SKİŞHİR FTİH FN LİSSİ GTRİ LİİYT NTLRI Çemberler 1 erleyen sman KİZ FFL atematik Öğretmeni Yazım hataları mevcut olup. Tashihi yapılmamıştır.
ÇR GİRİŞ roblem. merkezli çemberin kirişi üzerinde bir noktası verilsin. çemberi merkezli çemberi de kestiğine göre = olduğunu K / / L Çözüm: ış teğet çember ye de teğet olsun. m() = m(), m() = m(l), m() = m(l) = m(k) olduğundan = = K, = = L ve K = L eşitlikleri yazılabilir. u durumda K, L, noktaları üçgeninin iç teğet çemberinin üçgenin kenarlarına teğet olduğu noktalardır. Çözüm:.m() = m() ve m() = m() olduğundan m() = m() olur. = olduğu için ve üçgenleri eş olup = dir. roblem 8. üçgeninde m() > m() dir. kenarı üzerinde.m() = m() m() olacak şekilde bir noktası alınsın. den geçen ye da teğet olan çember yi de kestiğine göre : = : olduğunu roblem 4. karesinin çevrel çemberinin kısa olan yayı üzeride bir L noktası alınsın. L ile, K da, ile L, de, K ile, N de kesişsin., N, L, noktalarının çembersel olduğunu K L Çözüm: L ve olup,, K, L noktaları çemberseldir. u durumda m(kl) = m(kl) = m(ln) olduğundan, N, L, noktaları çemberseldir. N Çözüm:, çemberi de kessin. () = m() = m() =[ m() m()] : ve m() = m() =[ m() + m()] : olur. u durumda olup dir. yrıca olup olur. Son iki eşitlikten olup : = : dir. roblem 5. paralelkenar olup üçgeninin ye teğet olan dış teğet çemberi ve ye ve da teğettir., ve yi sırasıyla K ve L de kestiğine göre K ve L noktalarının üçgeninin iç teğet çemberi üzerinde olduğunu roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,,, noktaları alınsın. // ve // olsun. Çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası ve ve, noktasında kesişsin. = olduğunu
Çözüm: 45 0 = m() = m(f) = m(f) olup m(f) = 45 0 olur. = ve m(f) = m(f) = 45 0 olduğundan F, açısını ortalar. üçgeninde F ve F açıortay olduğundan F noktası iç teğet çemberin merkezidir. Çözüm: // ve // olduğundan m() = m() = m() = m() yazabiliriz. // olduğundan ikizkenar yamuk olup = ve m() = m(), m() = m() = m() dır. u durumda yani = dır. // olduğu için paralelkenar olup = dir. roblem. dik üçgeninde yükseklik olup m() = 90 0 dir. çaplı çember ve yi sırasıyla ve F de kessin. çemberi de kessin. F = K ve F K = olmak üzere,, noktaları doğrusal ise m() =? roblem. çaplı yarım çemberin çapı üzerinde merkezden farklı bir noktası alınsın. karesi çizilsin. çemberi sırasıyla ve da, ise yi R de kessin. noktası ile arasındadır. u durumda = R olduğunu R S Çözüm: m(f) = 90 0 dır. u durumda K üçgeninde K ve yükseklik olup K dır. olayısı ile,, F, noktaları çembersel olup = m() = m() = m() = m(f) = m(f) olur. u durumda F olacaktır. ve F çap olduğundan F ikizkenar dik üçgen olur. F // olduğundan üçgeni de ikizkenar dik üçgendir. u durumda m() = m() = 45 o dır. Çözüm: Çemberin merkezine dersek nin çemberi kesmesi için noktası ile arasında olmalıdır. dan ye inilen dikme ayağı S olsun. S = ve = olduğundan = S dir. m(r) = m(s) ve S = olduğundan S ve R üçgenleri eş olup S = R dir. = R olduğundan = R olur. roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları alınsın. çemberin çapı olmak üzere nın ye göre simetriği ve ile nin kesim noktası olsun. dan geçen ye paralel doğru ve yi sırasıyla R ve S de kestiğine göre RS nin dikdörtgen olduğunu roblem. ir d doğrusu üzerinde sırasıyla,, noktaları verilsin. d doğrusunun aynı tarafında olmak üzere ve noktaları alalım. m() = m() = 90 0 ve = = olmak üzere, çemberini F de kessin. F noktasının üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu R S 45 F 45 45 Çözüm: çap olduğundan noktası çemberin üzerindedir. m() = m() = m(s) olduğundan,,, R çembersel olup m(r) = m() = 90 o olur. m(s) = m() = m() = m(s) olduğundan,,, S noktaları çemberseldir. u durumda m() = 90 o = m(s) 3
