ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER
|
|
- Özgür Altın
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 ANT TÜREV VE NTEGRAL HESAPLAMA YÖNTEMLER 1 TEMEL YÖNTEM VE DE KEN DE T RME Bir kapal aralkta tanmlanm³ olan f ve F fonksiyonlar için e er bu aralkta F () f() ko³ulu sa lanyorsa F fonksiyonu, f fonksiyonunun bir antitürevi ve f fonksiyonunun tüm antitürevlerinin kümesi de f fonksiyonunun belirsiz integrali olarak tanmlanm³t. Ayrca C key bir sabit olmak üzere f() : {F () + C : C R} oldu u daha önce gösterildi. Kalkülüsün temel teoremine göre sürekli her fonksiyonun antitürevi vardr. E er f fonksiyonunun bir F antitürevi biliniyorsa, kalkülüsün temel teoremi gere i, f fonksiyonunun [a, b] aral ndaki integrali b a f() F (b) F (a) e³itli i ile kolayca hesaplanabilir. Yani e er antitürev hesaplanabiliyorsa integral hesaplamak çok kolaydr. Bu bölümde antitürev hesaplama yöntemleri verilerek, antitürevler yardmyla integral de eri hesaplamalar yaplacaktr. A³a daki listede verilen antitürevlerin do rulu unu göstermek kolaydr; e³itliklerin sol tarafndaki fonksiyonlarn türevi alnrsa integrand elde edilir. 1. { r r+1 r+1 + C, r R { 1} ln + C, r 1. a a ln a + C, a R+ {1} 3. cos sin + C ve sin cos + C 4. sec tan + C ve csc cot + C 5. sec tan sec + C ve 6. arcsin + C 1 1 ve Ayrca csc cot csc + C 1+ arctan + C (F + G) () F () + G () e³itli inden hareketle f + g fonksiyonunun herhangi bir antitürevinin (f + g)() f() + g() yapsnda oldu u elde edilir. Benzer ³ekilde c bir sabit olmak üzere cf fonksiyonunun herhangi bir antitürevi cf() c f() yapsndadr. A³a daki örneklerde verilen liste ve bu özellikler yardmyla baz basit antitürevler ve integraller hesaplanm³tr. 1
2 Örnek 1 ( ) C oldu u açktr (her bir antitürevde bulunan key sabitler birle³tirilerek tek bir C sabiti elde edilmi³tir). Bu antitürev yardmyla örne in I : 1 ( ) integralinin de eri 1 ( ) olarak bulunur. 0 0 Örnek (e cos ) e sin + C oldu undan, örne in I : π 0 (e cos ) integralinin de eri π (e cos ) (e π sin ) (e π 1) olarak bulunur. 0 Zincir kural gere i [f(φ())] f (φ())φ () oldu undan f (φ())φ () [f(φ())] f(φ()) + C e³itli i sa lanr. Yani integraller için verilen de i³ken de i³tirme yöntemi antitürevler için de kullanlabilir. Dolaysyla de i³ken de i³imi yoluyla integral hesaplanrken iki seçenek vardr; birincisi integraller için verilen de i³ken de i³imi teoremini kullanarak sonuç elde etmek, ikincisi de yukardaki e³itlik yardmyla önce antitürevi bulup sonra integral de erini hesaplamak. Her iki seçenekte de temel zorluk, yukardaki e³itlikte bulunan φ fonksiyonunun genellikle açk bir ³ekilde görünmemesidir. Örnek 3 π 0 ecos sin integralinin de erini bulalm. Birinci yol olarak, φ(t) cos t seçilirse, c 0, d π ve f() : e olup integraller için de i³ken de i³imi yöntemi gere i, 0 olup böylece π cos π 1 e cos t sin tdt e e 1 0 cos 0 1 e e π 0 e cos sin e 1 e olarak bulunur. kinci yolla ise önce e cos sin fonksiyonunun antitürevi, φ() cos de i³imi yardmyla f() : e olmak üzere e cos sin [f(φ())] f(φ()) + C e cos + C olarak bulunur. Daha sonra da kalkülüsün temel teoremi uygulanarak olarak bulunur. π 0 π e cos sin e cos e 1 e 0
3 Bu yöntemi kullanmann matematiksel olarak açklamas zor fakat daha pratik bir yolu ³öyledir: örne in I : e sin cos belirsiz integrali hesaplanmak isteniyor. Bu durumda de i³ken tanm yaplrsa, e³itli inden hareketle y : sin cos cos ³eklinde bir e³itli in var oldu unu kabul edelim. Bunlar belirsiz integralde yerine yazlrsa e sin cos e y belirsiz integrali elde edilir ki bunun hesab oldukça basittir: e sin cos e y e y + C. Son olarak y de i³keni tekrar cinsinden yerine yazlrsa e sin cos e y e sin + C elde edilir. Bu yöntem de i³ken de i³imi yönteminden ba³ka bir³ey de ildir ama bu gösterim matematiksel olarak temelsizdir, dolaysyla bu gösterimi bir kabul olarak kullanyoruz. Örnek 4 I : tan belirsiz integralini hesaplamak için önce sin tan cos olarak yazlp, y : cos tanm yaplrsa, sin olaca ndan sin tan cos ln y + C y elde edilir. Son olarak y cos tanm yerine yazlrsa ln cos + C ln sec + C elde edilir. Benzer yöntemle oldu u da gösterilebilir. cot ln sin + C Örnek 5 I : sin belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan sin 1 sin y 1 cos y + C 1 cos + C elde edilir. 3
4 Örnek 6 I : (3 ) 57 belirsiz integralini hesaplamak için y : 3 tanm yaplrsa 3 olaca ndan elde edilir. (3 ) y 57 1 y 58 (3 )58 + C + C Örnek 7 I : ( + 5) 19 belirsiz integralini hesaplamak için y : + 5 tanm yaplrsa olaca ndan elde edilir. ( + 5) 19 1 y 19 1 y C ( + 5) 0 + C 40 Örnek 8 I : 3 belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan y 1 3 y ln 3 + C 3 ln 3 + C elde edilir. Örnek 9 I : sin belirsiz integralini hesaplamak için y : tanm yaplrsa olaca ndan sin 1 sin y 1 cos y + C 1 cos + C elde edilir. Di er yandan bu belirsiz integral a³a daki ³ekilde de hesaplanabilir: sin sin cos y y + C sin + C. ki farkl sonuç bulunmas do aldr, çünkü bir fonksiyonun belirsiz integrali o fonksiyonun tüm antitürevlerinin kümesidir. Bir fonksiyonun herhangi iki antitürevinin farknn sabit olmas gerekti i daha önce açklanm³t, ³u halde bu örnekte bulununan antitürevlerin farklar sabit oluyorsa yaplan i³lemlerde yanl³lk yoktur. Gerçekten oldu u görülür. sin + cos sin + (cos sin ) Örnek 10 I : sin 1+cos belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + cos tanm yaplrsa sin olaca ndan sin y 1 1 y + C 1 + cos + C 1 + cos y elde edilir. Örnek 11 I : ln belirsiz integralini hesaplamak için y : ln tanm yaplrsa 1 olaca ndan elde edilir. ln 1 y y + C ln + C 4
