S = {T Y, X S T T, S S} (9.1)

Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye ait her küme üzerinde bir topolojik yap oldu unu varsayalm. Bu topolojik yaplara dayal olarak, verilen ailenin kartezyen çarpm üzerinde çok kullan³l bir topoloji tanmlayaca z. Adna, verilen topolojilerin çarpm topolojisi diyece imiz bu topolojik yapy en genel biçimiyle tanmlamak hiç de zor de ildir. Ancak bu genel tanm vermeden önce, ö renciyi konuya hazrlamak amacyla, yaplacak i³in özünü yaln bir örnekle açklayalm: (X, T ) ile (Y, S) iki topolojik uzay olsun. X ve Y kümelerinin kartezyen çarpmn Z ile gösterelim; yani Z = X Y olsun. imdi T açk kümesi T topolojisinden ve S açk kümesi de S topolojisinden seçilmek üzere T Y biçimindeki bütün kümelerle X S biçimindeki bütün kümelerin olu³turdu u aileye S diyelim; yani S = {T Y, X S T T, S S} (9.1) olsun. Kolayca görülece i gibi S ailesine ait kümelerin bile³imi Z kartezyen çarpmna e³ittir. Öyleyse, Önerme 4.1.7 gere ince S ailesinin B ile gösterece imiz sonlu arakesitleri ailesi Z üzerinde bir topoloji üretir. Bu topolojiyi P ile gösterelim Bu durumda, S ailesi P topolojisinin bir alt-taban ve B ailesi da bir tabandr. ³te, bu ³ekilde belirlenen P topolojisine T ile S nin çarpm topolojisi diyoruz. Kolayca görülece i gibi B taban, T ve S topolojilerine ait kümelerin, kar³lkl olarak, kartezyen çarpmlarndan olu³an 97

98 BÖLÜM 9. ÇARPIM UZAYLARI ailedir; yani B = {T S T T, S S} (9.2) dir. Buradan hemen, Önerme 2.3.1 ye göre, ³unu söyleyebiliriz: Önerme 9.1.1. Yukardaki kavramlar altnda, bir W X Y alt-kümesinin çarpm uzayda açk olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her (x, y) W için T S W ve x T, y S olacak ³ekilde bir T T ile bir S S kümesinin var olmasdr. imdi, genel tanma geçebilmek amacyla, çarpm topolojisinin (9.1) ile verilen alt-tabann izdü³üm fonksiyonlar yardmyla belirleyelim: Z = X Y kartezyen çarpmndan X bile³eni üzerine olan izdü³ümü π 1 ile, Y bile³eni üzerine olan izdü³ümü π 2 ile gösterelim. Her T T için T Y = π1 1 (T) ve her S S için X S = π2 1 (S) dir. Öyleyse (9.1) den S = {π 1 1 (T),π 1 2 (S) T T,S S} (9.3) yazabiliriz. Yani, çarpan uzaylardaki açk kümelerin izdü³üm fonksiyonlar altndaki ters resimleri, çarpm uzayda açk birer kümedir. Bu, izdü³üm fonksiyonlarnn sürekli olmas demektir. Bununla da yetinmeyip, (9.3) ile verilen alt-tabann Önerme 8.1 yi sa lad n görerek, çarpm topolojisinin izdü³üm fonksiyonlarn sürekli klan en kaba topoloji oldu unu söyleyebiliriz. Ba³ka bir deyi³le, P çarpm topolojisi, T ile S topolojilerinin π 1 ve π 2 izdü³üm fonksiyonlarna göre izdü³el topoloji sidir. [14], [20], [12], [11] (9.3) ile verilen alt-tabann sonlu arakesitlerlinden olu³acak tabannn (9.2) ye e³it oldu u hemen görülebilir. B tabanna ait her hangi bir T S kümesi için π 1 (T S) = T ve π 2 (T S) = S dir; yani izdü³üm fonksiyonlar, çarpm topolojisinin tabanna ait kümeleri açk kümelere resmediyorlar. O halde, Önerme 6.3.3 gere ince, izdü³üm fonksiyonlar birer açk dönü³ümdür. Artk, her hangi bir topolojik uzaylar ailesinin çarpm uzayn tanmlayabiliriz: Tanm 9.1.1. Bir {(X λ, T λ ) : λ Λ} (9.4)