olur. çap olduğundan m() = m(s) = 90 o olur. olayısı ile RS dikdörtgendir. roblem. dikdörtgeninin kenarının uzantısı üzerinde bir noktası alınsın. üçgeninin çevrel çemberi ile, R de kesişsin. R ve nin orta noktaları sırasıyla ve ise olduğunu 1 1 R Çözüm: m() = 90 0 ve m(r) = 90 0 olduğundan, R,, noktaları çembersel olup m(r) = m(r) dir. m(r) = m() = m() = 45 0 olduğundan m(r) = 45 0 olup R dik üçgeni ikizkenardır. u durumda R = R dir. roblem. çaplı çembere dışında alınan noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve dir. ile nin kesim noktası ile den geçen doğrunun ye dik olduğunu R Çözüm: 1 dikdörtgeninin oluşturalım. nın uzantısı çemberi 1 noktasında kessin. 1 noktası 1 in orta noktası olur. u durumda 1 // 1 R olup 1 R olduğundan. 1 dir. u durumda 1 dikdörtgeninin çevrel çemberi noktasından geçer. olayısı ile m() = m( 1 ) = 90 o olup olur. 1 roblem. üçgeninde açıortayı çizilsin. üçgeninin çevrel çemberi yi F de üçgeninin çevrel çemberi yi de kessin. = F olduğunu F Çözüm: = ve = 1 olsun. çap olduğundan 1 ve 1 olur. u durumda noktası 1 üçgeninin yüksekliklerinin kesim noktası olup 1 olmalıdır. 1 = olsun. u durumda çembere teğet olduğundan m() = m() = m() olup = olur. 1 dik üçgen olduğundan = = 1 dir. olayısı ile, [ 1 ] i ortalar. enzer şekilde nin de [ 1 ] i ortaladığı gösterilebilir. u durumda = olur. 1 ve noktası 1 üzerinde olduğundan dır. Çözüm: çemberinde açıortay olduğundan = ve m() = m() dir. çemberinde açıortay olduğundan = F ve m() = m(f) dir. u durumda F olup = F olur. roblem. çaplı yarım çember üzerinde bir noktası ve [] üzerinde noktası alınsın. [] üzerinde alınan bir noktası için = L ve çemberi K da kessin. L = L ve m() = 90 o ise = L olduğunu roblem. çaplı merkezli çemberin merkezinde ye dik doğru çemberi de kessin. Kısa olan yayı üzerinde bir noktası alınsın. ile, R de, ye R de dik doğru ile, da kesişsin. R = R olduğunu L K 4
Çözüm: K = olsun. L = L olduğundan // dir. (kz. p-x). yrıca L ve m() = 90 o olduğu da göz önüne alınırsa m(l) = m(l) = m() olur. u ise,,, noktalarının çembersel olduğunu gösterir. uradan m(k) = m(k) = m(k) olup = L olur. roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları alınsın. Çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası olmak üzere = R olsun. = ise R // olduğunu üzerinde seçilen bir F noktası için F olduğunu x x x x 90-x F x x ise = F R Çözüm: = ve = F olmalıdır. F x alırsak 0 F 180 4x ve m() = m() = x olur. u durumda m() = m(f) = 90 o olur. = F olduğu göz önüne alınırsa F deltoit olup F = dir. L Çözüm: m() = m() ve m() = m() olduğundan m() = m(r) olur. u ise R nin kiriş dörtgeni olduğunu gösterip m() = m(r) olacaktır. m() = m() = m() olduğundan R // dir. roblem. üçgeninde ye teğet olan dış teğet çemberin merkezi I a ve bu çember,, kenarlarına sırasıyla,, F noktalarında teğettir. den I a ye inilen dikme ayağı H ise, H, F noktalarının doğrusal olduğunu roblem. çaplı yarım çembere dışındaki noktasından ve teğetleri çizisin. den ye inilen dikme ayağı ise m() = m() = 90 o olduğunu Ia H F Çözüm: Çemberin merkezi noktası olsun. m() = m() = 90 o olduğundan kiriş dörtgeni olup m() = m() dur. m() = m() = 90 o olduğundan kiriş dörtgeni olup m() = m() dir. m() = m() olduğundan m() = m() dir. roblem. çaplı yarım çember üzerinde bir noktası verilsin. den ye inilen dikme ayağı olsun. [] üzerinde = olacak şekilde bir noktası alınsın. Çember Çözüm: I a ve H I a H olduğundan,, H, I a çemberseldir. I a ve I a olduğundan,,, I a çemberseldir. yrıca = dir. u durumda m(h) = m(i a ) = m(i a ) = m(h) dir. H ve FH üçgenleri eş olduğundan m(h) = m(fh) dir. m(h) + = m(h) = 90 o olup m(hf) =.m(h) +. m(h) = 180 0 olduğundan, H, F doğrusaldır. roblem. merkezli bir çember üzerinde verilen sırada alınan,,,,, F noktaları için, ve F kirişleri T noktasında kesişsin., ve F nin orta noktaları sırasıyla,, R olsun. Çember üzerinde alınan G ve H noktaları için H // F ve G // ise R GH olduğunu 5
