YÜKSEKLİK PKOBLEMÎ Doç. Dr, Hüseyin DEMÎREL İDMMA İstanbul 1. G İ R İ Ş Bir nivo yüzeyi olan geoid başlangıç olmak üzere değişik yollardan gidilerek bir noktanın nivelman yükseklikleri belirlense, sonuçların eşit olmadığı görülür. Başka bir deyişle, nivelman sonuçları yola bağlıdır. Bu bağlılık, nivo yüzeylerinin paralel olmamasından kaynaklanmaktadır. Yükseklikleri açık ve kesin anlamda tanımlamak için, yalnız yükseklik farklarını ölçmek yeterli değildir, nivelman yolları boyunca ağırlık değerleri de ölçülmelidir. Problemin çözümü, yükseklikleri potansiyel değerlerden dönüştürmekle ya da ölçülen yükseklik farklarına bir düzeltme getirmekle gerçekleşir. Böylece nivelman sonuçları, nivo yüzeylerinin paralel olmamasından ileri gelen yola bağlılık etkisinden arınmış olur. Kuramsal yüksekliklerden geopotansiyel kotlar ya da onlardan belli bir oranda sapan dinamik yükseklikler, düzeltmelerinin büyüklüğü bir yana, gerçek anlamda yükseklik ifade etmediklerinden teknik yükseklikler olarak kullanılmaya elverişli değildirler. Ortometrik yüksekliklere getirilecek düzetlmeler de teknik nivelman sonuçları, nın düzeltilmesini zorunlu kılacak denli büyüktür. (K. Ramsayer, 1954). Uygulamada ağırlık değerlerini de ölçmek gerekirse, çalışma, lar güçlenir ve ekonomik olmaz. Teknik nivelman sonuçlarına düzeltme getirmek zorunluluğunu ortadan kaldırmak amacıyla küçük düzeltmeli yükseklik sistemleri aranmış ve sonuçta pratik yüksekliklerin bir dizisi geliştirilmiştir. (Baranov, Bodemüller, Ledersteger, Ramsayer yükseklikleri, v.b.) (K. Ramsayer, 1954, H. Bodemüller, 1963). Araştırmalar, bu sistemlerin küçük ya da belli bir topografik yapıya uyan bölgelerde iyi sonuçlar verdiklerini, ama büyük ve dağlık ülkeler için uygun düşme- 61
diklerini göstermektedir. Bu yüksekliklerden herhangi biri, bugüne değin bir ülkede pratik amaçlarla kullanılmış değildir. Bir ülke için en küçük düzeltmeli bir yükseklik sistemi, genel olarak verilememektedir (K. Ledersteger, 1952). Bu yüzden her ülke, kendine ve topoğrafik yapısına uyan bir sistemi, kuramsal yükseklikler yanında pratik yükseklikler olarak seçmelidir. (M. Kneissl, 1955). M.S. Molodenski tarafmdan 1945 de tanımlanan normal yükseklikler, teori ve uygulamanın tüm geerksinimlerini karşılayacak niteliktedir (E. Schneider, 1960). Değişik yükseklik sistemlerini karşılaştırmak amacıyla bazı nivelman poligonlarında yapılan incelemelerde, normal yüksekliklere ilişkin düzeltmeler, diğerlerine oranla genellikle küçük çıkmaktadır. (K. Ledersteger, 1953, H. Bodemüller, 1963). Bu yükseklikler doğu bloku ülkelerinde, batıda Fransa'da kullanılmaktadır. H. Wolf (1974), normal yüksekliklerin önemine değinmekte ve onları Batı Almanya için önermektedir. Başka çalışmalarda da bu yüksekliklerin kuramsal ve pratik önemi vurgulanmaktadır (J. Vykutil, 1964; H. Moritz, 1967; E. Groten, 1974). Bu çalışmada, yükseklik sistemleri tanıtılmakta ve nivelman sonuçlarından en az sapan ya da uygulama için en elverişli olan sistemin belirlenmesine katkıda bulunmak amacıyla, sayısal karşılaştırma sonuçlan verilmektedir. 2. YÜKSEKLİK SİSTEMLERİ Yeryüzündeki bir noktanın yüksekliğinden, o nokta ile bir başiangıç yüzeyi (genellikle geoid) arasındaki ilişki (düşey uzaklık) anlaşılır. Bu ilişki fiziksel, geometrik anlamda ya da başka görüşlere uygun biçimde tanımlanabilir. Geopotansîye! kotlar Noktaların ya da noktalardan geçen nivo yüzeylerinin geoide göre durumlarını gösteren, geoid ile bu yüzeyler arasında kgalxmetre biriminde ifade edilen potansiyel farklar = geopotansiyel kotlar ya da bunlardan belli bir oranda sapan dinamik yükseklikler 62