9.1. ÇARPIM TOPOLOJ S 99 topolojik uzaylar ailesi verilsin, X = λ ΛX λ (9.5) kartezyen çarpmndan X λ bile³eni üzerine olan izdü³ümü π λ ile gösterelim. Verilen topolojilerin, izdü³üm fonksiyonlarna göre, izdü³el topolojisine bu topolojilerin çarpm diyecek ve bunu P ile gösterece iz. Bu durumda, (X λ, T λ ) uzaylarnn herbirine bir çarpan uzay ya da bile³en uzay; (X, P) ye de çarpm uzay denilir. zdü³el topoloji tanmna göre, P çarpm topolojisi, izdü³üm fonksiyonlarn sürekli klan en kaba topolojidir. Önerme 8.1.1 ye göre, P çarpm topolojisinin bir alt-taban S = {A ( λ Λ)( T T λ ) A = π 1 λ (T)} (9.6) dr. Tabii, buradaki A kümelerinin nasl olduklarn görmek kolaydr. λ i Λ ve T i T i olmak üzere, A i = π 1 i (T i ) ise, M λ (λ Λ) kümelerini { X λ, λ λ i M λ = (9.7) T i, λ = λ i biçiminde tanmlayalm. Bu durumda A i kümesinin A i = λ ΛM λ (9.8) ³eklinde olaca, hemen izdü³üm fonksiyonu tanmndan çkar. imdi de P çarpm topolojisinin S alt-tabannn sonlu arakesitlerinden olu³an B do al tabann dü³ünelim. Her B B kümesine kar³lk öyle sonlu tane A i S(i = 1,2,...,m) kümesi vardr ki B = n i=1a i olur. (9.8) den kolayca görülece i gibi, N λ = { X λ, λ λ i,(1 i m) T i, λ = λ i,(1 i m) (9.9)

100 BÖLÜM 9. ÇARPIM UZAYLARI olmak üzere, B kümesi B = ΠN λ, (λ Λ) (9.10) biçimindedir; yani çarpan kümelerinin ancak sonlu tanesi çarpan uzaylardan farkl açk kümeler olmaktadr. Hemen buradan önemli bir özeli i söyleyebiliriz. Her λ Λ için, (9.10) dan π λ (B) = N λ oldu u izdü³üm tanmndan çkar. Öte yandan, (9.9) gere ince N λ kümesi T λ ya ait açk bir kümedir. Tabana ait her B kümesi ve her π λ izdü³ümü için bu özelik vardr; yani izdü³üm fonksiyonlar tabana ait kümeleri açk kümelere resmederler. Öyleyse, Önerme 6.3.3 ye göre ³u sonucu söyleyebiliriz: Önerme 9.1.2. Bir çarpm uzaydan çarpan uzaylara tanmlanan izdü³üm fonksiyonlar açk birer dönü³ümdür. 6.3.1). Ancak, izdü³üm fonksiyonlar kapal birer dönü³üm de ildir. (bkz. Örnek Uyar 9.1.1. P çarpm topolojisinin (9.6) ile verilen S alt-taban yerine a³a daki iki taban daha tanmlayabiliriz. Çarpm tanmndaki gösterimleri varsayalm. Sonra her λ Λ için T λ topolojisinin bir B λ taban ile bir S λ alt-tabannn verildi ini dü³ünelim. Bu durumda tabanlara ait kümelerin izdü³üm fonksiyonlar altndaki ters resimlerine b ve alt-tabanlara ait kümelerin ters resimlerine de s diyelim; yani b = {A ( λ Λ) ( B B λ ) A = π 1 λ (B)} (9.11) s = {A ( λ Λ) ( S S λ )A = π 1 λ (S)} (9.12) olsun. Önerme 8.1.2 ile Önerme 8.1.3 uyarnca, bu iki ailenin P çarpm topolojisine birer alt-taban olacaklar apaçktr. Örnek 9.1.1. Düzlem üzerindeki salt (mutlak) topoloji, gerçel eksen üzerindeki salt topolojinin kendisiyle çapmna e³ittir.