F H S R T ÇR ve NZR ÜÇGNLR roblem. ir çember üzerinde alınan,, noktaları için = dir. Kısa olan yayı üzerinde alınan bir noktası için ile nin kesim noktası olduğuna göre =. olduğunu G Çözüm: G F = S olsun.,, R kirişlerin orta noktaları olduğundan, ve R F olduğundan,,, T, R noktaları çemberseldir. u durumda m(gh) = m(g) = m(t) = m(gh) = m(t) = m(r) dir. enzer şekilde m(hg) = m(hg) = m(st) = m(st) = m(r) olur. u durumda R GH olur. Çözüm: m() = m() = m() olur. u durumda m() = m() olur. u ise olduğunu gösterir. olayısı ile =. dir. roblem. merkezli çemberin dışında alınan bir noktasından geçen doğru çemberi sırasıyla ve da kessin. Çember üzerinde alınan bir ve noktaları için çembere teğet ve çap olsun. ile çemberin içinde kesişmek üzere ile nin kesim noktası ise olduğunu roblem 4. 1 çemberine dışındaki bir noktasından çembere çizilen teğetlerin değme noktaları ve dir. den geçen ye de teğet olan çember ile 1 çemberinin kesim noktası olsun. nin yi ortaladığını Çözüm: ile nin kesim noktası olsun. m() = m() = m() olduğundan olup =. olur. m() = m() olduğundan olup =. olur. u durumda = dir. roblem. çaplı bir çembere üzerinde alınan bir noktasında teğet olan bir d doğrusu verilsin. ve den d ye inilen dikme ayakları sırasıyla ve N olup nin üzerindeki dik izdüşümü ise.n = olduğunu 6
N Çözüm: m() = m() = m() olduğundan = dir. m() = m() = m(n) olduğundan N = dir. u durumda.n =. = olur. roblem 6. üçgeninde yükseklik olup ve çemberleri üzerinde sırasıyla alınan ve noktaları için,, doğrusal olsun. ve nin orta noktaları sırasıyla ve N ise m(n) = 90 0 olduğunu..... olur. roblem 8. ş merkezli iki çemberin ortak merkezleri dur. ıştaki çember üzerinde alınan bir noktasından iç teki çembere ve teğetleri çizilsin. ve dıştaki çemberi sırasıyla ve de kestiğine göre olduğunu X Z Y N Çözüm: ile dıştaki çemberi sırasıyla K ve L de kessin. u durumda = =, = K, // L ve m() = 180 0 m(l) = 180 0 m() = m(k) = m() dir. u durumda ) olup dir. =. =.K =. olduğundan. olur. Çözüm: X ve Y dikdörtgenlerini inşa edelim. XY nin orta noktası Z olsun. u durumda X ve Y olup X // Y olur. XY ve nun orta noktaları Z ve olduğundan X // Y // Z ve Z olur. u durumda ZN dikdörtgenin çevrel çemberi noktasından geçer. u durumda m(n) = m(n) = 90 0 dır. roblem. üçgeninin ve köşelerinden geçen bir çember ve kenarlarını sırasıyla ve de kessin. [ ile [, F de, [ ile [F, de kesişsin. F = olması için gerek ve yeter şartın. = olduğunu roblem. F kirişler altıgeninde = = F olup,, F noktadaştır. ile nin kesim noktası ise olduğunu Çözüm:,, F nin ortak noktası olsun. olduğundan dir. = F olduğundan // F olup ve dir. = olup m() = m() olduğundan olup dir. u durumda F Çözüm: = F ise F üçgeninde noktasına nazaran seva bağıntısından eşitliği elde edilir. u ise F // F olduğunu gösterir. olayısı ile m() = m() = m(f) olur. u eşitlik F ve F üçgenlerinin benzer 7
olduğunu gösterir. u durumda F olup. = F F = olur. ğer. = ise ve üçgenleri benzer olup m() = m() dir. yrıca m() = m() olduğundan F // dır. u durumda m() = m() = m(f) olur. u ise F ve F üçgenlerinin benzer olduğunu gösterir. olayısı ile. = olup F = dir. olur. yrıca ve üçgenleri benzer olduğundan T T dir. TS // ve olduğundan S olur. uradan. T olup olduğundan T = R dir. roblem. ir çember üzerinde,, noktaları verilsin. noktasının çemberin ve deki teğetleri üzerindeki diz izdüşümleri sırasıyla ve N olsun. nin üzerindeki dik izdüşümü ise.n = olduğunu roblem 1. bir üçgen olmak üzere den geçen bir çember ve kenarlarını sırasıyla 1 ve 1 noktalarında kessin. u çember ile üçgeninin çevrel çemberi den farklı olarak noktasında kesiştiğine göre 1. = 1. olduğunu N 1 1 Çözüm: m() = m() olduğundan olup olur. yrıca m() = m(n) olduğundan N olup olur. olduğundan.n = N N dir. roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları verilsin. = olmak üzere den geçen ye orta noktasında teğet olan çember ve yi sırasıyla ve R de kessin. [] üzerinde S = olacak şekilde bir S noktası verilsin. S den geçen ye paralel doğru ile, T de kesişsin. T = R olduğunu Çözüm: m( 1 ) = m( 1 ) ve m() = m() olduğundan 1 1 olup 1. = 1. dir. roblem. üçgeninin