Yeniden π Dr. Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara E-mail : ozbek@science.ankara.edu.tr Web : http://science.ankara.edu.tr/~ozbek Giriş π sayısı, Archimedes'ten beri yüzlerce yıldır matematikçilerin ve diğer bilim insanlarının merak ve ilgiyle kokladıkları, matematik bahçesinin en zarif çiçeklerinden birisi olagelmiştir. Bu sayının birçok özelliği vardır: Dairenin çevresinin çapına oranıdır, transandant (aşkın) bir sayıdır (katsayıları tam sayı olan cebirsel bir denklemin çözümü olamayan sayı). π 'nin geometri, olasılık, diferensiyel ve integral hesaplamalarda farklı bir biçimde kullanıldığını görmek gerçekten de ilginçtir. Niye biri bugün süper bilgisayarlarla yapıldığı gibi, π 'nin değerini milyonlarca basamağa kadar hesaplamak istesin? π 'nin ondalık basamaklarına karşı bu ilginin kaynağı nedir? Bu, süper bilgisayarların donanım ve yazılımlarının kapasitelerinin ölçülmesinde kullanılır. Hesaplama yöntemleri, yeni düşüncelerin ve kavramların ortaya çıkmasını sağlar. Gerçekten, π 'nin bir düzeni, kalıbı yok mu? Sonsuz çeşitlilikte kalıplar mı içeriyor? π 'nin içindeki bazı sayılarla daha sık mı karşılaşılıyor? Öyleyse bu sayılar tam da rasgele dağılmış değil mi acaba? Belki de matematikçilerin yüzyıllar boyunca π 'ye duydukları ilgi ve hayranlık, dağcıları hep daha yükseklere tırmanmaya yönelten güçlü istek ve duygulara benzetilebilir. Binlerce yıldır insanlar π 'nin daha çok ondalık basamağını hesaplamaya çalışmaktadır ve bu ondalık basamakların nasıl bir dağılım gösterdiği merak konusudur. π 'ye duyulan bu ilgi nereden kaynaklanmaktadır? Acaba π 'nin bugüne kadar bilinen özelliklerinden başka daha keşfedilmeye hazır hangi özellikleri vardır? Aslında tüm bu soruların yanıtı henüz açık bir şekilde verilebilmiş değildir. Hergün π ile ilgili yeni bir araştırma yazısı yayınlanmaktadır. İnsanın merak ve tutkusu sürdüğü sürece π de yeni bir estetik yön bulma arzusu sonsuza dek devam edecek gibi görünmektedir. Matematik literatüründe karşımıza çıkan ve matematikçiler tarafından estetik özelliğinden pek çok sözedilen iπ e = eşitliği, matematiğin en önemli sabit sayıları olan e, i, π,, ve sayılarını içermesi açısından da oldukça ilginçtir. Yine ilginç bir eşitlik = π n e 5 n= Jonathan Borwein ve Peter Borwein (985) tarafından verilmiştir.
