ESKİŞEHİR OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Mühedislik Mirlık Fkültesi İşt Mühedisliği Bölüü EPost: oguhettopcu@gilco We: http://foguedutr/topcu Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz Ders otlrı Ahet TOPÇU + + + + + + + + + Klsik otsyo Mtris otsyou Mtris otsyou A ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ Çözüü vrlığı, yokluğu, çokluğu ve çözü etotlrı
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ Krşık ve litik çözüü ükü oly difersiyel dekleler solu frklr ve solu elelr gii yöteler ile doğrusl dekle sistelerie döüştürülürler Hee her ili dlıd proleleri thie %75 i e z ir ilieyeli ir doğrusl deklee, geellikle de çok ilieyeli doğrusl dekle sisteie idirgeir Klsik ve tris osyoud yzılış doğrusl dekle sistelerie örekler: Bir ilieyeli ir dekle: Klsik: tris: [ ][ ][ ] A İki ilieyeli iki dekleli siste: + Klsik: tris: A + ilieyeli dekleli siste: + + + Klsik: + + + Mtris: A + + + A ve iliir hesplır ij ve i sit syılr, i ilieyedir A y ktsyılr trisi, e ilieyeler vektörü ve ye krşı trf vektörü deir Dekleler sit syılrı ve irici derecede ilieyeleri içerdiği içi u tür dekle sistelerie doğrusl dekle sisteleri dı verilir, çükü,, Si( ), Log ( ), e, /( + ) gii vey ezeri teriler içerezler Dekle sistei türleri: Dekle syısıı ilieye syısı eşit olduğu siste: A 6 Örek: 8 5 66 8 Dekle syısı ilieye syısı eşittir: Uyguld çoğulukl krşılşıl dekle sistei türüdür Ktsyılr trisi A t dolu, seyrek dolu, sietrik, t, sietrik ve t, üçlü köşegetris olilir det A ise tek çözü vrdır, det A duruud çözü yoktur vey sosuz çözü vrdır Dekle syısıı ilieye syısıd çok olduğu siste: > A Örek: 7 8 66 58 58 Dekle syısıı ilieye syısıd çok olsı duruudur: > Geellikle ölçüe ve deeye dylı prolelerde orty çıkr Ölçe ve deey yoluyl elirlee veri htlrıı e z idirgeek içi ilieye syısıd dh çok dekle oluşturulur Çözü yklşıktır ve iiu ht olck şekilde uluy çlışılır A ktsyılr trisi geelde çok seyrek doludur Bu tür dekle sisteii çözeilek içi A ı kololrı doğrusl ğısız ollı, yi rk A ollıdır Ahet TOPÇU, Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz, Eskişehir Osgzi Üiversitesi,, http://foguedutr/topcu/
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ Ahet TOPÇU, Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz, Eskişehir Osgzi Üiversitesi,, http://foguedutr/topcu/ Dekle syısıı ilieye syısıd z olduğu siste: < Örek: Birde çok krşı trflı siste: Örek: 5 Krşı trfı sıfır ol siste(hooje dekle sistei): A Örek: 6 6 Krşı trfı ilieye vektörüü sit ir ktı ol siste(özdeğer prolei): A Dekle syısıı ilieye syısıd z olsı duruudur: < Elektroik devre lizi, coğrfi ilgi sistei, isttistik, optiizsyo ve ekik gii llrı zı proleleride u tür sisteler ile krşılşılır A ktsyılr trisi geelde çok seyrek doludur Bu tür dekle sisteii çözeilek içi A ı stırlrı doğrusl ğısız ollı, yi rk A ollıdır Tek değil, sosuz çözü vrdır 6 s s s s s s A Ayı ktsyılı s te dekle sisteii tek ir dekle sisteide yzılış şeklidir Krşı trft s te vektör vrdır Her krşı trf vektörü içi ir çözü vektörü gerektiğide trisii de s te vektörü vrdır Çözü s te dekle sisteii çözüü ile eşdeğerdir Çözüü vrlığı yukrıd çıkl, > vey < durulrıd iri giidir 5 8 6 6 7 6 Krşı trfı sıfır ol sistee hooje dekle sistei deir vey olilir içi u ğıtıı sğldığı çıktır Ack urd çözüü öeli olur çözüüü olilesi içi: y det A ollı, vey A ı stırlrı vey kololrı doğrusl ğılı ollı Her durud deklei sğly irde çok vrdır A Soldki ğıtılrı hepsi de yı ğıtıdır, fkt frklı şekillerde yzılışlrdır oyutlu dekle sisteii krşı trfı ilieye vektörüü sit ir ktıdır Bu tür dekle sistei ile diik, depre, stilite proleleride krşılşılır ve özdeğer prolei dı verilir Deklei sğly ir siti ve u it vektörü rır Sitie özdeğer, vektörüe de y it özvektör deir Hooje ir dekle sistei olduğud çözüleri ck ve ck det (AI) içi vrdır Çözüü zorc ol u prole titreşi yp cisileri periyot, freks ve odlrıı hesı özdeştir I A ) ( ) ( I A