fiziksel anlamda büyüklüklerdi.r Bir i noktasının geopotansiyel kotu c, için eşitliği geçerlidir (şekil 1). Burada W o ' geoidin potansiyeli, Wİ' İ noktasından geçen nivo yüzeyinin potansiyeli, dw, birbirine çok yakın iki nivo yüzeyi arasındaki potansiyel fark, dh, diferansiyel anlamda yükseklik farkı ve g de bu yükseklik farkına karşılık yeryüzünde ölçülebilen ağırlık değeridir. Geopotansiyel kot, ölçülen yükseklik farkları ve ağırlık değerleri yardımıyla bir varsayıma gerek olmadan doğruya yakın bir incelikle elde edilebilmektedir. (m km ~ 0.0001 kgal x metre ya da 0.1 mm). Deneylerle saptanan uzaklık sınırlarına uymak koşuluyla yüksekliği istenen noktalarda, yükseklik profilinin önemli kırılma noktalarında ve nivelman geçkisinin yön değiştirdiği yerlerde ağırlıkları ölçmek yeterli olmaktadır (K. Ramsayer, 1963; J. J. Levallois, 1964; C. Bernatzky, 1963). Nivelmanla bulunan Ah yükseklik farkını sınırlayan noktalarda ölçülen ağırlık değerlerinin ortalaması ğ ile göste. rilirse, geopotansiyel kotların hesabı için (1) den çıkar, ğ kgai, A h metre biriminde alınır. c> nin hesabı için ölçüme ortalama deniz yüzeyinden (mareograf istasyonundan) başlamalıdır. 63
Nivo yüzeylerinden her biri geopotansiyel kotların bir tek sayısal değeriyle bellidir. Geoidin geopotansiyel kotu sıfıra eşittir. Geopotansiyel kotların 1 kgal (= 1000 Gal) e bölündüğü düşünülürse metre biriminde sayısal değeri değişmeyen bir büyüklük elde edilir. Geopotansiyel kotları metre biriminde düşünmek onların fiziksel niteliğini değiştirmez. Dinamik yükseklikler ve dinamik düzeltme Geopotansiyel kotlar, istenildiği gibi seçilebilen sabit bir g o ağırlık değerine, Helmert'in önerisine uygun olarak 50g enlemindeki normal ağırlık değerine (g o = &. 50 = 0.9806294 kgal) bölünürse, başka yükseklik sistemleriyle de karşılaştırılabilen büyüklükte ve metre biriminde dinamik yükseklikler (H d,i) çıkar : g o «0.98 kgal olduğundan geopotansiyel kotlar, dinamik yüksekliklerden «% 2 oranında daha küçüktür. Geopotansiyel kotlar ve dinamik yükseklikler bilimsel araştırmalar ve büyük ağ dengelemeleri için uygun sistemlerdir. (3) ^itliğinde o> yerine (1) deki eşiti yazılır ve integral ifadesinde g = g d + g g o özdeşliği dikkate alınırsa, nivelman sonuçlarını bir düzeltme terimiyle dinamik yüksekliklere dönüştürmeye
