FRAKTALLAR 1
2
* 3
Boyut: Belirli bir doğrultuda ölçülmüş bir büyüklüğü ifade etmek için kullanılan geometrik bir terim.
Bir nokta «sıfır boyutlu» ludur. Doğrusal nokta toplulukları «bir boyutlu» bir doğru oluştur. Bir araya getirilen doğrular «iki boyutlu» bir düzlemi, bir araya getirilen düzlemler ise «üç boyutlu» bir uzam (bir nesnenin uzayda kapladığı yer) oluşturur.
6
* Kar tanesi eğrisinin boyutu nedir? Kar tanesinin boyutunu nasıl ölçebiliriz; bir çok boyut tanımından hangisini kullanmamız gerekir? 7
Alman matematikçi Felix Hausdorff un fikirleri işte bu noktada yararlı olmuştur. «Hausdorff boyutu» normal şekillerin olağan nomenklaturasıyla (adlar dizgesi, bir bilim dalına ait terimler, terminoloji) örtüşür; böylece doğrunun boyutu 1, karenin boyutu 2, küpün boyutu 3 tür. Böyledir, çünkü Hausdorff boyutu (d) uzunluk ve alanın ölçülmesine dayanır. 8
* Fraktal boyut
Bir karenin her kenarı 3 kat büyütülecek olursa ortaya çıkan yeni alan önceki değerin 9 katı büyüklüğünde olacaktır. 9=3^2 olduğundan, iki boyutlu bir karenin Hausdorff boyutu kuvvettir, yani d=2 dir. Bu tabii ki kareden beklediğimiz değerdir. Kuvvet, Hausdorff boyutunun anahtarıdır. 10
Kar tanesi eğrisini üreten unsur bir doğru parçasıdır; bu doğruyu üç kat büyütüp değişiklik olarak ekleyecek olursak baştakinden dört kat büyük bir doğrumuz olur. 4=3^d olduğunda d nin değerinin ne olduğunu bulmamız gerekir. d nin değerinin 1 ile 2 arasında olması gerekir; çünkü 4, 3^1 ile 3^2 arasında yer alır ve aslında d=1,29224 Bu yeni bir şeydir. Boyutu tam sayı olmayan, kesirli bir boyutu olan bir eğrimiz var. 11
12 Koch Eğrisi
13
Fraktal, Fraktal; 14
*..."öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek edelim aynı olay tekrarlansın. İşte fraktal, yani kendine benzerlik kavramının tanımı "...
*
*
*
*
*
*
23
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
* kendine benzeme (self similarity) iterasyon
*
*
*
*
FRAKTAL = ÖRÜNTÜ? 1) Bir şeklin belli bir oranda küçültülmüş veya belli bir oranda büyütülmüş modelleri ile inşa edilen örüntülere FRAKTAL denir. Her örüntü bir fraktal belirtmez. Her fraktal bir örüntüdür. 2) Bir cismin hangi noktasına bakarsak bakalım aynı şekil büyüyerek veya küçülerek tekrarlanıyorsa bu şekillere FRAKTAL denir. Bir örüntünün FRAKTAL belirtmesi için, örüntünün herhangi bir parçasını küçülttüğümüzde veya büyüttüğümüzde bir önceki veya bir sonraki örüntüyü elde etmemiz gerekir. 3) FRAKTALIN kuralı ikinci adıma bakılarak bulunur. Bir örüntünün FRAKTAL olup olmadığını anlamak için 3.adımının da verilmesi gerekir. 41
*ÇOKGENLERDE EŞLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ise bu iki çokgen eştir. 42
ÇOKGENLERDE BENZERLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise bu iki çokgen benzerdir. Benzer iki çokgende karşılıklı kenarların uzunlukları oranına benzerlik oranı denir. k sembolü ile gösterilir. 43
ÖRÜNTÜLER (DİZİLER): Uygun geometrik şekillerin aralarında boşluk oluşturmadan bir araya getirilmesi işlemine örüntü, oluşan şekle süsleme denir. Örüntü belirli bir kurala göre diziliştir. Bu diziliş (örüntü), sayı örüntüsü (dizisi) veya şekil örüntüsü (dizisi) şeklinde olabilir. Bir örüntünün oluşması için bir araya getirilecek uygun geometrik şekillerin merkez noktası çevresindeki iç açıların toplamı 360 derece olmalıdır. 44
ARİTMETİK DİZİLER: Bir dizideki ardışık terimler arasındaki fark sabit ise bu diziye aritmetik dizi denir. Aritmetik diziler artarak veya azalarak devam eder. Bir dizideki ardışık iki terim arasındaki farka ortak fark denir. Ortak fark r ile gösterilir. 1)Aritmetik dizi artarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki formül kullanılır. 45
ÖRNEK-1: İlk terimi 18,ortak farkı 3 olan ve artarak devam eden bir aritmetik dizinin 10.terimi kaçtır? a)76 b)62 c)54 d)45 ÖRNEK-2: İlk terimi 5,ortak farkı 6 olan ve artarak devam eden bir aritmetik dizinin 51.terimi kaçtır? a)305 b)405 c)205 d)505 46
ÖRNEK-3: 1,4,7,10,.. sayı örüntüsünün genel terimi kaçtır? a)3.n+1 b)3.n-1 c)3.n+2 d)3.n-2 47
ÖRNEK-4: Yandaki örüntü karelerden oluşmuştur.şekil örüntüsünü sayı örüntüsü ne çevirdiğimizde aşağıdaki hangi seçenek olur? a)1,3,7, b)1,4,8, c)1,2,3, d)1,3,5,
2)Aritmetik dizi azalarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki formül kullanılır. AÇIKLAMA: Bir sayı örüntüsünde ardışık 2 terim arasındaki ortak fark sabit (aynı) ise bu sayı örüntüsü aritmetik dizidir. ÖRNEK-1: İlk terimi 48,ortak farkı 3 olan ve azalarak devam eden bir aritmetik dizinin 11.terimi kaçtır? a)-16 b)-12 c)-14 d)-15 49
ÖRNEK-2:100 sayısından başlayarak geriye doğru 3 er 3 er saydığımızda 21.olarak hangi sayıyı söyleriz? a)30 b)60 c)40 d)50 ÖRNEK-3:200 sayısından başlayarak geriye doğru 4 er 4 er saydığımızda 10.olarak hangi sayıyı söyleriz? a)122 b)136 c)148 d)164 50
3) GEOMETRİK DİZİ: Belirli bir sayı seçilir. Bu sayı ile başka bir sayı sürekli çarpılarak veya bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulursa böyle örüntülere geometrik dizi denir. Geometrik dizide ardışık 2 terimin oranına çarpan sayıya eşittir. Bu sayıya ortak çarpan denir. Ortak çarpan r ile gösterilir. AÇIKLAMA: Bir dizide ardışık 2 terim arasındaki ortak çarpan sabit (aynı) ise bu örüntü geometrik dizidir. 51
ÖRNEK-1) 4,12,36,108, sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 7.terimi kaçtır? a)1256 b)4328 c)2916 d)729 ÖRNEK-2) 2,8,32,128, sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 6.terimi kaçtır? a)4096 b)2048 c)1024 d)512 52
53
54
*
*
*
*
*