirde h bir monomorzm (srasyla bir extremal monomorzm)dir. (b) h bir monomorzm ve (C, g i ) bir mono-kaynak ise, bu takdirde (A, f i ) bir mono-kaynaktr. 3. Her (ΠX i, π i ) çarpmnn bir (extremal mono)-kaynak oldu unu ispatlaynz. 4. E³itleyicilere sahip olan bir kategoride, bir (f i, A) sinkinin bir epi-sink olmas için gerek ve yeter ³art m bir regüler monomorzm iken (f i, A) nn bir (f i ) X i (g i ) A = Xi B m A faktorizasyonu mevcut iken m bir izomorzm olmaldr. Gösteriniz. 5. : Set Set Set funktorunun faithful olmad n ispatlaynz Limit ve E³limit Bu bölümde, "biti³ nesnesi", "e³itleyici", "arakesit" ve "çarpm" kavramlarnn genelle³tirilmesi olan bir funktorun limiti kavramn görece iz. 122

124 Tanm I ve C kategoriler ve D : I C bir funktor ise, her bir i Ob(I), l i : L D(i) ve I kategorisindeki tüm m : i j morzmleri için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir (L, (l i ) i Ob(I) ) kayna D için bir do al kaynaktr. l i D(i) L D(m) l j D(j) Bir ba³ka deyi³le, her nesnesindeki de eri L ve her morzmindeki de eri 1 L olan sabit funktor L : I C ve (L, (l i ) i Ob(I) ) C kategorisinde bir kaynak ise,bu takdirde (L, (l i ) i Ob(I) ) nin D için bir do al kaynak olmas için gerek ve yeter ³art (l i ) i Ob(I) nn L den D ye bir do al transformasyon olmasdr. Dual olarak, (k i ) i Ob(I) D den K : I C sabit funktoruna bir do- al transformasyon olmak üzere D için bir do al batrma ((k i ) i Ob(I), K) e³kayna dr. Kolaylk olmas aç³ndan; D(i) yerine D i ; (L, (l i ) i Ob(I) ) yerine (L, (l i ) I ) ya da (L, l i ) ifadelerini kullanaca z. Tanm D : I C bir funktor ise, (ˆL, ˆl i ) D için herhangi bir kaynak olmak üzere j Ob(I) için a³a daki diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek h : ˆL L morzminin var olmas ko³ulu ile D için bir 123

125 (L, l i ) do al kayna na D nin bir limiti denir. ˆL ˆlj h L lj D j Dual olarak, D nin her do al batrma, onun tek türlü çarpm olmak üzere (k i, K) do al batrmasna D nin e³limiti denir. Örnek (1) I, m, n : 1 2 ³eklinde bir kategori; D : I C bir funktor olsun. (L, (l i ) i=1,2 ), D nin bir limitidir (L, l 1 ), D(m) ve D(n) nin bir e³itleyicisi ve l 2 = D(m) l 1 = D(n) l 1 dir. Dual olarak, ((k i ) i=1,2, K), D nin bir e³limitidir (K 2, K), D(m) ve D(n) nin bir e³e³itleyicisi ve k 1 = k 2 D(m) = k 2 D(n) dir. (2) I herhangi bir discrete kategori olmak üzere D : I C bir funktor olsun. Bu durumda (L, (l i ) i Ob(I) ) nn D nin limiti olmas için gerek ve yeter ³art (D i ) i Ob(I) ailesinin çarpm olmasdr. D nin e³limit olmas için gerek ve yeter ³art (D i ) i Ob(I) ailesinin e³çarpm olmasdr. (3) I bir bo³ kategori ve D : I C funktor olsun. (L, l i ) nin D nin limiti olmas için gerek ve yeter ³art L nin C kategorisinin biti³ nesnesi ve (l i ) = olmasdr. (4) D : C C birim funktor olsun. (L, (l A )) nn D nin bir limiti olmas için gerek ve yeter ³art A Ob(C) için L nin C kategorisinin biti³ nesnesi olmas ve l A nn L den A ya tek morzm olmasdr. 124

126 ((k A ), K) nn D nin e³limiti olmas için gerek ve yeter ³art K nn C kategorisinin biti³ nesnesi ve A Ob(C) için A dan K ya tanml tek morzmin k A olmasdr. Önerme Bir D : I C funktorunun herhangi bir (L, l i ) limiti bir ekstrem mono-kaynaktr. spat: i Ob(I) için l i r = l i s olacak ³ekilde r, s : Q L C-morzmleri var olsun. Bu durumda (Q, (l i r) i Ob(I) ), D nin bir alt snrdr. Limit tanmndan i Ob(I) için l i h = l i r olacak ³ekilde bir tek h : Q L morzmi vardr. Her bir r ve s için böyle bir h vardr. l i nin özelli inden r = s dir. Böylece (L, (l i )) bir mono-kaynaktr. (L, (l i )) nin ekstrem oldu unu gösterelim. e bir epimorzm olmak üzere (L, (l i )) nin ; L e R l i D(i) l i = f i e çarpanna sahip oldu unu kabul edelim. e epimorzm oldu undan (R, (f i )) nin D nin bir do al kayna oldu u açktr. Limit tanmndan; i için f i = l i g olacak ³ekilde bir tek g : R L morzmi mevcuttur. f i l i g e = f i e = l i = l i 1. Sonuç olarak (L, (l i )) bir mono-kaynaktr ve g e = 1 dir. e bir kesit ve epimorzm oldu undan e izomorzmdir. Sonuç Her regüler monomorzm bir ekstrem monomorzmdir ve her çarpm bir ekstrem mono-kaynaktr. Önerme (Limitin Tekli i) (L, (l i )) ve (ˆL, ˆl i ); D : I C funktorunun limiti olmak üzere i Ob(I) için a³a daki diyagram komütatif klacak 125

127 ³ekilde bir tek h : L ˆL morzmi vardr. L h l i D(i) ˆL ˆli spat: Limit tanmndan i için ˆl i h = l i ve l i k = ˆl i olacak ³ekilde bir tek h : L ˆL ve k : ˆL L tanml morzmleri mevcuttur. l i k h = ˆl i h = l i = l i 1 L k h = 1 L h k = 1ˆL h izomorzmdir. Sonuç Biti³ nesneleri, e³itleyiciler, çoklu e³itleyiciler, arakesitler ve çarpmlar tektir. ALI TIRMALAR 1. Çoklu e³itleyicileri limitler olarak, ve çoklu e³e³itleyicileri e³limitler olarak tanmlaynz. 2. D : I C nin bir funktor oldu unu kabul edelim. (a) A³a daki ifadelerin denk oldu unu ispatlaynz: (i) (L, (l i )), D için bir do al kaynaktr. (ii) ((l i ), L), D op : I op C op için bir do al sinktir. (b) A³a daki ifadelerin denk oldu unu gösteriniz: (i) (L, (l i )), D nin bir limitidir. (ii) ((l i ), L), D op nin bir e³limitidir. 126

128 4.11 Geri Çekilim (Pullback) ve leri tme (Pushout) Tanm C kategorisindeki; P p 1 D 1 p 2 f 1 D 2 f 2 D 0 diyagram verilsin. A³a daki diyagram komütatif klacak ³ekilde bir tek h : ˆP P morzmas varsa, yukardaki kare diyagrama geri çekilim (pullback) diyagram denir: ˆP ˆp 2 h ˆp 1 P p 1 D 1 p 2 D 2 f 2 D 0 f 1 Örnek (1) A ve B, C nin alt kümeleri olsun. A C, B C kapsama fonksiyonu olmak üzere; î 1 h î 2 A B i 2 i 1 A B ib C i A geri çekilimdir. (2) Top kategorisinde f : X B, g : Y B, 127

129 E = {(x, y) f(x) = g(y)} X Y olmak üzere; E px X p y diyagram geri çekilim diyagramdr. Y g B f Önerme f : A C, g : B C C-morzmler olsun. (A B, π A, π B ), (A, B) nin bir çarpm ve (E, e) Equ(f π A, g π B ) ise π B e E π A e e π A A B A f B π B g C diyagram geri çekilimdir. spat: q A : Q A ve q B : Q B, f q A = g q B olacak ³ekilde iki morzm olsun. Çarpmn tanmndan π A h = q A ve π B h = q B olacak ³ekilde h : Q A B vardr. Q q A h A π A A B q B B π B Böylece (f π A ) h = (g π B ) h dr. (E, e), f π A ve g π B morzmlerinin e³itleyicisi oldu undan e k = h olacak ³ekilde bir tek k : Q E morzmi 128

130 vardr. Dolaysyla (π A e) k = q A ve (π B e) k = q B dir. Q q B k π B e E q A π A e e π A A B A f π B B g C kare diyagram geri çekilimdir. Sonuç Bir C kategorisinin sonlu çarpmlar ve e³itleyicisi varsa geri çekilimleri de vardr. Önerme T bir biti³ nesnesi olsun. A³a dakiler denktir: 1) p B P p A A kare diyagramn geri çekilimi vardr. 2) (P, p A, p B ), A ve B nin bir çarpmdr. B T spat: (1) (2) f : C A, g : C B iki morzm olsun. T biti³ nesnesi oldu undan; C f A g B kare diyagram komütatiftir. Diyagram geri çekilim oldu undan f = p A h ve g = p B h olacak ³ekilde bir tek h : C P morzmi vardr. O halde (P, p A, p B ), A ve B nin çarpmdr. T 129

131 (2) (1) T biti³ nesnesi oldu undan kare diyagram de i³melidir. (P, p A, p B ) bir çarpm oldu undan; C f h A P p A C g h g f B p B P p A A kare diyagram geri çekilimdir. p B B T Sonuç Bir C kategorisinin geri çekilimi ve biti³ nesnesi varsa, C kategorisinin sonlu çarpm da vardr. Grp kategorisinde trivial olmayan gruplarn geri çekilimleri vardr ancak sonlu çarpmlar yoktur. Field kategorisinde geri çekilimler varken sonlu çarpm yoktur. Önerme g, f : A B C-morzmler, (A B, π A, π B ) çarpm var ve; P p 1 p 2 A <1A,g> A A B geri çekilim kare diyagram ise; 1) p 1 = p 2. 2) (P, p 1 ) Equ(< 1 A, f >, < 1 A, g >). <1 A,f> 130

132 3) (P, p 1 ) Equ(f, g). 1) spat: (< 1 A, f >) p 1 = (< 1 A, g >) p 2 (π A < 1 A, f >) p 1 = (π A < 1 A, g >) p 2 1 A p 1 = 1 A p 2 p 1 = p 2 2) Kare diyagram geri çekilim oldu undan hemen elde edilir. i) p 1 : P A, C-morzmdir. ii) < 1 A, f > p 1 =< 1 A, g > p 2 =< 1 A, g > p 1 < 1 A, f > p 1 =< 1 A, g > p 1 iii) Hatrlatma: (E, e) Equ(f, g) oldu unu gösterirken (iii)'de f e = g e oldu unda; E. e E e A ē P < 1 A, f > p 2 =< 1 A, g > p 2 1 P p 2 P p2 A 3) f k = g k olacak ³ekilde k : K A, C-morzm olsun. 131

133 π B < 1 A, f > k = π B < 1 A, g > k π A < 1 A, f > k = π A < 1 A, g > k Çarpm mono-kaynak oldu undan; < 1 A, f > k =< 1 A, g > k. Diyagram geri çekilim olaca ndan k = p 1 h olacak ³ekilde birtek h : K P morzmi vardr. O halde (P, p 1 ) Equ(f, g) dir. Sonuç C kategorisi sonlu çarpma ve sonlu arakesite sahipse, bu kategorinin bir e³itleyicisi vardr. Teorem Herhangi bir C kategorisi için a³a dakiler denktir: 1) C kategorisi e³itleyiciye ve sonlu çarpma sahiptir. 2) C kategorisi geri çekilimlere ve bir biti³ nesnesine sahiptir. spat: (1) (2) : Bo³ ailelerin çarpm biti³ nesnesidir.(sonuç ) (2) (1) : Önerme ve Önerme 'den C e³itleyiciye sahiptir Geri Çekilimlerin Özel Morzmlerle Ba- nts Önerme diyagram de i³meli olsun. 1) D³ kare bir geri çekilim ise, iç karede bir geri çekilimdir. 132 h

134 2) ç kare bir geri çekilim ve h monomorzm ise d³ kare de geri çekilimdir. Önerme Q q 2 h q 1 P p 1 A p 2 f A f B geri çekilim kare diyagram ise, f bir regüler monomorzm (f, B) Coeq(p 1, p 2 ). spat: f bir regüler monomorzm ise (f, B) Coeq(q 1, q 2 ) dir. q 1 = p 1 h ve q 2 = p 2 h olacak ³ekilde bir tek h : Q P morzmi vardr. f p 1 = f p 2 dir. g p 1 = g p 2 g p 1 h = g p 2 h g q 1 = g q 2. e³e³itleyici tanmndan g = k f olacak ³ekilde bir tek k morzmi oldu undan elde edilir. (f, B) Coeq(p 1, p 2 ) Önerme Herhangi bir kategoride f : A B morzmi bir monomorzmdir kare diyagram geri çekilimdir. 1 A A 1 A A f A f B 133

135 Önerme ) Bir monomorzmin her geri çekilimi bir monomorzmdir. (Her ters görüntü bir monomorzmdir.) 2) Bir regüler monomorzmin her geri çekilimi bir regüler monomorzmdir. 3) Bir retraksiyonun her geri çekilimi bir retraksiyondur. spat: Q h,k P r A s B g C kare diyagramnn geri çekilim oldu unu kabul edelim. f 1) f monomorzm olsun. s k = s h olacak ³ekilde h, k : Q P morzmler olsun. f (r h) = g (s h) = g (s k) = f (r k) f mono r h = r k. geri çekilim, mono-kaynak oldu undan r sadele³tirilebilir. h = k; s monomorzmdir. her geri çekilim monomorzmdir. 2) (A, f) Equ(p, q) (p g) s = (q g) s. (p g) t = (q g) t olacak ³ekilde bir morzm t : Q B ise, e³itleyici tanmndan f u = g t olacak ³ekilde bir u : Q A morzmi vardr. Burada h tektir ve s bir monomorzmdir. O halde; 134

136 (P, s) Equ(p g, q g) s bir regüler monomorzmdir Kongrüanslar f : A B bir grup homomorzmas ise, f(a) = f(b) ile tüm (a, b) ikililerini içeren A A nn S alt kümesi, f tarafndan belirlenen bir kongrüans ba ntsdr. S ye A A nn alt grubu denir. m : S A A gömme ve π 1, π 2 : A A A izdü³ümler ise, π 2 m S π1 m A f A f B bir geri çekilim kare diyagramdr. Tanm ) q p f geri çekilim kare diyagram ise, (p, q) ikilisine f nin kongrüans ba nts denir. f 2) (p, q) f nin kongrüans ba nts olacak ³ekilde f C-morzmleri varsa, C-morzmlerin (p, q) ikilisine bir kongrüans ba nts denir. 135

137 Önerme f nin bir kongrüans ba nts (p, q) olsun. Bu durumda; 1) Her m monomorzmi için bile³ke tanml ise (p, q), m f nin bir kongrüans ba ntsdr. 2) f = g h ve h p = h q ise (p, q), h nin bir kongrüans ba ntsdr. 3) c Coeq(p, q) olmas (p, q) nun c nin bir kongrüans ba nts olmas demektir. spat: (1) ve (2),Önerme 21.10'dan elde edilir. 3) c Coeq(p, q) oldu undan f = g c olacak ³ekilde bir g morzmi vardr. (2)'de h yerine c alrsak, c p = c q. O halde (p, q), c nin kongrüans ba ntsdr. Önerme Herhangi bir C p A q f A f B ³eklindeki kare diyagram için a³a dakiler denktir: 1) Kare diyagram hem geri çekilim hem de pushouttur. 2) (p, q), f nin kongrüans ba ntsdr ve f Coeq(p, q) dr. 3) (p, q), f nin kongrüans ba ntsdr ve f bir regüler epimorzmdir. 4) (p, q) bir kongrüans ba ntsdr ve f Coeq(p, q) dr. spat: (1) (2), (2) (3) hemen görülür. (3) (4), Önerme 21.11'den elde edilir. (4) (1) : (p, q) bir kongrüans ba nts oldu undan p t = 1 A ve g t = 1 A olacak ³ekilde bir tek t : A C morzmi vardr. r p = s q olacak ³ekilde r ve s morzmler olsun. 136