9.1. ÇARPIM TOPOLOJ S 101 Yaplacak i³i geometrik olarak temsil edebilmek için, düzlemde dikey bir koordinat sistemi seçelim. Yatay ve dü³ey eksenlerin her ikisinde de gerçel eksen üzerindeki salt topoloji var olsun. (R, R) uzaynn kendisiyle çarpmn olu³turaca z. R salt topolojisinin bir taban, R üzerindeki bütün açk aralklardr. Yatay eksen üzerindeki her (a,b) açk aral nn π 1 izdü³ümü altndaki ters resmi (a,b) aral ndan geçen dü³ey ve açk A 1 ³erididir. Benzer olarak, dü³ey eksen üzerindeki her (c,d) açk aral nn π 2 izdü³ümü altndaki ters resmi (c,d) aral ndan geçen yatay ve açk A 2 ³erididir ( ekil çiziniz). O halde, bu örnek için, P çarpm topolojisinin (9.11) ile tanmlanan alt-taban, düzlemdeki dü³ey ve yatay bütün açk ³eritler ailesidir. Oysa bu aile, düzlemdeki salt topolojinin bir alt-taban idi (bkz. Örnek 4.1.4). Alt-tabanlar ayn olan iki topoloji e³it olaca ndan, istenen ³ey çkm³ olur. Örnek 9.1.2. R n (1 n < ) Öklid uzay n tane (R, R) uzaynn çarpmna e³ittir. R i = R (1 i n) olmak üzere R n = R 1 R 2... R n yazalm. R i üzerindeki bir (a i,b i ) açk aral nn π i izdü³ümü altndaki ters resmi, bu aralk üzerine kurulan A i = R 1... R i 1 (a i,b i ) R i+1... R n silindiridir. Bu silindirler ailesi n-boyutlu Öklid uzaynn bir alt-tabandr. Tabii bunlarn sonlu arakesitleri ailesi A = Π n i=1(a i,b i ), ai bi + (9.13) biçimindeki snrl ya da snrsz bütün n-boyutlu hücreleri olu³turacaktr, ki bu R n Öklid uzaynn bir topoloji tabandr. Uyar 9.1.2. {(X i, T i ) : 1 i n} topolojik uzaylarnn (X, P) çarpm uzayn dü³ünelim. (9.10) uyarnca, P topolojisinin bir taban B = {T 1 T 2... T n T i T i, i = 1,2,...,n} ailesidir.