çıkar. (4) bağıntısı, (5) de i noktasının geoidle çakışması durumiina karşılıktır. (4) ya da (5) deki ikinci terime dinamik yol düzeltmesi = DK (ü) denir : (4) de eşitliğin sağındaki ilk terim, i noktasının nivelman yüksekliğine (hi), (5) deki i ve î noktaları arasındaki nivelman yükseklikleri farkına (hj. h>) eşittir. Ortometrik yükseklikler ve ortometrik düzeltme i noktasından geçen çekül eğrisinin geoidi, deldiği i' noktası ile i arasında kalan boyuna ortometrik yükseklik (H o,ı) denir. Bu, yükseklik kavramının geometrik anlamda bir tanımıdır. Çekül eğrisinin i i' parçası boyunca nivelman yapıldığı düşünülür ve bu yolun tüm noktalarındaki g' ağırlık değerlerinin ortalaması g m, > ile gösterilirse, i noktasının geopotansiyel d için (1) eşitliği biçiminde genişletilebilir. Buradan i noktasının çıkar. ortometrik yüksekliği Nivelman sonuçlarına getirilecek düzeltmeler ile ortometrik yükseklikleri elde etmek için (7) deki ilk integralde g = g o + (g-g o ) ve sonucunda g m, = g o + (g mı İ g o) özdeşlikleri yazılmalı, sonra terimlerden her biri g o ile bölünmelidir. Buna göre, (7) den
çıkar. (9) eşitliği ikinci bir j noktası için de yazılır. H o, j H o, farkı oluşturulursa. çıkar. (9) eşitliği, 3 noktasının geoidle çakıştığı duruma karşılıktır. Başka bir deyişle, (9), (10) eşitliğinin özel halidir. (10) un sağındaki ikinci terim dinamik yol düzeltmesidir (6). Son iki terime, i ve j noktalarındaki düşey dinamik düzeltmeler = VDK (i), VDK (j) adı verilir. Buna göre, dîr. i ve j noktalan arasındaki nivelman sonucunu ortometrik yükseklikler farkına dönüştüren toplam düzeltmeye ortometrik düzeltme OK (ij) denir : _OK (ij) = DK (ij) + VDK (j) VDK (j). (12) ( } ve (10) da eşitliğin sağında bulunan ilk terimler yerine i noktasının nivelman yüksekliği ya da i ve j noktalarının nivelman yükseklikleri farkı yazılabilir. Ortometrik düzeltmenin seçilen g o ağırlık değerine bağlı olmadığı gösterilebilir. (4) ile (9) un karşılaştırılmasından ortometrik yüksekliklerle dinamik yükseklikler arasında bir bağıntı, Çekül eğrilerinin yeryüzü ile geoid arasında kalan noktalarında ağırlıkları ölçmek ya da g m ortalama değerlerini ölçümle belirlemek olanaksız olduğundan gerçek ortometrik (geoide göre) yükseklikler hesaplanamamakta, ancak yeryüzü ile geoid arasında, çekül eğrileri boyunca ağırlık değerlerinin dağılımına (ya da kütle yoğunluğuna) ilişkin bir varsayımla ytfklaşık ortometrik (kuasi geoide göre) yük. seklikler elde edilebilmektedir. 66
67
m
dir (W.A. Heiskanen ve H. Moritz, 1867, s. 169). Max yoğunluk hatası 5 = 0.6 g / cm 3 ve yükseklik H = 2500 m için (19) dan G = 63 mgal ve bunun da yüksekliğe etkisi (18) den 5H = 16 cm çıkar. Bu sayısal sonuçlar, hem Helmert yüksekliklerinin hem de ortometrik yüksekliklere" onlardan daha iyi yaklaşan Niethammer yüksekliklerinin, ortalama G değerlerinin hesabında yapılan varsayım hatalarından (özellikle yüksek dağlık bölgelerde) önemli ölçüde etkilendiğini göstermektedir. Çekül eğrilerinin geoidle yeryüzü arasında kalan parçaları, için seçilen ortalama ağırlık değerlerine bağlı olarak, yüksekliklerin değişik sistemleri geliştirilmiştir. Bu sistemlerin başlıcaları ve ortalama Gy değerleri :
70