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ 5 Tek çözü vr, çözü yok, sosuz çözü vr e deektir? Bir ilieyeli ir dekle içi çıkly çlışlı: dekleide ve sit ilieyedir duruud çözü / dır, Çözü vrdır ve tektir ve duruud ifdesi tetik kurllr ters düşer, çükü, olduğu iliektedir Ayrıc u ifdede / yzılz! Deek ki dekle uyusuzdur, çözü yoktur ve duruud ğıtısıı sğly sosuz vrdır, sosuz çözü vrdır Tek çözü vr, çözü yok, sosuz çözü vr e deektir? İki ilieyeli dekle sisteleri içi çıkly çlışlı: dekle sistei: y vey y + y y + İki frklı doğruu dekleidir Bu doğrulrı y koordit sisteide çizersek ve y oktsıd kesiştiklerii görürüz O hlde u okt her iki doğru üzeridedir, ve y değerleri her iki deklei de sğlr, şk kesişe okt yoktur Çözü vrdır ve tektir y Kesişe oktsı çözü Ayı dekle sisteii tris otsyoud yzr ve ktsyılr trisii deteritıı hesplrsk A, ( ) det A y y+ Det A olduğuu görürüz Souç: deteritı sıfırd fklı dekle sisteii çözüü vrdır ve tektir Tek çözü vr dekle sistei: y vey y ½y y İki frklı doğruu dekleidir Bu doğrulrı y koordit sisteide çizersek iririe prlel olduklrıı görürüz, kesişezler O hlde her iki doğru üzeride ol hiçir ortk okt yoktur Her iki deklei de sğly ve y değer çifti uluz Çözü yoktur Ayı dekle sisteii tris otsyoud yzr ve ktsyılr trisii deteritıı hesplrsk A, ( 5) ( ) det A y Det A olduğuu görürüz stırı / ile çrprk stır ile toplrsk y 5 5 Çözü yok y Çözü yok A ı ikici stırı sıfır olur, yi A ı stırlrı doğrusl ğılıdır, rk< dir i ikici stırı sıfır değildir İkici deklei çık yzrsk + y yi dir Bu ise tetik kurllr ters düşer Deek ki dekleler uyusuzdur Souç: Ktsyılr trisii ir stırı sdece sıfır elelr içeriyor fkt yı stırı krşı trfı sıfırd frklı ise: deterit sıfırdır stırlr doğrusl ğılıdır dekleler uyusuzdur dekle sisteii çözüü yoktur dekle sistei: y ½y iriride frklı gii görüe u iki deklei y y y şeklide yzrsk, gerçekte iririi yı iki doğru olduğuu görürüz Bu doğrulrı y koordit sisteide çizersek üst üste düşerler Her iki doğru üzeride sosuz ortk okt vrdır O hlde her iki doğru üzerideki her okt her iki deklei de sğlrlr Bu edele sosuz çözü vrdır Ayı dekle sisteii tris otsyoud yzr ve ktsyılr trisii deteritıı hesplrsk A, ( 5) ( ) det A y 5 5 Det A olduğuu görürüz stırı / ile çrprk stır ile toplrsk Sosuz çözü vr y A ı ve i ikici stırı sıfır olur, yi A ı stırlrı doğrusl ğılıdır, rk< dir İkici deklei çık yzrsk + y yi dır Bu ise tetik kurllr ters düşez Deek ki dekleler uyuludur y değişkeie istediğiiz herhgi değer vereilir, i u ğlı hesplyiliriz: yc gii ir sit olsu, [()c]/+5c olur Çözü vektörü + 5c dır ve dekle sisteii her c değeri içi sğlr Sosuz c değeri olileceği içi sosuz çözü vrdır y c Souç: Ktsyılr trisii ir stırı sdece sıfır elelr içeriyor ve yı stırı krşı trfı d sıfır ise: deterit sıfırdır stırlr doğrusl ğılıdır dekleler uyuludur dekle sisteii sosuz çözüü vrdır Ahet TOPÇU, Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz, Eskişehir Osgzi Üiversitesi,, http://foguedutr/topcu/ 5
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ 6 Tek çözü vr, çözü yok, sosuz çözü vr e deektir? Üç ilieyeli dekle sistei içi çıkly çlışlı: Dekle sistei: + y+ z + y+ z + y+ z det düzle deklei Mtris otsyoud A, y z dekle sisteii her ir deklei ir düzlei dekleidir, y, z uzy ekse tkııd; üç düzle ir oktd kesişirse tek çözü vrdır Bir doğru oyuc kesişirlerse vey üst üste düşerlerse sosuz çözü vrdır Kesişezler vey iririe prrlel iseler çözü yoktur Kesişe oktsı tek çözü vr Kesişe doğrusu sosuz çözü vr Düzleler ir oktd kesişiyor: Tek çözü vr Düzleler ir doğru oyuc kesişiyor: Sosuz çözü vr Düzleler üst üste düşüyor: Sosuz çözü vr Düzleler iririe prlel: Çözü yok Düzleler kesişiyor: Çözü yok Geelleştire: Tek çözü vr, çözü yok, sosuz çözü vr e deektir? dekle ve ilieyeli + + + + + + + + + A Dekle sistei,,, ekseli uzyd tılıdır Çizi yoluyl çözüü göstereeyiz ve dekle sisteleri içi yukrıd verdiğiiz ilkeleri geelleştireiliriz: Ar çözü, ekseli uzyd koorditlrı,,, ol ir oktdır Bu okt uluilir, uluyilir vey sosuz te uluilir O hlde dekle sisteii Tek çözüü olilir Çözüü olyilir Sosuz çözüü olilir Dekle sisteie krk çözü vrdır, yoktur y d sosuz çözü vrdır deek ükü değildir Yukrıdki irdeleelerde lşıldığı gii, çözü ktsyılr trisii deteritıı değerie, stır vey kololrı doğrusl ğılı olup oldığı, rk ve dekleleri uyulu olup oldığı ğlıdır Büyük ir dekle sisteii deteritı sıl hesplck? Stır vey kololrı doğrusl ğılı olup oldığı sıl elirleecek? Dekleleri uyulu vey uyusuz olduğu sıl lşılck? Rk sıl hesplck? Zor gii görüle u sorulrı cevı slıd çok sittir Dekle sistei çözülürke u sorulrı tüüü cevı d kediliğide orty çıkr Bölü de dekle sistelerii çözü yöteleri iceleirke u sorulr syısl öreklerle cevplcktır Ahet TOPÇU, Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz, Eskişehir Osgzi Üiversitesi,, http://foguedutr/topcu/ 6
ÇOK BİLİNMEYENLİ DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMİ TÜRLERİ 7 Doğrusl dekle sistelerii çözü yöteleri Ktsyılr trisi kre ol, dekle ve ilieyeli A () dekle sisteiide A ve i elelrıı sit syılrd oluştuğu, det A ve olduğu vrsyılktdır Dekle sisteii sğly vektörüü hesplsı çlktdır Bilidiği gii, sırl koşullr edeiyle, çözü vrdır ve tektir Bilie ilk sistetik çözü etodu Crer kurlıdır Deterit hesı dylı u çözü etodu, diğer çözü etotlrı kıysl, çok fzl işle( ilieyeli dekle sistei içi yklşık 7 ilyo işle!) gerektirdiğide güüüzde kullılktdır Crer kurlıı sdece trihsel değeri vrdır Güüüzde doğrusl dekle sistei direkt vey itersyo yöteleride iri ile çözülür: Direkt yöteler: Belli syıd çözü dıı ve işle syısı ol çözü yöteleridir Gerekli dı syısı ve dört işle syısı çözü öcesi ellidir GAUSS idirgee etodu, GAUSSJORDAN tekiği, LU vey LDU çrplr yır yöteleri, CHOLESKY etodu ve diğer ezerleri u gru girer İtersyo yöteleri: Gerekli dı ve dört işle syısı çözü öcesi ilieez Htt çözüü ulucğıı grtisi de her z yoktur Çözüe ir şlgıç çözüü thi edilerek şlır, ir sorki dıd hespl çözü gerçek çözüe dh ykıdır Biririi izleye iki çözü rsıdki frk yeter derecede küçük olucy kdr hesp tekrrlır JACOBI, GAUSS SEIDEL etodu, CG (Cojugte Grdiet ethod) etodu, SOR(Successive Overreltio Method) etodu ve diğer ezerleri u gru girer Çok syıd direkt ve itersyo yötei vrdır 5 yılıd ypıl ir syı göre 5 de çok çözü yötei vrdı Teelleri sırlr öce tılış olkl irlikte, sıl gelişeler 67 lı yıllrd oluştur Bugü syısıı ilek ükü değildir E geel yöte GAUSS idirgee etodudur Diğerleri u yötei özel durulr içi z y d çok değiştiriliş şeklidir Yukrıd dı geçe yöteler e çok kullıllrdır Tü çözü yötelerii üç teel dyğı vrdır: Dekle sisteii ir dekleii sıfırd frklı ir sit ile çrpılsı çözüü değişez Dekle sisteii iki stırıı yerleri değiştirilirse çözü değişez Dekle sisteii iki kolouu yerleri değiştirilirse çözü değişez, ck değişkeleri sırsı değişir Dekle sisteii ir deklei sıfırd frklı sit ir syı ile çrpılır ve şk ir stır ile toplırs(vey çıkrılırs) çözü değişez Direkt çözü etotlrı u ilkelerde yrrlrk dekle sisteii ktsyılr trisii Bir üst üçge trise, vey Bir lt ve ir üst üçge trisi çrpıı vey Bir lt üçge ir diygol ve ir üst üçge trisi çrpıı döüştürürler Bu edele, yukrıd dı geçe yötelere, idirgee vey çrplr yır yötei dı d verilir Ktsyılr trisi üçgeleştiriliş sistei çözüü gerçek sistei çözüüü verir İlk sistetik dekle çözüüü İsviçreli Crer(775), 75 yılıd yyıldı Ahet TOPÇU, Bilgisyr Destekli Nüerik Aliz, Eskişehir Osgzi Üiversitesi,, http://foguedutr/topcu/ 7