AKT 418 Aktüeryal Sistem Benzetimi

AKT 418 Aktüeryal Sistem Benzetimi Ders 1 Sistem, model, Monte Carlo simülasyonu Dr. Murat BÜYÜKYAZICI muratby@hacettepe.edu.tr Hacettepe Üniversitesi Aktüerya Bilimleri Bölümü

Anlamlı bir söz! Sadece ortalama derinliğinin 120 cm olduğu bilgisine güvenerek, bir derenin karşı tarafına yürüyerek geçmeyi asla deneme. Never try to walk across a river just because it has an average depth of four feet. Milton Friedman Nobel ödülü almış Amerikalı bir ekonomist Şubat 15 Dr. Murat Büyükyazıcı 2

Modelleme ve Simülasyon Bu bölümde, Sistem ve model Deterministik ve stokastik modeller Deterministik ve stokastik çözüm yaklaşımları Model değişkenleri Çeşitli alanlarda model değişkenleri örnekleri Simülasyon modeli Monte-Carlo simülasyonu Rasgele Sayı Üretme Yöntemleri Simülasyon modeli geliştirme süreci konuları ele alınacaktır. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 3

Modelleme ve Simülasyon Sistem ve Model Güneş sistemi: Gerçek hayatta karşılaşılan sorunlar çok çeşitli ve çok boyutludur. Sorunların çözümü için çoğu kez analitik yöntemlerden yararlanılmaktadır. Çözümlerin kalıcı ve etkin olabilmesi için sorunun tüm bileşenleri ile birlikte bir sistem yaklaşımı içinde ele alınması gerekir. Bu durumda ise, analitik yöntemlerle çözüm elde edilemeyebilir. Güneş sistemi modeli: Sistem yaklaşımı içerisinde çözümü uygulayacak karar vericilerin sistem ve model kavramlarını bilmesi gerekmektedir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 4

Modelleme ve Simülasyon Sistem Aralarında ilişki bulunan ve birbirlerini karşılıklı olarak etkileyen bileşenlerin oluşturduğu bir yapıdır. Sistemler çeşitli açılardan sınıflandırılabilir: Yapılarına göre; doğal ve insan yapısı sistemler, Çevre ile ilişkilerine göre; açık ve kapalı sistemler, Sistem bileşenlerinin davranışının önceden kestirilebilirliğine göre; deterministik ve stokastik sistemler, Zaman içinde gösterdiği değişime göre, statik ve dinamik sistemler olarak sınıflandırılabilir. Güneş sistemi, doğal, açık, stokastik ve dinamik bir sistemdir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 5

Modelleme ve Simülasyon Model Sistemin bileşenleri arasındaki ilişkilerin fiziksel büyüklükler, sözel ya da matematiksel ifadeler ile belirlenmiş biçimine model denir. Sistem modeli, ele alınan sistemin değişik koşullar altındaki davranışlarını incelemek, sistemi denetlemek sistemin gelecekteki davranışlarını kestirmek amacıyla kullanılabilir. analog model ölçek model matematiksel model 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 6

Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Modeller Deterministik modellerde her bir bileşenin davranışı önceden kesin olarak bilinir. Örnekler Dijital devre simülasyonu. Bir kimyasal tepkimenin diferansiyel denklemlere dayalı simülasyonu. Belirlenen bir girdi kümesi için elde edilecek sonuç deterministiktir. Stokastik modellerde ise rastlantıya bağlı olayların ortaya çıkma durumu söz konusudur ve bu nedenle sistem bileşenlerinin davranışı önceden kesin olarak bilinemez. Örnekler Bir mağaza ya da restoranda gelen iki müşteri arasında geçen süre Bir mağaza ya da restoranda müşteriye verilen hizmet süresi Elde edilecek sonuç bir rastlantı değişkenidir. Çok sayıda deneme yapılarak elde edilecek sonuçların olasılık dağılımı incelenir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 7

Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Çözüm Yaklaşımları Deterministik çözüm yaklaşımı Stokastik çözüm yaklaşımı alt sınır üst sınır alt sınır üst sınır kabul edilebilir 15% arıza oluşma olasılığı - kabul edilemez - 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 8