Matematik bahçesinin en zarif çiçeği orada durmakta ve belki de sonsuz özelliklerini sunmaya hazır bir sevgili gibi beklemektedir. Yazının devamında sorulan soruların yanıtlarının neden zor olduğu ve insanlığın bugüne kadar bu çiçeği hangi yönlerden koklamaya çalıştıkları üzerinde durulmaya çalışılacaktır.. Kısa Tarihçe Hemen hemen tüm matematik kitaplarında, özellikle matematiğe genelde bilime ilgi duyan kişilerin okuması için yazılan kitaplarda π ve onun özelliklerinden söz edilmeden geçilmemiştir. Archimedes'ten sonra π sayısı üzerinde çok çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan ilki, π sayısının irrasyonel bir sayı olduğunun gösterilmesidir. Lindemann (85-939), 88 yılında pi sayısının transandant (aşkın) bir sayı olduğunu göstermiştir. π 'yi hesaplamak için kullanılan en ilginç yollardan birini 8.yy'da Fransız doğa bilimci Buffon, İğne Probleminde kullanmıştır. Bir düzlem, araları d birim olan paralel çizgilerle ayrılmıştır. Uzunluğu d'den kısa olan bir iğne, bu çizgili yüzeye düşürülür. Eğer iğne bir çizginin üzerine düşerse, iyi atış olarak kabul edilir. Buffon' un şaşırtıcı buluşu, iyi atışların, kötü atışlara oranının π 'yi içeren bir açıklamasının olmasıydı. Eğer iğnenin uzunluğu d birimse, iyi atış olasılığı /π dir. π 'yi hesaplamak için başka bir olasılık yöntemi 9'de R.Charles tarafından 6 bulundu. Buna göre, rasgele yazılan iki sayının göreceli asal olmalarının olasılığı dir. π nin hesabı için çok değişik yöntemler kullanılmakla birlikte günümüzde yakınsak sozsuz seriler, çarpımlar ve ardışık yineleme bağıntıları kullanılmaktadır. İnternet üzerinde π ile ilgili yapılan son hesaplama yöntemlerine ulaşmak için [] nolu adresten yararlanılabilir. Tablo- den π ile kimlerin hangi yıllarda uğraştığı ve hangi basamağa kadar hesaplama yaptıkları görülebilir.. π İçin Bazı Hesaplama Yöntemleri ve Bilgisayar Programları π sayısını hesaplamak için çok değişik yöntemler kullanılmakla birlikte küçük bilgisayar programları ile kolaylıkla hesaplanabilecek olanlardan bazıları aşağıda verilmiştir. Daha farklı yöntemler için internet adresinden bilgi edinilebilir. Archimedes (MÖ 5) a = 3 ve b = 3 başlangıç değerlerine bağlı olarak anbn an = ve b n = an bn ardışık yineleme formulüyle hesaplanır. a b n n Madhava, James Gregory, Gottfried Wilhelm Leibnitz (5-67) π
π =... 3 5 7 Leonard Euler (78) π 6 π 9 = = 3 3 5 5...... Roy North (989) 5, k ( ) = 3.59 653589793 663383 6958897 k = k burada sadece altı çizgili olan rakamlarda hata vardır. Jonathan Borwein ve Peter Borwein (99) a = / 3, s = ( 3 ) / başlangıç değerleri için r k 3 = ( s ) 3 / 3 k rk s = k k a k = rk ak 3 ( rk ) olmak üzere /, π ye yakınsar. a k 3. Model, Rasgelelik, Simülasyon ve π Sayısı π sayısının neden bu başlık altında incelendiği Model, Rasgelelik ve Simülasyon kavramları hakkında biraz sözedildikten sonra açıklık kazanacaktır. Evrende olup bitenleri anlama ve anlatma çabası içinde olan insan, ilgilendiği olay ve süreçlerle ilgili çeşitli modeller kurar ve bu modeller üzerinde çalışarak gelecekte ne gibi durumlar ortaya çıkabileceğini bilmeye çalışır. Model, gerçek dünyadaki bir sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu bilim sahasının kavram ve kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir anlatımıdır, bir temsilidir. Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir ürünüdür. Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır. Matematiksel modeller anlatım gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya bakış açısına bağlı olarak modellemede farklı durumlar sözkonusu olabilir. Newton'un Mekaniği ile doruk noktasına ulaşan belirlenimci dünya görüşü (determinizm-gerekircilik, saat gibi tıkır-tıkır işleyen evren modeli) kuantum fiziğinin gelişimi ile beraber yerini olasılıkçı dünya görüşüne bırakmak zorunda kalmıştır. Belirlenimci dünya görüşü (determinizm, belirlenmişlik) ve bununla ilişkili nedensellik ve rasgelelik kavramları bilim, felsefe, sanat gibi alanlarda çok tartışılan konular arasında yer almaktadır.