5 Örnek 1 Baz durumlarda birden fazla de i³ken de i³imi yapmak gerekebilir. Örne in I : ln cos tan belirsiz integralini hesaplamak için önce y : cos tanm yaplsn, bu durumda sin olaca ndan ln y ln cos tan y e³itli i elde edilir. Örnek 11 de kullanlan yöntem ile u : ln y tanm yaplrsa du 1 y olaca- ndan ln y y elde edilir. Son olarak u ve y de i³kenleri yerine yazlrsa udu u + C olarak bulunur. u + C ln y + C ln cos + C RASYONEL FONKS YONLAR f ve g 0 polinomlar olmak üzere f g olarak yazlan ifadeye bir kesirli polinom denir. g polinomunun sonlu saydaki kökleri d³nda kalan bölgede her f g kesirli polinomu bir fonksiyon belirtir ve bu tür fonksiyonlara rasyonel fonksiyon denir. Bu bölümde rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integrallerini hesaplamak için yöntemler verilecektir. f g bir rasyonel fonksiyon olmak üzere, genel olarak f() g() belirsiz integralinde polinom bölmesi yaplarak f fonksiyonunun derecesi g fonksiyonunun derecesinden küçük veya e³it hale getirilir. Daha sonra g polinomu indirgenemez polinomlarn çarpm ³eklinde yazlr. ndirgenemez reel polinomlar ya birinci dereceden polinomlar, ya da negatif diskriminantl ikinci dereceden polinomlardr. Bu a³amadan sonra f g rasyonel fonksiyonu A B+C (a+b) ve biçimindeki basit n (a+b ) n kesirler in toplam ³eklinde yazlr, bu i³leme ksmi kesirlere ayrma i³lemi denir. Dolaysyla her rasyonel fonksiyonun belirsiz integrali problemi A (a+b) ve B+C belirsiz integralleri n (a+b ) n problemine indirgenir. Bu bölümde önce basit örneklerden ba³layarak bu iki tip belirsiz integral için yöntemler verilecek, daha sonra da ksmi kesirlere ayrma yöntemi ile genel rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integrallerinin hesaplanmas örnekleri verilecektir..1 Kolay Örnekler Örnek 13 I : 5 belirsiz integrali için y : 5 tanmlamas yeterlidir: 5 y ln y + C ln 5 + C. Örnek 14 I : 1+ belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanmlamas yaplrsa olaca ndan y y ln y + C ln C y y elde edilir (tüm sabitlerin tek bir C sabiti içinde topland na dikkat ediniz). Bu belirsiz integral a³a daki ³ekilde de hesaplanabilir: (1 + ) ln C
6 Örnek 15 I : belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanmlamas yaplrsa (1+) 3 olaca ndan (y 1) y (1 + ) 3 y + 1 y 3 y 3 y y + y 3 ln y + y 1 y + C ln (1 + ) + C olarak elde edilir. Bu örnekteki belirsiz integral, paydaki ifadesi yerine ( 1) + 1 yazlarak da hesaplanabilir. Örnek 16 I : 3 belirsiz integralini hesaplamak için y : 1 + tanm yaplrsa (1+) 3 olaca ndan 3 ( y 1 )3 y 3 3y + 3y 1 olarak elde edilir. (1 + ) ( 3 16 y + 3 y y y ln y 16 16y + 1 3y + C y ln (1 + ) + 1 3(1 + ) + C Örnek 17 I : 3 +1 belirsiz integralini hesaplamak için önce 3 polinomunu + 1 polinomuna bölünür, 3 ( + 1) oldu undan e³itli i elde edilmi³ olur. Bu durumda y : + 1 tanmlamasyla, y olarak elde edilir. 1 ln y + C 1 ln C. Paydada 1 + fadesi Beliriyorsa Bu tip rasyonel fonksiyonlarn belirsiz integralleri hesaplanrken genellikle 1 + tan y sec y e³itli inden hareketle : tan y (veya y : arctan ) de i³ken de i³imi yaplr. Bu durumda sec y olur. Örne in I : belirsiz integralinde bu dönü³üm uygulanrsa 1+ sec 1 + y sec y y + C arctan + C 6 ) y 3
7 oldu u görülür. Bu belirsiz integral Bölüm 1 de arctan fonksiyonunun türevi hesapalanarak elde edilmi³ti. Benzer ³ekilde a 0 için belirsiz integralinde önce y : a + a de i³imi, sonra da yukarda bahsedilen de i³im yaplrsa a + 1 a 1 + ( 1 a ) a 1 + y 1 a arctan y + C 1 a arctan a + C olarak elde edilir. Ayn de i³ken tanmlamas ile hesaplanabilir. Bu durumda (1 + ) n (1+ ) n sec y sec n y biçimindeki belirsiz integraller de cos n y e³itli i elde edilir, yani cos n y biçimindeki belirsiz integrallerin hesaplnamas gerekir. Bu hesaplama için de ( ) 1 + cos y n cos n y e³itli i göz önüne alnr. Bu durumda e³itli in sa tarafnda cos k+1 y ³eklinde belirsiz integraller de belirecektir. Bu tip belirsiz integraller a³a daki gibi z : sin y de i³imi ile kolayca hesaplanabilirler: cos k+1 y cos k y cos y (1 sin y) k cos y (1 z ) k dz. Örnek 18 I : 1++ belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: ( ) y arctan + C 3 3 ( ) + 1 arctan + C. 3 3 ( + 1/) + 3/4 3/4 + y Örnek 19 I : 3 1 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: y 1 dz 9 + z 3 8 ln y 1 6 arctan z 3 + C ln(4 + 9) 1 6 arctan 3 + C
8 Örnek 0 I : Örnek 1 I : (1+ ) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 + ) cos y 1 (1 + cos y) ( ) y + + C (1+ ) 3 1 sin y 1 (y + sin y cos y) + C sec y (sec y) 1 [arctan + sin(arctan ) cos(arctan )] + C 1 ( arctan + ) C. belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 + ) 3 sec y (sec y) 3 cos 4 y 1 (1 + cos y) 4 1 (1 + cos y + cos y) 4 1 ( ) y + sin y + cos y 4 1 ( y + sin y + 1 ) cos zdz 4 1 ( y + sin y + 1 ) (1 + cos z)dz (y + sin y ) sin z + C 1 ( 3 4 y + sin y + 1 ) sin z cos z + C 4 1 ( 3 4 y + sin y cos y + 1 ) sin y cos y + C 4 1 ( 3 4 y + sin y cos y + 1 ) sin y cos y( cos y 1) + C 1 ( 3 arctan ( )) C 1 ( 3 arctan (1 ) ) (1 + ) + C 3 8 arctan (1 ) 8 (1 + ) + C. 8
9 .3 Ksmi Kesirlere Ayrma E er f ve g aralarnda asal iki polinom ise 1 fg ifadesi 1 f ve 1 g cinsinden yazlabilir ve f ile g aralarnda asal olduklarndan uf + vg 1 e³itli i sa lanacak ³ekilde u ve v polinomlar vardr. Böylece 1 fg u f + v g e³itli i sa lanacak ³ekilde u ve v polinomlar var olaca ndan paydann derecesi küçültülebilir. u f ve v g kesirlerine ksmi kesirler denir.bu ksmi kesirler ³u ³ekilde tespit edilir: fg nin ( a) m ³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler A 1 ( a), A ( a),..., A m ( a) m ³eklindedir. fg nin ( + p + q) m ³eklinde bir çarpan varsa ksmi kesirler B 1 + C 1 ( + p + q), B + C ( + p + q),..., B m + C m ( + p + q) m ³eklindedir. E er f g ifadesi yukaridaki her iki çarpana da sahip ise ilgili ksmi kesirlerin tamam alnr. Rasyonel fonksiyonlar ksmi kesirlere ayr³trlp, her ksmi kesrin bilinmeyen katsaylar hesaplanarak belirsiz integrali kolayca hesaplanabilir. Örnek olarak a³a daki e³itliklerdeki ksmi kesirleri inceleyiniz: Örnek I : Örnek 3 I : ( 1)( + 1)( + 3) A B C ( + 1)( 1) A + B C ( 1) + D ( 1) 1 ( + 1) A + B + C ( + 1) + D + E ( + 1) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 1 1 ( ) ln (1 )(1+3) + C. belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 )(1 + 3) ln ln C Örnek 4 I : (1 ) (1+) belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: (1 ) (1 + ) (1 ) ln C