138 r = r 1 A = r p t = s q t = s 1 A = s r = s. f Coeq(p, q) oldu undan r p = r q, r = h f = s olacak ³ekilde bir tek h morzmi vardr. O halde kare diyagram pushouttur. Önerme Herhangi bir kategoride a³a dakiler denktir: 1) f bir monomorzmdir. 2) (1, 1), f nin bir kongrüans ba ntsdr. 3) f, (p, p) formunda bir kongrüans ba ntsna sahiptir. spat: (1) (2) : Önerme 21.12'den elde edilir. (2) (3) : hemen görülür. (3) (1) : f s = f r olacak ³ekilde r ve s morzmler olsun. geri çekilim diyagramndan r = p h ve s = p h olacak ³ekilde bir tek h morzmi vardr. Böylece r = s dir ve f bir monomorzmdir Ters ve Direkt Limitler Tanm ) Bir a³a yönlü (downword-directed) snf, elemanlarn her ikilisi bir alt snra sahip olacak ³ekilde bir ksmi sral snftr. 2) Bir a³a yönlü snftan (bu bir kategori olarak göz önüne alnr), bir C kategorisine herhangi bir funktora C kategorisindeki bir ters sistem denir. 3) I a³a yönlü, D : I C C kategorisinde bir ters sistem ve (L, l i ), D nin limiti ise, bu durumda (L, l i ) bazen D nin ters limiti olarak adlandrlr. 4) Her bir a³a yönlü I kümesi için, her D : I C funktorunun bir limite sahip olmas ko³uluyla C ters limite sahiptir. 137

139 Dual Kavramlar:Yukar yönlü (Upward-directed) snf, C kategorisindeki direckt sistem, direkt limit; direkt limite sahip olmak. "Ters" limitler özel limitler ve " direckt" limitler özel e³limitler olarak tanmland nda kavramlar arasnda bir uyu³mazlk görülür. Örne in Grp ve Top kategorilerinde ters ve direkt limitler yukardaki tanmda oldu u gibi tanmlanr. Bu duruma benzer bir durum ile daha önce de kar³la³m³tk; mesela gruplarn "serbest çarpm" bir kategorik çarpm iken topolojik bundlelerin "Whitney toplam" da bir kategorik çarpmdr. Örnek (1) Kategorik ters limitler ve direkt limitler, Set, Top, Grp ve R Mod kategorilerindeki ters (ya da izdü³üm) limit ve direkt (ya da tümevarm) limitin klasik tanm ile çak³r. (2) Verilen bir A kümesi için, A nn tüm sonlu alt kümelerinin ailesi kapsama fonksiyonlar ile birlikte Set kategorisinde bir direkt sistemdir ve A kümesi ile birlikte A nn içine tüm kapsamalar sistemin direkt limitidir. (3) (2)'ye benzer ³ekilde, her grup kendisinin sonlu üretilmi³ alt gruplarnn direkt limitidir; her bir R-Modül kendisinin sonlu üretilmi³ alt modüllerinin direkt limitidir; ve her bir ksmi sral küme kendisinin sonlu alt kümelerinin direkt limitidir. (4) Bir Hausdor uzaynn kompakt üretilmi³ (yani k-uzay) olmas için gerek ve yeter ³art onun kompakt alt kümelerinin Top kategorisindeki direkt limitinin kendisi olmasdr. Önerme I bir a³a yönlü snf ve J I, I nn bir "ba³langç" alt snf olsun (yani, I daki her bir i için j i olacak ³ekilde J de bir j vardr). D : I C bir funktor, E : J C D nin J ye kstlan³ ve i J için bir l i : L D(i) var ise, bu durumda a³a dakiler denktir: 138

140 1) (L, (l i ) J ) E nin bir limitidir. vardr. 2) i I J, (L, (l i ) I ) D nin bir limiti olacak ³ekilde bir l i : L D(i) (Böylece ters limitler, "ba³langç" alt sistemlerinin ters limitleri tarafndan belirlenirler. Dual olarak direkt limitler, "biti³" alt sistemlerinin direkt limitleri tarafndan belirlenirler.) spat: (1) (2) : i, I J nin bir nesnesi olsun. Bu durumda bir j J vardr ve m : j i dir. l i : D(m) l j olsun. I a³a yönlü oldu undan J, I da ba³langçtr ve (E, (l i ) J ), E nin bir limitidir. Buradan fonfsiyonun iyi tanml oldu u ve (L, (l i ) I ) nn da D nin bir limiti oldu u elde edilir. (2) (1) : (L, (l i ) J ) nin E için bir do al kaynak oldu u açktr. (R, (r i ) J ) de E için bir do al kaynak ise,bu durumda (R, (r i ) I ) D için bir do al kaynaktr. Bu durum ise üçgeni de i³meli klan bir tek h : R L morzminin varl n garanti eder. Sonuç I bir a³a yönlü küme ve i 0 bu kümenin en küçük eleman ise, bu takdirde her bir D : I C funktorunun L = D(i 0 ) olacak ³ekilde (L, l i ) limiti vardr. Önerme Çarpmlar, sonlu alt çarpmlarn ters limitleridir. Özel olarak kabul edelim ki: i) (X i ) I, C-nesnelerin bir ailesidir. ii) Her sonlu J I kümesi için (Π J X i, π i ), (X i ) J nin çarpmdr. iii) J nin tüm sonlu alt kümeleri ve J K olacak ³ekilde K için p KJ : Π K X i Π J X i, izdü³ümler tarafndan üretilen tek morzmdir. 139

141 iv) i I için, h i : Π i X j X i izdü³üm (izo)morzmidir. v) (L, (l J )), sonlu çarpmlar ve onlar arasndaki (p KJ ) morzmleri tarafondan üretilen D ters limit sistemi için bir do al kaynaktr. Bu durumda a³a dakiler denktir: 1) (L, (l J )), D nin limitidir. 2) (L, (h i l {i} )), (X i ) I nn çarpmdr. spat: (1) (2) : h i l {i} : L X i oldu u açktr. Her bir i I için f i : R X i oldu unu kabul edelim. Çarpmn tanmndan her bir sonlu K I ve her bir j K için π j r k = h j p K{j} r k = f j olacak ³ekilde bir tek r k : R Π k X i morzmi vardr. J K ise, her bir j J için; π j p KJ r k = h j p J{j} p KJ r k = f j = π j r J dir. Çarpmlar mono-kaynaklar olduklarndan p KJ r k = r j dir. O halde D ters limit sistemi için (R, (r J )) bir do al kaynaktr, böylece her sonlu J için l J g = r J olacak ³ekilde bir tek g : R L morzmi vardr. Özel olarak her bir i I için; h i l {i} g = h i r {i} = f i dir ve bu özelli re göre g nin tek oldu u görülür. Böylece (L, (h i l {i} )), (X i ) I nn çarpmdr. (2) (1) : (R, r J ), D ters limit sistemi için bir do al kaynak ise, çarpm tanmndan her bir i I için; 140

142 h i l {i} g = h i r {i} olacak ³ekilde bir tek g : R L morzmi vardr. Böylece her bir sonlu J I kümesi için i J ise; π i r J = h i p J{i} r J = h i r {i} = h i l {i} g = π i l J g dir. O halde çarpmlar mono-kaynak olduklarndan r J = l J g dir. Sonuç C sonlu çarpmlara ve ters limitlere sahip ise, C çarpmlara sahiptir. ALI TIRMALAR 1. nvers ve direkt limit tanmlarn, funktor ya da limit ve e³limit kavramlarn kullanmadan ifade ediniz. 2. Bir topolojik uzayn, sonlu alt uzaylarnn Top kategorisindeki direkt limit olmas için gerek ve yeter ³art onun sonlu-üretilmi³ uzay olmasdr. spatlaynz. 3. Bir abel grubun torsion free olmas için gerek ve yeter ³art serbest abel grubun bir direkt limiti olmasdr. Gösteriniz. 4. I, pullbacklere sahip herhangi bir kategori olsun, ve J nin, I nn bir full initial alt kategorisi (yani, her i Ob(I) için bir j Ob(J ) ve bir m : j i var) oldu unu kabul edelim. D : I C bir funktor, E : J C D nin J ye kstlan³, ve her i Ob(J ) için bir l i : L D(i) varsa, bu takdirde a³a dakiler denktir: (i) (L, (l i ) J ), E nin bir limitidir. (ii) Her i Ob(I) Ob(J ) için, (L, (l i ) I ) D nin bir limiti olacak ³ekilde bir l i : L D(i) vardr. 141

143 4.15 Tam (Complete) Kategoriler imdiye kadar domaini özel kategoriler olan funktonlarn limitlerini inceledik. Örne in; Biti³ nesnelerinden elde edilen bo³ kategoriler. E³itleyiciden elde edilen fotmundaki kategoriler. Çoklu e³itleyiciden elde edilen; formundaki kategorilerdir. ekil 4.1: Çarpmdan elde edilen discrete kategoriler. geri çekilimlerden elde edilen; formundaki kategorilerdir. 142

144 ekil 4.2: Çoklu geri çekilimlerden elde edilen; formundaki kategorilerdir. ekil 4.3: Ayrca Set, Grp ya da Top kategorilerinin her bir I küçük kategorisi için her bir D : I C funktoru bir limite sahiptir. Bu bölümde bir kategorinin, limitin sadece birkaç türüne (örne in; çarpm, e³itleyici) sahip olmasnn küçük funktorlarn tüm limitlerinin varl n garanti etmeye yetece i görece iz. Ayrca "tüm küçük limitlere sahip olma" özelli inin birçok kategoride "tüm küçük e³limitlere sahip olma" özelli ine denk oldu unu görece iz. Tanm ) I bir kategori ise, her D : I C funktorunun bir limite sahip olmas ko³ulu ile C kategorisine I-tam (ya da I-limitlere sahip) 143

145 denir. 2) Her bir I küçük kategorisi için C I -tam ise, C ye tam denir. 3) Her bir sonlu I kategorisi için C I-tam ise, C kategorisine sonlu tam (ya da sonlu limitlere sahip) denir. Dual Kavramlar: I op -e³ tam (ya da I op -e³limitlere sahip) e³tam; sonlu e³tam. Örnek (1) Tüm kategoriler 1-tam, 2-tam ve 3-tamdr. (2) I C nin I tam olmas demek, C C nin I op tam olmas demek, C bir biti³ nesnesine sahiptir bir ba³langç nesnesine sahiptir e³itleyiciye sahiptir e³e³itleyiciye sahiptir ekil 4.2 geri çekilimlere sahiptir pushoutlara sahiptir Önerme I bir kategori, C kategorisi de bir I-tam kategori ve her bir D : I C funktoru için (L D, l i (D)) D nin limiti olsun. A³a daki ko³ullar sa lanacak ³ekilde bir tek Lim I : C I C funktoru vardr: 1) Her bir D C I -nesnesi için, Lim I (D) = L D. 2) Her bir η = (η i ) : D E C I -morzmi ve her bir i Ob(I) için; Lim I (D) l i(d) Lim I (η) Lim I (E) li (E) D(i) η i E(i) diygram de i³melidir. spat: (L D, η i l i (D)) nin E için bir do al kaynak oldu u açktr. Böylece tüm i ler için yukardaki diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek Lim I (η) morzmi vardr. 144

146 Tanm C I-tam ise, yukardaki önermede oldu u gibi olu³turulan Lim I : C I C funktoruna C için I-limit funktoru denir. Benzer ³ekilde C I-tam ise Colim I : C I C ile gösterilen bir C için I-e³limit funktoru vardr. Tanm ) E gömme funktor ve bir C kategorisinin alt kategorisi A olsun. Her bir D : I A funktoru için E D nin her C-limit nesnesi A da ise A kategorisine C kategorisindeki I limitleri formation altnda kapaldr denir. 2) Her bir I küçük kategorisi için C kategorisinin I limitlerinin formation altnda kapal olan bir A alt kategorisine C kategorisinin bir tam alt kategorisi denir. Dual Kavramlar: C kategorisindeki I op -e³limirlerin formation altnda kapal; C kategorisinin e³tam alt kategorisi. A, C kategorisinin bir tam kategorisi (E gömme), D : I A ve E D nin limiti (L, l i ) ise, bu takdirde (L, l i ) D nin bir limiti olmak zorunda de ildir. Fakat A, C kategorisinde dolu ise a³a daki ifadeye sahip oluruz: Önerme Bir tam kategorinin bir dolu tam alt kategorisinin kendisi tamdr. Bu önermenin tersi do ru de ildir; yani A bir C tam kategorisinin dolu alt kategorisi olan bir tam kategori ise A, C nin bir tam alt kategorisi olmak zorunda de ildir Tamlk Karakterizasyonu Teorem Herhangi bir C kategorisi için a³a dakiler denktir: 1) C sonlu tamdr. 145

147 2) C geri çekilim ve bir biti³ nesnesine sahiptir. 3) C sonlu çarpm ve geri çekilime sahiptir. 4) C sonlu çarpm ve ters görüntüye sahiptir. 5) C sonlu çarpm ve sonlu arakesite sahiptir. 6) C sonlu çarpm ve e³itleyiciye sahiptir. 7) C sonlu çarpm, e³itleyici, ve regüler alt nesnelerin sonlu arakesitine sahiptir. spat: (1) (2) : geri çekilimler ve biti³ nesneleri, sonlu domaine sahip özel funktorlarn limitleridir. (2) (3) : Sonuç 21.6.(C, geri çekilimler ve bir biti³ nesnesine sahip ise, sonlu çarpma sahiptir.) (3) (4) : Ters görüntüler, özel geri çekilimlerdir. (4) (5) : Sonlu arakesitler, özel ters görüntülerdir. (5) (6) : Sonuç 21.8 (C sonlu çarpm ve sonlu arakesite sahip ise, e³itleyiciye sahipti.) (6) (7) : Sonuç (C sonlu çarpm ve e³itleyiciye sahip ise, regüler alt nesnelerin sonlu arakesitine sahiptir.) (7) (1) : I nn bir sonlu kategori ve D : I C oldu unu kabul edelim. C-nesnelerin (D(i) i Ob(I) ) ailesinin (ΠD(i), π i ) çarpmn olu³turalm. Her bir m : i j I-morzmi için; (E m, e m ) Equ(D(m) π i, π j ) olsun. Hipotezden, (E m, e m ) m Mor(I) ailesinin ( E m, d) arakesiti mevcuttur. 146

148 ( E m, (π i d)) nin, D nin bir limiti oldu unu iddia ediyoruz. Em lm E m g f m h P p i d e m ΠD(i) π i D(i) p j D(m) π j D(j) Her bir m : i j için, D(m) π i d = π j d oldu u açktr. (P, (p i )) nin de D için bir do al kaynak oldu unu kabul edelim. Bu durumda çarpm tanmndan i için π i h = p i olacak ³ekilde bir h : P ΠD(i) morzmi vardr. (P, (p i )), D için bir kaynak oldu undan her bir m : i j için; D(m) π i h = π j h. Böylece e³itleyici tanmndan böyle bir m için e m f m = h olacak ³ekilde bir f m : P E m morzmi vardr. Arakesit tanmndan d g = h olacak ³ekilde bir tek g : P E m morzmi vardr. Sonuç olarak her bir i için; (π i d) g = π i e m f m = π i h = p i ve çarpmlar mono-kaynak oldu undan ve d bir monomorzm oldu undan g bu özelli e göre tektir. O halde ( E m, (π i d)), D nin bir limitidir. P p i g Em πi d D(i) Teorem Herhangi bir C kategorisi için a³a dakiler denktir: 1) C tamdr. 147