ve kenarları üzerinde sırasıyla alınan ve noktaları için = olsun. ve üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezlerini bileştiren doğru ve yi sırasıyla K ve L de kestiğine göre K = L olduğunu K L Çözüm: R çemberi ye orta noktasında teğet olduğundan R. =. dir. u durumda R. Çözüm: ve çemberleri ve de kesişsin. m() = m() = m() olup benzer şekilde m() = m() olur. = olduğu göz önüne alınırsa ve üçgenleri eş olur. Yani = dir. u ise nin açısının açıortayı olduğunu gösterir. yrıca merkezleri birleştiren doğru ortak kiriş olan dik olacağından KL dir. u durumda K ikizkenar üçgen olup K = L olur. 8
roblem. çaplı 1 çemberi verilsin. merkezli çemberi, 1 çemberini ve de kessin. den geçen bir doğru ve 1 çemberlerini sırasıyla ve da kessin.. = olduğunu // S R X Y Çözüm: ve, çemberini sırasıyla X ve Y de kessin. olup = olur. olayısı ile m() = m() = m()= m() dir. çap olduğundan m()= 90 o olup noktası çemberinin merkezi olduğundan X ve buradan X = olur. yrıca m()= m() eşitliği nun Y açısını ortaladığını gösterir. u durumda XY ve, ya göre simetriktir. olayısı ile m(yx)= m(x) olur. u durumda m(yx)= m(y) olur. olayısı ile olup : = : olur. uradan. = dir. Çözüm: dik üçgeninde m() = m(r) dir. m(r) = m() = 90 0 olduğundan R kiriş dörtgeni olup m(r) = m(r) olur. m() = m() olduğundan S = S olur. dik üçgen olduğundan S = S olmalıdır. merkez olduğundan S dir. roblem. 1 ve çemberlerinin kesim noktası ve dir. 1 çemberinin daki teğeti çemberini de kessin. den geçen bir doğru 1 çemberini sırasıyla R ve da çemberini S de kessin. açsının dış açıortayı ve iç açıortayı S ise RS = R olduğunu roblem. üçgeninde = olup çevrel çemberinin yi kapsamayan yayı üzerinde bir noktası verilsin. den ye inilen dikme ayağı ise + =. olduğunu S R Çözüm: nin uzantısı üzerinde = olacak şekilde bir noktası alalım. m() = m(), = ve = olduğundan ve üçgenleri eştir. olayısı ile = olduğundan = + ve = olduğundan =. yani + =. dir. Çözüm: S ve açıortay olduğundan m(s) =90 0 olur. açıortay olduğundan 1 çemberinde ve R yayları eş olup = olmalıdır. S nin açıortay olması S ve S üçgenlerinin eş olduğunu gösterir. u durumda m(s) = m(s) dir. m(s) = m(s) ve m(s) = m(r) olduğu da göz önüne alınırsa S dik üçgeninde R = R olup RS = R olacaktır. roblem. dik üçgeninde m() = 90 0 olup merkezli çevrel çemberinin yı içermeyen yayı üzerinde bir noktaı verilsin. den ve kenarlarına inilen dikme ayakları sırası ile ve R olmak üzere R = S olsun. S olduğunu roblem 0. kirişler dörtgeninde,, ve üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin merkezleri sırasıyla I, I, I ve I dir. I I I I nin dikdörtgen olduğunu 9
Ib Ia lıştırma. paralelkenarında > dir. üçgenin çevrel çemberi yi de kestiğine göre nin ve çemberlerine teğet olduğunu Çözüm: I 90 Ic ve I 90 olup oldu- I I olur. u durumda, I, I, ğundan noktaları çemberseldir. enzer şekilde, I, I, noktalarının da çembersel olduğu gösterilebilir. u durumda I I I ve I I I olduğundan I I I I + olur. Id 0 0 0 I I 90 90 180 olur. olaysı ile 0 I I I I I I 70 olacağından I I 0 I 90 olur. enzer şekilde I I I I dörtgeninin diğer açılarının da 90 0 olduğu gösterilebilir. lıştırma. çaplı çemberi bir d doğru ve noktalarında kessin. ve den d doğrusuna inilen dikme ayakları 1 ve 1 ise 1 = 1 olduğunu lıştırma. dik üçgeninde ve < olsun. çaplı çember yi de kessin. Çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası ise üçgeninin ikizkenar olduğunu lıştırma. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları verilsin. = ve = olmak üzere ve açılarının açıortaylarının dik kesiştiğini lıştırma. çemberinin W ve NS çapları birbirine diktir. Çembere S noktasında teğet olan bir d doğrusu verilsin. Çember üzerinde W çapına göre simetrik ve noktaları alınsın. N ve N, d doğrusu ile sırasıyla ve noktalarında kesiştiğine göre S.S =SN olduğunu LIŞTIR RLLRİ lıştırma. çaplı bir çember verilsin. merkezli başka bir çember ilk çemberi de yi de kessin. nin orta dikmesi ilk çemberi Y de kestiğine göre Y = Y olduğunu lıştırma. 1 ve çemberleri noktasında teğettirler. 1 çemberinin üzerindeki bir noktasından çembere çizilen teğet çemberini sırasıyla ve de kessin., çemberini de kestiğine göre =. olduğunu 10