10 3 TR GONOMETR K FONKS YONLAR 3.1 Trigonometrik Özde³likler Trigonometrik fonskiyonlar içeren belirsiz integrallerin bir ksm trigonometrik özde³likler yardmyla kolayca hesaplanabilir. Bu bölümde n, m N olmak üzere sin n, cos n, tan n, cot n, sec n, csc n, sin n cos m sin, n cos m ve cosn sin m gibi baz bu tip belirsiz integrallere örnekler verilecektir. Örne in n N olmak üzere sin n ve cos n fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken sin 1 cos ve cos özde³liklerinden faydalanlr. Bu yöntemle cos 1 (1 + cos ) ve sin 1 (1 cos ) 1 + cos + sin 4 sin 4 oldu u görülür. Daha büyük kuvvetler için de ayn özde³lik kullanlr, kuvvet tek ise bu özde³lik kullanlmadan, sadece sin + cos 1 özde³ili i yardmyla sonuç alnabilir. + C + C Örnek 5 I : cos 5 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: cos 5 cos 4 cos (cos ) cos (1 sin ) cos (1 y ) (1 y + y 4 ) y 3 y y5 + C sin 3 sin sin5 + C. Kuvvet çift ise Örnek 0 ve Örnek 1 ile verilen belirsiz integral hesaplalamarn inceleyin. n, m N olmak üzere sin n cos m fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken de ayn özde³likler kullanlr. Örne in I : sin cos sin (1 sin ) sin sin 4 olup i³lemin devam yukardaki yöntemle yaplabilir. Kuvvetlerden birisi tek ise i³lem daha da 10
11 basitle³ir, örne in: I : sin 4 cos 5 sin 4 cos 4 cos sin 4 (1 sin ) cos y 4 (1 y ) (y 4 y 6 + y 8 ) y5 5 y7 7 + y9 9 + C sin5 5 sin7 7 + sin9 9 Ayn özde³liklerle ve benzer i³lemlerle n > m olmak üzere sinn cos m ve cosn sin m fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integrallerde n tek ise hesaplamalar oldukça kolaydr, bu durum için a³a daki örne i inceleyiniz. E er n çift ise sec n veya csc n fonksiyonlarnn belirsiz integrali ile kar³la³labilir, bu tür belirsiz integraller daha sonra incelenecektir. n < m olmas durumunda integrand tan p sec q veya cot p csc q ³eklinde ifade edilerek kolayca hesaplanabilir. Bu tip belirsiz integraller de daha sonra incelenecektir. Örne in: + C. I : cos 3 sin cos sin cos 1 sin sin cos 1 y y 1 y y + C csc sin + C ve I : sin 4 cos (1 cos ) cos 1 cos + cos 4 cos sec + cos. n N için tan n ve cot n fonksiyonlarnn belirsiz integralleri hesaplanrken tan sec 1 ve cot csc 1 özde³likleri ile tan sec ve cot csc e³itlikleri kullanlr. Bu yöntemle örne in, tan (sec 1) tan + C elde edilir. Daha büyük kuvvetler için de bu yöntem kullanlr. 11
12 Örnek 6 I : tan 3 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: tan 3 tan tan tan (sec 1) tan sec tan y tan y ln cos + C tan ln cos + C. Örnek 7 I : tan 4 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: tan 4 tan tan tan (sec 1) tan sec tan y tan y3 3 tan + + C tan3 3 tan + + C. Örnek 8 I : cot 3 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: cot 3 cot cot cot (csc 1) cot csc cot y cot y ln sin + C cot ln sin + C. Ayn trigonometrik özde³likler yardmyla n N olmak üzere sec n ve csc n fonksiyonlarnn 1
13 da belirsiz integralleri hesaplanabilir. n says çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Örne in cos I : sec cos cos 1 sin 1 y 1 ( y 1 ) 1 y 1 ln 1 + y 1 y + C 1 ln 1 + sin 1 sin + C ln 1 + sin cos + C. ve I : sin csc sin sin 1 cos 1 y 1 ln 1 y 1 + y + C 1 ln 1 cos 1 + cos + C. oldu u görülür. Daha büyük kuvvetler için de benzer yöntem kullanlr (n says tek ise bu belirsiz integraller ksmi integrasyon yöntemi ile daha kolay hesaplanabilir, bu yöntem daha sonra açklanacaktr). Örnek 9 I : sec 4 belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: sec 4 sec sec (1 + tan ) sec (1 + y ) y + y3 3 + C tan + tan3 3 Ayn özde³ikler kullanlarak m, n N olmak üzere tan p sec q ve cot p csc q fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de hesaplanabilir. Böylece n < m olmak üzere cosn sin m ve sinn cos m fonksiyonlarnn belirsiz integralleri de bu yöntemle hesaplanabilir. E er n ve m saylar her ikisi birden tek veya çift ise hesaplamalar oldukça kolaydr. Di er durumlarda; n çift m tek ise tan sec C.
14 özde³li i kullanlarak sonuç elde edilebilir, e er n tek m çift ise bu durumda sec : y veya csc : y tanmlamas yaplabilir (bu durumda sec sec tan ve csc csc cot e³itlikleri de faydal olur). A³a da verilen örnekleri inceleyiniz. I : cos sin 6 tan sec 4 tan (1 + tan ) sec y (1 + y ) y3 3 + y5 5 + C tan3 3 + tan5 5 + C, I : sin 3 cos 4 tan 3 sec (sec 1) sec tan (y 1) ve I : sin cos 3 y3 3 y + C sec3 3 + sec + C tan sec (sec 1) sec sec 3 sec. n m olmak üzere sin m cos n fonksiyonunun belirsiz integrali hesaplanrken sin m cos n 1 [sin(m n) + sin(m + n)], ve cos m cos n 1 [cos(m n) + cos(m + n)] sin m sin n 1 [cos(m n) cos(m + n)] özde³likleri kullanlr, örne in: I : sin 3 cos 1 sin sin 1 10 cos 5 1 cos + C. Kimi durumlarda oldukça karma³k görünen trigonometrik fonksiyonlarn belirsiz integralleri beklenmedik ³ekilde kolaylkla hesaplanabilir, örne in 14
15 I : sin cos y y + C cos + C, ve I : sin cos y 1 y z 1 z 4 dz I : sin 7 cos sin 6 (y 1) 3 sin cos y (z 4 1) 3 dz. Son iki örnekte i³lemlerin devam kolaylkla getirilebilir. 3. Weierstrass Dönü³ümü π < < π için yaplan y : tan( ) dönü³ümüne Weierstrass dönü³ümü denir. Bu durumda arctan y oldu undan 1 + y olur. Ayrca oldu undan elde edilir. Benzer ³ekilde oldu undan sin sin( arctan y) sin(arctan y) cos(arctan y) sin y 1 + y cos cos( arctan y) cos (arctan y) sin (arctan y) cos 1 y 1 + y elde edilir. Böylece trigonometrik fonksiyonlar içeren bir belirsiz integral rasyonel fonksiyonlarn bir belirsiz integraline dönü³ür. Örnek 30 I : 3 5 cos belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: 3 5 cos 1+y y 1+y 4y 1 1 y ln y 1 y C 1 4 ln tan( ) 1 tan( ) C. y