Gerçek dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içeren olguların modellenmesinde ön plana çıkmaktadır. Bu durumda rasgelelik nedir sorusu önem taşımaktadır. Teorik fizikçi Pagels "rasgelelik nedir?" sorusuna cevap vermeye çalışırken, matematiksel ve fiziksel rasgelelik problemleri arasında ayrım yapmanın önemine değinmiştir ve Matematiksel problem, sayılar veya fonksiyonların rasgele sırasının ne anlama geldiğini tanımlayan bir mantıksal problemdir. Fiziksel rasgelelik problemi gerçek fiziksel olayların rasgelelik konusundaki matematiksel kriterlere uyup uymadığını belirlemektir. Rasgeleliğin matematiksel bir tanımına sahip olana kadar, doğal olayların bir dizisinin gerçekten rasgele olup olmadığını belirleyemeyiz. Bir kere böyle bir tanımımız olunca, o zaman, gerçek olayların böyle bir tanıma karşılık gelip gelmediğini belirleme konulu ek deneysel bir problemimiz olur. Burada ilk problemle karşılaşırız: Matematikçiler, rasgeleliğin kesin bir tanımını verme ya da onunla bağlantılı bir iş olan olasılığı tanımlama işinde hiç bir zaman başarı sağlayamamıştır... demiştir. Yine Pagels π sayısının ondalık açılımındaki sayıların rasgelelik testlerinden geçebileceğini veya bu sayıların çeşitli olasılık dağılımlarına uyabileceğini belirtmiştir. Dolayısıyla π ye bir de rasgelelik açısından bakılmasında yarar vardır. Yine π 'yi tahmin etmek için, π = x dx özelliği kullanılarak Monte Carlo İntegrasyonu olarak bilinen yöntem kullanılabilir. U, U,..., U n rasgele değişkenleri (, ) aralığında düzgün dağılıma sahip olmak üzere (hesap makinalarındaki RND tuşuna basılarak ya da bilgisayarlardaki RND fonksiyonu kullanılarak üretilen sayılar) n U i n i= toplamı ; π için bir tahmin verecektir. Model, rasgelelik, nedensellik gibi pek çok kavramdan sonra bir de rasgele sayı diye bir şey çıktı karşımıza. Peki bunun π ile ne ilgisi var? Ekonometri, Sayısal Çözümleme, Şifreleme, Bilgisayar Programlama, Deneysel Fizik, İstatistik,... gibi birçok uygulamalı bilim alanında rasgele sayılar simülasyon (benzetim) aşamasında kullanılmaktadır. Artık gelelim şu π 'ye diyorsanız biraz daha sabır göstermeniz gerekecek. Kısaca simülasyon; model üzerinde deney yapmadır. Rasgelelik içeren olay ve süreçlerin bilgisayar ortamında deneyinin yapılmasıdır. Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliğin ya da davranışın model üzerinde gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. "Simulation" - taklit, benzetim anlamına gelen bir sözcüktür. Matematiksel modellerde, analitik veya sayısal bir çözüm bulunamadığında simülasyona başvurulur. Değişik koşullar altında yapılan denemelerle bir takım "gözlem" sonuçları elde edilir. Modeller kurulduktan sonra, bu modellerden sonuç çıkarma yöntemlerinden veya başka bir ifadeyle çözüm yöntemlerinden birisi olan simülasyon, analitik veya sayısal çözümler arasında en son başvurulması gereken bir çare olarak