149 2) C çoklu geri çekilim ve biti³ nesnesine sahiptir. 3) C çarpma ve geri çekilime sahiptir. 4) C çarpma ve ters görüntüye sahiptir. 5) C çarpma ve sonlu arakesite sahiptir. 6) C çarpma ve e³itleyiciye sahiptir. 7) C çarpma, e³itleyici, ve regüler alt nesnelerin sonlu arakesitine sahiptir. 8) C sonlu tamdr ve ters limitlere sahiptir. spat: (1)'den (7)'ye kadar olan ispatlar, yukardaki sonlu durumlar için verilen ispata benzerdir. nvers limitler özel limitler oldu undan (1) (8) açktr. (8) (6) çarpmlarn, sonlu alt çarpmlarn ters limitleri olmasndan elde edilir. Örnek (1) Sonlu kümelerin kategorisi ve sonlu topolojik uzaylarn kategorisinin her ikisi de sonlu tam ve sonlu e³tamdr, fakat hiçbiri tam ya da e³tam de ildir. (2) Sonlu gruplar kategorisi sonlu tamdr fakat sonlu e³tam de ildir. (3) Set, Grp, R-Mod, ve Top kategorileri tam ve e³tamdr. (4) Bo³tan farkl kümelerin kategorisi ne sonlu tam ne de sonlu e³tamdr. (5) Field kategorisi ne sonlu tam ne de sonlu e³tamdr. (6) BanSp 1 ve BanSp 2 kategorilerinin her biri sonlu tamdr, fakat tam de ildir. ALI TIRMALAR 1. CompT 2 kategorisinin çarpm ve e³itleyicilere sahip oldu unu ispatlaynz ve kompakt Hausdor uzayn her invers sisteminin bir invers limite sahip oldu unu gösteriniz. 148

150 Bölüm 5 EVRENSEL DÖNÜ ÜMLER Önerme G : Grp Set unutkan funktor ve B bir küme olsun. Her H grubu ve her f : B G(H) fonksiyonu için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : FB H grup homomorzmas vardr öyleki bir F B grubu (B üzerindeki serbest grup) ve u B : B G(F B ) fonksiyonu mevcuttur. B u B G(F B ) F B f G( f) G(H) f H Tanm G : A B bir funktor ve B Ob(B) olsun. Her A Ob(A) ve her f : B G(A ) için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A A A-morzmi varsa, A Ob(A) ve u : B G(A) olmak üzere (u, A) ikilisine G'ye göre B'nin evrensel dönü³ümü (veya B'nin G-evrensel dönü³ümü) denir. B u G(A) A f G( f) G(A ) f A 149

151 Duali: F : A B bir funktor ve B Ob(B) olsun. Her A A-nesnesi ve her f : F (A ) B B-morzmi için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A A morzmi varsa, u : F A B olmak üzere (A, u) ikilisine F 'ye göre B'nin evrensel dönü³ümü (veya B'nin F -e³-evrensel dönü³ümü) denir. Burada (u, A), F op : A op B op ye göre B'nin evrensel dönü³ümüdür. A f A F (A ) F ( f) F (A) u f B Örnek Evrensel dönü³üm örneklerini 4 ana ba³lkta verece iz. (1) Unutkan funktorlar için evrensel dönü³ümler, serbest nesnelerdir. (a) Set için unutkan funktorlar (A, U) somut kategori olsun. Her B kümesi için (u B, A B ) U-evrensel dönü³ümü vardr. Set kategorisinde A B, B kümesinden olu³ur, Grp kategorisinde A B, B ile üretilmi³ serbest gruptur. (b) Di er unutkan funktorlar G : Rng Mon toplamay unutan ve her (R, +,., 1) halkasn (R,., 1) çarpmsal monoide götüren bir funktor ise her B monoidi için A B, (Z, +) toplamsal grubu üzerinde B nin Z[B] monoid halkas ve u B, gömme olmak üzere (u B, A B ) G-evrensel dönü³ümü vardr. (2) Kapsama funktorlar için evrensel dönü³ümler A, B nin bir altkategorisi, E : A B kapsama funktoru ve B bir B- nesne ise (u B, A B ) B nin bir E-evrensel dönü³ümü olmak üzere (u B, A B ) ye B nin A-yansmas denir. (a) Tamlamalar A:Tam metrik uzaylar, B:Metrik uzaylar, A B :B nin metrik tamlamas (b) Çarpanlarna ayrlarak olu³an bölüm altnesneleri 150

152 A : Ab, B : Grp, A B : B/B (c) dentikasyonlar A : T 0 topolojik uzaylar, B : T op, A B : B/ (, denklik ba nts) (d) Underlying kümeler üzerindeki yap de i³iklikleri A:Regüler topolojik uzaylar, B : T op, A B : B nin regüler modikasyonu (3) Hom-funktorlar için evrensel dönü³ümler A : Set, A B : B C, u B : B Hom(C, A B ) (u B (b))(c) = (b, c) (4) E³-evrensel dönü³ümler A : Abel burulma gruplar, B : Ab, A B : B nin burulma altgrubu Tanm G : A B bir funktor olsun. (1) r, s : A A, A -morzmalar G(r) g = G(s) g iken r = s ³artn sa lyorsa g : B G(A) morzmasna A y G-üretir denir. (2) Bir g : B G(A) morzmas a³a daki ³artlar sa lyorsa B, A'y ekstrem G-üretir denir. (i) g, A'y G-üretir. (ii) (Ekstrem ko³ulu): g = G(m) f ³eklinde bir B-morzmi ve A codomainli bir m, A-monomorzmas varsa m izomorzm olmaldr. (3) A'y G-üreten (ekstrem G-üreten) bir g : B G(A) B-morzmi varsa B-nesne B'ye, A'y G-üretir (ekstrem G-üretir) denir. Örnek (1) G : A A birim funktor ise, g : B A A y G üretir g bir epimorzmdir. g, A y ekstrem G üretir g bir ekstrem epimorzmdir. (2) I bir diskrit kategori ve G : A A I sabit funktor ise, (f i : A i A) I A y G üretir (f i, A) A da bir epi-batrmadr. 151

153 (f i ) I A y G üretir (f i, A) A da bir ekstrem epi-batrmadr. (3) (A, U) Grp, R-mod, Lat, BooAlg, SGrp, Mon veya Rng kategorilerinden herhangi biri olsun. g : B U(A), bir B kümesinden A-nesne A'nn underlying kümesi U(A)'ya bir fonksiyon ise g, A'y ekstrem üretir A, g[b]'yi içeren uygun bir altnesneyi içermiyorsa g[b], A'y üretir. Grup ve R-modülde, g : B U(A) A'y üretiyorsa ayn zamanda A'y ekstrem üretir. Bu durum yar grup, monoid ve halkalar için geçerli de ildir. g : B U(A), A'y üretir g[b] tarafndan üretilen A'nn C altnesnesinin e : C A gömmesi bir epimorzmdir. (4) (A, U), T op (T op 2 ) kategorisi olsun. g : B U(A), B'den bir A uzaynn underlying kümesine bir fonksiyon ise g, A y üretir g sürjektiftir. (g[b], A da yo undur) g, A y ekstrem üretir g sürjektif ve A diskrit uzaydr. Önerme A e³itleyicilere sahip, G : A B bu e³itleyicileri koruyor ve g : B G(A) B-morzmi ekstrem ko³ulu sa lyorsa g, A'y ekstrem G-üretir. spat: Sadece g'nin A'y G-üretti ini göstermeliyiz. r, s : A A G(r) g = G(s) g ³eklinde A-morzmler olsun. (K, k) Equ(r, s) olsun. k bir monomorzma ve G e³itleyiciyi korudu undan (G(K), G(k)) Equ(G(r), G(s)) dir. E³itleyici tanmndan g = G(k) h olacak ³ekilde bir h : B G(K) morzmi vardr. Sonuç olarak ekstrem ko³ulundan k izomorzmdir o halde r = s dir. Önerme (u, A) B için bir G-evrensel dönü³üm ise u, A'y ekstrem G-üretir. 152

154 spat: s ve t, G(s) u = G(t) u ³eklindeki A-morzmler ise evrensel dönü³üm tanmndan G(x) u, G(s) u olacak ³ekilde bir tek x morzmi vardr. Böylece x = s = t dir. B u G(A) A G(s) u G(A ) G(s),G(t) x A O halde u, A'y G-üretir. Ekstrem ko³ulu göstermek için, u = G(m) f olacak ³ekilde A codomainli bir m, A-monomorzmi ve bir f B- morzminin var oldu unu kabul edelim. Evrenselli in tanmndan a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f morzmi vardr. B u G(A) A f G( f) G(A ) f A Böylece B f u u G(A ) G( f) G(m) G(A) G(A) G(m f) A A m f veya 1 A diyagram da de i³meli olur. Sonuç olarak, evrensel dönü³ümün tanmndaki teklik ko³ulundan m f = 1 A dr. Böylece m bir retraksiyon ve monomorzm yani izomorzma olur. Önerme Evrensel dönü³ümler tektir yani G : A B ve B Ob(B) için (u, A) ile (u, A ) nün herbiri bir G-evrensel dönü³üm iken 153

155 a³a daki üçgen diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek f : A A izomorzmas vardr. B u G(A) A u G(f) G(A ) f A spat: Evrensel dönü³üm tanmndan a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A A ve g : A A morzmleri vardr. G(A) B u u G(A ) u G(f) G(g f) G(g) G(A) Buradan u G(A) B G(1 A ) u G(A) diyagram elde edilir. Böylece; u, A'y G-üretti inden 1 A = g f bulunur. (Önerme 0.0.2'den) Benzer ³ekilde 1 A = f g bulunur. Sonuç olarak f izomorzmadr. Lemma G : A B, B 1, B 2 Ob(B) ve i = 1, 2 olmak üzere (u i, A i ) B i için bir G-evrensel dönü³üm ise, her f : B 1 B 2 morzmi için a³a daki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A1 A 2 154

156 morzmi vardr. B 1 u 1 G(A 1 ) A 1 f G( f) B 2 u 2 G(A 2 ) f A 2 Not G : A B funktoru her B-nesnesi G-evrensel dönü³üme sahip olma özelli ine sahip ise Lemma 0.0.1, F : B A funktorunu tanmlamaya imkan verir. Lemma C D B F A D : C B ve G : A B funktor, her C Ob(C) için (u C, A C ) D(C) nin G-evrensel dönü³ümü olsun. (1) A³a daki ³artlar sa layacak ³ekilde bir tek F : C A funktoru vardr. (i) Her C Ob(C) için F (C) = A C dir. (ii) u = (u C ) D'den G F 'ye bir do al transformasyondur. (2) ((k C ), K) D'nin bir e³-limiti olsun. (i) ((k C ), K ) F 'nin bir e³-limiti ise her C Ob(C) için a³a daki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek u : K G(K ) B-morzmi vardr. Ayrca (u, K ) K D(C) k C K u C G(F (C)) G(k C ) u G(K ) için G-evrensel dönü³ümdür. G F (C) (ii) Tersine; (u, K ) K için G-evrensel dönü³üm ise her C Ob(C) için k C K 155

157 yukardaki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek k C : F (C) K vardr. Ayrca ((k C ), K ) F 'nin bir e³-limiti olacaktr. spat: (1) f : C C ise D(f) : D(C) D(C ) dir bu nedenle Lemma 0.0.1'den a³a daki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f : A C A C morzmi vardr. D(C) u C G(A C ) A C D(f) D(C ) u C G( f) G(A C ) f A C F (f) = f ³eklinde tanmlansn. Teklikten, F : Mor(C) Mor(A) bir fonksiyondur, F (1 C ) = 1 AC dir ve F bir funktor ise F (C) = A C tektir ve her kare de i³melidir. Kareler de i³meli oldu undan u = (u C ) : D G F bir do al transformasyon olur. Böylece geriye F 'in bile³keleri korudu unu göstermek kalr. C f C g C olsun. G ve D bile³keleri korudu undan a³a daki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde ḡ f ve g f nin herbiri bir x morzmdir. D(C) u C G(A C ) A C D(g f) G(x) D(C ) uc G(A C ) x A C Böylece u C, A C 'yi G-üretti inden (Önerme 0.0.2'den) ḡ f = g f yani F (g) F (f) = F (g f) dir. (2) (i) F 'nin yukardaki tanmndan ve G'nin bile³keleri korumasndan her 156

158 g : C C için de i³meli diyagram elde ederiz. D(C) u C G(F (C)) G(k C ) D(g) G(F (g)) G(K ) D(C ) u G(F (C )) C G(k C ) ((G(k C ) u C), G(K )), D için bir do al batrma oldu undan her C Ob(C) için a³a daki kare diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek u : K G(K ) morzmi vardr. D(C) k C K u C G(F (C)) G(k C ) u G(K ) (u, K ) nün K için bir G-evrensel dönü³üm oldu unu göstermek için f : K G(A) oldu unu kabul edelim. (u C, F (C)) evrensel dönü³ümler oldu undan her C Ob(C) için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek f C : F (C) A vardr. D(C) u C G(F (C)) F C f k C G(A) G(f C ) A f C g : C C iken a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde f C ve 157

159 f C F (g) nin herbiri x : F (C) A morzmidir. D(C) u C G(F (C)) F C D(g) G(F (g)) k C D(C ) u C G(F (C )) G(x) x K k C f G(f C ) G(A) Böylece teklikten, f C = f C F (g) oldu undan ((f C ), A) F A için bir do al batrmadr. ((k C ), K ) F 'nin bir e³-limiti oldu undan, C Ob(C) için a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek ˆf : K A vardr. F (C) k C K Sonuç olarak, f C ˆf A D(C) u C G(F (C)) k C G(K ) G(k C ) G(f C ) u G( ˆf) K f G(A) diyagram için d³taki üst dörtgenin ve sa daki üçgenin de i³melili ini elde ederiz. 158

160 f k C = G( ˆf) u k C ((k C ), K) bir e³-limit ve dolaysyla bir epi-batrma oldu undan, f = G( ˆf) u elde ederiz. Bu özelli e göre ˆf nn tekli i bunun in³asndan ve (u C, F (C)) nin evrensel dönü³üm olmasndan F (C) yi G- üretmesi sonucu çkar. O halde (u, K ), K için bir G-evrensel dönü³ümdür. (ii) (u, K ), K için bir G-evrensel dönü³üm olsun. Her (u C, F (C)), D(C) için bir G-evrensel dönü³üm oldu undan, her C Ob(C) için a³a daki kare diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir k C : F (C) K vardr. D(C) k C K u C G(F (C)) G(k C ) u G(K ) F (C) k C K ((k C ), K ) nün F 'nin bir e³-limiti oldu unu göstermek istiyoruz. ((k C ), K) D'nin bir e³-limiti ve u : D G F bir do al transformasyon oldu undan her g : C C için (sa daki üçgen hariç) tüm diyagramn komütatiili ini elde ederiz. D(C) u C G(F (C)) D(g) G(F (g)) k C D(C ) u C G(F (C )) G(k C ) K k C G(k C ) u G(K ) u C, F (C) yi G-üretti inden k C = k F (g) dir. Böylece C ((k C ), K ) F için bir do al batrmadr. Bunun e³-limit oldu unu göstermek için ((q C ), Q) nun da F için bir do al batrma oldu unu kabul edelim. ((G(q C ) u C ), G(Q)) nin D için bir do al batrma oldu unu görmek kolaydr bu nedenle a³a daki 159

161 üçgen diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek h : K G(Q) morzmi vardr. k C K D(C) h G(q C ) u C G(Q) (u, K ), K için bir G-evrensel dönü³üm oldu undan, a³a daki üçgen diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek h : K Q vardr. K u G(K ) K h G( h) G(Q) h Q q C ve h k C morzmdir. nün herbiri a³a daki üçgen diyagram de i³meli klan bir D(C) u C G(F (C)) F (C) x h k C =G(q C ) u C G(x) G(Q) x Q O halde; u C, F (C) yi G-üretti inden her C Ob(C) için q C = h k C dür. (k C, K) bir epi-batrma ve (u, K ) G-evrensel dönü³üm oldu undan h nin tekli i açktr. Sonuç olarak (k C ), K ) F 'nin bir e³-limitidir. Sonuç A bir C-e³-tam kategori ve G : A B olsun. G'ye göre evrensel dönü³ümlere sahip B nin tüm nesnelerini içeren B dolu altkategorisi, B de C-e³-limitlerin olu³umu altnda kapaldr yani D : C B, B de bir ((k C ), K) e³-limitine sahip ve her D(C) B nde ise o zaman K da B nde olmaldr. Teorem G : A B, her B Ob(B) için bir (η B, A B ) G-evrensel dönü³ümü olacak ³ekilde bir funktor olsun. 160