16 Örnek 31 I : +sin belirsiz integrali a³a daki ³ekilde hesaplanabilir: + sin y + y + 1 (y + 1 ) dz ( 3 ) z + ( ) z arctan + C 3 3 ( ) y + 1 arctan + C 3 3 ( tan( arctan ) + 1 ) + C. 3 3 Baz durumlarda Weierstrass dönü³ümü yapmadan önce integrandn farkl ³ekilde ifade edilmesi kolaylk sa layabilir. Örne in cos + 3 cos 4 I : cos cos cos + 4 belirsiz integralini hesaplamak için integrand, u : cos tanm yardmyla, cos + 3 cos 4 cos cos + 8 cos + 4 olarak yeniden ifade edilirse cos ( + 3 cos 4 cos cos + 8 cos + 4 u + 3u 4 u 3 + 5u + 8u + 4 u + 3u 4 (u + 1)(u + ) 6 u u (u + ) 6 cos cos (cos + ) 6 cos cos (cos + ) olaca ndan Weierstrass dönü³ümü ile hesap yaplabilir. Benzer ³ekilde cos 3 sin I : + cos belirsiz integralini hesaplamak için integrand, u : cos tanm yardmyla, cos 3 sin + cos u3 + u 1 + u olarak yeniden ifade edilirse cos 3 sin + cos olaca ndan hesaplama kolaylkla devam ettirilebilir. u u u cos cos + ( cos cos cos ) 5 + cos )
17 3.3 Di er Yöntemler Weierstrass dönü³ümü yardmyla tüm trigonometrik integraller bir rasyonel integrale dönü³türülerek hesaplanabilsede bu yöntem her zaman çok kullan³l olmayabilir. Örne in cos 3 I : 1 sin belirsiz integralinde Weierstrass dönü³ümü uygulanrsa cos 3 1 sin (1 y ) 3 (1 + y ) 3 (1 4y + y ) belirsiz integraline varlr. Bu son integral her ne kadar bir rasyonel integral olup hesaplanabilir olsa da uzun i³lemler gerektirir. Böyle durumlarda, a³a da ispatsz olarak verilecek teoremler yardmyla Weierstrass dönü³ümünden daha kolay sonuç veren baz dönü³ümler bulunabilir. Teorem 1 F (, y) rasyonel bir polinom ise öyle tek de i³kenli F 1 ve F rasyonel polinomlar vardr ki F (sin, cos ) F 1 (cos ) + sin F (cos ) (1) e³itli i sa lanr. Teorem 1 e göre F (sin, cos ) belirsiz integralini hesaplamak için F 1 (cos ) ve sin F (cos ) belirsiz integralleri hesaplanmaldr. kinci integral y : cos tanmlamasyla kolayca hesaplanabilir fakat birinci integralin hesaplanmas genellikle kolay de ildir. Bu tip belirsiz integraller için a³a da verilecek olan teoremler yardmyla bir dönü³üm tanmlanabilir. Sonuç Teorem 1 deki F rasyonel polinomu için e³itli i sa lanyorsa, (1) e³itli indeki F 1 terimi kaybolur ve e³itli i sa lanr. F ( sin, cos ) F (sin, cos ) () F (sin, cos ) sin F (cos ) Böylece Teorem 1 ve Sonuç ye göre F (sin, cos ) ³eklindeki rasyonel trigonometrik bir fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e er () e³itli i sa lanyorsa, y : cos dönü³ümü yaplabilir. Ayrca Teorem 1 de sin ile cos terimlerinin yerleri de i³tirilerek a³a daki sonuçlar da elde edilebilir. Teorem 3 F (, y) rasyonel bir polinom ise öyle tek de i³kenli F 3 ve F 4 rasyonel polinomlar vardr ki F (sin, cos ) F 3 (sin ) + cos F 4 (sin ) (3) e³itli i sa lanr. 17
18 Sonuç 4 Teorem 1 deki F rasyonel polinomu için e³itli i sa lanyorsa, (3) e³itli indeki F 3 terimi kaybolur ve e³itli i sa lanr. F (sin, cos ) F (sin, cos ) (4) F (sin, cos ) cos F 4 (sin ) Böylece Teorem 3 ve Sonuç 4 e göre F (sin, cos ) ³eklindeki rasyonel trigonometrik bir fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken, e er (4) e³itli i sa lanyorsa, y : sin dönü³ümü yaplabilir. E er () ve (4) e³itliklerinin her ikisi de sa lanyorsa y : cos ve y : sin dönü³ümlerinden herhangi biri yaplabilir. Ayrca yukarda verilenlere benzer ³ekilde görülebilir ki e er F (sin, cos ) fonksiyonu F ( sin, cos ) F (sin, cos ) (5) e³itli ini sa lyorsa ya da F (sin, cos ) F (tan ) veya F (sin, cos ) F (cot ) ³eklinde ise bu fonksiyonun belirsiz integrali hesaplanrken dönü³ümü kullanlabilir. Örnek 3 I : csc 3 cos dönü³ümü yaplabilir: Örnek 33 I : ³ümü yaplabilir: sin 3 y : tan belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç gere i y : sin 3 1 (1 y ) 3 (1 y ) 1 y (1 y) (1 + y) 1 [ 1 4 (1 y) y + 1 (1 + y) + 1 ] du 1 + y 1 ( ) 1 1 ln 1 y + ln 1 + y + C 4 1 y 1 + y 1 ( ) y 4 1 y ln 1 y 1 + y + C cos sin ln 1 cos 1 + sin + C. cos 3 1 sin belirsiz integralini hesaplamak için Sonuç 4 gere i y : sin dönü- cos 3 1 sin 1 y 1 y ( y ) 1 du 4 1 y y 4 + y 4 3 ln 1 y + C 8 sin + sin 3 ln 1 sin + C
19 Örnek 34 I : cos sin sin + cos belirsiz integralini hesaplamak için, integrand (5) e³itli ini sa - lad ndan, y : tan dönü³ümü yaplabilir. Bu durumda, sin y ve 1+y 1+y cos 1 olaca ndan 1+y 5 cos sin sin + cos y (y + )(1 + y ) y elde edilir ve i³lemlerin devam getirilebilir. y + 1 (1 + y ) y y Kimi zaman da bunlardan hiçbiri en kolay yöntem de ildir. Elemanter i³lemler ile beklenmedik kolaylkla sonuç alnabilen belirsiz integraller de vardr. Örnek 35 I : cos sin +cos belirsiz integrali Weierstrass dönü³ümü ile hesaplanabilir, ayrca (5) e³itli ini sa lad ndan dolay y : tan dönü³ümü de yaplabilir. Fakat daha kolay bir yöntem var. sin J : sin + cos olarak tanmlanrsa olur. Di er yandan I + J + C cos sin I J sin + cos y ln y + C ln sin + cos + C. oldu undan elde edilmi³ olur. (I + J) + (I J) + ln sin + cos + C Örnek 36 I : cos cos belirsiz integralini hesaplamak için sin J : cos integrali tanmlanrsa I J + C olur. Di er yandan y : sin dönü³ümüyle I + J cos cos cos 1 1 y olup, devam kolaylkla getirilebilir. 19