Modelleme ve Simülasyon Deterministik ve Stokastik Çözüm Yaklaşımları Deterministik çözüm yaklaşımı: Beklenen kar = 1,68 milyon $ Stokastik yaklaşım: Beklenen kar = 1,68 milyon $ Zarar etme olasılığı = 0,28 dağılıma ilşikin her türlü istatistik hesaplanabilir. - $4 M - $2 M $0 M $2 M $4 M $6 M $8 M NPV 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 9

Modelleme ve Simülasyon Model Değişkenleri Karar değişkenleri (decision variables), değerleri kontrol edilebilen yani karar verici tarafından belirlenebilen değişkenlerdir.örnekler: bir dairenin aylık kirasının kaç TL olacağı hangi yatırım seçeneğine ne kadar para yatırılacağı Durum (varsayım) değişkenleri (assumption variables), değerleri bir olasılık dağılımına bağlı olarak rasgele ortaya çıkan değişkenlerdir. Bu değişkenlerin değerleri karar verici tarafından kontrol edilemediğinden kontrol edilemeyen değişkenler olarak da adlandırılır. Örnekler: enflasyon oranı müşterinin aylık geliri Sistem parametreleri, genellikle fiziksel sabitleri, tasarım parametrelerini, oransal katsayıları gösterirler. Örnekler: pi sayısı vergi oranı Kestirim değişkenleri (forecast variables), değerleri sistem parametrelerine, karar değişkenlerine, varsayım değişkenlerine bağlı olarak ortaya çıkar. Matematiksel modelde bu değişkenlerin değerlerini kullanarak hesaplanır. Örnekler: toplam kar piyasa payı müşteri memnuniyeti 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 10

Modelleme ve Simülasyon Çeşitli Alanlarda, Model Değişkenleri Örnekleri Alan Karar değişkenleri Kestirim değişkenleri Durum (varsayım) değişkenleri Finansal yatırım Yatırım seçenekleri ve her bir Toplam kar Enflasyon oranı seçeneğe ne kadar yatırılacağı Ne zaman yatırılacak İç getiri oranı Kredi faizi Ne kadar vade ile yatırılacak Hisse başına kazanç Likit seviyesi Pazarlama Reklam bütçesi Pazar payı Müşterinin gelir seviyesi Hangi reklam aracına ne kadar Müşteri memnuniyeti Rakip firmaların durumu reklam harcaması yapılacak Üretim Ne ve ne kadar üretilecek Toplam maliyet Makine kapasiteleri Envanter seviyeleri Kalite seviyesi Teknoloji İşçi memnuniyeti Ham madde maliyetleri Ulaşım / Taşıma Sevkiyat çizelgesi Müşteri memnuniyeti Taşıma hizmeti talep seviyesi Sigorta Saklama payı seviyesi Sigorta şirketinin toplam Her bir poliçenin hasar miktarı hasar ödemesi Reasürans şirketinin toplam hasar ödemesi 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 11

Modelleme ve Simülasyon Simülasyon Modeli Bir stokastik modelin çözümü analitik olarak elde edilemediği zamanlarda, sistemin simülasyon modeli kurulabilir. Simülasyon modeli üzerinde çok sayıda denemeler yaparak çözüm aranır. Denemeler bilgisayar programı aracılığıyla yapılır. Simülasyon modeli ile yapılan denemeler ile incelenen sistemin çeşitli etkiler karşısındaki davranışları incelenir. En iyi sistem davranışını belirlemek için çeşitli ölçütler kullanılabilir. Bu ölçütlere sistem başarım ölçütleri denir. Kestirim değişkenleri (forecast) sistem başarım ölçütü olarak kullanılabilir. Aylık prim büyüklüğünün 1.000 deneme sonucu elde edilen değerlerinin dağılım grafiği. Kullanılan simülasyon programı, Crystal Ball Simülasyon deneme sayısı, 1.000 Kestirim değişkeni (forecast): aylık prim Aylık prim ortalaması, 2.158 TL Aylık prim değerinin 2.000 TL den büyük olması olasılığı %72.09 dur. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 12

Modelleme ve Simülasyon Monte Carlo Simülasyonu Simülasyon, incelenen sistemin modelini kurmayı ve model üzerinde deney yapmayı kapsayan bir tekniktir. Bir simülasyon çalışması, incelenen sistemin neden-sonuç ilişkilerini betimleyen modelin davranışları incelenerek yapılır. İncelenen sistemin modeli stokastik bir yapıya sahipse, bir başka deyişle belirsizliği içeren varsayım değişkenlerine sahipse, ve modelin analitik çözümü elde edilemiyorsa çözüm rasgele sayılar üretmeye dayalı Monte-Carlo Simülasyonu tekniği ile incelenebilir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 13

