İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ
Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında genel bilgiler vermektedir. Yapılan araştırmalardan elde edilen verilere ait dağılımın şeklinin ve dağılım fonksiyonunun ampirik olarak belirlenmesi kolay değildir. Bu nedenle, verilerin özelliklerine göre uygunluk gösterecekleri bazı anakütle dağılımları teorik olarak geliştirilmiştir. Bazı önemli anakütle dağılımları: Kesikli Kesikli düzgün dağılım Bernoulli dağılımı Binom dağılımı Poisson dağılımı Hipergeometrik dağılım Negatif binom dağılımı...... Sürekli Sürekli düzgün dağılım Normal dağılım Üstel dağılım Lognormal dağılım Gamma dağılımı Ki-kare dağılımı......
Binom Dağılımı Kesikli dağılımların en yaygın kullanılanıdır. Atılan bir paranın yazı veya tura gelmesi, Montajdaki parçanın toleransa uygunluğu ve uygunsuzluğu öğrencinin bir dersten başarılı veya başarısız olması gibi iki sonuçlu olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır. Binom dağılımına uyması için aşağıdaki şartları sağlaması gerekir: Deneme belirli sayıda (n) tekrarlanır. Her deneyin başarılı ve başarısız olmak üzere iki sonucu vardır. Deneyler birbirinden bağımsızdır. Başarı olasılığı (p) ve başarısızlık olasılığı q=1-p dir. n deneyde elde edilen başarılı sonuçlar x değişkenine atanır.
Binom Dağılımı Binom dağılımın olasılık fonksiyonu: Binom dağılımının ortalaması ve varyansı ise aşağıdaki formüllerle hesaplanır.
Binom Dağılımı Örnek 1: a)10 yazı/tura atmada 4 yazı gelme olasılığını hesaplayınız b)bir zarın 20 kez atılması durumunda tam 12 kez altı gelme olasılığını hesaplayınız. Örnek 1 ÇÖZÜM: a) Binom dağılımın uygun olduğu rastgele olaylarda başarılı ve başarısız olarak iki durumun olduğu olaylarla ilgilenildiğinden: başarılı: yazı gelmesi (p=0.5) başarısız: yazı gelmemesi (q=0.5) Olarak tanımlama yapılabilir. n=10;x=4 olduğundan istenilen olasılık:
Binom Dağılımı Örnek 1 ÇÖZÜM: b) başarılı: 6 gelmesi (p=1/6) başarısız: yazı gelmemesi (q=5/6) Olarak tanımlama yapılabilir. n=20;x=12 olduğundan istenilen olasılık:
Poisson Dağılımı İlgilenilen zaman aralığı, uzunluk veya hacimde sık sık karşılaşılmayan olayların özel durumları için geliştirilen dağılımdır. Örneğin: belirli bir trafik noktasında meydana gelen trafik kazası sayısı, 1 m 2 kumaştaki kusur sayısı, 1 cm 3 kandaki anormal hücre sayısı,...vb sayılabilir. Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu aşağıda verilmiştir. 2 np olarak ifade edildiğinden dağılımın tek parametresi olduğu söylenebilir.
Poisson Dağılımı Örnek 2: Bir sınıftaki öğrenciler üzerine yapılan bir araştırmada dersi dinlemeyen öğrenci sayısının ortalama olarak 3 kişi olduğu belirlenmiştir. Herhangi bir derste; a) En az bir kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız. b) En fazla iki kişinin dersi dinlememesi olasılığını hesaplayınız Örnek 2 Çözüm: Dersi dinlememek nadiren karşılaşılan bir olay! olduğu için poisson dağılımı kullanılmalıdır. np 3 olup bu olaya ait poisson olasılık fonksiyonu : P( X) e 3 X 3. X!
Sürekli Rastgele Değişken Dağılım En sık kullanılan sürekli rastgele değişkenlere ait Sürekli Sürekli düzgün dağılım Normal dağılım Üstel dağılım Lognormal dağılım Gamma dağılımı Ki-kare dağılımı......