20 Örnek 37 n key bir pozitif sabit olmak üzere belirsiz integralinde : π I : π/ y dönü³ümü yaplrsa 0 sin n sin n + cos n oldu u görülür. Böylece elde edilir. π/ 0 sin n π/ sin n + cos n cos n y 0 sin n y + cos n y 4 KÖKLÜ FADELER π/ 4.1 Trigonometrik Dönü³ümler 0 sin n + cos n sin n + cos n π 4 Baz köklü ifadelerin integralleri hesaplanrken trigonometrik dönü³ümler denilen tan y, sin y ve sec y dönü³ümleri oldukça etkilidir. Örne in a + ifadesini içeren bir belirsiz integralde π/ y π/ olmak üzere a tan y dönü³ümü yaplrsa a sec y ve a + sec y sec y olacaktr. Dolaysyla ba³ka bir köklü ifade yoksa belirsiz integral kolayca hesaplanabilir bir biçime girmi³ olur. Örnek 38 I : 4+ belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere tan y dönü³ümü yaplrsa 4 + sec y ve sec y olaca ndan 4 + sec y ln sec y + tan y ln C elde edilir. Örnek 39 I : 1 + belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere tan y dönü³ümü yaplrsa 1 + sec y ve sec y olaca ndan 1 + sec 3 y belirsiz integraline varlr ve bu tip integraller daha önce Bölüm 3 de incelenmi³ti. Bu integral hesaplanp daha sonra y arctan yerine koymasyla sonuç elde edilir. a ifadesini içeren belirsiz integraller hesaplanrken π/ y π/ olmak üzere a sin y dönü³ümü faydal olabilir. Bu durumda a cos y ve a a cos y a cos y olur. Örnek 40 I : 9 belirsiz integralini hesaplamak için π/ y π/ olmak üzere 0
21 3 sin y dönü³ümü yaplrsa 9 sin y 3 cos y 9 3 cos y 9 sin y 1 cos y 9 9 ( ) sin y y + C 9 ( ) sin y cos y y + C ( 9 arcsin 3 ) 9 + C. 3 3 oldu u görülür. a ifadesini içeren belirsiz integraller hesaplanrken a sec y dönü³ümü yaplabilir. E er /a 1 ise 0 y π/ olaca ndan a a tan y a tan y a tan y olur. E er /a 1 ise π/ y π olaca ndan a a tan y a tan y a tan y olur. Ayrca her iki durumda da a sec y tan y olur. Örnek 41 I : belirsiz integralini hesaplamak için sec y dönü³ümü yaplrsa 1 sec y tan y olur. E er 1 ise 0 y π/ olup bu aralkta tan y > 0 olur, böylece sec y tan y ( 1 sec y ln sec y + tan y + C ln + ) tan y 1 + C olur. Benzer ³ekilde e er 1 ise π/ y π olaca ndan bu aralkta ( ln + ) 1 + C oldu u görülür. Ayrca her > 0 için gösterilebilir ki ( ln + ) ( 1 ln + ) 1 e³itli i sa lanr. Benzer i³lemlerle ( I : ± a ln + ) ± a + C oldu u da gösterilebilir. 4. a + b + c fadesini çeren Belirsiz ntegraller Bu tip integraller için önce baz özel durumlar ele alalm. Örne in a + b + c (6) belirsiz integrali, a + b + c ifadesi iki kare fark veya toplam haline getirilip trigonometrik dönü³ümler kullanlarak hesaplanabilir. Benzer yöntemle m + n (7) a + b + c 1
22 tipindeki integraller de hesaplanabilir. Bunun için kesrin paynda a + b ye e³it olan bir toplam ayrlrsa (6) tipinde bir integral elde edilir. Ayrca (m + n) (8) a + b + c belirsiz integralinde m + n 1 y dönü³ümü yaplrsa (7) tipinde bir integral elde edilir. E er P n () n. dereceden bir polinom ise P n () (9) a + b + c belirsiz integralinin hesab için, do rulu u kolaylkla gösterilebilen (her iki tarafn türevi alnarak) P n () a + b + c Q n 1() a + b + c + λ a + b + c özde³ili i kullanlarak (6) tipinde bir integral elde edilir. Burada Q n 1 () ile n 1. dereceden bir polinom ve λ ile de bir sabit belirtilmektedir. Her iki tarafn türevi alnarak bilinmeyen sabit katsaylar belirlenebilir. Ayrca e er r N ise (m + n) r (10) a + b + c tipindeki integraller hesaplanrken m + n 1 y dönü³ümü yaplrsa (9) tipinde bir integral elde edilir. Bu özel durumlar d³nda genel olarak bir F (, a + b + c) belirsiz integrali a³a daki dönü³ümler yardmyla rasyonel fonksiyonlarn integraline dönü³türülebilir: (i) a > 0 ise a + b + c y + a (ii) c > 0 ise a + b + c y + c (veya y a), (veya y c), (iii) b 4ac > 0 ise a + b + c y( 1 ). (Burada 1 ile a + b + c polinomunun herhangi bir kökü gösterilmektedir.) Bu dönü³ümlere Euler dönü³ümleri denir. Herhangi bir a +b+c polinomu için a > 0, c > 0 ve b 4ac > 0 durumlarndan en az biri do rudur. Bu nedenle F (, a + b + c) tipindeki her belirsiz integral bu dönü³ümler yardmyla hesaplanabilir. Örnek 4 I : belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: ( + 3 ) ( 5 ) 1 y ( 5 ) 1 ln 5 y + y ( ) + C 1 ln C.
23 Örnek 43 I : ++3 belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: ( 1) 4 y arcsin y + C arcsin 1 + C. Örnek 44 I : 3+ belirsiz integrali a³a daki gibi hesaplanabilir: ( + 3) y ( 3 ) ln C. Örnek 45 I : +1 belirsiz integralini hesaplamak için (a + b) λ yazlp her iki tarafn türevi alnrsa + 1 a( + + 3) + (a + b)( + 1) + λ özde³li i elde edilir. Buradan da a 1/, b 5/ ve λ bulunup elde edilir. Örnek 46 I : yaplrsa ln elde edilir. Buradan da + C (+1) 3 ++ belirsiz integralini hesaplamak için y dönü³ümü ( + 1) y y + 1 (ay + b) y λ y y + 1 y + 1 e³itli inin türevi alnrak y a(y + 1) + (ay + b)y + λ 3
24 özde³li i elde edilir. a 1/, b 0 ve λ 1/ oldu undan y ( + 1) y y y y y y y ln + y C + + ( + 1) + 1 ln C elde edilir. Örnek 47 I : + belirsiz integralinde hem a > 0 hem de c > 0 ko³ulu sa lanr y dönü³ümü yaplrsa ( ) y 1 + y 5y + belirsiz integraline, y 1 dönü³ümü yaplrsa da y y y 4 + 3y 3 + y 3y belirsiz integraline varlr, her iki integral de hesaplanabilir. 4.3 Genel Durum Genel olarak m do al says için bir I : belirsiz integralinde dönü³ümü yaplrsa ( ) a + b F, m c + d a + b c + d ym m b a cy m ve dmym 1 (a cy m ) + cmy m 1 ( m b) (a cy m ) olaca ndan rasyonel bir belirsiz integrale varlr. E er ayn ifadenin farkl dereceden kökleri varsa, bu derecelerin en küçük ortak katlar q olmak üzere dönü³ümü ile yine rasyonel bir integrale varlr. a + b c + d yq Örnek 48 I : 1+ 3 belirsiz integralini hesaplamak için dönü³ümü yaplrsa y : y y ve 8y (1 + y ) 4
25 olaca ndan y ( (1 + y ) y elde edilir, bu integrallerin nasl hesapland daha önceden biliniyor. Örnek 49 I : belirsiz integralinde +1 y ) (1 + y ) dönü³ümü yaplrsa y y y 5 (y 1) y 3 + y 6y5 6 y + 1 rasyonel integraline varlr, bu integral kolaylkla hesaplanabilir. 5 KISM NTEGRASYON f ve g fonksiyonlar integrallenebilir ise (fg) f g + fg e³itli inden hareketle f()g () f()g() g()f () e³itli i elde edilir. Bu e³itlikte u : f() ve v : g() tanmlar yaplrsa u()dv u()v() v()du ya da daha ksa bir yazm ile udv uv vdu e³itli i elde edilir ve bu e³itli e ksmi integrasyon formülü denir. Bu yöntem özellikle logaritmik, ters trigonometrik, polinom, trigonometrik ve üstel fonksiyonlarn çarpm durumunda bulundu u integrallerin hesabnda kullan³ldr. Örnek 50 I : e belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du ve v e e e e e e + C Örnek 51 I : e belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 50 de kullanlan yöntem arka arkaya iki defa kullanlrsa e ( + )e + C olarak bulunur. 5