lıştırma. eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin kısa olan yayı üzerinde bir noktası verilsin. = K ve = L ise = L.K olduğunu lıştırma. merkezli çemberin çaptan farklı bir kirişi verilsin. Kısa olan yayı üzerinde alınan noktasında çembere teğet olan doğru d olsun. ye ve noktalarında dik olan doğrular d doğrusunu sırasıyla ve F de kessin., yi de kestiğine göre.f =. ve =. F olduğunu lıştırma. ir çembere dışındaki noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve olsun. Çember üzerinde bir noktası verilsin. Çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası olsun. den geçen ye paralel doğru ile ve, ve N de kesiştiğine göre = N olduğunu lıştırma. çaplı yarım çember üzerinde bir noktası alınsın. den geçen bir doğru çembere ve noktalarında teğet olan doğruları sırasıyla ve de kessin. ye de dik olan doğru yi R de kessin.. = R.R olduğunu lıştırma. konveks dörtgeninin köşegenleri birbirine dik ve kesim noktası dir. nin dörtgenin kenarlarına göre simetriği olan noktaların çembersel olduğunu lıştırma. çaplı merkezli bir yarım çember ve üzerinde ve noktaları verilsin. ile, de ve ile, F de kesişsin. m() = 90 0 ise F = olduğunu gösteriniz lıştırma. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları alınsın. nin orta noktası olmak üzere m() = m() ise = olduğunu lıştırma. dik üçgeninde H yükseklik, açıortay olup m() = 90 0 dır. H ve H üçgenlerinde H ve H açıortay ise,, H,, noktalarının çembersel olduğunu lıştırma. üçgeninde diklik merkezi H olsun. H paralel kenar ise m() = m(h) olduğunu lıştırma. ar açılı üçgeninin ya ait yüksekliği çevrel çemberini de kessin. Çevrel çember üzerinde alınan bir noktasından ye dikmesi inilsin. noktası çemberin dışında ve.m() = m() ise,, nun doğrusal olduğunu 11
ÇRİN TĞTLRİ m(x) = m(x) = m(nx) dir. m() + m(x) = olduğundan m(x) = m(x) dir. u durumda m(x) = m(nx) olup X N olduğundan X = NX tir. roblem. 1 ve çemberleri ve noktalarında kesişsin. den geçen bir doğru 1 ve çemberlerini sırasıyla ve de kessin. ve de çemberlere teğet olan doğruların kesim noktası olmak üzere ile nin kesim noktasından geçen ve ye paralel doğru ile K da kesişsin. K nın çemberine teğet olduğunu roblem. merkezli çemberinin UV ve SR kirişlerinin kesim noktası N olsun. çemberi kesmeyen bir doğru parçası olmak üzere V, U, R, S çembere U, V, R, S'de teğet olsun. N olduğunu K L Çözüm: = L olsun. m()= m() ve m() = m() ve m() = - m() - m() olduğundan,,, noktaları çemberseldir. LK // olduğundan m(kl) = m(kl) = m(l) = m(lk) = m(lk) olduğundan, K,, L noktaları çemberseldir. u durumda m(k) = m(kl) = m(l) = m() = m() = m() olur. m(k) = m() eşitliği K nın çemberine teğet olduğunu gösterir. Çözüm: N =, UV =, RS = olsun. u durumda m(n) = 90 0 ve m(n) = 90 0 olduğundan,, N, çemberseldir. U ve S dik üçgenlerinden. = U = S =. olduğundan,,, çemberseldir. u durumda m() = m() = m(n) olur. u ise,, N, noktalarının çembersel olduğunu gösterir. olayısı ile m(n) = m(n) = 90 0 dir. roblem. merkezli çembere dışındaki bir noktasından ve teğetleri çizilsin. [] üzerinde bir X noktası alınsın. X den geçen bir doğru ve yi sırasıyla ve N de kessin. X N ise X = NX olduğunu roblem. ir çemberin çaptan farklı kirişinin orta noktası olsun. Çemberin den geçen 1 1 ve kirişleri verilsin. Çemberin 1 ve 1 deki teğetleri 1 de, ve deki teğetleri de kesiştiğine göre 1 // olduğunu X N 1 1 R Çözüm: noktası ile arasında olsun. = m(xn) = m(n) = 90 o olduğundan XN kiriş dörtgeni olup 1 1