Düzgün (Üniform) Dağılım X sürekli rastgele değişken belirli bir aralıktaki her değerinin meydana gelme olasılığı eşit ise bu rastgele değişkenin dağılım düzgün (Ünifrom) dağılımdır. Ünifrom dağılıma ait olasılık fonksiyonu:
Düzgün (Üniform) Dağılım Örnek 3 : Süper marketteki kasaya 30 dakikalık periyotta bir müşteri gelmiştir. Bu müşterinin son 5 dakikada gelmiş olma ihtimalini hesaplayınız. Örnek 3 ÇÖZÜM : Olasılık yoğunluk fonksiyonu:
Düzgün (Üniform) Dağılım ÜNİFORM DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI [a, b] aralığında üniform dağılmış rasgele değişkenin bu aralık içerindeki herhangi bir x değerini alma ihtimali unifcdf komutu ile hesaplanır. Örneğin bir önceki örnek aşağıda verilen MATLAB komutu yardımıyla kolaylıkla hesaplanabilir: prob=unifcdf(5,0,30)
Normal Dağılım Sürekli olasılık dağılımlarının en önemlisi ve en çok kullanılanı normal dağılımdır. Normal dağılıma, bu dağılımı geliştiren kişilerin isimlerine atfen Gauss-Laplace dağılımı, Eğrinin biçimine izafeten de çan eğrisi de denilmektedir. Evrendeki birçok olay normal dağılıma uygunluk gösterdiğinden yapılan araştırmalarda elde edilen verilerin değerlendirilmesinde çok yaygın olarak kullanılmaktadır.
Normal Dağılım Normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu Normal yoğunluk fonksiyonu iki parametreye sahiptir: ortalama standart sapma Normal dağılım fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu grafiksel olarak aşağıda verilmiştir.
Normal Dağılım Ortalama ve Standart sapma değerlerine bağlı olarak Normal dağılımın yeri ve biçimi değişmektedir. Örneğin: Aşağıda şekilleri verilen A, B ve C normal dağılmış rastgele değişkenler arasında:
Normal Dağılım Normal dağılımın süreklilik özelliğinden dolayı X rastgele değişkeninin sadece belirli bir aralıkta değer alması söz konusudur. İlgilenilen aralıkta değer alma olasılığı, olasılık yoğunluk fonksiyonunun entegrali ile elde edilir. Örneğin: P( a X b) olasılığını hesaplamak için işlemi yapılmalıdır. Görüleceği üzere oldukça fazla işlem yükü gelmektedir. İşlem yükünü azaltmak için bu dağılım yerine geliştirilen standart normal dağılım kullanılmaktadır. X rastgele değişkeni normal dağılıyorsa aşağıdaki şeklinde gösterilir: X ~ N( ; 2 ).
Standart Normal Dağılım X normal değişkeni sonsuz değer alabileceğinden nümerik olarak çözüm elde edilebilmesi için normal dağılmış rastgele fonksiyon standart normal dağılmış rastgele değişkene dönüştürülür: Standart normal dağılım: ortalaması 0 ve varyansı 1 olacak şekilde dönüşüm yapılır: Bu ifade normal rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonun yazılırsa standart normal değişkene ait olasılık yoğunluk fonksiyonu elde edilir: belirli entegraline eşit olur.
Standart Normal Dağılım Dağılımın genel özellikleri dikkate alınarak standart normal değişken (Z) için integralleri hesaplanarak standart normal dağılımla ilgili tablolar hazırlanmıştır.
Standart Normal Dağılım Z tablosu olarak adlandırılan bu tablolar farklı şekillerde düzenlenmektedir. Bu ders kapsamında kullanılacak olan tablo P(Z > z0) olasılığını vermektedir. Verilen tablo yardımıyla normal dağılıma ait her türlü olasılık hesaplanabilmektedir. Ayrıca, dağılım simetrik olup dağılımın tepe noktasının yatay ekseni kestiği noktanın koordinatı sıfırdır (dağılımın ortalamasıdır) ve eğri altında kalan alanın değeri 1 e eşittir. Dağılım simetrik olduğu için P(Z > 0) = P(Z < 0)= 0.5 dir. Bu nedenle, ortalamanın sağında kalan kısmı tablolarda verilmekte, diğer yarısının aynı olduğu bilinmektedir.