26 Örnek 5 I : sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için tanmlamalar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. u : ve sin : dv du ve v cos sin cos + cos cos + sin + C Örnek 53 I : 3 cos belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için Örnek 5 de kullanlan yöntem arka arkaya üç defa kullanlrsa 3 cos 3 sin + 3 cos 6 sin 6 cos + c olarak bulunur. Örnek 54 I : e sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : sin ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan du cos ve v e e sin e cos elde edilir. Buradaki integralde tekrar u : cos ve e : dv tanmlar altnda ksmi integrasyon uygulanrsa e sin (e cos + I) + C elde edilir. Böylece e (sin cos ) + C elde edilmi³ olur. Örnek 55 I : e sin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : sin ve e : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan e sin du sin cos ve v e e sin cos e sin e sin elde edilir. Bu son integral de önceki örneklerdeki gibi kolayca hesaplanabilir. 6
27 Örnek 56 I : ln belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ln ve : dv tanmlar yaplrsa du ve v olaca ndan ln ln ln + C olarak bulunur. Örnek 57 I : ln belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : ln ve : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du ve ln ln 1 v ln 4 + C Örnek 58 I : arcsin belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : arcsin ve : dv tanmlar yaplrsa du 1 ve v olaca ndan olarak bulunur. arcsin arcsin C Örnek 59 I : arctan belirsiz integralini ksmi integrasyonla hesaplamak için u : arctan ve : dv tanmlar yaplrsa olaca ndan olarak bulunur. du 1 + ve v arctan arctan 1 ln(1 + ) + C 7
28 6 ND RGEME BA INTILARI Kimi belirsiz integralleri hesaplamak için benzer i³lemleri arka arkaya birkaç kez tekrarlamak gerekebilir. Örne in baz hesaplamalarda ksmi integrasyon i³lemi sklkla tekrar edilir. Bu tekrarlanan i³lemler indirgeme formülleri denilen ba ntlar elde etmemizi sa lar, elde edilen bu ba ntlar yardmyla tümevarmla integraller hesaplanabilir. Bu yöntemi örnekler üzerinde açklayalm. Örnek 60 Pozitif bir n do al says için I n : sin n belirsiz integralini ele alalm. u : sin n 1 ve dv : sin tanmlar ile ksmi integrasyon yöntemi kullanlrsa du (n 1) sin n cos ve v cos olaca ndan I n sin n sin n 1 sin cos sin n 1 + (n 1) cos sin n 1 + (n 1) cos sin n 1 + (n 1) sin n cos sin n (1 sin ) sin n (n 1) sin n cos sin n 1 + (n 1)I n (n 1)I n elde edilir. Buradan da I n 1 [ cos sin n 1 ] + (n 1)I n n indirgeme formülü elde edilmi³ olur. n 0 ve n 1 için I n bilindi i için bu indirgeme ba nts yardmyla her n says için I n hesaplanabilir. Örne in I 4 sin 4 belirsiz integrali sin 4 I [ cos sin 3 + 3I ] [ cos sin ] ( cos sin + I 0) olarak elde edilir. Benzer i³lemlerle belirsiz integrali için J n 1 n indirgeme formülü de elde edilebilir. 1 4 sin3 cos 3 8 sin cos C J n : cos n [ sin cos n 1 + (n 1)J n ] 8
29 Örnek 61 Pozitif bir n do al says için I n : csc n belirsiz integralini ele alalm. tanmlaryla ksmi integrasyon uygulanrsa u : csc n ve dv : csc du : (n ) csc n cot ve v : cot olaca ndan I n csc n csc n cot (n ) csc n cot (n ) csc n cot (n ) csc n cot csc n (csc 1) csc n + (n ) csc n csc n cot (n )I n + (n )I n elde edilir. Böylece I n 1 [ (n )In csc n cot ] n 1 indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Benzer i³lemlerle J n : sec n belirsiz integrali için J n 1 [ (n )In + sec n tan ] n 1 indirgeme formülü elde edilebilir. Örnek 6 n pozitif bir do al say olmak üzere I n : (ln ) n belirsiz integrali için bir indirgeme formülü elde etmek için u : (ln ) n ve dv : tanmlar yaplrsa olup ksmi integrasyon ile du : n(ln )n 1 ve v : (ln ) n (ln ) n n (ln ) n 1 elde edilir. Böylece indirgeme formülü bulunmu³ olur. I n (ln ) n ni n 1 9
30 Örnek 63 Pozitif n do al says için I n : n a + b biçimine sahip bir belirsiz integrali ele alalm. u : n ve dv : a + b tanmlar ile du : n n 1 ve v : (a + b)3/ 3b oldu undan I n elde edilir. Böylece n a + b 3b (a + b)3/ n n 3b 3b (a + b)3/ n n 3b 3b (a + b)3/ n an 3b 3b (a + b)3/ n an 3b I n 1 n 3 I n I n indirgeme formülü bulunmu³ olur. (a + b) 3/ n 1 (a + b)(a + b) 1/ n 1 (a + b) 1/ n 1 n (a + b) 1/ n 3 b(n + 3) (a + b)3/ n an b(n + 3) I n 1 Örnek 64 Daha önce Bölüm de bir de i³ken de i³imi ile I n : (1 + ) n belirsiz integrali baz n de erleri için hesaplanm³t. imdi bu belirsiz integral için bir indirgeme formülü elde edelim. 1 u : (1 + ) n ve dv : tanmlar yaplrsa olaca ndan I n du : (1 + ) n n (1 + ve v : ) n+1 (1 + ) n + n (1 + ) (1 + (1 + ) n + n ) 1 (1 + ) (1 + ) n + n (1 + ) n + ni n ni n+1 n+1 n+1 (1 + ) n n (1 + ) n+1 elde edilir. Böylece I n+1 1 [ ] n (1 + ) n + (n 1)I n 30
31 indirgeme formülü elde edilmi³ olur. Bu formül ve I 1 arctan + C bilgisi ile bu integral her pozitif n do al says için hesaplanabilir. Örne in 3 (1 + I 3 1 [ ] ) 4 (1 + ) + 3I 1 [ 4 (1 + ) + 3 ( )] I (1 + ) arctan + C olarak bulunur. 31
BÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıÇarpm ve Bölüm Uzaylar
1 Ksm I Çarpm ve Bölüm Uzaylar ÇARPIM UZAYLARI 1 ÇARPIM TOPOLOJ S 2 KARMA P R O B E M L E R 1. A ile B, srasyla, (X, T )X ile (Y, S ) topolojik uzaylarnn birer alt-kümesi olsunlar. (a) (A B) = A B (b)
DetaylıMC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER
MC 311/ANAL Z III ARA SINAV I ÇÖZÜMLER (1) A³a daki her bir önermenin do ru mu yanl³ m oldu unu belirleyiniz. Do ruysa, gerekçe gösteriniz; yanl³sa, bir kar³-örnek veriniz. (a) (a n ) n N dizisi yaknsak
DetaylıARA SINAV II. (1) (x k ) k N, R n içinde yaknsak ve limiti x olan bir dizi olsun. {x} = oldu unu gösteriniz.