Çözüm: Çemberin merkezi olmak üzere 1 1 1, ve R olsun. 1 1 dik üçgeninde 1 =. 1 ve dik üçgeninde =. olduğundan. 1 =. olur. u eşitlikten 1 olup m() = m( 1 ) dir. dörtgeninde karşılıklı açılar toplamı 180 o olduğundan,,, çembersel olup m() = m() olur. nin orta noktası olduğundan olup R olduğu da göz önüne alınırsa 1 R olup 1 // dir. roblem. merkezli çembere dışındaki bir noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları ve dir. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve noktalarında kessin. ile nin kesim noktası ise,,, noktalarının çembersel olduğunu Çözüm: ile çember de kesişsin. =. olduğundan = dir. u durumda dir.yrıca = olacağından olup olur. olayısı ile dir. yrıca m() = m() ve olup olacağından olup.. dir. u eşitliklerden 1.. olur. 1..sin ( ). 1 ( ) 1..sin. olduğundan, yi ortalar. lıştırma. çaplı çembere üzerinde alınan noktasında teğet olan bir d doğrusu verilsin. Çembere ve de teğet olan doğrular d doğrusunu sırasıyla ve de kessin. = F ise F olduğunu Çözüm: ve dir. noktasına göre dış kuvvetten; =. dir. ve üçgenleri benzer olduğundan =. olup.. ise (1) dir. ve üçgenlerinde ortak açı ve (1) den ve üçgenleri benzer olur. uradan m() = m() olup bu ise,,, noktalarının çembersel olduğunu gösterir. roblem. kirişler dörtgeni olup çevrel çemberin ve deki teğetlerinin kesim noktası dir. =. ve,, noktaları doğrusal olmamak üzere nin yi ortaladığını 13
İR NKTNIN İR ÇR N- ZRN KUVVTİ Çözüm: [, üçgeninin çevrel çemberini F de kessin. u durumda = F, = = ve = F dir. noktasına göre iç kuvvetten =. =. F =. olur. üzlemde merkezli bir çemberi ile bir noktası verilsin. Çemberin yarıçapı r olmak üzere r sayısına noktasının merkezli çembere nazaran kuvveti denir. noktası çemberin dış bölgesinde ise kuvveti pozitif, iç bölgesinde ise negatif, üzerinde ise sıfırdır. roblem. ir çembere dışındaki bir noktasından çizilen teğetin değme noktası olsun. Çember üzerinde alınan ve noktaları için // olmak üzere ve çemberi sırasıyla ve N de kestiğine göre N nin yı ortaladığını Teorem. den geçen bir doğru çemberi ve noktalarında kessin.. değeri den geçen doğrunun seçiminden bağımsızdır. Kanıt: nin orta noktası T olsun. T dir. T r olduğundan r. olur. r değeri noktasının seçimine bağlı olup den geçen doğrunun seçiminden bağımsızdır. Sonuç. noktasından iki doğru çemberi ve ile ve de kessin.. =. dir. N Çözüm: N ile nın kesim noktası olsun. m() = m() = m(n) olduğundan N olup =.N olur. yrıca =.N olup = dir. Sonuç. den geçen bir doğru çembere T de teğet başka bir doğru ise ve de kessin. T =. dir. roblem. İki çember ve noktalarında kesişsin. u çemberlerin ortak dış teğetinin değme noktalrı ve ise nin yu ortaladığını roblem.,,,, noktaları bir çember üzerinde saat yönünde dizilsin. ve nin kesim noktası Y, çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası X olsun. XY = X olması için gerek ve yeter şartın XY // olduğunu X Çözüm:, yu R de kessin. R = R.R = R olduğundan R = R dir. Y roblem: eşkenar üçgeninin ve kenarlarının orta noktaları sırasıyla ve olsun. [, üçgenin çevrel çemberini de kestiğine göre =. olduğunu Çözüm: XY = X olsun. XY = X = X.X olup XY : X = X : XY olur. u durumda XY ve XY üçgenleri benzer olup m(y) = m(xy) = m(xy) olur. olayısı ile // XY dir. 14
Kalan kısmın çözümüne yukarıdaki işlem basamakları tersten yapılarak ulaşılabilir. u durumda K noktasının yeri S çemberinin seçiminden bağımsızdır. roblem. ir S çemberine dışındaki bir noktasından ve teğetleri çizilsin. S çemberi üzerindeki bir noktasından çembere çizilen teğet ile, da kesişsin. = + olduğunu roblem. üçgeninde m() = 90 0 olup kenarı üzerinde alınan bir noktası için m() =.m() ise 1 1 1 1 olduğunu // H // Çözüm: den ye inilen dikme ayağına H dersek H = H olur. noktasına göre kuvvet alırsak =. dir. H ve H dik üçgenlerinde pisagordan ( + H) = H olup = + +..H = + ( +.H) = +. = + dir. roblem. ir S 1 çemberinin kirişi üzerinde keyfi bir noktası verilsin. ye de teğet olan S çemberi S 1 çemberini ve da kessin. = K ise K noktasının S çemberinin seçiminden bağımsız olduğunu Çözüm: üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve, çemberi de kessin.. m() =.m() =.m() = m() olduğundan = olur. yrıca =. dur. noktasına göre kuvvetten. =. olup ve olup taraf tarafa toplarsak olur. ise 1 1 1 1 dir. K roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları verilsin. Çemberin daki teğeti ile nin kesim noktası K ve çemberin deki teğeti ile nin kesim noktası H olsun. K = ve H = ise nin ikizkenar yamuk olduğunu Çözüm: K = K.K = K.K olur. u durumda K = (K + ) = K.(K + ) olup K olur. 15