Normcsi Yükseklikler (H n, r = n) (J. VykutH, 1964) : Bu yükseklikler, M.S. Molodenski tarafından 1945 senesinde tanımlanmıştır. Sonradan bu yüksekliklere, Rusya'da normal yükseklikler adı verilmiştir. Benzer biçimde tanımlanan Q to=dinamik yükseklikleri, J. Vignal, 1952 de Fransa için önermiştir, i noktasından geçen çekül eğrisine ilişkin G n,i' elipsoid yüzeyindeki normal ağırlık değeri uygulamada i nin yarı yükseklik noktasına boşlukta indirgenerek bulunur : W.A. Heiskanen ve H. Moritz (1967) de G n için kesin eşitlik verilmektedir. Nivelman yükseklikleri farkını normal yükseklikler farkına dönüştüren düzeltmeye, OK (ii) n yerine normal düzeltme = NKT(iJ) adı verilmektedir. Teorik ve pratik önemi nedeniyle bu yükseklik sistemine ileride yine dönülecektir. 1935 yıllarına dek yeryüzünde ağırlık değerlerinin ölçülmesine olanak sağlıyan kullanılışta aletler yoktu. Bu yüzden birçok ülkede potansiyel farklar, gerçek ağırlıklar yerine normal ağırlık değerleriyle hesaplanmıştır. Uluslararası ağırlık formülüne göre, elipsoid yüzeyinde ağırlık değeri (Y O,İ) yaklaşık olarak (26) ile verilmiştir. Bir yeryüzü noktasında normal ağırlık değeri, *i - *o,i " - 308 6 H ± meal (27} (Hı' metre biriminde) dir. i noktasının normal potansiyel kotu (no, (1) den 71
çıkar. Normal potansiyel kot sabit bir g o ağırlık değerine (örneğin g o = yj ) bölünürse, normal dinamik yükseklik (H nd), bulunur. n> çekül eğrisini yarılayan noktadaki normal ağırlık değerine bölünürse sferoidik normal ortometrik yükseklik (H s ), elde edilir. Nivelman sonuçlan sferoidik yüksekliklere ya da farklarına dönüştürülmek istenirse, (10) da g yerine y. 9m yerine y m yazmalıdır. Sferoidik yükseklikler, eskiden bir çok ülkede ve ülkemizde pratik amaçlarla kullanılmıştır. Bu sistemde düzeltmelerin hesabı için ağırlık ölçüleri gerekli değildir. Komşu nivelman noktalan arasında düzeltmeler küçüktür. Bu yararlarına karşın, yalnız normal ağırlık değerlerine bağlı olmaları nedeniyle modem geodezinin gereksinimlerine yeterli olmaktan uzaktırlar. 72
73
eşitiiğiyle hesaplanabilir (Jordan / Eggert / Kneissl, Band V, 1969, s. 797). Aq>, aralarındaki yükseklik farkı Ah olan noktaların enlemleri arasındaki fark, cp, bu noktaların enlemlerinin, h da nivelman yüksekliklerinin ortalaması anlamındadır. K 2 teriminin hesabında geçen y m ' Ah yükseklik farklarını sınırlayan noktaların enlemlerinin ve yüksekliklerinin ortalamasına karşılık normal ağırlık değeridir. Büyük alanlı ülkeler, normal ağırlık değerleri ve, yükseklikler bakımından birkaç bölgeye ayrılabilir ve bölgelerden her biri için y m değerleri hesaplanabilir, (g y), Ah yükseklik farkını sınırlayan noktalardaki anomalilerin ortalamasıdır. K 2 terimi genellikle küçüktür. (34) eşitliği, i noktası için de yazılır, normal yükseklikler farkı oluşturulursa, y mıi = y mıj «y m ile sferoidik yükseklikler farkını normal yükseklikler farkına dönüştüren bağıntı, elde edilir. Normal ağırlık alanının çekül eğrileri boyunca fiziksel yeryüzünden (aşağıya doğru) normal yüksekliklere eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olarak tanımlanan, genellikle geoidden birkaç dm sapan ve geoide benzeyen kuasi geoid, bir nivo yüzeyi değildir, geoidin aksine fiziksel önemi yoktur. Kuasi geoidin bir noktasının elipsoidden oian uzaklığına (Ç) yükseklik anomalisi denir. Buna göre elipsoid yüksekliği (He) H e= H n~*,., (41) dir. Normal potansiyeli gerçek potansiyele eşit olan noktaların belirlediği yüzeye, Finlandiyalı ölçmecî R.A. Hirvonen'in önerisiyle tellüroid adı verilmiştir. Biçimi yeryüzüne benzer. Bir noktanın normal yüksekliği, başka bir anlamda, o noktaya karşılık tellüroid noktasının elipsoidden olan uzaklığına eşittir. Yükseklik anomalisi Ç, fiziksel yeryüzünün tellüroidden olan uzaklığı anlamında da kabul edilebilir. 74