MC 411/ANAL Z IV ARA SINAV II ÇÖZÜMLER 1 x k k N, R n içinde yaknsak iti x olan bir dizi olsun. {x} = {x m m k} k=1 Çözüm. Her k N için A k := {x m m k} olsun. x k k N dizisinin iti x oldu undan, A k =
DetaylıÇ NDEK LER. Bölüm 4: Üslü Say lar...44 Üslü fadeler...44 Al t rmalar...47 Test Sorular...49
Ç NDEK LER Bölüm1: Say Sistemleri...1 Say Sistemi...2 Desimal (Onluk) Say Sistemi...2 Say Basamaklar ve Taban...4 Binary ( kilik) Say Sistemi...4 Oktal (Sekizlik) Say Sistemi...7 Heksadesimal (Onalt l
DetaylıB A. A = B [(A B) (B A)] (2)
Bölüm 5 KÜMELER CEB R Do a olaylarnn ya da sosyal olaylarn açklanmas için, bazan, matematiksel modelleme yaplr. Bunu yapmak demek, incelenecek olaya etki eden etmenleri içine alan matematiksel formülleri
DetaylıBelirsiz Integraller. 1.1 Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral. 1.1.1 Temel Tan mlar ve Sonuc. lar
Ic. indekiler Belirsiz Integraller 3. Ilkel Fonksiyon ve Belirsiz Integral................ 3.. Temel Tan mlar ve Sonuc.lar............... 3. Temel Integral Alma Yöntemleri................ 0.. De giṣken
Detaylı19.8. PROBLEMLER 0.1 PROBLEMLER 0.1. PROBLEMLER a herhangi bir nicelik says ise
0.1. PROBLEMLER 1 19.8. PROBLEMLER // 0.1 PROBLEMLER // 1. a herhangi bir nicelik says ise (i) a + 0 = a, a0 = 0, a 0 = 1 oldu unu gösteriniz. A³a daki kümelerin e³güçlülü ünden nicelik saylar için istenen
DetaylıS = {T Y, X S T T, S S} (9.1)
Bölüm 9 ÇARPIM UZAYLARI 9.1 ÇARPIM TOPOLOJ S Bo³ olmayan kümelerden olu³an bo³ olmayan bir ailenin kartezyen çarpmnn da bo³ olmad n, Seçme Aksiyomu [13],[20], [8] ile kabul ediyoruz. imdi verilen aileye
Detaylıf 1 (H ) T f 1 (H ) = T
Bölüm 15 TIKIZLIK 15.1 TIKIZ UZAYLAR 15.1.1 Problemler 1. Her sonlu topolojik uzay tkzdr. 2. Ayrk bir topolojik uzayn tkz olmas için gerekli ve yeterli ko³ul sonlu olmasdr. 3. Ayn bir küme üzerinde S T
DetaylıPOL NOMLAR. Polinomlar
POL NOMLAR ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN TE 1. ÜN T POL NOMLAR Polinomlar 1. Kazan m: Gerçek kat say l ve tek de i kenli polinom kavram n örneklerle aç klar, polinomun derecesini, ba kat say s n, sabit
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıBÖLÜM 1. Matematiksel ndüksiyon Prensibi
BÖLÜM 1 Matematiksel ndüksiyon Prensibi Matematiksel indüksiyon prensibini kullanarak a³a daki e³it(siz)liklerin her n N için gerçeklendi ini ispatlaynz. 1. 1 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1) 6 2.
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.
MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
26.11.2013 No: Ad-Soyad: mza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Toplam Puanlama 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 105 Alnan Puan 405024142006.1 CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI SORULARI (ÖRGÜN Ö
Detaylı18.702 Cebir II 2008 Bahar
MIT Açk Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.702 Cebir II 2008 Bahar Bu materyallerden alnt yapmak veya Kullanm artlar hakknda bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıIçindekiler. Karşk Örnekler 87. TÜBITAK SORULARI (Fonksiyonlar) 55 ULUSAL ANTALYA MATEMATIK OLIMPIYATI SORULARI 64
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Fonksiyonlar Bagnt Fonksiyon 2 Fonksiyonel Denklemlere Giriş 4 Fonksiyonun Gragi 7 Fonksiyon Çeşitleri 8 Bir Fonksiyonun Tersi 20 Bileşke Fonksiyon 23 Tek ve Çift Fonksiyon 25
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
Detaylı(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
DetaylıA = i I{B i : B i S} A = x A{B x A : B x S}
Bölüm 4 TOPOLOJ TABANI 4.1 TOPOLOJ TABANI Tanm 4.1.1. Bir S P(X) ailesi verilsin. S ye ait kümelerin her hangi bir bile³imine e³it olan bütün kümelerin olu³turdu u aileye S nin üretti i (do urdu u) aile
DetaylıSOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç
SOYUT MATEMAT K DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Hüseyin B LG Ç Kahramanmara³ Sütçü mam Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Eylül 2010 çindekiler 1 Önermeler ve spat Yöntemleri 1 2 Kümeler 13
Detaylıx = [x] = [x] β = {y (x,y) β} (8.5) X = {x x X}. x,y X [(x = y) (x y = )]. b(b [x]) b [y] [x] [y] (8.8)
Bölüm 8 DENKL K BA INTILARI 8.1 DENKL K BA INTISI 8.1.1 E³itlik Kavramnn Genelle³mesi Matematikte ve ba³ka bilim dallarnda, birbirlerine e³it olmayan, ama e³itli e benzer niteliklere sahip nesnelerle sk
Detaylıkili ve Çoklu Kar³la³trmalar
kili ve Çoklu Kar³la³trmalar Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ 2 3 4 5 6 7 Bu bölümde, (2.1) modelinde, H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ a = µ (1) ³eklinde ifade edilen sfr hipotezinin reddedilmesi durumunda,
Detaylı(i) (0,2], (ii) (0,1], (iii) [1,2), (iv) (1,2]
Bölüm 5 KOM ULUKLAR 5.1 KOM ULUKLAR Tanm 5.1.1. (X, T ) bir topolojik uzay ve A ile N kümeleri X uzaynn iki alt-kümesi olsun. E er A T N olacak ³ekilde her hangi bir T T varsa, N kümesine A nn bir kom³ulu
DetaylıSORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
DetaylıL SANS YERLE T RME SINAVI 1
LSANS YERLETRME SINAVI MATEMATK TEST SORU KTAPÇII 9 HAZRAN 00. ( )( + ) + ( )( ) = 0 eitliini salayan gerçel saylarnn toplam kaçtr?. ( )( ) < 0 eitsizliinin gerçel saylardaki çözüm kümesi aadaki açk aralklarn
Detaylıe e ex α := e α α +1,
s t a n b u l K ü l t ü r Ü n i v e r s i t e s i Matematik - Bilgisayar Bölümü MC 886 ntegral Denklemler... Yßliçi Sßnavß CEVAPLAR Talimatlar: Sßnav süresi 9 dakikadßr. lk dakika sßnav salonunu terk etmeyiniz.
Detaylıf( F) f(f) K = K F f 1 f( F) f 1 (K) = F F f 1 (S ) = [f 1 (S)] f(x) S V
Bölüm 6 SÜREKL FONKS YONLAR 6.1 YEREL SÜREKL L K Tanm 6.1.1. (X, T ) ve (Y, S) topolojik uzaylar ile f : X Y fonksiyonu verilsin. E er f(x 0 ) ö esinin her V kom³ulu una kar³lk f(u) V olacak ³ekilde x
DetaylıSoyut Matematik Test A
1 Soyut Matematik Test A 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. Her hangi bir A kümeler ailesi üzerinde
DetaylıA = i IA i = i I A = A = i IA i = {x α((α I) (x A α ))} (7.7) A = (α,β I) (α β) A α A β = (7.8) A A
Bölüm 7 KÜME A LELER 7.1 DAMGALANMI KÜMELER E er inceledi imiz kümelerin says, alfabenin harerinden daha çok de ilse, onlara,b,...,w gibi harerle temsil edebiliriz. E er elimizde albenin harerinden daha
DetaylıOPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler
BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)
TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.
DetaylıBir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm)
Bir-Yönlü ANOVA (Tamamen Rasgele Tasarm) Birdal eno lu ükrü Acta³ çindekiler 1 Giri³ Giri³ 2 3 4 LS Tahmin Edicilerinin Özellikleri 5 Genel Kareler Toplamnn Parçalan³ ndirgenmi³ Model-Tam Model Yakla³m
DetaylıP = {x A (y A y x) f(y) x} (22.6) M p = {m A m p f(p) m} (22.8)
Bölüm 22 SEÇME AKS YOMU SEÇME AKS YOMU VE E DE ERLER 22.1 G R Bir X kümesi dü³ünelim. Bu küme ya bo³tur ya de ildir. De ilse, X kümesine ait bir ö e seçilebilir. imdi ba³ka bir Y kümesi daha dü³ünelim.