162 (1) A³a daki ³artlar sa layan bir tek F : B A funktoru vardr: (i) Her B Ob(B) için F (B) = A B dir. (ii) η = (η B ) : 1 B G F bir do al transformasyondur. (2) Üstelik, her C kategorisi için F, C-e³-limitleri korur. (3) G η G G F G G ɛ G = G 1 G G ve F F η F G F ɛ F F = F 1 F F olacak ³ekilde bir tek ɛ : F G 1 A do al transformasyonu vardr yani her A Ob(A) için G(ɛ A ) η G(A) = 1 G(A) ve her B Ob(B) için ɛ F (B) F (η B ) = 1 F (B) dir. spat: (1) D, 1 B : B B birim funktor olmak üzere Lemma 0.0.2'den açktr. (2) D : C B, ((k C ), K) e³-limitli bir funktor olsun. K Ob(B) oldu undan hipotezden K için bir (n k, A k ) G-evrensel dönü³ümü vardr. Böylece Lemma 0.0.2'den her C Ob(C) için ((k C ), A K), F D nin e³-limiti ve a³a- daki diyagramda her kare de i³meli olacak ³ekilde k C : F D(C) A K morzmi vardr. D(C) η D(C) G(F D(C)) F D(C) k C G(k C ) K ηk G(A K ) = G(F (K)) k C A K = F (K) Bununla birlikte, η : 1 B G F bir do al transformasyon oldu undan F (k C ) : F D(C) F (K) morzmleri de yukardaki kareyi de i³meli 161

163 klar. η D(C), F D(C) yi G-üretti inden her C için F (k C ) = k C dür, böylece ((k C ), A K) = ((F (k C )), F (K)) F D nin bir e³-limitidir. O halde F C-e³-limitleri korur. (3) Her A Ob(A) için G(A) Ob(B) dir bu nedenle (η G(A), F (G(A))), G(A) için bir G-evrensel dönü³ümdür. Sonuç olarak, evrensel dönü³ümün tanmndan a³a daki diyagram de i³meli klacak ³ekilde bir tek ɛ A : F G(A) A morzmi vardr. G(A) ηg(a) G(F G(A)) 1 G(A) G(ɛ A ) G(A) F G(A) A ɛ A ɛ = (ɛ A ) bir do al transformasyon ise her A için diyagramn de i³melili i 1 G = (G ɛ) (η G) oldu unu gösterir. ɛ nin do al transformasyon oldu unu göstermek için, f : A A olsun. O zaman G(f ɛ A ) η G(A) = G(f) G(ɛ A ) η G(A) = G(f) 1 G(A) = 1 G(A ) G(f) = G(ɛ A ) η G(A ) G(f) dir. Fakat η : 1 B G F do al transformasyon oldu undan bu G(f ɛ A ) η G(A) = G(ɛ A ) (G F )(G(f)) η G(A) = G(ɛ A (F G)(f)) η G(A) haline dönü³ür. Böylece η G(A), (F G)(A) y G-üretti inden f ɛ A = ɛ A (F G)(f) elde ederiz bu nedenle η = (η A ) : 1 A F G bir do al transformasyondur. (ɛ F ) (F η) = 1 F oldu unu göstermek için her B Ob(B) için G(ɛ F (B) F (η B )) η B = G(ɛ F (B) ) (G F (η B ) η B ) oldu una dikkat edelim. η do al transformasyon oldu undan bu G(ɛ F (B) ) η G F (B) η B = G(1 F (B) ) η B 162

164 dir. Sonuç olarak, her B için η B F (B) yi G-üretti inden ɛ F (B) F (η B ) = 1 F (B) dir. Böylece (ɛ F ) (F η) = 1 F dir. Önerme G : A B, her B Ob(B) için (η B, A B ) ve (ˆn B, ÂB) nin herbiri B için G-evrensel dönü³üm olacak ³ekilde bir funktor olsun. F ve ˆF, F (B) = AB ve ˆF (B) =  B ³eklindeki funktorlar ise F, ˆF ya do al olarak izomorktir. spat: Evrensel dönü³ümlerin tek olmasndan açktr. 163

165 Bölüm 6 ADJONT FUNKTORLAR Tanm (1) A ve B kategoriler G ve F funktorlar η ve ε do al transformasyonlar öyleki (i) G : A B ve F : B A (ii) η : 1 B G F ve ε : F G 1 B (iii) G η G G F G G ɛ G = G 1 G G ve F F η F G F ɛ F F = F 1 F F ise bu durum adjoint durumu olarak adlandrlr ve (η, ε) : F G : (A, B) veya (η, ε) : F G ile gösterilir. (2) E er (η, ε) : F G ise F ye G nin sol adjointi G ye F nin sa adjointi denir ve η ya adjoint durumun birimi(unit) ε ye de adjoint durumun e³birimi(counit) denir. (3) G : A B funktoru için (η, ε) : F G olacak ³ekilde F, η ve ε varsa G, sol adjointe sahiptir denir.benzer ³ekilde F : B A için (η, ε) : F G olacak ³ekilde G, η ve ε varsa sa adjointe sahiptir denir. Ba³ka bir deyi³le, bir funktor, bir funktorun sa adjointi ise sol adjointe sahiptir ve e er bir funktorun sol adjointi ise sa adjointe sahiptir. 164

166 Denk durum tanmndan a³a daki önermeyi yazabiliriz. Hatrlatma: F : A B bir funktor olsun.a³a dakiler denktir : 1) F dolu, güvendolu, yo undur. 2) F G 1 B ve G F 1 A olacak ³ekilde G : B A funktoru vardr. 3) F η = (ε F ) 1 ve G ε = (η G) 1 olacak ³ekilde G : B A funktoru ve η : 1 B G F ve ε : F G 1 B do al izomorzmalar vardr. F funktoru yukardaki ko³ullardan birini sa lyorsa bu funktora denk funktor ve (F, G, η, ε) dörtlüsüne denk durum denir. Önerme (1) E er (F, G, η, ε) denk durum ise (η, ε) : F G ve (ε 1, η 1 ) : G F dir. (2) E er G : A B denk funktor ise G nin hem sol adjointi hem sa adjointi olan F : A B funktoru vardr. spat : Denk durum tanmndan F η = (ε F ) 1 ve G ε = (η G) 1 oldu undan (η, ε) : F G ve (ε 1, η 1 ) : G F olur. (2), (1) den dolay açktr. Teorem G : A B bir funktor olsun. (1) Her B Ob(B) (η B, A B ) G-evrensel dönü³üme sahipse η = (η B ) ve her B Ob(B) için F (B) = A B olacak ³ekilde bir tek (η, ε) : F G adjoint durumu vardr. (2) Tersine, e er (η, ε) : F G adjoint durumu varsa her B Ob(B) için (η B, F (B)), B için bir G-evrensel dönü³ümdür. spat: teorem den ve adjoint durumunun tanmndan (1) açktr. Hatrlatma: Teorem 26.11: G : A B, her B Ob(B) için bir (η B, A B ) G-evrensel dönü³ümü olacak ³ekilde bir funktor olsun. (1) A³a daki ³artlar sa layan bir tek F : B A funktoru vardr: 165

167 (i) Her B Ob(B) için F (B) = A B dir. (ii) η = (η B ) : 1 B G F bir do al transformasyondur. (2) Üstelik, her C kategorisi için F, C-e³-limitleri korur. (3) G η G G F G G ɛ G = G 1 G G ve F F η F G F ɛ F F = F 1 F F olacak ³ekilde bir tek ɛ : F G 1 A her A Ob(A) için do al transformasyonu vardr yani G(ɛ A ) η G(A) = 1 G(A) ve her B Ob(B) için dir. ɛ F (B) F (η B ) = 1 F (B) (2) B Ob(B) ve f : B G(A) alalm. B η B f (G F )(B) G( f) G(A) F (B) f A diyagram komütatif klan f : F (B) A bir tek f morzmas bulmak istiyoruz. f = ε A F (f) olsun. Buradan G( f) η B = G(ε A ) (G F )(f) η B olur. Fakat η : 1 B oldu undan G F do al transformasyon ve (G ε) (η G) = 1 G B η B G F (B) f G(A) η G(A) G F (f) G F G(A) 166

168 G(ε A ) (G F )(f) η B = G(ε A ) η G(A) f = 1 G(A) f = f dir. Buradan f diyagram komümatif klar. h : F (B) A ve f = G(h) η B olsun.o halde ε do al transformasyon ve (ε F ) (F η) = 1 F oldu undan F (B) 1 F (B) F (B) F (η B ) ε F (B) F (f) F G F (B) h F G(h) Buradan h = ε A F (f) olur. F G(A) ε A A Sonuç E er F ve F, G nin sol adjointi için F ve F do al izomorktir. spat : Üstteki teoremden ve önerme den gelir. Hatrlatma: önerme : G : A B bir funktor öyleki her B Ob(B) ve (η B, A B ) ve ( ηˆ B, AB ˆ ) B için G-evrensel dönü³üm olsunlar. E er F ve ˆF, F (B) = A B ve ˆF (B) = ÂB ³eklindeki funktorlar ise F, ˆF ye do al olarak izomorktir. Adjoint durumlarn örnekleri : A B Sol Adjoint Sa Adjoint Grp Set serbest grup funktoru unutkan funktor Top Set diskret uzay funktoru unutkan funktor Ab Grp abelle³tirme funktoru kapsama funktoru Not : Abelle³tirme funktoru : A = {ghg 1 h 1 g, h A} A komütatör altgrup H : Grp Ab 167 A H(A) = A/A

169 B/B A p A/A f : A B H(f) : A/A f H(f) B q B/B H : Grp Ab abelle³tirme funktoru K : Ab Grp kapsama funktoru olmak üzere 1 Grp ile K H arasnda do al transformasyon vardr. U : Grp Set unutkan funktor F : Set Grp serbest grup funktoru ise η = (η A ) : 1 Set U F ve ε = (ε A ) : F U 1 Grp do al transformasyonlar öyleki η A : A U(F (A)) üreticilerin eklenmesi ε A : F (U(B)) B, U(B) üzerinde birim fonksiyonun indirgedi i bir tek grup homomorzmasdr. Teorem G : A B, F : B A, η : 1 B G F ve ε : F G 1 A ise a³a dakiler denktir : (1) (η, ε) : F G : (A, B) (2) (ε, η) : G op F op : (B op, A op ). spat : (1) durumu verildi inde ifadeyi A op ve B op cinsinden çevirdi imizde görülür ki G op : A op B op ve F op : B op A op η : 1 B G F [B, B] de bir morzma oldu undan [B, B] op [B op, B op ] de bir morzmadr. Bu yüzden [B op, B op ] kategorisinde η : F op G op 1 Bop olur. Benzer ³ekilde ε1 A op G op F op olur. Tekrar G η G G F G G ε G = G 1 G G ifadesini [A, B] den [A op, B op ] ye çevirdi imizde op η Gop G G op F op G op G ε G op = G op 1 G op G op olur. Benzer ³ekilde 168

170 F op F op η F op G op op ε F op F = F op 1 F op F op olur. Buradan (ε, η) : G op F op : (B op, A op ) bir adjoint durumudur. (2) (1) Benzer ³ekilde yaplr. Teorem E er (η, ε) : F G : (A, B) adjoint durumu ise F e³limitleri ve G limitleri korur. spat : Teorem den biliyoruz ki her B Ob(B) için (η B, F (B)) G-evrensel dönü³ümdür. Teorem den F e³limitleri korur. Teorem nin dualli inden (ε, η) : G op F op G op e³limitleri korur. Yani G limitleri korur. adjoint durumudur. Böylece yukardan Önerme Adjoint durumlar birle³tirilebilirdir. E er (η, ε) : F G : (A, B) ve (ν, δ) : S T : (B, C) ise o zaman ( (T η S) ν, ε (F δ G) ) : F S T G : (A, C) dir. spat: Godomentin 5 kuralndan gelir. Teorem E er G : A B ve F : B A ise a³a dakiler denktir : (1) F, G nin sol adjointidir. Yani (η, ε) : F G olacak ³ekilde η ve ε do al transformasyonlar vardr. (2) Küme de erli bifunktorlar hom(f, ) : B op A Set ve hom(, G ) : B op A Set do al izomorktir. spat : (1) (2) E er (η, ε) : F G ise α : hom(f, ) hom(, G ), α BA (f) = G(f) η B ³eklinde tanmlayalm. ( η : 1 B G F ve B η B G F (B) G(f) G(A) ) α BA (f) = α BA (g) ise G(f) η B = G(g) η B olur. (η B, F (B)) B için bir 169

171 G-evrensel dönü³üm oldu undan evrensel dönü³ümlerin teklik ko³ulundan f = g olur. Sonuç olarak α injektiftir. E er f : B G(A) ise evrensel dönü³ümün özelli inden vardr öyleki B η B f (G F )(B) G( f) G(A) F (B) f A diyagram komütatiftir. Yani, α BA ( f) = G( f) η B = f olur. f : F (B) A Sonuç olarak α BA sürjektiftir.buradan α BA bijektiftir. Bu yüzden α do al transformasyonunu olu³turmak için sadece a³a daki diyagramn komütatifli ini göstermek kalr. B g B ve A f A için hom(f (B), A) α BA hom(b, G(A)) hom(f (g),f) hom(g,g(f)) hom(f (B ), A ) αb A hom(b, G(A )) x hom(f (B), A) olsun. α B A hom(f (g), f)(x) = α B A (f x F (g)) = G(f x F (g)) η B = G(f x) G F (g) η B olur. Fakat η : 1 B G F do al transformasyondur. Yani, G(f x) η B g = G(f) (G(x) η B ) g = hom(g, G(f))(G(x) η B ) = (hom(g, G(f)) α BA )(x) olur. Diyagram komütatiftir. (2) (1) Kabul edelimki α : hom(f, ) hom(, G ) do al izomorzma olsun. Her B Ob(B) için η B = α B,F (B) (1 F (B) ) olsun. Teorem den sadece her B Ob(B) için (η B, F (B)) nin B için bir 170

172 G-evrensel dönü³üm oldu unu göstermeliyiz. hom(f (B), F (B)) α B,F (B) hom(b, G F (B)) hom(1 F (B),α 1 BA (f)) hom(f (B), A) α BA hom(b, G(A)) 1 F (B) hom(f (B), F (B)) eleman için hom(1 B,G(α 1 BA (f))) f = α BA (α 1 BA (f)) = (α BA hom(1 F (B), G(α 1 BA (f)) α B,F (B)))(1 F (B) ) = G(α 1 BA (f)) η B Buradan komütatiftir. olur. B η B f (G F )(B) G(A) G(α 1 BA (f)) F (B) α 1 BA (f) A Tekli i göstermek için, kabul edelimki g : F (B) A, G(g) η B = f olsun. Yine üstteki karenin komütatii inden α 1 BA (f) g ile yer de i³tirirse α BA (g) = α BA (hom(1 F (B), g)(1 F (B) )) = (hom(1 B, G(g)) α B,F (B) )(1 F (B) ) = G(g) η B = f Bu yüzden α BA olur. η = (η B ) : 1 B G F bijektif oldu undan g = α 1 BA (f) olur. nin do al transformasyon oldu unu göstermek için herhangi B-morzm f : B B için a³a daki diyagramn 1 F (B) ve 1 F (B ) de komütatii inden srasyla hom(f (B), F (B)) α B,F (B) hom(b, G F (B)) hom(f (1 B ),F (f)) hom(1 B,G F (f)) hom(f (B), F (B )) αb,f (B ) hom(b, G F (B )) hom(f (f),1 F (B ) ) hom(f (B ), F (B )) α B,F (B ) hom(f,g(1 F (B ) )) hom(b, G F (B )) 171

