3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi olsun. Şu hlde olduğundn dir. Böylece G ve gruplrının birimi ynıdır. b) olsun. nin deki tersi ve nin G deki tersi olsun. Şu hlde = olur. Yni, nin deki ve G deki tersleri ynıdır. c)bir grup ise ve { } her zmn grubunun lt gruplrıdır. Bu lt gruplr şikr lt gruplr denir. grubunun diğer lt gruplrın d öz lt gruplr denir. Önerme 3.3. G bir grup ve G olsun. nin bir lt grup olmsı için gerek ve yeter koşul i), b için b ve ii) için olmsıdır. İspt : : G olsun. kendi bşın bir grup olduğundn grup ksiyomlrının hepsini sğlr. Bundn dolyı i) ve ii) sğlnır. : Verilen kümesi için i) ve ii) koşullrı sğlnsın. Bu hlde birleşme özelliğini ve birim elemnın vrlığını göstermek yeterlidir. G deki tüm elemnlr için birleşme özelliği sğlndığındn, lt kümesindeki elemnlr için de sğlnır. Bir llım. ii) koşulun göre dır. Şu hlde, olmsındn i) koşulun göre e elde edilir. Önerme 3.4 G grubun boş olmyn bir lt kümesinin lt grup olmsı için gerek ve yeter koşul, b için b (vey b ) olmsıdır. İspt : : G ise b için :, b için b b ve, b için b dır. olsun. olduğundn, kbul edilen koşul gereği e bulunur. Vrsyımdn için olur. Şu hlde önceki önermenin ii) koşulu sğlnır., b için ( b ) b b ve vr ve b için eb b ( b ) b göz önünde tutulrk,, b için bulunur. Şu hlde önceki önermenin i) koşulu d sğlnır ve G bulunur.
Önerme 3.3 ve Önerme 3.4 den şğıdki iki önermeyi isptlybiliriz. Önerme 3.5. G bir toplmsl grup ve G olsun. nin bir lt grup olmsı için gerek ve yeter koşul i), b için ve ii) için olmsıdır. Önerme 3.6. G toplmsl grubun boş olmyn bir lt kümesinin lt grup olmsı için gerek ve yeter koşul, b için (vey ) olmsıdır. Örnekler 3.7 ) G bir değişmeli grup ve, b için b e x G x e { : } olsun. Bu hlde G ve böylece ( b ) ( b) b e olduğundn b dir. Gerçekten dır. n ) G { : n Z} di çrpm işlemine göre bir değişmeli gruptur. Gerçekten, GR {0} m n ve R {0} di çrpm işlemine göre gruptur. Burdn m, n Z olmk üzere, G için m n mn G dir. 3)G grubunun tüm elemnlrı ile değişmeli oln elemnlr, bir lt gruptur. Bu elemnlrın kümesini ile gösterelim. Yni { } olsun. Şu hlde dir. Gerçekten olsun. Şu hlde g G için ( b ) g ( b g) ( gb ) ( g) b ( g) b g( b ) olduğundn bulunur. Böylece dir. M ye G nin merkezi denir. 4) G bir grup ve G olsun. M( ) { g G : g g } kümesi G nin bir lt grubudur. ( Bu lt grub nın merkezleştiricisi denir.) Gerçekten, x, y M( ) için x x ve y y dır. Bu hlde Dolyısıyl xy M ( ) dır. ( xy ) x( y ) x( y ) ( x) y ( x) y ( xy ) bulunur. 5) de =(3) nın merkezleştiricisini bullım. ( ) { { bulunur. Bunlr ise sırsıyl { permütsyonlrını verir. Sonuç olrk = {, (3), (3)} bulunur.