Geoidin elipsoide uzaklığı N ile gösterilirse ortometrik yükseklik H o ile N in toplamı elipsoid yüksekliğine eşittir. Buna göre, H e S J H n s N + H Q ve (42) «n ~»o = N - ç dir. Orta yükseklikte dağlık bölgelerde bu fark bir kaç cm, en çok 2 m büyüklüğündedir. Modern geodezide uydu yöntemiyle yeryüzündeki noktaların konumları, x, y, z uzay koordinatlar sisteminde belirlenmektedir. Elipsoid yükseklikleri (H=), bilinen koordinatlar yardımıyla bir varsayıma gerek olmadan heşaplanabilmektedir (H. Moritz, 1967). Böylece elde edilen elipsoid yüksekliklerini nivelman sonuçlarından dönüştürülenler ile karşılaştırabilmek için, ikinciler varsayım hatalarından arınmış olmalıdır. (42) den H o ve N yardımıyla bulunacak elipsoid yükseklikleri, ortometrik yükseklik için öngörülen varsayım hatalarını giderici bir düzeltme N e getirilmedikçe hatasız görülemez (H. VVolf, 1974). Normal çekül eğrileri boyunca ortalama y m değerleri ve geopotansiyel kotlar yardımıyla normal yükseklikler, hatasız sayılabilecek bir doğrulukla heşaplanabilmektedir. Yeryüzünün yeterli sayıdaki noktalarında ağırlık anomalileri biliniyorsa, yükseklik anomalisi (Ç), Stokes denkiemiyle birkaç dm doğrulukla, bir varsayım öngörülmeksizin hesaplanabilir (K. Müller, 1960). Nivelman ölçülerinden başka yeryüzünde ölçülen öteki büyüklüklerin (doğrultular, uzaklıklar, astronomik ölçüler, ağırlık ölçüleri) geoide indirgenmesi genellikle zor ve hatalıdır. Bu hatalar, geoidin yukarısındaki kütleler için yoğunluk değerlerinin bir kabule dayanmasından kaynaklanmaktadır. Bu yüzden Molodenski tarafından geliştirilen yöntemde, yeryüzünde ölçülen büyüklüklerin geoide indirgenmesinden vazgeçilmiş, çekül sapması bileşenleri ve yükseklik anomalisi için fiziksel yeryüzü temel alınmıştır. Yardımcı yüzey olarak kuasi geoid, bir geodezik ağın yeryüzünde ölçülen elemanlarının elipsoid yüzeyine yeterli bir doğrulukla indirgenmesi olanağını sağlar. 75
Molodenski tarafından tanımlanan kuasi geoid, açık denizlerde ve kıyılarda geoid ile çakışır. 4. SAYISAL UYGULAMA ' t" Batı Almanya nivelman ağından seçilen şekil : 3 deki 2 poligon için ölçülen yükseklik farkları, hesaplanan geopotansiel kot-farkları ve nivelman yol uzaklıkları : Ah (m) Ac (kgal m) s (km) 128.26720 27.72415 60.77 274.24527 72.81555 44.04 315.02933 14.73968 64.07 4 113.15395 110.97483 52.61 5 4.39161 4.30725 18.94 6 149.75615 146.86335 52.05 7 8.59768 8.42826 68.66 8 126.14423 123.70646 60.07 p=100/s ve CpQ-y~415.62336 KGal m ile bulunan dengelenmiş geopotansiyel Kotlar(c)çizelge 1 de görülmektedir. 76
77
78
Dengelenmiş geopotansiyel kotlardan dönüştürülmüş dinamik yükseklikler, Helmert yükseklikleri, normal yükseklikler, Baranov yükseklikleri Bodemüller yükseklikleri (Hy,ı) Çizelge 1 de, yükseklik farkları "3 _^1 VM çizelge 2 de ve nivelmanla bulunan denge- Ah lenmiş ölçü farkları olduğuna göre AH Ah sapmaları (Dinamik yol düzeltmeleri ya da y lere ilişkin ortometrik düzeltmeler) çizelge 3 de verilmiştir.