173 (G F )(f) η B = α B,F (B) (F (f)) = η B f olur. Buradan (G F )(f) α B,F (B) (1 F (B) ) = α B,F (B ) hom(f (1 B ), F (f))(1 F (B) ) = α B,F (B ) F (f) 1 F (B) = α B,F (B ) hom(f (f), 1 F (B ))(1 F (B )) = hom(f, G(1 F (B ))) α B,F (B )(1 F (B )) = η B f olur. Buradan, B η B G F (B) f B η B G F (f) G F (B ) diyagram komütatiftir. Bu teorem önceki ile birlikte e er G : A B ve F : B A ise o zaman F nin G nin sol adjointi olmas gerçe inin açklanmasnn en azndan dört farkl yolunun var oldu unu söyler : (1) Evrensel dönü³ümlerin (η B, F (B)) ailesi bakmndan ; (2) E³-evrensel dönü³ümlerin (G(A), ε A ) ailesi bakmndan ; (3) G η G G F G G ε G = G 1 G G ve F F η F G F ε F F = F 1 F F olacak ³ekilde η : 1 B G F ve ε : F G 1 A bakmndan ; do al transformasyonlar (4) α = (α BA ) : hom(f, ) hom(, G ) do al izomorzmas bakmndan. Dördüncü yol adjoint durumunun tanmn kulland ndan belki daha çabuk ve kolaydr. Fakat pratikte birinci ve ikinci yol daha kolaydr. 172

174 6.1 Adjointlerin Varl Tanm G : A B funktor ve B Ob(B) olsun. Her bir i I için A i bir A-nesne, u i : B G(A i ) bir B-morzm olmak üzere her  A-nesnesi ve her f : B G(Â) B-morzmi için a³a daki diyagram komutatif klacak ³ekilde bir i I ve ˆf : Ai  morzminin varl n sa layan küme indeksli (A i, u i ) I ailesine B nin G-çözüm kümesi denir. B u i G(A i ) A i f G( ˆf) G(Â) ˆf  Önerme G : A B funktor ve u : B G(A) bir B-morzm olsun. A³a dakler denktir. (1) (u, A) B nin G-evrensel dönü³ümüdür. (2) (u, A) B nin G-çözüm kümesidir ve u A y G-üretir. Teorem Birinci Adjoint Funktor Teoremi A tam ve G : A B olsun. Bu durumda G nin bir sol adjointe sahip olmas için gerek ve yeter ³art (1) G limitleri korur. (2) Her B-nesnesi bir G-çözüm kümesine sahiptir. ko³ullarnn sa lanmasdr. spat: (η, ε) : F G ise Teorem 27.7 den G limitleri korur. Teorem 27.3 ten (η, ε) : F G adjoint durum oldu undan her B Ob(B) için (η B, F (B)) B için bir G-evrensel dönü³ümdür. Önerme 28.2 den (η B, F (B)) B nin G-çözüm kümesidir. Tersine olarak (1) ve (2) sa lansn. Teorem 27.3 ten G : A B funktor olmak üzere her B Ob(B) (η B, A B ) G-evrensel dönü³üme sahip 173

175 ise η = (η B ) ve her B Ob(B) için F (B) = A B olacak ³ekilde bir (η, ε) : F G adjoint durumu vardr. O halde her B-nesnesi için bir G- evrensel dönü³ümün varl n göstermek yeterlidir. (u i, A i ) I B nin G-çözüm kümesi ve (ΠA i, π i ) (A i ) I ailesinin çarpm olsun. G limitleri korudu undan çarpm korur. Böylece (G(ΠA i ), G(π i )), (G(A i )) I ailesinin çarpmdr. Çarpm tanmndan a³a daki diyagram komutatif yapan bir tek u B : B G(ΠA i ) morzmi vardr. B u B G(ΠA i ) u i G(π i ) G(A i ) Her  Ob(A) ve her f : B G(Â) morzmi için f = (G( ˆf) G(π i )) u B oldu undan (u B, ΠA i ) B nin G-çözüm kümesidir. hom(πa i, ΠA i ) deki G(g j ) u B = u B özelli ine sahip tüm morzmlerin ailesi (g j ) J ve (G(A B ), G(e)) (G(g j )) J ailesinin çoklu e³itleyicisi olsun. Her i, j J için G(g j ) u B = u B = G(g i ) u B oldu undan e³itleyici tanmndan G(e) η B = u B olacak ³ekilde bir η B : B G(A B ) vardr. (η B, A B ) nin B için G-evrensel dönü³üm oldu unu iddia ediyoruz. (η B, A B ) nin B nin G-çözüm kümesi oldu unu göstermek için  Ob(A) ve f : B G(A) Mor(B) olsun. (u i, A i ) B nin G-çözüm kümesi oldu undan G( ˆf) u i = f olacak ³ekilde bir u i : B G(A i ) ve bir ˆf : Ai  vardr. 174

176 f = ˆf π i e olsun. Buradan f = G( f) η B dir. B u B u i η B G( A i ) G(e) G(A B ) Ai e A B f G(π i ) G(A i ) G( f) π i A i f G( ˆf) G(Â) ˆf  O halde (η B, A B ) B nin G-çözüm kümesidir. η B nin A B yi G-üretti ini gösterelim. r, s : A B Ā, G(r) η B = G(s) η B olsun. (E, e ) r ve s nin e³itleyicisi olsun. G limitleri korudu undan e³itleyiciyi korur. Böylece (G(E), G(e )) Equ(G(r), G(s)) olur. E³itleyici tanmndan, a³a daki diyagram komutatif yapan bir tek h : B G(E) morzmi vardr. B h G(E) η B G(e ) G(A B ) (u B, ΠA i ) B nin G-çözüm kümesi oldu undan, G( h) u B = h olacak ³ekilde h : ΠA i E morzmi vardr. B u B G(ΠA i ) h G( h) G(E) e e h : ΠA i ΠA i için G(e e h) u B = G(e) G(e ) G( h) u B = G(e) G(e ) h = G(e) η B = u B 175

177 elde edilir. O halde e e h (g j ) J ailesine aittir. Ayrca G(1 ΠAi ) u B = u B oldu undan 1 ΠAi de (g j ) J ailesindedir. (A B, e) (g j ) J ailesinin çoklu e³itleyicisi oldu undan (e e h) e = 1 ΠAi e = e 1 AB elde edilir. e monomorzm oldu undan e h e = 1 AB dir. O halde e retraksiyon ve regüler monomorzmdir. Böylece e bir izomorzm olur. (E, e ) Equ(r, s) ve e izomorzm oldu undan r = s dir. O halde η B, A B yi G-üretir. Bu durumda Önerme 28.2 den (η B, A B ) B nin G-evrensel dönü³ümüdür. Teorem 27.3 ten G sol adjointe sahiptir. Tanm G : A B funktor ve f : B G(A) B-morzm olsun. E er g Ā y eksremal G-üretir ve m : Ā A bir A-monomorzm ise B g G(Ā) f G(m) G(A) faktorizasyonuna (f, A) nn (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyonu denir. Benzer ³ekilde (G-üretici, ekstrem mono)-faktorizasyonu tanmlanr. Örnek (1) G : A A birim funktor ve f : A B A-morzm ise (f, B) nin bir (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyonu, f in (ekstrem epi, mono)-faktorizasyonu ile ayndr. (2) G : A A I sabit funktor ve f = (f i ) : B G(A) A I -morzm ise (f, A) nn (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyonu ((f i ), A) batrmasnn [(ekstrem epi)-batrma, mono]-faktorizasyonu ile ayndr. (3) U : Grp Set unutkan funktor ve f : B U(A) bir fonksiyon ise (f, A) nn (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyonu, Ā A nn f[b] ile üretilen alt grubu, m : Ā A kapsama homomorzmi ve g, f = U(m) g 176

178 olacak ³ekildeki tek fonksiyon olmak üzere B g U(Ā) f U(m) U(A) faktorizasyonudur. Lemma Faktorizasyon Lemmas A iyi kuvvetli, arakesite e³itleyiciye sahip ve G : A B funktoru limiti korur ise bu durumda B f G(A) formundaki her B-morzmi için (f, A) ikilisi bir (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyonuna sahiptir. Sonuç Arakesit ve e³itleyiciye sahip her iyi kuvvetli kategori (ekstrem epi, mono)-faktorizelidir. spat: G : A A birim funktor alnrsa Faktorizasyon Lemmadan açktr. Sonuç A iyi kuvvetli, arakesit ve e³itleyiciye sahip ise A daki her batrma bir [(ekstrem epi)-batrma, mono]-faktorizasyonuna sahiptir. Teorem A tam, iyi kuvvetli, G : A B limitleri korur ve her B-nesnesi iki³erli izomork olmayan A-nesnelerin en fazla bir kümesini ekstrem G-üretir ise G sol adjointe sahiptir. spat: B Ob(B) olmak üzere g : B G(A) A y ekstrem G-üretecek ³ekildeki tüm (g, A) ikililerinin temsilci kümesi (B Faktorizasyon Lemmadan B f g i G(A i ), A i ) I olsun. G(Â) formundaki her B-morzmi için (f, A) bir (ekstrem G-üretici, mono)-faktorizasyona sahiptir. B g i G(A i ) f G(m) G(Â) 177

179 O halde her  Ob(A) ve her f : B G(A) morzmi için yukardaki diyagram komutatif yapan i I ve m : A i  morzmi vardr. Böylece (B g i G(A i ), A i ) I B nin G-çözüm kümesidir. G limitleri korudu undan ve her B B-nesnesi bir G-çözüm kümesine sahip oldu undan Birinci Adjoint Funktor Teoremine göre G sol adjointe sahiptir. Teorem kinci Adjoint Funktor Teoremi A tam, iyi kuvvetli ve ekstrem e³-(iyi kuvvetli) olsun. Bu durumda G : A B funktorunun sol adjointe sahip olmas için gerek ve yeter ko³ul (1) G limitleri korur. (2) Her B-nesnesi iki³erli izomork olmayan A-nesnelerinin en fazla bir kümesini ekstrem G-üretir. ³artlarnn sa lanmasdr. spat: Bu iki ko³ulun sa lanmasnn bir sol adjointin varl için yeterli oldu u Teorem 28.9 da gösterildi. Tersine olarak Teorem 27.7 den her sa adjoint limiti korudu undan G limitleri korur. Böylece sadece (2) nin sa land gösterilmelidir. B Ob(B) olsun ve R nin, her A R için bir f A : B G(A) A y ekstrem G-üretecek ³ekildeki A nn iki³erli izomork olmayan nesnelerinin snf oldu unu kabul edelim. G sol adjointe sahip oldu undan Teorem 27.3 ten B için bir (η B, A B ) evrensel dönü³ümü vardr. Böylece evrensel dönü- ³üm tanmndan her A R için a³a daki diyagram komutatif yapan bir f A : A B A morzmi vardr. B η B G(A B ) A B f A G(A) G( f A ) f A A Her fa nn bir ekstrem epimorzm oldu unu iddia ediyoruz. Bunu 178

180 göstermek için e er A B g  f A m A m monomorzm olacak ³ekilde f A nn bir faktorizasyonu ise m in izomorzm oldu u gösterilmelidir. m monomorzm iken f A = m g ise f A nn a³a daki faktorizasyonuna sahibiz. B G(g) η B G(Â) f A G(m) G(A) f A A y ekstrem G-üretti inden ve m monomorzm oldu undan m izomorzmdir. Ayrca s f A = r f A ise G(s) G( f A ) η B = G(r) G( f A ) η B buradan G(s) f A = G(r) f A elde edilir. f A A y ekstrem G-üretti inden r = s olmaldr. Sonuç olarak ( f A, A) A B nin ekstrem bölüm nesnesidir. R deki nesneler iki³erli izomork olmad ndan ve A ekstrem e³-(iyi kuvvetli) oldu undan R kümedir. Teorem Özel Adjoint Funktor Teoremi A iyi kuvvetli, tam ve bir C e³ayrcsna sahip olsun. Bu durumda her G : A B funktoru için a³a dakiler denktir. (1) G sol adjointe sahiptir. (2) G limitleri korur. spat:her sa adjoint limiti korudu undan (1) (2) yi gerektirir. Tersini göstermek için (2) nin 'Her B B nesnesi ikili olarak izomork olmayan A-nesnelerinin en fazla bir kümesini G-üretir.' ifadesini gerektirdi- ini göstermeliyiz. R nin iki³erli izomork olmayan A nesnelerinin bir snf ve her A R için uygun bir B g A G(A) morzminin A y G-üretti ini 179

181 kabul edelim. Çarpm tanmndan her A R için a³a daki diyagram her f hom(a, C) için komutatif klacak ³ekilde bir h A morzmi vardr. A h A f C hom(a,c) C π f Önerme 19.6 dan C bir e³ayrc oldu undan her h A bir monomorzm olmaldr. Her g A A y G-üretti inden f G(f) g A ile tanmlanan hom(a, C) hom(b, G(C)) fonksiyonu injektiftir. Böylece Al³trma 18.F den hom(a, C) olacak ³ekildeki A R nesneleri için bir s A : C hom(a,c) C hom(b,g(c)) kesiti vardr. s A kesit, h A monomorzm oldu undan s A h A monomorzmdir. Buradan (A, s A h A ) C hom(b,g(c)) nin bir alt nesnesidir. E er hom(a, C) = ise C hom(a,c) biti³ nesnesi T dir. Böylece her A R için ya (A, s A h A ) C hom(b,g(c)) nin bir alt nesnesidir ya da (A, h A ) T nin bir alt nesnesidir. A iyi kuvvetli oldu undan bu R nin küme olmas anlamna gelir. Yukardaki teoremin ³unu gerektirdi ine dikkat edin. Örne in e er A Set, R Mod, T op veya CompT 2 kategorilerinden biri ise herhangi bir F : A B funktorunun sol adjointe sahip olmas için gerek ve yeter ³art onun limitleri korumasdr ve sa adjointe sahip olmas için gerek ve yeter ³art F in e³limitleri korumasdr. A³a daki adjoint funktor teoremi U ve V funktorlar somut kategorilerden Set kategorisine giden unutkan funktorlar oldu unda sklkla uygulanabilir. 180

182 Teorem A G B U C Kategorilerin ve funktorlarn diyagram komutatif ve a³a daki ko³ullar sa lyorsa G sol adjointe sahiptir. (1) A tam, iyi kuvvetli, e³ iyi kuvvetlidir. (2) G limitleri korur. (3) U bir sol adjointe sahiptir. (4) V güvendoludur. V spat: Teorem 28.9 dan her B-nesnesinin iki³erli izomork olmayan A- neslerinin en fazla bir kümesini G-üretti ini göstermek yeterlidir. B OB(B) ve R, her A R için B ³ekilde iki³erli izomork olmayan A-nesnelerinin snf olsun. g A G(A) A y G-üretecek U sol adjointe sahip oldu undan Teorem 27.3 ten V (B) için bir (u, Ā) U-evrensel dönü³üm vardr. Her g A morzmi için V (g A ) : V (B) V (G(A)) = U(A) dr. Böylece (u, Ā) bir U-evrensel dönü³üm oldu undan, V (B) u U(Ā) Ā V (g A ) U(ḡ A ) V (G(A)) = U(A) A ḡ A diyagram komutatif klacak bir tek ḡ A : Ā A vardr. ḡ A n bir epimorzm oldu unu iddia ediyoruz. Bunu göstermek için r ḡ A = s ḡ A oldu unu kabul edelim. O halde U(r) U(ḡ A ) = U(s) U(ḡ A ) ve böylece (V G)(r) V (g A ) = (V G)(s) V (g A ) elde edilir. g A A y G-üretti inden r = s dir. Sonuç olarak ḡ A epimorzmdir ve böylece (ḡ A, A) Ā nn bölüm nesnesidir. A e³ iyi kuvvetli oldu undan R bir kümedir. 181