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
DetaylıSoyut Matematik Test B
1 Soyut Matematik Test B 1. Hangisi tümel (tam, linear) sralama ba ntsdr? (a) Yansmal, antisimetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (b) Yansmal, simetrik, geçi³ken ve örgün olan ba ntdr. (c) Yansmaz,
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıBİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
DetaylıXIV. Ulusal Antalya Matematk Olmpyat Brnc A³ama Snav Sorular -2009
XIV. Ulusal ntalya Matematk Olmpyat rnc ³ama Snav Sorular -009 c www.sbelian.wordpress.com sbelianwordpress@gmail.com Soru 1. dar açl üçgeninde m() = 45 'dir. 'dan 'ye indirilmi³ dikmenin aya E ve 'den
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.
04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
Detaylıç- çe Tasarmlar Birdal eno lu ükrü Acta³ eno lu & Acta³ statistiksel Deney Tasarm Giri³ ki A³amal ç- çe Üç A³amal ç- çe l A³amal ç- çe
lar Birdal eno lu ükrü çindekiler 1 2 3 4 5 A³amal tasarmlar (hierarchical designs) olarak da bilinen iç-içe tasarmlarda (nested designs), ³u ana kadar gördü ümüz tasarmlardan farkl olarak iki veya ikiden
Detaylımat 103. Çal şma Sorular 1
mat 0. Çal şma Sorular. FONKS IYONLA. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() 4 jj (b) f() jj (c) f() 4 jj (ç) f() j j (d) f() j j (e) f() j j (f) f() j j. Aşa¼g daki
Detaylındrgemel Dzler Ders Notlar
ndrgemel Dzler Ders Notlar c wwww.sbelian.wordpress.com Bu ders notunda diziler konusunun bir alt konusu olan First Order Recursions ve Second Order Recursions konular anlatlm³ ve bu konularla alakal örnekler
DetaylıBir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP. Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 3 7! Sabit Nokta ve Fonksiyonel Yineleme 1 / 23 Sabit Nokta
Detaylı3 1 x 2 ( ) 2 = E) f( x) ... Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln göstermek üzere, sigortal saysnn
SORU : Aada tanm verilen f fonksiyonlarndan hangisi denklemini her R için salar? f + = f t dt integral e A) f = e B) f = e C) f D) f = E) f = e ( ) = e ( ) SORU : Bir sigorta portföyünde, t poliçe yln
Detaylı0 = ρ(x,x) ρ(x,y)+ρ(y,x) = 2ρ(x,y) 0, x = y δ(x,y) = κ(z 1,z 2 ) = z 1 z 2, (z 1,z 2 C) (17.27)
230 BÖLÜM 17. METR K UZAYLAR 17.2 METR K METR K UZAY KAVRAMI Normlanm³ bir uzay, her³eyden önce bir vektör uzaydr, yani (X, ) normlanm³ bir uzay ise, X kümesi üzerinde bir vektör uzay yaps vardr. Oysa,
DetaylıY = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
DetaylıMATEMAT K 6 ÜN TE II NTEGRAL
ÜN TE II NTEGRAL ntegralin tan m ntegral alma yöntemleri Basit fonksiyonlar n integralleri Rasyonel ifadelerin integrali Trigonometrik de iflken de ifltirme E ri alt nda kalan bölgenin alan Belirli integral
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
Detaylı4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.
BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ
ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı
Detaylı(sf) F C = [(s,f) sf] x [0,1] = (sf)(x) = sf(x)
Bölüm 13 MATEMAT KSEL YAPILAR 13.1 YAPI KAVRAMI Ça da³ Matematik kümeleri, kümeler üzerindeki yaplar, yaplar arasndaki dönü³ümleri inceler. Buraya dek ö e, küme, i³lem, fonksiyon kavramlarn kullandk. Bunlar
DetaylıLimit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti
Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa,
DetaylıDO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular. (n + 1) n n n + 1 = n(n + 1)
DO U ÜN VERS TES 9.Liseleraras Matematik Yar³mas Sorular 1 1) a n = (n + 1) n + n n + 1 olmak üzere, a 1 + a + a 3 +... + a 99 toplamn bulunuz. 9 evap: 10 a n = (n + 1) n n n + 1 n(n + 1) n (n + 1) oldu
DetaylıSoyut Matematik Test 01
1 Soyut Matematik Test 01 1. A³a dakilerden hangisi do rudur? (a) * A B C(C B) A C) (b) A B C(C B) A C) (c) A B C(B C) A C) (d) A B C(B C) A C) (e) A B C(B C) (A C) 2. A³a dakilerden hangisi do rudur?
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıIçindekiler. Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22
Içindekiler BIRINCI BÖLÜM Bölünebilme ve Bölme Algoritmas Bölme Algoritmas 12 Bölünebilme Kurallar 15 Bölünebilme Problemlerinde En Çok Kullanlan Yöntemler 22 Çözümlü Test 25 Çözümler 28 Problemler (Bölünebilme)
DetaylıSoru Toplam Puanlama Alnan Puan
..04 No: Ad-Soyad: mza: Soru.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 0 0 0 5 0 0 0 0 00 Alnan Puan 04043006. CEB RSEL TOPOLOJ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI ( K NC Ö RET M) Not: Süre 90 Dakika. stedi iniz 7 soruyu
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
Detaylı[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1
..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıFath Ünverstes Matematk Olmpyatlar
Fath Ünverstes Matematk Olmpyatlar - 007 www.sbelian.wordpress.com Fatih Üniversitesi Matematik Bölümü tarafndan ilki düzenlenen Liseleraras Matematik Olimpiyat'nn ilk snav 0 Ekim 007 tarihinde üniversite
Detaylı6 Devirli Kodlar. 6.1 Temel Tan mlar
6 Devirli Kodlar 6.1 Temel Tan mlar Tan m S F n q için e¼ger (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n 1 ) 2 S iken (a n 1 ; a 1 ; : : : ; a n 2 ) 2 S oluyorsa S kümesine devirli denir. E¼ger bir C do¼grusal kodu devirli
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıTOPOLOJ TEST A. 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir?
1 TOPOLOJ TEST A 1. A³a dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de ildir? (a) Açk kümeleri belirleme (b) Kapal kümeleri belirleme (c) Alt-kümeleri belirleme (d) Kaplamlar belirleme (e) çlemleri belirleme
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıÇözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri
Bölüm 5 Çözümlü Limit Süreklilik Problemleri. 2 fonksiyonunun tanım bölgesini = noktasındaki itini bulunuz. Paydanın 0 değerini aldığı = noktasında fonksiyon tanımlı değldir. Tanım bölgesini T (f ) ile
DetaylıEEM 202 DENEY 5 SERİ RL DEVRESİ
SERİ RL DEVRESİ 5.1 Amaçlar i, v, v R ve v L için RMS değerlerini hesaplama Seri RL devresinde voltaj ve empedans üçgenlerini tanımlama Seri RL devresinin empdansının kazanç ve faz karakteristiklerini
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıPROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S
PROJE RAPORU TANJANT Q_MATR S 1 Ç NDEK LER Ç NDEK LER çindekiler 1 G R 3 1.1 Projenin Amac............................ 3 YÖNTEM 3.1 Fibonacci Saylar........................... 3. Altn Oran ve Altn Matris.....................
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıÖrnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.
MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden
DetaylıPolinomlar. Polinom Kavram
1 2 Bölüm 1 Polinomlar Polinom Kavram Polinomlar, yalnz Matematikte de il, ba³ka bilim dallarnda da kar- ³la³lan bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtr. Polinom kavram, farkl soyut biçimleriyle
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Matematik ünyas, 2005 Yaz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar 1. Maliyeti üzerinden yüzde 25 kârla sat lan bir mal n sat fl fiyat ndan yüzde onluk bir
DetaylıFizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır
Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıFEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z)
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,
DetaylıTANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere,
MATEMAT K TANIM : a, a, a, a,..., a R ve n N olmak üzere, 0 1 2 3 n P(x) = a x n a x n 1... a x 3 a x 2 a x n n 1 3 2 1 a ifadesine reel katsay l POL NOM denir. 0 a, a, a,..., a say lar na KATSAYILAR,
Detaylı1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
Detaylı