Standart Normal Dağılım İstenen X rastgele değişkeninin belirli aralıkta değer alma olasılığını hesaplamak için izlenecek yaklaşımlar şöyle özetlenebilir: 1. Verilen a < X < b aralığı m < Z < n aralığına dönüştürülür. Yani, Bu amaçla Z X dönüşümü kullanılır. 2. Karşı gelen P(m<Z<n) değeri tablo yardımıyla belirlenir. Öyle ise P(A<X>b): hesaplanır.
Olasılık Tabloların okunuşu Z tablosundan istenilen olasılık değeri bulunulurken verilen değer; tamsayı kısmı ile birinci ondalık kısmı ikinci ondalık kısmı olmak üzere iki parçaya ayrılır Z tablosundan bir olasılık değeri okumak için aşağıdaki adımlar takip edilir: 1. tamsayı kısmı ile birinci ondalık kısmı düşey eksende işaretlenir. 2. ikinci ondalık kısmı için yatay eksende eksende işaretlenir. 3. Bu değerlere yatay ve düşey eksende karşı gelen değerlerin kesiştiği hücredeki değer aranan olasılık değeridir.
Normal Dağılım-MATLAB NORMAL DAĞILIM İLE İLGİLİ MATLAB KOMUTLARI Normal dağılmış bir rastgele değişkenin belirli bir X değerine karşılık olasılık yoğunluk fonksiyonu değeri aşağıdaki komut yardımıyla hesaplanır: P = normpdf(x,mu,sigma) Burada MU ve SIGMA sırasıyla normal dağılmış rastgele değişkenin ortalamasını ve standart sapma değerini göstermektedir. Normal dağılmış rastgele değişkenin P(X<x) = normcdf(x,mu,sigma) ile belirli bir x değerini alma olasılığı P olasılığını veren - dan X e olasılık hesabında X rastgele değişkeni belirlemek X = norminv(p,mu,sigma)
Normal Dağılım-MATLAB Standart normal dağılmış bir fonksiyona ait olasılık hesaplamaları için normcdf komutu aşağıdaki şekilde verilmedir. P = normcdf([z]) Verilen iki sınır değer arasında normal rastgele değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunu çizmek için: 0.4 0.35 0.3 0.25 Probability Between Limits is 0.81859 [p,h] = normspec(specs, mu, sigma) Density 0.2 0.15 Burada 0.1 specs: limit değerleri göstermektedir. 0.05 p: olasılık değerini göstermektedir. 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 4 : Eğer Z standart normal dağılmış bir rastgele değişken ise aşağıdaki olasılıkları grafiksel olarak gösterip hesaplayınız. a) P(0<=Z<=2) b) P(-2<=Z<=2) c) P(0<=Z<=1.53) d) P(0.28 < Z < 1.28)
Örnekler Örnek 4 ÇÖZÜM: a) P(0<=Z<=2) MATLAB komutu: normspec([0,2],0,1) 0.4 Probability Between Limits is 0.47725 0.35 0.3 0.25 Density 0.2 0.15 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 4 ÇÖZÜM: b) P(-2<=Z<=2) MATLAB komutu: normspec([-2,2],0,1) 0.4 0.35 Probability Between Limits is 0.9545 0.3 0.25 Density 0.2 0.15 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 4 ÇÖZÜM: c) P(0<=Z<=1.53) MATLAB komutu: normspec([0,1.53],0,1) 0.4 0.35 Probability Between Limits is 0.43699 0.3 0.25 Density 0.2 0.15 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 4 ÇÖZÜM: d) P(0.28 < Z < 1.28) MATLAB komutu: normspec([0.28,1.28],0,1) 0.4 0.35 Probability Between Limits is 0.28947 0.3 0.25 Density 0.2 0.15 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 5 : P(Z > z1)=0.025 ise 0.4 0.35 0.3 z1=? Probability Greater than Lower Bound is 0.024998 Örnek 5 ÇÖZÜM: Önceki problemlerde eksen değerlerinden hareketle olasılık değeri bulunurken bu problemde olasılık değerinden hareketle eksen değerleri bulunmaktadır. Yani tabloya bakış yönteminde değişiklik var. Tablodan 0.025 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.96 (yani z1=1.96) olduğu görülür. Density 0.25 0.2 0.15 MATLAB komutu z1=norminv(0.975,0,1) 0.1 0.05 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 Critical Value
Örnekler Örnek 6: P(-z 1 < Z < z 1 )=0.90 ise z 1 =? Örnek 6 ÇÖZÜM: değer çift taraflı olduğundan (her iki kuyruğu kapsadığından) her parçanın olasılığı (1-0.90)/2=0.05 dir. Tablodan 0.05 olasılık değerine karşı gelen z değeri araştırılırsa bunun 1.64 (yani z 1 =1.64) olduğu görülür.