Çözüm: H = H.H =.H ve K = K.K =.K H K H K olur. u durumda olup olur. H K H K K sin K K ve H üçgenlerinde sinüs teoreminden K sin K H sin H ve olup m(h) = m(k) olduğundan H sin H sink = sinholur. u durumda m(k) = m(h) veya m(k) + m(h) = olur. u durumda // veya // olur. u ise nin ikizkenar yamuk olduğunu gösterir. ve S çemberlerinin kesim noktası N olsun. m(n) = m() = m() = m() = m(ns) olduğundan, S, N noktaları doğrusal olup N SN = S dir. u durumda noktasının S çemberine nazaran kuvvetinden S.N =. = p R ve S noktasının çemberine nazaran kuvvetinden S. SN = S.S = R s olup S = N.S SN.S = p + s R olur. enzer şekilde S = q + s R olur. S = q s = S olduğundan S dir. enzer şekilde S ve S olur. u durumda noktası S üçgeninin diklik merkezidir. roblem. üçgeninde diklik merkezi H ve nin orta noktası dir., nin çevrel çemberini 1 de kessin. 1 in ye göre simetriği ise H olduğunu lıştırma. ir çembere dışındaki noktasından ve teğetleri çizilsin. den geçen bir doğru çemberi sırasıyla ve de kessin. dan geçen ye paralel doğru çemberi de kessin. ile nin kesim noktası G ise G = G olduğunu gösteriniz Çözüm: H, yi de çevrel çemberi F de kessin..=h. olduğunu göstermeliyiz..roblemxx den H = F dir..=(- ).=(- ).= -. = -. 1 = -.= + - = +(- )(+)= -.= = -.F=(-F)=(-H)=.H roblem. ir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları verilsin. ve, de kesişsin. noktasından çembere çizilen teğetin değme noktası T olsun. den geçen ye paralel doğru ile, de kesişsin. T = olduğunu roblem. kirişler dörtgeninin çevrel çemberinin merkezi ve yarıçapı R dir. =, = ve = S olsun.,, S noktalarının noktasına uzaklıkları sırasıyla p, q, s ise S üçgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. yrıca noktasının S üçgeninin diklik merkezi olduğunu Çözüm: ve çemberlerinin kesim noktası olsun. m() = - m() ve m() = m() = m() = m() olduğundan,, noktaları doğrusaldır. u durumda + = dur. noktasının çemberine göre kuvvetinden. =. = p R olur. noktasının çemberine göre kuvvetinden. =. =. = q R dir. =. +. = p + q R olur. 16
KUVVT KSNİ Tanım. ş merkezli olmayan iki çembere göre eş kuvvette olan noktaların geometrik yerine bu çemberlerin kuvvet ekseni denir. S N R Teorem. Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni çemberlerin kesim noktalarından geçen doğrudur. Teorem. irbirine teğet olan iki çemberin kuvvet ekseni değme noktasında çemberlere teğet olan doğrudur. Teorem. İki çemberin kuvvet ekseni merkezleri birleştiren doğruya diktir. Çözüm: merkezli çemberin ve R deki teğetleri de kesişsin. = R olduğundan noktası içten teğet olan çemberlerin kuvvet ekseni üzerinde olur. olayısı ile, N, doğrusaldır. R ile nin kesim noktası S olmak üzere R ve olduğundan dik üçgeninde = S. ve noktasının N çemberine nazaran kuvvetinden = N. dir. u durumda S. = N. eşitliği elde edilir. u eşitlik ise NS olduğunu gösterir ki m(sn) = m(n) = 90 0 olacaktır. Teorem. erkezleri doğrusal olmayan üç çemberin ikişer ikişer kuvvet eksenleri noktadaştır. u noktaya çemberlerin kuvvet noktası denir. roblem-k. İkişer ikişer kesişen üç çemberin ortak kirişleri noktadaş veya paraleldir. Çözüm: ğer çemberlerin merkezleri doğrusal ise merkezleri birleştiren doğrular ortak kirişlere dik olacağından ortak kirişler birbirine paraleldir. rtak kirişleri taşıyan doğrular çemberlerin kuvvet eksenleri olduğundan bu eksenler paralel olmalıdır. ğer çemberlerin merkezleri doğrusal değil ise ortak kirişler kuvvet eksenlerini tasıyan doğrular olup T-x den bu eksenler noktadaştır. roblem. Kesişmeyen 1 ve çemberlerinin merkezleri sırasıyla 1 ve olup 1 doğru parçası çemberleri sırasıyla 1 ve de kessin. 