Modelleme ve Simülasyon Rasgele Sayı Üretme Yöntemleri İstatistiksel dağılımlara ait rasgele sayılar, (0,1) aralığında tanımlı uniform dağılımdan rasgele sayılar kullanılarak elde edilir. Uygulamada yaygın olarak kullanılan rastgele sayı üretme yöntemleri: Ters dönüşüm yöntemi ile rastgele sayı üretme Ters dönüşüm yöntemi Doğrudan benzetim yöntemi Reddetme yöntemi 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 14

Modelleme ve Simülasyon Simülasyon Modeli Geliştirme Süreci Adım 1. Sorunu tanımla. Adım 2. Eldeki veri kaynaklarını incele ve veri gereksinmesini belirle. Adım 3. Gerekli verileri topla, simülasyon modelinin parametrelerini tahmin et. Adım 4. Karar değişkenlerini, varsayım değişkenlerini, çıktı değişkenlerini belirle. Adım 5. Simülasyon modelini bilgisar programını (ya da hesap tablosu (spreadsheet) yapısını oluştur) yaz. Adım 6. Simülasyon modelinin geçerliliğini test et, geçerli değilse önceki adımlara dön. Adım 7. Benzetim denemelerini tasarla ve gerçekleştir. Adım 8. Sonuçları incele ve yorumla, sonuçlar tatmin edici değilse önceki adımlara dön. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 15

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Bu bölümde, Betimleyici istatistikler Konum ve dağılım ölçüleri Çarpıklık, basıklık katsayıları Sürekli ve kesikli dağılımlar Birikimli dağılım fonksiyonları Temel dağılımlar konuları ele alınacaktır. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 16

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Betimleyici İstatistikler Betimleyici istatistikler veri setinde yer alan değişkenleri özetleyen, tanıtan değerlerdir. n birime ait verinin genel eğilimi, yayılımı ve belirli değerler etrafında toplanma yığılmaları hakkında bilgi edinmek için betimleyici istatistikler hesaplanır. Betimleyici istatistikler Konum ölçüleri Dağılım ölçüleri olarak iki grupta incelenir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 17

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Konum Ölçüleri Konum ölçüleri, verilerin merkezi eğilimlerini ve verilerin belirli yüzdelerinin hangi değerler arasında toplanma eğilimi gösterdiğini belirten tipik değerlerdir. Bu istatistikler, kitle parametresini tahmine yardımcı olur. aritmetik ortalama (mean, average) ortanca (median) çeyrek (quartile) değerler yüzdelik (percentage) değerler Dağılım Ölçüleri Verilerin dağılım biçimini, ortalama etrafında değişimini, yayılmalarını ve serpilmelerini belirlemeye yarayan ölçülerdir. değişim aralığı (değişim genişliği, range) varyans (variance) standart sapma (standart deviation) standart hata (standart error of mean) basıklık (kurtosis) çarpıklık (skewness) değişim katsayısı (coefficient of variation) en küçük değer (minimum) en büyük değer (maximum) 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 18

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Aritmetik Ortalama: n değerleri toplamının n e (birim sayısına) bölünmesiyle bulunur. Çan eğrisi biçiminde simetrik dağılım gösteren verileri en iyi temsil eden merkezi eğilim ölçüsüdür. Analitik karşılaştırmalarda en sık kullanılan istatistiktir. Varyans: Bir dizideki değerlerin ortalamadan olan farklarının kareleri toplamının (n-1) sayısına bölünmesiyle bulunan bir dağılım ölçüsüdür. Standart Sapma: Varyansın kare kökü alınarak bulunan bir standart dağılım ölçüsüdür. Standart Hata: Örneklem ortalamalarının oluşturduğu dağılımın standart sapmasını veren bir dağılım ölçüsüdür. Standart hata, kitle ortalaması ile bu kitleden çekilen örneklemin ortalaması arsındaki fark şeklinde de ifade edilebilir. Standart hata, örneklem standart sapması ile doğru ve örneklemin denek sayısı ile ters bağlantılıdır. Değişim Katsayısı (Coefficient of Variation): Standart sapmanın ortalamaya bölünmesi ile elde edilir. Farklı birimlerdeki değişkenlerin standart sapmalarının, ortalamalarına bölmek suretiyle birimden bağımsızlaştırarak, ortalamadan sapmalarının karşılaştırılabilir olmasını sağlar. Dağılım Genişliği: En büyük ve en küçük değerler arasındaki farka dağılım genişliği (range) denir. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 19

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Çarpıklık (Skewness) Bir dağılımın normal dağılıma göre simetrik ya da çarpık (asimetrik) olup olmadığını belirten bir ölçüdür. Simetrik (normal) dağılımda çarpıklık değeri 0 dır. Dağılımın simetrik olup olmadığı, çarpıklığın önemliliği: 1 den büyük ya da -1 den küçük ise oldukça çarpık 0,5 ile 1 arasında ya da -1 ile -0,5 arasında ise orta ölçüde çarpık -0,5 ile 0,5 arasında ise oldukça simetrik Sağa çarpık : çok yüksek ücretler bulunmasına rağmen, ücrertlerin çoğu en düşük ücrete yakın. Çarpıklık katsayısı > 0 Sağa çarpık Çarpıklık katsayısı = 0 Simetrik Çarpıklık katsayısı < 0 Sola çarpık Sola çarpık : çok düşük ücretler bulunmasına rağmen, ücretlerin çoğu en yüksek ücrete yakın. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 20

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Basıklık (Kurtosis) Bir dağılımın normal dağılıma göre basık ya da sivri (tepeleşmiş) olup olmadığını belirten bir ölçüdür. Normal dağılımın basıklık katsayısı 3 dür ve genellikle bu değer referans olarak alınır. 3 den küçük ise dağılımın basık tepeli 3 den büyük ise sivri tepeli olduğu söylenebilir. Basık tepeli : ücretlerin çoğu daha geniş bir alana yayılmıştır.. Basıklık Katsayısı < 3 Basıklık Katsayısı = 3 Basıklık Katsayısı > 3 Sivri tepeli : az sayıda çok düşük ve çok yüksek ücret olsa da, ücretlerin çoğu birbirine yakın. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 21

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Kesikli ve Sürekli Dağılımlar Kesikli Dağılım 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p(x) 4 5 6 7 8 9 0.05, x 9 0.10, x 4 ve 8 p( xi ) 0.15, x 7 0.3, x 5 ve 6 x 9 x4 p( x) 1 f(x) Sürekli Dağılım ( x) 1 2 2 f ( x) e 2, x 2 f ( x) dx 1 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 22

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Birikimli Dağılım Fonksiyonları, F(x) Kesikli Dağılım 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p(x) 4 5 6 7 8 9 f(x) x 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 F(x) 4 5 6 7 8 9 F(x) x F( x) p( x) x x4 Sürekli Dağılım x F( x) f ( x) dx 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 23

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Temel Dağılımlar Normal Dağılım Bernolli Dağılımı (Yes No) Lognormal Dağılım Binom Dağılımı Üçgen Dağılım (triangular) Poisson Dağılımı Tekdüze Dağılım (uniform) Negatif Binom Dağılımı 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 24

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Özellikleri En çok gözlenen değerler ortalamaya yakın olan değerlerdir. Simetriktir. Herhangi bir değerin ortalamaya yakın olması olasılığı uzak olması olasılığından büyüktür. Uygulama Alanları Doğal olaylar İnsanların boyları Nüfus yenileme hızı Enflasyon Portföy getirisi 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 25

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Log Normal Dağılım Özellikleri Üst sınırı yoktur. Alt sınırı 0 dır. Çoğu değer alt sınıra yakın ve dolayısıyla sağa çarpıktır. Logaritması alındığında Normal dağılıma dönüşür. Uygulama Alanları Değerlerin dağılımı sağa çarpık ve değerlerin negatif değer alma şansı olmadığında kullanılabilir. Gayrimenkul fiyatları Hasar büyüklükleri Hisse senedi fiyatları Petrol rezerv büyüklüğü 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 26