düşünülmesine karşılık bilgisayar ve diğer teknolojik gelişmeler sonucunda çok kullanılan bir yöntem haline gelmiştir. Bununla birlikte simülasyon ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir şekilde elde edilmesi ve özellikle rasgelelik içeren modellerde çok değişik koşullar altında gözlem yapma olanağı vermesi bazı durumlarda simülasyonu birinci sırada tercih edilen bir yöntem haline getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili "model üzerinde yapılan deneyler" ile bazı gözlem değerlerinin elde edildiği unutulmamalıdır. Özellikle rasgele değişken içeren modellerdeki simülasyonda rasgeleliğin sağlanması (olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen "gözlem" değerlerine bağlı sonuçların "iyiliği" gibi sorunlar kendi başına bir araştırma konusudur. Olasılık dağılımlarından rasgele sayı üretmenin ilk aşaması düzgün dağılımdan sayı üretilmesine bağlıdır. Düzgün dağılıma sahip sayıların üretimi de kendi başına bir araştırma konusudur. Kısaca simülasyon işleminin temelinde rasgele sayılar yatmaktadır. Yapılan simülasyon işleminin gerçek dünyadaki olayı iyi bir şekilde taklit edebilmesi istenir, eğer taklit iyi yapılamıyorsa deney gerçek dünyadaki olayı iyi temsil edemeyecektir. Bu nedenlerle rasgelelik özelliğine sahip sayı dizisi üretmenin uygulama açısından önemi büyüktür. Olasılık dağılımlardan örnek almak (model üzerinde deney yapma, bilgisayarda deney yapma, gözlem alma) için ( ), aralığında düzgün dağılıma sahip rasgele değişkenlerin çeşitli fonksiyonları kullanılır. Eğer ( ), aralığındaki düzgün dağılımdan rasgele sayı üretilemiyorsa doğaldır ki diğer dağılımlardan da sayı üretmek mümkün olmayacaktır. Bunun için çeşitli üreteçler (ardışık yineleme bağıntıları) kullanılmakta ve çeşitli istatistiksel özellikleri sağlayan üreteçler rasgele sayı üreteçleri olarak kullanılmaktadır. Bu sayılar belirli kurallara göre üretildiklerinden "sözde rasgele sayı" olarak bilinmektedir. Hepimizin yakından bildiği bilgisayar oyunlarının da temeli bu rasgele sayılara bağlıdır. Bilgisayarla oynanan tavla oyununda zar atışının yapılabilmesi için yine rasgele sayı üreteçlerinden yararlanır. Bilgisayarda oynanan talih oyunlarında da rasgele sayı üreteçleri kullanılır. Bazı kişiler bu rasgele sayı üreteçlerinin formulünü keşfederek bu oyunlarda hile yapmaktadır. Kısaca bilgisayarda oyun oynayan ya da oyun programları yazanların rasgele sayıları kullanmadan herhangi bir şey yapmaları olanaklı değildir. Eğitimde de simülasyon hem masrafsız hem de kolay olduğundan bilgisayar destekli eğitim yazılımları son yıllarda kullanılan programların başında gelmektedir. Bu programlar öğrenenin konuya ilgisini çekmek için hareketli görüntüler, grafikler kullanarak öğrenenin aktif bir şekilde öğrenme sürecine girmesini sağlar. Bilindiği gibi kişinin konuya ilgi duyması eğitim açısından çok önemlidir. Biraz programlama bilgisi olan kendi simülasyonlarını kendisi de kolaylıkla yapabilir. Özellikle çeşitli araçların kullanımı ile ilgili eğitiminde (Uçak, Gemi, Uzay araçları gibi) bu araçların hangi ortamda nasıl kullanılacağını, kontrol edileceğini öğretmek amacıyla kullanıcının gerçek durumda karşılaşabileceği farklı ortamlar hazırlanır ve kullanıcı bu durumlara göre davranış biçimleri ortaya koyar. Eğer kullanıcıya belirli, sabit değişmeyen ortamlar oluşturulursa belli bir süre sonra kullanıcı bunlara alışacağından gerçeğin kendisinden uzaklaşılmış olur. Bu nedenle kullanıcıya hep farklı durumlarla karşılaşabileceği ortamların yani gerçek dünyada rasgele olarak karşısına çıkabilecek ortamların oluşturulması gerekir ki bu da ancak rasgele sayıların kullanılmasıyla olur.