1 ve çemberleri üzerinde sırasıyla 1 ve noktaları alınsın. 1 çemberlerin ortak dış teğeti ve 1 1 ve nin kesim noktası olsun. den geçen 1 ye dik doğrunun bu çemberlerin kuvvet ekseni olduğunu kanıtlayınız. Çözüm: 1, [ 1 ] olsun. den geçen 1 ye dik doğru 1 yi da kessin. 1 1 1 ve 1 olduğundan 1 1 // olur. m( 1 1 1 ) = m( 1 1 1 ) = olsun. u durumda m( 1 1 1 ) = 180 0. ve m( ) =. olup m( 1 ) = 90 0, m( 1 ) =, m( 1 ) =, m( 1 ) = 90 0 - olur. u durumda 1 = olur. u ise noktasının bu çemberlerin kuvvete ekseni üzerinde olduğunu gösterir. iğer taraftan 1 1 olduğundan 1. 1 =. olduğundan noktası da çemberlerin kuvvete ekseni üzerindedir. olayısı ile, 1 ve çemberlerinin kuvvet eksenidir. 1 roblem. merkezli bir çembere içten teğet olan iki çemberin değme noktaları ve R olup bu çemberler ve N de kesişmektedirler., N, R doğrusal ise N olduğunu 1 1 // 1 // 17
ğer 1, [ 1 ] ise 1 1 = 1 olacaktır. 1 1 dikdörtgen ve 1 = olduğundan,, 1 noktaları doğusal olup kuvvet ekseni olduğundan 1 de kuvvet ekseni olacaktır. ve 1 çaplı çemberlerin ortak kirişi ile ve noktadaştır. roblem. Kesişmeyen iki çemberin ortak iç ve dış teğetlerinin orta noktalarının doğrusal olduğunu roblem. merkezli bir çember üzerinde verilen sırada,,, noktaları alınsın. ile nin kesim noktası ve ile nin kesim noktası F dir. F ve F üçgenlerinin çevrel çemberleri F den başka H de kesişiyor ise m(hf) = 90 0 olduğunu H F Çözüm: rtak dış teğetlerin orta noktalarının iki çembere nazaran kuvvetleri eş olduğundan bu noktalar çemberlerin kuvvet ekseni üzerinde olmalıdır. enzer şekilde ortak iç teğetlerin iki çembere nazaran kuvvetleri eşit olduğundan bu noktalar da kuvvet ekseni üzerindedir. olayısı ile bu dört nokta çemberlerin kuvvet ekseni üzerindedir. roblem. üçgeninin ve kenarları üzerinde sırasıyla 1 ve 1 noktaları verilsin. 1 ve 1 çaplı çemberlerin ortak kirişinin üçgeninin diklik merkezinden geçtiğini Çözüm: H, H ve çemberlerinin ikişer ikişer ortak kirişleri, ve HF olup bu doğrular noktadaştır. u durumda, F, H doğrusaldır. m(h) = m(f) + m(f) =.m(f) = m() olur. u durumda noktası H üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olmalıdır. enzer şekilde noktasının H üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğu da gösterilebilir. u durumda m(hf) = m(h) + m(hf) = m() + m(f) olur. m() = m(f) ve.m() = m() = 180 0.m() olup m() = 90 0 - m() olduğundan m(hf) = 90 0 ve, H, doğrusal olduğundan m(hf) = m(hf) = 90 0 dir. 1 1 roblem [Haruki-eva]. Üç çember ikişer ikişer 1,, 1,, 1, noktalarında kesiştiğine göre 1. 1. 1 1 1 1 1 olduğunu 1 Çözüm: ve üçgenin yükseklikleri olsun. u durumda 1 çaplı çember den, 1 çaplı çember den geçer. yrıca ve nin kesim noktası üçgeninin diklik merkezidir. ve, çaplı ve den geçen çemberin diğer iki çemberle ortak kirişleridir. -k dan 1 1 1 18
Çözüm: Çemberlerin ikişer ikişer ortak kirişleri noktadaş olacağından 1, 1, 1 noktadaş olup kesim noktasına diyelim. 1 1 olduğundan 1 1 olup 1 1 benzer şekilde 1 1 ve 1 1 olduğundan 1 1 ve 1 1 olup eşitlikleri taraf taraf çarparsak 1 1 1 1 1 1. 1 1. 1. 1 1 olur. 1 1 1 1 1 1 roblem. üçgeninin kenarı üzerinde bir 1 noktası verilsin. 1 nin orta dikmesi yi de, 1 nin orta dikmesi ise yi da kessin. 1 noktasının ya göre simetriğinin üçgeninin çevrel çemberi üzerinde olduğunu 1 1 1 Çözüm: 1 ve 1, dan geçen ye paralel doğruyu sırasıyla 1 ve 1 de kessin. u durumda = 1 ve = 1 olup gerekli açı işlemleri yapılırsa 1 1 1 olur.. = 1. 1 ve. = 1. 1 olduğundan ve noktaları ve 1 1 1 üçgenlerinin çevrel çemberlerine nazaran eşit kuvvettedirler. u durumda, bu iki çemberin kuvvet eksenidir. yrıca bu iki çember eş olduğundan kuvvet ekseni aynı zamanda simetri eksenidir. u sebeple 1 1 1 üçgeninin çevrel çemberi üzerindeki 1 noktası üçgeninin çevrel çemberi üzerindedir. 19