183 Bölüm 7 KÜME DE ERL FUNKTORLAR 7.1 Hom Funktorlar Önerme f, g : C D A-morzmlerin bir ikilisi olsun. A³a dakiler denktir. (1) f = g dir. (2) Herhangi bir A A-nesnesi için hom(a, )(f) = hom(a, )(g) dir. spat: (1) in (2) ko³ulunu gerektirdi i açktr. Tersine olarak (2) sa lansn. f = f 1 C = hom(c, f)(1 C ) = hom(c, g)(1 C ) = g 1 C = g Yukardaki önerme a³a daki gibi yeniden ifade edilebilir: A daki bir diyagramn komutatif olmas için gerek ve yeter ³art her bir A A-nesnesi için diyagramn hom(a. ) altndaki görüntüsünün komutatif olmasdr. 182

184 Sonuç F, G : A C funktor ikilisi ve η = (η A : F (A) G(A)) C morzmlerin Ob(A) ile indislenmi³ bir ailesi olsun. Bu durumda a³a dakiler denktir: (1) η = (η A ) : F G bir do al transformasyondur. (2) Her C C-nesnesi için, hom(c, ) η = hom(c, η A ) : hom(c, ) F hom(c, ) G bir do al transformasyondur. Teorem D : A C olsun. Bu durumda a³a dakiler denktir: (1) (L, l A ) D nin bir limitidir. funktor ve (L, L l A D(A)) C de bir kaynak (2) Her C Ob(C) için (hom(c, L), hom(c, l A )) hom(c, ) D nin limitidir. spat: (1) (2). Funktorlar komutatif üçgen diyagramlar korudu undan her C Ob(C) için (hom(c, L), hom(c, l A )) nin hom(c, ) D için bir do al kaynak oldu u açktr. E er (Y, (f A )) da hom(c, ) D için bir do al kaynak ise her y Y için f A (y) hom(c, D(A)) dr ve Y f A f A hom(c, D(A)) D(m) hom(c, D(A )) A m A diyagramnn komutatii i D(m) f A (y) = f A (y) e³itli ini garantiler. Böy- 183

185 lece (C, (f A (y))) D için bir do al kaynak oldu undan, her bir A için C g y L f A (y) l A D(A) diyagram komutatif olacak ³ekilde bir tek g y : C L morzmi vardr. imdi her y Y için g(y) = g y olsun. Bu durumda g : Y hom(c, L) dir ve her bir y Y için oldu undan Y g f A hom(c, D(A)) hom(c, L) hom(c,l A ) üçgen diyagram komutatiftir. Teklik her bir g y nin tekli inden gelir. Böylece (hom(c, L), hom(c, l A )), hom(c, ) D nin limitidir. (2) (1). hom-funktorlar komutatif üçgen diyagramlar belirledi inden (L, (l A )) D için bir do al kaynaktr. imdi (B, (b A )) nn D için bir do al kaynak oldu unu kabul edelim. Funktorlar komutatii i korudu undan, (hom(b, B), hom(b, b A )) hom(b, ) D için bir do al kaynaktr. O halde limit tanmndan, her bir A için hom(b, B) F hom(b,b A ) hom(b, D(A)) hom(b, L) hom(b,l A ) 184

186 üçgen diyagramn komutatif yapan bir tek F : hom(b, B) hom(b, L) fonksiyonu vardr. Böylece (hom(b, l A ) F )(1 B ) = hom(b, b A )(1 B ) yani l A F (1 B ) = b A oldu undan, f = F (1 B ) B f L b A l A D(A) üçgen diyagramn komutatif yapar. Tekli i göstermek için f : B L nin diyagram komutatif yap n varsayalm. Bu durumda her C C-nesnesi için hom(c, f) ve hom(c, f ) nün her biri, hom(c, B) x hom(c, L) hom(c,b A ) hom(c, D(A)) hom(c,l A ) üçgen diyagramn komutatif yapacak ³ekildeki x fonksiyonudur. Limit tanmndaki teklik ³artndan, her bir C Ob(C) için hom(c, f) = hom(c, f ) olmaldr. Sonuç olarak f = f olur. Sonuç (1) A³a dakiler denktir: (i) f bir C-monomorzmdir. (ii) Her C Ob(C) için hom(c, f) injektif fonksiyondur. (2) A³a dakiler denktir: 185

187 (i) T bir C-biti³ nesnesidir. (ii) Her C Ob(C) için hom(c, T ) tek noktal kümedir. spat: (1) f in monomorzm olmas için gerek ve yeter ³art 1 1 f f diyagramnn geri çekilim olmasdr ve Set kategorisinde monomorzmler injektif fonksiyonlardr. (2) T nin biti³ nesnesi olmas için gerek ve yeter ³art onun bo³ fonktorun limiti olmasdr ve Set deki biti³ nesneleri tek noktal kümelerdir. Önerme E er S C de bir retrakt-ayrc ise bu durumda her A kategorisi için hom(s, ) A-limitleri yanstr. spat: D : A C funktor ve (L, L l A D(A)), (hom(s, L), (hom(s, l A ))) hom(s, ) D : A Set nin limiti olacak ³ekilde A da bir kaynak olsun. S bir retrakt-ayrc oldu undan ayrcdr. O halde hom(s, ) güvendoludur. Böylece (L, (l A )) D için bir do al kaynaktr. (B, (g A )) da D için bir do al kaynak olsun. Bu durumda (hom(s, B), (hom(s, g A ))) hom(s, ) D için bir do al kaynak oldu undan her bir A için hom(s, B) h hom(s, L) hom(s,g A ) hom(s, D(A)) hom(s,l A ) üçgen diyagramn komutatif yapan yani her x : S B için g A x = l A h(x) 186

188 olan bir tek h fonksiyonu vardr. S bir retrakt-ayrc oldu undan B m I S r 1 B B olacak ³ekilde S nin bir ((µ i ), I S) e³ kuvveti ve m, r morzmleri vardr. Yukardan her i I, her A Ob(A) için, g A (r µ i ) = l A h(r µ i ) olur. Böylece e³ çarpm tanmndan, her bir i için q µ i = h(r µ i ) olacak ³ekilde bir tek q : I S L morzmi vardr. ((µ i ), I S) bir epi-batrma oldu undan, B m q m q 1 B I S S µ i B r g A L h(r µ i ) l A D(A) diyagram her A Ob(A) için komutatiftir. h tek ve hom(s, ) güvendolu oldu undan q m, her A için d³ kareyi komutatif yapan tek morzmdir. Sonuç olarak (L, (l A )) D nin limiti olmaldr. Sonuç E er B bo³tan farkl bir küme ise bu durumda hom(b, ) : Set Set limitleri korur ve yanstr. 187

189 Bölüm 8 TEMSL EDLEBLEN FUNKTORLAR Tanm G : A Set bir funktor olsun. (1) G 'nin bir temsili bir (A,δ) çiftidir. Burada A bir A - nesnedir ve δ:hom(a, ) G bir do al izomorzmdir. (2) E er G nin bir (A,δ) temsili varsa G ye temsil edilebilir denir. Önerme Temsil edilebilir funktorlar limiti korur. spat: Hom funktorlarn limitleri koruma özelli inden (29.3) ve do al izomork funktorlarn ayn limit koruyan özelliklere sahip olmasndan ispat tamamlanr (24.10). TEMSLN TEKL : E er G : A Set funktoru A ve B objelerinin her biri tarafndan temsil edilebiliyorsa o zaman A ve B izomork olmaldr. Açkça e er; δ C :hom(a, ) hom(b, ) bir do al izomorzm ise, ozaman δ A (1 A ) hom(b, A) bir izomorzmdir. Hatta hom(a, ) den hom(b, ) ye tüm do al izomorzmlerin kümesinden, 188

190 B den A ya tüm izomorzmlerin kümesine, δ δ A (1 A ) ile belirlenen bir bijektif fonksiyondur. Bu a³a dakileri sa layacaktr. NOTASYON : Bu bölümün geri kalan ksmnda, e er F ve G, ortak A domainli ve ortak B codomainli ise, o zaman [F, G], F den G ye do- al transformasyonlarn konglomeratesini gösterecektir. Yani hom [A,B] (F, G) anlamnda kullanlacaktr. Lemma (YONEDA LEMMA) E er G : A Set ve A bir A - nesne ise, o zaman Y : [hom(a, ), G] G(A) δ δ A (1 A ) ile tanmlanan bir bijektif fonksiyonu vardr. Tersi de ; Y : G(A) [hom(a, ), G] x ξ = (ξ B ) ile tanmlanan Y fonksiyonudur. Burada ξ B : hom(a, B) G(B) ve tüm f hom(a, B) için ξ B (f) = G(f)(x) dr. Y ve Y fonksiyonlar, G ve A için yoneda fonksiyonlar olarak adlandrlr. spat: Y nin bir fonksiyon oldu u açktr. Biz ilk olarak Y nün bir fonksiyon oldu unu göstermeliyiz. Yani; Y (x) = ξ, x G(A) için bir do al transformasyondur. Bunu görmek için f : B C ve g hom(a, B) olsun. O zaman; hom(a, f) : hom(a, B) hom(a, C) g hom(a, f)(g) = f g ξ : hom(a, ) G do al transformasyon ξ C : hom(a, C) G(C) 189

191 hom(a, B) hom(a, C) G(C) g hom(a, f)(g) ξ C hom(a, f))(g) (ξ C hom(a, f))(g) = ξ C (f g) = G(f g)(x) = (G(f) G(g))(x) = G(f)(ξ B (g)) = (G(f) ξ B )(g) Bu her g hom(a, B) için do ru oldu undan a³a daki diyagram komutatif olur. hom(a, B) ξ B G(B) B hom(a,f) G(f) ξ B = ξ C hom(a, f) hom(a, C) ξc G(f) G(C) f C Böylece ξ, hom(a, ) den G ye do al transformasyondur. imdi Y ve Y nün tanmndan, her x G(A) için (Y Y )(x) = Y (ξ) = ξ A (1 A ) = G(1 A )(x) = 1 G(A) (x) Buradan; Y Y = 1 G(A) dir. Y Y nin birim oldu unu göstermek için δ : hom(a, ) G olsun. O zaman; Y (δ) = δ A (1 A ). ξ = Y (δ A (1 A )) olsun. O zaman tanmdan; ξ A (1 A ) = G(1 A )(δ A (1 A )) = δ A (1 A ) imdi B herhangi bir A- nesne olsun ve f, A dan B ye herhangi bir morzm olsun. O zaman; ξ B (f) = ξ B (f 1 A ) = (ξ B hom(a, f))(1 A ). ξ nin do all ndan yukarda (G(f) δ A )(1 A ) yerine (G(f) ξ A )(1 A ) yazlr. 190

192 δ nn do all ndan ; (δ B hom(a, f))(1 A ) = δ B (f 1 A ) = δ B (f) dir. Buradan δ = ξ Yani Y Y = 1 [hom( A, ),G] Sonuç olarak Y bijektiftir ve onun tersi olan Y de bijektiftir. Sonuç (A, B) A- nesnelerin bir çifti olsun. O zaman Ỹ :hom A (B, A) [hom(a, ), hom(b, )] yoneda dönü³ümü her f : B A ile ba lantldr, her g hom(a, C) için ξ C (g) = g f ile tanmlanan ξ = (ξ C ) do al transformasyonu bijektif fonksiyondur. "f : B A bir izomorzmdir e er ve yalnz e er Ỹ (f) bir do al izomorzmdir " oldu unu göstermek için yukarda tanmlanan Ỹ :hom A (B, A) [hom(a, ), hom(b, )] fonksiyonunun, E : A op [A, Set] funktorunun E [E(A),E(B)] hom A op(a,b) kstlan³ oldu unu ispatlamalyz. Teorem (DOLU GÖMME TEOREM) E er A herhangi bir kategori ise ozaman E(A) = hom(a, ), A Ob(A) ve f : B A ve g : A C A -morzmleri için E(f) (g) = g f ³eklinde tanmlanan E : A op [A, Set] funktoru bir dolu gömmedir. spat:e nin tanmlan³ndan açktr ki E birimi ve bile³keyi korur. Böylece bir funktordur. Herhangi bir kategoride, morzmler kümesi ayrk ikililerdir. E objeler üzerinde injektif olmaldr. Yukardaki sonuçtan E dolu ve güvendolu olmaldr. Böylece E bir dolu gömmedir. 191

193 Sonuç Her kategori ( small kategori) tam ve e³-tam quasikategorilere (kategorilere) dolu gömülebilir. spat: Set kategorisi tam ve e³-tam oldu undan, herhangi bir A kategorisi için [A, Set] de öyledir (25.7). Sonuç Ỹ :hom A(B, A) [hom(a, ), hom(b, )] Sonuç (30.7) de tanmlanan Yoneda fonksiyon olsun. O zaman ; Bir f A - morzmi bir A - izomorzmdir Ỹ (f) bir do al izomorzmdir. spat: Her funktor izomorzmleri korur ve dolu gömmeler izomorzmleri yanstr (12.9). Sonuç (TEMSLN TEKL ) E er (A, δ) ve (B, ξ) nin her biri G : A Set funktorunun bir temsili ise o zaman δ Ỹ (f) = ξ olacak ³ekilde f : A B bir tek izomorzm vardr. E er G : A Set, A bir A -nesne ve Y : G(A) [hom(a, ), G] Yoneda fonksiyonu ise, o zaman Sonuç (30.10) 'dan G = hom(b, ) olmas durumunda G(A) = hom(b, A) nn bir eleman Y ile örten bir izomorzmdir e er ve yalnz e er bir A - izomorzmdir. Biz ³imdi baz F : A B ve baz B objeleri için G = hom(b, ) durumu üzerinde odaklanaca z. Bu problemin çözümü, temsil edilebilen funktorlarla, evrensel dönü³ümler arasndaki temel ili³kiyi ve dolaysyla temsil edilebilen funktorlarla adjoint durumlar arasndaki ili³kiyi verecektir. Teorem G : A B, B bir B nesne, δ : hom(a, ) hom(b, ) G bir do al transformasyon olsun, ve Y : [hom(a, ), hom(b, ) G] hom(b, G(A)) Yoneda fonksiyonuna kar³lk gelsin. O zaman a³a dakiler denktir : 192

194 (1)δ bir do al izomorzmdir. (2)(A, δ) ; hom(b, ) G bin bir temsilidir. (3)(Y (δ), A), B için bir G- evrensel dönü³ümdür. spat: (1 2) δ bir do al izomorzm olsun. Temsilin tanmndan A bir A -nesne ve δ : hom(a, ) hom(b, ) G bir do al izomorzm ise (A, δ), hom(b, ) G nin bir temsilidir. (2 3) Varsayalm ki (A, δ), hom(b, ) G nin bir temsili olsun. Açkça; Y (δ) = δ A (1 A ) : B G(A) dr. (Y yoneda fonksiyonu oldu undan) E er f : B G(A ) ise o zaman, δ A bijektif fonksiyon oldu undan, δ A ( f) = f olacak ³ekilde bir tek f : A A morzm vardr. δ do al transformasyon oldu undan da hom(a, A) hom(a, f) hom(a, A ) δ A δ A hom(b, G(A)) hom(b,g( f)) hom(b, G(A )) diyagram komutatiftir. Yani; hom(b, G( f)) δ A = δ A hom(a, f) 1 A hom(a, A) elemanna bu komutatii i uygularsak hom(b, G( f)) δ A (1 A ) = hom(b, G( f))(δ A (1 A )) = (G( f) δ A )(1 A ) δ A hom(a, f)(1 A ) = δ A ( f 1 A ) = δ A ( f) = f (G( f) δ A )(1 A ) = f elde ederiz. 193

195 Böylece a³a daki üçgen diyagram komutatif yapacak ³ekilde f : A A morzm vardr. Y (δ) = δ A (1 A ) G( f) δ A (1 A ) = f B Y (δ) f G(A) G( f) G(A ) A f A Böylece (Y (δ), A) B için G- evrensel dönü³ümdür. (3 1) A Ob(A) için nn bijektif fonksiyon oldu unu göstermeliyiz. δ A : hom(a, A ) hom(b, G(A )) E er f hom(b, G(A )) ise o zaman (Y (δ), A) G- evrensel dönü³üm oldu undan diyagram komutatif yapacak ³ekilde! f hom(a, A ) vardr. Yani; G( f) δ A (1 A ) = f Fakat δ do al transformasyon oldu undan, dr. G( f) δ A (1 A ) = δ A ( f) Teorem G : A B bir funktor olsun. O zaman (1)Bir B, B- nesnesi bir G- evrensel dönü³üme sahiptir e er ve yalnz e er hom (B, ) G temsil edilebilir. (2)G bir sol adjointe sahiptir e er ve yalnz e er B Ob(B) için hom(b, ) G funktoru temsil edilebilirdir. spat: Önceki teoremden ve adjoint durum ile evrensel dönü³üm arasndaki ba ntdan do rudan elde edilir. (27.3) (1) Önceki teoremde (3 2) den G : A B bir funktor ise δ : hom(a, ) hom(b, ) G olmak üzere 194