6) olmk üzere { } olduğunu isptlylım. olsun. İsptı ypmk için olck şekilde bulmlıyız. olduğundn olck şekilde vrdır. olduğundn birbirinden frklı vrdır. trnspozisyonunu göz önüne llım. Şu hlde dir. Şimdi olduğunu gösterelim. Eğer ise olduğu görülür. Fkt birebir olduğundn çelişkisi elde edilir. Böylece olmk üzere { } elde ederiz. 8) Tm syılrın toplmsl grubunun tüm lt gruplrı kz olmk üzere kz şeklindedir. Ispt. Zolsun.Eğer {0} ise 0Z dir. Eğer {0} ise d sıfır olmyn bir tmsyı vrdır. yi bir lt grup kbul ettiğimiz için, bu tmsyının ters işretlisi de de olur. Burdn de pozitif bir tmsyı vr ve pozitif tmsyılr iyi sırlı olduğundn deki pozitif tmsyılrın en küçüğü vrdır. Bu tmsyı k olsun. kz { km : m Z} olduğunu gösterelim. k olduğundn kz bulunur. Tersine herhngi bir h llım. h yi k ile klnlı olrk bölersek ; h qk r, 0 r k olck şekilde q, r Z bulbiliriz. r h qk olduğundn, k nın seçiminden dolyı r 0, yni h kq kz elde edilir. Sonuçt nin bütün lt gruplrı kz { km : mz} şeklindedir. 9) G { b 5 i :, bq, 0 vey b 0} ise G Ȼ-{0} dır. Çünkü, b 5 i, c d 5i G için b 5i ( b 5 i)( c d 5 i) ( c 0 vey d 0) c d 5i ( b 5 i)( c d 5 i) c 5d = ( c d 5 0) ( c 5 bd) ( bc d) 5i G c 5d = Önerme 3.8., bir G grubunun boş olmyn sonlu bir lt kümesi ve G deki işlemlere göre kplı ise G dır. İspt : Önerme 3.3 ün i) kplılık koşulu sğlndığındn ii) koşulunun sğlndığını d gösterirsek, ispt tmmlnmış olur. Bir llım. Eğer e ise e dir. e olsun. de işlem kplı olduğundn nın tüm pozitif kuvvetleri de de bulunur. Fkt sonlu bir küme olduğundn r s 0 tmsyılrı için m,,...,,... elemnlrının hepsi frklı olmzlr. Şu hlde r s olur. Burdn rsolmlıdır. Böylece r s 0 dır. Şu hlde r s e ve e kbul ettiğimizden rs elde edilir. 3
Önerme 3.9. Bir grubun bir tkım lt gruplrının r kesiti de bir lt grubudur. İspt :{ } ilesi, G grubunun bir tkım lt gruplrı ve olsun., b için b i i I olduğunu isptlylım., b i I için, b i I için b i i olduğundn dir. Not 3.0. Bir grubun iki lt grubunun birleşimi lt grup olmsı gerekmez. Gerçekten, Z toplmsl grubunun Z ve 3Z lt gruplrın göz önüne lırsk,3z 3Z olduğu hlde 3 Z 3Z dır. Tnım 3.. G bir grup ve AB, bu grubun iki lt kümesi olsun. AB { b : A, b B} ye A ile B kümelerinin çrpımı denir. Özel olrk, A {} ise {} B B ile gösterilir. Benzer tnım toplmsl gruplr içinde ypılır. Örnek 3.. G S3 grubunun A {(3),()} ve B {(3),(3)} lt kümelerini göz önüne llım. AB {(3)(3),()(3),(3)(3),()(3)} ={(3),(3),(),(3)} ={(3)(3),(3)(3),(3)(),(3)()}={(),(3),(3),(3)} Böylece AB BA. Örnek 3.3. S 3 ün üç lt kümesi A {(3),(3)}, B {(3),(3)} ve C {(),(3)} olsun. AB {(3),(),(3)} AC fkt B C.( B C AB AC) Bir grubunun iki lt grubunun çrpımı lt grup olmk zorund değildir. Şimdi bir örnek verelim. Örnek 3.4. olmk üzere bir gruptur. ( = rsyonel syılr olmk üzere elemnlrı dn lınmış determinntlrı sıfırdn frklı x lik mtrisler) b : bq ve 0 0 K : Q olsun. ve K, G nin lt grubudur. 4
b b K :, bq K, G nin bir lt grubu değildir. Gerçekten, K 0 fkt 3 K 0 dır. Önerme 3.5. G bir grup ve, K G olsun. K G K K olmsıdır. İspt : : K tutulrk hlde : K h k G olsun. h, k K için K ve kh ( h k ) K h, k K olduğunu göz önünde bulunur. Bu hlde K K olur. Diğer kpsm için x K llım. K lt grup olduğundn, yni K K. x ( hk) k h K x hk K dır. Şu K olsun. x, y K için, x hk ve y hk olck şekilde h, h ve k, k K vrdır. ( k k ) h K K ve hlde xy ( h k )( h k ) h k k h dir. k k K ve h olduğundn ( k k ) h hk olck şekilde h ve k K bulunur. Şu xy h ( k k ) h ( h h) k K elde edilir. Burdn K G olduğu nlşılır. Önerme 3.6. nin bütün çift permütsyonlrının kümesi, nin n!/ elemnlı lt grubudur. ( ye Alterne grup denir ) İspt : olduğundn dir. için ve çift syıd linin çrpımı olduğundn de çift syıd linin çrpımı olur yni dir. sonlu Önerme 3.8 den dir. dir. de tek ve çift permütsyonlrın syısının ynı olduğunu gösterirsek grubunun elemn syısı elde edilir. { } olsun. nin elemnlrını bir ikilisi ile çrplım. { } permütsyonlrı d tek olur ve bunlrın dışınd tek permütsyon yoktur. Gerçekten tek permütsyonu olsydı ve olurdu. 5
SORULAR ) Tek tmsyılr kümesi, çift tmsyılr kümesi olsun ve C, nin birer lt grubu mudur? Neden? ) olmk üzere { } kümesinin nin lt grubu olduğunu gösteriniz. 3) kompleks syılr grubunun [ ] { } lt kümesinin nin lt grubu olduğunu gösteriniz. 4) ve {[ ] } ise olduğunu gösteriniz. 5) değişmeli bir grup ve, nin bir lt grubu olsun. { } kümesinin de nin bir lt grubu olduğunu gösteriniz. 6) K, bir grubunun lt grubu ve de bir G grubunun lt grubu ise K, G nin bir lt grubu mudur? Neden? 7) olduğunu gösteriniz. 8) { } kümesinin grubunun lt grubu mudur? Neden? 9) { } ve üzerinde tnımlnn ikili işlem olsun. () bir gruptur, gösteriniz. (b) değişmeli midir? (c) { }, nin lt grubu mudur? (d) { }, nin lt grubu mudur? (e) { }, nin lt grubu mudur? (f) nin birim elemnı olmk üzere, denklemini sğlyn tüm elemnlrını belirleyiniz. 0) G bir toplmsl grup ve G, G, G3bu grubun lt gruplrı olsunlr. G G G3 ise G G vey G G3 olduğunu gösteriniz. 6
) A {,,3} olmk üzere S( A) S3 grubunun iki ve K lt grubunu K bir lt grup olmyck şekilde bulunuz. ) bir grup ve olsun. er için ise nin bir lt grubu mudur? Neden? 3) Klein 4-lü grubunun tüm lt gruplrını bulunuz. 4) bir grup ve olsun. (i) { } olduğunu gösteriniz. (ii) olduğunu gösteriniz. 5) grubunu belirleyiniz. 6) G değişmeli grup ise yi belirleyiniz. 7) [ ] için ([ ]) yi bulunuz. 8) G bir grup ve olsun. ise olduğunu gösteriniz. 9) G bir grup ve ise olduğunu gösteriniz. 0) { } ve, ın bir lt grubu olmk üzere { } ise dir, isptlyınız. ) bir grup, olsun. Aşğıdkileri isptlyınız. () nin lt grubu ise dır. (b) sonlu ve ise nin lt grubudur. (c) Anck (b) deki ifdenin gerektirmenin sonlu değil ise doğru değildir. iken nin lt grubu olmyn bir kümesi bulunuz. 7