π sayısının ondalık basamakları üzerinde yapılan bugüne kadar ki çalışmalarda bu sayıların istatistiksel (rasgelelik) testlerin hepsinden geçtiği görülmüştür. Şunu da belirtmek gerekir ki yeni bir istatistiksel test geliştirilebilir ve bu sayılar bu testden kalabilir. Bu ondalık basamaklarda herhengi bir düzen olmadığı bugüne kadar bulunamamış olmasına rağmen bir düzen olabileceği varsayımı altında araştırmacılar çalışmalarını sürdürmektedir. π nin ilk 3. basamağında yeralan,,,...,9 rakamlarının kaç tane olduğu Şekil- de gösterilmiştir. Bu tablodan görülebileceği gibi bunlar birbirine yakındır. Eğer bir yerlerde birikme olsaydı, biryerlerde yığılma olduğunu yani bazı rakamların daha sık tekrarlandığını düşünmeye başlayacak acaba daha fazla basamak için bu hesaplamaları yapsak yine böyle bir durum karşımıza çıkar mı diye düşünmeye başlayacaktık. Aslında 3. basamak değil de milyarlarca basamağı gözönüne alsaydık bu sayıların hemen hemen eşit olacağını görecektik. Merak eden okuyucularımız bunu deneyebilir. Yine bu 3. basamaktaki rakamlar ikililer şeklinde (,,...,98,99) ele alındığında bunların sayıları Şekil- de gösterilmiştir. Buradaki sayılar da birbirine yakın görünmektedir. Bu çalışma sürdürülerek üçlüler, dörtlüler, beşliler, altılılar, yedililer gibi genelleştirmelere gidilebilir. Tabi bu araştırmayı yapmak için 3. rakam yetmemeye başlayacak ve belli bir süre sonra milyarlara, trilyonlara, katrilyonlara vs. geçmemiz gerekecektir. Yani trilyonlarca basamağı hesaplamamız gerekecektir. Giriş kısmında neden insanların bukadar basamağı hesaplamaya çalıştıklarını sormuştuk. Bu son kısımda elealdığımız konular umarız ki neden insanların daha çok ondalık basamakları hesaplamak istediklerini ve bu hesapları yapmak için de daha hızlı hesap yöntemleri arayışı içinde oldukları sorusuna bir yanıt getirmiştir. Günümüzde bilgisayar teknolojilerinin gelişmesi ile beraber π 'nin milyarlarca ondalık basamağı CD-ROM'lara kaydedilerek simülasyon çalışması yapanların kullanımına sunulmuştur ve π sayısı doğal rasgele sayı üreteci olarak adlandırılmıştır. Şekil- Birliler 3 adet 3 5 6 7 8 9,,,... rakamları Şekil-
İkililer 8 6 8 6 8 6 8 3 36 8 5 56 6 6 68 7 76 8 8 88 9 96 adet,,,...,99 rakamları Tablo- : Tarihi gelişim. yy dan önce Kişi Basamak sayısı Babilliler MÖ 3.5 = 3 /8 Mısırlılar MÖ 3.65 Çinliler MÖ 3 Bible (kutsal Kitap) 55 MÖ 3 Archimedes 5 MÖ 3 3.8 Hon Han Shu 3 3.6 Ptolemy 5 3 3.66 Chung Hing 5? 3.67 Wang Fau 5? 3.5555 Liu Hui 63 5 3.59 Siddhanta 38 3 3.6 Tsu Ch'ung Chi 8? 7 3.596 Aryabhata 99 3.56 Brahmagupta 6? 3.677 Al-Khowarizmi 8 3.6 Fibonacci 3 3.88 Al-Kashi 9 Otho 573 6 3.599 Viete 593 9 3.596536 Romanus 593 5 Van Ceulen 596 Van Ceulen 65 35 Newton 665 6 Sharp 699 7 Seki 7? Kamata 73? 5 Machin 76 De Lagny 79 7 Takebe 73 Tarih
Matsunaga 739 5 Vega 79 Rutherford 8 8 Strassnitzky and Dase 8 Clausen 87 8 Lehmann 853 6 Rutherford 853 Shanks 87 77 Tarihi gelişim.yy Ferguson 96 6 Ferguson 97 7 Ferguson and Wrench 97 88 Smith and Wrench 99, Reitwiesner et al. (ENIAC) 99,37 Nicholson and Jeenel 95 3,9 Felton 957 7,8 Genuys 958, Felton 958, Guilloud 959 6,67 Shanks and Wrench 96,65 Guilloud and Filliatre 966 5, Guilloud and Dichampt 967 5, Guilloud and Bouyer 973,,5 Miyoshi and Kanada 98,,36 Guilloud 98,,5 Tamura 98,97, Tamura and Kanada 98,9,88 Tamura and Kanada 98 8,388,576 Kanada, Yoshino and Tamura 98 6,777,6 Ushiro and Kanada 983,3,395 Gosper 985 7,56, Bailey 986 9,36, Kanada and Tamura 986 33,55, Kanada and Tamura 986 67,8,839 Kanada, Tamura, Kubo et al 987 3,7,7 Kanada and Tamura 988,36,55 Chudnovskys 989 8,, Chudnovskys 989 55,9,7 Kanada and Tamura 989 536,87,898 Kanada and Tamura 989,73,7,799 Chudnovskys 989,,96,69 Chudnovskys 99,6,, Chudnovskys 99,,, Takahashi and Kanada 995 3,,5,66 Takahashi and Kanada 995,9,967,86 Takahashi and Kanada 995 6,,5,938 Kanada 997 5,539,6,