Örnekler Örnek 7: Bir imalathanede üretilen millerin çaplarının ortalaması 3.0005 inç ve standart sapmalarının ise 0.001 inç olan normal dağılıma uyduğu tespit edilmiştir. Üretilen miller eğer 3.000 0.002 inç aralığının dışında iseler bu miller hatalı üretim kabul edilmektedir. Buna göre toplam üretimdeki hatalı ürün miktarını bulunuz.
Örnekler Örnek 7 ÇÖZÜM: İstenilen olasılık ifadesi: Bu olasılık değerini hesaplamak için X sürekli normal değişkeni standart normal hale dönüştürülür:
Dağılım Tipinin Belirlenmesi Ham olarak elde edilen rasgele değişkene ait dataların dağılım tipini (Normal, exponensiyal, Log-nomal v.b. ) belirlemek rasgele değişken kullanılarak yapılacak analizler için çok önemlidir. Bu işlemlerde rasgele değişkenin nasıl bir dağılım davranışı gösterdiği ve bu dağılımın parametreleri kullanılmaktadır. Ham olarak elde edilen bu datalara bir dağılım uydurmak (distirbution fitting) için aşağıda verilen adımlar takip edilir: Dağılım tipini grafiksel olarak belirlemek Belirlenen bu dağılım tipine ait parametreleri tahmin etmek Belirlenen bu dağılım tipinin uygunluğunu test etmek.
Dağılım Tipinin Belirlenmesi Dağılım tipini grafiksel olarak belirleme: Ham olarak elde edilmiş rasgele değişkene ait dataların hangi dağılım tipine uygun olduğunu belirlemede genellikle bu dataların grafiksel olarak gösterimi ile birlikte uygunluk testi (goodness-of-fit) uygulanarak elde edilir.
Dağılım Tipinin Belirlenmesi Dağılım parametrelerinin Tahmini: Belirlenen dağılıma ait parametrelerin (ortalama, standart sapma, çarpıklık, basıklık gibi) için başlıca iki metot kullanılır: Momentler metodu (method of moments) Maksimum olabilirlik metodu (method of maximum likelihood) Bu metotlar vasıtasıyla edilen parametreler daha sonra gerçekleştirilecek analizlerde rasgele değişkenlerin kullanılmasını sağlar.
Dağılım Tipinin Belirlenmesi Seçilen dağılım fonksiyonun uygunluk testi: Son adım olarak, rasgele değişkenlere ait belirlenmiş dağılım tipinin uygunluk testi yapılarak istatistiksel olarak ne kadar uygun olduğu tespit edilir. Bu adımda kullanılan belli başlı uygunluk testi yöntemleri: Ki-kare uygunluk testi (Chi Square test) Kolmogorov Smirnov test Anderson Darling test Bu testlerden sadece ilk ikisine ait teorik bilgiler verilecektir.
Dağılım Tipinin Belirlenmesi Kİ-KARE UYGUNLUK TESTİ: Ki-kare istatistik değerini hesaplamak için öncelikle datalar belirli sayıda aralıklara (intervals) ayrılır ve bu aralıkların beklenen değeri (Expected value) uydurulan dağılımdan hesaplanır. Sonra Chi-square istatistik değeri aşağıdaki bağıntı yardımıyla hesaplanır:
Gelecek Dersin Konusu Örnekleme Planları ve Dağılımları