196 Y : [hom(a, ), hom(b, ) G] hom(b, G(A)) yoneda fonksiyonu olsun. B nesnesi bir G- evrensel dönü³ümüne sahip olsun. (Y (δ), A) B için G- evrensel dönü³üm ise (A, δ), hom(b, ) G nin bir temsilidir. Yani hom(b, ) G temsil edilebilirdir. (2)G bir sol adjointe sahip olsun. F : B A olsun. η ve ε do al transformasyonlar olsun. η : 1 B G F ve ε : F G 1 A (η, ε) : F G(A, B) F, G nin sol adjointi. Teorem (27.3) den ; E er (η, ε) : F G adjoint durumu varsa her B ob(b) için (η B, F (B)) B için bir G- evrensel dönü³ümdür. (1) ³kkndan B nesnesi bir G- evrensel dönü³üme sahip ise hom(b, ) G temsil edilebilirdir. Teorem E er G : A Set bir funktor ise o zaman bir A, A- nesnesi G yi temsil eder e er ve yalnz e er A, bir tek noktal P kümesi için G-evrensel nesnedir, yani, bir tek noktal P kümesinin ve bir U : P G(A) nn var olmas ko³uluyla (U, A) P için bir G- evrensel dönü³ümdür. spat:hom(p, ) : Set Set ve 1 S et : Set Set funktorlar arasnda bir do al izomorzm vardr. Ve bu izomorzmleri koruyan ve yanstan bir B : [hom(a, ), G] [hom(a, ), hom(p, ) G] bijektif fonksiyonunu indirger. Y : [hom(a, ), hom(p, ) G] hom(p, G(A)) Yoneda bijeksiyonuna kar³lk gelsin. O zaman (A, δ), G nin bir temsilidir e er ve yalnz e er (A, B(δ)), 195

197 hom(p, ) G nin bir temsilidir ve bu durumda e er ve yalnz e er (Y (B(δ)), A), P için bir G- evrensel dönü³ümdür (Teorem 30.12). Sonuç Küme de erli bir G funktoru temsil edilebilirdir e er ve yalnz e er tek noktal kümeler G- evrensel dönü³üme sahiptir. Sonuç E er G küme de erli funktoru tek noktal bir küme için G- evrensel dönü³üme sahip ise o zaman G, limitleri korur. Bu sonuç a³a daki teoremde gösterildi i gibi oldukça güçlendirilebilir. Teorem E er küme de erli bir G : A Set funktoru en az bo³ olmayan bir B kümesi için G- evrensel dönü³üme sahip ise, o zaman G, limitleri korur. spat:bir B nesnesi bir G- evrensel dönü³üme sahip ise teorem (30.13) (1) den hom(b, ) G temsil edilebilirdir. Temsil edilebilir funktorlar limitleri korudu undan (önerme 30.2) hom(b, ) G limitleri korur. B bo³tan farkl oldu undan, hom(b, ) limitleri yanstr(29.6) Buradan G limitleri korumaldr. Sonuç A, Set in bir dolu alt kategorisi olsun, en az bo³tan farkl bir küme içerir. O zaman E : A Set gömme funktoru limitleri korur. Not edelim ki teorem (30.17) nin benzeri, küme de erli olmayan funktorlar için do ru de ildir. Özel olarak e er G : Set T op, her kümeyi, küme üzerinde diskret uzaya götüren bir funktor ise, o zaman her diskret uzay bir G-evrensel dönü³üme sahiptir fakat G, limitleri korumaz. Önerme Bir G : A Set funktoru bir sol adjointe sahiptir e er ve yalnz e er G, I A key e³kuvveti olan bir A, A- objesiyle temsil edilebilirdir. spat:g bir sol adjointe sahiptir e er ve yalnz e er her I kümesi bir G- evrensel dönü³üme sahiptir.(27.3) Her I kümesi, P tek noktal kümesinin 196

198 I P e³kuvvetine izomork oldu undan, lemma (26.9) dan her I kümesi bir G- evrensel dönü³üme sahiptir e er ve yalnz e er P bir (U, A), G- evrensel dönü³ümüne sahiptir ve A, I A key e³kuvvetine sahiptir. O halde teorem (30.14) den A nesnesi G yi temsil eder. Sonuç E er A e³-tam ise o zaman G : A Set bir sol adjointe sahiptir e er ve yalzz e er G temsil edilebilirdir. Teorem G : A Set bir funktor olsun. E er A a³a daki ko³ullarn ikisini de sa lyorsa (1) den (6) ya kadar olan ko³ullar denktir: (i)a tamdr, iyi- kuvvetlidir ve bir e³ eyrcya sahiptir. (ii)a tamdr, iyi- kuvvetlidir, ekstrem-iyi-kuvvetlidir ve her küme izomork olmayan A nesnelerin en fazla bir kümesini ekstrem G-üretir. (1)G limitleri korur. (2)G sol adjointe sahiptir. (3)Her küme için G- evrensel dönü³ümü vardr. (4)En az bo³tan farkl bir küme için bir G- evrensel dönü³ümü vardr. (5)Tek noktal küme için bir G- evrensel dönü³ümü vardr. (6)G temsil edilebilirdir. Örnek (1) Tam kafeslerin A - kategorisi tam ve iyi-kuvvetlidir ve U : A Set temsil edilebilirdir. Bununla beraber ikiden fazla elemana sahip olmayan küme bir U - evrensel dönü³üme sahiptir. (2)Tam Boolean cebirlerin A-kategorisi tamdr, iyi-kuvvetlidir ve ekstrem e³-(iyi-kuvvetli) ve U : A Set unutkan funktorunun temsil edilebilirli i açktr. Bununla beraber sonsuz olmayan küme bir U - evrensel nesneye sahip de ildir. (3)Tam, e³-tam, iyi kuvvetli ve e³(iyi-kuvvetli) olan bir somut kategori (A, U) vardr öyle ki U : A Set limitleri korur fakat temsil edilebilir de ildir. 197

199 SERBEST NESNELER Tanm E er G : A Set bir küme de erli funktor ve (U, A), X kümesi için bir G-evrensel dönü³üm ise o zaman A ya X üzerinde bir G- serbest nesnedir denir ve U : X G(A) morzmine de X üreticilerin A ya eklenmesi denir. Her X kümesi için bir G-serbest nesne varsa A ya G- serbest nesneye sahiptir denir. Örnek E er (A, U) gruplarn somut kategorisi ise o zaman A nn U- serbest nesneleri, serbest gruplardr. Benzer ³ekilde yukardaki tanmda U unutkan funktoru ile somut kategoriler için serbest R-modüller, serbest halkalar, serbest monoidler, serbest yargruplar, serbest kafesler ve serbest boolean cebirleri de U- serbest nesneleridir. NOTASYONEL UYARI : Bu bölümün kalan ksmnda; varsayalm ki G : A Set bir funktor olsun o zaman biz "G-serbest" yerine "serbest" terimini kullanaca z. Önerme (1)E er bir A- nesnesi, A nn ba³langç nesnesi ise, bo³ küme üzerinde serbesttir. (2)Bir A- nesnesi G yi temsil eder ise, bir tek noktal küme üzerinde serbesttir. (3)A bir serbest nesneye sahiptir e er ve yalnz e er G bir sol adjointe sahiptir. (4)E er en az bo³ olmayan bir küme bir serbest nesneye sahip ise, o zaman G limitleri korur. 198

200 E er (U, A) herhangi bir G-evrensel nesneye sahip ise o zaman U, A y ekstrem G-üretir.(26.6) Ancak U : X G(A) üreticilerin eklenmesi injektif fonksiyon olmak zorunda de ildir. A, nesneleri tek noktallar ve olan, Set in bir dolu altkategorisi olsun. G : A Set gömme funktoru olsun. O zaman A, serbest nesnelere sahiptir, fakat birden fazla elemana sahip olan kümeler için, üreticilerin eklenmesi injektif fonksiyon de ildir. Teorem E er A, G(A) birden fazla elemana sahip olacak ³ekilde en az bir A nesnesini içeriyorsa o zaman her B serbest nesnesi için, U : X G(B) üreticilerin eklenmesi bir injektif fonksiyondur. spat: U(x) = U(y) olsun. O zaman tüm f : X G(A) fonksiyonlar için, öyle f : B A vardr öyle ki f = G( f) U. Buradan f(x) = f(y), G(A) en az iki elemana sahip oldu undan x = y olmaldr. Her serbest R-modül projektif olarak bilinir. Ancak key somut kategoriler için sa lanmaz. Örne in diskret hausdor uzaylar U- serbesttir, fakat (T op 2, U) somut kategorisinde projektif de illerdir. Tanm A morzmlerin snf ε olsun. E er hom(p, ) : A Set funktoru,ε deki morzmleri surjektif fonksiyonlara götürürse P, A-nesnesine ε-projektif denir. E er ε, tüm regüler epimorzmlerin snf ise, ozaman P, regüler projektif olarak adlandrlr. E er ε, tüm ekstrem epimorzmlerin snf ise, ozaman P, ekstrem projektif olarak adlandrlr. E er ε, G(f) in surjektif olmas durumunda tüm f A morzmlerin snf ise, o zaman sur-projektif olarak adlandrlr. 199

201 Örnek E er ε, A daki tüm epimorzmlerin snf ise, o zaman P, ε - projektiftir e er ve yalnz e er P projektitir. P, ε-projektif ise hom(p, ) : A Set ε deki tüm morzmleri surjektif fonksiyonlara götürür. O halde hom(p, ) : A Set epimorzmleri korur. o halde P projektiftir. Önerme Her serbest obje sur-projektiftir. spat:(u, A), X lerin G-evrensel dönü³ümü olsun ve f : A B ve g : C B A-morzmler olsunlar öyle ki G(g) surjektif olsun. O zaman a³a daki diyagram komutatif yapacak ³ekilde bir tek h : X G(C) fonksiyonu vardr. X h U G(A) G(f) G(C) G(g) G(B) (U, A), X için bir evrensel dönü³üm oldu undan G( h) U = h olacak ³ekilde bir tek h : A C vardr. Sonuç olarak öyle ki (26.6)dan g h = f Yani; hom(a, g)( h) = f Buradan A sur-projektitir. G(g h) U = G(g) G( h) U = G(g) h = G(f) U Önerme E er A serbest nesnelere sahip ise, o zaman her A A nesnesi için bir  serbest nesnesi ve bir e :  A morzmi vardr öyle ki G(e) bir surjeksiyondur. Di er bir deyi³le her A -nesnesi, baz serbest nesnelerin bir örten görüntüsüdür. Ayrca e er G güvendolu ise, o zaman e bir epimorzm olarak seçilebilir. 200

202 spat:(u, Â), G(A) kümesi için bir G- evrensel dönü³üm olsun. O zaman a³agdaki diyagram komutatif yapacak ³ekilde bir tek e :  A morzmi vardr. G(A) U 1 G(A) G(Â) G(e) G(A) G(e) retraksiyon oldu undan, surjektif fonksiyon olmaldr. E er G güvendolu  e A ise epimorzmleri yanstr. Yani e bir epimorzm olmaldr. Önerme E er A serbest nesnelere sahip ise A Ob(A) için a³a dakiler denktir: (1)A sur-projektitir. (2)A bir serbest "retraktdr" yani öyle  serbest nesnesi ve öyle r :  A retraksiyonu vardr. spat: (1 2) (31.9) Bir serbest  nesnesi ve bir e :  A morzmi vardr öyle ki G(e) surjektitir. O halde (1) den a³a daki diyagram komutatif yapacak ³ekilde bir f : A  morzmi vardr. e f = 1 A O halde e bir retraksiyondur. (2 1) A f  e 1 A A  bir serbest nesne ve r :  A bir retraksiyondur. O zaman r m = 1 A olacak ³ekilde bir m morzmi vardr. f : A B ve g : C B 201

203 G(g) surjektif olacak ³ekilde morzmler olsunlar.  sur-projektif oldu undan (31.8) den g f = f r olacak ³ekilde bir f :  C morzmi vardr. Bu nedenle f = f m A  g f = g f m = f 1 A = f. C f g m r A B 1 A f Önerme E er H : C D güvendolu, (U, C); D için bir H-evrensel nesne ve D, D için bir ayrc ise o zaman, C, C için bir ayrcdr. spat: f, g : A B C-morzmlerin bir çifti olsun öyle ki her k : C A C- morzmi için, f k = g k. O zaman her k : C A için, H(f) (H(k) U) = H(g) (H(k) U) elde ederiz. (U, C), D için bir H-evrensel dönü³üm oldu undan her ˆk : D G(A) D-morzmi için H(f) ˆk = H(g) ˆk dr. D, D için bir ayrc oldu undan H(f) = H(g)dir. H güvendolu oldu undan f = g dir. O halde C, C için bir ayrcdr. Sonuç E er (A, G) somut ise, o zaman bo³tan farkl bir küme üzerinde serbest olan her nesne A için bir ayrcdr. Lemma Varsayalm ki A, 1 < Card(G(A)) < ℵ 0 olacak ³ekilde bir A nesnesine sahip olsun. E er U : X G(Â), X üzerinde  nesnesine 202

204 üreticilerin eklenmesi ise ve e er g : Y G(Â),  y üretir ise, o zaman CardX CardY dir. spat: CardX = k, CardY = m ve Card(G(A)) = n olsun. g,  y G- üretir oldu undan Card(hom A (Â, A))) Card(hom Set(Y, G(A))) = n m Ayn ³ekilde (U, Â), X için bir G-evrensel dönü³üm oldu undan Card(hom A (Â, A))) = Card(hom Set(Y, G(A))) = n k Sonuç olarak n k n m ; yani n sonlu ve 1 den daha büyük oldu undan k m dir. Önerme Varsayalm ki A, 1 < Card(G(A)) < ℵ 0 olacak ³ekilde bir A nesnesine sahip olsun ve Â1 ve Â2 srasyla X 1 ve X 2 üzerinde serbest olsunlar. E er Â1 ve Â2 izomork ise o zaman X 1 ve X 2 izomorktir. 203

205 Bölüm 9 ALT NESNELER, BÖLÜM NESNELER VE FAKTORZASYONLAR 17. bölümde bir C kategorisinin küçüklük ve tamlk özelliklerine sahip ise, o zaman C nin (ekstrem epi,mono)- faktorizeli oldu unu gördük. Bu bölümde böyle bir kategorinin tek türlü (ekstrem epi,mono)- faktorizeli ve üstelik tek türlü (epi, ekstrem mono)- faktorizeli oldu unu gösterece iz. Bu sonuçlar bir araya getirerek, böyle bir kategorideki her morzmin tek bir üçlü (ekstrem epi, bi, ekstrem mono) faktorizasyonu oldu unu gösterece iz. (ekstrem epi, mono) faktorizasyonlarn genellikle cebirsel kategorilerde alnd ve daha az sklkla T OP yada POS kategorilerinde alnd unutulmamaldr. 204

206 9.1 (E,M) Kategoriler Bu ksm boyunca E izomorzmlerle bile³ke altnda kapal olan epimorzmlerin snf ve M de izomorzmlerle bile³ke altnda kapal olan monomorzmlerin snf olsun. Bir f morzminin (E,M) faktorizasyonunun, e E ve m M olmak üzere,. f = m e oldu unu hatrlatalm. e E ve m M için,. e f e f f = m e f in bir ba³ka (E,M)- faktorizasyonu iken, e. e h m. diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir h morzmi var ise f in faktorizasyonu tektir. m m m Ayrca, bir C kategorisinin her bir morzmi tek türlü (E,M) faktorizeli ise, o zaman C nin her morzmi bir tek (E,M)-faktorizasyona sahiptir. Tanm Herhangi bir C kategorisi tek türlü (E,M)faktorizeli ve E, M nin her ikisi de bile³ke altnda kapal ise,c kategorisine (E,M)- kategori denir. 205

