KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN NAİLE ÇOLAK
PROJENİN ADI:ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR: YUSUFHAN BAŞER-BERKE SERTEL PROJE DALI: MATEMATİK PROJE ÖĞRETMENİ:NAİLE ÇOLAK PROJE AMACI:Üçgenin elemanları arasındaki çeşitli simetrik fonksiyonlar ve bağıntılar elde etmeyi amaçladık. GİRİŞ: Üçgen elemanları, geometrinin, üzerinde en çok çalışılmış konularından biridir. Geometrik olarak verilen özellikleri cebirsel bağıntılar yardımıyla ifade etmek, geoteorideki standart yöntemlerdendir. Cebirde önemli bir yeri olan simetrik fonksiyonların üçgen geometrisindeki yerlerini tespit etmeye çalışmak, hazırladığımız projenin esas gayesidir. Bunun için, aşağıdaki hazırlıklarla işe başlayacağız. YÖNTEM: Bir dik üçgenin iç teğet çevrel çemberlerini çizelim.içteğet çemberinin üçgenin hipotenüsü böldüğü parçaların uzunlukları ile gösterelim.üçgenin içteğet ve çevrel çemberin yarıçap uzunlukları r ve R olsun. çap olduğundan dolayı ABC dik üçgeninde Pisagor Teoreminden:. olduğundan + elde edilir. ve 'de görüldüğü gibi, ifadelerini cinsinden yazdık. aşağıdaki ikinci dereceden denklemi sağlamaktadır.
yerine koyduğumuzda denklemi yazılır. Yukaridaki şekilde dik üçgenin dik kenarları ve olduğunu görebiliyoruz.bu kenarlar arasındaki bağıntılara bakalım. 2r+ 2r+2R + Sonuç olarak üçgenin kenarları aşağıdaki denklemin kökleri olduğunu gösterdik. 0 Şimdi yukarıda bir dik üçgen göz önüne alındığında elde edilen (4)ve(5) tipinde denklemlerin herhangi bir üçgen söz konusu olduğunda nasıl belirlenebileceği problemi üzerinde durmak istiyoruz. Kenarları a,b ve c olan bir üçgenin yarıçevresi yani olur.ilk olarak, a,b ve c 'nin simetrik fonksiyonları olan ifadelerini üçgenin elemanları cinsinden elde edelim. A ve olduğunu biliyoruz.buradan yani Öte yandan, olur. alan formülleride geçerleri olduğundan her iki alan formüllerinden
(8) eşitliğine ulaşılır. Üçüncü dereceden yani olan bir denklemi için yazılabilceğinden,denklem kökleri olmak üzere 0 gerçekleşir.dolasıyla: 1.Köklerin toplamı ; 2.Köklerin ikişerli çarpanlarının toplamı; 3.Köklerin çarpımı ; olur. Bu bilgiler kenarları a,b,c olan üçgen göz önüne alınarak kullanıldığında ise,üçünce dereceden denklemi yazılabilir. Böylece (6),(7),(8) den (9) denklemini elde edebiliriz. Bizim projemizde üçgenin diğer elemanları arasında benzer simetrik bağıntılar ve denklemler araştırdık.(9) dakine benzer bir üçgenin alan hesaplamalarında önemli olan yükseklikleri kullanarak elde etmek amacıyla,bc,ac ve AB kenarları ait yüksekliklerini ele alalım.bu bize;. Benzer şekilde, olduğunu görebiliriz. Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda
, yani (10) elde edilmiş olur. Aynı zamanda, yüksekliklerinin ikişerli çarpımlarına bakarsak, (11) olduğunu da görüyoruz.diğer taraftan olarak, (12) çarpımda böylece elde edilmiş olur.sonuç (13) üçüncü dereceden bir denkleme ulaşılır. Üçgenin dış teğet çemberlerin yarıçarpları olsun. olur.benzer şekilde ve bulabiliriz. Bu üç eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda.(*)
ediyoruz..bu ifadeyi (*) da yerine koyduğumuzda aşağıdaki ifadeyi elde Sonuç: (14) ikişerli çarpımlarına bakalım. Yani (15) olur. Şimdi yarıçapların çarpımlarının çarpımlarına bakalım. (16) olduğunu bulduk. Böylece (14),(15) ve (16) dan SONUÇ TARTIŞMA 0 denkelemini elde ettik. Bir üçgenin temel elemanlarının cebirsel olarak hangi denklemlerin kökleri yardımıyla ifade edilebileceği belirlenmiştir. Karşılık gelen denklemler, ikinci ve üçüncü dereceden olup, kökleri bilinen simetrik fonksiyonlar yardımıyla elde edilmektedir. Projenin geliştirilmeye açık kısmı, daha geniş kapsamlı olan şu soruyu ele almaktır: Verilen n yinci dereceden keyfi bir polinomun kökleri, hangi koşullar altında karşılık gelen bir n-genin temel elemanlarına tekabül eder? Bu türden bir çalışmanın zor olan kısmı, 5 ve daha büyük dereceli denklemlerin köklerinin katsayıları yardımıyla elde edilemediğinin bilinmesidir. Dolayısıyla bu durumlar için, köklerin kendileriyle değil, sadece bunların sağladığı bağıntılarla hareket etmek gerekecektir. Bu bağıntılar Viete formülleriyle elde edilen simetrik fonksiyonlar olacaklarından, böyle bir çalışma, yüksek dereceli polinimların köklerinin sağladığı simetrik fonksiyon bağıntılarının daha detaylı olarak analizini gerektirmektedir.
KAYNAKLAR (1) Cafer Veliev,"Vieya teoreminin problem çözümlerine uygulaması"matematik Dünyası, 1993-1,20-25 (2)Mustafa Yağcı,MY Geometri-1.Konu anlatımlı-örnek çözümlü,altın Nokta Yayınevi,Adana 2011