102 BÖLÜM 9. ÇARPIM UZAYLARI Tabii buradaki T i açk kümelerinin hepsi ya da bazs tüm X i uzaylarndan farkl açk kümeler olabilir. Üstelik, çarpm uzayna ait her açk küme, daima çarpan uzaylara ait açk kümelerin bir kartezyen çarpm biçiminde olmayabilir. Örne in, düzlemde açk bir disk R 2 uzaynda açktr. Ama bu disk çarpan uzaylara ait iki açk kümenin kartezyen çarpm olarak yazlamaz. Bu da gösteriyor ki bir çarpm uzaydaki açk kümeler, çarpm uzayn tabanna ait kümelerin biçiminden çok farkl olabilirler. Uyar 9.1.3. Bununla ilgili bir uyar daha yapmak yararl olacaktr. Sonsuz tane uzayn çarpm uzaynda, çarpan uzaylara ait açk kümelerin sonsuz kartezyen çarpm açk bir küme olmayabilir (bkz. 6.Problem). Tanm 9.1.2. Bir Z kümesinden (9.5) ile verilen X çarpm kümesine bir g fonksiyonu verilmi³ olsun. z Z için g(z) = x = ( λ ) X ise, diyelim. π λ g(z) = x λ (λ Λ) (9.14) π λ g = g λ (9.15) Önerme 9.1.3. g dönü³ümü, Z den X λ bile³enlerine tanml olan {g λ λ Λ} dönü³ümlerini tek olarak belirler. Tersine olarak, her λ Λ için Z den X λ ya bir g λ fonksiyonu verilmi³se g(z) = (g λ (z)) λ Λ (9.16) ba nts Z den X çarpmna bir g fonksiyonu tanmlar ve bu π λ g = g λ e³itli ini sa lar. Demek ki bir Z kümesinden X çarpm kümesine bir g fonksiyonunun tanml olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, Z den X λ bile³enlerine π λ g = g λ fonksiyonlarnn tanml olmasdr. Buradan, i³lemlerde basitlik sa lamak amacyla, ³u gösterimi tanmlayabiliriz: g = (g λ ). Bu durumda, g λ fonksiyonlarna g fonksiyonunun bile³enleri diyece iz. Artk g fonksiyonunun süreklilik özeli ine geçebiliriz. Önerme 9.1.4. Bir (Z, O) uzayndan (X, P) çarpm uzayna verilen bir g = (g λ ) fonksiyonunun sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, her λ Λ için g λ bile³eninin sürekli olmasdr.

9.1. ÇARPIM TOPOLOJ S 103 yetecektir. s p a t: g λ = π λ g fonksiyonlarna, Önerme 8.1.4 yi uygulamak Bu önermenin bir uygulamas olarak, bir fonksiyonun gra i ile süreklili i arasndaki ili³kiyi inceleyebiliriz. Bir f : (X, T ) (Y, S) fonksiyonu verilsin. Bu iki uzayn çarpmn (W, P) ile ve f fonksiyonunun gra ini G ile gösterelim. G W = X Y oldu undan, P topolojisinin G üzerine kondurdu u P G topolojisinden sözedebiliriz; yani (G, P G ), çarpm uzayn bir alt-uzaydr. imdi X kümesinden G gra i üzerine, her x X için g(x) = (x,f(x)) (9.17) diye bir g fonksiyonu tanmlayalm. G gra inin G = {(x,f(x)) : x X} oldu u anmsanrsa, (9.16) ten g fonksiyonunun X kümesinden G üzerine bir fonksiyon oldu u görülür. Öte yandan g(x 1 ) = g(x 2 ) ise (x 1,f(x 1 )) = (x 2,f(x 2 )) olacaktr ki bu x 1 = x 2 olmas demektir; yani g fonksiyonu birebirdir. Böylece g fonksiyonunun bire-bir-örten oldu u ortaya çkar. Ayrca (9.16) gösterimini kullanmak için, g fonksiyonunun bile³enlerini (9.11) ba- ntsndan bulabiliriz. Gerçekten g = (g 1,g 2 ) dersek (9.17) dan g 1 (x) = π 1 g(x) = x (9.18) g 2 (x) = π 2 g(x) = f(x) (9.19) çkar); yanii fonksiyonux kümesinin özde³lik dönü³ümü olmak üzere, g 1 = I ve g 2 = f olur. O halde g = (I,f) (9.20) yazabiliriz. imdi önermemizi söyleyelim: Önerme 9.1.5. Bir f : (X, T ) (Y, S) fonksiyonunun sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, (9.17) ile tanmlanan g : (X, T ) (G, P G ) fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi olmasdr. s p a t: g bir e³yap resmi olsun. g sürekli oldu undan, Önerme 9.1.4 ye göre, g fonksiyonunun bile³enleri de sürekli olacaktr. Bu, (9.20) gere ince, f fonksiyonunun sürekli olmasn gerektirir.