Kanada 999 6,58,3, Kaynak : http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein
Ek Basic programlama dilinde yapılmış bazı programlar '*********************************************************** * 'pi nin değişik yöntemler kullanılarak hesaplanması 'Levent Özbek 9.3. '*********************************************************** CLS RANDOMIZE TIMER DEFDBL A-Z s3 = INPUT "n=", n '****************************** 'Euler Yöntemi s = FOR i = TO n s = s / i ^ NEXT i s = s * 6 PRINT "Euler =", SQR(s) '********************************* 'Monte Carlo İntegrasyon Yöntemi '********************************* s = FOR i = TO n s = s SQR( - RND ^ ) NEXT i PRINT "Monte Carlo hesabı=", (s / n) * '********************************* 'Roy Nort Yöntemi '********************************* s = FOR i = TO n s = s (-) ^ (i - ) / ( * i - ) NEXT i PRINT "Roy Nort Hesabı=", s * '********************************** 'Madhava, Gregory, Leibnitz Yöntemi '********************************** ss = s3 = FOR i = TO n ss = ss * - s3 = s3 ss * / ( * i ) NEXT i PRINT "Madhava, Gregory, Leibnitz =", s3 * '*********************************** 'Archimedes Yöntemi '*********************************** a = * SQR(3) b = 3 FOR i = TO n an = * a * b / (a b) bn = SQR(an * b) a = an b = bn NEXT i PRINT "Archimedes =", bn Kaynakça []- S. Sertöz, Matematiğin Aydınlık Dünyası, Tübitak Yay.,996. []- M. Boll, Matematik Tarihi, İletişim Yay., 99. [3]- G. Gamov, --3 Sonsuz, Evrim Yay., 995. []- T. Pappas, Yaşayan Matematik, Sarmal Yay., 993. [5]- G. H. Hardy, Bir matematikçinin Savunması, Tübitak Yay., 99. [6]- J. P. King, Matematik Sanatı, Tübitak Yay., 997. [7]- A. Dönmez, Matematik Tarihi, V Yay., 986. [8]- H. R. Pagels, Kozmik Kod, Doğanın Dili/Kuantum Fiziği, Sarmal Yay., 99. [9]- A. Erdil, Aşkın Sayılar Üzerine, Matematik Dünyası Sayı, 998. []- B.J.T. Morgan, Elements of Simulation, Chapman and Hall, 99
[]- H.C. Tuckwell, Elementary Applications of Probability Theory, Chapman and Hall, 998 []- F.Öztürk, Matematiksel İstatistik, A.Ü.F.F. Yay. No:, 993. [3]- P. Bremaud, An Introduction to Probabilistic Modeling, Springer-Verlag, 988 []- I. Deak, Random Number Generators and Simulation, Akademiai Kiado, Budapest 99. [5]- Y. Dodge, A Natural Random Number Generator, International Statistical Review, 996, 39-3. [6]- T. Jaditz, Are the Digits of π an Independent and Identically Distributed Sequence?, The American Statistician, Vol.5, No., -6, February. [7]- L. Özbek, Rasgele dizi ve π, Matematik Dünyası,, Cilt9., Sayı, 6-8. [8]- D.H. Bailey, J.M.Borwein and S.Ploufle, The Quest for pi, The Mathematical Intelligencer, June 996. [9]- L.J.Lange, An elegant Continued Fraction for π, The American Mathematical Mountly, May 999, Vol.6, N.5, 56-58. []- T.J. Osler, The Union of Vieta s and Wallis s Product for Pi, The American Mathematical Mountly, October 999, Vol.6, N.8, 77-776. []- P. Borwein, The amazing number π, September, NAW 5/, nr.3, -6. []- P.Borwein, Ocak, http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein.