İçindekiler Ön Söz xiii 1 Adi Diferensiyel Denklemler 1 BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3 1.1 Terminololoji ve Değişkenlerine Ayrıştırılabilir Denklemler 3 1.2. Lineer Denklemler 16 1.3 Tam Diferensiyel Denklemler 21 1.4 Homojen, Bernoulli ve Riccati Denklemleri 26 1.4.1 Homojen Diferensiyel Denklem 26 1.4.2 Bernoulli Denklemi 27 1.4.3 Riccati Denklemi 28 1.5 İlave Uygulamalar 30 1.6 Varlık ve Teklik Soruları 40 BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43 2.1 Lineer İkinci Mertebe Diferensiyel Denklem 43 2.2 Sabit Katsayılı Hal 50 2.3 Gayri Homojen Denklemler 55 2.3.1 Parametrelerin Değişimi Yöntemi 55 2.3.2 Belirsiz Katsayılar Yöntemi 57 2.3.3 Süperpozisyon ilkesi 60 2.4 Kütle -Yay Sisteminin Hareketi 61 2.4.1 Zorlanmamış Hareket 62 2.4.2 Zorlanmış Hareket 66 2.4.3 Rezonans 67 2.4.4 Genlik Modülasyonu 69 2.4.5 Elektrik Devresi ile Analoji 70 2.5 Euler Diferensiyel Denklemi 72 BÖLÜM 3 Laplace Dönüşümü 77 3.1 Tanımlar ve Gösterim 77 3.2 Başlangıç Değer Probleminin Çözümü 81 3.3. Kaydırma ve Heaviside Fonksiyonu 84 V
VI İçindekiler 3.3.1 Birinci Kaydırma Teoremi 84 3.3.2 Heaviside Fonksiyonu ve Puls 86 3.3.3 Heaviside Formülü 93 3.4 Konvolüsyon 96 3.5 İmpuls ve Delta Dirac Fonksiyonu 102 3.6 Denklem Takımının Çözümü 106 3.7 Polinom Formunda Katsayılar 112 3.7.1 Polinom Katsayılı Diferensiyel Denklemler 112 3.7.2 Bessel Fonksiyonları 114 BÖLÜM 4 Seri Çözümler 121 4.1 Güç Serileri Çözümü 121 4.2 Frobenius Çözümleri 126 BÖLÜM 5 Çözümlerin Yaklaşıklığı 137 5.1 Doğrultu Alanları 137 5.2 Euler Yöntemi 139 5.3 Taylor ve İyileştirilmiş Euler Yöntemi 142 2 Vektörler, Lineer Cebir ve Lineer Diferensiyel Denklem Sistemleri 145 BÖLÜM 6 Vektörler ve Vektör Uzayları 147 6.1 Düzlemde ve 3 Boyutlu Uzayda Vektörler 147 6.2 Nokta Çarpım 154 6.3 Vektörel Çarpım 159 6.4 R n Vektör Uzayı 162 6.5 Dikleştirme 175 6.6 Dik Tamamlayıcılar ve İzdüşümler 177 6.7 C[a, b] Fonksiyon Uzayı 181 BÖLÜM 7 Matrisler ve Lineer Sistemler 187 7.1 Matrisler 187 7.1.1 Diğer Bir Açıdan Matris Çarpımı 191 7.1.2 Terminoloji ve Özel Matrisler 192 7.1.3 Kristaller İçinde Random Yürüyüşler 194 7.2 Elemanter Satır İşlemleri 198 7.3 İndirgenmiş Satır Diziliş Formu 203 7.4 Satır ve Sütün Uzayları 208 7.5 Homojen Sistemler 213 7.6 Gayri - Homojen Sistem 220 7.7 Matrislerin Tersi 226 7.8 En Küçük Kareler Vektörleri ve Data Uydurma 232 7.9 LU Ayırma İşlemi (LU Factorization) 237 7.10 Lineer Dönüşümler 240
İçindekiler VII BÖLÜM 8 Determinantlar 247 8.1 Determinantın Tanımı 247 8.2 Determinantların Değerlendirilmesi I 252 8.3 Determinantların Değerlendirilmesi, II 255 8.4 A -1 İçin Determinant Formülü 259 8.5 Kramer Kuralı 260 8.6 Matris Ağacı Teoremi 262 BÖLÜM 9 Özdeğerler, Dikleştirme ve Özel Matrisler 267 9.1 Özdeğerler ve Özvektörler 267 9.2 Dikleştirme 277 9.3 Bazı Özel Matris Tipleri 284 9.3.1 Dik Matrisler 284 9.3.2. Üniter Matris 286 9.3.3 Hermitian ve Çarpık Hermitian Matrisler 288 9.3.4 Kuadratik (İkinci Derece) Formlar 290 BÖLÜM 10 Vektör Diferensiyel Hesap 295 10.1 Lineer Sistemler 295 10.1.1 X = AX Homojen Sistemi 296 10.1.2 Gayri-Homojen Sistemler 301 10.2 Sabit A Matrisi Halinde X = AX Sisteminin Çözümü 302 10.2.1 A nın Kompleks Özdeğere Sahip Olduğu Zamanki Çözüm 306 10.2.2 A nın n adet Lineer Bağımsız Özvektöre Sahip Olmadığı Zamanki Çözüm 308 10.3 X = AX + G Sisteminin Çözümü 312 10.3.1 Parametrelerin Değişimi Yöntemi 312 10.3.2 A yı Köşegenelleştirerek Çözüm 314 10.4 Exponansiyel Matris Çözümleri 316 10.5 Uygulamalar ve Tekniklerin Örneklendirilmesi 319 10.6 Faz Potreleri 329 10.6.1 Özdeğerelere Göre Sınıflandırma 329 10.6.2 Avcı/Av ve Türlerde Rekabet Modeli 338 3 Vektör Analizi 343 BÖLÜM 11 Vektör Diferensiyel Hesap 345 11.1 Bir Değişkenli Vektör Fonksiyonları 345 11.2 Hız ve Eğrilik 349 11.3 Vektör Alanları ve Akım Çizgileri 354 11.4 Gradiyent Alanı 356 11.4.1 Seviye Yüzeyleri, Teğet Düzlemler ve Normal Çizgileri 359 11.5 Diverjans ve Curl 362 11.5.1 Diverjansın Fiziki Yorumu 364 11.5.2 Curl'un Fiziki Yorumu 365
VIII İçindekiler BÖLÜM 12 Vektör İntegral Hesabı 367 12.1 Çizgisel İntegraller 367 12.1.1 Yay Uzunluğuna Göre Çizgisel İntegral 372 12.2 Green Teoremi 374 12.3 Green Teoreminin Bir Genişlemesi 376 12.4 Yoldan Bağımsızlık ve Potansiyel Teori 380 12.5 Yüzey İntegralleri 388 12.5.1 Bir Yüzeye Normal (dik) Vektör 389 12.5.2 Bir Yüzeye Teğet Düzlem 392 12.5.3 Parçalı Düzgün Yüzeyler 392 12.5.4 Yüzey İntegralleri 393 12.6 Yüzey İntegrallerinin Uygulamaları 395 12.6.1 Yüzey Alanı 395 12.6.2 Bir Kabuğun Kütlesi ve Kütle Merkezi 395 12.6.3 Yüzeyden Olan Sıvı Akısı 397 12.7 Green Teoreminin R 3 Uzayına Genişletilmesi 399 12.8 Gauss Diverjans Teoremi 402 12.8.1 Arşimed İlkesi 404 12.8.2 Isı Denklemi 405 12.9 Stokes Teoremi 408 12.9.1 3-Boyutlu Uzayda Potansiyel Teori 410 12.9.2 Maxwell Denklemleri 411 12.10 Eğrisel Koordinatlar 414 4 Fourier Analizi, Özel Fonksiyonlar ve Özfonksiyon Açılımları 425 BÖLÜM 13 Fourier Serileri 427 13.1 Neden Fourier Serisi? 427 13.2 Bir Fonksiyonun Fourier Serisi 429 13.2.1 Çift ve Tek Fonksiyonlar 436 13.2.2. Gibbs Olayı 438 13.3 Sinüs ve Kosinüs Serileri 441 13.3.1 Kosinüs Serisi 441 13.3.2 Sinüs Serisi 443 13.4 Fourier Serilerinin İntegrasyonu ve Türetilmesi 445 13.5 Faz Açısı Formu 452 13.6 Kompleks Fourier Serileri 457 13.7 Sinyallerin Filtrelenmesi 461 BÖLÜM 14 Fourier İntegrali ve Dönüşümü 465 14.1 Fourier İntegrali 465 14.2 Fourier Kosinüs ve Sinüs İntegralleri 468 14.3 Fourier Dönüşümü 470 14.3.1 Filtreleme ve Dirac Delta Fonksiyonu 481
İçindekiler IX 14.3.2 Pencerelenmiş Fourier Dönüşümü 483 14.3.3 Shannon Örnekleme Teoremi 485 14.3.4 Düşük-Geçişli (Low-Pass) ve Bandgeçişli Filtre 487 14.4 Fourier Kosinüs ve Sinüs Dönüşümleri 490 14.5 Ayrık Fourier Dönüşümü 492 14.5.1 DFT nin Lineerlik ve Periyodikliği 494 14.5.2 N-noktalı Ters DFT 494 14.5.3 Fourier Katsayılarının DFT Yaklaşımı 495 14.6 Örneklemeli Fourier Serileri 498 14.7 Fourier Dönüşümü İçin DFT Yaklaşımı 501 BÖLÜM 15 Özel Fonksiyonlar ve Özfonksiyon Açılımları 505 15.1 Öz Fonksiyon Açılımları 505 15.1.1 Bessel Eşitsizliği ve Parseval Teoremi 515 15.2 Legendre Polinomları 518 15.2.1 Legendre Polinomlarının Üretken (Generating) Fonksiyonu 521 15.2.2 Legendre Polinomları İçin Rekürans Bağıntı 523 15.2.3 Fourier-Legendre Açılımları 525 15.2.4 Legendre Polinomlarının Sıfırları 528 15.2.5 Yüklü Parçacıkların Dağılımı 530 15.2.6 Bazı İlave Sonuçlar 532 15.3 Bessel Fonksiyonları 533 15.3.1 Gamma Fonksiyonu 533 15.3.2 Birinci Nevi Bessel Fonksiyonları 534 15.3.3 İkinci Nevi Bessel Fonksiyonları 538 15.3.4 Asılı Zincirde Yerdeğiştirmeler 540 15.3.5 Bir Çubuğun Kritik Uzunluğu 542 15.3.6 Modifiye Bessel Fonksiyonları 543 15.3.7 Alternatif Akım ve Yüzey Etkisi 546 15.3.8 J n (x) lerin Üretken Fonksiyonu 548 15.3.9 Rekürans Bağıntıları 549 15.3.10 Bessel Fonksiyonlarının Sıfırları 550 15.3.11 Fourier-Bessel Açılımları 552 15.3.12 Bessel İntegralleri ve Kepler Problemi 556 5 Kısmi Diferensiyel Denklemler 563 BÖLÜM 16 Dalga Denklemi 565 16.1 Dalga Denkleminin Çıkarılışı 565 16.2 Bir Aralıkta Dalga Hareketi 567 16.2.1 Sıfır Başlangıç Hızı 568 16.2.2 Sıfır Başlangıç Yerdeğiştirmesi 570 16.2.3 Sıfır Olmayan Başlangıç Yerdeğiştirmesi ve Hızı 572 16.2.4 Sabitlerin ve Başlangıç Şartlarının Etkisi 573 16.2.5 Zorlama Terimi Halinde Dalga Hareketi 575
X İçindekiler 16.3 Sonsuz Ortamda Dalga Hareketi 579 16.4 Yarı-Sonsuz Ortamda Dalga Hareketi 585 16.4.1 Fourier Sinüs ya da Kosinüs Dönüşümüyle Çözüm 586 16.5 Laplace Dönüşümü Tekniği 587 16.6 Karakteristikler ve d Alambert Çözümü 594 16.6.1 İleri ve Geri Dalgalar 596 16.6.2 Zorlanmış Dalga Hareketi 599 16.7 Dairesel Membranın Titreşimleri, I 602 16.7.1 Normal Titreşim Modları 604 16.8 Dairesel Membranın Titreşimleri, II 605 16.9 Dikdörtgensel Zarın Titreşimleri 608 BÖLÜM 17 Isı Denklemi 611 17.1 Başlangıç ve Sınır Şartları 611 17.2 [0, L] Üzerinde Isı Denklemi 612 17.2.1 Uçları Sıfır Derecede Tutulan Çubuk 612 17.2.2 Yalıtılmış Uçlar 614 17.2.3 Isı Yayan Uç 615 17.2.4 Problemlerin Dönüşümü 618 17.2.5 Kaynak Terimi İçeren Isı Denklemi 619 17.2.6 Sınır Şartları ile Sabitlerin Etkileri 622 17.3 Sonsuz Bir Ortamdaki Çözümler 626 17.3.1 Reel Eksen Üzerindeki Problemler 626 17.3.2 Fourier Dönüşümü İle Çözüm 627 17.3.3 Yarı-Sonsuz Eksen Üzerindeki Problemler 629 17.3.4 Fourier Sinüs Dönüşümü İle Çözüm 630 17.4 Laplace Dönüşüm Teknikleri 631 17.5 Sonsuz Silindirde Isı İletimi 636 17.6 Dikdörtgensel Plakta Isı İletimi 638 BÖLÜM 18 Potansiyel Denklemi 641 18.1 Laplace Denklemi 641 18.2 Dikdörtgen İçin Dirichlet Problemi 642 18.3 Disk İçin Dirichlet Problemi 645 18.4 Poisson İntegral Formülü 648 18.5 Sınırsız Bölgeler İçin Dirichlet Problemi 649 18.5.1 Üst Yarı Düzlem 650 18.5.2 Dik Çeyrek Düzlem 652 18.6 Küp İçin Dirichlet Problemi 654 18.7 Küre İçin Kalıcı-Durum Denklemi 655 18.8 Neumann Problemi 659 18.8.1 Dikdörtgen İçin Neumann Problemi 660 18.8.2 Bir Disk İçin Neumann Problemi 662 18.8.3 Üst Yarı-Düzlem İçin Neumann Problemi 664
İçindekiler XI 6 Kompleks Fonksiyonlar 667 BÖLÜM 19 Kompleks Sayılar ve Fonksiyonlar 669 19.1 Kompleks Sayıların Aritmetik ve Geometrisi 669 19.2 Kompleks Fonksiyonlar 676 19.2.1 Limit, Süreklilik ve Diferensiyellenebilirlik 677 19.2.2 Cauchy-Riemann Denklemleri 680 19.3 Eksponansiyel ve Trigonometrik Fonksiyonlar 684 19.4 Kompleks Logaritma 689 19.5 Kuvvetler 690 BÖLÜM 20 Kompleks İntegrasyon 695 20.1 Bir Kompleks Fonksiyonun İntegrasyonu 695 20.2 Cauchy Teoremi 700 20.3 Cauchy Teoreminin Sonuçları 703 20.3.1 Yoldan Bağımsızlık 703 20.3.2 Şekil Değiştirme Teoremi 704 20.3.3 Cauchy İntegral Formülü 706 20.3.4 Harmonik Fonksiyonların Özellikleri 709 20.3.5 Türevler Üzerinde Sınırlar 710 20.3.6 Genişletilmiş Şekil Değiştirme Teoremi 711 20.3.7 Cauchy İntegral Formülünün Başka Bir Şekli 713 BÖLÜM 21 Fonksiyonların Seri Gösterimleri 715 21.1 Kuvvet Serileri 715 21.2 Laurent Açılımı 725 BÖLÜM 22 Tekillilikler ve Rezidü Teoremi 729 22.1 Tekillilikler 729 22.2 Rezidü Teoremi 733 22.3 Reel İntegrallerin Değerlendirilmesi 740 22.3.1 Rasyonel Fonksiyonlar 740 22.3.2 Kosinüs ya da Sinüs ile Çarpılmış Rasyonel Fonksiyonlar 742 22.3.3 Kosinüs ve Sinüslü Rasyonel Fonksiyonlar 743 22.4 Rezidüler ve Ters Laplace Dönüşümü 746 22.4.1 Bir Silindirdeki Isı İletimi 748 BÖLÜM 23 Konform Tasvir ve Uygulamaları 751 23.1 Konform Tasvir 751 23.2 Konform Tasvirin Oluşturulması 765 23.2.1 Schwarz-Christoffel Dönüşümü 773
XII İçindekiler 7 23.3 Dirichlet Probleminin Konform Tasvir Çözümü 776 23.4 Düzlemsel Sıvı Akış Modelleri 779 Olasılık ve İstatistik 789 BÖLÜM 24 Olasılık 791 24.1 Olay, Örnek Uzayı ve Olasılık 791 24.2 Dört Sayma İlkesi 794 24.2.1 Çarpım İlkesi 794 24.2.2 Permütasyonlu Sayma 795 24.2.3 n Nesne Arasından Sıralı Olarak r Nesne Seçmek 795 24.2.4 n Nesneden r Nesnesinin Sırasız Seçimi 796 24.3 Tamamlayıcı Olaylar 800 24.4 Şartlı Olasılık 801 24.5 Bağımsız Olaylar 803 24.6 Ağaç Diyagramları 805 24.7 Bayes Teoremi 807 24.8 Beklenen Değer 812 BÖLÜM 25 İstatistik 815 25.1 Merkez ve Varyasyan Ölçümü 815 25.1.1 Merkez Ölçümü 815 25.1.2 Değişken Ölçümü 817 25.2 Random Değişkenler ve Olasılık Dağılımları 819 25.3 Binom ve Poisson Dağılımları 822 25.3.1 Binom Dağılımı 822 25.3.2 Poisson Dağılımı 824 25.4 Normal Dağılımlı Veri ve Çan Eğrileri 826 25.4.1 Standart Çan Eğrisi 835 25.4.2 68, 95, 99.7 Kuralı 835 25.5 Merkezi Limit Teoremi 837 25.6 Güven Aralıkları ve Popülasyon Oranı 843 25.7 Popülasyon Ortalaması ve Öğrenci Dağılımı 847 25.8 Korelasyon ve Regresyon 850 EK A MAPLE Temelleri 861 Seçilmiş Problemlerin Cevapları 873 Dizin 945