207 Tanm C bir kategori olsun. e E ve m M olmak üzere, e E deki her de i³meli kare f. e.. m. için bu diyagram de i³meli klan bir k morzmi var ise, C kategorisi (E,M)- kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir denir. f. e k.. m. Teorem Herhangi bir C kategorisi için a³a dakiler denktir: (1) C bir (E,M)-kategoridir. (2) C (E,M)-faktorizelidir ve (E,M) - kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir. spat (1) (2) : e E ve m M olmak üzere, g g f. e.. m. de i³meli kare olsun. f = m e ve g = m e (E,M)- faktorizasyonlar olsunlar. O zaman, g = (m e ) e = m (e e) ve g e = m f = m (m e ) = (m m ) e oldu undan, m (e e) ve (m m ) e, g e nin (E,M)-faktorizasyonu olurlar. O halde teklikten dolay a³a daki diyagram de i³meli klan bir h izomorzmas g 206

208 vardr.. e. e e f. h. g m m. m. Kö³egenle³tirme için gerekli olan morzm m h e dr. Böylece (2) sa lanr. (2) (1) : f in herhangi iki (E,M)- faktorizasyonu f = m e = m e ise, o zaman. e ve.. e. e. m k. m e. m k. m diyagram de i³meli olacak ³ekilde k, k morzmleri vardr. Birinci ve ikinci diyagramda srasyla k e = e ve k e = e oldu u kullanlarak (k k) e = k (k e) = k e = e = 1 e elde edilir. e bir epimorzm oldu undan k k = 1 ve böylece k bir retraksiyondur. Ayn zamanda k, bir monomorzmin ilk çarpan oldu undan bir monomorzmdir. Buradan,k bir izomorzmdir. Bu durumda C tek türlü (E,M)-faktorizeli olur. M nin bile³ke altnda kapal oldu unu görmek için, m 1, m 2 M alalm. m M, e E olmak üzere m e = m 2 m 1, m 2 m 1 in (E,M)- faktorizasyonu 207

209 ise, o zaman. m 1 e k.. m 2. m diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir k morzmi vardr. Buradan, k e = m 1 = 1 m 1 dir. 1. e k.. m 1. diyagramn de i³meli klan bir k morzmi vardr. Böylece k e = 1 olup C bir kesittir. C bir kesit ve epimorzm oldu undan, izomorzmdir. m e = m 2 m 1 için e izomorzm ve m monomorzm ise m e bir monomorzm yani m 2 m 1 M olur. Dual olarak E da bile³ke altnda kapaldr. Ohalde, C tek türlü (E,M)-faktorizeli ve E,M bile³ke altnda kapal oldu undan C bir (E,M)-kategoridir. Önerme Herhangibir C kategorisi için a³a dakiler denktir: (1) C bir (regüler epi, mono)- kategoridir. (2) C (regüler epi, mono)- faktorizelidir. spat (1) (2) : C (regüler epi, mono)- kategori ise ozaman C (regüler epi, mono) faktorizelidir. (2) (1) : (2) den C (regüler epi, mono) faktorizelidir. Önerme den her kategori (regüler epi, mono)- kö³egenle³tirme özelli ine sahip oldu undan, Teorem gere ince C bir (regüler epi, mono) kategori olur. Önerme C bir (E,M)-kategori ise o zaman (E,M)-faktorizasyonlar a³a daki anlamda " funktoryeldir" : k 208

210 g.. f. h. f bir de i³meli diyagram ve f = m e,f = m e f ve f nün (E,M) faktorizasyonlar ise, o zaman g.. e k. e. m h. m. diyagramn de i³meli klan tekbir k morzmi vardr. spat C bir (E,M)- kategori ise Teorem den,c (E,M)- kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir. Teorem C bir (E,M)- kategori ise o zaman E ve M birbirlerini tek türlü belirler, özellikle (1) M = {f MOR(C) : f = h e, e Eise e izomorzmdir} (2) E = {f MOR(C) : f = m e, m Mise m izomorzmdir} spat Duallikten dolay sadece (1) i ispatlamamz yeterlidir. f M ve e E olmak üzere f = h e olsun. C bir (E,M)- kategori oldu undan Teorem gere ince (E,M)- kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir.böylece, 1.. e k f diyagramn de i³meli klan bir k morzmi vardr. k e = 1 olup e kesit ve epimorzm oldu undan bir izomorzmdir. Di er yandan e E olmak üzere f = h e iken, e bir izomorzm oldu undan. m. 209

211 f in f = m e (E,M)- faktorizasyonu için de e bir izomorzmdir. Böylece, M izomorzmlerle bile³ke altnda kapaldr. Sonuç C bir (E,M)- kategori olsun. (1) E,C deki tüm epimorzmlerin snf ise, o zaman M, C deki tüm ekstrem monomorzmlerin snfdr. (2) M, C deki tüm monomorzmlerin snf ise, o zaman E,C deki tüm ekstrem epimorzmlerin snfdr. 9.2 (EPI,EKSTREM MONO) VE (EKSTREM EPI, MONO) KATEGORLER 17.bölümde arakesit ve e³itleyiciye sahip iyi kuvvetli bir kategorinin (ekstrem epi,mono)-faktorizeli odu unu gördük. Burada,C geriçekime sahip ise, yine bir (ekstrem epi,mono)-kategori oldu unu görece iz. Teorem C iyi kuvvetli, sonlu tam ve arakesite sahip ise, o zaman C bir(ekstrem epi,mono)-kategoridir. spat Önerme dan C kategorisi (ekstrem epi,mono) faktorizelidir. Teorem den C nin (ekstrem epi,mono) kategori oldu unu göstermek için,c nin (ekstrem epi,mono) kö³egenle³tirme özelli ine sahip oldu unu görmek yeterlidir. C ekstrem epimorzm ve m monomorzm olmak üzere, f. e.. m. g 210

212 de i³meli kare olsun.. a. b g. m. (1) m ve g nin geriçekilimi olsun. Önerme ten bir monomorzmin geriçekilimi bir monomorzmdir. Böylece m monomorzm oldu undan, a bir monomorzmdir. (1) bir geriçekilim karesi oldu undan,. e. h a f. g b. m. diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir tek h morzmi vardr. Diyagramda e = a h ve a bir monomorzmdir. e ekstrem epimorzm oldu undan, tanmdan a bir izomorzm olur. Bu durumda a 1 mevcuttur ve b a 1 istenen kö³egen morzmdir. C (ekstrem epi, mono) kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir. Önerme C (epi,ekstrem mono)- kö³egenle³tirme özelli ine sahip ise, o zaman (1) Ekstrem monomorzmlerin bile³kesi ekstrem monomorzmdir. (2) Ekstrem altnesnelerin arakesiti de ekstrem altnesnedir. (3) Ekstrem monomorzmin ters görüntüsü (geriçekilimi), ekstrem monomorzmdir. (4) Ekstrem monomorzmlerin çarpm da ekstrem monomorzmdir. 211

213 spat Monomorzmler bile³ke, arakesit, tersgörüntü ve çarpm altnda kapal olduklarndan her bir durum için sadece ekstrem ko³ulun sa land n görmeliyiz. (1) f ve f ekstrem monomorzmler olsunlar. f f 1 = h g ise o zaman (epi, ekstrem mono)- kö³egenle³tirme özelli inden. f. g f k. h. diyagramn de i³meli klan bir k morzmi vardr. Buradan f = k g dir. f ekstrem monomorzm ve g bir epimorzm oldu undan g bir izomorzmdir. Bu durumda f f ekstrem monomorzm olur. (2) (A i, f i ) I B nin ekstrem altnesnelerinin ailesi ve her i için d = f i di olmak üzere (D,d) bu ailenin arakesiti olsun. g bir epimorzm olmak üzere d = h g ise,o zaman her i için diyagram de i³melidir. D g C d i h A i f i B Kö³egenle³tirme özelli inden her i için, d i = k i g olacak ³ekilde k i : C A morzmi vardr. D g C d i A i k i f B h g bir epimorzm ve arakesit bir limit oldu undan Önerme 20.4 gere ince (ekstrem mono)- kaynaktr. Bu durumda g bir izomorzm olur. 212

214 (3) m ekstrem monomorzm olmak üzere. s f. t. m. bir geriçekilim olsun. Ayn zamanda f in de bir ekstrem monomorzm oldu- unu görmek istiyoruz.g bir epimorzm olmak üzere f = h g ise, kö³egenle³tirme özelli inden. s. g k f. m h. t. diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir k morzmi vardr. O halde geriçekilimler bir limit olduklarndan (ekstrem mono)- kaynaktrlar, bu durumda g bir izomorzmdir ve böylece f ekstrem monomorzmdir. (4) ( A i ) f i Bi ekstrem monomorzmler ailesi ve ( Ai fi Bi ) çarpmlar olsun. g bir epimorzm olmak üzere f i = h g ise o zaman kö³egenle³tirme özelli inden her i için 213

215 Ai fi Bi g h i. i k i A i f i B i diyagramn de i³meli klan k i morzmi vardr. Çarpmlar limit olduklarndan, (ekstrem mono)- kaynaktrlar. Bu durumda g bir izomorzmdir. f i ekstrem monomorzmdir. Lemma (Faktorizasyon Lemmas) C arakesit ve e³itleyiciye sahip iyi kuvvetli bir kategori olsun. X f Y bir C morzmi ve C-monomorzmlerin snf M a³a daki özelliklere sahip olsun: (1) M arakesit altnda kapaldr, yani (D, d) M altnesnelerinin bo³tan farkl (A i, m i ) I ailelerinin arakesiti ise d M dir. (2) m M ve q bir regüler monomorzm olmak üzere f = m q h ise m q M dir. (3) 1 Y M O zaman, m M ve e bir epimorzm olacak ³ekilde m,e morzmleri vardr ve i) f = m e ii) m M olmak üzere f = m h ise, h.. e k. m. m 214

216 diyagram de i³meli olacak ³ekilde bir k morzmi vardr. iii) m m M olmak üzere e = m g ise m bir izomorzmdir. spat i) C iyi kuvvetli oldu undan, m i M ve (A i, m i ) I f in çarpan olan Y nin tüm M altnesnelerinin gösterilim snf olmak üzere, f in küme indeksli { X h i A i } m i Y I (D, m), (A i, m i ) I nn arakesiti olsun.((3) ten dolay bo³tan farkldr) (1) den m M olur. Arakesit tanmndan, f = m e olacak ³ekilde tek bir e morzmi vardr.(i) sa lanr. ii) m M olmak üzere f = m h ise, genelli i bozmadan m = m j ve h = h j olacak ³ekilde j I oldu unu kabul edebiliriz. (D, m), (A i, m i ) I nn arakesiti oldu undan m = m j k olacak ³ekilde k morzmi vardr. Bu durumda, h=h j diyagram de i³melidir. (ii) sa lanr. X e D A j m =m j Y iii) m m M olmak üzere e = m g ise o zaman (ii) den m. e. g t m. m. m. diyagram de i³meli olacak ³ekilde t morzmi vardr. m m t = m = m 1 için m bir monomorzm oldu undan,m t = 1 dir. Böylece m bir retraksiyondur. m bir monomorzmin ilk çarpan oldu undan, 215

217 bir monomorzmdir. Sonuç olarak m izomorzm olur. (iii) sa lanr. spat tamamlamak için e nin bir epimprzm oldu unu görülmelidir. r, s MOR(C) için r e = s e oldu unu kabul edelim. (Q, q) r ve s in e³itleyicisi olsun.e³itleyici tanmndan e = q h olacak ³ekilde h morzmi vardr. Buradan, f = m e = m (q h) olur. (2) den m q M ve (iii) den q bir izomorzm olur. Böylece r = s dir ve e bir epimorzmdir. Önerme Arakesit ve e³itleyiciye sahip her iyi kuvvetli C kategorisi, (epi, ekstrem mono)- kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir. spat c bir epimorzm ve ve f bir ekstrem monomorzma olmak üzere h.. e f.. g de i³meli diyagram olsun. M tüm C morzmlerin snf ve. c. g n h. g f n n. f diyagramn de i³meli klan f n, g n morzmleri için n M olsun. M faktorizasyon lemmasndaki (1),(2),(3) ko³ullarn sa lar. Böylece f in bir (epi,m)- faktorizasyonu f = m e vardr. m bir monomorzm oldu undan f m = e dir. Buradan,. 216

218 . c. g n h. g e m. f f bir ekstrem monomorzmdir, böylece e bir epimorzm oldu undan, e bir izomorzmdir. O halde, e 1 g m istenen kö³egen morzmdir. Teorem Arakesit ve e³itleyiciye sahip her kategori, bir (epi,ekstrem mono) kategoridir. spat Bir önceki önermeden C (epi,ekstrem mono)- kö³egenle³tirme özelli ine sahiptir. Önerme 34.2 nin (1) ve (2) ³klarndan ve her regüler monomorzm bir ekstrem monomorzm oldu undan, C nin tüm ekstrem monomorzmlerinin snf Faktorizasyon Lemmasnn üç hipotezini sa lar. Böylece Faktorizasyon Lemmasndan C (epi,ekstrem mono)- faktorizelidir ve C bir (epi,ekstrem mono)-kategori olur. Önerme C iyi kuvvetli, sonlu tam ve arakesite sahip bir kategori ise o zaman, her f C-morzmi, C bir ekstrem epimorzm,b bir bimorzm ve m bir ekstrem monomorzm lmak üzere f = m b e formunda bir faktorizasyona (izomorizmlere göre tek) sahiptir. Üstelik;. g.. f. h. f 217

219 diyagram de i³meli ise bu üçlü faktorizasyon funktoryel dir ve f = m b e,f = m b e f,f nün üçlü faktorizasyonlar ise, o zaman g.. e. k 1. e b. k 2. b m h. m. diyagram de i³meli olacak ³ekilde k 1, k 2 morzmleri tektir. spat Önce Teorem 34.5 f in (epi, ektrem mono)- faktorizasyonu f = m e ve ardndan Teorem 34.1 den e nin (ekstrem epi,mono) faktorizasyonu alnarak bu üçlü faktorizasyonun varl elde edilir. Funktoriyel olmas da Önerme 33.5 ten açktr. Önerme C iyi kuvvetli, arakesit ve e³itleyiciye sahip bir kategori ise, o zaman C nin tüm ekstrem monomorzmlerinin snf M, C nin tüm regüler monomorzmlerini içeren en küçük C monomorzmler snfdr, ve bile³ke ile arakesitlerin olu³umu altnda kapaldr. spat M, C nin regüler monomorzmler snf içerdi ini ve bile³ke ile arakesitlerin olu³umu altnda kapal oldu unu biliyoruz. (17.11 in duali ve 34.2 den). Bu özelliklere sahip C-monomorzmlerin bir di er snf M olsun. O zaman, M, Faktorizasyon Lemmasnn (1),(2),(3) ko³ullarn sa lar. Böylece her f, C-morzmi bir (epi,m)-faktorizasyona sahiptir. f M ve f = m e, f in bir (epi,m)-faktorizasyonu olsun. f bir ekstrem monomorzm ve e bir epimorzm oldu undan, e bir izomorzmdir. Böylece m e M dir. Bu durumda M M olur. Tanm C bir (C,M) kategori ve X e Z f m Y 218

220 f morzminin (C,M)-faktorizasyonu ise, (Z, m) e [ya da bazen sadece m] f in M-görüntüsü denir. M nin tüm C- morzmler olmas durumunda M-görüntü yerine görüntü denir ve (Z, m) Im(f) [ya da m Im(f)] yazlr. Dual olarak, (e, Z) ye [ya da bazen sadece e] f in E-e³görüntüsü denir. E tüm C-epimorzmlerin snf ise, f in e³görüntüsü olarak adlandrlr ve (e, Z) Coim(f) yazlr. 219