Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans
Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla eşleştiren fonksiyona rastgele değişken denir. Her rastgele değişleni tanımlayan bir (kümülatif) dağılım fonksiyonu vardır F x = P X x F x sürekli artan bir fonksiyondur lim F x x = 0 lim F x x = 1
Eğer örnek uzay belirli sayıda elemandan ya da sayılabilir sayıda elemanın sonsuz serisinden oluşuyorsa (mesela tam sayılar), buna kesikli örnek uzay denir. Kesikli örnek uzaydaki elemanları bir sayıyla eşleştiren fonksiyonlara kesikli rastgele değiken denir. Kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu tanımlıdır: f x = P X = x F x = P X x = f x i x i x
10 metre uzunluğundaki sentetik kumaş parçasındaki defo sayısını belirten X rastgele değişkeni aşağıda gösterilen olasılık fonksiyonuna sahiptir. x 0 1 2 3 4 f x 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 a) X in kümülatif dağılım fonksiyonu nedir? b) 10 metredeki defo sayısının 2 den fazla olma olasılığı nedir? c) 10 metredeki defo sayısının en fazla 1 olma olasılığı nedir?
a) F x = x 0 1 2 3 4 f x 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01 0 0,41 0,78 0,94 0,99 1 x < 0 0 x < 1 1 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 4 x b) 1 F 2 = 1 0,94 = 0,06 c) F 1 = 0,78
İki zar aynı anda atılıyor. X rastgele değişkeni zarların üstünde gelen sayılardan büyük olanı olsun. X in olasılık fonksiyonu nedir? f x = 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5 x = 6 diğer x
Bir rastgele değişken bir ya da birden fazla aralıktaki her gerçek (reel) değeri alabiliyorsa buna sürekli rastgele değiken denir. Sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlıdır: x F x = f t dt
Bir öğretim üyesi dersini hiç bir zaman zamanında bitirememekte, dersin süresinden sonraki iki dakika içinde bitirmektedir. X rastgele değişkeni, dakika olarak dersin süresinden sonra geçen zamanı göstersin. X in yoğunluk fonksiyonu f x = kx2 0 x 2 0 diğer olsun a) k nın değeri kaçtır? b) dersin süresinden sonraki bir dakika içinde bitme olasılığı kaçtır?
f x dx = 2 kx 2 dx 0 = 1 3 kx3 x=2 = 8 3 k k = 3 8 1 3 1 8 x2 dx = 0 3 3 8 x3 = 1 x=1 8
Aynı deneylerin sonucu olan birden fazla rastgele değişken olabilir, örneğin: Bir kimya deneyinin sonunda ortaya çıkan sıcaklık ve ph. Bir hastanın yaşı ve kilosu Bir banka müşterisinin aylık kredi kartı harcaması Ortak dağılım fonksiyonu: F x, y = P X x, Y y
Örnek uzak kesikli ise Ortak Olasılık Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır: f x, y = P X = x, Y = y Örnek uzay sürekli ise Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır: δ 2 F x, y = f x, y δxδy
Tek bir değişkene ait marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun diğer değişken üzerinden toplanması (integrali) ile bulunur: g x = y f x, y h y = x f x, y g x = f x, y dy h y = f x, y dx
Bir süpermarkette hem normal hem de ekspres kasa vardır. X 1 normal kasada bekleyen müşteri sayısını, X 2 ekspres kasada bekleyen müşteri sayısını göstersin. X 1 ve X 2 nin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verildiği gibi olsun. x 1 x 2 0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00 1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06
x 2 x 1 0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00 1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06 a) Her iki sırada da birer müşteri olması olasılığı nedir? b) Her iki sırada da aynı sayıda müşteri olması olasılığı nedir? c) Bir kasada diğerinden en az iki fazla müşteri olması A olayı olsun. A yı X 1 ve X 2 olarak ifade edip olasılığını hesaplayın d) İki kasada toplam 4 müşteri olma olasılığı nedir? e) İki kasada en az 4 müşteri olma olasılığı nedir?
a) P X 1 = 1, X 2 = 1 = f 1,1 = 0,15 b)p X 1 = X 2 = x 1 f x 1, x 1 = 0,08 + 0,15 + 0,10 + 0,07 = 0,4 c) P A = P X 1 X 2 + 2 + P X 2 X 1 + 2 = 0,04 + 0,04 + 0,05 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,04 = 0,24 d) P X 1 + X 2 = 4 = 0,03 + 0,10 + 0,04 = 0,17 e)p X 1 + X 2 4 = 3 4 x2 =4 x 1 f x 1, x 1 = 0,46 x 1 =0
Bir rastgele değişkenin alabileceği tüm değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır. Rastgele değişkenin merkezi yönelimi için bir göstergedir. μ x = E X = xf x x μ x = E X = xf x dx E ax + b = b + a E x
Bir tesisteki haftalık propan gazı tüketimininin metreküp birimi ile gösteren X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir: f x = 2 1 1 x 2 1 x 2 0 diğer yerlerde a) X in beklenen değeri kaçtır? b) Haftalık tüketimin ortalamadan az olma olasılığı nedir?
2 μ x = x 2 1 1 x 2 1 2 dx = 2 x 1 x 1 dx = 2 x2 2 ln x x2 2 ln x x=2 x=1 = 3 2 ln 2 1,614 P X < μ x = 2 1 1 x 2 dx = 1 μ x = 2x + 2 x x=1,614 2x + 2 x x=1 0,47 = 2 2 ln 2 1 2
Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır. Değişkenlik (yayılım) için bir göstergedir. σ x 2 = Var X = E X μ x 2 σ x 2 = σ x 2 = X μ x 2 f x X μ x 2 f x dx
Varyansın kareköküne standart sapma denir σ x = Var X Varyans hesaplamak için kısayol: Var X = E X 2 E X 2 Var ax + b = a 2 Var X Var X + Y = Var X + Var Y
Bir önceki alıştırmadaki propan gazı tüketiminin varyansı nedir? 2 E X 2 = x 2 2 1 1 x 2 dx = 2 x2 1dx = 1 1 2 2 1 3 x3 x x=2 1 3 x3 x x=1 = 2 4 3 = 8 3 Var X = E X 2 E X 2 = 8 3 1,6142 0,0617
Üç madeni para atılıyor, X rastgele değişkeni tura gelenlerin sayısı olsun. Buna göre μ x ve σ 2 x kaçtır? S = YYY, YYT, YTY, YTT, TYY, TYT, TTY, TTT 1 8 0, 3 f x = 3 8 1, 2 0 diğer yerlerde μ x = xf x = 0 1 8 + 1 3 8 + 2 3 8 + 3 1 8 = 3 2 E X 2 = x 2 f x = 0 2 1 8 + 12 3 8 + 22 3 8 + 32 1 8 = 3+12+9 2 8 = 3 σ x 2 = E X 2 E X 2 = 3 3 2 = 3 4