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Üçgen Dağılım Özellikleri Bir alt ve üst sınırı vardır. Alt ve üst sınır arasında bir yerde en çok rastlanan değer vardır ve üçgen biçiminde bir olasılık fonksiyonudur. Uygulama Alanları Değerlerin alt sınırı, üst sınırı ve ençok rastlanan değer biliniyorsa kullanılır. Sınırlı miktarda veri olduğunda yararlıdır. Satış miktarları Stok miktarları Pazarlama maliyetleri 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 27

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Üstel Dağılım (Exponantial) Özellikleri Oluşlar arasında geçen sürenin dağılımıdır. Dolayısıyla alt sınırı 0 dır. Üst sınırı yoktur. Önceki olaylardan bağımsızdır. Uygulama Alanları Gelen telefonlar arasında geçen süre Müşteri gelişleri arasında geçen süre 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 28

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Tekdüze (Uniform) Dağılım Özellikleri Bir alt ve üst sınırı vardır. Dağılım genişliği içindeki herhangi bir değeri alması olasılığı eşittir. Kesikli tekdüze (discrete uniform) dağılımı tekdüze dağılımın kesikli karşılığıdır. Uygulama Alanları Değerlerin alt ve üst sınırları bilindiğinde ve olasılıkların eşit olduğu bilindiğinde kullanılır. Gayrimenkül ekspertiz değeri Bir boru hattında sızıntı olan yer. Hilesiz bir zar atıldığında gelen sayılar 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 29

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı ve Bernoulli Dağılımı (Yes-No) Özellikleri Her denemede yanlız iki olası sonuç vardır (başarı, başarısızlık; yazı, tura; var, yok; evet, hayır; doğru, yanlış) Denemeler birbirinden bağımsızdır. Her denemede başarılı olayın gerçekleşmesi olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Deneme sayısı bir olduğunda başarı ile sonuçlanan deneme sayısı bernolli dağılımına, birden fazla olduğunda binom dağılımına uyar. Uygulama Alanları Hilesiz bir bozuk para 10 kez atıldığında gelecek olan tura sayısı Bir sigorta portföyünde aynı yaş grubunda olanlardan bir yıl içinde ölenelerin sayısı 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 30

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Poison Dağılımı Özellikleri Olayların oluş sayısı Olayların gerçekleşmesi birbirinden ve zamandan bağımsız. Uygulama Alanları Belirlenen bir aralıkta (çoğunlukla zaman aralığı) ortaya çıkan yada gözlenen olaylar, oluşumların sayısı. Dakikada gelen telefon arama sayısı Bir materyalin 100 m2 sinde gözlemlenen hata sayısı Bir yılda gerçekleşen kaza sayısı 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 31

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Geometrik Dağılım Özellikleri Deneme sayısı için bir üst sınır yoktur. İlk başarılı deneme gerçekleşinceye kadar denemeler devam eder. Her denemede başarı olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Uygulama Alanları İlk başarılı deneme gerçekleşinceye kadar yapılması gereken deneme sayısını modellemede kullanılır. Petrol buluncaya kadar kaç kuyu sondalamak gerektiği. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 32

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Negatif Binom Dağılımı Özellikleri Deneme sayısı için bir üst sınır yoktur. r. başarılı deneme gerçekleşinceye kadar denemeler devam eder. Her denemede başarı olasılığı aynıdır, denemeler süresince değişmez. Uygulama Alanları r. başarılı deneme gerçekleşinceye kadar yapılması gereken deneme sayısını modellemede kullanılır. 10. siparişi alıncaya kadar yapılması gereken satış ziyareti sayısı. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 33

Temel İstatistik ve Olasılık Dağılımları Hipergeometric Dağılımı Özellikleri Kitle sayısı sabit. Kitleden örneklem çekiliyor. Başarı olasılığı denemeden denemeye değişiyor (yerine koymadan örneklem) Uygulama Alanları Bir torbada 10 top (population=10) olsun. Topların 4 tanesi kırmızı (success=4) olsun. Yerine koymadan 3 tanesi çekilirse (trials=3) gelen kırmızı topların sayısı hipergeometrik dağılıma uyar. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 34

Nokta Tahmin ile Simülasyon Farkı Simülasyon çok sayıda olası sonucu hızlı bir şekilde oluşturmanın ve analiz etmenin bir yoludur Nokta tahmini = beklenen değerlerle elde edilen 1 tablo Simülasyon = Her seferinde farklı rastgele sayılarla çok sayıda tablo ve sonuçların özeti 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 35