Dinamik yükseklikler sisteminde sapmaların en küçük çıkmasının nedeni örnekteki ağırlıkların g o = yo 50 değerine çok yakın büyüklükler olmasındandır. Genel olarak dinamik düzeltmeler ortometrik düzeltmelerden büyüktür. Karşılaştırılan metrik sistemler arasında nivelman sonuçlarından en az sapmanın normal yükseklikler olduğu çizelge 3 den görülmektedir. Ac geopotansiyel kot farkları yerine herhangi bir sistemde dinamik ya da ortometrik düzeltme getirilmiş nivelman ölçüleri dengelenebilir. Koşullu ölçüler dengelenmesinde kapalı nivelman poligonlarından her biri için teorik kapanma hatası dir. 5. SONUÇ Geopotansiyel kotlar ya da onlardan belli bir oranda sapan dinamik yükseklikler bilimsel incelemeler, büyük ağ dengelemeleri ve uluslararası bağlantılar için gereklidir. Aynı zamanda geometrik anlamda yüksekliklere kolayca geçiş olanağı sağlarlar. Bir varsayıma gerek olmadan doğruya yakın bir incelikle hesaplanabilirler. 80
Ortometrik yükseklikler, yeryüzü ile geoid arasında kalan çekül eğrileri için, ortalama ağırlık değerlerinin hesabında yapılan varsayımlardan kaynaklanan hatalarla yüklüdür. Onlar yardımıyla elipsoid yüksekliklerini hesaplamak uygun değildir. Ortometrik yükseklikler teorisine dayanan ve uygulamanın gereksinimlerini karşılamak amacıyla geliştirilen başka sistemler de istenileni karşılamaktan uzaktır. Normal yükseklikler, teori ve uygulamanın amaçlarına uygundüşmektedir. Bir varsayım öngörülmeksizin hesaplanabilmektedir. Normal yüksekliklerden, ortometrik yüksekliklere ve dinamik yüksekliklere kolayca geçilebilmektedir. Sferoidik yükseklikler, bir düzeltme terimi eklenerek normal yüksekliklere ve onlar yardımıyla öteki sistemlere dönüştürülebilmektedir. Normal yükseklikler sisteminde, nivelman sonuçlarına getirilen düzeltmeler küçüktür. Özellikle yüksek, dağlık bölgeleri olan ülkemiz için en uygun sistemdir. Ortometrik yüksekliklerin hesabında yapılan varsayım hatalarının büyüklüğü karşısında, normal yüksekliklerin ortometrik yüksekliklerden olan sapmaları önemli değildir. Normal yüksekliklerden dönüştürülen elipsoid yükseklikleri modern geodezinin uydu yöntemiyle, varsayım hatalarından arınmış bağlantı olanağı sağlar. K A Y N A K Ç A Bematzky, C. (1963) : Zur Frage der gravimetrischen Punktabstande auf Mvellementslinien zur Erforschung vertikaler Erdkrustenbewegungen, Vermessungstechnik, Heffc 8, s. 295-300. Bodemüller, H. (1963) : Höhen von Helmert, Vignal und mittlere Höhen, Geodatisches Institut der Technichen Hoehschule Darmstadt. Groten, E. (1974) : Zur Cenauigkeit im Südhessischen Teil des Deutschen Haupthöhennetzes. Zfv, Heft 10, s. 431-443. Heiskanen, W.A. ve Moritz, H. (1967) : Physical Geodesy. W.H. Freeman and Company, San Francisco and London. Jordan / Eggert / Kneissl (1969) : Handbuch der Vermessungskunde, Band V. J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung Stuttgart. Kneissl, M. (1955) : Die Bildung eines einheitlichen europaischen Nivellementsnetzes. Zfv. Nr. 9, s. 278-297. Ledersteger, K. (1952) : Die Minimâlsysteme der metrischen Reduktion. ' 2. Bericht, vorgelegt der Studienkommission «Nivellement und Schwere» im September 1952. 81