104 BÖLÜM 9. ÇARPIM UZAYLARI Tersine olarak, f sürekli olsun. Önerme 9.1.4 uyarnca, g fonksiyonunun sürekli oldu u (9.20) den çkar. g bire-bir ve örten oldu undan g 1 ters fonksiyonu tanmldr. Üstelik bu ters fonksiyon X Y çarpmndan X üzerine olan π 1 izdü³ümünün G ye kstndan ba³ka bir³ey de ildir; dolaysyla, süreklidir (bkz. Teorem 8.1.4). Böylece, g fonksiyonunun bir topolojik e³yap resmi oldu u ortaya çkar. Bu önermeyi, ksaca, ³öyle de söyleyebiliriz; Bir fonksiyonun sürekli olmas için gerekli ve yeterli ko³ul, kalk³ uzay ile gra inin topolojik e³yapl olmasdr. Önerme 9.1.6. (X, T ) ile (Y, S) uzaylalr verilsin. Sabit bir x X seçelim. {x} Y alt-kümesi üzerinde P çarpm topolojisinin kondurdu u topoloji varolsun. Bu durumda, Y uzayndan çarpm uzayn {x} Y alt-uzayna tanmlanan h x : y (x,y) fonksiyonu bir e³yap dönü³ümüdür. s p a t: h x fonksiyonunun BBÖ oldu u apaçktr. Her y Y için π 1 h x (y) = x oldu undan π 1 h x bile³kesi Y uzayndan X uzayna tanml sabit bir fonksiyondur; yani süreklidir. π 2 h x bile³kesi ise Y uzay üzerindeki özde³lik dönü³ümüdür; yani süreklidir. Bile³enleri sürekli oldu undan h x fonksiyonunun tersi π 2 izdü³ümünün {x} Y alt-kümesine kstlanm³ndan ba³ka bir ³ey de ildir; O halde o da süreklidir. [3], [7], [9], [19] 9.2 KARMA PROBLEMLER 1. A ile B, srasyla, X ile Y topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b) (A B) = Ā B (c) (A B) = ( A B) (Ā B) oldu unu gösteriniz. 2. X bir topolojik uzay ise X X çarpm uzaynda = {(x,x) x X} kö³egeninin X uzayna e³yapl oldu unu gösteriniz.

9.2. KARMA PROBLEMLER 105 3. Bir {X λ, T λ ) : λ Λ} topolojik uzaylar ailesi verilsin ve bunlarn çarpm uzay (X, P) olsun. (a) E er Λ sonlu yada saylabilir sonsuz bir küme ise, çarpm uzayn Birinci (ya da kinci) Saylabilme Aksiyomunu sa layabilmesi için gerekli ve yeterli ko³ul, çarpan uzaylardan herbirisinin de bu aksiyomu sa lamasdr. (b) Λ damgalayan kümesi saylamaz sonsuz bir küme olsun. Çarpan uzaylarn herbirisinin Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa lad n varsayalm. Bu durumda, e er çarpan uzaylarn saylamaz saydas enaz iki³er ö eli ise, çarpm uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa layamaz. (c) Λ damgalayan kümesi saylamaz sonsuz bir küme olsun. Çarpan uzaylarn herbirisinin ikinci saylabilme aksiyomunu sa lad n varsayalm. Bu durumda, çarpm uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu sa layabilmesi için gerekli ve yeterli ko³ul, çarpan uzaylarn ancak saylabilir saydasnn ayrk olmayan topolojiden farkl bir topolojiye sahip olmasdr. Gösteriniz. 4. Ayrk uzaylarn sonlu saydasnn çarpmnn da ayrk bir uzay oldu unu gösteriniz. 5. Ayrk uzaylarn sonsuz saydasnn çarpmnn da ayrk olmas için, bu uzaylarn hemen hemen hepsinin (sonlu saydas hariç geri kalanlar) tek ö eli olmas gerekti ini gösteriniz.