Örnek: Ekipman Kiralama Müdürlüğü İşi Yeni bir iş için karar verme Pozisyon İşle ilgili veriler Ekipman kiralama işinde müdürlük Aylık 3.000TL maaş artı brüt karın %2 si kadar prim En iyi diğer seçenek 5.000TL lık sabit aylık gelirle bir başka iş. Ücreti satıştaki değişkenliğe göre almak. Aylık kiralar: min. 2.000TL, maksimum 2.500TL, en olası değer 2.100TL. Maliyetlerdeki değişkenlik aralığı: 600TL-900TL, en olası 800TL. 100 birim ekipman var. Kiralanan birim sayısı ortalama 85 ve dağılım aralığı (70-100) Sabit maliyet değişkenlik aralığı: 10.000TL-16.000TL, en olası 15.500TL. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 36

Örnek 1 için Nokta Tahmini Ekipman Kiralama Müdürlüğü İşi Gelir Maliyet Prim oranı 0,02 Birim başına kiralama ücreti 2.100 Kiralanacak birim adedi 85 Aylık toplam gelir 178.500 =D4*D5 Birim başına değişken maliyet 800 Toplam değişken maliyet 68.000 =D5*D9 Sabit maliyet 15.500 Aylık toplam maliyet 83.500 =D10+D11 Brüt kar 95.000 =D6-D12 Aylık prim 1.900 =D16*D4 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 37

Örnek 1 için Dağılım Genişliği Tahminleri En kötü durum Prim oranı 0,02 En olası durum Prim oranı 0,02 Gelir Birim başına kiralama ücreti 2.000 Gelir Birim başına kiralama ücreti 2.100 Kiralanacak birim adedi 70 Kiralanacak birim adedi 85 Aylık toplam gelir 140.000 Aylık toplam gelir 178.500 Maliyet Birim başına değişken maliyet 900 Maliyet Birim başına değişken maliyet 800 Toplam değişken maliyet 63.000 Toplam değişken maliyet 68.000 Sabit maliyet 16.000 Sabit maliyet 15.500 Aylık toplam maliyet 79.000 Aylık toplam maliyet 83.500 Brüt kar 61.000 Aylık prim 1.220 Brüt kar 95.000 Aylık prim 1.900 En yüksek maaş 3.000 TL+3.600 TL = 6.600 TL Beklenen maaş 3.000 TL+1.900 TL = 4.900 TL En düşük maaş 3.000 TL+1.220 TL = 4.220 TL Karar ne olacak, olasılıklar ne? En iyi durum Prim oranı 0,02 Gelir Birim başına kiralama ücreti 2.500 Kiralanacak birim adedi 100 Aylık toplam gelir 250.000 Maliyet Birim başına değişken maliyet 600 Toplam değişken maliyet 60.000 Sabit maliyet 10.000 Aylık toplam maliyet 70.000 Brüt kar 180.000 Aylık prim 3.600 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 38

Örnek 1 için varsayım değişkenleri Birim başına kiralama ücreti üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları 2.000TL ve 2.500TL, tepe noktası 2.100TL). Birim başına değişken maliyet üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları 600TL ve 900TL, tepe noktası 800TL) Sabit maliyet üçgen dağılıma uygun olsun (uç noktaları 10.000TL ve 16.000TL, tepe noktası 15.500TL) Kiralanacak birim adedi normal dağılıma uygun olsun (ortalaması 85, standart sapma 5). Kiralanabilecek minimum birim sayısı 70, maksimum 100. Kestirim değişkeni (forecast), aylık prim. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 39

Aylık prim kestirim grafiği Kestirim değerinin sınırlar içinde kalması olasılığı 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 40

Aylık prim kestirim grafiği Ekipman kiralama müdürünün değişen priminin ayda en az 2.000TL yani toplam aylık maaşının en az 5.000TL olması olasılığı %71.07. Bu durumda, alternatif iş seçeneği olan ayda 5.000TL ye çalışmaktansa %71 olasılıkla en az 5.000TL kazanma şansı olan ekipman kiralama müdürlüğü işini tercih etmesi mantıklı görülüyor. 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 41

Aylık prim istatistikleri 20.01.2011 Dr. Murat BÜYÜKYAZICI 42